H. Scaletti - Mtodos Numricos: Introduccin1 - 1 1.Algunas Ideas Generales sobre Mtodos Numricos 1.1Introduccin En ciencia y tecnologa son comunes los problemas para los que no es posible hallar una solucinanaltica.Esfrecuenteentoncesreducirelproblemaauncasoparticular,o simplificarel modelodemodoquepuedaseranalizado.Hay,sinembargo,situaciones enqueunmodelosimplificadonoesapropiadoparadescribirlosaspectosqueson importantesenelcomportamiento.Serecurreentoncesasolucionesnumricas.La magnitud del trabajo es funcin de la precisin que se requiere.En los ltimos 50 aos, graciasalascomputadorasdigitales,lasposibilidadesparautilizareficientementelos mtodosnumricoshanaumentadoenormemente;ylospuntosdevistaconrelacina ellos han ciertamente cambiado. Enlamayorpartedelosmtodosnumricosseaplicanideasrelativamentesimples.Una idea frecuente es la de iteracin, es decir, la repeticin de un proceso en forma tal que se obtienen cada vez mejores aproximaciones a la solucin.Para ilustrar el uso de iteracionesconsidreselasolucindec x =3.Enestecasox eslarazcbicadec .Esta ecuacin puede reescribirse como: + =2231xcx xEmpezando con la aproximacin inicial00 x x , se puede iterar con: + =+21231nn nxcx xEstaesunaaplicacindelconocidomtododeNewtonparahallarracesdeuna ecuacinnolineal.Porejemplo,paraelcaso2 = c (esdecir 23= x )ycon10= x se obtienen: 333 . 1) 1 (21 2312 1=+ = x889 263 . 1) 333 . 1 (2333 . 1 2312 2=+ = xy as sucesivamente: 450 493 933 1.2593 = x18 0 50 0 921 1.2594= x895 049 921 1.2595 = xUna interpretacin geomtrica de la iteracin se muestra en la figura. 00.511.522.530 0.5 1 1.5 2 2.5 3 xy Puede en este caso probarse que el proceso converge siempre, para cualquier seleccin de x0.Si xn tiene t dgitos correctos, xn+1 tendr por lo menos 2t 1 dgitos correctos. Sin embargo, no todos los procesos iterativos funcionan.Por ejemplo, podra escribirse 212n nx x =+, lo que produce resultados alternados y obviamente no converge. x y = ) / 2 2 (231x x y + = H. Scaletti - Mtodos Numricos: Introduccin1 - 2 Otraideafrecuenteesladeaproximarlocalmenteunafuncincomplicadaporuna funcin lineal (oquizs parablica uotra relativamente simple).Esto es lo quese hace alinterpolarentredoslneasdeunatabla,oenprocesostalescomoelmtodode NewtonRaphsonparamejorarlaaproximacinaunarazdeunafuncin 0 ) ( = x f ,la integracindeunafuncinporelmtododelostrapecios,lasolucindeunaecuacin diferencial) , ( y x f y = por el mtodo de Euler, por citar slo algunos de los mtodos ms conocidos. En muchos casos se obtiene un conjunto de resultados en una sucesin de etapas, para cadaunadelascualesseconsiderancomodatoslosresultadosdelaetapaanterior. Talesprocesossedenominanderecursin.Sonmuypoderosos,perodebenser utilizadosconpropiedad.LaRegladeHornerparaevaluarunpolinomiotalcomo n nn na x a x a x a x p + + + + =111 0) ( K proporcionaunejemplosimplederecursin.El polinomiop(x)puede evaluarse realizando las operaciones: 00= p0 0 1a x p p + =M1 1 2a x p p + = ) (1x p a x p pn n n= + = La acumulacin de errores en un proceso de este tipo puede ser importante. Elejemplosiguienteilustratambinelusodeunarecursinyelfenmenoconocido como inestabilidad numrica.Supngase que se requiere calcular, paran = 0, 1, 2, ... +=105 dxxxynn Puede observarse que los valores de yn decrecen con n.Adems: ndx x dxxx xdxxxdxxxy ynn n nn n15) 5 (5555101101101101= =++=+++= + y por lo tanto:yn = 1/n 5yn-1.Esta expresin podra permitir determinar los sucesivos yn a partir de un valor inicial, como y0.Sabiendo que: ( ) [ ] 182 . 0565510100 = + =+=Ln x Ln dxxxyn Seobtienen(entodoslosclculosdeesteejemplosehanconsideradoslotrescifras significativas): 182 00. y 090 0 5 10 1. y y =050 . 0 51 212 = y y083 . 0 52 313 = y y Sorprendente que se obtenga y3 > y2 ! 165 . 0 53 414 = y y Absurdo! L 03 . 1 54 515 = y yLos malos resultados se deben a que las aproximaciones y el uso de un nmero finito de dgitos introducen errores, que se propagan a etapas posteriores del clculo.La forma H. Scaletti - Mtodos Numricos: Introduccin1 - 3 enqueestoserroressepropagan(odisipan)esdecisivaenlautilidaddeunmtodo numrico dado. En el proceso utilizado, un pequeo errorenyo se multiplicapor 5 en el clculode y1. Sin tener en consideracin los errores introducidos en los redondeos de este paso, se produce un error de 25 en y2.El resultado del paso k est afectado por el error inicial multiplicado por (-5)k. A esto deben agregarse los efectos de los errores introducidos en todoslospasosintermedios.Sisehubieranutilizadomscifrasdecimalesenlos clculos,losresultadosabsurdoshabrantambinaparecido,aunqueuntantoms adelanteenelproceso.Lainestabilidadnumricapuedeevitarseseleccionandoun algoritmo ms adecuado. As, utilizando la frmula en la otra direccin: =nyny151 1 - n elerrorquedadivididopor5encadapaso.Sabiendoqueyndecrececuandoncrece, pueden iniciarse los clculos con algo tan pobre como010 = y , obtenindose:( ) 020 . 0 0101519= = y( ) 019 . 09 91518 = y y( ) 021 . 08 81517 = y y( ) 025 . 07 71516 = y yy as sucesivamente: y5 0.028 y4 0.034 y3 0.043 y2 0.058 y1 0.088 y0 0.182Correcto! (a pesar de la errada informacin inicial) Sin embargo, no debe creerse que el utilizar frmulas al revs es el remedio para todos los problemas numricos.Cualquier proceso que seplanteeno ser siempre aplicable, ni en todos los casos el ms efectivo. 1.2Fuentes de Error Los resultados numricos estn afectados por errores provenientes de diversas fuentes. Enprimerlugardebencitarseerroresenlosdatos,puestoqueellossonengeneral resultadodemedicionesoestimacionesimperfectas.Esdeesperarqueloserrores relativos en los resultados sean del mismo orden de magnitud (o menores) que aquellos delosdatos.Sinembargo,stenosiempreeselcaso:sediceentoncesqueel problemaesmalcondicionado,esdecir,lasolucinesmuysensibleapequeos erroresenlosdatos.Dificultadesdeestetipopuedentambinnoserdebidasala formulacin del problema, sino a un mal condicionamiento del mtodo numrico utilizado. Un segundo grupo de errores es debido a simplificaciones en el modelo matemtico del problemayalatruncacindeexpresiones(seriesporejemplo),cuyoobjetivoesevitar que la formulacin se complique ms all de lo que razonablemente puede manejarse. -1-0.500.511.50 1 2 3 4 5nYn creciente n decreciente H. Scaletti - Mtodos Numricos: Introduccin1 - 4 Msimportantesdesdeelpuntodevistadelosmtodosnumricossonloserroresde truncacinyredondeo.stossonfuncindelprocedimientoempleadoydelas caractersticasdeoperacindelacomputadora.Lamayorpartedelascomputadoras trabajaninternamenteconsistemasdenumeracinbinarios,octalesohexadecimalesy tienen dos tipos de aritmtica: de punto fijo (o enteros) y de punto flotante (o reales).La aritmtica de punto fijo es exacta, pero est limitada a nmeros enteros y a un rango pequeo.Enconsecuencia,lamayorpartedelasoperacionesseefectanconla aritmtica de punto flotante.En laaritmtica de punto flotante la representacin interna deunnmeroesdelaforma: qm a 10 = ,dondemeslamantisayq elexponente.Slosealmacenant cifras (enbaseb )delamantisa,yporlotantocualquiernmero puede ser representado con un error relativo que no excede 121 tb(habitualmente entre 10-6y10-15).Paraq seusaunnmerofinitodeposicionesdememoriayen consecuencia existe un rango aceptable (en general muy grande) para los nmeros con punto flotante.Lasoperacionesaritmticasenpuntoflotantetienenpropiedadesalgodiferentesde aquellascorrespondientesenlaaritmticaexacta.Asporejemplo,lasuma(oresta) no es estrictamente asociativa. 010 1234567 . 0 = a410 123567 . 0 = bb c = El esquema siguiente indica como se efecta la suma en punto flotante: 410 1234567 . 0 b 410 0000123 . 0 a (las cuatro cifras finales se recortan) 410 1234690 . 0 + b a 410 1234567 . 0 c ( ) 1230000 . 0 10 0000123 . 04= + + c b a mientrasque 010 1234567 . 0 ) ( = + + a c b .Elordendelasoperacionessafectalos resultados. Estoesvlidotambinparaoperacionesdeotrotipo.Porejemplo,lasracesde 0 22= + + c bx x podranobtenersede:c b b x =2.Sinembargoelproceso alternativo (y tericamente equivalente): c b b signo b x =21) (12xcx =tiene mucho menos acumulacin de error, especialmente cuando ces pequeo,porque evita la resta de dos nmeros del mismo orden de magnitud.Considrese, por ejemplo, la ecuacin:0 1 642= + x x .Trabajando con 5 cifras significativas: 321110 984 . 63 984 . 31 32 1023 32 = + + = x321210 016 . 0 984 . 31 32 1023 32 = = xH. Scaletti - Mtodos Numricos: Introduccin1 - 5 El error relativo en 2xes muy grande.La resta se ha hecho en forma exacta; la causa del error est ms bien en el redondeo previo de la raz cuadrada.Si en cambio se toma 1 21 x x =se obtiene: 0000005 . 0 015629 . 01021984 . 63132 = =xcon un error relativo del mismo orden que el de 1x. Finalmente,debenmencionarseerroreshumanosyerroresdelacomputadora.Estos ltimos son prcticamente inexistentes, los primeros son en cambio la causa de muchos resultados inesperados. H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 1 2.LGEBRA LINEAL 2.1Definiciones Una matriz = (aij), de orden n x m, es un conjunto de nmeros dispuestos en n filas y m columnas. |||||||

