Derivadas direccionales y gradientes Plano tangente y ...

Derivada DireccionalGradiente

Derivada direccional y gradiente en funciones de tres variablesPlano tangente y recta normal

Polinomio de Taylor

Derivadas direccionales y gradientesPlano tangente y recta normal

Joaquın Bedia

Dpto. Matematica Aplicada y CC de la ComputacionUniversidad de Cantabria

Joaquın Bedia Gradientes



Polinomio de Taylor

Contenidos

1 Derivada DireccionalDefinicionEjemplos de calculo

2 GradienteDefinicionPropiedades

3 Derivada direccional y gradiente en funciones de tres variables4 Plano tangente y recta normal

Plano tangente y recta normal. Conceptos previosGradientes de f(x, y) y F (x, y, z)

Ecuacion del plano tangenteEcuacion de la recta normal

5 Polinomio de TaylorPolinomio de Taylor de primer orden (plano tangente)Polinomio de Taylor de orden 2Polinomio de Taylor. Ejemplos




Polinomio de Taylor

DefinicionEjemplos de calculo

Derivada direccional

Derivada direccional. Definicion

Sea f una funcion de dos variables x e y, y sea u = cos θi + sen θj unvector unitario. Entonces, la derivada direccional de f en la direccion deu, que se denota Duf , es:

Duf(x, y) = lımt→0

f(x+ t cos θ, y + t sen θ)− f(x, y)

t

siempre que este lımite exista.

Interpretacion geometrica

A diferencia de la derivadaparcial, la derivadadireccional proporciona lapendiente en un punto deuna superficie en cualquierdireccion. P(x0,y0)

P'(x0,y0,f(x0,y0))

uθ

x

y

z




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Derivada direccional. Calculo:

Calculo de la derivada direccional

La derivada direccional puede calcularse usando la definicion, de forma similar ala derivada en un punto en una funcion de una variable. Alternativamente,pueden emplearse las derivadas parciales, como se muestra a continuacion. Si fes una funcion diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f enla direccion del vector unitario u = cos θi+ sen θj es

Duf(x, y) =∂f

∂xcos θ +

∂f

∂ysen θ

Ejemplo:

Hay infinitas direcciones posibles en las que calcular la derivada direccional paraun punto dado de una superficie. Dos de estas son las derivadas parciales:

1 En la direccion del eje OX (θ = 0): Di =∂f∂x

cos 0+ ∂f∂y

sen 0 = ∂f∂x· 1+ 0

2 En la direccion del eje OY (θ = π2

):

Dj =∂f∂x

cos π2+ ∂f

∂ysen π

2= 0 + ∂f

∂y· 1




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Derivada direccional. Ejemplos

Ejemplos de aplicacion:

1 Hallar la derivada direccional de f(x, y) = 4− x2 − 14y

2 en elpunto (1, 2), segun la direccion del vector u = cos π3 i + sen π

3 j

2 Hallar la derivada direccional de f(x, y) = x2 sen 2y en (1, π2 ),en la direccion de v = 3i− 4j




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DefinicionPropiedades

Gradiente

El gradiente de una funcion de dos variables es una funcionvectorial, con multiples aplicaciones, respondiendo a la pregunta de“¿en que direccion f(x,y) varıa mas rapidamente?”

Gradiente. Definicion

Sea z = f(x, y) una funcion de x e y tal que fx y fy existen.Entonces el gradiente de f, denotado por ∇f(x, y), es el vector:

∇f(x, y) = fx(x, y)i + fy(x, y)j

siendo ∇ el operador nabla.Cabe indicar que el gradiente ∇f(x, y) es un vector en el plano,tambien conocido como vector gradiente.




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Gradiente. Ejemplos

Ejemplos:

1 Hallar el gradiente de la funcion f(x, y) = sen2 x− y log x

2 Hallar el gradiente de la funcion f(x, y) = e7xy − cos(3x2y),en el punto (1, 1)




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Gradiente y relacion con la derivada direccional

Forma alternativa de la derivada direccional

Dado que el gradiente de f es un vector, se puede expresar la derivadadireccional de f en la direccion de u como:

Duf(x, y) =

[∂f

∂xi +

∂f

∂yj

]· [cos θi + sin θj]

Por lo tanto, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente yel vector unitario de direccion u

Teorema:

Si f es una funcion diferenciable de x e y, entonces la derivadadireccional de f en la direccion del vector unitario u es

Duf(x, y) = ∇f(x, y) · u




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Gradiente. Propiedades

Gradiente. Propiedades:

Sea f diferenciable en el punto (x, y). Se definen las siguientespropiedades:

1 Si ∇f(x, y) = 0, entonces Duf(x, y) = 0 para todo u

2 La direccion de maximo incremento de f esta dada por∇f(x, y). El valor maximo de Duf(x, y) es ||∇f(x, y)||

3 La direccion de mınimo incremento de f esta dada por−∇f(x, y). El valor mınimo de Duf(x, y) es −||∇f(x, y)||




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Derivada direccional y gradiente. Ejemplos:

Ejemplos de aplicacion:

