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H. Scaletti - Métodos Numéricos: Interpolación, Diferenciación e Integración 5 - 1

5. Interpolación, Diferenciación e Integración Numé rica

5.1. Diferencias Finitas

Dadas las abscisas kx , uniformemente espaciadas: hxx kk +=+1 , a las que

corresponden valores ( )kk xff ≈ , se definen las primeras diferencias finitas hacia

adelante como:

kkk fff −=∆ +1 .

Análogamente pueden definirse las segundas diferencias:

kkkkkk ffffff +−=∆−∆=∆ +++ 1212 2

y en general las diferencias finitas hacia adelante de orden n :

kn

kn

kn fff 1

11 −

+− ∆−∆=∆

( ) ink

n

i

ik

n fi

nf −+

=∑

−=∆

0

1

donde: ( )!!

!

ini

n

i

n

−=

Una tabla de diferencias es un arreglo de la forma:

k kf kf∆

kf2∆ kf3∆ kf4∆ kf5∆ kf6∆ kf7∆

0 0 0 0 0 1 -5 15 -35

1 0 0 0 1 -4 10 -20 35

2 0 0 1 -3 6 -10 15

3 0 1 -2 3 -4 5

4 1 -1 1 -1 1

5 0 0 0 0

6 0 0 0

7 0 0

8 0

Puede apreciarse como un pequeño error en las kf puede amplificarse en las

diferencias finitas altas, lo que puede ser útil para identificar posibles errores en una

tabla de ( )xf .

Las diferencias finitas tienen ciertas propiedades análogas a las derivadas. Así por

ejemplo: ( ) kkkk vcucvcuc ∆+∆=+∆ 2121

( ) kkkkkk uvvuvu ∆+∆=∆ +1

1+

∆−∆=

∆

kk

kkkk

k

k

vv

vuuv

v

u

( ) ( )∑∑−

=+

−

=

∆−−=∆1

0100

1

0

n

i

iinn

n

i

ii vuvuvuvu


En forma similar, pueden definirse diferencias finitas hacia atrás:

1−−=∇ kkk fff

111

−−− ∇−∇=∇ k

nk

nk

n fff

y diferencias centrales:

21

21 −+

−=kkk fffδ

112 2

21

21 −+−+

+−=−= kkkkkk ffffff δδδ .....

21

21

11

−−

+− −=

k

n

k

nk

n fff δδδ

Estas diferencias están relacionadas:

211 ++ =∇=∆

kkk fff δ

Y en general:

2nk

nnk

nk

n fff++ =∇=∆ δ

Para puntos con espaciamiento no uniforme pueden calcularse diferencias divididas:

],[)()(

],[ 0110

1010 xx

xx

xfxfxx =

−−

=

20

2110210

],[],[],,[

xx

xxxxxxx

−−

=

...

n

nnn xx

xxxxxxxxxx

−−

= −

0

21110210

],,[],,[],,,[

LLL

Por ejemplo:

k kx kf [ ] L1, +kk xx

0 0 -5 6 2 1 0 0

1 1 1 12 6 1 0

2 3 25 30 11 1

3 4 55 63 15

4 6 181 108

5 7 289

Para el caso de puntos con espaciamiento uniforme, h , las diferencias divididas pueden

relacionarse con diferencias finitas hacia delante:

ni

n

niiiihn

fxxxx

!],,,[ 21

∆=+++ L

y en forma similar con diferencias finitas centrales o hacia atrás.

Si )(xf es un polinomio de grado n , las diferencias finitas (de cualquier tipo) de orden

1+n o superior obtenidas con los )( kk xff = son cero. En el ejemplo anterior )(xf es

un polinomio de tercer grado.


5.2. Interpolación

Supóngase que se tiene una tabla de valores tales como:

nx )( kxf

0 1.000 000

0.1 0.995 004

0.2 0.980 067

0.3 0.955 336

0.4 0.921 061

0.5 0.877 582

Y se requiere calcular )25.0(f . Para ello, )(xf puede aproximarse localmente por una

función más simple, )(xg , tal que )()( kk xfxg = . El caso más común es aquel en que

)(xg es un polinomio, pero también son frecuentes las aproximaciones con funciones

trigonométricas, por ejemplo:

LL ++++++= xbxbxaxaaxg 2sensen2coscos)( 21210

En lo que sigue se hace énfasis en interpolaciones polinómicas. Dados 1+n puntos

)(, kk xfx , sólo un polinomio de grado n , ( )xpn , satisface las condiciones

)()( kkn xfxp = para todo k . Sus coeficientes, ia , podrían obtenerse resolviendo:

=

MMK

K

K

K

K

)(

)(

)(

)(

1

1

1

1

3

2

1

0

3

2

1

0

33

233

32

222

31

211

0200

xf

xf

xf

xf

a

a

a

a

xxx

xxx

xxx

xxx

pero esto no es práctico. Otros métodos más eficientes se revisan a continuación.

5.2.1 Fórmulas de Interpolación de Newton y Otras E xpresiones Análogas.

Para puntos uniformemente espaciados:

∑∞

=

∆+−−−+=+1

000 !

)1()2()1()(

j

j fj

jfhxf

ααααα L

Esta expresión es fácil de obtener considerando un operador E tal que 1+= kk ffE , es

decir ∆+=1E . Como nkkn ffE += , puede escribirse: 000 )1()( ffEhxf ααα ∆+==+ .

