CÁLCULO II...3. Máximo y mínimo de funciones de varias variables. 4. Derivadas direccionales y...

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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP

CÁLCULO II

Edición: 1 Año: 2019

Modalidad Presencial

2


Misión de UTEPSA:

“Lograr que cada estudiante desarrolle una

experiencia académica de calidad, excelencia,

con valores, responsabilidad social, innovación,

competitividad, y habilidades emprendedoras

durante su formación integral para satisfacer las

demandas de un mercado globalizado.”

Esto se sintetiza en:

“Educar para emprender y servir”

Visión de UTEPSA: “Ser una universidad referente y reconocida por su calidad académica, investigación y compromiso con la comunidad, en la formación de profesionales íntegros, emprendedores e innovadores, según parámetros y normativas nacionales e internacionales”.”

CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016

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¿Qué es la Guía MAAP?

Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros contenidos,

orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo aprovechamiento.

Esta herramienta, otorga independencia en el aprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras

actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar

diferentes competencias.

I. Recordatorios y Recomendaciones

Comportamiento en clases

Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna

circunstancia comen o beben dentro

el aula y tampoco organizan festejos

u otro tipo de agasajos en estos espacios,

para este fin está el Patio de Comidas.

Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los

espacios identificados para fumadores.

También se debe evitar la desconcentración o

interrupciones molestas por el uso indebido de

equipos electrónicos como teléfonos y tablets.

Cualquier falta de respeto a los compañeros, al

docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será sancionada de acuerdo al

Reglamento de la Universidad.

A su servicio Aunque las normas generales están claramente

establecidas, si a usted se le presenta una situación

particular o si tiene algún problema en el aula, o en

otra instancia de la Universidad, el Gabinete

Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para

ayudarlo.

Asistencia y puntualidad

Su asistencia es importante en TODAS las clases.

Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el

Reglamento de la Universidad se contemplan tres

faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del

Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted

sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA

ASIGNATURA.

Se considera “asistencia” estar al inicio, durante

y al final de la clase. Si llega más de 10 minutos

tarde o si se retira de la clase antes de que esta

termine, no se considera que haya asistido a

clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y

la puntualidad los días de evaluación.

4


II. Orientaciones para el aprendizaje La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con algunos

símbolos.

La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades:

Símbolo Actividad Descripción

Preguntas A través de cuestionarios, se repasan las bases teóricas generales para una mejor comprensión de los temas.

Prácticos y/o Laboratorios

Los prácticos permiten una experiencia activa; a través, de la puesta en práctica de lo aprendido las cuales, según la carrera, pueden desarrollarse en laboratorios.

Casos de Estudio y ABP

Son planteamientos de situaciones reales, en los que se aplica los conocimientos adquiridos de manera analítica y propositiva.

Investigación Las actividades de investigación, generan nuevos conocimientos y aportes a lo aprendido.

Innovación y/o Emprendimiento

A través de esta actividad, se agrega una novedad a lo aprendido, con el fin de desarrollar habilidades emprendedoras.

Aplicación

Al final de cada unidad y después de haber concluido con todas las actividades, se debe indicar, cómo los nuevos conocimientos se pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y a las actividades cotidianas.

Ética Responsabilidad

Social Formación

Internacional Idioma Ingles

Serán actividades transversales que pueden ser definidas en cualquiera de las anteriores actividades.

5


III. Datos generales ASIGNATURA: CÁLCULO II SIGLA: BMS-302 PRERREQUISITO: BMS-301 CÁLCULO I APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL: El estudiante podrá conocer y aplicar los conceptos de Series numéricas y funcionales, cálculo diferencial en n variable e integrales múltiples. El énfasis en el desarrollo de la materia está en las interpretaciones geométricas, conducentes a que el estudiante adquiera habilidad para plantear y resolver problemas de aplicación, para utilizarlo como herramienta en cursos de especialidad y en su desarrollo profesional. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA: Al finalizar el curso el estudiante será capaz de:

1. Resuelve problemas del campo vectorial espacial. 2. Resolver problemas específicos de aplicación a la geometría analítica. 3. Realizar el cálculo de integrales dobles y triples. 4. Realizar el cálculo de integrales en línea.

ESTRUCTURA TEMÁTICA Unidad 1 Tema: Campos vectoriales Objetivos de aprendizaje:

Definir el concepto de un vector

Resolver ejercicios aplicando el método gráfico y el método analítico.

Resolver ejercicios aplicando el producto escalar, vectorial y triple. Contenidos

1. Modulo, dirección y sentido 2. Método analítico y gráfico de sumas y restas de vectores 3. Método del paralelogramo 4. Distancia entre dos puntos 5. Producto escalar 6. Producto vectorial 7. Producto triple

Unidad 2 Tema: Geometría analítica del espacio Objetivos de aprendizaje:

Definir el concepto de superficie. Identificar las superficies planteadas matemáticamente. Graficar las superficies planteadas matemáticamente. Resolver problemas específicos de aplicación de geometría analítica

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Contenido: 1. Coordenadas rectangulares y vectores tridimensionales. 2. Producto vectorial de dos vectores. 3. Rectas y planos en el espacio. 4. Curvas y movimiento en el espacio. 5. Cilindros y superficies cuadráticas. 6. Coordenadas cilíndricas y esféricas.

Unidad 3 Tema: Derivadas parciales Objetivos de aprendizaje:

Aplicar la definición para hallar la primera derivada. Aplicarlas reglas de derivación y hallar las derivadas de las funciones de varias

variables propuestas. Calcular los puntos máximos y/o mínimos de las funciones de varias variables propuestas. Aplicar los conceptos básicos de derivadas, resolver los problemas de aplicación relacionados

a los cálculos tecnológicos e industriales. Contenido:

1. Funciones de varias variables. 2. Límite y continuidad. 3. Máximo y mínimo de funciones de varias variables. 4. Derivadas direccionales y vector gradiente. 5. Multiplicadores de Lagrange y problemas de máximo y mínimo con restricciones. 6. Criterio de la segunda derivada, para funciones de dos variables.

Unidad 4 Tema: Integrales dobles Objetivos de aprendizaje:

Realizar el cálculo de integrales dobles. Realizar el grafico de regiones y aplicar en ellas integrales dobles para el cálculo de áreas o

volúmenes. Contenido:

1. Integrales dobles sobre regiones más generales. 2. Área y volumen mediante integración doble.

Unidad 5 Tema: Integrales dobles en coordenadas polares Objetivos de aprendizaje:

Realizar el cálculo de integrales dobles. Realizar el grafico de regiones y aplicar en ellas integrales dobles para el cálculo de áreas o


1. Aplicaciones de las integrales dobles.

7


Unidad 6 Tema: Integrales triples Objetivos de aprendizaje:

Realizar el cálculo de integrales triples. Realizar el grafico de regiones y aplicar en ellas integrales triples para el cálculo de áreas o


1. Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas. 2. Área de una superficie. 3. Cambio de variables en integración múltiple.

Unidad 7 Tema: Integrales en Línea Objetivos de aprendizaje:

Definir los conceptos referentes a cantidad escalar y vectorial. Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación escalar, vectorial y triple con vectores. Resolver problemas específicos de aplicación de las operaciones estudiadas.

Contenido: 1. Campos vectoriales. 2. Integrales de línea. 3. Independencia de la trayectoria. 4. Teorema de Green. 5. Integrales de superficie. 6. Teorema de la divergencia. 7. Teorema de Stokes.

BIBLIOGRAFÍA

YANQUI MURRILLO. “El cálculo 2 con Geometría analítica”

CHUNGARA CASTRO VICTORN “Calculo II”

CHUMACERO MARIO DANTE “Calculo II”

LOUIS LEITHOLD. “El cálculo 2 con Geometría analítica”

COMPLEMENTARIA

HOWARD ANTON - BIVENS IRL-DAVIS STEPHEN,

(2009). Cálculo Multivariable. Mexico: Limusa S.A.

JAMES STEWART, (2008). Cálculo de varias variables: trascendentes

tempranas. México: Cengage learning.

LARSON, R; HOSTETLER,R.(2006). Cálculo y Geometría Analítica. Colombia: Mac-Graw Hill.

William. (2013). Solucionario de Calculo diferencial e integral. 2017, de El rincón de los libros

book.blogspot.com

8


PÁGINAS WEB Se sugiere visitar las siguientes páginas:

- http://www.utepsa.edu/v2

- http:// manfredohurtado.jimdo.com

- Solucionario: http://elrincondeloslibrosebook.blogspot.com/2013/12/calculo-diferencial-e-integral-william.html

- Libros PDF: http://www.librospdf.net/demidovich,-calculo-diferencial-e-integral-matematicas/1/

- Videos: http://julioprofe.net/courses_group/calculo/

IV. Sistema de Evaluación A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura:

NÚM. TIPO DE EVALUACIÓN

UNIDADES A EVALUAR PUNTOS SOBRE 100

1 PRUEBA PARCIAL Unidades 1, 2, 3 y 4 15

2 PRUEBA PARCIAL Unidades 5, 6 y 7 15

3

TRABAJOS PRÁCTICOS (PROBLEMAS ABP-EJERCICIOS)

Ejercicios propuestos en la guía MAAP, Problemas ABP. Realizados en clases y en su domicilio.

20

4 EVALUACIÓN FINAL Todos los temas de forma integral desde la Unidades 1 a 7

50

Descripción de las características generales de las evaluaciones:

PRUEBA PARCIAL 1

La primera evaluación está referida a ejercicios prácticos y problemas ABP de Funciones y Límites.

PRUEBA PARCIAL 2

La segunda evaluación está referida a ejercicios y problemas ABP de aplicación de las Derivadas.

TRABAJOS PRÁCTICOS

Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje como el Trabajo Final de aplicación de Calculo I, que los estudiantes realizarán durante la materia, ya sea en forma individual o grupal.

EVALUACIÓN FINAL

La evaluación final tiene 2 opciones: La primera opción está dada por el 50 puntos directa a través de ejercicios y problemas ABP. Del total del avance. La segunda opción está dada por 40 puntos en una evaluación final escrita, y los 10 puntos restantes se evaluara a través de un trabajo final de aplicación referente al contenido de la materia.

http://elrincondeloslibrosebook.blogspot.com/2013/12/calculo-diferencial-e-integral-william.html

http://elrincondeloslibrosebook.blogspot.com/2013/12/calculo-diferencial-e-integral-william.html

http://www.librospdf.net/demidovich,-calculo-diferencial-e-integral-matematicas/1/

http://www.librospdf.net/demidovich,-calculo-diferencial-e-integral-matematicas/1/

http://julioprofe.net/courses_group/calculo/

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V. Guía para el Trabajo Final

INSTRUCCIONES

Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final.

El trabajo deberá presentarse impreso con las siguientes características:

Hoja de papel bond tamaño carta.

Margen superior de 3 cm. Inferior de 3 cm. derecho de 4 cm. e inferior 2.5 cm.

Letra Arial 12, Interlineado de 1,5.

OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL:

Llevar a la práctica los conocimientos adquiridos en la materia de Calculo II, referente a la

aplicación en la práctica de uno de los temas del contenido de la materia (Campos vectoriales,

Graficas cuadráticas, Derivadas Parciales, cálculo de área y /o volumen utilizando Integrales doble

o triples) en un caso real.

ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL:

i) CARÁTULA

Nombre de la Universidad

Nombre de la Facultad a la que pertenece

Nombre de la Carrera

Nombre de la Materia

Nombre del Docente

Nombre de los Integrantes del grupo

Fecha y año

ii) CONTENIDO INTERNO

ÍNDICE I. INTRODUCCIÓN

Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio. II. OBJETIVOS

2.1. Objetivo general

Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo 2.2. Objetivos específicos

Pasos a seguir para llegar al objetivo general III. FUNDAMENTOS TEORICOS

Realizar mínimo 15 conceptos teóricos de las unidades de donde se realiza el trabajo. IV. TABULACION DE DATOS

4.1. Formulas, Cálculos 4.2. Gráficos e interpretaciones

V. CONCLUSIONES

Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en el trabajo.

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VI. Objetivos y Actividades de cada Unidad

Unidad No 1 CAMPOS VECTORIALES

Objetivos de aprendizaje: Conocer y aplicar conceptos de campos vectoriales

Definir los conceptos referentes a cantidad escalar y vectores

Definir los conceptos referentes a cantidad escalar y vectores. Un vector tiene: una dirección un sentido y un módulo.

Magnitud vectorial

Magnitud escalares

Gráfico de un vector La longitud es la magnitud (m.e.d.)

La inclinación es la dirección

La flecha indica el destino

Sistema de coordenadas en el espacio vectores en el espacio

Sistema de coordenadas

Sistema de coordenadas en el espacio: Un sistema de coordenadas en el espacio es la intersección de tres ejes coordenados: eje de las X , eje de las Y y el eje de las Z. Estos ejes determinan los tres planos coordenados.

11


Puntos de espacio

𝑃1 = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3)

𝑃1 = (1; 2; 3)

Representación de Vectores: representación analítica de un vector

𝐴 = 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘 𝑜 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦; 𝑎𝑧)

Representación gráfica del vector

𝐴 = (2,6,4)

Modulo del Vector

|𝐴| = √𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘

Hallar el modulo del vector 𝐴

[𝐴] = √22 + 62 + 32 = ±7

Dirección del vector; El mismo que está dado por los cosenos directores Cosenos directores

cos 𝛼 =𝑎𝑥

|𝐴|

cos 𝛽 =𝑎𝑦

|𝐴|

cos 𝛾 =𝑎𝑧

|𝐴|

12


Encontrar las direcciones del vector 𝐴

cos 𝛼 =2

7→ 𝛼 = cos−1

2

7= 73° 23′54,42"

cos 𝛽 =6

7→ 𝛽 = cos−1

6

7= 31° 0′9,79"

cos 𝜑 =3

7→ 𝜑 = cos−1

3

7= 64° 37′23,04"

Sentido El sentido del vector está representado por donde indica la orientación de la flecha del mismo. Vector unitario 𝑖 = 𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = 𝑗 = (0,1,0) 𝑘 = �� = (0,0,1)

𝐴�� =𝐴

[𝐴]

Hallar el vector unitario del vector 𝐴

𝐴�� =

(2,6,3)

± 7= {

𝐴 =(2,6,3)

7=

2

7𝑖 +

6

7𝑗 +

3

7��

𝐴 =(2,6,3)

−7= −

2

7𝑖 −

6

7𝑗 −

3

7��

Prueba

|𝐴��| = 2

7𝑖 +

6

7𝑗 +

3

7�� = √(

2

7)2

+ (6

7)2

+ (3

7)2

|𝐴��| = √4

49+

36

49+

9

49

|𝐴��| = √49

49= 1

Algebra de Vectores Suma y resta: Se puede realizar por el método analítico o gráfico.