1 Hallar la derivada direccional de f(x, y) = 3x2 − 2y2 en(− 3

4 , 0), en

la direccion de P(− 3

4 , 0)

a Q(0, 1)

2 Calcular la derivada direccional de f(x, y) = x− y2 siguiendo laparabola y = 2x− 3x2 en el punto de coordenadas (1,−1)

3 Suponemos que la cima de una montana helada en el invierno tieneforma de un paraboloide elıptico z = c− ax2 − by2, donde a, b y cson constantes positivas, x e y son las coordenadas geograficaslongitud-latitud, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y zestan medidas en metros). En el punto (1, 1) se encuentra unalpinista, que se dirige por la vıa mas directa hacia la cima. ¿Enque direccion asciende?. ¿Que pendiente asciende en ese punto?. Sise le cae un mosqueton de la mochila, ¿en que direccion sedeslizara este por la ladera?




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Duf y ∇f en funciones de tres (o mas) variables

Las definiciones de derivada direccional y gradiente pueden extenderse demanera natural a 3 o mas variables, aunque la interpretacion geometrica de lasmismas ya no es inmediata ni intuitiva. Se resumen a continuacion lasdefiniciones y propiedades, que no difieren de lo ya visto en dos variables:

Derivada direccional para funciones de tres variables

Sea f una funcion de x, y y z, con derivadas parciales de primer ordencontinuas. La derivada direccional de f en la direccion de un vector unitariou = ai+ bj+ ck esta dada por:

Duf(x, y, z) = a∂f

∂x+ b

∂f

∂y+ c

∂f

∂z

A su vez, el gradiente de f se define como:

∇f(x, y, z) = ∂f

∂xi+

∂f

∂yj+

∂f

∂zk




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Propiedades del gradiente:

Propiedades del gradiente para funciones de tres variables:

1 Duf(x, y, z) = ∇f(x, y, z) · u, siendo f diferenciable en x, yy z

2 Si ∇f(x, y, z) = 0, entonces Duf(x, y, z) = 0 para toda u

3 La direccion de maximo incremento de f esta dada por∇f(x, y, z). El valor maximo de Duf(x, y, z) es ||∇f(x, y, z)||

4 La direccion de mınimo incremento de f esta dada por−∇f(x, y, z). El valor mınimo de Duf(x, y, z) es−||∇f(x, y, z)||




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Vector gradiente en 3 variables. Ejemplo

Calcular el vector gradiente de la funcion f(x, y, z) = log xy sen z2

De acuerdo con la definicion del gradiente, en este caso dada por

∇f(x, y, z) =∂f

∂xi +

∂f

∂yj +

∂f

∂zk , se obtiene:

∂f∂x

= 1xsen z2

∂f∂y

= − 1ysen z2

∂f∂z

= 2z log xycos z2

⇒∇f = 1

xsen z2i− 1

ysen z2j+ 2z log x

ycos z2k

=(1xsen z2 , 1

ysen z2 , 2z log x

ycos z2

)Ahora puede calcularse el vector gradiente en cualquier punto del dominio, p.ej. en (e, 1,

√π2):

∇f(e, 1,√π

2) =

√2

2ei−√2

2j+

√2π

2z




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Plano tangente y recta normal. Conceptos previosEcuacion del plano tangenteEcuacion de la recta normal

Plano tangente y recta normal

Ecuacion de la superficie S

Por conveniencia, en lo sucesivo, se empleara la representacion implıcita de lassuperficies definida por F (x, y, z) = 0. La transformacion a la forma general dez = f(x, y) es inmediata teniendo en cuenta que:

F (x, y, z) = f(x, y)− z ⇒ F (x, y, z) = 0

Sea F diferenciable en un punto P (x0, y0, z0) de la superficie S dada por la formaimplıcita F (x, y, z) = 0, tal que ∇F (x0, y0, z0) 6= 0:

Plano tangente. Definicion:

Al plano que pasa por P y es normal a∇F (x0, y0, z0) se le llama plano tangente a Sen P

Recta normal. Definicion:

A la recta que pasa por P y tiene la direccionde ∇F (x0, y0, z0) se le llama recta normal a Sen P

υ P(x0,y0,z0)

n

Superficie S: F(x,y,z)=0

Plano tangente




Polinomio de Taylor


Hasta ahora se ha visto que ∇f(x, y) es un vector en el plano XY ,normal a las curvas de nivel de f . Dada la representacion de lamisma superficie en tres variables en su forma implıcita F (x, y, z),se tiene el siguiente teorema:

Teorema:

Si F es diferenciable en (x0, y0, z0) y ∇F (x0, y0, z0) 6= 0, entonces∇F (x0, y0, z0) es normal a la superficie de nivel que pasa por(x0, y0, z0)

Nota:

Por lo tanto, debe recordarse que ∇f(x, y) es un vector en elplano XY mientras que ∇F (x, y, z) es un vector en el espacio




