Lecci on 11: Derivadas parciales y direccionales. Gradiente · PDF fileC alculo de las...

Leccion 11: Derivadas parciales y direccionales.

Gradiente

Introduccion al Calculo Infinitesimal

I.T.I. Gestion

Recordar:

- Calculo de lımites

- Reglas de derivacion

Derivadas parciales

f : R2 → R funcion de dos variables, (x0, y0) ∈ R2

• La derivada parcial de f respecto de x en el punto (x0, y0)

viene dada por

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h∈ R

Derivadas parciales



viene dada por

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h∈ R

• La derivada parcial de f respecto de y en el punto (x0, y0)

viene dada por

∂f

∂y(x0, y0) = lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h∈ R

Derivadas parciales



viene dada por

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h∈ R

• La derivada parcial de f respecto de y en el punto (x0, y0)

viene dada por

∂f

∂y(x0, y0) = lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h∈ R

• Alguna de ellas podrıa no existir (±∞)

Derivadas parciales

Ejemplos:

1. f (x, y) = 3xy + xy2, (x0, y0) = (1, 1)

∂f

∂x(1, 1) = 4,

∂f

∂y(1, 1) = 5

Derivadas parciales

Ejemplos:

1. f (x, y) = 3xy + xy2, (x0, y0) = (1, 1)

∂f

∂x(1, 1) = 4,

∂f

∂y(1, 1) = 5

2. f (x, y) = ex+y2 − x, (x0, y0) = (0, 1)

∂f

∂x(0, 1) = e− 1,

∂f

∂y(0, 1) = 2e

Derivadas parciales

f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2

Idea general:

∂f

∂x(x0, y0)→ mantenemos fija la variable y, y derivamos

respecto la variable x

∂f

∂y(x0, y0)→ mantenemos fija la variable x, y derivamos

respecto la variable y

Derivadas parciales

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2

Interpretacion geometrica:

∂f

∂x(a, b) coincide la pendiente de la recta tangente

a cierta curva C1 en la superficie {z = f (x, y)}

C1 ≡ Interseccion de {z = f (x, y)} con el plano {y = b}(pasa por (a, b, f (a, b)))

- Notese que la curva C1 surge de mantener la variable y

constantemente igual a b, mientras que la variable x

se mueve en un entorno de a

Derivadas parciales

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2


∂f

∂x(a, b) ≡ Pendiente de T1, recta tangente a C1 en (a, b, f (a, b))

Derivadas parciales

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2


∂f

∂y(a, b) coincide la pendiente de la recta tangente

a cierta curva C2 en la superficie {z = f (x, y)}

C1 ≡ Interseccion de {z = f (x, y)} con el plano {x = a}(pasa por (a, b, f (a, b)))

- Igualmente, la curva C2 surge de mantener la variable x

constantemente igual a a, mientras que la variable y

se mueve en un entorno de b

Derivadas parciales

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2


∂f

∂y(a, b) ≡ Pendiente de T2, recta tangente a C2 en (a, b, f (a, b))

- archivo derivadasparciales.mws de Maple

Calculo de las derivadas parciales

f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2

- Si f esta definida globalmente→ Reglas habituales de derivacion,

considerando una variable como constante, y derivando

respecto la otra variable

Calculo de las derivadas parciales

f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2

- Si f esta definida globalmente→ Reglas habituales de derivacion,

considerando una variable como constante, y derivando

respecto la otra variable

- Si f es una funcion definida a trozos → En los puntos

particulares, hay que recurrir a la definicion

Ejemplos:

1. f (x, y) = (x2 + y)ecos(2xy)

2. f (x, y) = Ln(x2 + y3) + sin(xey)

3. f (x, y) =x2 + y3 + 2xy

exy2

4. f (x, y) =ex − e2y

x3 + 3xy2

5. f (x, y) =Ln(sin(xy

2))

x2 ex2+2y4

6. f (x, y) =

3x2y − 2x3

x2 + y4, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Ejemplos:

7. f (x, y) =

e4x2

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

1, (x, y) = (0, 0)

8. f (x, y) =

x22y + x2

Ln(x2 + y2 + 1), (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

9. f (x, y) =

y − xy + x2

3x4 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Derivadas direccionales


Sea u = (u1, u2) ∈ R2 direccion unitaria (√u21 + u22 = 1)