Método analítico

𝐴 + �� = (𝑎1 + 𝑏1; 𝑎2 + 𝑏2; 𝑎3 + 𝑏3)

𝐴 − �� = (𝑎1 − 𝑏1; 𝑎2 − 𝑏2; 𝑎3 − 𝑏3)

13


Método gráfico: A través del Método del paralelogramo

Hallar gráficamente la suma de los vectores 𝐴 (-5, 2, 3) y 𝐵 (2, 3, -1)

Método analítico:

Hallar por el método analítico la suma de los vectores 𝐴 (-5, 2, 3) y 𝐵 (2, 3, -1)

Opción I: 𝐴 + 𝐵 = (-5, 2, 3) + (2, 3, -1) = (-3, 5, 2)

Opción II: 𝐴 + 𝐵 = (-5i +2i+3k) + (2i +3i-1k)= -3i+5j+2k

Distancia entre puntos: 𝑝1 = 𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 𝑝2 = 𝑥2; 𝑦2; 𝑧2

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

Calcular la distancia entre dos puntos 𝑝1 = −5𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 𝑝2 = 2𝑖 + 3𝑗 − 1𝑘

𝑝2 − 𝑝1 = (−7,−1, 4)

𝑑 = √(−7)2 + (−1)2 + (4)2

𝑑 = √49 + 1 + 16

14


𝑑 = √66 = 8.1

Producto Escalar: Da como resultado una cantidad escalar

𝐴 ∗ �� = |𝐴| . |��| cos 𝐴𝐵

𝐴 ∗ �� = (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3)

Ejemplo: Hallar el producto escalar

𝐴 = (3,− 4, 6) �� = (−6 , 0,−9)

𝐴 ∗ �� = −18 + 0 − 54 = −72

Hallar el ángulo entre los vectores 𝐴 = −5𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 y 𝐵 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝐾

𝐴 ∗ �� = (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) = |𝐴|. |��| cos 𝐴𝐵

cos ∝ =𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3

|𝐴|. |��|

∝= cos−1 [−10 − 6 − 3

√25 + 4 + 9 . √4 + 9 + 1]

= cos−1 [−19

√38 . √14]

∝= 145°27′44,7

Producto Vectorial: Da como resultado un tercer vector perpendicular a los anteriores

𝐴𝑥�� = |𝐴|. |��|. sin ∅

𝐴𝑥𝐵 = |

𝑖 𝑗 𝑘𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧

𝑏𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧

|

15


Hallar el producto vectorial entre 𝐴 = −5𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 𝐵 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘

𝐴𝑥�� = | 𝑖 𝑗 𝑘

−5 − 2 3 2 3 − 1

| = 𝑖 |−2 3 3 − 1

| − 𝑗 |−5 3 2 − 1

| + 𝑘 |−5 − 2 2 3

|

𝐴𝑥�� = (2 − 9)𝑖 − (5 − 6)𝑗 + (−15 + 4)𝑘 = −7𝑖 + 𝑗 − 11𝑘) Calculo del área del paralelogramo: Para hallar el área se calcula el producto vectorial entre las vectores dadas y luego el modulo del vector resultante

Hallar el área del paralelogramo de los vectores

𝐴𝑥�� = −7𝑖 − 𝑗 − 11𝑘

|𝐴𝑥��| = √49 + 1 + 121 = √171 = 13.08 𝑚2

Para hallar el área de uno de los triángulos que forma el paralelogramo de los vectores se tiene:

𝐴 ∗ �� = −7𝑖 − 𝑗 − 11𝑘

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = |��𝑥��|

2=

√171

2=

13.08 𝑚2

2= 6.54𝑚2

Producto triple Deben tener el mismo punto de origen el resultado del producto da como resultado o 0 indica que los vectores son coplanarios, es decir, que los 3 esta, en un mismo plano.

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Hallar el producto triple de 𝐴 = −5𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 𝐵 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 𝐶 = 4𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘

|𝐴 ∗ �� ∗ 𝐶| = |−5 − 2 3 2 3 − 1 4 − 2 3

| = −5 | 3 − 1−2 3

| − (−2) |2 − 14 3

| + 3 |2 34 − 2

|

|𝐴 ∗ �� ∗ 𝐶| = −5 (9 − 2 ) + 2(6 + 4) + 3 (−4 − 12) = −35 + 20 − 48 = −63

Verificar analíticamente si los vectores A,B y C son coplanarios

𝐴(3 , 2, 1) ��(5 , −3,−4) 𝐶(8 , −1,−3)

|𝐴 ∗ �� ∗ 𝐶| = |3 2 1 5 − 3 − 4 8 − 2 − 3

| = 3 |−3 − 4−1 − 3

| − 2 |5 − 48 − 3

| + 1 |5 − 38 − 1

|

|𝐴 ∗ �� ∗ 𝐶| = 3(9 − 4) − 2(−15 + 32) + 1 (−5 + 24) = 15 − 34 + 29 = 0

Si son, entonces todos están en el mismo plano.

PRÁCTICO Nº 1

1. Dado el vector �� = 2i - 2j + k

a) Calcular el modulo la dirección, el sentido y graficar el vector.

2. Dados los vectores

�� = 3𝑖 − 5𝑗 + 1𝑘 �� = 4𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘

a) Calcular el área de los paralelogramos que forman estos vectores, b) Calcular el área del triángulo que forma el paralelogramo.

c) Calcular el Angulo que forman estos dos vectores.

d) Determinar la distancia que existe entre las cabezas de estos dos vectores.

3. Hallar el producto triple, verificando si estos vectores son coplanarios

�� = 5𝑖 + 7𝑗 − 5𝑘 �� = −8𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 �� = 7𝑖 − 3𝑗 + 3𝑘

4. Calcule el producto escalar de 2i + 3j + 4k con 4i + 9j - 3k.

5. Determine el ángulo entre 2i + j - 2k y 3i – 4j

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6. Realizar las siguientes operaciones:

Dado lo vectores:

𝐴 = (1, 2, 3)

𝐵 = (3,−1, 2)

a) 𝐴 ∗ �� =

b) Angulo entre = 𝐴 𝑦 𝐵

c) 𝐴 + �� =

d) 𝐴 − �� =

e) |𝐴𝑥��| =

f) 𝐴𝑥�� = 7. ¿Cuáles son los cosenos directores del vector 2i - 2j + k?

8. Hallar el producto vectorial entre = 𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 1𝑘 𝐵 = 4𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘

9. Hallar el producto triple de

𝐴 = 3𝑖 + 1𝑗 − 5𝑘 𝐵 = −4𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 𝐶 = 7𝑖 − 3𝑗 + 3𝑘 10. Sean los vectores:

)0.3,1(y)2,0,3(),3,1,2( cba

Determinar

a) cba

32 b) )2(3)3(2 bcba

11. Encuentre el área del triángulo que tiene los vértices en los siguientes puntos:

a) )0.3,1(y)2,0,3(),3,1,2( CBA

b) )30,1(y)2,3,0(),0,1,2( CBA

Investigación

Investigar algunas aplicaciones del cálculo vectorial a la mecánica de fluidos.

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Unidad 2 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO Objetivos de aprendizaje:

Análisis de figuras geométricas dentro de los sistemas de coordenadas.

Deducir y manejar las ecuaciones y las propiedades de las curvas o superficies más utilizadas en la matemática.

Geometría Analítica del espacio: Es la rama de la matemática que analiza las figuras

geométricas utilizando el método de coordenadas lo que permite resolver problemas geométricos por medios algebraicos. La recta: Se quiere construir una recta que pase por las puntas 𝑅𝑂=(𝑋0, 𝑌0, 𝑍0) y 𝑅=(𝑋, 𝑌, 𝑍) y que sea paralela al vector 𝑉 = (𝑉𝑋 , 𝑉𝑌 , 𝑉𝑍) La ecuación de la recta se convierte en:

R – Ro = tv Donde t= parámetro

Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (1 , 2, 1) cuyo vector director es V (4, 5, -1)

𝑹 − 𝑹𝟎 = 𝒕𝒗 (𝑥, 𝑦, 𝑧) − (1, 2, 1) = 𝑡(4, 5,−1) (𝑥 − 1; 𝑦 − 2; 𝑧 − 1) = (4𝑡, 5𝑡,−𝑡) Ecuaciones paramétricas de la recta

{𝑥 − 1 = 4𝑡𝑦 − 2 = 5𝑡𝑧 − 1 = −𝑡

= {𝑥 = 4𝑡 + 1𝑦 = 5𝑡 + 2𝑧 = 1 − 𝑡

Ecuaciones no paramétricas de una recta

{

𝑡 =

𝑥 − 1

4

𝑡 =𝑦 − 2

5𝑡 = 1 − 𝑧

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Ecuaciones reducidas de una recta

{𝑥 − 1 = 4 (1 − 𝑍)𝑦 − 2 = 5 (1 − 𝑍)

{𝑥 + 4𝑍 = 5𝑦 − 2 = 7

Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P(1,2,3) Y Q (-1,0,2)

�� = �� − �� = (2, 2, 1) Se puede elegir cualquier vector: Usaremos Q

(𝑋𝑌𝑍) = (

−102

) + 𝑡 (221) (

𝑋𝑌𝑍) = 𝑄 + 𝑡𝑃

Ecuación Paramétrica

{𝑥 = −1 + 2𝑡 𝑦 = 0 + 2𝑡 𝑧 = 2 + 𝑡

Ecuación no paramétrica

{

𝑡 =

𝑥 + 1

2

𝑡 =𝑦

2

𝑡 = 𝑧 − 2

Reducidas

{𝑥 = −1 + 2 (𝑧 − 2)

𝑦 = 2 (𝑧 − 2) {

𝑥 − 2𝑧 = 5𝑦 − 2𝑧 = −4

El plano Se quiere construir un plano que pase por el punto 𝑅0(𝑋0, 𝑌0, 𝑍0) y R (x, y, z) y que sea perpendicular al vector 𝑁(𝑁𝑋 , 𝑁𝑌, 𝑁𝑍)

(𝑹 − 𝑹𝟎)𝑵 = 𝟎

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Ejemplo hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A (1, 2, 1) y que es perpendicular al vector N (4, 5-1)

(𝑹 − 𝑹𝟎).𝑵 = 𝟎 [(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (1,2,1)](4, 5,−1) = 0 (𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 − 1, 𝑧 − 1)(4, 5,−1) = 0 4(𝑥 − 1) + 5(𝑦 − 2) + (−1)(𝑧 − 1) = 0 𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟑 (Ecuación del plano)

Distancia de un punto a un plano Dados: 𝑃 = (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) 𝑅 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷

𝑑 =|𝐴𝑝1 + 𝐵𝑝2 + 𝐶𝑝3 + 𝐷|

√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2

Calcula la distancia entre 𝑃𝑒(2, 6, 9) y el plano 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0 Terminar el punto 𝑃0 del plano

{𝑥 = 0 𝑦 = 0

= 𝑍 = 4 𝑃0(0, 0, 4) ��(1, 2, 1)

𝑑 =[(1 ∗ 2) + (2 ∗ 6) + (2 ∗ 9)] − 8

√12 + 22 + 22

𝑑 =24

√9=

24

3= 8 Unidades.

Distancia entre dos planos paralelos

Hallar la distancia entre dos puntos ∝:2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0

𝛽: 4𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 + 15 = 0

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Para aprobar =∝

𝛽 deben ser iguales la división entre ellos

2

4=

−1

−2=

−2

−4≠

5

15

Hallar el 𝑃𝛽

{𝑥 = 0 𝑦 = 0

= 𝑍 =15

4 𝑃0(0, 0,

15

4) ��(2, −1, −2) ∝ : 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0

𝑑 =[(0 ∗ 2) + (0 ∗ (−1)) + ((−2) ∗

154

)] + 5

√22 + (−1)2 + (−2)2

𝑑 =|−

5

2|

√9 =

5

23

1

=5

6 Unidades.

Calcular un plano paralelo a otro plano

Si ∝: 2x+ y+ 2z- 9 = 0; hallar otro plano 𝛽 paralelo distante 6 unidades

Determino un punto en el plano y. ��

{𝑥 = 0 𝑦 = 0

= 𝑦 = 9 𝑃0(0, 9, 0) ��(2, 1, 2)

Ecuación reducida 𝒙 − 𝒙𝟎

𝑨+

𝒚 + 𝒚𝟎

𝑩+

𝒛 − 𝒛𝟎

𝑪= 𝟏

Ecuación Paramétrica: P(0, 9, 0)

𝑋 − 0

2=

𝑌 − 9

1=

𝑍 − 0

2= 𝑡 = {

𝑥 = 2𝑡 𝑦 = 𝑡 + 9 𝑧 = 2𝑡

𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)

𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)𝟐

𝑑 = √(2𝑡 − 0)2 + (𝑡 + 9 − 9)2 + (2𝑡 − 0)2 = 6

= √4𝑡2 + 𝑡2 + 4𝑡2 = 6 = √9𝑡2 = 6 = 3𝑡 = 6 = 𝑡 =6

3= 𝑡 = 2

𝑡 = 2 𝑥 = 4, 𝑦 = 11, 𝑧 = 4

22


��(2, 1, 2) 𝜷 = 𝑨(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝑩(𝒚 − 𝒚𝟎) + 𝑪(𝒛 − 𝒛𝟎) = 𝟎 𝛽: 2(𝑥 − 4) + (𝑦 − 11) + 2(𝑧 − 4) = 0 𝛽: 2𝑥 − 8 + 𝑦 − 11 + 2𝑧 − 8 = 0 𝜷: 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟐𝟕 = 𝟎 (Ecuación del plano paralelo al plano ∝)

SUPERFICIES CUADRÁTICAS: Ecuación general de las superficies cuadráticas

A𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹𝑍 + 𝐺 = 0

La esfera: Para que una superficie sea esfera debe cumplir 3 condiciones:

1. Las tres variables tienen que estar elevadas al cuadrado. 2. Los signos de las variables al cuadrado son iguales. 3. Los coeficientes de las variables elevadas al cuadrado son

iguales.

Ecuación general: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹𝑍 + 𝐺 = 0 Ecuación canónica: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑙)2 = 𝑟2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐(ℎ, 𝑘, 𝑙) 𝑠𝑖 𝑐(0, 0, 0) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2

Ejemplo: Identificar y graficar la siguiente superficie

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟏 = 𝟎

𝑥2 − 2𝑥 + (2

2)2

+ 𝑦2 + 4𝑦 + (4

2)2

+ 𝑧2 = 1 + 1 + 4

(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 + (𝑧 − 0)2 = 22 h=1; k=-2; 1=0 𝑐(1, −2,0) R = 2

23


𝑥 = 1

(𝑦 + 2)2 + (𝑧 − 0)2 = 22

Traslación

Elipsoide: Para que una superficie sea elipsoide debe cumplir 3

condiciones 1. Las tres variables estas elevadas al cuadrado. 2. Los signos de los variables al cuadrado son distintos. 3. Los coeficientes de las variables al cuadrado son distintos.

Ecuación general: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹𝑍 + 𝐺 = 0

Ecuación canónica: (𝑥−ℎ)2

𝑎2 +(𝑦−𝑘)2

𝑏2 +(𝑧−𝑙)2

𝑐2 = 1

𝑆𝐼 𝑐(0, 0, 0) 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 = 1

Ejemplo

𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒛𝟐 − 𝟕𝟐𝒙 − 𝟓𝟒𝒚 − 𝟔𝟒𝒛 + 𝟑𝟕 = 𝟎 36𝑥2 − 72𝑥 + 9𝑦2 − 54𝑦 + 16𝑧2 − 64𝑧 = −37

36 [𝑥2 − 2 + (2

2)2

] + 9 [𝑦2 − 6𝑦 + (6

2)2

] + 16 [𝑧2 − 4𝑧 + (4

2)2

]

= −37 + 36 + 81 + 64 36(𝑥 − 1)2 + 9(𝑦 − 3)2 + 16(𝑧 − 2)2 = 144 (÷ 144) (𝑥 − 1)2

4+

(𝑦 − 3)2

16+

(𝑧 − 2)2

9= 1

=(𝑥 − 1)2

22 +(𝑦 − 3)2

42 +(𝑧 − 2)2

32 = 1

c (1, 3, 2)

24


Trazos Plano xy z=0 Plano yz x=0 Plano xz y=0 Si x=1 (𝑦 − 3)2

42 +(𝑧 − 2)2

32 = 1

Si y=3 (𝑥 − 1)2

22 +(𝑧 − 2)2

32 = 1

Si z=2 (𝑥 − 1)2

22 +(𝑦 − 3)2

42 = 1

Hiperboloide de una hoja: Para que una superficie sea hiperboloide de una hoja debe cumplir dos condiciones

1. Las 3 variables tienen que estar elevados al cuadrado 2. Una de las variables al cuadrado tiene signo negativo.

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2 +(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 −(𝑧 − 𝑙)2

𝑐2 = 1

Ejemplo

𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟗𝒛𝟐 = 𝟑𝟔 (÷ 𝟑𝟔) 𝑥2

36+

4𝑦2

36−

9𝑧2

36=

36

36

𝑥2

62 +𝑦2

32 −𝑧2

22 = 1

(𝑥 − 0)2

62 +(𝑦 − 0)2

32 −(𝑧 − 0)2

22 = 1

𝑐(0, 0, 0) Si x = 0 (𝑦 − 0)2

32 −(𝑧 − 0)2

22 = 1

25


−𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 = 1 𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 = 1 𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 −𝑧2

𝑐2 = 1

Traslación

Hiperboloide de dos hojas: Para que una superficie sea hiperboloide de dos hojas deben cumplir dos condiciones

1. Las tres variables deben estar, elevadas al cuadrado. 2. Dos de las variables al cuadrado tienen signo negativo.

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2 −(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 −(𝑧 − 𝑙)2

𝑐2 = 1

𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 −𝑧2

𝑐2 = 1 −𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 −𝑧2

𝑐2 = 1 −𝑥2

𝑎2 −𝑦2

𝑏2 +𝑧2

𝑐2 = 1

26


Ejemplo identificar y graficar la superficie

𝒛𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 𝑧2

22 −𝑥2

(√2)2 −

𝑦2

(√2)2 = 1

(𝑧 − 0)2

22 −(𝑥 − 0)

(√2)2 −

(𝑦 − 0)2

(√2)2 = 1

𝑐(0, 0, 0) Si x = 0 Si y = 0

(𝑧−0)2

22 −(𝑦−0)2

(√2)2 = 1

(𝑧−0)2

22 −(𝑥−0)

(√2)2 = 0

Traslación

Paraboloide elíptico: Para que una superficie sea paraboloide elíptico

1. Participar las tres variables. 2. Dos variables deben estar elevadas al cuadrado. 3. Los signos de las variables al cuadrado deben ser iguales.

