DERIVADAS PARCIALES Gráficas. DERIVADAS PARCIALES Curvas de Nivel.

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DERIVADAS PARCIALESGráficas

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DERIVADAS PARCIALESCurvas de Nivel

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[X Y] = meshgrid(-5:0.1:5,-5:0.1:5);Z = 4*X.^2+Y.^2;[c,h] = contour(Z); clabel(c,h), colorbar

DERIVADAS PARCIALES

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Funciones de tres o más variables

DERIVADAS PARCIALES

Una función lineal de n variables se puede escribir como:

En vista de la correspondencia uno a uno entre puntos (x1,x2,…,xn) en Rn y sus vectores de posición <x1,x2,…,xn> en Vn se tienen tres formas de ver una función en Rn:• Como una función de n variables reales x1,x2,…,xn.• Como una función de una sola variable puntual (x1,x2,…,xn) .• Como una función de una variable vectorial única x= <x1,x2,…,xn>.

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Para funciones de dos o más variables ver el límite de una función no es tan fácil, ya que se puede hacer que (x,y) tienda a (a,b) desde un número infinito de direcciones siempre que (x,y) permanezca dentro el dominio de f.

Si f(x,y)→L1 cuando (x,y) →(a,b) a lo largo de una trayectoria C1 y Si f(x,y)→L2 cuando (x,y) →(a,b) en la trayectoria C2, donde L1 ≠ L2, entonces no existe

LÍMITES

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Veamos el comportamiento numérico de las siguientes funciones:

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Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio D contiene, entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces, el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L, lo que se escribe

si para todo número ε > 0 hay un número correspondiente δ > 0 tal que

Si y entonces

Otras nomenclaturas son:

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Resolviendo el ejemplo 4: Demos ε > 0 y busquemos una δ tal que

si →

Si escogemos δ=ε/3 y hacemos que , entonces

Pero x2 ≤ x2+y2 ya que y2 ≥ 0, así que x2/(x2+y2) ≤ 1, y por lo tanto

Y por la definición de límite, tenemos

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CONTINUIDAD

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Definición: Una función f de dos variables es continua en (a,b) si

Decimos que f es continua en D si f es continua en cada punto (a,b) en D.

Usando algunas propiedades de los límites en una variable, se puede ver que la suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas son continuas en su dominio. En particular las siguientes ecuaciones son verdaderas y útiles:

Ejemplos: polinomios

funciones racionales

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Interpretación Geométrica de Derivadas Parciales

Gráficas del ejemplo 2

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Gráficas del ejemplo 2

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Gráficas del ejemplo 6

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Planos Tangentes

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Aproximaciones Lineales

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Función no diferenciable en (0,0)

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Diferenciales

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La regla de la Cadena

Caso I: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(t) y y = h(t) son ambas funciones diferenciables de t. Entonces z es una función diferenciable de t.

Caso II: Suponga que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y y, donde x = g(s,t) y y = h(s,t) son ambas funciones diferenciables de s y t. Entonces z es una función diferenciable de s y t.

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La regla de la Cadena: versión general

Suponga que u es una función diferenciable de las n variables x1, x2,…, xn y que cada xj es una función diferenciables delas m variables t1, t2,…,tm. Entonces u es una función diferenciable de t1, t2, …, tm.

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Derivación Implícita

Suponga una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y en forma implícita como una función diferenciable de x, es decir, y =f(x), donde F(x,f(x))=0 para toda x en el dominio de f. Si F es diferenciable se aplica la regla de la cadena a ambos lados y se obtiene:

Peros dx/dx = 1, de este modo si ∂F/ ∂y≠0 se obtiene

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En el caso de z =f(x,y), se tiene la ecuación F(x,y,z)=0. Esto quiere decir que F(x,y,f(x,y))=0 y la regla de la cadena para esta ecuación es

pero

entonces

Siempre que ∂F/∂z≠0

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Derivadas direccionales y su vector gradiente

Derivas parciales en la dirección en x y y.

Derivas parciales en la dirección de u.

h

hbyhaxfyxfD

hhbyhaxf

hzz

hz

hbyyhaxx

hbhahuQP

hu

00

000

000

00

,lim,

,

;

,''

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Maximización de la derivada direccional

Teorema: Suponga que f es una función diferenciable de dos o tres variables. El valor máximo de la derivada direccional Duf(x) es y se presenta cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente

)(xf)(xf

Demostración:

El valor máximo de cos θ es 1 y sucede cuando θ=0. Por lo tanto, el valor máximo de Duf(x) es y se presenta cuando θ=0, es decir cuando u tiene la misma dirección de .

