Ecuación en Derivadas Parciales

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  • 7/23/2019 Ecuacin en Derivadas Parciales

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    Ecuacin en derivadas parcialesEn matemticasuna ecuacin en derivadas parciales(a veces abreviadocomo EDP) es aquella cuyas incgnitas son funciones de diversas variables,con la peculiaridad de que en dicha ecuacin figuran no solo las propiasfunciones sino tambin sus derivadas. Tienen que eistir funciones de por lomenos dos variables.!" bien una ecuacin que involucre una funcinmatemtica de variasvariables independientes y las derivadasparcialesde respecto de esas variables. #as ecuaciones en derivadasparciales se emplean en la formulacin matemtica de procesos de la f$sica yotras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo.%roblemas t$picos son la propagacin del sonidoo del calor, la electrosttica,la electrodinmica, la dinmica de fluidos, laelasticidad, la mecnica cunticaymuchos otros. &e las conoce tambin como ecuaciones diferenciales parciales

    %articiparon, al inicio, en su estudio los franceses 'alambert, ourier,matemticos de la poca napolenica.

    lein elstica de una placa circular empotrada en su contorno ba*o la accin de una carga

    vertical distribuida uniformemente, que es solucin de la ecuacin de #agrange de placas, la

    solucin mostrada fue obtenida numricamente mediante+nsys.

    https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sonidohttps://es.wikipedia.org/wiki/Calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Electrost%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Electrodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_de_fluidoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_placas_y_l%C3%A1minas#Ecuaci.C3.B3n_de_Lagrange_para_placas_delgadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Ansyshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#cite_note-1https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sonidohttps://es.wikipedia.org/wiki/Calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Electrost%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Electrodin%C3%A1micahttps://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_de_fluidoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Elasticidad_(mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos)https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1nticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_placas_y_l%C3%A1minas#Ecuaci.C3.B3n_de_Lagrange_para_placas_delgadashttps://es.wikipedia.org/wiki/Ansyshttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
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    ariacin del perfil de temperaturas solucin de la ecuacin del caloren un problema bidimensional.

    Introduccin

    -na ecuacin diferencial en derivadas parciales (E'%) para la

    funcin tiene la siguiente forma

    donde es una funcin linealde y sus derivadas si

    &i es una funcin linealde y sus derivadas, entonces la E'% es lineal.

    E*emplos comunes de E'%s son la ecuacin del calor, la ecuacin de

    onday la ecuacin de #aplace. -na ecuacin diferencial en derivadasparciales simple puede ser

    donde ues una funcin dexe y. Esta relacin implica que los valores

    de u(x, y) son completamente independientes dex. %or lo tanto

    la solucin generalde esta ecuacin diferenciales

    donde fes una funcin arbitraria de y. #a ecuacin diferencial

    ordinaria(&imilar a la E'%, pero con funciones de una variable) anloga

    es

    https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplacehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Soluci%C3%B3n_general&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplacehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Soluci%C3%B3n_general&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria
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    que tiene la siguiente solucin

    'onde ces cualquier valor constante(independiente dex). Estos dos

    e*emplos ilustran que las soluciones generales de las ecuaciones

    diferenciales ordinarias se mantienen con constantes, pero las solucione

    de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales generan funcione

    arbitrarias. -na solucin de una ecuacin en derivadas parciales

    generalmente no es /nica0 de tal forma que se tienen que proporcionar

    condiciones adicionales de contornocapaces de definir la solucin deforma /nica. %or e*emplo, en el caso sencillo anterior, la funcin

    puede determinarse si se especifica sobre la l$nea .

    Notacin y ejemplos

    En las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales es muy com/n denotar

    las derivadas parcialesempleando sub1$ndices (2otacin tensorial). Esto es

    Especialmente en la f$sica matemtica, se suele preferir el operador nabla(que

    en coordenadas cartesianas se escribe como para

    las derivadasespaciales y un punto ( ) para las derivadas que involucran el

    tiempo, por e*emplo para escribir la Ecuacin de onda(vase ms aba*o) como

    (notacin matemtica)

    (notacin f$sica)

    Solucin general y solucin completa

    Toda ecuacin diferencial en derivadas parciales de primer orden posee una

    solucin dependiente de una funcin arbitraria, que se denomina usualmente

    https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Unicidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_contornohttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Unicidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_de_contornohttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcialhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_nablahttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_onda
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    solucin general de la E'%. En muchas aplicaciones f$sicas esta solucin

    general es menos importante que las llamadas soluciones completas, que

    frecuentemente pueden obtenerse por el mtodo de separacin de variables.

    -na solucin completa es una solucin particular de la E'% que contienetantas constantes arbitrarias independientes como variables independientes

    intervienen en la ecuacin. %or e*emplo la integracin de las ecuaciones del

    movimiento de un sistema mecnico mediante el mtodo basado en laecuacin

    de 3amilton14acobirequiere una integral completa, mientras que la solucin

    general resulta menos interesante desde el punto de vista f$sico.

    Existencia y unicidad

    +unque el asunto de la eistencia y unicidad de las soluciones de

    las ecuaciones diferenciales ordinariastiene una respuesta muy satisfactoria

    resumida en el teorema de %icard1#indel5f, el mismo asunto para las

    ecuaciones en derivadas parciales est le*os de estar satisfactoriamente

    resuelto. +unque eiste un teorema general, el teorema de 6auchy1

    7ovalevs8aya, que afirma que para una E'%, que es anal$ticaen la funcin

    incgnita y sus derivadas, tiene una /nica solucin anal$tica. +unque esteresultado que parece establecer la eistencia y unicidad de la soluciones,

    aparecen e*emplos de E'% deprimer ordencuyos coeficientes tienen derivadas

    de cualquier orden (aunque sin ser anal$ticas) pero que no tienen

    solucin.9:ncluso si la solucin de una E'% eiste y es /nica, sta puede tener

    propiedades indeseables.

