Analisis Matematico I

Tema 8: Vector gradiente

8-9-10-15 de noviembre de 2017

1 Derivadas direccionales y parciales

2 Derivadas parciales

3 Vector gradiente

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales: motivacion

Notacion

X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω

Motivacion

f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ X

Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites

Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:

lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0

f (a+ sv)− f (a)s

= λy

No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales: motivacion

Notacion

X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω

Motivacion

f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ X

Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites

Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:

lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0

f (a+ sv)− f (a)s

= λy

No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales: motivacion

Notacion

X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω

Motivacion

f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ X

Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites

Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:

lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0

f (a+ sv)− f (a)s

= λy

No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales: motivacion

Notacion

X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω

Motivacion

f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ X

Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites

Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:

lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0

f (a+ sv)− f (a)s

= λy

No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales: motivacion

Notacion

X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω

Motivacion

f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ X

Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites

Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:

lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0

f (a+ sv)− f (a)s

= λy

No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales: motivacion

Notacion

X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω

Motivacion

f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ X

Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites

Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:

lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0

f (a+ sv)− f (a)s

= λy

No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales: motivacion

Notacion

X , Y espacios normados, Ω = Ω ⊂ X , f : Ω → Y , a ∈ Ω

Motivacion

f diferenciable en a =⇒ D f (a)u = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ X

Para saber si f es diferenciable en a debemos estudiar estos lımites

Si v = λu con λ ∈ R∗ , entonces:

lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

= y ∈ Y ⇐⇒ lıms→0

f (a+ sv)− f (a)s

= λy

No se pierde generalidad suponiendo que ‖u‖= 1

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccional

Si f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccionalSi f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas direccionales

Derivadas direccionales

Direccion en X : vector u ∈ X con ‖u‖= 1 . S = u ∈ X : ‖u‖= 1

Fijamos r ∈ R+ con B(a,r)⊂ Ω y para cada direccion u ∈ S definimos:

ϕu : ]− r , r [→ Y , ϕu(t) = f (a+ tv) ∀ t ∈ ]− r , r [

f es derivable en la direccion u en el punto a , cuando ϕu es derivable en 0

Entonces, la derivada direccional de f en a , en la direccion u , es:

f ′u(a) def= ϕ′u(0) = lım

t→0

ϕu(t)−ϕu(0)t

= lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∃ f ′u(a) ⇐⇒ ∃ f ′−u(a) , en cuyo caso: f ′−u(a) = − f ′u(a)

f es direccionalmente derivable en a cuando

es derivable en a , en la direccion u , para todo u ∈ S

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad direccionalSi f es diferenciable en a , entonces f es direccionalmente derivable en a

y para todo u ∈ S , se tiene: f ′u(a) = D f (a)u

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcial

Si f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Caso X = RN : derivadas parciales

Derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , norma euclıdea, ek : k ∈ IN base usual de RN

Y espacio normado, f : Ω → Y , a ∈ Ω , k ∈ IN

Cuando f es derivable en a en la direccion ek , decimos que

f es derivable con respecto a la k-esima variable en el punto a y

la k-esima derivada parcial de f en a se define por

∂ f∂xk

(a) def= f ′ek(a) = lım

t→0

f (a+ tek)− f (a)t

f es parcialmente derivable en a cuando esto ocurre para todo k ∈ IN

Tenemos entonces N derivadas parciales de f en a :

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a) ∈ Y

Relacion entre diferenciabilidad y derivabilidad parcialSi f es diferenciable en a , entonces f es parcialmente derivable en a

