Interpolación lagrange[1]

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

MÉTODOS NUMÉRICOS

REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN


El polinomio de interpolación de Lagrange es en esencia una reformulación de polinomio de interpolación de Newton, que permite una presentación más más sintética.

La forma general del polinomio de interpolación de Lagrange de grado n es:

ni

n

1ii

1i

1ii

1i

1i

1

0i

0n

ij0j ji

j

ixx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xxxL

in

0i

in xfxLxP

Donde:


Siguiendo el planteamiento anterior el polinomio de grado 3, se expresaría como

3

j3

j

2

j2

j

1

j1

j

0

j0

j

i

3

0i

i3 xfxx

x-xxf

xx

x-xxf

xx

x-xxf

xx

x-xxfxLxP

3

3j0j

3

2j0j

3

1j0j

3

0j0j

3

23

2

13

1

03

02

32

3

12

1

02

01

31

3

21

2

01

00

30

3

20

2

10

13 xf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxP

33221100i

3

0i

i3 xfxLxfxLxfxLxfxLxfxLxP


Siguiendo el planteamiento anterior el polinomio de grado 3, se expresaría como:

3

j3

j

2

j2

j

1

j1

j

0

j0

j

i

3

0i

i3 xfxx

x-xxf

xx

x-xxf

xx

x-xxf

xx

x-xxfxLxP

3

3j0j

3

2j0j

3

1j0j

3

0j0j

3

23

2

13

1

03

02

32

3

12

1

02

01

31

3

21

2

01

00

30

3

20

2

10

13 xf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxP

33221100i

3

0i

i3 xfxLxfxLxfxLxfxLxfxLxP

EJEMPLO

Halle el polinomio de interpolación de Lagrange para el siguiente conjunto de puntos, y estime el valor de la función para x=3.5 , utilizando este polinomio

i xi f(xi) 0 1.5 -5 1 2.7 2 2 5.6 -2 3 7.2 10

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL CON POLINOMIOS DE LAGRANGE-PUNTOS A INTERPOLAR

Puntos Originales


Inicialmente se grafican los puntos a interpolar, con el fin de tener una idea más

clara acerca de la distribución de los mismos y anticipar dificultades:

Se observa que

los puntos no son

colineales, y no

existen puntos

alineados

verticamente. Por

lo tanto, el

procedimiento de

interpolación se

puede aplicar sin

problemas


32103 xf5.6-x2.7-x1.5-x

xf7

7.2-x2.7-x1.5-xxf

7

7.2-x

5

5.6-x1.5-xxf

71

7.2-x

51

5.6-x

21

2.7-xxP

6.52.77.22.75.12.72.6.57.26.55.16.52.7.26.7.25.17.22.5.6.5.7.5.

106.52.77.22.75.12.7

22.6.57.26.55.16.5

22.7.26.7.25.17.2

52.5.6.5.7.5.

5.6-x2.7-x1.5-x

7

7.2-x2.7-x1.5-x

7

7.2-x

5

5.6-x1.5-x

71

7.2-x

51

5.6-x

21

2.7-xxP3

3

23

2

13

1

03

02

32

3

12

1

02

01

31

3

21

2

01

00

30

3

20

2

10

13 xf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxP

En este caso hay cuatro puntos no colineales, por lo tanto es posible hallar un

polinomio de grado 3 que pase por ellos o los contenga. Este polinomio, siguiendo

el procedimiento de Lagrange, se puede expresar así:


32103 xf5.6-x2.7-x1.5-x

xf7

7.2-x2.7-x1.5-xxf

7

7.2-x

5

5.6-x1.5-xxf

71

7.2-x

51

5.6-x

21

2.7-xxP

6.52.77.22.75.12.72.6.57.26.55.16.52.7.26.7.25.17.22.5.6.5.7.5.

3

23

2

13

1

03

02

32

3

12

1

02

01

31

3

21

2

01

00

30

3

20

2

10

13 xf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxf

xx

x-x

xx

x-x

xx

x-xxP

En este caso hay cuatro puntos no colineales, por lo tanto es posible hallar un

polinomio de grado 3 que pase por ellos o los contenga. Este polinomio, siguiendo

el procedimiento de Lagrange, se puede expresar así:

Reemplazando los valores x0=1.5, x1=2.7, x2=5.6 y x3=7.2, se obtiene:


104.4512.983.76088.5

5.6-x2.7-x1.5-x7.2-x2.7-x1.5-x7.2-x5.6-x1.5-x7.2-x5.6-x2.7-xxP3

106.52.77.22.75.12.7

22.6.57.26.55.16.5

22.7.26.7.25.17.2

52.5.6.5.7.5.

5.6-x2.7-x1.5-x

7

7.2-x2.7-x1.5-x

7

7.2-x

5

5.6-x1.5-x

71

7.2-x

51

5.6-x

21

2.7-xxP3

Reemplazando los valores f(x0)=-5, f(x1)=2, f(x2)=-2 y f(x3)=10, se obtiene:

Finalmente, el polinomio de interpolación de Lagrange para el problema

planteado es:


104.4512.983.76088.5

5.6-3.52.7-3.51.5-3.57.2-3.52.7-3.51.5-3.57.2-3.55.6-3.51.5-3.57.2-3.55.6-3.52.7-3.53.5P3

65184759.13.5P3

Para hallar el valor de la función, a través del polinomio de interpolación obtenido,

simplemente se reemplaza el valor de x=3.5, con lo cual resulta:

La siguiente gráfica permite observar el polinomio de interpolación junto con los

datos originales

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL CON POLINOMIOS DE LAGRANGE- POLINOMIO INTERPOLANTE

P3(x)

Puntos Originales



Cada término Li(x) toma el valor de 1 en xi, 0 en los demás puntos a interpolar. De esta forma, el producto Li(x)f(xi) es igual a f(xi) en el punto xi.

Esto se comprueba gráficamente a través

de las siguientes figuras:

COMPORTAMIENTO DE LOS TÉRMINOS Li(x)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

LoL1L2L3

Lo(x) toma el valor de 1 en xo. Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto

L1(x) toma el valor de 1 en x1.Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto

L2(x) toma el valor de 1 en x2Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto

L3(x) toma el valor de 1 en x3. Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto

x0 x3x1 x2


-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Y

X

Lo*f(xo)L1*f(x1)L2*f(x2)L3*f(x3)P3(x)Puntos OriginalesLo*f(xo)

El polinomio de interpolaciónde Lagrange obtenido, es la suma de 4 polinomios de grado 3. En el punto de interpolación xi, el polinomio Li(x)f(xi)=f(xi), los demás polinomios toman el valor de cero

El polinomio de interpolaciónde Lagrange obtenido, es la suma de 4 polinomios de grado 3. En el punto de interpolación xi, el polinomio Li(x)f(xi)=f(xi), los demás polinomios toman el valor de cero


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