    -n e*emplo de comportamiento patolgico es la secuencia de problemas de

    6auchydependientes del parmetro npara la ecuacin de #aplace

    con condiciones iniciales

    https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Hamilton-Jacobihttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Hamilton-Jacobihttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6fhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Cauchy-Kovalevskaya&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Cauchy-Kovalevskaya&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Orden_de_la_ecuaci.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#cite_note-2https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplacehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Condici%C3%B3n_inicial&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_separaci%C3%B3n_de_variableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Hamilton-Jacobihttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Hamilton-Jacobihttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Picard-Lindel%C3%B6fhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Cauchy-Kovalevskaya&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Cauchy-Kovalevskaya&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_anal%C3%ADticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial#Orden_de_la_ecuaci.C3.B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#cite_note-2https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Laplacehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Condici%C3%B3n_inicial&action=edit&redlink=1
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    'onde nes un entero. #a derivada de ucon respecto a yse aproima a

    ; uniformementeenxa medida que nse incrementa, pero la solucin es

    Esta solucin se aproima a infinito si nxno es un entero m/ltiplo de < para

    cualquier valor de y. El problema de 6auchy para la ecuacin de #aplace sedenomina mal propuestoo mal definido, puesto que la solucin no depende

    continuamente de los datos del problema. Estos problemas mal definidos no

    son usualmente satisfactorios para las aplicaciones f$sicas.

    Clasificacin de las EDP de segundo orden

    #as E'% de segundo orden se clasifican habitualmente dentro de cuatro tipos

    de E'% que son de inters fundamental, a continuacin se dan e*emplos deestos cuatro tipos

    Ecuacin Nombre Tipo

    Laplace Elptica

    Onda Hiperblica

    Difusin Parablicas

    https://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_uniformehttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_bien_definidohttps://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia_uniformehttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_bien_definido
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    Helmholtz Elptica

    6on mayor generalidad, si se tiene una ecuacin de segundo orden del tipo

    (=)

    6on estos coeficientes se monta la siguiente matri>

    En funcin del determinantela ecuacin (=)

    se dice que es elpticasi la matri> Ztiene un determinante

    mayor a ;.

    se dice que esparablicasi la matri> Ztiene un determinante

    igual a ;.

    se dice que es hiperblicasi la matri> Ztiene un determinante

    menor a ;.

    2ombres de ob*etos de la geometr$a anal$tica y se llaman cnicas.

    EDP de orden superior

    &i bien las E'% de segundo orden se aplican a una inmensa cantidad de

    fenmenos f$sicos0 otra cantidad menor de procesos f$sicos hallan solucin en

    E'% de rdenes superiores, como e*emplos podemos citar

    lein mecnicade una placaelstica

    ibracinfleional de una viga

    https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#Eqnref_.2Ahttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#Equation_.2Ahttps://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_placas_y_l%C3%A1minashttps://es.wikipedia.org/wiki/Vibraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#Eqnref_.2Ahttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parciales#Equation_.2Ahttps://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_mec%C3%A1nicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_placas_y_l%C3%A1minashttps://es.wikipedia.org/wiki/Vibraci%C3%B3n
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    Ecuacin de 7orte?eg1de ries, que tiene soluciones de tipo solitn,

    Ecuacin parablica en derivadas parciales

    -na ecuacin parablica en derivadas parcialeses una ecuacin diferenciaparcialde segundo orden del tipo

    en la cual la matri> tiene un determinanteigual a ;.

    +lgunos e*emplo de ecuaciones diferenciales parciales parablicas sonla ecuacin de &chr5dingery la ecuacin del calor.

    Ecuacin hiperblica en derivadas parciales

    -na ecuacin hiperblica en derivadas parcialeses una ecuacin

    diferencial en derivadas parcialesde segundo orden del tipo

    en la cual la matri>

    cuyos coeficientes pueden ser constantes o funciones continuas en las

    variables (x,y), tiene un determinantenegativo.

    https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Korteweg-de_Vrieshttps://es.wikipedia.org/wiki/Solit%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dingerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Korteweg-de_Vrieshttps://es.wikipedia.org/wiki/Solit%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dingerhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
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    -n e*emplo de una ecuacin diferencial en derivadas parciales parciales

    hiperblica es la ecuacin de ondas

    Ecuacin elptica en derivadas parciales-na ecuacin elptica en derivadas parciales de segundo ordenesuna ecuacin diferencial parcialdel tipo

    las ecuaciones el$pticas se diferencian de las parablicas e hiperblicas enque stas /ltimas son ecuaciones de evolucin y hay un parmetro que sepuede identificar como tiempo, mientras que en las el$pticas no. +s$ pore*emplo, la ecuacin de &ch5dinger independiente del tiempo es el$pticamientras que la dependiente del tiempo es parablica.

    Diferencia finita

    -na diferencia finitaes una epresin matemtica de la forma f(x@ b)A f(x@a). &i una diferencia finita se divide por bA ase obtiene una epresin

    similar al cocientediferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas

    en lugar de infinitesimales. #a aproimacin de las derivadas por diferencias

    finitas desempeBa un papel central en los mtodos de diferencias

    finitasdel anlisis numricopara la resolucin de ecuaciones diferenciales.

    https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Cocientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_diferencias_finitashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_diferencias_finitashttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferencialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_ondahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_en_derivadas_parcialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Cocientehttps://es.wikipedia.org/wiki/Derivaci%C3%B3n_num%C3%A9ricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalhttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_diferencias_finitashttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_diferencias_finitashttps://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales
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    Diferencias finitas centradas y laterales

    'iferencias finitas.

    &lo se consideran normalmente tres formas la anterior, la posterior y la

    central.

    -na diferencia progresiva, adelantadao posteriores una epresin de la

    forma

    'ependiendo de la aplicacin, el espaciado hse mantiene constante o setoma el l$mite hC ;.

    -na diferencia regresiva, atrasadao anteriores de la forma

    inalmente, la diferencia centrales la media de las diferencias

    anteriores y posteriores. iene dada por

    Relacin con las derivadas

    #a derivadade la funcin fen un puntoxest definida por el l$mite

    https://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_(matem%C3%A1tica)
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    &i htiene un valor fi*ado no nulo, en lugar de aproimarse a cero, el trmino de

    la derecha se convierte en

    %or lo tanto, la diferencia posterior dividida por haproima a la derivada

    cuando hes pequeBo. El error de esta aproimacin puede derivarse

    delteorema de Taylor. +sumiendo que fes continuamente diferenciable, el erro

    es

    #a misma frmula es vlida en la diferencia anterior

    &in embargo, la diferencia central lleva a una aproimacin ms a*ustada. &u

    error es proporcional al cuadrado del espaciado (si fes dos vecescontinuamente diferenciable).