y para todo k ∈ IN se tiene:∂ f∂xk

(a) = D f (a)ek

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de un campo vectorial

Caso Y = RM

Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a

si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,

∂ f∂xk

(a) =(

∂ f1∂xk

(a) ,∂ f2∂xk

(a) , . . . ,∂ fM∂xk

(a))∈ RM

f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM

El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial

se reduce al caso de un campo escalar

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de un campo vectorial

Caso Y = RM

Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a

si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,

∂ f∂xk

(a) =(

∂ f1∂xk

(a) ,∂ f2∂xk

(a) , . . . ,∂ fM∂xk

(a))∈ RM

f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM

El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial

se reduce al caso de un campo escalar

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de un campo vectorial

Caso Y = RM

Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a

si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,

∂ f∂xk

(a) =(

∂ f1∂xk

(a) ,∂ f2∂xk

(a) , . . . ,∂ fM∂xk

(a))∈ RM

f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM

El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial

se reduce al caso de un campo escalar

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de un campo vectorial

Caso Y = RM

Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a

si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,

∂ f∂xk

(a) =(

∂ f1∂xk

(a) ,∂ f2∂xk

(a) , . . . ,∂ fM∂xk

(a))∈ RM

f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM

El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial

se reduce al caso de un campo escalar

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de un campo vectorial

Caso Y = RM

Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a

si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,

∂ f∂xk

(a) =(

∂ f1∂xk

(a) ,∂ f2∂xk

(a) , . . . ,∂ fM∂xk

(a))∈ RM

f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM

El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial

se reduce al caso de un campo escalar

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de un campo vectorial

Caso Y = RM

Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a

si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,

∂ f∂xk

(a) =(

∂ f1∂xk

(a) ,∂ f2∂xk

(a) , . . . ,∂ fM∂xk

(a))∈ RM

f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM

El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial

se reduce al caso de un campo escalar

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de un campo vectorial

Caso Y = RM

Ω = Ω ⊂ RN , f = ( f1, f2, . . . , fM) : Ω → RM , a ∈ Ω , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable en a

si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM , en cuyo caso,

∂ f∂xk

(a) =(

∂ f1∂xk

(a) ,∂ f2∂xk

(a) , . . . ,∂ fM∂xk

(a))∈ RM

f es parcialmente derivable en a si, y solo si, lo es f j para todo j ∈ IM

El estudio de la derivabilidad parcial de un campo vectorial

se reduce al caso de un campo escalar

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de campos escalares

Notacion alternativa para las derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω

Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN

)donde: a+ te1 =

(a1 + t , a2, . . . ,aN

)y a+ teN =

(a1, . . . ,aN−1 , aN + t

)lımt→0

f (a+ tek)− f (a)t

= α ∈ R

⇐⇒ lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

= α

Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:

∂ f∂xk

(a) = lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

∀k ∈ IN

Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :

∂ f∂x

(a,b) = lımx→a

f (x,b)− f (a,b)x−a

y∂ f∂y

(a,b) = lımy→b

f (a,y)− f (a,b)y−b

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de campos escalares

Notacion alternativa para las derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω

Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN

)donde: a+ te1 =

(a1 + t , a2, . . . ,aN

)y a+ teN =

(a1, . . . ,aN−1 , aN + t

)lımt→0

f (a+ tek)− f (a)t

= α ∈ R

⇐⇒ lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

= α

Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:

∂ f∂xk

(a) = lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

∀k ∈ IN

Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :

∂ f∂x

(a,b) = lımx→a

f (x,b)− f (a,b)x−a

y∂ f∂y

(a,b) = lımy→b

f (a,y)− f (a,b)y−b

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de campos escalares

Notacion alternativa para las derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω

Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN

)donde: a+ te1 =

(a1 + t , a2, . . . ,aN

)y a+ teN =

(a1, . . . ,aN−1 , aN + t

)lımt→0

f (a+ tek)− f (a)t

= α ∈ R

⇐⇒ lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

= α

Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:

∂ f∂xk

(a) = lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

∀k ∈ IN

Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :

∂ f∂x

(a,b) = lımx→a

f (x,b)− f (a,b)x−a

y∂ f∂y

(a,b) = lımy→b

f (a,y)− f (a,b)y−b

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de campos escalares

Notacion alternativa para las derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω

Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN

)donde: a+ te1 =

(a1 + t , a2, . . . ,aN

)y a+ teN =

(a1, . . . ,aN−1 , aN + t

)

lımt→0

f (a+ tek)− f (a)t

= α ∈ R

⇐⇒ lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

= α

Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:

∂ f∂xk

(a) = lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

∀k ∈ IN

Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :

∂ f∂x

(a,b) = lımx→a

f (x,b)− f (a,b)x−a

y∂ f∂y

(a,b) = lımy→b

f (a,y)− f (a,b)y−b

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de campos escalares

Notacion alternativa para las derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω

Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN

)donde: a+ te1 =

(a1 + t , a2, . . . ,aN

)y a+ teN =

(a1, . . . ,aN−1 , aN + t

)lımt→0

f (a+ tek)− f (a)t

= α ∈ R

⇐⇒ lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

= α

Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:

∂ f∂xk

(a) = lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

∀k ∈ IN

Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :

∂ f∂x

(a,b) = lımx→a

f (x,b)− f (a,b)x−a

y∂ f∂y

(a,b) = lımy→b

f (a,y)− f (a,b)y−b

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de campos escalares

Notacion alternativa para las derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω

Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN

)donde: a+ te1 =

(a1 + t , a2, . . . ,aN

)y a+ teN =

(a1, . . . ,aN−1 , aN + t

)lımt→0

f (a+ tek)− f (a)t

= α ∈ R

⇐⇒ lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

= α

Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:

∂ f∂xk

(a) = lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

∀k ∈ IN

Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :

∂ f∂x

(a,b) = lımx→a

f (x,b)− f (a,b)x−a

y∂ f∂y

(a,b) = lımy→b

f (a,y)− f (a,b)y−b

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivadas parciales de campos escalares

Notacion alternativa para las derivadas parciales

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , a = (a1,a2, . . . aN) ∈ Ω

Para t ∈ R y k ∈ IN se tiene: a+ tek =(a1, . . . ,ak−1 , ak + t , ak+1, . . . ,aN

)donde: a+ te1 =

(a1 + t , a2, . . . ,aN

)y a+ teN =

(a1, . . . ,aN−1 , aN + t

)lımt→0

f (a+ tek)− f (a)t

= α ∈ R

⇐⇒ lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

= α

Si f es parcialmente derivable en a , se tiene:

∂ f∂xk

(a) = lımxk→ak

f (a1, . . . ,ak−1 , xk , ak+1, . . . ,aN)− f (a)xk −ak

∀k ∈ IN

Caso N = 2 , (a,b) ∈ R2 :

∂ f∂x

(a,b) = lımx→a

f (x,b)− f (a,b)x−a

y∂ f∂y

(a,b) = lımy→b

f (a,y)− f (a,b)y−b

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivabilidad parcial en un abierto

Funcion derivada parcial

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable

cuando lo es en todo punto x ∈ Ω

Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk

(x) , de Ω en R

es la k-esima funcion derivada parcial de f

Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)∈ Ω , se tiene:

∂ f∂xk

(x) =∂ f∂xk

(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivabilidad parcial en un abierto

Funcion derivada parcial

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable

cuando lo es en todo punto x ∈ Ω

Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk

(x) , de Ω en R

es la k-esima funcion derivada parcial de f

Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)∈ Ω , se tiene:

∂ f∂xk

(x) =∂ f∂xk

(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivabilidad parcial en un abierto

Funcion derivada parcial

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable

cuando lo es en todo punto x ∈ Ω

Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk

(x) , de Ω en R

es la k-esima funcion derivada parcial de f

Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)∈ Ω , se tiene:

∂ f∂xk

(x) =∂ f∂xk

(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivabilidad parcial en un abierto

Funcion derivada parcial

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable

cuando lo es en todo punto x ∈ Ω

Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk

(x) , de Ω en R

es la k-esima funcion derivada parcial de f

Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)∈ Ω , se tiene:

∂ f∂xk

(x) =∂ f∂xk

(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivabilidad parcial en un abierto

Funcion derivada parcial

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable

cuando lo es en todo punto x ∈ Ω

Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk

(x) , de Ω en R

es la k-esima funcion derivada parcial de f

Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)∈ Ω , se tiene:

∂ f∂xk

(x) =∂ f∂xk

(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Derivabilidad parcial en un abierto