\|=nm n n nmmma .... a a a.....a .... a a aa .... a a aa .... a a a3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11AUnelemento,aij,seidentificapordossubndices,elprimerodeloscualesdenotala filayelsegundolacolumna.Sim=1setieneunamatrizcolumnao"vector"de dimensin n: )`=321bbbMbSi en cambio n = 1, se tiene una matriz fila:[ ]mc c c K2 1= c .Si n = m se dice que la matriz es cuadrada (de orden n).Por ejemplo: ||||||

\|=256 81 16 164 27 8 116 9 4 14 3 2 1A||||||

\|=43210 0 00 0 00 0 00 0 0ddddD||||||

\|=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1nIA, D e In son matrices cuadradas.La matriz[ ]nd d d diag K2 1= Des una matriz diagonal,cuyoselementossontodoscero,exceptoaquellosubicadosenladiagonal principal (de la esquina superior izquierda a la inferior derecha).Un caso particular es el de[ ] ( )ijdiag = = 1 1 1 KnI , que es una matriz unidad (o identidad) de orden n.La matrizidentidadtieneenellgebramatricialunpapelsimilaralunoenlgebracomn.Por otro lado, el equivalente del cero es una matriz nula (no necesariamente cuadrada), cuyos elementos son todos ceros. Las matrices cuadradas cuyos elementos tienen simetra conjugada: =ji ija a(donde * indica conjugada compleja) se denominan Hermitianas.Por ejemplo: ||||||

\|+ + ++ +=4 3 2 1 03 2 3 1 2 31 1 5 20 2 3 2 1i ii i ii i ii iH 1 = ies una matriz Hermitiana. Si todosloselementos de una matriz Hermitiana son reales, es decir ji ija a = , se tiene una matriz simtrica. H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 2 Unamatrizcuadradaenlaquelamayorpartedeloselementossoncerosylos elementosconvalorsignificativoestnagrupadosalrededordeladiagonalprincipalse denomina matriz banda.Por ejemplo: |||||||