Generalmente se consideran solo algunos términos de esta serie.

Por ejemplo, despreciando las diferencias de orden 3 o superior:

=∆−+∆+≈+ kkkk fffhxf 221 )1()( αααα

21 2

)1()2(

2

)2()1(++

−+−+

−−= kkk fff

αααααα

Considerando los valores numéricos:

k kx )( kxf

2 0.2 0.980 067

3 0.3 0.955 336

4 0.4 0.921 061


(para los que 1.0=h ), el valor de )25.0(f podría obtenerse con 5.0=α :

( ) )921061.0(2

)5.0()5.0()955336.0()5.1()5.0()980067.0(

2

)5.1()5.0(5.02

−++

−−=+ hxf

de donde ( ) 895968.025.0 ≈f (el valor exacto es 912968.0 )

La expresión anterior es la fórmula de interpolación de Newton con diferencias finitas

hacia adelante. Similarmente puede escribirse la fórmula de Newton con diferencias

hacia atrás:

∑∞

=

∇−++++=+1 !

)1()2()1()(

j

nj

nn fj

jfhxf

ααααα L

o la fórmula de Newton con diferencias divididas:

[ ] [ ][ ] L+−−−+

+−−+−+=)()()(,,,

)()(,,)(,)(

2103210

102100100

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxfxf

Esta última expresión es válida también para puntos con espaciamiento no uniforme.

Considérese por ejemplo la tabla de diferencias divididas:

i ix if [ ]1, +ii xx [ ]2, +ii xx L [ ]3, +ii xx L [ ]4, +ii xx L

-1 0. 1.000 000 -0.099 667 -0.492 113 0.037 106 0.039 670

0 0.2 0.980 067 -0.247 301 -0.477 270 0.060 908 0.037 594

1 0.3 0.955 336 -0.342 755 -0.452 907 0.079 705

2 0.4 0.921 061 -0.478 627 -0.421 025

3 0.6 0.825 335 -0.604 934

4 0.7 0.764 842

+−−−+−−+= )3.025.0()2.025.0()477270.0()2.025.0()247301.0(980067.0)25.0(f 968914.0)4.025.0()3.025.0()2.025.0()060908.0( =+−−−+ L

(Este es el resultado con 5 términos, con 3 términos se obtiene 0.968 895)

Otra alternativa es interpolar con diferencias centrales:

L++−+−++=+++

21

21

3612

21 )1()1()1()(

kkkkk ffffhxf δαααδααδαα

L++−++++=+−−

21

21

3612

21 )1()1()1()(

kkkkk ffffhxf δαααδααδαα

Estas son las fórmulas de Gauss. Promediando las dos expresiones se obtiene la

fórmula de Stirling:

( ) L+

+

−++

++=+

−+−+21

21

21

21

332

22

12

)1(

22 kkkkkkk ffffffhxf δδααδαδδαα

5.2.2. Fórmula de Interpolación de Lagrange

Esta fórmula es más adecuada para análisis teóricos que para el cómputo práctico. El

polinomio de interpolación se obtiene como:

∑=

⋅=m

i

ii fxgxp0

)()(


Los polinomios )(xg i se obtienen multiplicando n binomios: ( )( )∏

≠= −

−=

m

ijj ji

ji xx

xxxg

0

)( .

Nótese que ijji xg δ=)( .

El siguiente ejemplo es ilustrativo:

k kx kf

0 0. -5.

1 1. 1.

2 3. 25.

)34()30()10(

)3()1()( 2

31

0 +−=−−−−

= xxxx

xg

)3()31()01(

)3()0()( 2

21

1 xxxx

xg +−=−−−−

=

)()13()03(

)1()0()( 2

61

2 xxxx

xg −=−−−−

=

542)()( 22

0

−+=⋅=∑=

xxfxgxpi

ii

5.2.3. Interpolación de Hermite.

En algunos casos es conveniente trabajar con los valores de la función, ( )xf y un cierto

número de sus derivadas ( ) )(),(),(),( xfxfxfxf mK′′′′′′ . Dados los valores

( )mkkkk ffff K,,, ′′′ en n puntos de abscisas kx , es posible determinar un polinomio ( )xp

de grado ( ) 11 −+ nm que satisfaga:

( ) ( )

1,1,0

,1,0)()(

−=

==

nj

mixfxp ji

ji

K

K

La interpolación de una función cuando una o más de sus derivadas son conocidas en

cada punto se llama interpolación de Hermite. ( )xp puede obtenerse utilizando la fórmula

de Newton con diferencias divididas y considerando que:

[ ] ( ) )()()(

, 001

0100

01

xfxx

xfxfLimxx

xx′=

−−

=→

[ ] [ ]( )10

100100

,)(,,

xx

xxxfxxx

−−′

=

También podrían usarse las expresiones de Lagrange, considerando primero puntos a

una distancia pequeña, ε , y luego identificando a las derivadas con los límites de

diversas expresiones para 0→ε .