Funcion derivada parcial

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R , k ∈ IN

f es parcialmente derivable con respecto a la k-esima variable

cuando lo es en todo punto x ∈ Ω

Entonces, la funcion x 7→ ∂ f∂xk

(x) , de Ω en R

es la k-esima funcion derivada parcial de f

Para x =(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)∈ Ω , se tiene:

∂ f∂xk

(x) =∂ f∂xk

(x1, . . . ,xk−1 , xk ,xk+1, . . . ,xN

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

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Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

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Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

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Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

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Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

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Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (I)

Caso N = 2

Ω = Ω ⊂ R2 , f : Ω → R

Las derivadas parciales de f en un punto (x0,y0) ∈ Ω , cuando existen, son:

∂ f∂x

(x0,y0) = lımx→x0

f (x,y0)− f (x0,y0)x− x0

;∂ f∂y

(x0,y0) = lımy→y0

f (x0,y)− f (x0,y0)y− y0

En un punto generico (x,y) ∈ Ω podemos escribir

∂ f∂x

(x,y) = lımw→x

f (w,y)− f (x,y)w− x

;∂ f∂y

(x,y) = lımw→y

f (x,w)− f (x,y)w− y

Ejemplo

f (x,y) = ex seny ∀(x,y) ∈ R2 es parcialmente derivable con:

∂ f∂x

(x,y) = ex seny ,∂ f∂y

(x,y) = ex cosy ∀(x,y) ∈ R2

Observese que∂ f∂x

= f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Repaso de las derivadas parciales (II)

Segundo ejemplo

f (ρ,θ) =(

ρ cosθ , ρ senθ)

∀(ρ,θ) ∈ R2

Componentes: f = (x,y) donde

x(ρ,θ) = ρcosθ , y(ρ,θ) = ρsenθ , ∀(ρ,θ) ∈ R2

Se puede escribir: x = ρcosθ , y = ρsenθ (ρ,θ ∈ R)

x e y son parcialmente derivables y, para todo (ρ,θ) ∈ R2, se tiene:

∂x∂ρ

(ρ,θ) = cosθ ,∂x∂θ

(ρ,θ) =−ρsenθ ,∂y∂ρ

(ρ,θ) = senθ ,∂y∂θ

(ρ,θ) = ρcosθ

Observese que:∂x∂θ

=−y , y∂y∂θ

= x

f es parcialmente derivable y, para todo (ρ,θ) ∈ R2 se tiene:

∂ f∂ρ

(ρ,θ) =(

cosθ , senθ),

∂ f∂θ

(ρ,θ) =(−ρsenθ , ρcosθ

)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Gradiente de un campo escalar

Definicion de gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω

El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:

∇ f (a) =N

∑k=1

∂ f∂xk

(a)ek =(

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a))

Relacion entre la diferencial y el gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:

(1) f es diferenciable en a

(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:

lımx→a

f (x)− f (a)−(

∇ f (a)∣∣x−a

)‖x−a‖

= 0

Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(

∇ f (a)∣∣x

)∀x ∈ RN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Gradiente de un campo escalar

Definicion de gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω

El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:

∇ f (a) =N

∑k=1

∂ f∂xk

(a)ek =(

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a))

Relacion entre la diferencial y el gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:

(1) f es diferenciable en a

(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:

lımx→a

f (x)− f (a)−(

∇ f (a)∣∣x−a

)‖x−a‖

= 0

Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(

∇ f (a)∣∣x

)∀x ∈ RN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Gradiente de un campo escalar

Definicion de gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω

El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:

∇ f (a) =N

∑k=1

∂ f∂xk

(a)ek =(

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a))

Relacion entre la diferencial y el gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:

(1) f es diferenciable en a

(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:

lımx→a

f (x)− f (a)−(

∇ f (a)∣∣x−a

)‖x−a‖

= 0

Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(

∇ f (a)∣∣x

)∀x ∈ RN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Gradiente de un campo escalar

Definicion de gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω

El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:

∇ f (a) =N

∑k=1

∂ f∂xk

(a)ek =(

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a))

Relacion entre la diferencial y el gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:

(1) f es diferenciable en a

(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:

lımx→a

f (x)− f (a)−(

∇ f (a)∣∣x−a

)‖x−a‖

= 0

Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(

∇ f (a)∣∣x

)∀x ∈ RN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Gradiente de un campo escalar

Definicion de gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω

El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:

∇ f (a) =N

∑k=1

∂ f∂xk

(a)ek =(

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a))

Relacion entre la diferencial y el gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:

(1) f es diferenciable en a

(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:

lımx→a

f (x)− f (a)−(

∇ f (a)∣∣x−a

)‖x−a‖

= 0

Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(

∇ f (a)∣∣x

)∀x ∈ RN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Gradiente de un campo escalar

Definicion de gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable en a ∈ Ω

El gradiente de f en a es el vector ∇ f (a) ∈ RN definido por:

∇ f (a) =N

∑k=1

∂ f∂xk

(a)ek =(

∂ f∂x1

(a) ,∂ f∂x2

(a) , . . . ,∂ f∂xN

(a))

Relacion entre la diferencial y el gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R a ∈ Ω . Son equivalentes:

(1) f es diferenciable en a

(2) f es parcialmente derivable en a y se verifica que:

lımx→a

f (x)− f (a)−(

∇ f (a)∣∣x−a

)‖x−a‖

= 0

Cuando se cumplen (1) y (2) , se tiene: D f (a)x =(

∇ f (a)∣∣x

)∀x ∈ RN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Aclaracion de la relacion entre diferencial y gradiente

El espacio normado L(RN ,R)

Usemos en RN , a todos los efectos, la norma euclıdea

Fijado y ∈ RN , definimos Ty : RN → R por: Ty(x) = (y|x) ∀x ∈ RN

Entonces Ty ∈ L(RN ,R) con ‖Ty‖ = ‖y‖

Si ahora definimos Φ : RN → L(RN ,R) por: Φ(y) = Ty ∀y ∈ RN

Φ es lineal, biyectiva y conserva la norma,

Luego Φ identifica totalmente los espacios normados RN y L(RN ,R)

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a

∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Funcion gradiente

La funcion gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R parcialmente derivable

La funcion ∇ f : Ω → RN , x 7→ ∇ f (x) es la funcion gradiente de f

Componentes: ∇ f =(

∂ f∂x1

,∂ f∂x2

, . . . ,∂ f∂xN

)

Continuidad

Ω = Ω ⊂ RN , f ∈ D(Ω) , a ∈ Ω. Son equivalentes:

D f es continua en a

∇ f es continua en a∂ f∂xk

es continua en a , para todo k ∈ IN

Por tanto: f ∈C1(Ω) ⇐⇒ ∇ f ∈C(Ω) ⇐⇒ ∂ f∂xk

∈C(Ω) ∀k ∈ IN

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion fısica del gradiente

Derivadas direccionales y gradiente

Ω = Ω ⊂ RN , f : Ω → R direccionalmente derivable en a ∈ Ω fijo

Derivadas direccionales: f ′u(a) = lımt→0

f (a+ tu)− f (a)t

∀u ∈ S

f ′u(a) es la tasa de variacion del campo por unidad de longitud

en la direccion y sentido del vector u

Si f es diferenciable en a con ∇ f (a) 6= 0 y v = ∇ f (a)/‖∇ f (a)‖ :

f ′u(a) =(

∇ f (a)∣∣u

)6 ‖∇ f (a)‖= f ′v (a) ∀u ∈ S

En la direccion y el sentido del vector gradiente,

el campo aumenta lo mas rapidamente posible,

a razon de ‖∇ f (a)‖ unidades de campo por unidad de longitud

En el sentido opuesto, disminuye lo mas rapidamente posible

∇ f (a) = 0 =⇒ f ′u(a) = 0 ∀u ∈ S

a es un punto crıtico o estacionario del campo f

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0

(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Interpretacion geometrica del vector gradiente

Superficies en forma explıcita

Ω = Ω ⊂ R2 , Ω conexo, f : Ω → R2 continua

Superficie explıcita: Σ = Gr f = (x,y, f (x,y)