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2 +(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 −(𝑧 − 𝑙)

𝑐= 1

27


𝑧 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑧2 𝑧 = −𝑎𝑦2 − 𝑏𝑧2 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥2

𝑦 = −𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥2 𝑥 = 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑦2 𝑥 = −𝑎𝑥2 − 𝑏𝑦2

𝑧 = −𝑎𝑦2 − 𝑏𝑧2 𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑧2 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑧2

Ejemplo: identificar y graficar la superficie

𝐲 = 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 𝑦 − 3 + 1 = 𝑥2 + 𝑧2 − 2𝑧 + (1)2 (𝑦 − 2) = (𝑥 − 0)2 + (𝑧 − 1)2 C(0, 2, 1)

Paraboloide hiperbólico: Para que sea paraboloide

hiperbólico una superficie debe cumplir tres condiciones.

1. Participan las tres variables. 2. Dos variables deben estar elevadas al cuadrado. 3. Los signos de las variables elevados al cuadrado deben

ser distintos.

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2 −(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 − (𝑧 − 𝑙) = 1

28


Ejemplo: identificar y graficar la superficie 𝑧 = 𝑥2−𝑦2 𝑦 = 0 𝑧 = 0 𝑧 < 0;−1 = 𝑥2 − 𝑦2

𝑥 = 0 𝑧 = 𝑥2 𝑧 > 0; 1 = 𝑥2 − 𝑦2 −𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2

Traslación z y z 𝑥2 0 0 0 0 -1 (-1) 4 2 -1 1 1 -1

Para practicar en clase

1. −𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 = 0 2. −𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑧2 = 0 3. y = 2𝑥2 + 𝑧2 4. y = 𝑥2 − 𝑧2

Cono: Para que una superficie sea cono debe cumplir tres condiciones.

1. Las tres variables deben estar elevados al cuadrado. 2. Una o dos de ellas llevan signo negativo. 3. La ecuación es igual a 0.

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2 +(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 −(𝑧 − 𝑙)

𝑐= 0

29


𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 − 𝑐𝑧2 = 0 −𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 − 𝑐𝑧2 = 0 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑦2 − 𝑐𝑧2 = 0

Ejemplo identificar y graficar la superficie

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐𝟐𝒚 − 𝒛𝟐 + 𝟓 = 𝟎

𝑥2 − 4𝑥 + (4

2)2

+ 𝑦2−2𝑦 + (2

2)2

− 𝑧2 = −5 + 4 + 1

(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 − (𝑧 − 2)2 = 0 𝑐(𝑧, 1, 0) [𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒] Si 𝑥 = 𝑧

(𝑦 − 1)2 − (𝑧 − 2)2 = 0 [(𝑦 − 1) − (𝑧)][(𝑦 − 1) + (𝑧)] = 0) (𝑦 − 1 − 𝑧)(𝑦 − 1 + 𝑧) = 0

Trasladación

Cilindro: Para que una superficie sea cilindro debe cumplir tres condiciones.

1. Solo participan dos variables 2. Ambas variables deben estar elevadas al cuadrado. 3. Los signos de las variables elevadas al cuadrado deben ser iguales.

(𝑥 − ℎ)2

𝑎2 +(𝑦 − 𝑘)2

𝑏2 = 1

30


Ejemplo Identificar y graficar la superficie 𝑥2 + 𝑦2 = 5 + 4𝑦 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑦 + (2)2 = 5 + 4 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 9 (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 = 32 𝑐(0, 2) 𝑅 = 3

Trasladación 𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑧2 = 1 𝑎 𝑦2 + 𝑏𝑧2 = 1

𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 + 2 = 0 PRÁCTICO Nº 2 Recta y Plano

1. Encontrar los tres tipos de ecuaciones de la recta que forman y que pasan por los puntos

P1 = ( -2, - 3, 1 ), y P2 = (- 1, 3, - 4 ). 2. Hallar la ecuación de un plano que pase por el punto M = (2, 1, - 3 ) y que el vector

perpendicular es �� = 5 i – 3j – 2k 3. Calcular la distancia entre el punto A = (3; - 1; - 2) y el plano X + 3Y – 3Z – 12= 0 4. Calcular la distancia entre los planos A y B, verificar si estos son paralelos, 5. A: 3X + 9Y – 9Z – 9 = 0 y el plano B : X + 3Y – 3Z = 12 6. Encontrar los tres tipos de ecuaciones de la recta que forman y que pasan por los puntos

P1 = ( 2, - 3, 5 ), y P2 = (- 1, 2, - 4 ). 7. Hallar la ecuación de un plano que pase por el punto M = (5, 1, - 7 ) y que el vector

perpendicular es �� = 9i – 3j – 1k 8. Si el plano ∝: 2x+ 3y+ 2z = 12; hallar otro plano 𝛽 paralelo distante 8 unidades uno de otro. 9. Calcular la distancia entre el punto A = (2; - 1; 3) y el plano X + 2Y – 3Z – 18 = 0 10. Obtenga las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (3, 4,5) y (3, 4,7).

𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑦2 = 1

31


11. Encuentre una ecuación del plano perpendicular al vector D y que pase por el punto P, donde

D = 10i – 10j + 5k y P es (1,1,-3).

12. Obtenga un plano que pase por (1, 3, 3), paralelo al plano 3x + y - z = 8.

13. Obtenga una ecuación del plano que pasa por el punto (-2, 4, 8) y es perpendicular al vector

�� = 2i - 8j + 2k.

14. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (1 , -2, 3) cuyo vector director es

�� (4, -5, -1)

II: Graficas Cuadráticas

1. Determinar la ecuación de la Elipsoide. Cuyo centro es C = (- 4; 2; - 3 ) y los valores son: a = 2;

b = 4; c = 2 y graficar. 2. Determinar la ecuación de la Esfera. Cuyo centro es C = (- 2; -1; 4 ) y tiene un radio de 2

unidades, y graficar. 3. Determinar la ecuación de la Hiperboloide de una hoja abierta sobre el eje Z. Cuyo centro es C

= (0; 2; - 3 ) y los valores son: a = 2; b = 2; c = 3 y graficar. 4. Determinar la ecuación del cono sobre el eje Y. Cuyo centro es C = (- 3; 1 ; 0) y los valores son:

a = 2; b = 3; c = 1 y graficar. 2. Determinar la ecuación del cilindro sobre el eje Y. Cuyo centro es C = (- 3; 1 ; - 5) y los valores

son: a = 3; c = 2 y graficar. 3. Determinar la ecuación dela paraboloide sobre el eje Z negativo. Cuyo centro es C = (3;

0; - 2 ) y los valores son: a = 1; b = 2; c = 4 y graficar. 4. Hallar la ecuación de la hiperboloide de dos hojas abierta sobre el eje “Y”, cuyo centro es (2; -

3; 0) y a = 2, b = 5, c = 2. Graficar. 5. Hallar la ecuación de la paraboloide elíptica abierta sobre el eje “Y”, positivo, cuyo centro es (-

2; 0; 3) donde a = 2; b= 5 y c= 2. Graficar. 6. Hallar la ecuación del cono elíptico sobre el eje “Y”, cuyo centro es (0; 4; -1) donde a = 1; b = 4

y c= 2. Graficar. 7. Determinar la ecuación de la Hiperboloide de una hoja abierta sobre el eje Z. Cuyo centro es

8. C = (0; 2; - 1 ) y los valores son: a = 2; b = 1; c = 3 y graficar.

9. Determinar la ecuación del cono sobre el eje Y. Cuyo centro es C = (- 3; 2 ; 0) y los valores son: a = 1; b = 3; c = 2 y graficar.

10. Determinar la ecuación de la Esfera. Cuyo centro es C = (4; -3; 2 ) y tiene un diámetro de 6 unidades, y graficar.

11. Determinar la ecuación dela paraboloide sobre el eje Z positivo. Cuyo centro es C = (1; 0; - 2 ) y los valores son: a = 1; b = 2; c = 3 y graficar.

I. Identificar a qué tipo de superficies cuadráticas corresponden las siguientes ecuaciones, y graficar las superficies: 1. 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0

2. 4𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 − 4𝑦 − 24𝑧 + 36 = 0

3. 4𝑥2 − 𝑦 + 2𝑧2 = 0

4. 𝑥2 + 2𝑦 − 2𝑧2 = 0

32


5. 𝑦2 − 𝑥 + 4𝑧2 = 0

6. 9𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 = 0

7. 𝑥2 + 2𝑧2 = 1

8. 𝑥2 − 6𝑥 + 4𝑦2 − 𝑧 = 0

9. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 8𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 1 = 0

10. 9𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 = 1

2. Clasificar y graficar las siguientes superficies, indicando cortes, trazas y simetrías:

a) 1 – x2 – 4y2 – 9z2 = 0 b) x2 + y2 = 4 c) z = x2 + y2 d) 4x2 + 9z2 = 3y

1 Investigación 2 3 Investigar algunas aplicaciones de la geometría analítica del espacio en la astronomía.

Unidad 3 DERIVADAS PARCIALES

Objetivos de aprendizaje:

Conocer y manejar el concepto de derivada parcial.

Conocer y manejar el concepto de derivada de orden superior.

Conocer y manejar el concepto de límites y continuidad.

Derivadas parciales En términos generales las funcione pueden clasificarse entre

I. Funciones escalares de variable escalar (𝑦 = 𝑓(𝑥))

II. Funciones escalares de variable vectorial (𝑓 = 𝑓(𝑓))

III. Funciones vectoriales de variable escalar (�� = 𝐹(𝑡) )

IV. Funciones vectoriales de variable vectorial (�� = 𝐹(𝑓) )

Se llaman funciones de varias variables a aquellas funciones que poseen un número n de variables independientes, son de especial importancia los casos de 𝑛 = 2 ; 3 Las funciones de varias variables pueden ser: funciones escalares de variable vectorial o funciones vectoriales de variable vectorial.

33


Funciones vectorial 3.1. Definición. Una función vectorial de variable escalar es una función que transforma a una variable real t en un vector. Se denota como R(t) =f(t)i + g(t)j + h(t)k, donde f(t) , g(t) y h(t) son funciones de la variable real t. Cuando t varía es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil R(t) Al conjunto de valores que toma la variable independiente t, se le denomina dominio y al conjunto de valores que toma R se le llama imagen o recorrido. Las funciones vectoriales se conocen también como campos vectoriales.

Ejemplo. Graficar la función F(t)= (2t+1)i + 3tj +(t-3)k Dando valores a t se obtiene:

t x=2t+1 y=3t z=t-3 F=(x,y.z) 0 2(0)+1=1 3(0)=0 (0)-3=-3 (1,0,-3) 1 2(1)+1=3 3(1)=3 (1)-3=-2 (3,3,-2) 2 2(2)+1=5 3(2)=6 (2)-3=-1 (5,6,-1) 3 2(6)+1=7 3(3)=9 (3)-3=0 (7,9,0)

4 2(4)+1=9 3(4)=12 (4)-3=1 (9,12,1)

La grafica de la función será:

Dominio: El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de las funciones

componentes: D = D1 DD3

Hallar el dominio de la función: 𝑅= [𝑡

𝑡−1, ln(𝑡 + 2) ,√3 − 𝑡)]

𝑥: 𝑡 − 1 ≠ 0 𝑦: 𝑡 + 2 > 0 𝑍: 3 − 𝑡 ≥ 0

𝑡 ≠ 1 𝑡 > −2 𝑡 ≤ 3

34


El dominio de R será la intersección de los tres dominios:

Límites de funciones vectoriales: El límite de una función vectorial se determina en términos de los límites de las funciones componentes: lim R(t) = [ lim f(t); lim g(t); lim h(t) ], se resuelve cada limites por separado de cada uno de los componentes del vector.

Resolver los siguientes límites vectoriales:

lim𝑡→2

[2𝑡 ; (3𝑡 − 1) ; 𝑡2]

lim𝑡→2

= −4𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘

Derivadas de una función vectorial: Para efectuar la derivada se derivan cada una de las componentes de las funciones vectoriales:

𝑑 𝐹 (𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑 𝑓𝑥(𝑡)

𝑑𝑡𝑖 +

𝑑 𝑓𝑦 (𝑡)

𝑑𝑡𝑗 +

𝑑 𝑓𝑧 (𝑡)

𝑑𝑡𝑘

Hallar la derivada de la función: 𝐹= [ln(𝑡) ; e𝑡; 𝑡2]

=1

𝑡 𝑖 + 𝑒𝑡 𝑗 + 2𝑡 𝑘

Integrales de una función vectorial: Para realizar este tipo de integración, se procede a resolver cada una de las integrales de las componentes de la función vectorial individualmente.

∫𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫𝑓(𝑡)𝑥 𝑑𝑡𝑖 + ∫𝑓(𝑡)𝑦 𝑑𝑡𝑗 + ∫𝑓(𝑡)𝑧 𝑑𝑡𝑘

Resolver la siguiente integral vectorial:

∫(2𝑡𝑖 + (3𝑡 − 1)𝑗 + 𝑡2) 𝑑𝑡

= 𝑡2 𝑖 + (3

2𝑡2 − 𝑡) 𝑗 +

𝑡3

3 𝑘

35


Función de varias variables: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un número real f(x,y), entonces se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f , y el correspondiente conjunto de valores f(x,y) es el recorrido, imagen o rango de f. Para la función dada por), z = f( x,y), llamamos variables independientes a x y y, siendo z la variable dependiente. Al igual que con las funciones de una variable, generalmente se usan ecuaciones para describir funciones de varias variables. A menos que se restrinja en otro sentido, se supone que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación está definida. Curvas de nivel. Otra forma de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar que asigna al punto (x,y) el escalar z donde resulta que z=f(x,y). Un campo escalar se puede caracterizar por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de las cuales el valor de f(x,y) es constante. Por ejemplo, en los mapas meteorológicos las curvas de nivel representan puntos de igual temperatura se llaman isotermas.

Ejemplo: Para la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = √64 − 𝑥2 − 𝑦2 dibujar un mapa de contorno, curva de nivel, correspondientes a c= 0,1,2,….8. Solución La función representa al hemisferio superior (raíz positiva) de una esfera:

Límites: Para una adecuada definición de los Límites de Funciones Escalares de Variable Vectorial,

se deben considerar los siguientes conceptos.