El siguiente ejemplo es ilustrativo. Se trata de determinar un polinomio ( )xp de grado 3,

tal que: ( )( )( )( ) B

A

B

A

Lp

p

vLp

vp

θθ

=′=′==

0

0


k kx kf [ ]1, +kk xx [ ]21 ,, ++ kkk xxx [ ]321 ,,, +++ kkkk xxxx

0 0 Av Aθ LL

vv AAB θ−

−2

( )

23

2

LL

vv BAAB θθ ++

−

1 0 Av L

vv AB − 2L

vv

LABB −

−θ

2 L Bv Bθ

3 L Bv

Se han tomado datos de esta tabla siguiendo una trayectoria horizontal.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LxxLL

vvx

LL

vvxvxp BABAAAB

AA −−

++

−+−

−−

+−+= 2

23

2

20

200

θθθθ

( ) ( ) ( ) ( ) LLvvxp BABA θξξθξξξξξξ −−−+−++−= 1123231)( 223232 donde L

x=ξ .

5.2.4. Interpolación Inversa.

En la solución de 0)( =xf pueden obtenerse aproximaciones a una raíz, x , por

interpolación de una función inversa con ordenadas kx para abscisas de espaciamiento

no uniforme, )( kxf . Considérese, por ejemplo:

kx )( kxf

1. 1.76

2. 0.41

3. -0.16

4. -0.32

Usando la fórmula de Lagrange con 4 puntos:

)16.032.0()41.032.0()76.132.0(

)4()16.00()41.00()76.10(

)32.016.0()41.016.0()76.116.0(

)3()32.00()41.00()76.10(

)32.041.0()16.041.0()76.141.0(

)2()32.00()16.00()76.10(

)32.076.1()16.076.1()41.076.1(

)1()32.00()16.00()41.00(

+−−−−−+−−+

+−−−−−+−−+

+++−

++−+++−

++−≈x

37.2≈x

5.2.5. Generalización a Varias Dimensiones.

Las expresiones anteriores pueden fácilmente generalizarse para "mallas" de más

dimensiones. Así, si se tienen puntos con coordenadas kji zyx ,,

( lkmjni LLL 0;0;0 === ) las fórmulas de Lagrange resultan:

∑∑∑= = =

⋅⋅⋅=n

i

m

j

l

k

ijkzyx fzgygxgzyxpkji

0 0 0

)()()(),,(

donde ( )( )∏

≠= −

−=

n

irr ri

rxi xx

xxxg

0

)( y expresiones similares en las direcciones zy, .

Frecuentemente los puntos están uniformemente espaciados: xxx ii ∆+=+1

yyy ii ∆+=+1

zzz ii ∆+=+1


La figura muestra una zona de una malla bidimensional con espaciamiento uniforme.

Las coordenadas de un punto en la proximidad de A pueden definirse por dos

parámetros βα , (coordenadas relativas medidas en unidades yx ∆∆ , ).

∆

O

x

E

D C B

A

HGF

y∆ xα ∆

β ∆y

P

Usando la fórmula de Stirling, e incluyendo diferencias centrales hasta de 2° orden

inclusive, se obtiene:

( ) ∑∑+

−=

+

−=

=∆+∆+1

1

1

1

00 ,i j

ijji fbayyxxf βα

donde:

( )121

1 −= ααa ( )121

1 −= ββb

22 1 α−=a 2

2 1 β−=b

( )121

3 += ααa ( )121

3 += ββb

y es igualmente fácil desarrollar expresiones análogas considerando un número mayor o

menor de puntos en cada dirección. La presencia de bordes curvos introduce algunas

dificultades (no es posible seguir teniendo un espaciamiento uniforme).

Sin embargo, en muchos casos es necesario trabajar con mallas no regulares, como la

mostrada en la figura siguiente. Las diferencias finitas no son entonces la herramienta

más adecuada. El concepto de elementos finitos es útil y permite un tratamiento más

simple. La región en estudio se divide en subregiones o elementos, conectados en un

número finito de nudos con los elementos adyacentes.

El valor de una función, f , en un punto en el interior de un elemento se obtiene

interpolando los valores de la función en los nudos del elemento:

i

N

i

i fzyxNzyxf ⋅=∑=1

),,(),,(


Las funciones de interpolación deben satisfacer:

ijjjji zyxN δ=),,( ( jjj zyx ,, son las coordenadas del nudo j )

1),,(0

=∑=

N

i

i zyxN

Esto último es evidente si se supone cf i = para todo j y entonces czyxf =),,( .

Adicionalmente, las iN deben ser tales que se mantenga la continuidad de f (y en

algunos casos la continuidad de una o más derivadas) en los bordes entre elementos.

Es relativamente fácil construir estas funciones para elementos bidimensionales

rectangulares.

Por ejemplo, para un elemento con 4 nudos (con referencia al centroide):

4,3,2,1114

1),( =

+

+= ib

y

b

y

a

x

a

xyxN ii

i

b

4

1

a

3

2

a

b

X

Y

4

1b

b

a a

Y

2

3

X8 6

7

5

Y para un elemento con 8 nudos (con referencia al centroide):

−+

+

+= 1114

1

b

y

b

y

a

x

a

x

b

y

b

y

a

x

a

xN iiii

i 4,3,2,1=i


+

−=b

y

b

y

a

xN i

i 112

12

7,5=i

−

+=2

112

1

b

y

a

x

a

xN i

i 8,6=i

Estos son los dos elementos más simples de la familia de Serendip.

Las funciones de interpolación para los correspondientes elementos tridimensionales son

similares.

En subregiones triangulares las funciones de interpolación resultan más simples si se

escriben en coordenadas de área, L1, L2, L3.. Un punto en el interior de un triángulo

permite definir tres triángulos parciales, cuyas áreas divididas entre el área total del

triángulo son justamente las Li:

A

AL i

i =

En consecuencia:

1321 =++ LLL .