\| =1 11 2 11 2 11 2 11 1BLaslneasparalelasaladiagonalprincipalsellamancodiagonales.Elnmerototalde diagonalycodiagonalesconelementossignificativosenelanchodebanda(3eneste ejemplo).Paramatricessimtricaspuedetambinhablarsedeunanchodesemi banda;queincluyealadiagonalprincipal(2enelejemploprecedente).Unamatriz bandatienebajadensidad.Pordensidadseentiendelaraznentreelnmerode elementos con valor significativo y el nmero total de elementos. Si en una matriz cuadrada todos los elementos por encima (o por debajo) de la diagonal principal son cero se dice que sta es una matriz triangular inferior (superior): |||||||

\|=nm n n nl L l l lKL l l lL l lL l3 2 133 32 3122 211100 00 0 0L|||||||

\|=nmnnnuu uu u uu u u uLKLLL0 0 00 003 332 23 221 13 12 11UEnloquesigueseusanletrasnegritasparadenotarmatrices.Paralasmatrices columnayparalasmatricesfilasseusanminsculas,mientrasqueparalasmatrices rectangulares(incluyendolasmatricescuadradas)seusanmaysculas.Entodoslos casos, los elementos de una matriz se indican en minsculas. 2.2Operaciones Bsicas con Matrices Subdivisin o particin.El conjunto de elementos de una matriz A puede ser dividido en otros ms pequeos mediante lneas horizontales y/o verticales.Las distintas partes, A11,A12,etc.sonsubmatricesdelamatrizA.Lassubmatricespuedentratarsecomo elementoscomunesdeunamatriz,exceptoquedebenoperarsesegnlasreglasdel lgebra matricial. Igualdad.Dos matrices, A, B, del mismo orden, son iguales si cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra.A = B implicaij ijb a =para todo i, j. Suma(resta).Lasuma(odiferencia)dedosmatricesA,Bdelmismoordenesuna terceramatrizdelmismoorden,cuyoselementosseobtienensumando(restando) algebraicamente los correspondientes elementos de las dos matrices originales: C B A = ij ij ijc b a = La suma (resta) de matrices es asociativa y conmutativa: ( ) ( ) C B A C B A + + = + + A B B A + = + H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 3 Derivada e integral. Anlogamente, puede definirse la derivada de una matriz:

ijijba= = BA y la integral de una matriz en forma similar. Multiplicacin por un escalar. El productode una matriz porun escalar es otra matriz delmismoordencuyoselementossonlosdelamatrizoriginalmultiplicadosporel escalar: ij ijb a = = B AMultiplicacindedosmatrices.Dosmatrices,A(mxp)yB(pxn)puedenser multiplicadasenelordenABslosisonconformablesparaelproducto,esdecir,siel nmerodecolumnasdeAesigualalnmerodefilasdeB.ElproductoC(mxn)es una matriz cuyos elementosse obtienen de: n j m i b a cpkkj ik ij, 1 , 11= = == Por ejemplo, si: ||||

\|=4 3 102 6 41 3 5A ||||

\|=2 34 25 1B B A C = 70 2 4 4 3 5 1022 3 2 2 6 1 414 3 1 2 3 1 5322111= + + == + + == + + =cccK ||||

\|= 70 2848 2239 14CLamultiplicacindematricesesasociativaydistributiva,peroengeneralnoes conmutativa: C B A C B A ) ( ) ( = AC AB C B A + = + ) ( BA AB Siendoelordendemultiplicacinimportante,esfrecuenteenfatizarlo,diciendopor ejemplo que en el producto AB la matriz A premultiplica a B, o bien que B postmultiplica a A.En algunos casosBA AB = ; se dice entonces que A y B son conmutables. Esfcilverificarqueelproductodedosmatricestriangularesinferiores(superiores)es otra matriz triangular inferior (superior). Transposicin.LatranspuestaATdeunamatrizAesaquellacuyasfilassonlas columnas de A (y viceversa).Si) (ijTb = = B A , entonces ji ija b = : ||||

\|=6 35 24 1A|||

\|=6 5 43 2 1TALatranspuestadeunamatrizsimtricaesobviamentelamatrizoriginal.Productosdel tipoA ATresultansiempreenmatricessimtricas.Lomismopuededecirsede productosSA AT si S es simtrica. Cuando se transpone un producto matricial la secuencia de los factores debe invertirse: H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 4 ( )T T T TA B C C AB K K =Determinante de una matriz cuadrada.Es un nmero que resulta de: = =!3 2 1detnnr k j ia a a a K A ADondecadatrminodelasumaincluyeunsoloelementodecadafilaydecada columna.Si en estos productos se considera a los elementos ordenados por filas 1, 2, .. n, los ndices de las columnas en cada trmino delasuma pueden ser obtenidos como permutacindelordennormal.Segnelnmerodecambiosrequeridosparaesta permutacinseaparoimparseasignaalproductocorrespondienteelsigno+o-.La suma incluye las n! permutaciones posibles. Lassiguientespropiedadesfacilitanelcmputodeladeterminantedeunamatriz cuadrada A cualquiera: Si se intercambian dos filas (columnas) la determinante cambia de signo. La determinante de una matriz,A , es igual a la determinante de su transpuesta. ElvalordeladeterminantedeunamatrizAnosealterasiunacolumna(fila) multiplicada por un escalar se suma algebraicamente a otra columna (fila): bc adabcdb ad cb a =|||

\|=|||

\|0det detEn consecuencia, la determinante de una matriz con dos filas (o columnas) iguales (o proporcionales) es cero.Ms an,si dos o ms columnas (filas) de una matriz A son linealmentedependientes,esdecir1a1+ 2a2+ 3a3+...+ n-1an-1+ nan = 0paraun conjuntodecoeficientesidelosqueporlomenosunoesdistintodecero,la determinante es cero.Se dice entonces que la matriz A es singular.Considrese por ejemplo el caso: ||||

\|=1 1 01 2 10 1 1AA es singular puesto que:( ) ( ) ( ))`=)`+)` +)`000110112110111La determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Para un producto matricial se cumple que: ( ) ) det( ) det( ) det( det C B A C B A K K = As, por ejemplo, si: ||||||