Calcular los siguientes Límites de Funciones de varias Variables:

Lim(𝑥,𝑦)−(3,2)

(5𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 5 ∙ 3 + 3 ∙ 22 + 5 ∙ 1

Lim

(𝑥,𝑦,𝑧)−(1,2,3)(𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧) = 12 ∙ 2 + 22 ∙ 3 = 14

36


Lim(𝑥,𝑦,𝑧)−(1,2,3)

𝑥 − 𝑦

𝑥 + 𝑦 =

0

0

= Lim 𝑦−0

[Lim 𝑥−0

𝑥 − 𝑦

𝑥 + 𝑦] = Lim

𝑦−0 [−1] = −1

= Lim 𝑥−0

[Lim 𝑦−0

𝑥 − 𝑦

𝑥 + 𝑦] = Lim

𝑥−0 [1] = −1

Lim(𝑥,𝑦,)−(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2 =0

0

= Lim 𝑦−0

[Lim 𝑥−0

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2] = Lim

𝑦−0 [0] = 0

= Lim 𝑥−0

[Lim 𝑦−0

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2] = Lim 𝑥−0

[0] = 0

= Lim 𝑥−0

𝑥(𝑚𝑥)

𝑥2+(𝑚𝑥)2= Lim 𝑥−0

𝑚

1+𝑚2 =𝑚

1+𝑚2

Continuidad

Concepto.- Este análisis se practica en aquellos puntos donde el dominio las restringe y para

verificar la continuidad de estos puntos deberán someterse a las siguientes condiciones: Sea z = f (x, y) una superficie, (a, b) un punto restringido por su dominio, el punto será continuo si cumple las siguientes tres condiciones: Primera condición.- El valor numérico del punto restringido debe ser real. F(a, b)= debe ser real Segunda condición.- El resultado del límite de la función z = f(x, y) debe ser real, cuando sus variables independientes tienden al punto restringido.

Lim𝑥→𝑎𝑥→𝑏

𝑓(𝑥, 𝑦) =

Debe ser real Tercera condición.- El valor del límite de z = f(x, y) debe ser igual al valor numérico del punto restringido f(a, b).

Lim𝑥→𝑎𝑥→𝑏

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏)

Discontinuidad.- Si una de las dos primeras condiciones no se cumple, el punto restringido (a, b) es discontinuo, debiendo verificarse si la discontinuidad es evitable o no evitable. Discontinuidad evitable.- Este caso se presenta cuando no se cumple la primera condición, pero sí la segunda. Primera condición.- El valor numérico de f(a, b) no existe f (a, b) = no es real Segunda condición.- Ei límite de la función f(x, y) no existe Lim𝑥→𝑎

𝑥→𝑏𝑓(𝑥, 𝑦) = Es real

37


Ejemplo Práctico

Ejecutar el análisis de continuidad de las siguientes funciones: 𝑧 = 𝐼𝑛(𝑥 + 𝑦 − 1)

𝑤 = √𝑥𝑦 𝑡𝑔𝑧

𝑧 =𝑥2 + 𝑦2

𝐼𝑛(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧 =𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2

𝑧 = √𝑥 𝑒√1−𝑦2

𝑧 =𝑠𝑒𝑛(2𝑥2 + 𝑦2)

𝑥2 + 𝑦2

𝑤 =1

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑧 =4𝜋𝑦

𝑥(𝜋2𝑦2 + 8)

𝑧 =𝑥3 − 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2

𝑥2 − 𝑦2

Máximos y mínimos Sea una función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una región, al realizar 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 0 y 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 hallar 𝑥0, 𝑦0 y 𝑓(𝑥0, 𝑦0) Para determinar si es máximo o mínimo se define:

𝑑 = |𝐹𝑥𝑥 𝐹𝑥𝑦

𝐹𝑦𝑥 𝐹𝑦𝑦 |

Entonces Si: 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) > 0, entonces (𝑥0, 𝑦0) es un minimo. Si: 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) < 0, entonces (𝑥0, 𝑦0) es un máximo. Si: 𝑑 < 0, entonces 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) es el punto de una silla. Si: 𝑑 = 0, este criterio no da información.

38


Hallar los extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 − 3𝑥 − 6𝑦 + 1 Solución Hallar fx y fy e igualar a cero 𝑓𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 − 3 𝑓𝑦 = 2𝑦 + 𝑥 − 6 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2𝑦 + 𝑥 − 6 = 0 Hallar el valor de la función conociendo los puntos x, y 𝑧 = (0)2 + (3)2 + (0)(3) − 3(0) − 6(3) +1 = −8 Hallar 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑦𝑥, y determinar d.

𝑓𝑥𝑥 = 2 𝑓𝑥𝑥 = 2 𝑓𝑥𝑦 = 1 𝑓𝑦𝑥 = 1

𝑑 = |2 11 2

| = 4 − 1 = 3

𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) > 0 Entonces es el mínimo

Ejemplo de aplicación

El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A y unidades del modelo B se aproxima mediante el modelo 𝑃(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 + 10𝑦 − 0.001(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) − 10.000 ¿Cómo es ese beneficio? 𝑃𝑥 − 8 − 0,001(2𝑥 + 𝑦) 𝑃𝑦 = 10 − 0.001(2𝑦 + 𝑥) 𝑃𝑥 = 0 8 − 0,001(2𝑥 + 𝑦) = 0 2𝑥 + 𝑦 = 8000 𝑃𝑦 = 0 0.001(2𝑦 + 𝑥) Sistema de ecuación 1 2𝑥 + 𝑦 = 8.000 (−2) 2 𝑥 + 2𝑦 = 10.000

−4𝑥 − 2𝑦 = −16.000 𝑥 + 2𝑦 = 10.000 −3𝑥 = −6000

𝑥 =−6000

−3= 2000

39


Remplazar x en 1

2(2000) + 𝑦 = 8000 𝑦 = 8000 − 4000 𝑦 = 4000

Hallar el 2 ° derivada

𝑃𝑥𝑥 = −0,001(2) = −0.002𝑃𝑥𝑦 = −0,001(1) = −0.001

| = (0,000004 − 0,000001) = 0000003

𝑠𝑖 𝑑 > 0 𝑦 𝑃𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) < 0 Entonces es máximo El beneficio es máximo cuando se produzcan 2000 ART. “X” Y 4000 ART “Y” Derivadas parciales Por definición: Si: ƒ(��) es una Función Escalar de Variable vectorial, llamada también función de

varias variables, donde la variable es el vector �� =(x, y).entonces se podrá escribir ƒ(𝒙,𝒚)

entendiéndola como una Función de dos Variables Reales. Se entienden como derivadas parciales de: ƒ(𝑥,𝑦) a los siguientes símbolos:

əƒ(𝑥,𝑦)

əx=

əƒ

əx= ƒ𝑥

əƒ(𝑥,𝑦)

əy=

əƒ

əy= ƒ𝑥

Estas derivadas de: ƒ(𝑥,𝑦) se definen respectivamente como:

əƒ

əx= Lim ℎ−0

ƒ(x+h,y) − ƒ(𝑥,𝑦)

ℎ

əƒ

əy = Lim 𝑘−0

ƒ(x,y+k) − ƒ(𝑥,𝑦)

𝑘

La existencia respectivo límite, determina la existencia de la derivada parcial, aunque no necesariamente la función sea continua. En la definición de la derivada parcial, respecto de una variable, la otra variable permanece inalterable, comportándose como una constante. Propiamente la derivada parcial de una función de varias variables es otra función también de varias variables.

Ejemplo əƒ

əx= Lim ℎ−0

ƒ(x+h,y)− ƒ(𝑥,𝑦)

ℎ

= Lim ℎ−0

[(x+h)2]−[𝑥2+3𝑦]

ℎ

= Lim ℎ−0

𝑥22𝑥ℎ+ℎ2+3𝑦−𝑥2−3𝑦

ℎ

Derivada parcial de ƒ(𝑥,𝑦)respecto de x

Derivada parcial de ƒ(𝑥,𝑦)respecto de y

40


= Lim ℎ−0

2𝑥ℎ+ℎ2

ℎ= Lim

ℎ−0(2𝑥 + ℎ) = 2𝑥

əƒ

əx= Lim 𝑘−0

ƒ(x,y+k) − ƒ(𝑥,𝑦)

𝑘

= Lim ℎ−0

[𝑥2+3(y+k)]−[𝑥2+3𝑦]

ℎ

= Lim ℎ−0

𝑥2+3𝑦+3𝑘−𝑥2−3𝑦

ℎ

= Lim 𝑘−0

3𝑘

𝑘= Lim

𝑘−0 3

En forma general si: ƒ(𝑟)= ƒ(𝑥1,𝑥2……..𝑥𝑖…….𝑥𝑚) la derivada parcial se define como:

əƒ

əx= Lim ∆,𝑥−0

ƒ(𝑥1,𝑥2……..𝑥𝑖…….𝑥𝑚) − ƒ(𝑥1,𝑥2……..𝑥𝑖…….𝑥𝑚)

∆, 𝑥

Derivadas parciales por tabla:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦 𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑥= 3 − 2𝑥𝑦2 + 6𝑥2𝑦

𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑦= = −2𝑥2𝑦 + 2𝑥3

Derivadas de orden superior Una segunda derivada parcial es la derivada parcial de una primera derivada parcial y así sucesivamente. La siguiente notación se aplica sobre segundas derivadas parciales; si ƒ(𝑥,𝑦)

ə

əx(əƒ

əx) =

ə2ƒ

əx2 = ƒ𝑥𝑥

ə

əy(əƒ

əy) =

ə2ƒ

əy2 = ƒ𝑦𝑦

ə

əy(əƒ

əx) =

ə2ƒ

əy əx= ƒ𝑥𝑦

41


ə

əx(əƒ

əy) =

ə2ƒ

əx əy= ƒ𝑦𝑥

Analíticamente si existen las primeras derivadas parciales, pueden existir también las segundas derivadas parciales. Se demuestra luego que sí: ƒ𝑥𝑦 ; ƒ𝑦𝑥 son continuas, entonces son iguales entre si lo que significa

que la secuencia en que se deriva, no afecta al resultado. Las derivadas parciales de orden superior, de funciones de dos o más variables, siguen lineamientos equivalentes.

Resolver las siguientes derivadas parciales de orden superior

ƒ(𝒙𝒚) = 𝒙𝟔 + 𝒙𝟐𝒚𝟒 + 𝒚𝟖 Función de dos variables

ƒ𝑥 = 6𝑥5 + 2𝑥𝑦4 Primera derivada parcial respecto de: x ƒ𝑥𝑥 = 30𝑥4 + 2𝑦4 Derivando respecto de la primera, se obtiene la segunda derivada parcial, respecto de: x dos veces. ƒ𝑦 = 4𝑥2𝑦3 + 8𝑦7 Primera derivada parcial respecto de: y

ƒ𝑦𝑦 = 12𝑥2𝑦2 + 56𝑦6 Derivando la primera, se obtiene la segunda derivada

parcial, respecto de: y, dos veces. ƒ𝑥𝑦 = 8𝑥𝑦3 Segunda derivada parcial. Donde la priora derivada

parcial respecto x; luego se deriva respecto de y. se llama derivada cruzada. ƒ𝑦𝑥 = 8𝑥𝑦3 Segunda derivada derivando la primera respecto de y;

luego respecto de x. ƒ𝑥𝑥𝑥 = 120𝑥3 Tercera derivada parcial, respecto de x tres veces. Se la obtiene, derivando para x la segunda derivada respecto de x dos veces.

Regla de la cadena: La regla de la cadena, es una regla que permite derivar funciones que poseen variables que a su vez dependen de otras variables.

Si: ƒ = ƒ(𝑥𝑦) ; 𝑥 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦(𝑡)son funciones derivables, entonces:

𝑑𝑓

𝑑𝑡=

əƒ

əx

𝑑𝑥

𝑑𝑡=

əƒ

əy

𝑑𝑦

𝑑𝑡

Note que la variable de la cual depende la función finalmente es: t ƒ = ƒ(𝑥𝑦) ; 𝑥 = 𝑥(𝑡) ; 𝑦 = 𝑦(𝑡)

∆ƒ = ƒ𝑥∆𝑥 + ƒ𝑦∆𝑦 + Φ2∆𝑦

𝑑𝑓

𝑑𝑡= Lim ∆,𝑥−0

(ƒ𝑥∆𝑥

∆𝑡+ ƒ𝑦

∆𝑦

∆𝑡+ Φ𝑡

∆𝑥

∆𝑡+ Φ𝑡

∆𝑦

∆𝑡)

42


𝑑𝑓

𝑑𝑥= ƒ𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + ƒ𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

əƒ

əx 𝑑𝑥

𝑑𝑡+

əƒ

əy

𝑑𝑥

𝑑𝑡

De similar modo si: ƒ = ƒ(𝑥𝑦) ; 𝑥 = 𝑥(1,5) ; 𝑦 = 𝑦(1,5) Se obtiene

əƒ

ət=

əƒ

əx əƒ

əx+

əƒ

əy

əy

ət;əƒ

əs=

əƒ

əx əx

əs+

��ƒ

əy əy

əs

Estas mismas expresiones pueden generalizarse a mas variables Si: ƒ(𝑥𝑦) = 𝑥2 + 5𝑥𝑦 ; 𝑥 = 𝑥(𝑡) = 𝑡2 − 4𝑡 ; 𝑦 = 𝑦(𝑡) = 𝑡3

𝑑𝑓

𝑑𝑥= ƒ𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡 + ƒ𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= (2𝑥 − 5𝑦)(2𝑡 − 4) + (5𝑥)(3𝑡2)

= [2(𝑡2 − 4𝑡) + 5(𝑡3)](2𝑡 − 4) + [5(𝑡2 − 4𝑡)]3𝑡2 = 25𝑡4 − 76𝑡3 − 24𝑡2 + 32𝑡

Jacobianos: El Jacobiano de dos funciones ƒ = ƒ(𝒙𝒚); = ɡ = ɡ(𝒙𝒚) ; que posee derívales parciales

se denota y define:

𝐽(ƒ, ɡ

𝑥, 𝑦) =

ə(ƒ, ɡ)

ə(𝑥, 𝑦)= |

ƒ𝑥 ƒ𝑦ɡx ɡy

|

Si ƒ = ƒ(𝑥,𝑦,𝑧); ɡ = ɡ(𝑥,𝑦,𝑧); ℎ = ℎ(𝑥,𝑦,𝑧) el Jacobiano se define como:

De la misma manera se generaliza el Jacobiano para funciones de más variables.