Las coordenadas yx, se relacionan con las

coordenadas de área mediante:

xxLi

ii =∑=

3

1

yyLi

jj =∑=

3

1

Por otro lado si el origen de coordenadas yx, está en el centroide del triángulo:


yA

cx

A

bL ii

i 223

1 ++=

donde:

kji yyb −=

jki xxc −=

kji ,, son permutaciones cíclicas de 3,2,1 .

Para un elemento con 3 nudos, el valor de una función, ),( yxf , puede obtenerse por

interpolación lineal de los tres valores nodales 321 ,, fff :

∑=

=3

1

),(i

ii fLyxf

es decir, ),(),( yxLyxN ii = .

En forma similar, para un elemento con 6 nudos (nudos adicionales al centro de cada lado), ),( yxf puede obtenerse por interpolación cuadrática de los valores nodales.

( )12 −= iii LLN 3,2,1=i

136

325

214

4

4

4

LLN

LLN

LLN

===

(Los elementos triangulares de mayor orden son en general poco útiles). Pueden escribirse fácilmente expresiones análogas para los correspondientes elementos tridimensionales.

1

2

3

1

3

26

4

5

Para elementos más complejos, la construcción de funciones de interpolación puede

simplificarse si se efectúa previamente un "mapeo" adecuado.

Por ejemplo, para el hexaedro de Serendip con 20 nudos:


( )∑=

⋅=20

1

,,),,(i

ii fNf ςηξςηξ

( )( )( )( )211181 −+++++= ςςηηξξςςηηξξ iiiiiiiN 8,1 L=i

( ) ( ) ( )iiii gggN ςςηηξξ ,,,= 20,9 L=i

donde: ( )iig ξξξξ += 1),( 21 si 1±=iξ

( )21),( ξξξ −=ig si 0=iξ .

Las coordenadas zyx ,, pueden asociarse con las ςηξ ,, usando las mismas funciones

de interpolación:

( ) i

i

i xNx ςηξ ,,20

1∑

=

=

( ) i

i

i yNy ∑=

=20

1

,, ςηξ

( ) i

i

i zNz ∑=

=20

1

,, ςηξ

en tal caso se dice que el elemento es isoparamétrico. También puede hablarse de

elementos sub-paramétricos o hiper-paramétricos, según las funciones utilizadas en el

mapeo sean de grado menor o mayor que aquellas con que se interpola la función, f .

Nótese que también es posible hacer mapeos con las coordenadas de área.

5.3. Derivación

Dados )()(),( 2211 nn xffxffxff ≈≈≈ K puede obtenerse una aproximación, )(xg , a la

función )(xf , tal que )()( ii xfxg = para ni K,2,1= . Este es el problema de interpolación

considerado en la sección 5.2. Entonces, las derivadas de )(xf podrían aproximarse,

localmente, por aquellas de )(xg . Sin embargo, debe tenerse presente que pequeños

errores en los valores de la función pueden amplificarse enormemente al calcular las

derivadas. A mayor orden de la derivada, mayores son las probabilidades de errores de

cancelación.

En lo que sigue se considera el caso de abscisas nxxx K,21 , con espaciamiento

uniforme, h . Para h suficientemente pequeño:

K+′′′±′′+′±=± )()()()()( 3612

21

iiiii xfhxfhxfhxfhxf

K−′′−−+=′ )()()()( 221

iiii xfhxfhxfxfh

de donde, con la notación )()()(i

mmi xff = :

)()(1 hOh

fhO

h

fff iii

i +∆

=+−

=′ +

y en forma similar se tienen:

)(1 hOh

fff ii

i +−

=′ −


)( 221

21

hOh

fff

ii

i +−

=′ −+

Incluyendo puntos más alejados pueden obtenerse expresiones del tipo:

)( 3261

121

131

hOh

fffff iiii

i +−+−−

=′ ++−

Pero las expresiones más simples son las más frecuentemente utilizadas.

Considérese por ejemplo los valores ( xcos ):

kx )( kxf )( kxf ′ h

f k∆

h

ff kk

211 −+ −

0. 1.000 000 0. 0.049 958

0.1 0.995 004 0.099 833 0.149 376 0.099 667

0.2 0.980 067 0.198 669 0.247 301 0.198 338

0.3 0.955 336 0.295 520 0.342 755 0.295 028

0.4 0.921 061 0.389 418 0.434 784 0.388 770

0.5 0.877 582 0.479 426

Igualmente, )(xf ′′ puede ser aproximada por diferencias finitas de segundo orden:

( ) ( )222

211 2

)( hOfhOh

ffffxf i

iiiii +=+

+−=′′=′′ −+ δ

Por ejemplo, para la función de la tabla precedente:

97925.0)1.0(

955336.0)980067.0(2995004.0)2.0(

2−≈

+−≈′′f

El valor exacto es 980067.0)2.0(sen −=

y las derivadas de orden superior pueden ser aproximadas por las correspondientes

diferencias finitas.