    Clculo de diferencias finitas

    #a diferencia anterior puede considerarse un operador diferencialque hace

    corresponder la funcin fcon Df. El teorema de Taylor puede epresarse por lafrmula

    https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_diferencialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taylorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Operador_diferencial
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    'onde Ddenota el operador derivada, que hace corresponder con su

    derivada , es decir,

    ormalmente, invirtiendo la eponencial,

    Esta frmula sigue siendo vlida en el sentido de que ambos operadores dan e

    mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. :ncluso para funciones

    anal$ticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que

    puede tratarse de una serie asinttica. &in embargo, pueden emplearse para

    obtener aproimaciones ms precisas de la derivada. %or e*emplo, #os dos

    primeros trminos de la serie llevan a

    El error de la aproimacin es del orden de h9.

    #as frmulas anlogas para los operadores posterior y central son

    Derivadas de rdenes mayores

    'e forma anloga se pueden obtener aproimaciones en diferencias finitas

    para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. %or e*emplo usando

    la frmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado

    de para y y aplicando la frmula de diferencia

    central a la derivada de enx, obtenemos la aproimacin de la diferencia

    central de la segunda derivada de f

    https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_asint%C3%B3ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttps://es.wikipedia.org/wiki/Serie_asint%C3%B3tica
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    Mtodos de diferencias finitas

    "tro aspecto importante es que las diferencias finitas aproiman cocientes

    diferenciales a medida que hse acerca a cero. +s$ que se pueden usar

    diferencias finitas para aproimar derivadas.

    La aproximacin por medio de diferencias finitas es el mtodoms antiguo aplicado para obtener la solucin numrica decuaciones diferenciales. Se considera que la primera aplicacin hasido desarrollada por Euler en 176.

    Las bases del mtodo de diferencias finitas !"#$% consisten en laconstruccin de una malla de una manera estructurada& donde losnodos de la misma& en un espacio n dimensional& estn locali'ados enlas intersecciones de n familias de l(neas rectas& el reempla'o de laderi)adas continuas de la ecuacin diferencial por las expresioneequi)alentes en diferencias finitas * la resolucin del sistema decuaciones que queda planteado como consecuencia de la anteriosustitucin.

    El "#$ es& tal )e'& el mtodo ms simple para aplicaparticularmente para mallas con una geometr(a uniforme. Su ma*odes)enta+a consiste en su incapacidad para tratar efecti)amente la

    solucin de problemas sobre formas geomtricas irregulares.

    Discretizacin del dominio

    ,ara obtener la solucin numrica de una ecuacin diferencial enderi)adas parciales utili'ando el "#$ se debe& como primer pasodiscreti'ar el dominio.

    ,ara ello& el dominio continuo del problema en estudio ereempla'ado por una malla. Las intersecciones de las l(neas quconstitu*en la malla son denominadas nodos * es en donde se calculala solucin numrica de la ecuacin diferencial parcial.

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    -s(& por e+emplo& para discreti'ar el dominio #!x&t% de uproblema de propagacin unidimensional se debern definir lotamaos de paso tanto temporal como espacial. Estos tamaos depaso son determinados por medio de las expresiones/

    donde 0x* 0tson dos nmeros enteros positi)os& L es la longitud dedominio espacial * tfindica el tiempo final en que se estudia eproblema en cuestin.

    La di)isin del dominio espacial en 0x21 partes iguales de anchhx& * del dominio temporal en 0 t21 partes iguales de 3ancho4 ht& dcomo resultado la discreti'acin del dominio al tra'ar l(neas )erticale* hori'ontales a tra)s de los puntos de coordenadas !xi5 t+%& donde/

    Aproximaciones en diferencias finitas

    El prximo paso para la resolucin numrica de una ecuacindiferencial parcial utili'ando el "#$ es el reempla'o de las deri)adacontinuas de la ecuacin diferencial por las expresiones equi)alenteen diferencias finitas. Esto se logra utili'ando el desarrollo en serie dea*lor de la )ariable dependiente alrededor de un punto particular dela malla. ,ara ello& la )ariable dependiente en un nodo de la malla eindicada utili'ando como sub(ndice * super(ndice los (ndices que se

  • 7/23/2019 Ecuacin en Derivadas Parciales

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    utili'an para denotar dicho nodo. -s(& por e+emplo& la funcin !x& ten el nodo !i5+% es expresada de la siguiente manera/

    ,ara e+emplificar el procedimiento de aproximacin& sconsiderar la deri)ada parcial de primer orden de la funcin conrespecto al tiempo. ,ara ello& se utili'ar el desarrollo en serie dea*lor de en !xi5 t+% * se lo e)aluar en !xi5 t+21%. #e esta manera sobtiene/

    donde m21es el trmino residual que est dado por/

    El trmino residual m21es el error asociado con el truncamientode la serie de a*lor. Es importante conocer el orden de dicho errores decir& conocer la forma en que el error tiende a cero cuandoht 8. 9omo se puede obser)ar& el trmino residual m21depende dhtm21& por lo tanto& cuando ht 8& el error tender a cero como htm21

    En consecuencia& el orden de truncamiento de la serie de a*lo

    para aproximar i+21

    es m21. Esto es indicado con el s(mbolo :!ht

    m21

    %Si se despe+a la deri)ada parcial de primer orden de la funcin

    con respecto al tiempo resulta/

    donde

    En particular& si se escribe el desarrollo en serie de a*lor deprimer orden& entonces& la expresin anterior est dada por/

    donde el trmino de error es/

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    ;na aproximacin en diferencias finitas para la deri)ada temporade primer orden se obtiene despreciando el trmino de error/

    El trmino de error& que fue despreciado& se denomina error detruncamiento de la aproximacin en diferencias finitas para lderi)ada temporal de primer orden de la funcin . La aproximacinrecin obtenida es de primer orden * es llamada aproximacin dediferencias progresivas.