𝐽(ƒ, ɡ, h

𝑥, 𝑦, 𝑧) =

ə(ƒ, ɡ, h)

ə(𝑥, 𝑦, 𝑧)= |

ƒ𝑥 ƒ𝑦 ƒ𝑧ɡx ɡy ɡ𝑧

ℎ𝑥 ℎ𝑦 ℎ𝑧

|

La notación como determinante del Jacobiano permite la simplificación en el cálculo de derivadas parciales de funciones implícitas y en la transformación de integrales múltiples. ƒ(𝑥𝑦) = 𝑥3 + 𝑦3 ; ɡ(𝑥𝑦) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2

𝐽 (ƒ, ɡ

𝑥, 𝑦) =

ə(ƒ, ɡ)

ə(𝑥, 𝑦)= |

ƒ𝑥 ƒ𝑦ɡx ɡy

| = |3𝑥2 3𝑦2

2x − y − x + 2y|

= 3𝑥2(−𝑥 + 2𝑦) − 3𝑦2(2𝑥 − 𝑦) = −3𝑥3 + 6𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2 + 3𝑦3

43


Derivada direccional por el gradiente: Otra aplicación del gradiente se verifica en el cálculo de derivadas direccionales. Si: ƒ(𝑟) es una Función Escalar de Variable vectorial, su derivada direccional en la dirección de:𝑢

puede calcularse como:

ƒ𝑟 = Lim(ℎ−0)

ƒ(𝑟−h��) − ƒ(𝑟)

ℎ ; 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)

= Lim(ℎ−0)

ƒ(x−h𝑢1,𝑦+h𝑢2,𝑧−ℎ𝑢3) − ƒ(x,y,z)

ℎ𝑢1

= Lim(ℎ−0)

ƒ(x−h𝑢1,𝑦+h𝑢2,𝑧−ℎ𝑢3) − ƒ(xy+h𝑢2,ℎ+ℎ𝑢3)

ℎ𝑢1𝑢1 +

ƒ(xy+h𝑢2,ℎ+ℎ𝑢3) − ƒ(x,y,z+ℎ𝑢3)

ℎ𝑢2𝑢2

+ƒ(x,y,z+ℎ𝑢3) − ƒ(x,y,z)

ℎ𝑢3

=əƒ

əx𝑢1 +

əƒ

əy𝑢2 +

əƒ

əz𝑢3 = ∇ ƒ ° ��

En la práctica para hallar derivadas direccionales, se usa el gradiente en la forma indicada (el resultado es válido también para funciones de dos variables)

ƒ𝑟 = ƒ(x,y,z) = 𝑦2 − 𝑥𝑧 ; �� =2

3,1

3,2

3

ƒ𝑟 = ∇ ƒ ° ��

= (−𝑧𝑖 + 2𝑦𝑗 − 𝑥��)° (2

3𝑖 +

1

3𝑗 +

2

3��) = −

2

3𝑧 +

2

3𝑦 −

2

3𝑥

La máxima variación o máxima razón de cambio de la función: ƒ = ƒ(𝑟) es igual a |∇ƒ | en la

dirección de: ∇ƒ (entonces el mayor valor que puede tomar la derivada direccional será; |∇ƒ |)

ƒ = ƒ(𝑟); ƒ�� = ∇ ° ��

|ƒ��| = |∇ ° ��| = |∇ƒ | | ��| cos 𝑎

|ƒ��|𝑚𝑎𝑥 = |∇ƒ |

Derivadas Implícitas: Una función implícita se caracteriza por que no tienen despejada ninguna de las variables que se pretende derivar. Para derivar una función implícita de varias variables se deriva respecto a dos variables identificando cual será la variable dependiente y cuál será la variable independiente. Una de las variables se deriva normalmente y la otra se deriva de forma implícita para luego despejar la derivada parcial.

44


Derivar de forma implícita la variable Z respecto a la variable X : 𝑧𝑥

𝑧2 − 5𝑥𝑦 + 3𝑧 + 1 = 0

𝑧𝑥: 2𝑧 𝑧𝑥 − 5𝑦 + 3 𝑧𝑥 = 0

𝑧𝑥 = 5𝑦

2𝑧 + 3

Derivar de forma implícita la variable Z respecto a la variable X : 𝑧𝑦

𝑧𝑦: 2𝑧 𝑧𝑦 − 5𝑥 + 3 𝑧𝑦 = 0

𝑧𝑦 = 5𝑥

2𝑧 + 3

Diferencial de una función: el diferencial de una función se obtiene derivando parcialmente respecto a una variable, la misma que dará el diferencial de dicha variable. La suma de las derivaciones parciales de cada una de las variables da como resultado el diferencial de la función.

𝑑𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑓𝑥𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦 + 𝑓𝑧𝑑𝑧

Determinar el diferencial de la siguiente función:

𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥4 + 3𝑥𝑦2

𝑑𝑓 = (4𝑥3 + 3𝑦2) 𝑑𝑥 + 6𝑥𝑦 𝑑𝑦

OPERADORES DIFERENCIALES Operador Gradiente (∇) ∶ Se obtiene de una función escalar de variables vectorial de tres dimensiones, derivando parcialmente respecto a cada una de las componentes del vector. Da como resultado un vector - vector gradiente.

∇ 𝑓 = 𝑖𝑓𝑥 + 𝑗𝑓𝑦 + 𝑘𝑓𝑧 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗 + 𝑓𝑧 𝑘

Calcular el gradiente de la función escalar de variables vectoriales: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥2 + 3𝑦𝑧2 + 𝑥𝑧

∇ 𝑓 = (2𝑥 + 𝑧)𝑖 + 3𝑧2 𝑗 + (6𝑦𝑧 + 𝑥)𝑘

Operador Divergencia (∇→) : Se obtiene derivando parcialmente una función vectorial de variables

vectorial, se deriva parcialmente respecto a cada una de los componentes del vector. Da como resultado una función escalar de varias variables.

45


∇→ 𝑓 = 𝑖𝑓𝑥 + 𝑗𝑓𝑦 + 𝑘𝑓𝑧 = 𝑓1𝑥 + 𝑓2𝑦 + 𝑓3𝑧

Calcular la divergencia de la función vectorial de variables vectorial:

𝑘→ = 3𝑥2𝑦2𝑖 + 4𝑦𝑧𝑗 + (2𝑥 + 𝑧2)𝑘

∇→𝑘 = 6𝑥𝑦2 + 4𝑧 + 2𝑧 = 6𝑥𝑦 + 6𝑧

PRÁCTICO Nº 3

1. Graficar la siguiente función vectorial a) 𝑓(𝑡) = (2𝑡 − 1)𝑖 + 3𝑡𝑗 − 2𝑡2𝑘

Cuya imagen es 𝐼 = [−2; 3]

b) 𝑓(𝑡) = (2𝑡 + 3)𝑖 + 2𝑡2𝑗 − 4𝑡3𝑘

Cuya imagen es 𝐼 = [−3; 3]

c)

k

tjti

tB

2

3)2(

9

42 2

Cuya imagen es 𝐼 = [−2; 3] 2. Hallar el límite de las siguientes funciones vectoriales

a) 2t

Lim [𝑡3−2𝑡2−4𝑡+8

3𝑡2+3𝑡−6𝑖 −

2𝑡+3

3√2𝑡𝑗 +

√2+3𝑡

𝑡+2𝑘 ]

b) 2t

Lim [2𝑡2−4𝑡+2

𝑡2+3𝑡−2𝑖 +

4𝑡+6

3√2𝑡𝑗 −

√2+4𝑡

2𝑡+5𝑘 ]

c) lim𝑡→1 [𝑡3−1

𝑡2−1𝑖 +

4𝑡+6

3√2𝑡𝑗 −

√2+4𝑡

2𝑡+5𝑘]

d) lim𝑡→2 [𝑡2−4

𝑡−2𝑖 +

𝑡+6

√5𝑡3𝑗 −

2+3𝑡

2𝑡3+2𝑘]

46


e) lim𝑡→3 [√𝑡−√3

𝑡−3𝑖 +

𝑡2−2𝑡

5𝑡𝑗 −

2𝑡+3𝑡3

2𝑡2+2𝑡𝑘]

f) lim𝑡→∞ [𝑡2−3𝑡

𝑡2−3𝑖 +

4𝑡2−2𝑡

2𝑡𝑗 −

𝑡+5𝑡3

2𝑡2−2𝑡𝑘]

g) lim𝑡→∞ [𝑡3−3𝑡+5𝑡2

𝑡2−3𝑡𝑖 +

4𝑡2−5𝑡

5𝑡4 𝑗 −8𝑡+5𝑡3

6𝑡2+3𝑡𝑘]

3. Hallar la derivada de la siguiente función vectorial

a)

k

tt

tjtttti

tA

32

3)56)(72(

7

23

2253

3

b) 𝐹(𝑡) = [(6𝑡4+3𝑡+4

5𝑡23

) 𝑖 + (8𝑡3𝑒𝑡

2𝑡2) 𝑗 − (

2 𝑡2

9√𝑡3) 𝑘]

c) 𝐹(𝑡) = [(𝑠𝑒𝑛(𝑡2+6𝑡+7)

5

2𝑡23

) 𝑖 + (8𝑡3𝑒𝑡

6𝑡3) 𝑗 − (

3log (2𝑡− 𝑡2)

4) 𝑘]

d) 𝐺(𝑡) = [(𝑙𝑛(9𝑡2+2𝑡)

3) 𝑖 + (

(4𝑡3+2𝑡)52𝑡

5) 𝑗 − (

3 (2𝑡− 𝑡2)

4𝑡+ 5𝑡2) 𝑘]

4. Hallar la integral de la siguiente función vectorial

a) ∫ [((3𝑡4+3𝑡−5

4𝑡) 𝑖 + (

3𝑡𝑒𝑡

2𝑡) 𝑗 − (

5 𝑡2

3√𝑡3) 𝑘)] 𝑑𝑡

b) ∫ [((3𝑡2+5𝑡−2

3

2𝑡3

) 𝑖 + (2𝑒𝑡

3) 𝑗 − (

2 𝑡4

4√𝑡3) 𝑘)]𝑑𝑡

47


c) ∫ [((7𝑡2+5𝑡

23−6

8) 𝑖 + (

8𝑡𝑒(𝑡2−6)

2) 𝑗 − (

5 𝑡25

3√𝑡3)𝑘)]𝑑𝑡

d) ∫ [((6√𝑡2−2𝑡

3𝑡23

) 𝑖 + (7𝑡−6𝑡3+4

3) 𝑗 − (

2 √𝑡43

4√𝑡3) 𝑘)]𝑑𝑡

e) ∫ [((3𝑡√3𝑡2−2

5) 𝑖 + (

𝑡−5

2𝑡) 𝑗 − (

5 𝑡2

3√𝑡3−3) 𝑘)] 𝑑𝑡

f) ∫ [((7𝑡4

(3𝑡5−2)9) 𝑖 + (

𝑡−5

2𝑡) 𝑗 − (

𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡2

3𝑐𝑜𝑠𝑡2) 𝑘)] 𝑑𝑡

5. Hallar el vector gradiente de la siguiente función

a) H (x, y, z) = 3x2+3y−2z

3y3 +7y2x2

4𝑥+

3z2

5− 4y

1

3

b) f (x, y, z) = 5x4+3y−5z+1

2y3 +7y2x3

2+

3z2

−5

4− 2y

−2

3

c) f (x, y, z) =6x

13

5 √𝑦3 − 2𝑥𝑧 + 3𝑦𝑧2

5 + 7𝑦

6. Calcular la divergencia del siguiente vector

1) A = (2x4+3y−7

3y3) i + (

3y2x3

7+ 2𝑦−3) j + (

3z3

4−

4𝑥𝑦−4

7) 𝑘

2) B = 3𝑥3−2𝑥𝑦2+8

3𝑦2 𝑖 −2𝑥+3𝑦

3√2𝑡𝑦𝑗 +

√𝑧+3𝑦

4𝑧𝑘

3) C = (2x4

9y3) i + (

3y2x3

6𝑧+ 3𝑦−2) j + (

4z3

3x−

5𝑥𝑦−1

7𝑦𝑧)𝑘

48


Hallar las derivadas parciales, por definición en las funciones

a. 𝑓 = 𝐿𝑛𝑥 + 𝑒𝑦

b. 𝑓 = 𝑥𝑦 + 1

c. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥2, + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥

d. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥𝑦2𝑧3

e. 𝑓 = cos(𝑥2 − 𝑦𝑧)

Hallar las derivadas parciales: 𝒇𝒙 ; 𝒇𝒚 ; 𝒇𝟐 si corresponde de las siguientes funciones:

a. 𝑓 = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 + 𝑒

b. 𝑓 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦

c. 𝑓 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥8 + 𝑦5)

d. 𝑓 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2)

e. 𝑓 = 𝑒2𝑥+𝑦3+ 𝑒𝑥𝑦 + 𝑒2

f. 𝑓 =𝑥

𝑦+

𝑦

𝑥

g. 𝑓 =𝑥2−𝑦2

𝑥2−𝑦2

h. 𝑓 = 𝑦𝑥 − 1

i. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝐿𝑛(1 + 𝑥𝑦)

j. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝐿𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒𝑦) − cos 𝜋

k. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥5 + 5𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑧 − 𝑥𝑦𝑧

l. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑧𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧

m. 𝑓(𝑥𝑦𝑧) = 𝑧𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧

n. K(x,y) =

7x3

3−

5𝑥2𝑦−4

2 √𝑥23 +10𝑥𝑦

−23

5𝑦−2 +5𝑦−3

3− 2

o. f (x, y) = 5x4+3y−5

2y3 +7y2x3

2+

3x2

−5

4− 2y

−2

3

p. f (x, y, z) = (5x−3y2

3 −3yz−2

3√𝑥5)7

q. G(x,y)=

xxyyxx

x

3

51025

3

7 2/14234

Hallar las derivadas parciales de orden superior indicadas

a. 𝑓 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦𝐿𝑛𝑥; 𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦

b. 𝑓 = 𝑒𝑥𝑦 − 1; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑥𝑦

c. 𝑓 = 𝑒𝑥2−𝑠𝑒𝑛 𝑦; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑥𝑦

d. 𝑓 = 𝑥𝑦 − 1; 𝑓𝑦𝑦 ; 𝑓𝑥𝑦

e. 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧 + 1; 𝑓𝑦𝑧 ; 𝑓𝑥𝑥

f. 𝑓 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝐿𝑛(1 + 𝑥2𝑦4); 𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑦

g. 𝑓 = 𝑒3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑦) + 𝐿𝑛(7𝑧); 𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 ; 𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑓𝑧𝑧𝑧𝑧

En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de segundo orden

),(y),(),,(),,( yxfyxfyxfyxf yyyxxyxx

1. a) yexyxxyyxf 233 32),( b) 5ln)12(2),( 32 xyxyxf

2. a) 52

3),(

xy

yx

x

yyxf b) xy

x

y

y

xyxf 2

2

13

3

12),(

49


UTEPSA – Guía MAAP

3. a) 53)2(2),( 23 yyxxyxf b) xyyeyxfyxx 32),(

222

4. a) 3)32ln(2),(1212

yx

xyyxf b) 3)3(2),(2

23

y

yxyxxyxf

5. 𝑘(𝑥, 𝑦) =

7x3

3−

5𝑥2𝑦−4

2 √𝑥23 +10𝑥𝑦

−23

5𝑦−2 +5𝑦−3

3− 2

Hallar el diferencial de las funciones indicadas.

1. a) 5ln32),( yxyxyxf b) 5ln32),(2

xyxeyxfy

2. a) 3),,( yzxzxyzyxf b) xzzyexzyxfy

cos3ln2),,(2

3. f (x, y) = 7y2x5

2+

3x35

3− 2y

4

3

4. f(x, y) = 5x3+3xy−8y

3xy2 + −2y−2

3

5. f (x, y; z) = 3x2 y3 − 5y4 z5 + 7

6. D (x, y) = 5x3+2y+3

3y3 +7y2x3

2𝑥+ 5y

1

3 − 5𝑥

Aplicando la regla de la cadena, calcular las derivadas indicadas.

1. 7. 12),(32

xyyxyxf ; 1)(,12)(2 ttyttx ; hallar ft.

2. 8. 323),(32 yxyxyxf ;

22),(,32),( rtrtyrtrtx ; hallar ft y fr.

3. 9. yxyxyxyxf 22

3),( ; rsenryrrx ),(,cos),( ; hallar fr y f.

Calcular las siguientes derivadas implícitas.

1. 3333

xyzzyx ; hallar zx y zy.

2. 122

yxxyze

z; hallar zx y zy.

3. 0lncos senyxxzeyz

; hallar zx y zy.

4. 3333 zyx ; hallar zxx, zxy, zyx y zyy.

5. 12 zxyez

; hallar zxx, zxy, zyx y zyy.

50



Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie dada.

1. 21. 023222

zyx , en P(-1,2,7)

2. 22. 16532222 zyx , en P(2,-1,1)

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Hallar máximos o mínimos de las siguientes funciones.

1. a) 35121232),( 22 yxyxyxf b) 25321212),( 22 yxyxyxf

2. a) 2051233),(22

yxxyyxyxf b) 531253),(22 yxyxxyyxf

3. a) 722),(23

yxxyyxyxf b) 522),(32 yxxyyxyxf

4. a) 25287),,( 222 zyxxyzyxzyxf

Resolver los siguientes problemas de aplicación práctica de los máximos y mínimos. 5. Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa superior de volumen 32 cm3, de Manera que su superficie sea mínimo. 6. Hallar el máximo volumen de una caja rectangular sin tapa superior, de manera que su Superficie es de 48 cm2.