): (x,y) ∈ Ω ⊂ R3

Ecuacion explıcita de Σ : z = f (x,y) ∀(x,y) ∈ Ω

Otros dos tipos de superficie explıcita:

Σ1 = (

f (y,z),y,z)

: (y,z) ∈ Ω o bien Σ2 = (x, f (x,z),z

): (x,z) ∈ Ω

con ecuaciones: x = f (y,z) ∀(x,z) ∈ Ω o bien y = f (x,z) ∀(x,z) ∈ Ω

Supongamos que f es diferenciable en (x0,y0) ∈ Ω y sean

z0 = f (x0,y0) , P0 = (x0,y0,z0) ∈ Σ , α0 =∂ f∂x

(x0,y0) , β0 =∂ f∂y

(x0,y0)

Π0 = (x,y,z) ∈ R3 : z− z0 = α0(x− x0)+β0(y− y0)

es el plano tangente a la superficie Σ en el punto P0(α0 , β0 ,−1

)=

(∂ f∂x

(x0,y0) ,∂ f∂y

(x0,y0) ,−1)

es un vector normal a la superficie Σ en el punto P0

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Extremos absolutos y relativos

Extremos absolutos

/0 6= A , f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo absoluto, cuando f (a) > f (x) ∀x ∈ A

f tiene en a un mınimo absoluto, cuando f (a) 6 f (x) ∀x ∈ A

extremo absoluto = maximo absoluto o mınimo absoluto

Extremos relativos

E espacio metrico, /0 6= A ⊂ E f : A → R , a ∈ A

f tiene en a un maximo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) > f (x) ∀x ∈ B(a,r)

f tiene en a un mınimo relativo, cuando

∃ r ∈ R+ : B(a,r)⊂ A y f (a) 6 f (x) ∀x ∈ B(a,r)

extremo relativo = maximo relativo o mınimo relativo

extremo relativo ; extremo absoluto

extremo absoluto ; extremo relativo

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Puntos crıticos de un campo escalar

Condicion necesaria de extremo relativo

/0 6= A ⊂ RN , f : A → R

Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A

y es parcialmente derivable en el punto a

entonces ∇ f (a) = 0

Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0

se dice que f tiene en a un punto crıtico

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Puntos crıticos de un campo escalar

Condicion necesaria de extremo relativo

/0 6= A ⊂ RN , f : A → R

Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A

y es parcialmente derivable en el punto a

entonces ∇ f (a) = 0

Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0

se dice que f tiene en a un punto crıtico

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Puntos crıticos de un campo escalar

Condicion necesaria de extremo relativo

/0 6= A ⊂ RN , f : A → R

Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A

y es parcialmente derivable en el punto a

entonces ∇ f (a) = 0

Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0

se dice que f tiene en a un punto crıtico

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Puntos crıticos de un campo escalar

Condicion necesaria de extremo relativo

/0 6= A ⊂ RN , f : A → R

Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A

y es parcialmente derivable en el punto a

entonces ∇ f (a) = 0

Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0

se dice que f tiene en a un punto crıtico

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Puntos crıticos de un campo escalar

Condicion necesaria de extremo relativo

/0 6= A ⊂ RN , f : A → R

Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A

y es parcialmente derivable en el punto a

entonces ∇ f (a) = 0

Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0

se dice que f tiene en a un punto crıtico

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Puntos crıticos de un campo escalar

Condicion necesaria de extremo relativo

/0 6= A ⊂ RN , f : A → R

Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A

y es parcialmente derivable en el punto a

entonces ∇ f (a) = 0

Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0

se dice que f tiene en a un punto crıtico

Derivadas direccionales y parciales Derivadas parciales Vector gradiente

Puntos crıticos de un campo escalar

Condicion necesaria de extremo relativo

/0 6= A ⊂ RN , f : A → R

Si f tiene un extremo relativo en un punto a ∈ A

y es parcialmente derivable en el punto a

entonces ∇ f (a) = 0

Cuando f es parcialmente derivable en a ∈ A y ∇ f (a) = 0

se dice que f tiene en a un punto crıtico