Por ejemplo: m

im

mi

h

ff

∆≈)(

m

im

mi

h

ff

δ≈)(

Cuando se tienen 2 o más variables independientes, Ltyx ,, y mallas ortogonales de

puntos uniformemente espaciados, las derivadas parciales pueden aproximarse por

diferencias finitas trabajando separadamente con cada variable. Así por ejemplo, para

hyx =∆=∆ , el Laplaciano:

2

2

2

22

y

u

x

uu

∂∂+

∂∂=∇

en un punto de coordenadas ji yx , puede aproximarse por:

21,,1,

2,1,,12

5

22

h

uu

h

uuuu jijujijijiji

ij++−+ +−

++−

=∇

con un error de ( )2hO Nótese que en u2∇ y iju25∇ el símbolo ∇ no es el operador para

diferencias hacia atrás.


Al utilizar elementos finitos, las derivadas se obtienen operando exactamente con las

funciones de interpolación. Así, si: i

n

i

i fzyxNf ∑=

=1

),,( se tiene: i

n

i

i fx

N

x

f∑

= ∂∂

=∂∂

1

.

Algunos comentarios adicionales relativos al uso de elementos isoparamétricos son aquí necesarios. Para elementos isoparamétricos las funciones de interpolación iN están expresadas como función de Lςηξ ,, :

( ) i

n

i

i fNf ∑=

=1

,, ςηξ

y las coordenadas Lςηξ ,, están relacionadas con las Lzyx ,, mediante las mismas

funciones de interpolación, v.g.:

( ) i

n

i

i xNx ∑=

=1

,, ςηξ

Excepto para casos particulares de geometría muy simple, es prácticamente imposible

obtener expresiones explícitas para las Lςηξ ,, en función de las Lzyx ,, y lo mismo

puede decirse de las funciones de interpolación, ( )ςηξ ,,iN . Como consecuencia, en

general es fácil obtener derivadas con relación a las Lςηξ ,, , pero comparativamente

difícil obtener expresiones explícitas para las L,,,z

f

y

f

x

f

∂∂

∂∂

∂∂

. Su evaluación numérica

es, sin embargo, muy simple. Teniendo en cuenta que:

∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂∂∂∂∂

z

fy

fx

f

zyx

zyx

zyx

f

f

f

ςςς

ηηη

ξξξ

ς

η

ξ

O en notación más compacta: r

Jx ∂

∂=

∂∂ ff

. Los elementos de la matriz J y de r∂

∂ f se

obtienen con expresiones e la forma:

i

n

i

i

i

n

i

i

zNz

xNx

∑

∑

=

=

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

1

1

ηη

ξξM

Por otro lado, al obtenerse la matriz J puede hacerse el cambio de variables:

ςηξ ddddzdydx ⋅= )det( J

lo que facilita enormemente las integrales, ya que los límites de integración son en cada

caso 1− y 1+ .

5.4. Ecuaciones de Diferencias

Una fórmula de recursión del tipo: ( )nyyyyfy knnnnkn ,,,,, 121 −++++ = K se denomina

ecuación de diferencias de orden k . La solución de ecuaciones de diferencias tiene

cierta analogía con la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.


La ecuación

011 =+++++ −+−++ nkjknjknkn yayayay KK

es una ecuación de diferencias lineal, homogénea, de orden k , con coeficientes

constantes. Esta ecuación queda satisfecha por jj cry = . Los posibles valores de r

corresponden a las raíces de la ecuación característica:

0)( 12

21

1 =+++++= −−−

kkkkk ararararrp K .

Si la ecuación característica tiene k raíces distintas krrr K,, 21 la solución general de la

ecuación de diferencias (lineal, homogénea, con coeficientes constantes) puede

escribirse:

jkk

jjjj rcrcrcrcy K+++= 332211

Lo cual puede probarse por simple sustitución. Si en cambio se tiene una raíz de

multiplicidad m , deben considerarse términos jrjq )( , donde )( jq es un polinomio de

orden 1−m . En cualquier caso la solución tiene k constantes independientes.

Considérese por ejemplo: 065 12 =+− ++ nnn yyy , con condiciones iniciales 00 =y ,

11 =y . Por recursión con nnn yyy 65 12 −= ++ se obtienen:

5)0)(6()1)(5(2 =−=y

19)1)(6()5)(5(3 =−=y

65)5)(6()19)(5(4 =−=y

211)19)(6()65)(5(5 =−=y

Por otro lado, la ecuación característica es en este caso 0652 =+− rr , cuyas raíces

son 21 =r , 32 =r . La solución general es: nnn ccy 32 21 ⋅+⋅= y dadas las condiciones

iniciales:

0=n 021 =+ cc

1=n 132 21 =+ cc

se obtienen: 11 −=c y 12 =c , es decir nnny 23 −= .

Por ejemplo, 651681)2()3( 444 =−=−=y .

En cambio, 043 23 =+− ++ nnn yyy tiene la ecuación característica 043 23 =+− rr

cuyas raíces son 11 −=r , 232 == rr , y su solución general es entonces: nn

n ncccy )2)(()1( 321 ++−= .

La fórmula de recursión para los polinomios de Tchebicheff:

0)()(2)( 11 =+− −+ xTxxTxT nnn

es también una ecuación de diferencias lineal, homogénea, de orden 2, con coeficientes constantes (porque 1, -2x, 1 no son función de n). Su ecuación característica es:

0122 =+− rxr , con raíces 21 xixr −±= . Haciendo el cambio de variable θ= cosx

se tiene: θ±=θ±θ= ieir sencos . La solución general de la ecuación de diferencias es

( ) ( ) θ−θθ−θ+ +=+= ininninin ececececT 2121 . Con las condiciones iniciales 1)(0 =xT ,

θ== cos)(1 xxT se obtienen 21

21 == cc y finalmente θ=+= θ−θ neexT ininn cos)( 2

121 ,

donde xcosarc=θ .


