MATERIA: CÁLCULO I TEMA: DERIVADAS
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MATERIA: CÁLCULO I Mgs. Carlos Viteri Chávez TEMA: DERIVADAS
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MATERIA: CÁLCULO I
Mgs. Carlos Viteri Chávez
TEMA: DERIVADAS
La derivada: términos
Recta tangente Recta secante
La recta tangente es una posición
límite de las rectas secantes.
La derivada: definición
Si llamamos h a la diferencia x2-x1,
entonces x2 = x1+h. Aquí se debe tener
que h ≠ 0, porque si h=0, entonces
x2=x1 y no existirá recta secante.
La derivada: definición
La derivada de una función f es la función, denotado por(léase “f prima”),y definida por
siempre que este límite exista. Si puede encontrarse, se diceque f es diferenciable y se llama derivada de f en x, o derivadade f con respecto a x.
El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación.
Ejemplo 1
Hallar la derivada de la función f(x)=x2,
Notaciones
Ejemplo 2
• Si f(x) = 2x2 + 2x + 3, encontrar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en (1, 7).
Ejemplo 3
Encontrar la pendiente de la curva y=2x+3 en el punto en que x=6.
Como dy/dx=2, la pendiente cuando x=6, o de hecho en cualquier punto, es 2.
Ejercicios
Reglas de derivación
Ejemplos
Regla 1.- Derivada de una constante
Si c es una constante, entonces
Reglas de derivación
Ejemplos
Reglas de derivación
Ejemplos
g(x) = 5x3
Regla 3.- Regla del factor constante
Si f es una función diferenciable y c una constante, entonces cf(x) es diferenciable
y
Reglas de derivación
Regla 4.- Derivada de una suma o de una diferencia
Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g son diferenciables y
Ejemplo
Ejercicios
Hallar la derivada de las funciones
Reglas de derivación
Regla 5.- Regla del producto
Si f y g son funciones diferenciables, entonces el producto f g es diferenciable y
Ejemplo
F(x) = (x2 + 3x)(4x +
5)
Reglas de derivación
Regla 6.- Regla del cociente
Si f y g son funciones diferenciables y , entonces el cociente f/g es
también diferenciable y
Ejemplo
Ejercicios
Reglas de derivación
Regla 7 Regla de la cadena
Si y es una función diferenciable de u y u es una función diferenciable de x, entonces y es una función diferenciable de x, y
Reglas de derivación
Regla 8.- Regla de la potencia
Si u es una función diferenciable de x y n es cualquier número real, entonces
Ejercicios
Resumen de propiedades de derivadas
Derivadas De Funciones Logarítmicas
•
Ejercicios
En los problemas del 1 al 44 diferencie las funciones. Si es posible,utilice primero las propiedades de los logaritmos para simplificar lafunción dada.
Derivadas de Funciones exponenciales
•
Ejercicios
Derivadas de Orden Superior
Ejemplos:Encuentre y´´´ si y = 4x3 - 12x2 + 6x + 2. Y´ = 12x2 - 24x + 6
Y´´ = 24x - 24
Y´´´ = 24
Derivadas implícitas
•
Derivadas implícitas
Derivadas implícitas
Ejemplos
Hallar dy/dx si se tiene que
Hallar dx/dy si se tiene que
• Sea la función , hallar la derivada dx/dy
Ejemplos
•
Ejemplo.
Ejemplos
Cuando x = 0 la función tiene recta tangente vertical. Cuando x = 0 la función tiene 2 valores y = 0 o Y=4
la derivada de la inversa de
una función f es el recíproco
de la derivada de f.
Ejercicios
Ejercicios
Regla de L’Hôpital
•
Ejemplos
La derivada como razon de cambio
Aplicaciones de la razón de cambio a la economía
La derivada tiene varias aplicaciones en la administración y la economía enla construcción de lo que denominamos tasas marginales. En este campo, lapalabra “marginal” se utiliza para indicar una derivada, esto es, una tasa decambio.
Aplicaciones de la derivada
Existen muchas aplicaciones de la derivada en laeconomía y administración en la construcción de loque denominamos tasas marginales
A continuación detallaremos algunas de ellas:
- Costo, ingreso, utilidad
- Productividad
- Rendimiento
- Tasas de impuestos
- Tendencia de ahorro y consumo
Analisis Marginal
•
Ejemplos
Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es :
Encontrar la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50 unidades?
Ejemplos
Si la función de ingreso está dada por
R(x)= 10x + 0.01x2
en donde x es el número de artículos vendidos, determine el ingreso marginal. Evalúe el ingreso marginal cuando x = 200.
