Interpolación Numérica

Contenido

• Interpolación Numérica• Polinomio Único de Interpolación• Polinomio de Interpolación de Lagrange (Método de Ordenadas)• Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Método de Interpolación de Aiken-Neville (Interpolación Lineal

Repetida)

Interpolación Numérica

• La interpolación nos provee de medios para obtener una función aproximada simple que pueda ser fácilmente diferenciada, integrada, o evaluada como requiera, para obtener información a cerca de la función original cuya forma explícita es desconocida.

• Los métodos de interpolación desarrollados en ésta sección utilizan los puntos de una función 𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏) para determinar un polinomio único 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) que satisfaga las restricciones

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏)

Interpolación Numérica

• Para los métodos computacionales prácticos, esto polinomio de interpolación única se suele representar en una de las siguientes formas.

1. Forma ordenada. El polinomio de interpolación de Lagrange es el ejemplo más conocido de este tipo.

2. Forma de Diferencias. El polinomio de interpolación de Newton es la más simple de las formas de diferencias finitas.

3. Forma iterada. Las técnicas de Aitken-Neville usa interpolación lineal repetida para calcular el valor de 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝑿𝑿), para 𝑿𝑿 en (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝒏𝒏), sujeto a las restricciones que 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏).

Polinomio Único de Interpolación

• Supongamos que tenemos 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏 pares de datos 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎 , 𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒚𝒚𝟏𝟏 , … , (𝒙𝒙𝒏𝒏,𝒚𝒚𝒏𝒏)representados por 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏 puntos de la gráfica de una función 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) donde la forma explícita de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) no es conocida.

• Los 𝒙𝒙𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏) son asumidos valores distintos de la variable independiente 𝒙𝒙.• Nos gustaría aproximar 𝒇𝒇(𝒙𝒙) a alguna función simple 𝑷𝑷(𝒙𝒙) que pueda ser

fácilmente manipulada matemáticamente, y pueda ser evaluada para cualquier 𝒙𝒙 = 𝑿𝑿 en un intervalo 𝑰𝑰 que contenga 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝟏𝟏, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏.

• Los valores de 𝑷𝑷(𝒙𝒙) son por lo tanto usados para aproximar 𝒇𝒇(𝒙𝒙).• Los polinomios son muy útiles para estos propósitos porque estos son fácilmente

diferenciados, integrados y evaluados.• La restricción sería que

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒚𝒚𝒊𝒊 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏 (1)

Polinomio Único de Interpolación

• Un polinomio 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) que aproxime a 𝒇𝒇(𝒙𝒙) en un intervalo (𝑥𝑥0, 𝑥𝑥𝑛𝑛) y satisfaga esta restricción es usualmente referido que tiene interpolación polinomial.

• Asumimos que para esto existe un polinomio de la forma𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟎𝟎 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏 (2)

• La ecuación (1) puede ser expresada:

Polinomio Único de Interpolación

• Estas ecuaciones se pueden escribir en forma de matriz:

• Teniendo como única solución (𝒂𝒂𝟎𝟎,𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐, … ,𝒂𝒂𝒏𝒏) ya que la determinante de matriz de coeficientes es diferente de cero para distintos 𝒙𝒙𝒊𝒊. Por lo tanto existe un único polinomio de la forma (2) que satisfaga (1).

Polinomio de Interpolación de Lagrange(Método de Ordenadas)• De igual forma que el Polinomio Único de Interpolación, se busca ajustar 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏 pares de datos 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒚𝒚𝟎𝟎 , 𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒚𝒚𝟏𝟏 , … , (𝒙𝒙𝒏𝒏,𝒚𝒚𝒏𝒏) por un polinomio de la forma 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟎𝟎 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒏𝒏𝒙𝒙𝒏𝒏, pero esta vez será expresado en término de las ordenadas 𝒚𝒚𝒐𝒐,𝒚𝒚𝟏𝟏, … ,𝒚𝒚𝒏𝒏 de la función, por lo que el polinomio de interpolación será:

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒚𝒚𝟎𝟎𝒃𝒃𝟎𝟎 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚𝟏𝟏𝒃𝒃𝟏𝟏 𝒙𝒙 + ⋯+ 𝒚𝒚𝒏𝒏𝒃𝒃𝒏𝒏 𝒙𝒙 (3)donde 𝒃𝒃𝒌𝒌(𝒙𝒙) es un polinomio de grado 𝒏𝒏.