Polinomio de Taylor


Ecuacion del plano tangente

Siendo P (x0, y0, z0) el punto de tangencia de lasuperficie S y (x, y, z) un punto arbitrario del planotangente, se define el vector v perteneciente a dichoplano como:

v = (x− x0)i+ (y − y0)j+ (z − z0)k

Como ∇F (x0, y0, z0) es normal al plano tangenteen (x0, y0, z0), debe ser ortogonal a todo vector enplano tangente, y se tiene que:

∇F (x0, y0, z0) · v = 0

υ P(x0,y0,z0)

n


Plano tangente

lo que demuestra el enunciado del siguiente teorema:

Ecuacion del plano tangente. Teorema:

Si F es diferenciable en (x0, y0, z0), entonces una ecuacion del plano tangentea la superficie dada por F (x, y, z) = 0 en (x0, y0, z0) es:

∂F

∂x

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

(x− x0) +∂F

∂y

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

(y − y0) +∂F

∂z

∣∣∣∣(x0,y0,z0)

(z − z0) = 0




Polinomio de Taylor


Ecuacion del plano tangente (forma explıcita)

No es estrictamente necesario contar con la forma implıcita de la superficie

para hallar el plano tangente. Alternativamente, a partir de la forma explıcita

de la funcion, puede calcularse el plano tangente en el punto de coordenadas

(x0, y0) siguiendo la formula:

z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)

siendo fx y fy las derivadas parciales de f , evaluadas en el punto de tangencia

(x0, y0).

υ P(x0,y0,z0)

n


Plano tangente




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Ecuacion del plano tangente. Ejemplos:

Ejemplos:

1 Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficiex2 + y2 + 2xy + yz = 1 en el punto (1, 0,−2)

Figura 1: Representacion grafica de la solucion. Codigo MAXIMA disponibleen Moodle.

2 Hallar la ecuacion del plano tangente al paraboloidef(x, y) = 1− 1

10 (x2 + 4y2) en el punto (1, 1, 12 )




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Ecuacion de la recta normal

Recta normal. Ecuaciones parametricas

La ecuaciones parametricas de la recta normal a S en P (x0, y0, z0)vienen dadas por:

x = x0 + ∂F (x0,y0,z0)∂x · t

y = y0 + ∂F (x0,y0,z0)∂y · t

z = z0 + ∂F (x0,y0,z0)∂z · t

estando las derivadas parciales particularizadas en el punto(x0, y0, z0), y siempre y cuando estas no sean todas nulas.




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Ecuacion de la recta normal. Ejemplo

Recta normal. Ejemplo

Hallar la ecuacion del plano tangente a la hiperboloide dada por laexpresion x2 + y2 − z2 = 1 en el punto (1, 1, 1). Determinar lasecuaciones parametricas de las rectas normales a la superficie en dichopunto.

Figura 2: Representacion grafica de la solucion. Codigo MAXIMA disponible enMoodle.




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Polinomio de Taylor de primer orden (plano tangente)Polinomio de Taylor de orden 2Polinomio de Taylor. Ejemplos

Polinomio de Taylor

Polinomio de Taylor de orden 1 en 2 variables: Plano tangente

Recordando la formula de Taylor en una variable, para el punto a:

Px(a) = f(a) + f ′(a)(x− a) + f (2(a)

2!(x− a)2 + . . .+

f (n(a)

n!(x− a)n +Rn

En varias variables es similar, salvo que ahora hay que acompanar cadavariable con su derivada parcial. Por ejemplo, en dos variables (omitiendoel termino residual), el polinomio de Taylor de orden 1 quedarıa:

Pxy(a, b) = f(a, b) +∂f(a, b)

∂x(x− a) +

∂f(a, b)

∂y(y − b)

que coincide con la ecuacion del plano tangente, ya que el plano tangentees la mejor aproximacion lineal.En mas dimensiones lo que resultan son hiperplanos tangentes




Polinomio de Taylor


Polinomio de Taylor. Orden 2

En el caso del polinomio de Taylor de orden 2 en dos variables, deben tenerse encuenta las derivadas cruzadas:

Pxy(a, b) = f(a, b) +∂f(a, b)

∂x(x− a) +

∂f(a, b)

∂y(y − b) +

1

2

∂f2(a, b)

∂x2(x− a)2+

+1

2

∂f2(a, b)

∂y2(y − b)2 +

1

2

∂f2(a, b)

∂x∂y(x− a)(y − b) +

1

2

∂f2(a, b)

∂y∂x(x− a)(y − b)

que suponiendo ∂f2

∂x∂y= ∂f2

∂y∂x, queda como:

Pxy(a, b) = f(a, b) +∂f(a, b)

∂x(x− a) +

∂f(a, b)

∂y(y − b) +

1

2

∂f2(a, b)

∂x2(x− a)2+

+1

2

∂f2(a, b)

∂y2(y − b)2 +

∂f2(a, b)

∂x∂y(x− a)(y − b)

Los polinomios de Taylor de orden mayor son analogos pero se usan mucho menos enla practica




Polinomio de Taylor


Ejemplo:

Ejemplo:

Hallar los polinomios de Taylor de orden 1 y 2 de la funcionf(x, y) = ex cos(x+ y) en el origen


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