7. Dadas las funciones de costo y de ingreso: 30163 212

2212

1 qqqqqqC

253162

2212

121 qqqqqqI . Hallar el costo mín., ingreso máx. y utilidad máx.

Investigación

Iinvestigar algunas aplicaciones de las derivadas parciales en los procesos térmicos y en la ingeniería.

Unidad 4: INTEGRALES DOBLES

Objetivos de aprendizaje: Conocer y manejar los métodos de integración.

Calcular, usando integrales dobles, áreas de superficies planas y revolución de volúmenes. 4

Integrales dobles: La definición de una integral doble es análoga simple definida. Si: R es una región cerrada (superficie que incluye a su curva limitadora); situada en el plano xy; R se subdivide mediante rectas paralelas a los ejes coordenados: x, y en: n rectángulos: 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛.

51



Al conjunto de los n rectángulos, se llamara subdivisión |∆| de R. Se llamara norma de subdivisión (|∆|) a la longitud de la diagonal del mayor de los rectángulos (los que no necesariamente son iguales entre sí). Si la función de dos variables; ƒ(x,y) está definida para todo (xy)

de la región: R se elige (xy) un punto de cada rectángulo 𝑅𝐼. Conformado la suma integral:

𝑆 = ƒ(𝑋1,𝑌1)𝐴1 + ƒ(𝑋2,𝑌2)𝐴2 + ƒ(𝑋3,𝑌3)𝐴3 + ⋯+ ƒ(𝑋𝑛,𝑌𝑛)𝐴𝑛 = ∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖)𝐴𝑖

n

i=1

A medida que crezca: n disminuirá el valor de la norma de subdivisión (|∆|). La suma integral define a la integral doble de: ƒ(x,y) sobre la región R en el milite se obtiene:

Lim|∆|−0

∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖)𝐴𝑖

n

i=1

= ∬𝑅ƒ(x,y) 𝑑𝐴

Para asegurar la existencia de la integral doble, de acuerdo a las anteriores condiciones, se tiene el siguiente teorema: Si: ƒ(x,y) es una función continua en R, el límite de la suma integral, existirá cuando |∆| → 0,

mientras 𝑛 → ∞; este límite será siempre el mismo, para cualquier modo de división de R; o para cualquier de (x, y) dentro de cada rectángulo. Recordando que una función de varias variables, es también una función escalar de variable vectorial, entonces una integral doble puede expresarse también como:

∬ ƒ(x,y)𝑑𝐴𝑅

= ∬𝑅ƒ(𝑟) 𝑑𝐴; 𝑟 = (x, y)

Se evaluara por iteración, las siguientes integrales

∬6𝑥4𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

∫[6𝑦2 ∫𝑥4 𝑑𝑥 ] 𝑑𝑦

∫[6𝑦2𝑥5

5] 𝑑𝑦

6

5𝑥5 ∫𝑦2 𝑑𝑦

= 6

15𝑥5𝑦3 + 𝑐

52



Se evaluara por iteración, las siguientes integrales

∫ ∫ 6𝑥4𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥4

0

3

1

= ∫ [∫ 6𝑥4𝑦2 𝑑𝑦4

0

]3

1

𝑑𝑥 = ∫ [6𝑥4𝑦3

3|40]

3

1

𝑑𝑥

= ∫ 6𝑥443

3− 6𝑥4

43

3= ∫ 128𝑥4𝑑𝑥

3

1

3

1

= 128𝑥5

5|31

= 12833

5− 128

13

5=

30976

5

∫ ∫𝑦2

𝑥4 𝑑𝑦 𝑑𝑥2𝑥

0

𝑐

1

= ∫ ∫1

𝑥4 (𝑦2)𝑑𝑦 𝑑𝑥2𝑥

0

𝑐

1

= ∫1

𝑥4 (𝑦3

3)

𝑐

1

|2𝑥0

𝑑𝑥

= ∫1

𝑥4 [(2𝑥)3

3−

03

3] 𝑑𝑥 =

8

3

𝑐

1

∫1

𝑥𝑑𝑥

𝑐

1

=8

3𝐿𝑛𝑥 |

𝑐1

=8

3(𝐿𝑛𝑒 − 𝐿𝑛1) =

8

3

Integrales dobles volumen

Evalúe ∬𝑅 (𝑥 + 𝑧𝑦)𝑑𝐴 , donde R es la región acotada parábolas y = 2𝑥2 y

y =1+1𝑥2

𝑅 ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =1+𝑥2

2𝑥2

1

−1

∫ {𝑥𝑦 +2𝑦2

2∫

1+𝑥2

2𝑥2} 𝑑𝑥

1

−1

𝑅 ∫ [𝑥(1 + 𝑥2) + (1 − 𝑥2)2]1

−1

− [𝑥(2𝑥2) + (2𝑥2)2]𝑑𝑥

𝑅 ∫ [𝑥 + 𝑥3 + 1 + 2𝑥2 + 𝑥4 − 2𝑥3 − 4𝑥4]𝑑𝑥1

−1

53



𝑅 ∫ (−3𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1)𝑑𝑥 =2

2𝑥5 −

𝑥4

4+

2

3𝑥3 +

𝑥2

2+ 𝑥

1

−1

[−3

5(1)5 −

(1)4

4+

2

3(1)3 +

(1)2

2(1)]

−[−3

5(−1)5 −

(−1)4

4+

2

3(−1)3 +

(−1)2

2(−1)]

𝑅 [79

60] − [−

49

60] =

79

60+

49

60=

128

60=

32

15

Área y volumen por integración doble Calcular las siguientes integrales dobles sobre las regiones: R indicadas

∬ (3𝑥2 + 4𝑦3)𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅

R: x = 1 ; y = 0

x =3 ; y = 2 La región R indicada en la gráfica es un cuadrado en el plano, de extremos constantes, integrando por iteración:

∬ (3𝑥2 + 4𝑦3)𝑑𝑦 𝑑𝑥 ∫ ∫ (3𝑥2 + 4𝑦3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥2

0

3

1𝑅

= ∫ (3𝑥2𝑦 + 𝑦4) |20 𝑑𝑥

3

1

= ∫ (6𝑥2 + 16)𝑑𝑥 = (2𝑥3 + 16) |31

= 343

1

R está limitado superiormente por la parábola: y = 𝑥2 inferiormente por el eje x (y = 0); lateralmente por el eje x (y = 0); lateralmente por x = 0; x = 2

∬ 3𝑥𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 3𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥2

0

2

0𝑅

∫ 𝑥𝑦3 |𝑥2

0𝑑𝑥 =

2

0

∫ 𝑥7𝑑𝑥 =𝑥8

8|20

= 322

0

PRÁCTICO Nº 4 Hallar las siguientes integrales dobles indefinidas

1. a) dxdyyxyx )2543(

42

b) dxdyyyxx

)32(

43

54



2. a)

dxdyxyy

x

x

y )

2(

b)

dxdyx

y

y

x

)1

1

2

2

3(

3. a) dxdyyx

7)54(

b) dxdyxy 32

Calcular las siguientes integrales dobles definidas

4. a)

2

1

1

0)3( dxdyyxyx

b)

2

1

2

0

22)12( dxdyyxyx

5. a)

2

1

1

0)3( dydxyxyx

b)

2

1

2

0

22)12( dydxyxyx

6. a)

2

0 0)1(

y

dxdyyx

b)

3

1 1)32(

x

dydxxy

7. Colocar los límites de las siguientes integrales, si región es la que se muestra

a)

dxdyyxf

R

),(

b) R

dydxyxf ),(

y y = x + 2

y = x2 – x –1 2x + 3y = 6 -3 x

- 2 x

Aplicando coordenadas cilíndricas o esféricas, calcular el volumen de las regiones indicadas.

1. R:

22

222

yxz

yxz

2. R:

1

16

222

222

zyx

zyx

55



3. R:

0;

9

222

222

zyxz

zyx

4. R:

4

64222

z

zyx

Pasar el punto dado de coordenadas esféricas a rectangulares, de esféricas a cilíndricas:

a)

4,

6,4

, b)

9,

4

3,12

, c)

,

4,9

, d)

4

3,

4,5

V Escribir una ecuación de la superficie dada en, coordenadas esféricas

6. 16222 zyx

1. 02222 zzyx

2. 2224 zyx

3. zyx 22

4. 922 yx

5. yyx 422

Aplicando el método de integración correspondiente, calcular las siguientes integrales dobles

∫ ∫𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥

√1 + 𝑥23

1

0

1

0

Dada la región R plantear los límites de la integral doble de: ƒ(x,y) en sus dos órdenes posibles:

1. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =6

2𝑋

3

0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑦/2

0

6

0

R: X = 0

X = 3

Y = 2X

Y = 6

2. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑥

𝑥2

1

0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦1

√𝑦

1

0

R: X = 0

X = 1

Y = x

Y = 𝑥2

56



3. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥2

𝜋/2

0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦𝜋/2

𝐴𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑦

1

0

R: X = 0

X = π/2

Y = 0

Y = Sen x

4. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑐𝑥

𝑥2

1

0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦1

𝐿𝑛 𝑦

𝑐

0

R: X = 1

X = 1

Y = 𝑒𝑥

Calcular las siguientes integrales

1. ∬3𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 = 4

𝑦 = 𝑥 2. ∬𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 0

𝑦 = 6 − 𝑥 3. ∬𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 𝑥 − 2

𝑦2 = 𝑥 4. ∬𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 2 − 𝑥; 𝑦 = 𝑥2

𝑦 = 𝑥 + 2

5. ∫ ∫ 6𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥4

1

5

0

6. ∫ ∫ 𝑥3 cos 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝜋 2⁄

1

2

0

7. ∫ ∫ 5𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥1

0

2

0

8. ∫ ∫ (𝑥2 + 3𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥2

0

3

0

9. ∫ ∫ 9𝑥3 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦2

0

4

0

10. ∫ ∫ 𝑥𝑦3 𝑑𝑦 𝑑𝑥2𝑥

0

2

1

57



11. ∫ ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥√𝑥

𝑥2

1 2⁄

0

12. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑦4

0

1

0𝑑𝑥 𝑑𝑦

13. ∫ ∫ 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥

0

1

0

14. ∬𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 0

𝑥 = 6 ; 𝑦 = 𝑥 15. ∬5𝑥3𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 0

𝑥 = 6 ; 𝑦 = 𝑥 16. ∬(3𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 4

𝑥 = 0 ; 𝑦 = 𝑥2 17. ∬(𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑥 = 2

𝑦 = 𝑥 2⁄ 18. ∬𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5

𝑦 = 5 − 𝑥

5 Investigación 6 7 Investigar algunas aplicaciones de las integrales dobles en la ingeniería civil y la ingeniería

ambiental

Unidad 5: INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES


Conocer y manejar conceptos de integrales dobles en coordenadas polares.

Aplicar el jacobiano de la transformación de cartesianas a polares. Integrales dobles en coordenadas polares: En coordenadas polares un punto del plano se expresa por 𝑃(𝑟, 𝜃); 𝑟 es el radio; 𝜃 es el ángulo las relaciones entre las coordenadas cartesianas de: (x, y) con las polares y el respectivo jacobiano son:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑦

𝑥

58



𝐽 (x, y, z

𝑟, 𝜃) |

𝑥𝑟 𝑥𝑦

𝑦𝑟 𝑦𝜃| = |

cos 𝜃 − 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 cos 𝜃

| = 𝑟

Se calculara usando coordenadas polares, con la transformación: x = r cos 𝜃; 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃.

∬ √𝑥2 + 𝑦2

𝑅

= 𝑑𝑦 𝑑𝑥

R: 𝑥2 + 𝑦2 = 32 𝑥2 + 𝑦2 = 22 Transformando previamente la región: R en 𝑅, (un anillo circular en un rectángulo) Si R: 𝑥2 + 𝑦2 = 32 𝑅, 𝑟 = 3 donde

𝑥2 + 𝑦2 = 22 𝑟 = 2 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Por el teorema de transformación de integrales dobles

∬ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑅

∬ ɡ(r,θ) |𝐽(𝑥, 𝑦

r, θ)| =

𝑅

𝑑𝑟 𝑑𝜃

∬ √𝑥2 + 𝑦2

𝑅

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∬ 𝑟𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝜃3

2

2𝑥

0𝑅

= ∫𝑟3

3|32 𝑑𝜃 = ∫

19

3 𝑑𝜃 =

19

3𝜃 |

2𝜋0

=38𝜋

3

2𝜋

0

2𝑥

0

El jacobiano de la transformación de cartesianas a polares es: r, esta expresión debe emplearse en toda integral que se transforma a polares. Calcular el área limitada por 𝑥2 + 𝑦2 = 4; 𝑥2 + 𝑦2 = 9 Si lo hacemos por el método cartesiano será moroso por tanto se hará por polares

Polares 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝐴𝑇 = 4∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 4∫ ∫𝑟2

2

3

2

∫ 𝑑𝜃3

2

𝜋2

0

3

2

𝜋2

0

𝐴𝑇 = 4∫ [(3)2

2−

(2)2

2] 𝑑𝜃 = 4∫

5

2𝑑𝜃

𝜋2

0

𝜋2

0

59



𝐴𝑇 = 10𝜃 ∫ = 10 (𝜋

2)

𝜋2

0

𝐴𝑇 = 5𝜋

PRÁCTICO Nº 5

1.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 𝑟 = 5 𝑠𝑒𝑛 2𝜗 Calcular:

A=8∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗5 𝑠𝑒𝑛 2𝜗

0

𝜋 4⁄

0

2.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 𝑟 = 4 − 2𝑐𝑜𝑠𝜗 Calcular:

A=2∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗4−2𝑐𝑜𝑠𝜗

0

𝜋

0

3.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 𝑟 = 2 − 4𝑐𝑜𝑠𝜗 Calcular:

A=2∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗2−4𝑐𝑜𝑠𝜗

0

𝜋

𝜋 3⁄

4.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 𝑟 = 4 cos 5𝜗 Calcular:

A=10∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗4 cos5𝜗

0

𝜋/10

0

Calcular las siguientes integrales dobles, sobre las regiones R indicadas (transformar a coordenadas polares)

8.

R

dAyx )(22

R:

1

9

22

22

yx

yx

9.

R

dAyx22

R:

0;0

922

yx

yx

60



10.

R

dAyx )(22

R:

xyyx

xyyx

3;1

3;9

22

22

11.

R

dAyx 22

)2

()3

(1

R: 1)

2()

3(

22

yx

8 Investigación 9

10 Investigar algunas aplicaciones de las integrales dobles en coordenadas polares en la mecánica

Unidad 6: INTEGRALES TRIPLES

Objetivos de aprendizaje: Conocer y manejar conceptos de integrales triples.

Conocer y manejar conceptos de transformaciones en integrales triples.

