Matemáticas IIFís. Edgar I. Sánchez Rangel Curso de Cálculo Tema: Cálculo Diferencial...

Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel

Curso de Cálculo

Tema: Cálculo Diferencial

Derivadas


Definición de Derivada

•La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

•La definición de derivada es la siguiente:

x

xfxxfxf

x

0lim)´(


Primeros ejemplos

Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.

xxf 3)(

3)´( xf

3)(

3xxf

512

)( x

xf

26)( xxf

2xdx

dy

xdx

dy2

5

2

dx

dy


Sea la función:

La derivada de esta función es:

Regla para encontrar derivadas

)´(xf

)x(f c x n

1n

)´(xf 1ncnx


Sea la función:


Derivadas Especiales

)´(xf

)x(f c x 1

11

)´(xf 0cx

cxf )´(


Sea la función:

Derivadas Especiales

0)´( xf

cxf )(



Sea la función:


Ejemplos de Derivadas

)´(xf

)x(f 5 x 3

13

)´(xf 215x


Sea la función:



)´(xf

)x(f 3 x 4

14

)´(xf 312x


Sea la función:



)´(xf

)x(f 32 x

51

15

1

)´(xf 5

4

152

x


Derivada de una suma y diferencia de funciones

)()()( xhxgxf

Sea la función:

)´()´()´( xhxgxf

La derivada de la suma o diferencia es:


Ejemplos

675)( 2 xxxf

Sean las funciones:

710)´( xxf

1651034)( 256 xxxxxf

5201524)´( 45 xxxxf


Ejercicios Propuestos

42

1

43

8)( xxxf

Deriva las siguientes funciones:

52

1

)4(4

3

2

1)8()´(

xxxf

xxxf 103)( 4

xxxf

512)´(

5

5

34xxdx

df


Derivada de un producto de funciones

Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

)()()( xhxgxf

)´()()()´()´( xhxgxhxgxf


EjemploConsideremos el siguiente producto de funciones

)413)(58()( 22 xxxxf

Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4

y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

)26)(58()413)(516( 22 xxxxxdxdf

2323 130208206564208 xxxxx 2064195416 23 xxx

)´()()()´()´( xhxgxhxgxf


Ejercicios propuestos

Resuelve el producto de funciones:

)3)(4()( 2xxxf

)2)(4()3)(1( 2 xxxdxdf

22 283 xxx

383 2 xx


Deriva este otro producto de funciones:

)2)(3()( 2132 xxxxxf

)4)(3()2)(36( 232214 xxxxxxxxdxdf

253253 412363126 xxxxxx

34224 523 xxx

Ejercicios propuestos


Derivada de un producto de varios factores

Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso

debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir

)()()()( xhxgxexf

dx

dhxgxexh

dx

dgxexhxg

dx

dexf )()()()()()()´(

su derivada será:


Ejemplo

Derivemos la siguiente expresión:

)5)(2)(3()( xxxxf

)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( xxxxxxdxdf

)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx

)236()32)(5( 2xxxxxx

)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx

31203 2 xx


Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.

)x(h)x(g

)x(f

2)()´()()()´(

)´(xh

xhxgxhxgxf


EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2354

)(xx

xf

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

223

)3)(54()23)(4(

x

xxdxdf

2)()´()()()´(

)´(xh

xhxgxhxgxf


Ejemplo

223

)1512(812

x

xxdxdf

223

23

x

Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.


Ejercicio propuesto

Sea

11168

)(2

xxx

xf

2

2

)1()1)(1168()1)(616(

xxxxx

dxdf

2

22

)1(

1168661616

x

xxxxx

2

2

)1(

5168

x

xx


Ejercicio propuesto

Sea

11

)( 3

3

xx

xf

23

2332

)1()3)(1()1(3

xxxxx

dxdf

23

2525

)1(3333

xxxxx

23

2

)1(6

xx


Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta

función.

nxhxf )()(

)´()()´( 1 xhxhnxf n


EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2)45()( xxf

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena

tenemos que

)5)(45(2 xdxdf

)45(10 x

4050 x

)´()()´( 1 xhxhnxf n


Ejemplo

Sea367)( 2 xxxf

61436721

2

12

xxx

dxdf

21

2 367

37

xx

x

367

372

xx

x

La función puede escribirse también de la siguiente forma:

21

2 367)( xxxf

y

367)( 2 xxxf

21

2 367)( xxxf


Ejemplo

Sea

23

2

)6(63

)(xx

xxf

223

232232

1

23

2

)6(

)63)(6(2)63()6)(6()6(63

21

xx

xxxxxxxxx

xdxdf

43

22332

1

2

23

)6()63()6(6)6(

63)6(

21

xxxxxxxx

xxx

43

24243

2

23

)6()36369(366)6(

63)6(

21

xxxxxxxx

xxx


Ejemplo

43

24243

2

3

)6()36369366)(6(

63

)6(21

xxxxxxxx

x

xx

43

423

2 )6()363()6(

63

121

xxxxx

x

23

4

2 )6(363

63

121

xxx

x

63)6(

36321

223

4

xxx

x

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