La solución de una ecuación de diferencias lineal no homogénea puede obtenerse

sumando a la solución de la correspondiente ecuación homogénea una solución

particular. Los ejemplos siguientes son ilustrativos:

Considérese: nnn ayy =−+ 21 , con la condición inicial 10 =y . La correspondiente

ecuación homogénea, 021 =−+ nn yy , tiene la ecuación característica 02 =−r y su

solución es entonces nn cy )2(= . Para la solución particular puede tantearse una

solución de la forma nn ay α= , de donde nnn aaa =α−α + 21 y por lo tanto ( ) 12 −−=α a

(esto es, suponiendo que 2≠a ). La solución general es: ( ) nnn caay )2(2 +−= . Con

la condición inicial se halla ( ) 121 −−−= ac y finalmente ( ) ( )222 −−+= aay nnnn

(para 2≠a ). Para 2=a la regla de L' Hospital da: 122 −+= nnn ny .

Para la ecuación de diferencias nnnn nyyy )1(3265 12 −+=+− ++ puede considerarse la

solución particular: ncbany )1(−++= . Sustituyendo esta expresión en la ecuación e

identificando coeficientes se obtienen: 1=a , 23=b , 4

1=c . Por otro lado, la ecuación

característica es: 0652 =+− rr con raíces 21 =r , 32 =r . La solución general resulta

entonces nnnn ccny )3()2()1( 214

12

3 ++−++= .

5.5. Integración Numérica (Cuadratura)

La evaluación de una integral definida:

∫b

adxxf )(

en forma explícita es a veces muy difícil o prácticamente imposible. En tales casos

puede hacerse una aproximación numérica tal como las que se mencionan en esta

sección.

5.5.1 Regla de los Trapecios, Regla de Simpson y ot ras fórmulas interpolatorias.

Una posible forma de resolver el problema es aproximando, localmente, la función, ( )xf ,

por otra, ( )xg , más simple de integrar.

En la Regla de los Trapecios se aproxima ( )xf con segmentos de recta y entonces:

( ) [ ]∫ +−≈1

0

)()()( 100121

x

xxfxfxxdxxf

Esta expresión puede generalizarse para un intervalo [ ]nxx ,0 . Considerando abscisas

con espaciamiento uniforme hxx ii += −1 , para los que se tiene valores de la función

)( ii xff = puede hacerse interpolaciones lineales en cada subintervalo [ ]1, +ii xx para

obtener:

( ) ( )∫ +++++=≈ −

nx

xnn fffff

hhTdxxf

01210 222

2)( K

El error de truncación puede estimarse más fácilmente considerando primero el sub-

intervalo [ ]2,2 hh +− para el cual (siendo h pequeño):

K++′′′+′′+′+= )0()0()0()0()0()( 42413

612

21 IVfxfxfxfxfxf

e integrando:

∫+

−++′′+⋅=

2

2

)0(1920

)0(24

)0()(53h

h

IVfh

fh

fhdxxf L


Por otro lado:

( ) L±+′′′±′′+′±=± )0(384

)0(48

)0(8

)0(2

2432

0IVf

hf

hf

hf

hfhf

∫+

−−′′−

−+

=∴2

2

)0(480

)0(12222

)(53h

h

IVfh

fhh

fh

fh

dxxf K

Si h es pequeño el error local de truncación es de ( )3hO . Sin embargo, para integrar

entre límites a y b se requieren ( ) hab − subintervalos (este número es inversamente

proporcional a h ) y el error global es entonces de ( )2hO .

En la Regla de Simpson la aproximación local se hace interpolando con parábolas de 2°

grado. Considerando puntos con abscisas uniformemente espaciadas:

( )∫ +−++=2

0

)(90

43

)( 1

5

210

x

x

IV xfh

fffh

dxxf K

y en general, considerando un número par de subintervalos:

( ) ( )∫ +++++++++= −−

nx

xnnn hOffffffff

hdxxf

0

41243210 422424

3)( K

Esta fórmula es exacta cuando )(xf es un polinomio de hasta tercer grado.

Considérese por ejemplo: 912437609.15Ln5

1==∫ x

dx Para la función

xxf

1)( = se

obtienen los valores siguientes:

x )(xf x )(xf

1.00 1. 3.25 0.3076 9231

1.25 0.8 3.50 0.2857 1429

1.50 0.6666 6667 3.75 0.2666 6667

1.75 0.5714 2857 4.00 0.25

2.00 0.5 4.25 0.2352 9412

2.25 0.4444 4444 4.50 0.2222 2222

2.50 0.4 4.75 0.2105 2632

2.75 0.3636 3636 5.00 0.2

3.00 0.3333 3333

y utilizando la regla trapezoidal se obtienen aproximaciones a ∫5

1 x

dx.

Por ejemplo con 1=h :

( ) ( )[ ] KK 8336.12.025.0333.05.02.1121

5

1=++++≈∫ x

dx

y en forma similar h ( )hT

1.0 1.683 333

0.5 1.628 968

0.25 1.614 406

....