Conocer y manejar conceptos de integración en coordenadas cilíndricas y esféricas

Integrales triples: La definición de una integral triple es análoga a la de una integral doble. Si: R es una región cerrada (volumen que incluye a su superficie limitadora); situada en el espacio: XYZ; R puede subdividirse mediante planos paralelos a los planos coordenados en n cubos:𝑅1,𝑅2, …𝑅𝑛 de volúmenes:

𝑉1,𝑉2, … 𝑉3

El conjunto de la n subregiones (cubos) se denomina subdivisión |∆| de R. Se Llamara norma de la subdivisión |∆| a la longitud de diagonal del mayor de los cubos, los que necesariamente son iguales. Si la función de tres variables: ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼) está definido, para todo (x, y, z) de R se elige un punto (x,

y, z) dentro de cada cubo. Conformando la suma, llamada suma integral

𝑆 = ƒ(𝑥𝑖𝑥𝑖𝑥𝑖)𝑉1 + ƒ(𝑥2𝑥2𝑥2)𝑉2 + ⋯+ ƒ(𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥𝑛)𝑉𝑛 ∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼)𝑉𝑖 =

n

i=1

A medida que crece: n disminuirá el valor de:|∆| , la suma integral define a la integral triple de ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼) sobre la región: R; en el límite:

Lim|∆|−0

∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼)𝑉𝑖 = ∭ ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼)𝑅

𝑑𝑣

n

i=1

61



Calcular la siguiente integral triple indefinida

∭(𝑥2 + 𝑦𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

∬[∫𝑥2𝑑𝑥 + 𝑦𝑧 ∫𝑑𝑥] 𝑑𝑦𝑑𝑧

∬(𝑥3

3+ 𝑥𝑦𝑧) 𝑑𝑦𝑑𝑧

∫[𝑥3

3∫𝑑𝑦 + 𝑥𝑧 ∫𝑦𝑑𝑦] 𝑑𝑧

∫[𝑥3

3𝑦 +

𝑥𝑦2𝑧

2] 𝑑𝑧

𝑥3

3𝑦∫𝑑𝑧 +

𝑥𝑦2

2∫𝑧𝑑𝑧

=𝑥3

3𝑦𝑧 +

𝑥𝑦2𝑧2

4+ 𝑐

Se calcula la integral, mediante la integración iterada. La región es un paralelepípedo en el espacio ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼) = 𝑥2 + 𝑦𝑧

R: 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 2 ≤ 𝑦 ≤ 6 2 ≤ 𝑧 ≤ 4

∭ ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼)𝑅

𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥4

2

6

2

3

0

∫ ∫ (𝑥2𝑧 + 𝑦𝑧2

2) |

42𝑑𝑦 𝑑𝑥

6

2

3

0

∫ ∫ (2𝑥2 + 6𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥6

2

3

0

62



∫ (2𝑥2𝑦 + 6𝑦2

2) |

62𝑑𝑥

3

0

∫ (8𝑥2 + 96)𝑑𝑥 = (8𝑥3

3) + 96𝑥 |

30

= 3603

0 Integrando para: y, x

Transformaciones en integrales triples: Generalizando el teorema de transformación de integrales dobles a integrales triples:

∭ 𝑓 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑅

= ∭ 9 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑅

|𝐽 (𝑋, 𝑌, 𝑍

𝑢, 𝑣, 𝑤)| 𝑑𝑤 𝑑𝑣 𝑑𝑢

El procedimiento general a seguir en la transformación de una integral triple es equivalente al de una integral doble. Mediante una transformación, calcular la siguiente integral triple: R: x = 0 y + z = 4 y = 0 x = 5 x = 0 Transformación R: 𝑦 + 𝑧 = 4 R: 𝑣 = 4 𝑢 = 𝑥 𝑥 = 𝑢 𝑥 = 5 𝑢 = 5 𝑣 = 𝑦 + 𝑧 𝑦 = 𝑣 − 𝑤 𝑥 = 0 => 𝑢 = 0 𝑤 = 𝑧 𝑧 = 𝑤 𝑦 = 0 𝑤 = 𝑣 𝑧 = 0 𝑤 = 0

𝐽 (𝑋,𝑌,𝑍

𝑢,𝑣,𝑤) = |

𝑋𝑢 𝑋𝑦 𝑋𝑤

𝑦𝑢 𝑦𝑦 𝑦𝑤

𝑧𝑢 𝑧𝑦 𝑋𝑧

| = |1 0 00 1 − 10 0 1

| = 1

∭ ƒ(x,y,z)𝑅

𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∭ ɡ(x,y,z) |𝐽 (x, y, z

𝑢, 𝑣, 𝑤)| 𝑑𝑤 𝑑𝑣 𝑑𝑢

𝑅

∭𝑥

√𝑦 + 𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =

𝑅

∭𝑢

√𝑣(1)𝑑𝑤 𝑑𝑣 𝑑𝑢

𝑅

∫ ∫ ∫𝑢

√𝑣

𝑣

0

4

0

5

0

𝑑𝑤 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = ∫ ∫ 𝑢√𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑢4

0

5

0

= ∫16

3𝑢 𝑑𝑢 =

200

3

5

0

∭𝑥

√𝑦 + 𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑅

63



Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas Integrales triples en coordenadas cilíndricas: En coordenadas cilíndricas, un punto en el espacio, se expresa por: 𝑷(𝒓, 𝜽, 𝒛) ; donde 𝒓, 𝜽 son el radio y ángulo usados en coordenadas polares polares; z es la misma coordenada z de las cartesianas (x, y, z). Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas con su respectivo jacobiano son:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑦

𝑥

𝑧 = 𝑧 𝑧 = 𝑧

𝐽 (x, y, z

𝑟, 𝜃) = |

𝑋𝑟 𝑋𝜃 𝑋𝑧

𝑦𝑟 𝑦𝜃 𝑦𝑧

𝑧𝑟 𝑧𝜃 𝑋𝑧

| = |cos 𝜃 − 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 cos 𝜃 00 0 1

| = 𝑟

Se calcula por coordenadas cilíndricas, transformación con: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃;

∭ ƒ(x,y)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∭ ɡ(r,θ,Z) |𝐽(𝑥,𝑦,𝑧

r,θ,z)| =

𝑅𝑅𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧

∭𝑧

√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∭

𝑧

𝑟(𝑟)𝑑𝑟𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅𝑅

∫ ∫ ∫ 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 =4

0

3

0

2𝜋

0

∫ ∫𝑧2

2|40𝑑𝑟 𝑑 𝜃 = ∫ ∫ 8 𝑑𝑟 𝑑𝜃

3

0

2𝜋

0

3

0

2𝜋

0

= ∫ 8𝑟 |30𝑑𝜃 = ∫ 24𝑑𝜃 = 24𝜃 |

2𝜋0

= 24 ∙ 2𝜋 = 28𝜋2𝜋

0

2𝜋

0

Usando coordenadas cilíndricas, calcular la siguiente integral triple:

∭ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑧𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑅

R: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑧 = 0; 𝑧 = 4

64



Integrales triples en coordenadas esféricas En coordenadas esféricas, un punto en el espacio, se expresa por 𝑃(𝑟, 𝜃, ɸ); donde r es un radio en el espacio, 𝜃 es un angulo sobre el plano XY; ɸ es ángulo respectivo del eje Z, como se indica en la gráfica: Las relaciones entre las coordenadas cartesianas y esféricas, con su respectivo jacobiano, son las siguientes:

𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ɸ cos 𝜃 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ɸ𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑦

𝑥

𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 ɸ ɸ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√𝑥2+𝑦2

𝑧

𝐽 (x, y, z

𝑟, ɸ, 𝜃 ) = |

𝑋𝑟 𝑋ɸ 𝑋𝜃

𝑦𝑟 𝑦ɸ 𝑦𝜃

𝑧𝑟 𝑧ɸ 𝑋𝜃

| = |

senɸ cos 𝜃 𝑟 cosɸ cos 𝜃 − 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ɸ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 ɸ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 cos ɸ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ɸ cos 𝜃

cosɸ 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ɸ 0| = 𝑟2𝑠𝑒𝑛 ɸ

Se transforma a coordenadas esféricas, la integral triple:

∭ √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑅

R: : 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 32

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 12 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑧 ≥ 0 Transformación: 𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ɸ cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ɸ cos 𝜃 ; 𝑧 = 𝑟 cosɸ

R: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 32 𝑅, 𝑟 = 3 ; 𝑟 = 1 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 12 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑧 ≥ 0 0 ≤ ɸ ≤ 𝜋/2

65



Por el teorema de transformación (integrales triples)

∭ ƒ(x,y,z)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∭ ɡ(r,ɸ,θ) |𝐽(𝑥,𝑦,𝑧

r,ɸ,θ,)| =

𝑅𝑅𝑑𝑟 𝑑ɸ 𝑑𝜃

∭ √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∭ r(𝑟2𝑠𝑒𝑛 ɸ) =𝑅𝑅

𝑑𝑟 𝑑ɸ 𝑑𝜃

∫ ∫ ∫ 𝑟3𝑠𝑒𝑛 ɸ𝑑𝑟 𝑑ɸ 𝑑𝜃 =3

1

𝜋2

0

𝜋2

0

∫ ∫𝑟4

4

𝜋2

0

𝜋2

0

𝑠𝑒𝑛 ɸ |31𝑑ɸ 𝑑𝜃

∫ ∫ ∫ 20𝑠𝑒𝑛 ɸ𝑑𝑟 𝑑ɸ 𝑑𝜃 =3

1

𝜋2

0

𝜋2

0

∫ 20(−𝑐𝑜𝑠ɸ)

𝜋2

0

|

𝜋

20

𝑑𝜃 = ∫ 20 𝑑𝜃 = 20𝜃 |

𝜋

20

𝜋2

0

= 20 = 10𝜋

Transformando a esféricas, calcular la integral triple:

∭ 𝑧2

𝑅

𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥; 𝑅: 𝑥2 + (𝑦 − 𝑎)2 + 𝑧2 = 𝑎2

Por cambio de variable

∫ ∫ 𝑥3𝑠𝑒𝑚 𝑦3𝑑𝑦 𝑑𝑥1

𝑋2

1

0

∫ ∫ 𝑥3𝑠𝑒𝑚 𝑦3𝑑𝑥 𝑑𝑦+√𝑦

0

1

0

∫𝑥4

4𝑠𝑒𝑛 𝑦3 |√𝑦

0 𝑑𝑦 = ∫ [

√𝑦4

4∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑦3 − 𝑑𝑦] 𝑑𝑦

1

0

1

0

1

4∫[𝑦2 𝑠𝑒𝑛 𝑦3]𝑑𝑦 =

1

4∫ 𝑦2 𝑠𝑒𝑛 𝑦3 𝑑𝑦

1

0

1

0

1

4∫𝑦2 𝑠𝑒𝑛 𝑢

𝑑𝑢

3𝑦2 ; 1

4∙1

3∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢;

1

12(− cos 𝑢) |

10

=1

12[− cos 1 − (− cos 0)]

1

0

1

0

−cos 1

12+

1

12=

1 − cos 1

12

Por sustitución o cambio de variables 𝑢 = 𝑦3 𝑑𝑢 = 3𝑦2 𝑑𝑦

66



𝑑𝑢

3𝑦2 = 𝑑𝑦

𝑢 = 13 𝑢 = 1 𝑢 = 03 𝑢 = 0

PRÁCTICO Nº 6 Calcular las siguientes integrales triples indefinidas

a) ∭(4𝑥 −5𝑦𝑧+2𝑦

√𝑦) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

b) ∭𝑥3𝑧+3𝑥

3𝑦𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

c) ∭3𝑥

2𝑧𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Calcular las siguientes integrales triples definidas

1. ∫ ∫ ∫ (4𝑥2 +𝑦𝑧

3)

1

0𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

3

2

3

2

2. ∫ ∫ ∫(3𝑥2+4𝑧𝑦3

2𝑦)

2


3

1

2

1

3. ∫ ∫ ∫𝑧

3

1−𝑦2


1−𝑥

0

1

0

4. ∫ ∫ ∫2𝑥𝑦2𝑧3

5

2


1

0

3

1

Calcular las siguientes integrales múltiples, sobre las regiones R indicadas

1. ∭(𝑥 − 𝑦𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑥 = 0; 𝑥 = 2

𝑦 = 2 ; 𝑦 = 6 𝑧 = 3 ; 𝑦 = 5

67



2. ∭𝑥3𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 3𝑥 + 2𝑦;+𝑧 − 6 = 0

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑧 ≥ 0

3. ∭3𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑧 = 4

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0 Dibujar el sólido cuyo volumen representa la integral triple y rescribirla en el orden indicado

1.

4

0

24

0

46312

0

dz

x yx

dxdy

, orden dx dy dz

2.

4

0

16

0

10

0

2

dz

x yx

dxdy

, orden dy dx dz

3.

1

0

1 1

0

dz

2

y

y

dydx

, orden

dx dy dz

4.

2

0

4

2

4

0

dz

22

x

xy

dxdy

, orden

dz dy dx

68



II. Utilizar una integral triple para calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones dadas

1. xzzyx ,0,4 2

2. 1,0,1,,0, yyxxzxyz

3. 2222 rzyx

4. 0,0,,2,9 2 xzyxyxz Usar una integral múltiple y un sistema de coordenadas adecuado para calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas que se indica:

1. 4,0,0,42 xxzyxz

2. xyxxzyxz ,3,0,0,

3. hzz ,0

4. ,exterior al cilindro 122 yx ,interior a 4,0,0,42 xxzyxz Calcular las siguientes integrales triples.

1) ∭ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑣𝑅

𝑅: 𝑥2 + 𝑦2 = 23; 𝑧 = 4

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑧 ≥ 0

2) ∭1

√𝑥2+𝑦2𝑑𝑣

𝑅 𝑅: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑧 = 4

3) ∭ √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2𝑑𝑣𝑅

𝑅: 𝑥3 + 𝑦2 = 𝑧2 ≤ 32

𝑅: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ≤ 12

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑧 ≥ 0

4) ∭ 𝑧(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑣𝑅

𝑅: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2

𝑧 ≥ 0

11 Investigación 12 13 Investigar algunas aplicaciones de las integrales triples en la ingeniería y en la física.

69



Unidad 7: INTEGRALES EN LINEA


Conocer y aplicar conceptos de integrales en línea.

Aplicar el teorema de Green.

Conocer y aplicar integrales de superficie.

Conocer y aplicar el teorema de la divergencia

Conocer y aplicar el teorema de Stokes.

Integrales de línea: Las integrales de línea son integrales de funciones de varias variables (funciones escalares o vector - riales de variable vectorial), se calculan sobre curvas, por ello se llaman también integrales curvilíneas.

Ejemplo #1 Se calcula la integral de línea de la función: 𝑈(𝑥,𝑦) = 𝑥2 +

6𝑥𝑦 sobre la curva 𝐶: 𝑦 = 2𝑥 − 1 comprendida entre los puntos: (1,1); (3,5)

∫ 𝑈(𝑥,𝑦)𝑑𝐶𝑐

∫ 𝑈(𝑥,𝑦)√1 + (𝑑𝑦2

𝑑𝑥𝑐

) 𝑑𝑥

∫ [𝑥2 + 6𝑥(2𝑥 − 1)]√1 + 223

1

𝑑𝑥

∫ (13𝑥2 − 6𝑥)√5 3

1

𝑑𝑥 =266√5

3

Otra manera de calcular esta integral, consiste en llevarla a términos de la variable y; expresando la curva como: x = (y+1)/2

∫ 𝑈(𝑥,𝑦)𝑑𝐶 =𝑐

∫ 𝑈(𝑥,𝑦)√1 + (

𝑑𝑥

𝑑𝑡)2

𝑑𝑦 =𝑐

∫ [(𝑦 + 1

2)2

+ 6𝑦 + 1

2𝑦]√1 + (

1

2)25

1

𝑑𝑦 =266√5

3

70



Ejemplo #2 Calculo de la integra de línea de la función U, sobre la curva C donde:

𝐶 = 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 2𝑡, 𝑧 = 5𝑡2 ; 1 ≤ 𝑡 ≤ 2 entre los puntos (1,2,5) a (2,4,20)

∫ 𝑈(𝑥,𝑦)𝑑𝐶 =𝑐

∫ 𝑈(𝑥,𝑦)√(

𝑑𝑥

𝑑𝑡)2

+ (𝑑𝑦

𝑑𝑡)2

+ (𝑑𝑧

𝑑𝑡)2

𝑑𝑡𝑐

∫5𝑡2

𝑡 + 2𝑡√12 + 22 + (10𝑡)2𝑑𝑡

2

1

∫5

3𝑡√5 + 100𝑡2

2

1

𝑑𝑡 = 39.30

Integral de línea de primer tipo, se calcula sobre una curva en el espacio que esta expresada en forma paramétrica.