\|||||||

\|=||||||

\|=24 0 0 024 6 0 012 6 2 04 3 2 11 6 7 10 1 3 10 0 1 10 0 0 1256 81 16 164 27 8 116 9 4 14 3 2 1Aentonces:( ) ( ) 288 24 6 2 1 1 ) det( = = A H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 5 Inversa de una matriz.Si una matriz A es no singular, es posible obtener su inversa, A-1, que satisface: nI AA A A = = 1 1( ) A A =11 Obviamenten nI I =1.La inversa de una matriz diagonal es otra matriz diagonal, cuyos elementos son inversas de los elementos de la matriz original.La inversa de una matriz triangular (inferior o superior) es otra matriz triangular del mismo tipo. Lainversindematricespermiteefectuarlaoperacinequivalentealadivisindel lgebra comn. C A B C AB1 = = (vanse los comentarios del tem 2.5.5) Para la inversa de un producto matricial se cumple: ( )1 1 1 1 = A B C C AB K KUna matriz Q se denomina ortogonal si: nTI Q Q = .Particularmente, si Q es una matriz cuadrada se tiene entonces que TQ Q =1.Por ejemplo: |||

\| = cos sensen cosR es ortogonal, puesto que: TR R =|||

\|= cos sensen cos1. Refirindose auna matrizcon coeficientes complejos, U, se dicequesta es unitaria si I U U =* 2.3Espacios y Subespacios Vectoriales Unamatrizcolumnadeordennesunconjuntonmerosquepuedenserinterpretados como componentes de un vector en un espacio de dimensin n. Sedicequeunconjuntodevectoresv1v2v3....v5sonlinealmentedependientessi existen nmeros123 .... 5, no todos cero, tales que: 05 5 3 3 2 2 1 1= + + + + v v v v KAlternativamente,puededecirsequelosvectoressonlinealmentedependientessiuno cualquieradeellospuedeexpresarsecomocombinacinlinealdelosotros: =r ii i rc v v(y linealmente independientes si esto no es posible). pvectoreslinealmenteindependientesdeordenn( p n )conformanunabasedeun espaciovectorialdedimensinp.Porotrolado,qvectores,delosquep( q p )son linealmente independientes, estn contenidos en un espacio de dimensin p. Silosvectoreslinealmenteindependientesx1x2....xpconstituyenunabasedeun espaciovectorialde dimensin p, un sub conjuntode estos puede considerarse como base de un sub espacio contenido en el espacio vectorial original. H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 6 Lascolumnas(ofilas)deunamatrizrectangularApuedentratarsecomovectores.El nmerodevectoreslinealmenteindependientesdefineelrangodelamatriz.Una matrizcuadradaesnosingularsisurangoesigualalordendelamatriz,esdecirsi todas las columnas son linealmente independientes.Lo contrario implica que una o ms columnas(filas)puedenobtenersecomocombinacinlinealdelasotrasyla determinante es cero. 2.4Sistemas de Ecuaciones Lineales Sehaestimadoqueun75%delosproblemasdeingenierasepresenta,enalguna etapa del trabajo, la solucin de un sistema de ecuaciones lineales: n n nn n n nn nn nn nb x a x a x a x ab x a x a x a x ab x a x a x a x ab x a x a x a x a= + + + + = + + + += + + + += + + + +KKKK3 3 2 2 1 13 3 3 33 2 32 1 312 2 3 23 2 22 1 211 1 3 13 2 12 1 11(2.1a) o bien: b Ax =)`=)`|||||||

\|n n nn n n nnnnbbbbxxxxa a a aa a a aa a a aa a a aM MKLKKK3213213 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11(2.1b) Enlasseccionessiguientessesuponequeelsistemadeecuacionestienesolucin nica, es decir, que0 ) det( A . Lasolucindesistemasdeecuacionesesunbuenejemplodelasdiferenciasentrelas matemticas clsicas y los mtodos numricos modernos.As, la Regla de Cramer: |||||||

\||||||||

\|=nn nj n nn jn jn jnn n n nnnnja a a aa a a aa a a aa a a aa b a aa b a aa b a aa b a axK KLK KK KK KK KLK KK KK K2 13 3 32 312 2 22 211 1 12 112 13 3 32 312 2 22 211 1 12 11detdet(2.2) si bien proporciona frmulas explcitas es tremendamente ineficiente cuando se trata de resolversistemasconmsde3incgnitas(exceptoparacasosmuyespecialesdela matriz de coeficientes). Muchos mtodos frecuentemente utilizados en ingeniera, como por ejemplo los mtodos deelementosfinitosparalasolucindeecuacionesenderivadasparciales,resultanen H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 7 el planteamiento de grandes sistemas de ecuaciones lineales.El costo de anlisis y en muchoscasoslafactibilidaddeunmodelosuficientementeprecisodependenengran medida de la forma de almacenamiento de las ecuaciones y de la eficiencia del algoritmo utilizado en su solucin. 2.5Mtodos Directos para la Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales Esteacpiteconsideramtodosque,denohabererroresderedondeo,producenla solucin exacta en un nmero finito de pasos.Para sistemas Ax = b, en los que A es de altadensidad,losmtodosdirectossonengenerallosmseficientes(paralas computadorasactualmenteutilizadas).Sinembargo,cuandoungrannmerode elementosdeAsoncero,yenespecialcuandoAesdefinidapositiva( 0 > Ax xTpara cualquier0 x ),puedesermsconvenienteutilizarunmtodoiterativoenquese obtiene una secuencia de soluciones aproximadas que convergen a la solucin exacta. 2.5.1. Sistemas Triangulares Lasolucindesistemasdeecuacioneslinealesesparticularmentesimplecuandola matrizdecoeficientesestriangular.Porejemplo,considreseunsistemaUx = benel que U es triangular superior: n n nnn n nn n n nn nn nn nb x ub x u x ub x u x ub x u x u x ub x u x u x u x u== += + += + + += + + + + 1 1 , 13 3 3 332 2 3 23 2 221 1 3 13 2 12 1 11K KKKK(2.3) Si U es no singular ( 0 iiupara todo i), las incgnitas pueden evaluarse en el orden: n, n-1, n-2, n-3, ... 2, 1: nnnnubx = (2.4a) |||

\| =+ =ni kk ik iiiix u bux11(2.4b) Este proceso se denomina sustitucin inversa.Anlogamente, para un sistema Lx = b, enelqueLesunamatriztriangularinferiornosingular( 0 iil paratodoi),puede utilizarse una sustitucin directa o reduccin: 1111lbx = (2.5a) |||