• La derivada direccional de f en (x0, y0), segun la direccion u

viene dada por

D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0

f((x0, y0) + h(u1, u2)

)− f (x0, y0)

h

= limh→0

f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)

h∈ R





viene dada por

D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0

f((x0, y0) + h(u1, u2)

)− f (x0, y0)

h

= limh→0

f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)

h∈ R

- Puede no existir para alguna direccion u ∈ R2 (±∞)





viene dada por

D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0

f((x0, y0) + h(u1, u2)

)− f (x0, y0)

h

= limh→0

f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)

h∈ R

- Las derivadas parciales → caso particular

(u = (1, 0) o u = (0, 1))





viene dada por

D(u1,u2)f (x0, y0) = limh→0

f((x0, y0) + h(u1, u2)

)− f (x0, y0)

h

= limh→0

f (x0 + hu1, y0 + hu2)− f (x0, y0)

h∈ R

- Para cada punto (x0, y0) y cada direccion (u1, u2), tendremos

una derivada direccional


Ejemplos:

1. f (x, y) = 3xy + xy2, (x0, y0) = (1, 1)

u =

(1√2,1√2

), Duf (1, 1) =

9√2

u =

(1√10,

3√10

), Duf (1, 1) =

19√10

2. f (x, y) = ex2y, (x0, y0) = (1, 3)

u =

(1√2,1√2

), Duf (1, 3) =

7e3√2


f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 unitario


Duf (a, b) coincide la pendiente de la recta tangente

a cierta curva T en la superficie {z = f (x, y)}

T ≡ Interseccion de {z = f (x, y)} con el plano vertical P

determinado por la direccion u = (u1, u2), y que pasa

por (x0, y0, f (x0, y0))

Nota: P = {(x, y, z) ∈ R3 : u2x− u1y = c}, con c ∈ R


f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 unitario


Duf (x0, y0) ≡ Pendiente de la recta tangente a T en (x0, y0, f (x0, y0))

- archivo derivadasdireccionales.mws de Maple


f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 direccion

- Si u no es unitario, se considerara el correspondiente

vector unitariou

||u||∈ R2, que determina la misma direccion


f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2, u ∈ R2 direccion

- Si u no es unitario, se considerara el correspondiente

vector unitariou

||u||∈ R2, que determina la misma direccion

- Para que la interpretacion geometrica anterior se verifique,

tenemos que tomar siempre direcciones unitarias al calcular

las derivadas direccionales

Gradiente

f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2

• El gradiente de f en el punto (x0, y0) se define como

∇f (x0, y0) =(∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)

)

Gradiente

f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2

• El gradiente de f en el punto (x0, y0) se define como

∇f (x0, y0) =(∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)

)

- Si alguna derivada parcial no existe en (x0, y0) ⇒⇒ No existe el gradiente de f en (x0, y0)

- Para cada punto de R2, el gradiente cambia

- Interesantes propiedades cuando f es diferenciable

Gradiente

Ejemplo:

f (x, y) = 3xexy + Ln(x2 + y2 + 1)

∇f (0, 0) = (3, 0)

∇f (1, 0) = (6 + Ln(2), 3)

∇f (1, 1) = (6e + 23, 3e +

23)

Calculo de las derivadas direccionales cuando f es diferenciable

f : R2 → R diferenciable en (x0, y0) ∈ R2

u = (u1, u2) ∈ R2 direccion unitaria

Se vera que, en esta situacion,

Duf (x,y0) = 〈∇f (x0, y0), (u1, u2)〉

Ejercicios:

Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1. f (x, y) = x2y − xy3

2. f (x, y) = x2 − y

3. f (x, y) = x3y + exy2

4. f (x, y) = xyex − 2x2ey

5. f (x, y) =

y3

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Ejercicios:

Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones:

6. f (x, y) =

x−y2x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

7. f (x, y) =

x2

x2+y2si (x, y) 6= (0, 0),

0 si (x, y) = (0, 0).

Lecci on 11: Derivadas parciales y direccionales. Gradiente · PDF fileC alculo de las...

Documents

Transcript of Lecci on 11: Derivadas parciales y direccionales. Gradiente · PDF fileC alculo de las...