Ejemplo #3 Calcular las siguientes integrales en línea de primer tipo:

𝑈(𝑥,𝑦) = (6𝑥 + 𝑦2); Recta entre (0,0) → (1,3); 𝑦 = 3𝑥 → 𝑦´ =𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3


∫ 𝑈(𝑥,𝑦)√1 + (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)2

𝑐

𝑑𝑥

∫ (6𝑥 + 𝑦2)√1 + (3)2

𝑐

𝑑𝑥 = ∫ [6𝑥 + (3𝑥)2]√101

0

𝑑𝑥 = ∫ (6√101

0

𝑥 + 9√10 𝑥2)𝑑𝑥

6√10 ∫ 𝑥𝑑𝑥1

0

+ 9√10∫ 𝑥2𝑑𝑥1

0

= [6√10] [𝑥2

2]0

1

+ [9√10] [𝑥3

3]0

1

= [3√10][𝑥2]01 + [3√10][𝑥3]0

1

[3√10][12 − 02] + [3√10][13 − 03] = 3√10 + 3√10 = 6√10=18.9736

71



Ejemplo # 4 Hallar la integral de línea de segundo tipo:

𝑈 = 6𝑥 + 𝑦2 C: Segmento recto entre (0,0) → (1,0) → (1,3) Del punto del centro se sacan las funciones de 𝑦 = 0 y 𝑥 = 1 Entonces la derivada de las funciones será: 𝑦´ = 0 ; 𝑥´ = 0


= ∫ 𝑈(𝑥,𝑦)𝑑𝑐𝑐

+ ∫ 𝑈(𝑥,𝑦)𝑑𝑐𝑐2

∫ (6𝑥 + 𝑦2)√1 + (𝑑𝑦

𝑑𝑥)2

𝑑𝑥 + ∫ (6𝑥 + 𝑦2)√1 + (𝑑𝑥

𝑑𝑦)2

𝑑𝑦𝑐2𝑐

∫ (6𝑥 + 𝑦2)√1 + (0)2𝑑𝑥 + ∫ (6𝑥 + 𝑦2)√1 + (0)2𝑑𝑦𝑐2𝑐

∫ (6𝑥 + 𝑦2)𝑐

√1𝑑𝑥 + ∫ (6𝑥 + 𝑦2)√1𝑑𝑦 = ∫ (6𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 + ∫ (6𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑦𝑐2𝑐𝑐2

∫ [6𝑥 + (0)2]𝑑𝑥1

0

+ ∫ [6(1) + 𝑦2]𝑑𝑦3

0

= ∫ 6𝑥𝑑𝑥1

0

+ ∫ 6𝑑𝑦3

0

+ ∫ 𝑦2𝑑𝑦3

0

6∫ 𝑥𝑑𝑥1

0

+ 6∫ 𝑑𝑦3

0

+ ∫ 𝑦23

0

= [6] [𝑥2

2]0

1

+ [6] [𝑦

1]0

3

+ [𝑦3

3]0

3

= [3][𝑥2]01 + [6][𝑦]0

3 + [1

3] [𝑦3]0

3

3(12 − 02) + 6(3 − 0) +1

3[(3)3 − (0)3] = 3 + 18 + 9 = 30

Teorema de Green: Si C es una curva cerrada simple, que encierra a la región simplemente

conexa: R donde se verifica que:

𝑃(𝑥,𝑦); 𝑄(𝑥,𝑦) ; 𝜕𝑃

𝜕𝑦;

𝜕𝑄

𝜕𝑥 Son continuas y uniformes.

∮ 𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 +𝑐

𝑄(𝑥,𝑦) 𝑑𝑦 = ∬ (𝜕𝑄(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥𝑅

−𝜕𝑃(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥

Este teorema, llamado también teorema de Green en el plano, se demuestra como sigue: C es una curva cerrada simple (una recta paralela a los ejes, corta en solo dos puntos a C) Tomando los puntos extremos A, E, B, F sobre C. Las ecuaciones de las curvas entre AFB; AEB respectivamente son: 𝑌2(𝑥); 𝑌1(𝑥) La región R encerrada es simplemente conexa.

72



∬𝜕𝑃

𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫

𝜕𝑃

𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ (𝑃 |

𝑦2

𝑦1)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑦2

𝑦1

𝑏

𝑎𝑅

= ∫ (𝑃(𝑥,𝑦2) − 𝑃(𝑥,𝑦1))𝑑𝑥 = −∫ 𝑃(𝑥,𝑦1)𝑑𝑥 − ∫ 𝑃(𝑥,𝑦2)𝑑𝑦 = −∮ 𝑃 𝑑𝑥𝑐

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Similarmente si las ecuaciones de las curvas entre EAF; EBF son: 𝑋1(𝑦)1𝑋2(𝑦)

∬𝜕𝑄

𝜕𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫

𝜕𝑄

𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ (𝑄 |

𝑥2

𝑥1)𝑑𝑦 =

∫

𝑐

𝑥2

𝑥1

∫

𝑐𝑅

∫ 𝑄(𝑥1,𝑦)

𝑐

∫

𝑑𝑦 + ∫ 𝑄(𝑥2,𝑦)

∫

𝑐

𝑑𝑦

∮𝑄 𝑑𝑦

Luego sumando:

∮ 𝑃 𝑑𝑥𝑐

+ 𝑄𝑑𝑦 = ∬ (𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑅

)𝑑𝑦 𝑑𝑥

La anterior demostración, puede generalizarse a todo tipo de curvas cerradas, mediante subdivisiones adecuadas.

Se verifica el teorema de Green para: 𝑃(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 4𝑦 ; 𝑄(𝑥,𝑦) = 3𝑥𝑦2

𝐶: 𝑦 = 𝑥2 ; 𝑦 = 𝑥 𝐶1: 𝑦 = 𝑥2 = 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 (0, 0) → (1, 1) 𝐶2: 𝑦 = 𝑥 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 (1, 1) → (0, 0) Calculando la integral de línea, sobre las dos curvas, llevando a términos de la variable: x

∮ 𝑃 𝑑𝑥𝑐

+ 𝑄𝑑𝑦 = ∮ (𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦)2𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥

𝑐

∫ (𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥(𝑥2)2)2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 + 4𝑥)𝑑𝑥 + (3𝑥𝑥2)1𝑑𝑥 =113

42−

13

4=

−47

84

1

0

1

0

Calculando la doble integral sobre la región: R (encerrada por la curva C)

∬ (𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑅

)𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ (3𝑦2 − 4)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑋

𝑋2

1

0

∫ (−𝑥6 + 𝑥3 + 4𝑥2 − 4𝑥)𝑑𝑥 = −47

84

1

0

Los resultados obtenidos de distinta manera, coinciden plenamente, lo que verifica plenamente la validez del teorema de Green

73



Integrales de superficie: Las integrales de superficie son integrales funciones de varias variables (funciones escalares y vectoriales, la variable vectorial), que se calculan sobre superficies en el espacio.

𝑈(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥2 − 𝑦𝑧 ; 𝑆: 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 𝑆 es plano en el 1er cuadrante

𝑆: 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 → 𝑧 = 𝑓(𝑥,𝑦) = 6 − 3𝑥 − 𝑦

∬ 𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)𝑑𝑠 =𝑆

∬ 𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)√1 + 𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦

2

𝑅

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= ∬ (𝑥2 − 𝑦𝑧)𝑅

√1 + (−3)2 + (−1)2 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= ∬ [𝑥2 − 𝑦(6 − 3𝑥 − 𝑦)]√11𝑅

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= √11 ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥𝑦 − 6𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥6−3𝑥

0

2

0

= √11∙

∫ (3

2𝑥3 − 21𝑥2 + 54𝑥 − 36) 𝑑𝑥 = −14√11

2

0

Calcular las siguientes integrales de superficie de primer tipo: 𝑈(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑧 + 5 ; 𝑆: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 ; 𝑧 = 2

∬ 𝑈 𝑑𝑆𝑆

= ∬ 𝑈 𝑑𝑆1 + ∬ 𝑈 𝑑𝑆2𝑆1𝑆1

𝑆1; 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 → 𝐹1(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 0

La superficie cerrada, está compuesta por dos superficies: 𝑆1(lateral); 𝑆2 (tapa superior)

ñ1 =∇𝐹1

|∇𝐹1|=

2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 − ��

√4𝑥2 + 4𝑦2 + 1

Teorema de la divergencia: Este teorema en sus distintos modos de presentación, se llama también de Green en el espacio o teorema de gauss - ostrogadsky. S es una superficie cerrada en el espacio, que encierra al volumen.

Como anteriormente, se toma por positiva la dirección normal exterior a la superficie: ñ

𝐴(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥,𝑦,𝑧)𝐽 + 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)��

𝐴 Es una función vectorial de varias variables, o variable vectorial, continua sobre S; entonces:

74



∬ 𝐴°ñ𝑆

𝑑𝑠 = ∭ ∇°𝐴𝑉

𝑑𝑉

La superficie cerrada es tetraedro (4 caras), verificando el teorema de la divergencia.

Calculando divergencia 𝐴 sobre V, encerrado por S.

∭ ∇°𝐴 𝑑𝑉𝑉

= ∭ (𝜕

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧��)°(𝑥𝑖 + 𝑦𝑧 𝑗 + ��)𝑑𝑉

𝑉

= ∭ (1 + 𝑧)𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ (1 + 𝑧)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥12−2𝑥−2𝑦

0

6−𝑥

0

6

0𝑉

= ∫ ∫ [(12 − 2𝑥 − 2𝑦) +(12 − 2𝑥 − 2𝑦)2

2] 𝑑𝑦 𝑑𝑥

6−𝑥

0

6

0

= ∫ [(12 − 2𝑥)2

2+

(12 − 2𝑥)3

3] 𝑑𝑥 = 288

6

0

Por otra parte por P-10.8-b donde: 𝐴 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 + ��; 𝑆: 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12 , estando S

encerrada en el primer cuadrante, se verifica que: ∬ 𝐴°ñ𝑠

𝑑𝑆 = 288

Teorema de Stokes: Este teorema, en sus distintas formas de presentación, se llama también teorema del rotacional. Si: S es una superficie abierta bilateral (dos caras), cuyo contorno es la curva cerrada simple: C El sentido positivo de la curva: C deja a su izquierda a la superficie elegida como positiva.

𝐴(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥,𝑦,𝑧)𝐽 + 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧)��

𝐴 Es una función vectorial de variable vectorial uniforme y continua sobre una región en el espacio, inferior a: S, entonces:

∮ 𝐴°𝑑𝑟 = ∬ (∇ ∗ 𝐴)°ñ 𝑑𝑆𝑆

𝐴 = 2𝑦𝑖 + 3𝑥𝑗 + 𝑧2��; 𝑆: 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ; 𝑧 > 5

75



Se trata de verificar el Teo de Stokes, calculando de dos modos posibles. La superficie S es la parte superior del paraboloide. El contorno es la circunferencia: C.

𝐶: 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 ; 𝑧 = 5 → 𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 = 22 Sobre el plano xy el contorno de R es r, que será la misma circunferencia anterior, pero ubicada sobre el plano xy (z=0); paramétricamente: 𝐶: 𝑥 = 2 cos 𝑡 ; 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑧 = 5

∮𝐴 ° 𝑑𝑟 = ∮ (2𝑦𝑖 + 3𝑥𝑗 − 𝑧2��)°(𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 + 𝑑𝑧��)𝐶

= ∮ 2(𝑠𝑒𝑛 𝑡)(−2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡) + 3(2 cos 𝑡)(2 cos 𝑡 𝑑𝑡)) − 520 = ∮ (12𝑐𝑜𝑠2 𝑡 − 8𝑠𝑒𝑛2𝑡)𝑑𝑡 = 4𝜋2𝜋

0𝑐

𝐶: 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 → 𝐹 = 𝑥2 + 𝑦2 − 9 → ñ =∇𝐹

|∇𝐹|=

2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + ��

√4𝑥2 + 4𝑦2 + 1

∇ ∗ 𝐴 =

[ 𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑝

𝑗𝜕𝜕𝑦𝑄

𝑘𝜕

𝜕𝑧𝑅 ]

=

[ 𝑖 𝜕𝜕𝑥2𝑦

𝑗𝜕𝜕𝑦3𝑥

𝑘𝜕

𝜕𝑧−𝑧2]

= ��

Por otra parte, calculando el rotor 3 a través del respectivo determinante, para luego calcular la integral por proyección sobre: XY

∬ (∇ ∗ 𝐴)°ñ 𝑑𝑆 =𝑆

∬ (∇ ∗ 𝐴)°ñ =𝑅

𝑑𝑦 𝑑𝑥

|ñ ∗ ��|

= ∬ (��)°2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + ��

√4𝑥2 + 4𝑦2 + 1𝑅

𝑑𝑦 𝑑𝑥

1/√4𝑥2 + 4𝑦2 + 1

= ∬ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ 2 𝑑𝜃 = 4𝜋2

0

2

0

2𝜋

0𝑅

PRÁCTICO Nº 7

Calcular las siguientes integrales de línea de primer tipo:∫ 𝑈 𝑑𝐶𝑐

a) 𝑈(𝑥,𝑦) = 6𝑥 + 𝑦2

𝐶: 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (0, 0) → (1, 0) → (1, 3)

b) 𝑈(𝑥,𝑦) = 6𝑥 + 𝑦2

𝐶: 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑥 = 𝑡2 ; 𝑦 = 3𝑡 ; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1

c) 𝑈(𝑥,𝑦) =1

𝑥−𝑦

𝐶: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑥 − 2𝑦 = 4 𝑑𝑒 (0,−2) → (4, 0)

d) 𝑈(𝑥,𝑦) = 𝑥 − 𝑦

𝐶: 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎

76



𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎𝑥 Verificar el teorema de Green, calculando de los dos modos.

a) 𝑃 = −𝑥2𝑦 ; 𝑄 = 𝑥𝑦2 𝐶: 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒

𝑦2 = 8𝑥 ; 𝑥 = 2

Usando integrales de línea, calcular las áreas de las siguientes regiones: a) 𝑦 = 𝑥2; 𝑥 = 𝑦2

Calcular las siguientes integrales de superficie de primer tipo ∬ 𝑈 𝑑𝑆𝑆

a) 𝑈(𝑥,𝑦) =1

𝑥2+𝑦2+𝑧2

𝑆: 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 ; 𝑧 ≥ 0 𝑧 ≤ ℎ

b) 𝑈(𝑥,𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2; 𝑆: 𝐶𝑜𝑛𝑜

𝑧2 = 3(𝑥2 + 𝑦2)

𝑧 ≤ 3 ; 𝑧 ≥ 0 c) 𝑈(𝑥,𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2

𝑆: 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 ; 𝑧 ≥ 0

Verificar el teorema de la divergencia, calculando de las dos maneras posibles.

a) 𝑃 = 2𝑥𝑦 + 𝑧 ; 𝑄 = 𝑦2 ; 𝑅 =−𝑥 − 3𝑦 𝑆: 𝑇𝑒𝑡𝑟𝑎𝑒𝑑𝑟𝑜 1𝑒𝑟 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6

b) 𝑃 = 𝑧2 − 𝑥 ; 𝑄 = −𝑥𝑦 ; 𝑅 = 3𝑧 𝑆: 𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑧 = 4 − 𝑦2 ; 𝑧 = 0 ; 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 3

Verificar el teorema de Stokes, calculando de las dos maneras posiblesa) 𝑥2𝑦2 ; 𝑄 = 1 ; 𝑅 = 𝑧

𝑆: 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 ; 𝑧 > 0

b) 𝑃 = 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 ; 𝑄 = 2𝑥 +𝑧 ; 𝑅 = 𝑥 − 𝑦

𝑆: 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑃1(2, 0, 0); 𝑃2(0, 3, 0); 𝑃3(0, 0, 1)

c) 𝑃 = 2𝑦 ; 𝑄 = 3𝑥 ; 𝑅 = −𝑧 𝑆: 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 ; 𝑧 > 0

Investigación 14 15 Investigar algunas aplicaciones de las integrales en línea en la ingeniería.

VII. Aplicabilidad de la Guía

La presente Guía MAAP se desarrolló en función del (los) documento(s):

Detalle Programa(s) Analítico(s)

BMS-302 CALCULO II 30P2E1 BMS-302 CALCULO II 06P2E1

BMS-302 CALCULO II 08P3E1


BMS-302 CALCULO II 14P2E1 BMS-302 CALCULO II 54P2E1


CÁLCULO II...3. Máximo y mínimo de funciones de varias variables. 4. Derivadas direccionales y...

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