    #el mismo modo& puede conseguirse una aproximacin de

    diferencias regresivasde primer orden. ,ara ello& se escribe edesarrollo en serie de a*lor de en !x i5 t+% * se lo e)ala en !xi5 t+

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    Esta aproximacin es denominada de diferencias centradasraba+ando de manera similar& es posible obtener las siguienteaproximaciones en diferencias finitas/

    Solucin en diferencias finitas

    La solucin en diferencias finitas de una ecuacin diferenciaparcial se obtiene al reempla'ar cada una de las deri)adas parcialeexactas en la ecuacin diferencial por su correspondientaproximacin en diferencias finitas. #e esta manera& es posibldiscreti'ar la ecuacin diferencial parcial.

    -l aplicar la ecuacin discreti'ada en cada punto de la malla seobtiene un sistema de ecuaciones denominado sistema deecuaciones de diferencias finitas. El proceso de aproximacirequiere de la seleccin de un mtodo adecuado para obtener l

    solucin del sistema de ecuaciones algebraicas planteado. ;na )eresuelto el sistema de ecuaciones de diferencias finitas se obtiene e)alor de la funcin en los nodos de la malla& es decir& que al empleael mtodo de diferencias finitas se obtiene una solucin aproximaddiscreta.

    Ecuaciones diferenciales parciales

    elpticas

    Los problemas gobernados por ecuaciones diferenciales parciale!E#,% el(pticas presentan cur)as caracter(sticas comple+as$(sicamente& esto implica que no ha* tra*ectorias preferidas en lpropagacin * que el dominio de dependencia * el rango de influenci

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    de cada punto es el dominio entero de la solucin. Es decir& lsolucin de cada punto depende e influ*e en la solucin de todos losdems puntos& inclu*endo la frontera. La solucin es continua * edominio de solucin es cerrado para una E#, el(ptica& el cual e

    ilustrado esquemticamente por medio de la siguiente figura.

    Las propiedades bsicas del "#$ para resol)erproblemas que han alcan'ado un equilibrio serndescriptos en esta seccin. ,ara ello& se debesuperponer una malla finita sobre el dominiocontinuo de la solucin * elegir aproximaciones pordiferencias finitas para cada deri)ada parcial queaparece en la E#,. -l sustituir estasaproximaciones en la E#,& la transforman en unaecuacin de diferencias finitas !E#$% algebraica.9omo se mencion& la solucin en cada punto deuna E#, el(ptica depende de la solucin de todoslos dems puntos& inclu*endo la frontera. -s(& laE#$ para la solucin de cada punto se acopla a lasecuaciones de diferencias finitas del resto de lospuntos. ,or lo tanto& un sistema de ecuaciones dediferencias finitas se debe resol)er

    simultneamente. Estos mtodos se llamanmtodos implcitos& porque la solucin en cadapunto est impl(citamente especificada en funcinde las soluciones desconocidas en los puntos)ecinos.

    #os E#, el(pticas importantes gobiernan los problemas dconduccin de calor/

    Se puede obser)ar que la ecuacin de ,oisson es la ecuacin deLaplace no homognea.

  • 7/23/2019 Ecuacin en Derivadas Parciales

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    La solucin de estas ecuaciones es una funcin de la form!x&*&'%. Esta funcin debe tambin satisfacer las condiciones que seimponen sobre los bordes del dominio f(sico. Las condiciones que seestablecen en la frontera pueden ser de dos tipos/

    Ecuacin de Laplace

    Se considerar la ecuacin de Laplace en el espacio

    bidimensional/

    en = >!x&*% ? a @ x @ b * c @ * @ dA& con !x&*% = g!x&*% para!x&*% B S& donde S denota la frontera en .

    ,ara obtener la solucin numrica de la ecuacin de Laplace& sedebe como primer paso seleccionar los enteros 0x* 0*& * definir lostamaos de paso en ambas direcciones mediante las expresiones/

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    La di)isin del inter)alo Ca&bD en 0x2 1 partes iguales de anchohx& * del inter)alo Cc5dD en 0*2 1 partes iguales de ancho h*& dacomo resultado una malla en el rectngulo al tra'ar l(neas)erticales * hori'ontales a tra)s de los puntos con coordenadas !xi5

    *+%& donde/

    Las l(neas x = xie * = *+son l(neas de la malla& * susintersecciones son los nodos de la malla. En cada nodo interior de lamalla !xi5 *+% con i= 1& & F& 0x* += 1& & F& 0*& se utili'ar eldesarrollo de la serie de a*lor en la )ariable x alrededor de x i* en la)ariable * alrededor de *+para generar las respecti)as frmulas dediferencias centrales/

    El uso de estas aproximaciones permite expresar la ecuacin deLaplace en los puntos !xi5 *+% como/

    para todai= 1& & F& 0x* += 1& & F& 0*& * las condiciones de fronteracomo/

    La ecuacin anterior puede escribirse de la forma/

    donde Ei+es el error de truncamiento de la aproximacin por

    diferencias finitas de la ecuacin diferencial parcial/

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    El error de truncamiento Ei+& es de segundo orden en hx* h*.

    "ultiplicando la expresin en diferencias por hx& resulta/

    donde

    * ei+es el error de discreti'acin de la ecuacin de diferencias finitas/

    #espreciando el error de discreti'acin ei+& la expresin que

    proporciona la ecuacin de diferencias finitas de cinco puntos para laecuacin de Laplace es/

    que puede escribirse/

    La naturale'a impl(cita de la ecuacin dfinitas aparece en la igualdad anterior. La sonodo de la malla depende de la solucin de nodos )ecinos& los que son desconocidos hasolucin completa es obtenida. El comportaimpl(cito de la ecuacin de diferencias finitala solucin numrica de ecuaciones diferencel(pticas& las cuales gobiernan problemas f(sequilibrio.

    En el caso especial de que hx= h** G =igualdades anteriores toman la forma/

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    -unque no ha* una )enta+a matemtica formal cuando G es launidad& )alores de G cercanos a la unidad tienden a producirsoluciones ms aproximadas.

