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DERIVADAS BACHILLERATO

TEMA 19.- DERIVADAS

DEFINICIÓN DE UNA DERIVADA

lim!→#

𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥)ℎ

DERIVADAS DE OPERACIONES CON FUNCIONES Vamos a observar las operaciones que se puede hacer cuando estamos calculando la derivada de alguna función: DERIVADA DE UNA SUMA O RESTA

𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) Es decir, la derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de sus derivadas por separado. DERIVADA DE UN PRODUCTO

𝑦 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)

𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥) Como podéis comprobar, la derivada de una multiplicación sigue la siguiente norma: la derivada de lo primero por lo segundo sin derivar mas lo primero sin derivar por la derivada de lo segundo. DERIVADA DE UNA DIVISIÓN

𝑦 =𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)

𝑦′ =𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]$

En definitiva, la derivada de una división sigue la siguiente norma: la derivada de lo de arriba por lo de abajo sin derivar menos lo de arriba sin derivar por la derivada de lo de abajo todo dividido por lo de abajo al cuadrado. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥))

𝑦′ = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥) Entonces, como puedes observar, se va derivado desde fuera hacia dentro y se van multiplicando las expresiones resultantes. DERIVADA DE UN NUMERO POR UNA FUNCIÓN

𝑦 = 𝑘 ⋅ 𝑓(𝑥)

𝑦′ = 𝑘 ⋅ 𝑓′(𝑥)

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Función Derivada

Tipo exponencial 𝑦 = 𝑒%(') 𝑦′ = 𝑒%(') ⋅ 𝑓′(𝑥)

𝑦 = 𝑎%(') 𝑦′ = 𝑎%(') ⋅ 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑙𝑛𝑎

Función Derivada Tipo potencial 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)) 𝑦′ = 𝑛 ∙ 𝑘 ⋅ 𝑓(𝑥))*+ ⋅ 𝑓′(𝑥)

Función Derivada

Tipo logarítmico 𝑦 = 𝑙𝑛𝑓(𝑥) 𝑦′ =

𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔,𝑓(𝑥) 𝑦′ =𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥) ⋅

1𝑙𝑛𝑎

Función Derivada Tipo seno 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑓(𝑥) 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑓(𝑥)

Función Derivada Tipo coseno 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑓(𝑥) 𝑦′ = −𝑓′(𝑥) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑓(𝑥)

Función Derivada

Tipo cotangente 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑓(𝑥) 𝑦′ =−1

𝑠𝑒𝑛$𝑓(𝑥) ⋅ 𝑓′(𝑥)

Función Derivada

Formaciones Arcos

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑓(𝑥) 𝑦′ =1

@1 − 𝑓$(𝑥)⋅ 𝑓′(𝑥)

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑓(𝑥) 𝑦′ =−1

@1 − 𝑓$(𝑥)⋅ 𝑓′(𝑥)

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑓(𝑥) 𝑦′ =1

1 + 𝑓$(𝑥) ⋅ 𝑓′(𝑥)

Función Derivada

Tipo tangente 𝑦 = 𝑡𝑔𝑓(𝑥) 𝑦′ =𝑓′(𝑥)

𝑐𝑜𝑠$𝑓(𝑥)

La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de sus derivadas: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) → 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

La derivada de una multiplicación: 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑥 → 𝑦′ = 𝑥

𝑦 = 𝑢 ∙ 𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ La derivada de una división:

𝑦 =𝑘𝑢 → 𝑦′ =

−𝑘𝑢′𝑢$

𝑦 =𝑢𝑣 → 𝑦′ =

𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′𝑣$

DERIVADAS

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DERIVADAS BACHILLERATO DERIVADAS LOGARITMICAS Existen algunas derivadas que para resolverlas tenemos que aplicar logaritmos neperianos. Es decir, cuando tengamos una función elevada a otra función 𝑦 = 𝑓(𝑥)-./) tenemos que aplicar logaritmos a ambos lados de la igualdad para aplicar propiedades:

𝑦 = 𝑓(𝑥)-./) → 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛𝑓(𝑥)-(') → 𝑙𝑛𝑦 = 𝑔(𝑥) ∙ 𝑙𝑛𝑓(𝑥)

𝑦′𝑦 = 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑙𝑛𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ∙

𝑓′(𝑥)𝑓(𝑥)

DERIVADAS IMPLICITAS Este tipo de derivadas se aplican cuando tenemos mas de una incógnita a la hora de derivar. Tenemos que derivar en función de ‘’x’’ y las demás incógnitas se derivan dejándolo indicado:

𝑥$ + 𝑦$ = 2

2𝑥 + 2𝑦 ∙ 𝑦′ = 0

𝑦′ =−2𝑥2𝑦 =

−𝑥𝑦

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