\| ==111ikk ik iiiix l blx (2.5b) Enamboscasos,lasolucindelsistemarequierendivisionesy( ) 121 n n operaciones de multiplicacin y suma (casi lo mismo que para multiplicar una matriz triangular por un vector). H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 8 2.5.2Mtodo de Gauss steeselmsimportantedelosmtodosdirectosparalasolucindesistemasde ecuacioneslineales.Laideabsicaestencombinarlasdistintasecuacionesparair eliminandoincgnitasenformasistemticayobtenerfinalmenteunsistematriangular, fcil de resolver.Considrese el sistema de orden n: ) 1 ( ) 1 (3) 1 (3 2) 1 (2 1) 1 (1) 1 (3) 1 (3 3) 1 (33 2) 1 (32 1) 1 (31) 1 (2) 1 (2 3) 1 (23 2) 1 (22 1) 1 (21) 1 (1) 1 (1 3) 1 (13 2) 1 (12 1) 1 (11n n nn n n nn nn nn nb x a x a x a x ab x a x a x a x ab x a x a x a x ab x a x a x a x a= + + + += + + + += + + + += + + + +KK KKKK(2.6) oenformacompacta:Ax = b.EnloquesiguesesuponequeAesnosingular. Supngasetambinque011 a .Puedeentonceseliminarsex1delaecuaciniside sta se resta la ecuacin 1 multiplicada por: ) 1 (11) 1 (11aalii= (2.7a) Con ello se obtiene: ) 2 ( ) 2 (3) 2 (3 2) 2 (2) 2 (3) 2 (3 3) 2 (33 2) 2 (32) 2 (2) 2 (2 3) 2 (23 2) 2 (22) 1 (1) 1 (1 3) 1 (13 2) 1 (12 1) 1 (11n n nn n nn nn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a x a= + + += + + += + + += + + + +KK KKKK(2.7b) donde ) 1 (1 1) 1 ( ) 2 () 1 (1 1) 1 ( ) 2 (b l b ba l a ai i ij i ij ij = =(2.7c) Enformasimilar,puedeeliminarsex2delasecuacionesi = 3,4,..nrestandodela ecuacin i la ecuacin 2 multiplicada por: ) 2 (22) 2 (22aalii=y as sucesivamente hasta obtener el sistema triangular: ) ( ) () 3 (3) 3 (3 3) 3 (33) 2 (2) 2 (2 3) 2 (23 2) 2 (22) 1 (1) 1 (1 3) 1 (13 2) 1 (12 1) 1 (11nn nnnnn nn nn nb x ab x a x ab x a x a x ab x a x a x a x a== + += + + += + + + +K KKKK(2.8) o en notacin matricial:Ux = b. Loselementos ) 1 (1 , 1) 3 (33) 2 (22) 1 (11, , nn na a a a K queseusancomodivisoresenestareduccin se llaman pivotes.El proceso tal como ha sido planteado hasta el momento falla si algunodeestosescero.EstoengeneralnoocurresilamatrizAtienediagonal H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 9 dominante(esdecir,si >i jij iia a )osiAessimtrica(AT = A)ydefinidapositiva (vTAv > 0 para v arbitrario). El siguiente ejemplo ilustra el proceso: )`=)`||||||

\|19044102256 81 16 164 27 8 116 9 4 14 3 2 1) 1 () 1 () 1 (4321xxxx Los nmeros indicados a la izquierda (entre parntesis) son los factores li1 por los que es necesariomultiplicarlaecuacin1antesderestarladelaecuacini,paralograrel objetivo de eliminar x1 de la segunda y las siguientes ecuaciones. )`=)`||||||

\|1884282252 78 14 060 24 6 012 6 2 04 3 2 1) 7 () 3 (4321xxxx Anlogamente: )`=)`||||||

\|1321882168 36 0 024 6 0 012 6 2 04 3 2 1) 6 (4321xxxx )`=)`||||||

\|24188224 0 0 024 6 0 012 6 2 04 3 2 14321xxxx finalmente: 2 4 3 28 12 6 218 24 624 244 3 2 14 3 24 34= + + += + += +=x x x xx x xx xx 11111234 == ==xxxx Paraestimarelesfuerzodecmputoeshabitualreferirsealnmerode"operaciones" requeridas.La costumbre es contar como una operacin a la combinacin de una suma (oresta,osimplementeunacopia)conunamultiplicacin(odivisin).Estaprctica proviene de las pocas en que el tiempo requerido para efectuar una multiplicacin o una divisineraunordendemagnitudmayorqueelnecesarioparaunasumaounaresta, pudiendo despreciarse estas ltimas.La reduccin de la matriz de coeficientes requiere deunnmerodeoperacionesdeorden 331n .Lareduccindelsegundomiembroyla sustitucininversarequierenaproximadamenten2operaciones.Sisetuvieranvarios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes:Ax = b1,Ay = b2, ... slo serequeriraefectuarlareduccindeAunavez,porloqueelnmerodeoperaciones serasiempreaproximadamente 331n .Msprecisamente,sehacenn n n322 3312 + + H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 10 operaciones para resolver un sistema de n ecuaciones lineales, pero si n es grande slo el primer trmino es importante. Elprocesoantesdescritofallacuandosepresentaunpivote, ) (iiia ,igualacero.Un ejemplo simple de tal situacin es el siguiente: )`=)`||||

\|1212 2 12 1 11 1 1321xxx Lamatrizdecoeficientesnoessingularyelsistematieneunasolucinnica ( )T1 1 1 = x .Sin embargo, despus del primer paso (efectuado en el orden indicado anteriormente), se obtiene: )`=)`||||

\|0111 1 01 0 01 1 1321xxx ysiendo0) 2 (22= a , no es posibleproseguir como habitualmente. La solucines en este caso obvia: intercambiar las ecuaciones (filas) 2 y 3.En general, si 0) (=iiia , algn otro elementodelamismacolumna, ) (ijia ,debeserdistintodecero(locontrarioimplicara una dependencia linealdepor lo menos dos de las ecuaciones, es decirla singularidad de A).Intercambiando las filas j e i puede entonces continuarse la reduccin.Dados los elementos ) (ijia delacolumnai,esconvenienteescogercomopivoteaqueldemximo valorabsoluto,puestoqueelusodepivotespequeosintroducefuerteserroresenla solucin.El ejemplo siguiente es ilustrativo: )`=)`|||

\|971 11 10 32111xx Trabajando con 10 cifras significativas se obtiene: ( ))` =)`|||

\| 1021101110 333 333 333 . 3 7710 333 333 333 . 3 01 10 000 000 000 . 3xx de donde:72 = x01 = xLasolucincorrectaes,sinembargo,21 = x .Esfcilcomprobarquenosepresenta este problema si se evita el pivote pequeo intercambiando previamente las ecuaciones: )`=)`|||