Con la regla de Simpson se obtienen:


h ( )hS

0.5 1.610846

0.25 1.609552

0.125 1.609446

Las fórmulas de los trapecios y de Simpson corresponden al grupo de fórmulas de

Newton - Cotes de intervalo cerrado. Algunas otras fórmulas de este grupo son la regla

de Simpson de los 83 :

( ) ( )73210 33

8

3)(

3

0

hOffffh

dxxfx

x++++=∫

y la regla de Bode:

( ) ( )943210 73212327

45

2)(

4

0

hOfffffh

dxxfx

x+++++=∫

También pueden obtenerse fórmulas que utilizan puntos uniformemente espaciados pero

no incluyen los valores de la función en uno o en los dos límites de la integral. Estas son

las fórmulas de Newton - Cotes de intervalo abierto. Por ejemplo:

( ) ( )3212

3)(

3

0

hOffh

dxxfx

x++=∫

( ) ( )5321 22

3

4)(

4

0

hOfffh

dxxfx

x++−=∫

5.5.2. Extrapolación de Richardson y el Método de R omberg

Si ( )hT es la aproximación de ∫b

adxxf )( obtenida de la aplicación de la regla de los

trapecios con intervalo h , puede escribirse:

∫ ++++=b

ahahahadxxfhT K

63

42

21)()(

( ) ( ) ( )∫ ++++=b

ahahahadxxfhT K

63

42

21 222)()2(

y entonces:

∫ +++=− b

ahahadxxf

hThTK

63

42)(

3

)2()(4

es decir ( ))2()(431 hThT − es una aproximación a ∫

b

adxxf )( con un error de truncación de

( )4hO , menor que el de ( )hT o ( )hT 2 . En forma similar, para la regla de Simpson:

∫ ++++=b

ahahahadxxfhS K

84

63

42)()(

∫ ++++=b

ahahahadxxfhS K

84

63

42 )2()2()2()()2(

y entonces:

( )( ) ∫ +++=

−− b

ahahadxxf

hShSK

84

634

4

)(12

)2()(2


es una aproximación mejor a la integral, con un error global de ( )6hO . Estos son dos

ejemplos de la extrapolación de Richardson.

Para la integral ∫5

1 x

dx considerada anteriormente:

( ) 333683.10,1 =T

( ) 968628.15,0 =T ( ) ( )( ) ( )5.0846610.10.15.0431 STT ==−

( ) 406614.125,0 =T ( ) ( )( ) ( )25.0552609.15.025.431 STT ==−

Obsérvese que estos resultados coinciden con los obtenidos de la regla de Simpson.

El método de Romberg considera inicialmente los resultados jT .1 , de aplicar la regla de

los trapecios con distintos grados de subdivisión, ( ) jj abh 2−= . Estas aproximaciones

tienen errores de truncación de ( )2jhO . No es necesario rehacer todos los cálculos para

cada nueva subdivisión, pudiéndose emplear la expresión:

( )∑−

=∆=

− ++=12

21

1,121

,1

j

ii

jjjj ihafhTT

Usando la extrapolación de Richardson se obtienen nuevas aproximaciones con errores

de ( )22 +ijhO :

( )( ) 12

22

,1,2

,1−

−= +

+ i

jijii

ji

TTT

Considérese nuevamente la integral: ∫5

1 x

dx. Con la regla de los trapecios se obtienen:

j jjh2

4= ( )∑−

==∆

+12

12

j

ii

jhiaf jT ,1

0 4. 2.4

1 2. 0.333 333 1.866 667

2 1. 0.75 1.683 333

3 0.5 1.574 603 1.628 968

4 0.25 3.199 689 1.614 406

5 0.125 6.427 862 1.610 686

Y de las sucesivas extrapolaciones:

j jT ,2 jT ,3 jT ,4 jT ,5 jT ,6

0

1 1.688 889

2 1.622 222 1.617 777

3 1.610 847 1.610 088 1.609 966

4 1.609 552 1.609 466 1.609 456 1.609 454

5 1.609 446 1.609 439 1.609 438 1.609 438 1.609 438

Las cifras subrayadas coinciden con las de la solución exacta.


5.5.3. Integración con puntos no equidistantes

Las fórmulas de integración con puntos equidistantes consideradas en la sección 5.5.1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )mm

b

axfcxfcxfcxfcdxxf ++++≈∫ L332211

con m puntos de integración y m parámetros mccc L21 , permiten integrar exactamente

polinomios de grado 1−m (y excepcionalmente de grado m , como en la regla de

Simpson). Si en cambio se toman puntos no equidistantes, para m puntos de

integración se tienen m2 parámetros: mwww L21 , y mxxx L21 , lo que permite integrar

exactamente polinomios hasta de grado 12 −m . Esta forma de integración numérica se

denomina de Gauss.

