Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en...

31
Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior Derivadas parciales y direccionales

Transcript of Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en...

Page 1: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales y direccionales

Page 2: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

1 Derivadas parciales

2 Derivadas direccionales

3 Derivadas parciales de orden superior

Page 3: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales (de campos escalares de dosvariables)

Sea A = [a1, b1]× [a2, b2] un rectangulo de R2, es decir,

[a1, b1]× [a2, b2] ={

(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}

y sea f una funcionf : A ⊆ R2 −→ R

Sea (x0, y0) un punto perteneciente a (a1, b1)× (a2, b2) (es decir, al interior

de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1

variable:

Fijado y0 ∈ [a2, b2], podemos definir la funcion

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).

Fijado x0 ∈ [a1, b1], podemos definir la funcion

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).

Page 4: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales (de campos escalares de dosvariables)

Sea A = [a1, b1]× [a2, b2] un rectangulo de R2, es decir,

[a1, b1]× [a2, b2] ={

(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}

y sea f una funcionf : A ⊆ R2 −→ R

Sea (x0, y0) un punto perteneciente a (a1, b1)× (a2, b2) (es decir, al interior

de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1

variable:

Fijado y0 ∈ [a2, b2], podemos definir la funcion

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).

Fijado x0 ∈ [a1, b1], podemos definir la funcion

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).

Page 5: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales (de campos escalares de dosvariables)

Sea A = [a1, b1]× [a2, b2] un rectangulo de R2, es decir,

[a1, b1]× [a2, b2] ={

(x , y) ∈ R2 : x ∈ [a1, b1], y ∈ [a2, b2]}

y sea f una funcionf : A ⊆ R2 −→ R

Sea (x0, y0) un punto perteneciente a (a1, b1)× (a2, b2) (es decir, al interior

de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1

variable:

Fijado y0 ∈ [a2, b2], podemos definir la funcion

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0).

Fijado x0 ∈ [a1, b1], podemos definir la funcion

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y).

Page 6: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

Page 7: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

f1/3(x) = 5− x2 − 3(1/3)2

Page 8: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

f−2(y) = 5− (−2)2 − 3y2

Page 9: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

Page 10: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivada parcial respecto de x

fy0 : [a1, b1] −→ R, fy0(x) = f (x , y0)

es una funcion de una variable (la x). Si fy0 es diferenciable enel punto x0 ∈ (a1, b1), es decir, si existe el

lımh→0

fy0(x0 + h)− fy0(x0)

h= lım

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

a ese lımite lo llamamos Derivada Parcial Primera de primerorden de f en (x0, y0) o Derivada Parcial respecto de x de f en(x0, y0), y se representa por D1f (x0, y0) o bien en notacionclasica por ∂f

∂x (x0, y0).

Page 11: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivada parcial respecto de x

fx0 : [a2, b2] −→ R, fx0(y) = f (x0, y),

que es una funcion real de una variable real (la y ). Si fx0 esdiferenciable en el punto y0 ∈ (a2, b2), es decir, si existe el

lımh→0

fx0(y0 + h)− fx0(y0)

h= lım

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

a ese lımite lo llamamos Derivada Parcial Segunda de primerorden de f en (x0, y0) o Derivada Parcial respecto de y de f en(x0, y0) , y se representa por D2f (x0, y0) o bien, en notacionclasica, por ∂f

∂y (x0, y0).

Page 12: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

∂f∂x

(x , y) = −2x

∂f∂x

(−2, 1/3) = −2(−2) = 4

Page 13: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo: f (x , y) = 5− x2 − 3y2, P = (−2, 1/3, 2/3)

∂f∂y

(x , y) = −6y

∂f∂y

(−2, 1/3) = −6(1/3) = −2

Page 14: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo

Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces sus derivadas parciales enun punto (x , y) ∈ R2 son:

∂f∂x

(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x

∂f∂y

(x , y) = 2x cos(x2 + y2)2y

Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .

Page 15: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Ejemplo

Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces sus derivadas parciales enun punto (x , y) ∈ R2 son:

∂f∂x

(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x

∂f∂y

(x , y) = 2x cos(x2 + y2)2y

Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .

Page 16: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Generalizaci on

En general, para funciones con n variables, f (x1, x2, . . . , xn), sedefine su derivada parcial k-esima en el punto (x1, x2, . . . , xn),que denotamos por Dk f (x1, x2, . . . , xn) o bien por∂f∂xk

(x1, x2, . . . , xn) al lımite

lımh→0

f (x1, . . . , xk + h, . . . , xn)− f (x1, x2, . . . , xn)

h

Page 17: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

1 Derivadas parciales

2 Derivadas direccionales

3 Derivadas parciales de orden superior

Page 18: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivada direccional

La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficiedefinida por f en la direccion dada por v es

Dv f (x0, y0) = lımh→0

f ((x0, y0) + h(v1, v2))− f (x0, y0)

h

o bien

Dv f (x0, y0) = lımh→0

f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)

h

y se llama derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladireccion dada por v .