• Entonces 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 es también un polinomio de grado que no excede 𝒏𝒏 ya que esta es una combinación lineal de 𝒃𝒃𝒌𝒌 𝒙𝒙 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏).

• Los polinomios 𝒃𝒃𝒌𝒌(𝒙𝒙) pueden ser determinados únicamente por la imposición de 𝒏𝒏 + 𝟏𝟏 restricciones en 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 de la forma

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒚𝒚𝒊𝒊 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏 (4)

Polinomio de Interpolación de Lagrange(Método de Ordenadas)• Sustituyendo (3) en (4) obtenemos:

(5)• Examinando la ecuación anterior podemos ver que los valores de𝒃𝒃𝒌𝒌(𝒙𝒙) son escogidos tal que

(6)para lo cual satisface a las ecuaciones (5).

Polinomio de Interpolación de Lagrange(Método de Ordenadas)• Ya que cada 𝒃𝒃𝒌𝒌 𝒙𝒙 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏) es un polinomio de grado 𝒏𝒏 que tiene distintos ceros 𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝟏𝟏, … ,𝒙𝒙𝒌𝒌−𝟏𝟏,𝒙𝒙𝒌𝒌+𝟏𝟏, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏 por la ecuación (4), esta puede ser expresada de la siguiente forma:

(7)• La constante 𝐾𝐾𝑘𝑘 puede ser determinada evaluando 𝒃𝒃𝒌𝒌 𝒙𝒙 en 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝒌𝒌, por lo que obtenemos

(8)• También podemos ver que 𝒃𝒃𝒌𝒌 𝒙𝒙𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, de la ecuación (6), por lo que:

(9)• Sustituyendo la ecuación (9) en la (7) obtenemos:

para 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … ,𝒏𝒏.

Polinomio de Interpolación de Lagrange(Método de Ordenadas)• Finalmente, sustituyendo esta última ecuación en la ecuación (3)

obtenemos

Polinomio de Interpolación de Lagrange(Método de Ordenadas)• La ecuación anterior es conocida como Polinomio de Interpolación de Lagrange.• Usando sumatorias podemos escribir el Polinomio de Interpolación de Lagrange

de la siguiente forma:

• Para simplificar aún más, definimos

La cual la podemos evaluar en 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝒌𝒌, tal que

• Si utilizamos las definiciones anteriores, entonces el Polinomio de Interpolación de Lagrange lo podemos escribir en la siguiente forma simplificada:

Polinomio de Interpolación de Lagrange(Método de Ordenadas)Ejemplo:• Calcule el Polinomio de Interpolación de Lagrange para el siguiente

juego de (𝑥𝑥𝑖𝑖 ,𝑦𝑦𝑖𝑖): (0.0, 1.0), (0.33, 1.391), (0.66, 1.935), (1.0, 2.718)Solución:

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• El polinomio único de interpolación también puede ser representado

en términos de diferencias (llamadas diferencias finitas).• Se pueden encontrar un número de diferentes formas explícitas de 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) en término de diferencias finitas, dependiendo en si son usadas diferencias hacia delante, hacia atrás o en medio.

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)Diferencias Finitas Hacia Delante (Newton)• La interpolación polinomial de la forma hacia delante de Newton es

derivada asumiendo que 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) puede ser representado en la forma

• Los coeficientes 𝒄𝒄𝒌𝒌 (𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏) son determinados únicamente por la restricción 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏).

• Considerando el juego de valores 𝒚𝒚𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏, … ,𝒏𝒏) de la función 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙), los cuales corresponden a los juegos 𝒙𝒙𝒊𝒊 de los valores independientes de 𝒙𝒙. Definimos las diferencias de los valores de las funciones sucesivas como

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Estas diferencias ∆𝒚𝒚𝒊𝒊 son llamadas "diferencias de primer orden" de la

función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) sobre el intervalo (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝒏𝒏).• Las diferencias de las sucesivas diferencias de 1er orden son definidas

como

y son llamadas "diferencias de segundo orden" de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) sobre el intervalo(𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝒏𝒏).

• En general, las diferencias de mayor orden donde la función 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙)sobre el intervalo (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝒏𝒏) se definen como

y son llamadas "diferencias de orden 𝒌𝒌" de la función 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙).

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Estas diferencias finitas ∆𝒌𝒌𝒚𝒚𝒊𝒊 se pueden tabular en la siguiente forma:

∆𝑘𝑘𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝑦𝑦𝑘𝑘 −𝑘𝑘1 𝑦𝑦𝑘𝑘−1 + 𝑘𝑘

2 𝑦𝑦𝑘𝑘−2 − ⋯+ (−1)𝑘𝑘𝑦𝑦0 donde 𝑘𝑘𝑖𝑖 =

𝑘𝑘!𝑖𝑖! 𝑘𝑘 − 1 !