Con propósitos ilustrativos, considérese la fórmula de integración de Gauss con 3

puntos:

( ) ( ) ( ) ( )332211 xfwxfwxfwdxxfb

a++≈∫

Esta expresión será exacta si )(xf es un polinomio de grado igual o menor que 5 (es

decir, 2(3)-1) ¿Cuáles deben ser las abscisas 321 ,, xxx ? Esto se considera brevemente

en lo que sigue. El polinomio ( ) ( )( )( )321 xxxxxxxg −−−= , cuyas raíces son

precisamente las abscisas de integración, es de tercer grado. En consecuencia la

integración:

0)()()()( 332211 =++=∫ xgwxgwxgwdxxgb

a

es exacta. Lo mismo puede decirse de las integrales de los polinomios )(xgx y )(2 xgx

(que son de grado 4 y 5, respectivamente):

0)()()()( 333222111 =++=∫ xgxwxgxwxgxwxdxgxb

a

0)()()()( 32332

2221

211

2 =++=∫ xgxwxgxwxgxwxdxgxb

a

Es decir, 321 ,, xxx son los 3 ceros del polinomio ( )xg que satisface las condiciones de

ortogonalidad:

∫

∫

∫

=

=

=

b

a

b

a

b

a

dxxgx

dxxgx

dxxg

0)(

0)(

0)(

2

Con el cambio de variable ( ) ( )abzabx ++−= 21

21 se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )332211

1

1zFwzFwzFwdzzFdxxf

b

a++== ∫∫

+

−

y en tal caso las abscisas iz son los ceros del polinomio que satisface las condiciones:


∫

∫

∫

+

−

+

−

+

−

=

=

=

1

13

2

1

13

1

13

0)(

0)(

0)(

dzzPz

dzzPz

dzzP

)(3 zP es el polinomio de Legendre de grado 3. En general, cuando se consideran m

puntos de integración las iz son los ceros del polinomio de Legendre de grado m ,

)(zPm . En la tabla siguiente se indican algunos de estos polinomios y sus ceros:

m )(zPm iz

1 z 0.

2 ( )13 221 −z K57735.0±

3 ( )zz 35 321 − 0., K77459.0±

4 ( )33035 2481 +− zz K33998.0± , K86113.0±

5 ( )zzz 157063 3581 +− 0., K53846.0± , K90617.0±

para estos polinomios: 0)()()12()()1( 11 =++−+ −+ zPnzzPnzPn nnn .

Para determinar los "pesos" correspondientes mwww L21 , puede considerarse que:

0)()()()( 2211

1

1=+++=∫

+

−mm zFwzFwzFwdzzF K

debe ser exacta para 1)( =zF , zzF =)( ,... 1)( −= mzzF . En general:

)()1(

22

imi

izPz

w′−

= .

Las raíces, iz , de )(zPm y los correspondientes pesos, iw , pueden hallarse en tablas de

Abramovitz y Según1 u otras similares. Por ejemplo, para m=5:

iz iw

0. 0.56888 88888 88889

K056839310153846.0± 0.47862 86704 99366

K386649845990617.0± 0.23692 68850 56189

Siendo conocidas estas abscisas y pesos:

[ ]∫ +++−=b

amm xfwxfwxfwabdxxf )22112

1 ()()()()( K

donde: )()( 2

121 abzabx ii ++−=

Estas son las fórmulas de integración de Gauss - Legendre.

Considérese por ejemplo 47186931.02Ln2

1==∫ x

dx. En este caso 2,1 == ba ,

2/)3( += ii zx y se tiene:

1 Véase: "Handbook of Mathematical Functions".- M. Abramowitz e I.A. Segun, editores. Dover Publications Inc., N.Y. 1965


i iz ix ( )ixf iw

1 0. 1.5 0.666667 0.568889

2 -0.538469 1.230766 0.812502 0.478629

3 0.538469 1.769235 0.565216 0.478629

4 -0.906180 1.046910 0.955192 0.236927

5 0.906180 1.953090 0.512009 0.236927

y finalmente ∫ ∑=

=−≈2

1

5

1211 4693147.0)()12(

i

iix xfwdx .

Algunas de las múltiples variantes de integración Gaussiana se mencionan a

continuación (las correspondientes abscisas, ix , y pesos, iw , también pueden hallarse

en tablas):

Fórmula de Radau:

( )∫ ∑+

−

−

=

+−

≈1

1

1

12

)1(2

)(n

i

ii xfwfn

dxxf

Las abscisas son los ceros de ( )

( )x

xPxP nn

++−

1

)()(1 y los pesos: 2

1 ))((

)1(

in

ii

xnP

xw

−

−=

Fórmula de Lobatto:

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫ ∑+

−

−

=

+−+−

≈1

1

1

1

111

2)(

n

i

ii xfwffnn

dxxf

La abscisa ix es el ( )01−i cero de )(1 xPn−′ y los pesos ( )[ ] ( )[ ] 21

112 −−

−−= ini xPnnw .

Integración de Gauss - Laguerre:

∑∫=

∞− ≈

n

i

iix xfwdxxfe

10

)()(

Las abscisas son los ceros de los polinomios de Laguerre, )(xLn

Los pesos resultan: ( ) ( ) ( )[ ] 21

2 1! −++= inii xLnxnw .

Integración de Gauss - Tchebicheff:

( )∫ ∑+

−=

≈−

1

11

21

)( n

i

ixfn

dxx

xf π

En este caso se tienen abscisas ( )n

ixi

π21cos −= .

5.5.4. Generalización a dos o más dimensiones.

Hasta el momento solo se ha considerado la integración en una dimensión. El proceso

para evaluar numéricamente integrales múltiples es análogo al proceso analítico, es

decir, se integra en una variable a la vez y en cada una de estas etapas las otras

variables se consideran como constantes. Por ejemplo:

∫∫ ∑ ∫ ∑∑= = =

≈≈n

i

n

i

m

j

jijiii yxfwwdyyxfwdydxyxf1 1 1

),(),(),(

5. Interpolación, Diferenciación e Integración Numérica · H. Scaletti - Métodos Numéricos:...

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