)(xf

)(xf

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DERIVADAS PARCIALESPlanos tangentes a superficies de nivel

Suponga que S es una superficie cuya ecuación es F(x,y,z) = k, es decir una superficie de nivel de una función F de tres variables, y sea P(x0,y0,z0) un punto en S. Sea C una curva que queda en la superficie de S y pasa por el punto P. Recuerde que la curva C se describe mediante una función vectorial r(t) = <x(t),y(t),z(t)>. Sea t0 el valor del parámetro que corresponde a P; es decir r(t0) = <x0,y0,z0>. Puesto que C está en S, cualquier punto (x(t),y(t),z(t)) debe cumplir con la ecuación de S, es decir

Si x,y,z son funciones diferenciables de t y F es también diferenciable, entonces se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la anterior ecuación, dando:

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DERIVADAS PARCIALESPero como entonces se puede escribir

En particular, cuando t = t0 se tiene de modo que

Esta ecuación establece que el vector gradiente en P, es perpendicular al vector tangente a cualquier curva C en S que pasa por P. Sies por lo tanto natural definir el plano tangente a la superficie de nivelen como el plano que pasa por P y tiene vector normalPor lo que se puede escribir la ecuación del plano tangente

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La recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. La dirección de la recta normal está definida por lo tanto por el vector gradiente y por lo tanto sus ecuaciones simétricas son

En el caso especial en el cual la ecuación de la superficie S sea de la forma z =f(x,y); es decir , S es la gráfica de una función f de dos variables, puede volverse a escribir la ecuación como

y considerar a S como una superficie de nivel F con k = 0. Entonces

y su ecuación del plano sería

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Importancia del vector tangente

Considere una función de tres variables y un punto en su dominio:• El vector indica la dirección del incremento más rápido en f.• Se sabe que es ortogonal a la superficie de nivel S que pasa por P.

De manera similar para una función de dos variables y un punto :• El vector indica la dirección del incremento más rápido en f.• Se sabe que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por P.

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Campo de gradiente de la función

Curvas de nivel

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DERIVADAS PARCIALESValores máximos y mínimos

Una función de dos variables tiene un máximo relativo en (a,b) si f(x,y) ≤ f(a,b) cuando (x,y) está cerca de (a,b). El número f(a,b) recibe el nombre de valor máximo relativo. Si f(x,y) ≥ f(a,b) cuando (x,y) está cerac de (a,b), entonces f(a,b) es un mínimo relativo en (a,b) y f(a,b) es un valor mínimo relativo.

Teorema: Si f tiene un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) y las derivadas parciales de primer orden existen allí, entonces fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0.

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DERIVADAS PARCIALESValores máximos y mínimos

Prueba de la segunda derivada. Suponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco de centro (a,b), y suponga que fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0, es decir f(a,b) es un punto crítico de f. Sea

a. Si D > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) es un mínimo relativo.b. Si D > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) es un máximo relativo.c. Si D < 0, entonces f(a,b) no es ni un máximo relativo ni un

mínimo relativo.

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Nota 1: En el caso de c) el punto (a,b) se llama punto de silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (a,b).Nota 2: Si D = 0, la prueba no proporciona información: f podría tener en (a,b) un máximo relativo o un mínimo relativo o podría ser un punto de silla.Nota 3: Para recordar la fórmula de D es útil escribirla como como un determinante

2xyyyxxyyyx

xyxxfff

ff

ffD

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2

22

2

22

22

)(2212

)(2212

)(212

)(212

12)(2

1222),,(

),,(

yxyxyx

Vy

yxxxyy

Vx

yxyxxy

V

yxxy

z

yxzxy

yzxzxyzyxg

xyzVzyxf

4122

2;20312

0212

0212

0212

0212

2

22

2

2

22

22

V

yxx

yxyx

yxy

xxy

yxyx

xxyy

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DERIVADAS PARCIALESValores máximos y mínimos absolutos

Un conjunto cerrado en R2 es aquel que contiene todos los puntos límite o frontera. (Un punto límite de D es un punto (a,b) tal que todo disco centrado en (a,b) contiene puntos en D y también puntos que no están en D).Un conjunto acotado en R2 es aquel que está contenido dentro de un disco. En otras palabras su extensión es finita.

Teorema del valor extremo para funciones de dos variables. Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R2, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(x1,y1) y un valor mínimo absoluto f(x2,y2) en algunos punto (x1,y1) y (x2,y2).

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Para encontrar los máximos y mínimos absolutos de una función continua f en un conjunto D cerrado y acotado:1. Encontrar los valores críticos de f en D.2. Encontrar los valores extremos de f en los límites de D.3. El valor más grande de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto;

el más pequeño de estos valores es el mínimo absoluto.

Revisar prueba del teorema de la prueba de la segunda derivada

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Para calcular los valores extremos de f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=k, es decir, buscar los valores extremos de f(x,y) cuando el punto (x,y) está restringido a quedar en la curva de nivel g(x,y) = k. Lo anterior sucede cuando las curvas de nivel se tocan, es decir cuando tienen una recta tangente común en el punto (x0,y0), lo que representa que las rectas normales en el punto (x0,y0) son paralelas :

para un escalar λ.

Multiplicadores de Lagrange

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Revisar multiplicadores de Lagrange para dos restricciones.

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Método de los multiplicadores de Lagrange: Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z) = k [suponiendo que estos valores existan y que se encuentra en la superficie g(x,y,z) = k]:a) Determinar los valores de x,y,z y λ tal que

b) Evalúe f en todos los punto (x,y,z) que resulten de a). El más grande de estos valores es el valor máximo de f; el más pequeño es el valor mínimo de f.

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1222

xyyzxz

xyzV

Maximizar V (f(x,y,z)) sujeto a la restricción 2xz+2yz+xy=12 (g(x,y,z)=k).

Se tienen 4 ecuaciones con 4 incógnitas: x, y, z, λ.

kzyxggVgVgV

gggVVV

gV

zzyyxx

zyxzyx

,,;;;

,,,,

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Dos restricciones