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Del polinomio de interpolación

• sustituyendo los juegos de pares de datos (𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊); 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏 de la función 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) considerando 𝒉𝒉 = 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊; 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏 − 𝟏𝟏𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊 = 𝒋𝒋 − 𝒊𝒊 𝒉𝒉

• Obtenemos

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Despejando las constantes, tenemos:

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Entonces el polinomio de interpolación de Newton de 𝒏𝒏-ésimo grado

donde 𝒉𝒉 = 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊que aproxima 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) en el intervalo (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝒏𝒏).

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)Diferencias Finitas Hacia Atrás (Newton)• Como se pudo observar en las diferencias finitas hacia delante, se inició al

principio de la tabla se siguió hacia delante. Para las diferencias finitas hacia atrás, se inicia al final de la tabla y se prosigue hacia atrás. Las sucesivas diferencias de las ordenadas se definen por la fórmula:

• Estas diferencias 𝜵𝜵𝒚𝒚𝒏𝒏−𝟏𝟏 son llamadas "diferencias de primer orden hacia atrás" de la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙) sobre el intervalo (𝒙𝒙𝟎𝟎,𝒙𝒙𝒏𝒏).

• Las diferencias de las sucesivas diferencias de 1er orden hacia atrás son definidas como

• En general, las diferencias de orden superior hacia atrás son definidas como

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Estas diferencias se pueden tabular en la siguiente forma:

∆𝑘𝑘𝑦𝑦𝑛𝑛 = 𝑦𝑦𝑛𝑛 −𝑘𝑘1 𝑦𝑦𝑛𝑛−1 + 𝑘𝑘

2 𝑦𝑦𝑛𝑛−2 − ⋯+ (−1)𝑘𝑘𝑦𝑦𝑛𝑛−𝑘𝑘 donde 𝑘𝑘𝑖𝑖 =

𝑘𝑘!𝑖𝑖! 𝑘𝑘 − 1 !

Método de Newton (Interpolación Polinomial forma de Diferencias)• Del polinomio de interpolación

• sustituyendo los juegos de pares de datos (𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊); 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏 de la función 𝒚𝒚 =𝒇𝒇(𝒙𝒙) considerando 𝒉𝒉 = 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊; 𝒊𝒊 = 𝟎𝟎,𝒏𝒏 − 𝟏𝟏𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒚𝒚𝒊𝒊 = 𝒋𝒋 − 𝒊𝒊 𝒉𝒉

• Obtenemos

Método de Interpolación de Aiken-Neville (Interpolación Lineal Repetida)• Otra forma distinta de que el polinomio de interpolación 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) de

grado 𝒏𝒏 pueda ser generado es por medio de interpolaciones (iteradas) repetidas.

• Para lograr esto se necesita utilizar la fórmula de interpolación lineal y repetir la aplicación de esta fórmula para obtener polinomios de grado 2, 3, ...

• Para interpolar linealmente entre dos puntos 𝒙𝒙𝒌𝒌,𝒚𝒚𝒌𝒌 , (𝒙𝒙𝒌𝒌+𝒎𝒎,𝒚𝒚𝒌𝒌+𝒎𝒎)podemos escribir de la línea a través de esos puntos

Método de Interpolación de Aiken-Neville (Interpolación Lineal Repetida)• Dada una 𝒙𝒙, despejamos para obtener el valor de 𝒚𝒚

• Aplicando esta ecuación entre dos puntos y repitiendo este proceso entre los puntos resultantes, podemos obtener un polinomio de interpolación de grado 𝒏𝒏.

• La fórmula recursiva para realizar las interpolaciones lineales sucesivas es:

ProblemasDado el siguiente juego de datos, encontrar el valor de 𝒚𝒚 cuando 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐, por los siguientes métodos (Considere 6 dígitos de precisión):a) Polinomio único de interpolaciónb) Polinomio de interpolación de Lagrangec) Método de Newton, diferencias finitas hacia delanted) Método de Newton, diferencias finitas hacia atráse) Método de Aitken-Neville

𝒙𝒙 𝒚𝒚0.0 1.0000000.1 1.1051710.2 1.2214030.3 1.3498590.4 1.491825

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