\|791 10 31 12111xx El intercambio de filas al que se ha hecho referencia se denomina intercambio parcial. Alternativamente, puede pensarse en un intercambio completo, en que se selecciona el siguientepivotecomoelelementodemximovalorabsolutoentretodosloselementos de la sub matriz por reducirse.Se intercambian entonces filas (ecuaciones) y columnas (incgnitas) para continuar el proceso como se ha descrito. H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 11 Elintercambioparcialesgeneralmentesatisfactorio,desdeelpuntodevistadela estabilidad numrica, y requiere bastante menos trabajo que el proceso con intercambio total. 2.5.3DescomposicinA = LU SupngasequeAestalqueelprocesodereduccindelmtododeGausspuede efectuarsesinnecesidaddeintercambiarfilasocolumnas.Entalcaso,la descomposicin A = LU donde L es una matriz triangular inferior con1 =iily U es una matriz triangular superior, es nica.Esto puede probarse fcilmente por induccin.Para el caso del primer ejemplo: ||||||

\|||||||

\|=||||||

\|24 0 0 024 6 0 012 6 2 04 3 2 11 6 7 10 1 3 10 0 1 10 0 0 1256 81 16 164 27 8 116 9 4 14 3 2 1 LoselementosdeLsonjustamenteloscoeficientes ijl usadosdurantelareduccin;U es en cambio la matriz A reducida! Sehamencionadoanteriormentequevariossistemasdeecuacionesconlamisma matriz de coeficientes pueden ser resueltos simultneamente.Sin embargo, no siempre se conocen desde un principio todos los vectores de coeficientes del segundo miembro.Por ejemplo, puede querer resolverse Ax1 = by Ax2 = x1.An en este caso, al resolver elsegundosistemanoesnecesariovolverareducirlamatrizAcomoalinicio.El sistema Ax = b es equivalente a LUx = b, o bien a los dos sistemas triangulares:Ly = b ,Ux = y.SiendoLyUconocidos,estosdossistemaspuedenresolverseenO(n2) operaciones.L y U pueden almacenarse en las mismas posiciones de memoria que en lamatrizA:Como ) ( ) ( iiiiki kia a l = sedeterminaconelobjetodehacer0) 1 (=+ ikia ,kil puede almacenarse en las posicin dekia .Por otro lado, no es necesario almacenar los elementos de la diagonal de L (que son todos iguales a 1).Dado que los elementos de U son aquellos de la matriz reducida, el efecto de la reduccin o descomposicin en la distribucin de memoria es de la forma: |||||||

\||||||||

\|nn n n nnnnnn n n nnnnu l l lu u l lu u u lu u u ua a a aa a a aa a a aa a a aKLKKKKLKKK3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 113 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11 Para el ejemplo precedente: ||||||

\|||||||

\|24 6 7 124 6 3 112 6 2 14 3 2 1256 81 16 164 27 8 116 9 4 14 3 2 1 Enloscasosenlosqueseefectanintercambiosdefilasy/ocolumnasessiempre posible(siAnoessingular)obtenerfactorestriangularesLyUtalesqueLU = A, H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 12 donde A es la matriz que resulta de efectuar los intercambios mencionados en la matriz original A. 2.5.4Otros Mtodos Directos Todoslosmtodostratadosenestaseccinpuedenconsiderarsecomovariantesdel mtodo de Gauss. Una posible alternativa es la de calcular los elementos de L y U mediante las frmulas: n k k j u l a ukpj p p k j k j k + = ==, 1 ,11(2.9a) n k i u l aulkpk p p i k ikkk i + =|||

\| ==, 1111(2.9b) enlugardeefectuarreduccionescomoanteriormente.Estamodificacin(Doolitle)es conveniente cuando se usan calculadoras manuales, ya que evita la escritura de muchos resultadosintermedios.Suusoencomputadorasesventajososilasoperacionesse hacen con una precisin mayor que aquella con la que se almacenan los resultados. ElmtododeCroutefectalafactorizacinA = LDR,dondeLeslamismamatriz triangular inferior obtenida durante el proceso de Gauss, D es una matriz diagonal y R es unamatriztriangularsuperiorconcoeficientes1ensudiagonalprincipal.DyRestn relacionados con la U de Gauss. i jduru diiijijii ii> ==(2.10) Enparticular,paraAsimtrica:R = LT.Estemtodonoposeeventajasnidesventajas conrelacinaldeGauss,bienseaencuantoaestabilidadnumricayprecisin,como en el nmero de operaciones necesarias. Siduranteelprocesodereduccinseusalaecuaciniparaeliminarxi,noslodelas ecuacionesquesiguenalaisinotambindelaecuacionesprecedentes,setieneel mtodo de Gauss Jordan.Para el ejemplo antes considerado: )`=)`||||||

\|19044102256 81 16 164 27 8 116 9 4 14 3 2 14321xxxx )`=)`||||||

\|1884282252 78 14 060 24 6 012 6 2 04 3 2 14321xxxx H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 13 )`=)`||||||

\| 1321886168 36 0 024 6 0 012 6 2 08 3 0 14321xxxx Ntese que se utiliz la segunda ecuacin para reducir no solamente las ecuaciones 3 y 4, sino tambin la ecuacin 1.Anlogamente: )`=)`||||||

\|241810324 0 0 024 6 0 012 0 2 04 0 0 14321xxxx )`=)`||||||

\|2462124 0 0 00 6 0 00 0 2 00 0 0 14321xxxxde donde se obtiene fcilmente la solucin. El mtodo de Gauss- Jordan es ms simple de programar, pero requiere casi 1.5 veces el nmero de operaciones del mtodo de Gauss tradicional. Finalmente,paraconcluirestaseccin,debemencionarsequeelmtododeGausses aplicable tambin a sistemas de ecuaciones con coeficientes complejos.Por ejemplo: )`+=)`||||