Observacion:

D(1,0)f (x0, y0) =∂f∂x

(x0, y0)

D(0,1)f (x0, y0) =∂f∂y

(x0, y0)

Page 19: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivada direccional

La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficiedefinida por f en la direccion dada por v es

Dv f (x0, y0) = lımh→0

f ((x0, y0) + h(v1, v2))− f (x0, y0)

h

o bien

Dv f (x0, y0) = lımh→0

f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)

h

y se llama derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladireccion dada por v .

Observacion:

D(1,0)f (x0, y0) =∂f∂x

(x0, y0)

D(0,1)f (x0, y0) =∂f∂y

(x0, y0)

Page 20: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Casos

Dada una funcion f : A ⊆ R2 −→ R y un punto (x0, y0) interiorde su dominio A puede ocurrir,

(a) que no existan las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones (ejemplo: cono) o

(b) que sı existan las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones.

En este segundo caso, puede ocurrir,

(b.1) que no esten todas las rectas tangentes en unmismo plano (superficies regladas), o

(b.2) que sı esten todas las rectas tangentes en unmismo plano.

Page 21: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Caso (a)

Page 22: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Caso (b.1): esculturas de Alfaro

Page 23: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Caso (b.2)

Page 24: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Plano tangente

En el ultimo caso (existen las rectas tangentes en TODAS lasdirecciones y estan todas en un mismo plano), a este plano sele llama plano tangente a f en el punto (x0, y0), y puede verseque su ecuacion es

z = f (x0, y0) + D1f (x0, y0)(x − x0) + D2f (x0, y0)(y − y0)

Page 25: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas direccionales y continuidad

La existencia de las derivadas parciales en un punto o, masaun, de todas las derivadas direccionales, no implica lacontinuidad de la funcion en ese punto.

Ejemplo: f (x , y) = xy2

x2+y4 si (x , y) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0. Existentodas las derivadas direccionales en (0, 0) pero no es continua.

Page 26: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

1 Derivadas parciales

2 Derivadas direccionales

3 Derivadas parciales de orden superior

Page 27: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior

Si f (x) = 2x sen(x2 + y2), entonces su derivada parcialprimera en cada (x , y) es

∂f∂x

(x , y) = 2 sen(x2 + y2) + 2x cos(x2 + y2)2x

que es tambien una funcion de dos variables y tiene derivadasparciales que son derivadas parciales de f de segundo orden:

∂2f∂x2 (x , y) = 12x cos(x2 + y2)− 8x3 sen(x2 + y2)

∂2f∂y∂x

(x , y) = 4y cos(x2 + y2)− 8x2y sen(x2 + y2)

Page 28: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior

Del mismo modo, como

∂f∂y

(x , y) = 4xy cos(x2 + y2)2x

sus derivadas parciales son

∂2f∂x∂y

(x , y) = 4y cos(x2 + y2)− 8x2y sen(x2 + y2)

∂2f∂y2 (x , y) = 4x cos(x2 + y2)− 8xy2 sen(x2 + y2)

Page 29: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Derivadas parciales de orden superior

En general, se definen las 4 derivadas parciales de f desegundo orden como:

∂2f∂x2

(x , y) =∂

∂x

(∂f∂x

)(x , y) o bien D11f (x , y) = D1 (D1f ) (x , y)

∂2f∂y2

(x , y) =∂

∂y

(∂f∂y

)(x , y) o bien D22f (x , y) = D2 (D2f ) (x , y)

∂2f∂y∂x

(x , y) =∂

∂y

(∂f∂x

)(x , y) o bien D12f (x , y) = D2 (D1f ) (x , y)

∂2f∂x∂y

(x , y) =∂

∂x

(∂f∂y

)(x , y) o bien D21f (x , y) = D1 (D2f ) (x , y)

Page 30: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Teorema de Schwarz

Teorema

Si∂2f

∂y∂xes continua en un punto (x , y) y si

∂f∂y

existe en un

entorno de (x , y), entonces existe∂2f

∂x∂y(x , y) =

∂2f∂y∂x

(x , y)

Page 31: Derivadas parciales y direccionales - Francisco Monserrat · todas las derivadas direccionales en (0,0) pero no es continua. Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas

Derivadas parciales Derivadas direccionales Derivadas parciales de orden superior

Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de nvariables. Ası, por ejemplo, una funcion f (x1, x2, . . . , xn) tiene nderivadas parciales en cada punto (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, quedenotamos por

Dk f (x1, x2, . . . , xn) o por∂f∂xk

(x1, x2, . . . , xn), k = 1, 2, . . . , n

y tiene n2 derivadas parciales de segundo orden, quedenotamos por

Dij f (x1, x2, . . . , xn) o por∂2f

∂xj∂xi(x1, x2, . . . , xn), i , j = 1, 2, . . . , n

El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertascondiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden:

Dij f (x1, x2, . . . , xn) = Dji f (x1, x2, . . . , xn)

∂2f∂xj∂xi

(x1, x2, . . . , xn) =∂2f

∂xi∂xj(x1, x2, . . . , xn)