Así que cuando se venden 200 artículos, cualquier incremento pequeño en las
ventas provoca un aumento en los ingresos de $6 por artículo
Ejemplos
• La ecuación de demanda de cierto artículo es:
P - 0.1x = 80 y la función de costo es C(x)= 5000 + 20x
Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150unidades y también en el caso de que se produzcan y vendan 400unidades.
R(x)= xp = x(80 - 0.1x) = 80x - 0.1x2
.
Si x 150,
obtenemos P(x) = 60 - (0.2)(150) = 30.
Así pues, cuando se producen 150
artículos, la utilidad marginal, esto es, la
utilidad extra por artículo adicional
cuando la producción se incrementa en
una pequeña cantidad es $30.
Ejemplos
Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es:
donde p está en dólares, encontrar la función de ingreso marginal y evaluarla cuando q=45.
Ejemplos
Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es:
donde p está en dólares, encontrar la función de ingreso marginal y evaluarla cuando q=45.
Ejemplos
Una empresa determino que la fabricación y venta de los bienes que produce está determinada por la ecuación de la demanda
p + 0.003x = 6 , y la función del costo C = 2 + 1.2x determine:
a) El nivel de producción que producirá la máxima utilidad.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima?
Análisis marginal
• Productividad marginal.- mide el incremento en la producción porunidad de mano de obra o capital adicional.
• Rendimiento Marginal.- representa el rendimiento por dólaradicional invertido cuando se realiza un pequeño incremento en elcapital.
• Tasa de impuesto marginal.-Representa la proporción de un incremento infinitamente pequeño en el ingreso que debe pagarse en forma de impuesto.
• Tendencias marginales a ahorrar y a consumir.- Representan las proporciones de un pequeño incremento en el ingreso nacional que se ahorran y se consumen (función de consumo)
Ejemplo de productividad
Un estudio de eficiencia en una empresa determina que trabajadorpromedio que llega a trabajar a las 7:00 a.m. habrá producido
unidades.
a) Calcular la tasa de producción del trabajador a las 10:00 a.m.
b) ¿A qué razón cambia la tasa del trabajador a las 10:00 a.m.?
c) Aplicar el cálculo para estimar el cambio de la tasa entre las 10:00 ylas 10:30 a.m.
d) Calcular el cambio real en la tasa de producción del trabajador entrelas 10:00 y 10:30 a.m.
Ejemplo productividad marginal
•
Función de consumo
Una función que desempeña un papel importante en el análisiseconómico es la función de consumo, o C=f(I) la que expresa unarelación entre el ingreso nacional total, I, y el consumo nacional total, C
La propensión marginal al consumo se
define como la razón de cambio del
consumo con respecto al ingreso, y es
la derivada de C con respecto a I:
Si la diferencia entre el ingreso I y el consumo C es el ahorro S, entonces S = I - C
Definimos dS/dI como la propensión marginal al ahorro
Ejemplo
Si la función de consumo está dada por
determinar la propensión marginal al consumo y al ahorro cuando I=100
La propensión marginal al ahorro cuando I=100
es 1-0.536=0.464.
Esto significa que si un ingreso
actual de $100,000 millones
aumenta en $1000 millones, la
nación consume aproximadamente
el 53.6% (536/1000) y ahorra
46.4% (464/1000) de ese
incremento.
Ejemplo
Para Estados Unidos (1922-1942), la función de consumo se estimó por medio de la ecuación C = 0.672 I + 113.1.
Encuentre la propensión marginal al consumo.
Ejemplos
• La función de consumo de cierta nación está dada por
Encuentre las tendencias marginales a consumir y a ahorrar, si el ingreso nacional es I = 16 mil millones.
Ejemplo
El ahorro S de un país (en miles de millones de dólares) estárelacionado con el ingreso nacional I (en miles de millones de dólares)por la ecuación
a. Demuestre que la propensión marginal al consumo en función del ingreso es
b. Al millón más cercano, ¿cuál es el ingreso nacional cuando la propensión
marginal al ahorro es de 1 ?
Ejemplo
Productividad) La productividad laboral unitaria P (producción porhora de trabajo) es una función del capital invertido K en planta ymaquinaria. Suponga que P = 0.5K2 +K+ 5, donde K está medido enmillones de dólares y P en dólares por hora de trabajo. Si K es 10 y estácreciendo a razón de 2 por año, ¿con qué rapidez está creciendo P?