    ,or lo tanto& la solucin de una ecuacin diferencial parcial por

    diferencias finitas es obtenida cuando se resuel)en las ecuaciones dediferencias finitas para cada punto en el dominio de solucin.

    Derivadas en las condiciones de frontera

    La ecuacin de Laplace tratada anteriormente& cu*a solucinnumrica fue obtenida por medio del mtodo de diferencias finitas&presentaba condiciones de #irichlet en la frontera& es decir& seespecificaban )alores de !x&*% en los bordes. -hora& se mostrar unprocedimiento que se implementa cuando se conocen las deri)adasen los bordes& es decir& cuando las condiciones de frontera son de0eumann.

    La aproximacin que se aplicar es la ecuacin de diferenciasfinitas del punto interior en el punto frontera.

    Ecuacin de diferencias finitas del punto interior

    En primer lugar& se debe aplicar la ecuacin de diferencias finitasdel punto interior !E#$% en el punto de la malla !i& +% sobre el bordedel dominio que presenta la condicin de 0eumann& como se ilustraen la figura.

  • 7/23/2019 Ecuacin en Derivadas Parciales

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    La E#$ es/

    donde el ltimo trmino es el error de discreti'acin.

    El punto de la malla !i21& +% est fuera del dominio de solucin&por lo tanto i21

    +no est definido. Sin embargo& un )alor parai21

    + puede ser determinado a partir de la condicin de 0eumannestablecida sobre ese borde del dominio.

    Las aproximaciones por diferencias finitas empleadas para lasderi)adas espaciales son de segundo orden. ,or lo tanto& esaconse+able utili'ar una aproximacin de diferencias finitas centradasde segundo orden para la condicin de frontera de 0eumann& para

    que el error de truncamiento sea del mismo orden que el de lasaproximaciones para las deri)adas espaciales. -s(&

    #espe+ando i21+resulta/

    #espreciando el trmino de error de la discreti'acin& la ecuacin quese obtiene es/

    para i= 0x2 1 * += 1& & F& 0*.

    EcuacionesDiferencialesparciales parablicas

    Los problemas de propagacin son problemas con condicioneiniciales * de frontera en dominios abiertos !abierto con respecto auna de las )ariables independientes% en los cuales la solucin en edominio de inters se obtiene partiendo del estado inicial& * es guiada* modificada por las condiciones de frontera. #e esta manera& lasolucin en un punto particular , en el ni)el de tiempo n depende de

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    la solucin de todos los puntos del dominio en todos los tiempos quepreceden& inclu*endo el ni)el de tiempo n& * la solucin en un puntoparticular , en el ni)el de tiempo n influ*e en la solucin de todos lopuntos del dominio en todos los tiempos posteriores al ni)el d

    tiempo n& inclu*endo a este ltimo. Lo explicado se ilustra en lasiguiente figura.

    Los mtodos de diferencias finitas& en los cuales la solucin en upunto , en el ni)el de tiempo n21 depende solamente de la solucinen los puntos )ecinos del ni)el de tiempo n& son llamados mtodoexpl(citos& porque la solucin en cada punto es especificadexpl(citamente en funcin de la solucin conocida de los punto)ecinos en el ni)el de tiempo n. En cambio& los mtodos ddiferencias finitas en los cuales la solucin en el punto , en el ni)el detiempo n21 depende de la solucin en los puntos )ecinos en el ni)ede tiempo n21& reciben el nombre de mtodos impl(citos& porque lasolucin en cada punto se especifica en trminos de la solucidesconocida en los puntos )ecinos en el ni)el de tiempo n21. alesmtodos agrupan las ecuaciones de diferencias finitas en el ni)el detiempo n21& formando de esta manera un sistema de ecuacionesque debe resol)erse en cada ni)el de tiempo. El procedimiento desolucin en cada ni)el de tiempo es anlogo al procedimiento dsolucin para las E#, el(pticas. 9abe destacar& que los mtodo

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    expl(citos requieren un esfuer'o computacional menor& *a que no hasistemas de ecuaciones para resol)er.

    ;na importante E#, parablica gobierna los problemas dconduccin de calor/ la ecuacin de difusin.

    Ecuacin de difusin

    La ecuacin de difusin describe procesos f(sicos disipati)odependientes del tiempo& que e)olucionan hacia un estado estable.

    La ecuacin de difusin en una dimensin est dada por/

    donde es la temperatura !H9% * a la difusi)idad trmica!cm?s%.

    La solucin de esta ecuacin es una funcin !x&t%. 9omo lecuacin de difusin unidimensional es de segundo orden corespecto a la coordenada espacial x& son requeridas dos condicionede frontera. Estas condiciones pueden ser de #irichlet o de 0eumann-dems& esta funcin debe satisfacer la condicin inicial en t=8

    !x&8%= f!x%. La coordenada temporal no presenta un )alor finaespec(fico.

    - continuacin& se explicarn tres mtodos de diferencias finitaque permiten obtener una solucin aproximada para la ecuacin ddifusin/

    I "todo de tiempo progresi)o < espacio centrado

    I "todo de tiempo regresi)o < espacio centrado

    I "todo de 9ranJ < 0icolson

    Mtodo de tiempo progresivo espacio centrado

    La solucin numrica de una ecuacin diferencial parcial sobtiene al reempla'ar cada una de las deri)adas parciales exactas po

    http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/EDP_parabolica.html#Tiempo_progresivohttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/EDP_parabolica.html#Tiempo_regresivohttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/EDP_parabolica.html#Crank_Nicolsonhttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/EDP_parabolica.html#Tiempo_progresivohttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/EDP_parabolica.html#Tiempo_regresivohttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/EDP_parabolica.html#Crank_Nicolson
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    sus respecti)as aproximaciones por diferencias finitas. -continuacin& se resol)er numricamente la ecuacin de difusin euna dimensin por el mtodo de tiempo progresi)o K espacicentrado.