\|+ +iiixxxii ii2 114 82 43 1 01 2 10 1 2321 )`+=)`||||

\|+iiixxxiii2 113 52 43 1 01 1 00 1 2321 )`+=)`||||

\|+33 52 41 0 01 1 00 1 2321iixxxii de donde: [ ] 1 ) 1 ( 2 ) 2 4 (2 ) 1 ( 3 ) 3 5 (321123= == + + ==i i xi i xx 2.5.5Inversin de Matrices Si la inversa, A-1, de una matriz A se conoce, la solucin de un sistemaAx = bpuede escribirsex = A-1b.Podra entonces parecer conveniente determinar A-1, en especial si setienenvariossistemasdeecuacionesconlamismamatrizdecoeficientes.Sin embargo, la solucin puede ser obtenida con mucho menos operaciones y en general con mucha ms precisin utilizando la descomposicin A = LU.La solucin de los dos sistemastriangularesLy = byUx = yrequieresloO(n2)operaciones(porcada columnadebx).Porotrolado,lamultiplicacinA-1btambindemandaO(n2) H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 14 operaciones.Sinembargo,ladeterminacindeA-1requiereaproximadamenteeltriple de trabajo que para obtener L y U.El nmero de operaciones necesarias para obtener la inversa de una matriz cuadrada (no simtrica) de orden n es1 22 3+ + n n n . No obstante esto, en algunos casos se necesita la inversa en forma explcita.La inversa puedeobtenersedeunmodoeficienteresolviendonsistemasdeecuacioneslineales: AX = In,donde X = A-1.El siguiente ejemplo utiliza una variante del mtodo de Gauss con este objeto: ||||

\|=4 1 33 1 21 1 1AEn la columna de la izquierda se tienen la matriz A y sus sucesivas modificaciones.A la derechasepresentanlamatrizIylasmodificacionesobtenidasefectuandosobrelas filas las mismas operaciones que en A: ||||

\|4 1 33 1 21 1 1 ||||

\|1 0 00 1 00 0 1 ||||

\|1 2 01 1 01 1 1 ||||

\|1 0 30 1 20 0 1 ||||

\|1 0 01 1 02 0 1 ||||

\|1 2 10 1 20 1 1 ||||

\|1 0 00 1 00 0 1 11 2 11 1 12 3 1=||||

\| AAlternativamente, siladescomposicin A = LU deuna matrizA se conoce,la inversa puedeobtenersedeA-1 = U-1L-1,tambinenO(n2)operaciones.Sienloscmputos para L y U se hacen intercambios de filas, el productoU-1L-1resulta la inversa de una ciertamatrizA.LamatrizA-1puedeobtenerseapartirde(A)-1intercambiando columnas en secuencia inversa a los cambios de fila durante el proceso. Para la matriz antes considerada: LU A =||||

\|||||

\|=||||

\|1 0 01 1 01 1 11 2 30 1 20 0 14 1 33 1 21 1 1 La inversa de una matriz triangular es otra matriz del mismo tipo, fcil de determinar. Paraunamatriztriangularinferior,L,cadacolumnadelamatrizinversaL-1puedeser obtenida por sustitucin directa o reduccin:LY = In. 0 =ijy j i < (2.11a) H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 15 |||

\| ==11ij kkj ik ijiiijy lly j i (2.11b) Enformaanloga,lainversa,U-1,deunamatriztriangularsuperior,U,estambinuna matriz triangular superior.Cada fila i, puede determinarse mediante UZ = In: |||

\| ==11ji kkj ik ijjjiju zuz j i (2.12a) 0 =ijz j i > (2.12b) Para las matrices L y U del ejemplo considerado: ||||

\| =||||

\| = 1 0 01 1 02 1 11 2 10 1 20 0 11 1U L||||

\| = = 1 2 11 1 12 3 11 1 1L U A2.5.6Casos Especiales Matrices Simtricas Definidas Positivas. Paraunamatrizsimtrica: ) 1 ( ) 1 (kj jka a = .SiseefectalareduccindeGausssin intercambiodefilasy/ocolumnassetienetambinque: ) ( ) ( ikjijka a = paraj i < ,n k .En otras palabras,la sub matriz que debe an reducirse en un paso dado es tambin simtrica.Estopuedeprobarseporinduccin,teniendoencuentalascondiciones iniciales de simetra y adems que: ) () () () ( ) ( ) ( ) 1 ( iijiiiiki ikjiij kiikjikjaaaa a l a a = =+(2.13a) ) () () () ( ) ( ) ( ) 1 ( iikiiiijiijkiik jiijkijkaaaa a l a a = =+(2.13b) Puedeobservarseque,siloscoeficientesenlaetapaisonsimtricos,aquellosenla etapa1 + i tambinloson,puestoqueseobtienenoperandodelmismomodocon nmeros iguales. Considrese, por ejemplo, el sistema de ecuaciones con coeficientes simtricos: )`=)`||||||

\| 00105 4 1 04 6 4 11 4 6 40 1 4 54321xxxx Enlassucesivasetapasdelprocesodeeliminacin,lassubmatricesquequedanpor reducir siguen siendo simtricas: H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 16 )`=)`||||||

\| 00105 4 1 04 01 00 1 4 54321529516516514xxxx )`=)`||||||

\|1457843211465720720715516514100 00 01 00 1 4 5xxxx )`=)`||||||

\|6778432165720715516514100 0 00 01 00 1 4 5xxxx de donde )`=)`712138514321xxxx Lasimetradelamatrizporreducirsepermitehacer: ) ( ) ( iiiiik kia a l = (utilizando ) (iika en lugar de ) (ikia ) y restringir los clculos de:) ( ) ( ) 1 ( iij kiikjikja l a a =+a las columnasn j k , enlugarden j i .Elnmerodeoperacionesparalareduccinesentonces ) (261n O , aproximadamente la mitad que para el caso general. Tambin los requerimientos de memoria pueden reducirse, almacenando los coeficientes delamatrizenunarreglomonodimensional.Paraelcasodeunamatrizsimtricade alta densidad el siguiente esquema de numeracin de los coeficientes es apropiado: |||||||||||