    En el mtodo de tiempo progrescentrado& el punto fundamental para la apdiferencias finitas de la ecuacin diferencipunto !i&+%. La ecuacin de diferencias finitasustituir la deri)ada temporal por la apdiferencias progresi)as de primer orden espacial por la aproximacin de diferenciasegundo orden/

    ,ara obtener la solucin numrica de la ecuacin de difusin& sedeben seleccionar los enteros 0x* 0t* definir los tamaos de pasotanto el temporal como el espacial en la direccin x& mediante laexpresiones/

    El uso de las aproximaciones anteriores permite expresar lecuacin de onda en los puntos !x i5 t+% como/

    para toda i= 1& & F& 0x* += 8& 1& & F& 0 t& * las condiciones inicial de frontera como/

    La ecuacin anterior puede escribirse de la forma/

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    donde Ei+es el error de truncamiento de la aproximacin po

    diferencias finitas de la ecuacin diferencial parcial.#espreciando el error de truncamiento Ei

    +& la ecuacin ediferencias puede ser resuelta expl(citamente para i

    +21mediante lsiguiente expresin/

    donde d es el nmero de difusin& * est definido por/

    La condicin !x& 8%= f!x% para 8 @ x @ L& permite determinar los)alores de los nodos de la forma i

    8& para cada i !i= 1& & F& 0x%. Si sutili'an estos )alores * las condiciones de frontera que determinaque i

    1 = 0x1 = 8& se pueden establecer los )alores de la forma i

    1. Sse )uel)e a aplicar el procedimiento una )e' conocidas todas laproximaciones i

    1& se pueden obtener en forma seme+ante lo)alores i

    * as( sucesi)amente.

    9abe destacar que la aproximacin de tiempo progresi)o

    espacio centrado es condicionalmente estable& slo con)erge si/

    Esta restriccin& en principio matemtica& tiene su +ustificacin enbases f(sicas. ;n )alor de d 8&M conducir(a a obtener resultados que)iolan principios de la ermodinmica. Si la temperatura en nodosad*acentes al nodo i&+ es la misma en el instante inicial& al cabo decierto tiempo la temperatura en el nodo i&+ no puede ser menor que lade los nodos ad*acentes& pues el calor fluir(a espontneamente hacia

    arriba en la escala de temperaturas& )iolando el enunciado de9lausius del Segundo ,rincipio de la ermodinmica.

    Mtodo de tiempo regresivo espacio centrado

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    El mtodo de tiempo progresi)o K espacio centrado es un e+emplode un mtodo expl(cito de diferencias finitas& en el cual lasaproximaciones de diferencias finitas de las deri)adas parcialesexactas en la ecuacin diferencial son e)aluadas teniendo en cuenta

    el ni)el de tiempo conocido n& es decir& la solucin en un punto en elni)el de tiempo n21& puede ser expresada expl(citamente entrminos de la solucin conocida en el ni)el de tiempo n. Si bien elmtodo de tiempo progresi)o K espacio centrado presenta ciertas)enta+as& la principal debilidad es que es condicionalmente estable.#e esta manera& el paso de tiempo que se permite es generalmentepequeo& * la cantidad de esfuer'o computacional que se requierepara obtener la solucin de algunos problemas es prohibiti)a. ,or estra'n& es necesario un procedimiento para e)itar la limitacin del

    tamao del paso temporal.Los mtodos impl(citos de diferencias finitas son los que

    solucionan el incon)eniente planteado. En los mtodos impl(citos& lasaproximaciones por diferencias finitas de las deri)adas parcialesexactas en la ecuacin diferencial parcial son e)aluadas en el ni)el detiempo n21. -fortunadamente& los mtodos de diferencias finitasimpl(citos son incondicionalmente estables. Es decir& no ha* un l(miteen el tamao del paso temporal para que la solucin seanumricamente estable. ,or supuesto& ha* un cierto l(mite prctico en

    el paso temporal requerido para mantener los errores detruncamiento dentro de l(mites ra'onables& pero esta no es unaconsideracin de la estabilidad sino de la precisin.

    0o obstante& los mtodos impl(citos presentan algunasdes)enta+as. ;na de ellas es que la solucin en un punto en undeterminado ni)el de tiempo depende de la solucin de los puntos)ecinos de ese ni)el de tiempo& que es tambin desconocida. ,or lotanto& la solucin se expresa en funcin de otras soluciones que no se

    conocen& * se debe resol)er un sistema de ecuaciones para obtener lasolucin en cada ni)el de tiempo. 0o obstante& la estabilidadincondicionalhace que los mtodos de diferencias finitas impl(citossean mu* utili'ados.

    ;no de los mtodos impl(citos que permite resol)ernumricamente la ecuacin de difusin es el mtodo de tiemporegresi)o K espacio centrado.

  • 7/23/2019 Ecuacin en Derivadas Parciales

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    ,ara resol)er la ecuacin de difusinutili'ando el mtodo de tiempo regrecentrado& la deri)ada temporal se suaproximacin de diferencias regresi)as d

    * la deri)ada espacial por la aproximacicentradas de segundo orden/

    ,ara obtener la solucin numrica de la ecuacin de difusin& se

    deben seleccionar los enteros 0x* 0t* definir los tamaos de paso&tanto el temporal como el espacial en la direccin x& mediante lasexpresiones *a definidas.

    #e esta manera& la ecuacin de difusin en los puntos !x i& t+% seexpresa como/

    para toda i= 1& &F& 0x* += 1& &F& 0t21& * las condiciones inicial *

    de frontera como/

    La ecuacin anterior puede escribirse de la forma/

    donde Ei+es el error de truncamiento de la aproximacin pordiferencias finitas de la ecuacin diferencial parcial.

    #espreciando el error de truncamiento Ei+de la ecuacin en

    diferencias finitas se obtiene/

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    donde d es el nmero de difusin.

    Esta ecuacin no puede ser resuelta expl(citamente para i+&

    porque dos )alores )ecinos desconocidos& i

  • 7/23/2019 Ecuacin en Derivadas Parciales

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    anterior& resulta/

    para i= 1& &F& 0x* += 8& 1& &F& 0t& donmero de difusin.

    Ecuaciones diferenciales parciales$iperblicas

    Las ecuaciones diferenciales parciales hiperblicas son ecuacioneque describen procesos f(sicos conser)ati)os dependientes detiempo& que no e)olucionan hacia un estado estable. Estos problemapresentan condiciones iniciales * de frontera en dominios abiertos& elos cuales la solucin en el dominio de inters se obtiene partiendodel estado inicial& * es guiada * modificada por las condiciones defrontera. #e esta manera& la solucin en un punto particular , en eni)el de tiempo n depende slo de la solucin de determinadopuntos en todos los tiempos que preceden * la solucin en un punto

    particular , en el ni)el de tiempo n influ*e en la solucin de ciertopuntos en todos los tiempos posteriores al ni)el de tiempo n. Loexplicado se ilustra en la siguiente figura.

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    ;na importante E#, hiperblica es la ecuacin de onda.

    - continuacin& se presentar un mtodo numrico expl(cito quepermite resol)er la ecuacin de onda unidimensional.

    Ecuacin de onda

    La ecuacin de onda en una dimensin est dada por/

    donde Ues el despla'amiento )ertical de cualquier punto xen elinstante t * a la )elocidad de propagacin de la onda !cm?s%.

    La solucin de esta ecuacin es una funcin U!x&t%. 9omo estecuacin es de segundo orden con respecto a la coordenad

    espacial x& dos condiciones de frontera son requeridas. Estacondiciones pueden ser de #irichlet o de 0eumann. -dems& estafuncin debe satisfacer las condiciones iniciales en t=8/

    La coordenada temporal no presenta un )alor final espec(fico.

  • 7/23/2019 Ecuacin en Derivadas Parciales

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    Mtodo explcito

    La solucin numrica de la ecuacin de onda se obtiene areempla'ar cada una de las deri)adas parciales exactas por surespecti)as aproximaciones por diferencias finitas.

    La ecuacin de diferencias finitas se obtiene al sustituir tanto laderi)ada temporal como la espacial por una aproximacin ddiferencias centradas de segundo orden/

    ,ara obtener la solucin numrica de la ecuacin de onda& sdeben seleccionar los enteros 0x* 0t* definir los tamaos de pasotanto el temporal como el espacial en la direccin x& mediante laexpresiones/

    El uso de las aproximaciones de diferencias permite expresar lecuacin de onda en los puntos !x i5 t+% como/

    * las condiciones iniciales * de frontera como/

    La ecuacin discreti'ada puede escribirse de la forma/

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    donde Ei+es el error de truncamiento de la aproximacin por

    diferencias finitas de la ecuacin diferencial parcial. #espreciando elerror de truncamiento& la ecuacin anterior puede ser resueltaexpl(citamente para ;i

    +21mediante la siguiente expresin/

    donde Nes el nmero de con)eccin& * est definido por/

    Si se anali'a la expresin en diferencias finitas se pueconcluir que para establecer la solucin en la capatemporal +21 se necesita conocer el )alor de la funci

    las dos capas temporales anteriores !+ * +

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    ,or lo tanto/

    ;tili'ando los )alores ;i1* las condiciones de frontera e inicial& se

    pueden establecer los )alores de la forma ;i. Si se )uel)e a aplicar eprocedimiento una )e' conocidas todas la aproximaciones ;i

    & sepueden obtener en forma seme+ante los )alores ;i

    O* as(sucesi)amente.

    9abe destacar que la aproximacin empleadaes condicionalmente estable& slo con)erge si/

    !onsistencia% orden% estabilidad &convergencia

    Pasta el momento se resol)ieron numricamente algunoproblemas sencillos utili'ando el mtodo de diferencias finitas. 0obstante& es necesario efectuar algunas preguntas bsicas corespecto a las ecuaciones discreti'adas/

    QRu condiciones se le debe imponer a un esquem

    numrico para obtener una aproximacin aceptable deproblema diferencial

    Q,or qu dos esquemas simples pueden tene

    comportamientos completamente diferentes

    Q9mo se puede obtener informacin cuantitati)a sobre

    la precisin de la aproximacin numrica

    ,ara proporcionar respuestas a estas preguntas es necesaridefinir con cuidado los requisitos que debe )erificar un esquemnumrico. Estos requisitos son definidocomo consistencia& orden& estabilidad* con)ergencia.

    http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Consistencia_ordenhttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Consistencia_ordenhttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Estabilidadhttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Convergenciahttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Consistencia_ordenhttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Consistencia_ordenhttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Estabilidadhttp://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/EDP/Convergencia.html#Convergencia
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    La anterior figura muestra esquemticamente que la consistenciahace referencia a la relacin entre la ecuacin diferencial * sformulacin discreta& la con)ergencia establece la relacin entre lasolucin numrica * la solucin exacta de la ecuacin diferenciamientras que la estabilidad determina la relacin entre la solucinumrica * la solucin exacta de la ecuacin discreti'ada.

    - continuacin& se reali'ar un anlisis detallado de cada uno de

    los conceptos mencionados.

    !onsistencia & orden

    ;n mtodo es consistente con la ecuacin diferencial parcial si lecuacin discreta usada por el mtodo es equi)alente a la ecuacidiferencial cuando el tamao de paso tiende a cero.

    :tra forma de definir la consistencia de un mtodo es lsiguiente/

    La ecuacin de diferencias es consistente con una ecuacidiferencial parcial si el error de truncamiento local tiende a cercuando los tamaos de los pasos en la red de puntos se aproximan acero.

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    9uando los errores de truncamiento local de las aproximacionepor diferencias de las deri)adas parciales exactas son conocidos& lacomprobacin de la consistencia es directa. En cambio& cuando lomencionados errores no se conocen& se debe anali'ar la ecuacin de

    diferencias completa para la consistencia. Esto se logra cuando seexpresa cada trmino en la ecuacin de diferencias por un desarrollde la serie de a*lor alrededor del punto de la malla !i& +%. La ecuaciresultante& llamada ecuacin diferencial modificada& puede seentonces simplificada para proporcionar la forma exacta del error detruncamiento de la ecuacin de diferencias completa. ,or lo tanto& laecuacin diferencial modificada difiere de la ecuacin diferenciaparcial exacta por el error de truncamiento.

    #e esta manera& se puede concluir que la ecuacin diferencia

    modificada puede ser usada para determinar la consistencia * eorden de un esquema numrico.

    El orden de una solucin por diferencias de una ecuacidiferencial parcial es la ra'n a la que el error global de la solucinpor diferencias finitas se aproxima a cero cuando los tamaos de lospasos en la red de puntos tienden a cero.

    - modo de e+emplo& se mostrar el anlisis de consistencia de laproximacin de diferencias finitas de cinco puntos para la ecuacin

    de Laplace cuando hx= h*.

    Esta ecuacin puede ser reordenada de la siguiente manera/

    Escribiendo la serie de a*lor alrededor del punto !i& +% para todoslos )alores de !x&*% que aparecen en la ecuacin anterior& se tiene/

    Eliminando la notacin Ti+para ma*or claridad * sustitu*endo

    estas expresiones en la ecuacin !U% resulta/

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    9ancelando los trminos de orden cero& di)idiendo el primermiembro por hx* el segundo por h*!hx= h*% * reacomodando lostrminos& se obtiene la ecuacin diferencial modificada/

    9uando hx8 * h*8& la ecuacin diferencial modificada seaproxima a/

    que es la ecuacin de Laplace. ,or lo tanto& la aproximacin ddiferencias finitas de cinco puntos es una aproximacin consistente dla ecuacin de Laplace.

    El orden de la ecuacin de diferencias est dado por el orden mba+o de los trminos que aparecen en la ecuacin diferenciamodificada. ,or lo tanto& esta aproximacin es de orden :!hx

    % 2:!h*

    %.

    9omo se puede obser)ar& el orden de una ecuacin de diferenciafinitas coincide con el orden de los trminos del error de truncamientoen la aproximacin de diferencias finitas de las deri)adas parcialeexactas en la ecuacin diferencial.

    Estabilidad

    9uando una ecuacin diferencial parcial tiene una soluci

    acotada& se dice que la ecuacin de diferencias asociada es estable sproduce una solucin acotada * es inestable si produce una solucinno acotada.

    El concepto de estabilidad est relacionado con el crecimiento odecrecimiento de los errores que se introducen en la etapa dcmputo. Estos errores no son producidos por una lgica incorrecta

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    sino que se originan porque las computadoras no pueden almacenaun nmero infinito de cifras decimales& introduciendo de esta maneraun error de redondeo.

    ;n mtodo particular se dice que es estable si el efecto

    acumulati)o de todos los errores de redondeo producidos al aplicar undeterminado algoritmo es insignificante. "s espec(ficamente& el errointroducido en el nodo est dado por/

    donde i+es la solucin numrica del sistema de ecuacione

    algebraicas.

    ;sualmente& no es posible determinar el )alor exacto del erronumrico Vi

    +en el nodo !i& +%. 0o obstante& pueden ser estimado

    usando ciertos mtodos estndares& los cuales no sern discutidosEn la prctica& la solucin numrica es generalmente ms precisa quelas estimaciones efectuadas mediante esos mtodos estndaredebido a que en los anlisis de estabilidad se considera el caso mdesfa)orable.

    El primer paso en el anlisis de la estabilidad de una ecuacin dediferencias finitas que aproxima a una ecuacin diferencial parcial& edeterminar el comportamiento de la solucin exacta de la ecuacin

    diferencial parcial. La solucin de la ma*or(a de los problemas f(sicoes acotada. ,or lo tanto& en estos casos& la solucin de la ecuacin dediferencias finitas tambin debe ser acotada. Si la solucin de lecuacin de diferencias finitas es acotada para cualquier )alor dtamao de paso que se utilice& se dice que la ecuacin ddiferencias finitas es incondicionalmente estable. En cambio& sla ecuacin de diferencias finitas es acotada solamente pardeterminados tamaos de paso& la ecuacin de diferencias finitaes condicionalmente estable. Si la solucin de la ecuacin d

    diferencias finitas es no acotada para todos los )alores de tamao depaso& entonces la ecuacin de diferencias finitas eincondicionalmente inestable'W si la solucin exacta de unecuacin diferencial parcial es no acotada& la ecuacin de diferenciafinitas tambin deber ser no acotada. En este caso& el concepto deestabilidad no se aplica& porque las solucin numrica se comporta dela misma manera que la solucin exacta.

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    !onvergencia

    ;n mtodo de diferencias finitas es con)ergente si la solucin dela ecuacin de diferencias finitas se aproxima a la solucin exacta dla ecuacin diferencial parcial cuando los tamaos de los pasos en lamalla tienden a cero.

    Si i+ denota la solucin exacta de la ecuacin diferencia

    parcial& i+representa la solucin aproximada por diferencias finitas *

    ei+la diferencia entre ellos& se puede definir a la con)ergencia de la

    siguiente manera/

    cuando los tamaos de los pasos tienden a cero.

    La solucin exacta del sistema de ecuaciones algebraicas es lasolucin aproximada de la ecuacin diferencial parcial& la cual eobtenida cuando ningn error numrico se presenta durante scmputo. #e esta manera& la magnitud del error en cada noddepende del tamao de la malla * de los )alores de las deri)adas dma*or orden en ese nodo& omitidos en las aproximaciones podiferencias finitas.

    La prueba de que una solucin aproximada con)erge a la solucinexacta de una ecuacin diferencial parcial es generalmente mu*dif(cil& an en los casos ms simples. ,or esta ra'n& se relaciona lacon)ergencia de un mtodo de diferencias finitas con la consistencia *estabilidad de la ecuacin de diferencias finitas& puesto qudemostrar la consistencia * estabilidad es relati)amente fcil.

    El teorema de equi)alencia de Lax enuncia/ Dado un problemalineal de valor inicial correctamente planteado & una

    aproximacin de diferencias finitas consistente% la estabilidadde la misma es condicin necesaria & suficiente para suconvergencia'

    #e esta manera& la con)ergencia de un mtodo de diferenciafinitas puede ser determinada por medio de un estudio de lconsistencia * estabilidad de la ecuacin de diferencias finitas. Si la

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    ecuacin de diferencias finitas es consistente * estable& entonces emtodo es con)ergente.