\|+) 1 (1514 1013 9 612 8 5 311 7 4 2 121n nM MM MM MM MM MM M Es evidente que intercambios de filas y columnas destruyen la simetra, a menos que se tomesiemprecomopivoteunelementodeladiagonalprincipal.Talesintercambiosno sonnecesariossilamatrizesdefinidapositiva(xTAx > 0paraxarbitraria,nonula),ya que en tal caso: 0) (>kiia n k i , 1) ( ) (2) ( kjjkiikija a a n j i k , (2.14) ) ( ) 1 (2kiikiia a +n i k ni jjij iia a1(2.49c) Estassoncondicionessuficientesperononecesarias.Laconvergenciaesmsrpida cuanto ms fuertes son las desigualdades. Para el mtodo de Gauss Seidel ( ) ( ) [ ]i iis r mx = 1 G (2.50a) donde: + =>ni j iiijiaar1 =>11ij iiijiaas (2.50b) yfinalmenteseconcluyequelascondicionesparalaconvergenciasonlasmismasque para el mtodo de Jacobi (aunque en general el mtodo de Gauss -Seidel converge ms rpidamente). Unanlisissimilardelmtododesobre relajacinpermiteestablecerlacondicin adicional: 2 0 v A vT para todo vectorvno nulo. Considrese la funcin: b x x A x xT Tf =21) ( (2.51) Sixes la solucin exacta deb x A =se tiene que: H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 32 ( ) ( )( ) ( ) x x A x xb x x A x b x x A x x x = = TT T T Tf f212121) ( ) ( Pero, siendoA definida positiva: ( ) ( ) 021 x x A x xT Y por lo tanto0 ) ( ) ( x x f f , es decir,) ( ) ( x x f f (2.52) La igualdad solo se da six x = .La solucin deb x A =es entonces equivalente a una minimizacin de) (x f . Dadalaaproximacininicial ) 0 (x ,alaquecorrespondenelresiduo ) 0 ( ) 0 (x A b r = yel valor) (x f , debe determinarse una nueva aproximacin, ) 1 (x , tal que) ( ) () 0 ( ) 1 (x x f f < .Para reducir el valor de) (x flo ms rpidamente posible, la correccin debe hacerse en ladireccindemximagradiente.Debeentoncesdeterminarseestadireccin,z ,tal que: 0) 0 () (= +z x fdd sea mxima (en valor absoluto).Siendob x x A x xT Tf =21) ( , puede escribirse: ) () ( ) ( ) ( ) () 0 ( ) 0 ( 221) 0 ( ) 0 ( ) 0 (21 ) 0 (x r z z A zb z x z x A z x z xffT TT T+ = + + + = +(2.53a) de donde: ) 0 (0) 0 () ( r z z xTfdd = += Esto significa que debe tomarse la direccin) 0 (r z = (2.53b) Ahorapuededeterminarse 0 demodoque) () 0 (0) 0 (r x + f seaunmnimo.Rescribiendo (2.53a) con ) 0 (r z =y derivando con respecto a : 0 ) () 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (= = +r r r A r r xT Tfdd de donde: ) 0 ( ) 0 () 0 ( ) 0 (0r A rr rTT= (dado queA es definida positiva, nunca se presenta el caso0) 0 ( ) 0 (= r A rT) Finalmente: ) 0 (0) 0 ( ) 1 (r x x + =El proceso puede repetirse en sucesivos ciclos: ) ( ) ( k kx A b r = (2.54a) ) ( ) () ( ) (kTkkTkkr A rr r= (2.54b) ) ( ) ( ) 1 ( kkk kr x x + =+(2.54c) H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 33 Estemtodoessiempreconvergente,peronopuedeconocerseaprioriencuantos ciclos se tendr la precisin requerida. Enlosprrafossiguientesseestudiaunamodificacindeesteproceso,elmtodode GradienteConjugada,paraelquealmenosenteora-puedegarantizarsela convergencia en un nmero de pasos igual o inferior al orden del sistema de ecuaciones. Considreseelsistemadeecuacionesdeordenn ,b x A = .Dadaunasolucin aproximada, ) 0 (x , la solucin exacta,x , puede escribirse como: x x x + =) 0 ( x puedeexpresarsecomocombinacinlinealden vectoreslinealmente independientes.Enparticular,siseconsideranvectores 1 2 2 1 0, , , n ns s s s s L ,que satisfacen las relaciones de ortogonalidad: ij i jTic = s A spuede escribirse: 1 1) 1 ( ) () ( ) 1 (1 1) 1 ( ) 2 (0 0) 0 ( ) 1 ( + + = = + = + = + =n nn nk kk ks x x xs x xs x xs x xL LL L alternativamente: = + =10) 0 (nkk k s x x (2.55) Suponiendoquelosvectores ks sonconocidos,loscoeficientes k puedenobtenerse utilizando las relaciones de ortogonalidad ya mencionadas.Dado que: ( ) = = = =1) ( ) ( ) (ni kk ki i is A x x A x A b r (2.56) premultiplicando por Tjsse obtiene: 01) (= ==ni kkTj ki Tjs A s r s sii j < (2.57) jTj js A s = sii j de donde puede escribirse: jTjj Tjjs A sr s) (= (2.58a) Alternativamente, puede utilizarse jTjjTjjs A sr r) ( ) (= (2.58b) H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 34 Laexpresinalternativa) ( ) () 0 (jTjTj js A s r s = noesconveniente,porlaacumulacin de errores de redondeo. Dadoquelos 1 2 2 1 0, , , n ns s s s s L sonn vectoreslinealmenteindependientesenun espacion -dimensional,elerrorsiemprepuedeserexpresadocomounacombinacin linealdeestosvectores,esdecirelprocesodeberallegaralasolucinexacta(salvo errores de redondeo) ennpasos. El vector 1 + ksse obtiene eliminando de ) 1 ( + krla componente segn ks A : k kkks r s =++) 1 (1(2.59) donde: kTkk Tkks A sr A s) 1 ( += (2.60) En el proceso de determinacin de pueden tenerse errores de cancelacin importantes si son aproximadamente paralelos. Esrelativamentefcilprobarquesi ks s s s L2 1 0, , sonA-ortogonales,entonces 1 + kscalculadocon(2.59)resultatambinA-ortogonalatodoslosvectorespreviamente hallados.Para empezar, con ks : ( ) ( ) 0) 1 () 1 ( ) 1 (1= = =++ ++ kTkkTkTk k Tk k kk Tk kTks A ss A sr A sr A s s r A s s A sPor otro lado, de (2.57) se concluye que: jTkjTks A r s A s) (1=+ y ( )) ( ) 1 (1j jjjr r s A = y por lo tanto, parak j < : 01 1) ( ) ( ) 1 ( ) (1= ||

\| ||

\|=+jTkjjTkjjTkr r r r s A sEl mtodo de gradiente conjugada puede resumirse en los pasos siguientes: Dado ) 0 (x , determinar) 0 (0) 0 (x A b s r = =Y luego para 1 2 , 1 , 0 = n k L : k ks A q = (no se requiereA en forma explcita) kTkkTkkq sr r) ( ) (= k kk ks x x + =+ ) ( ) 1 ((2.61) k kk kq r r =+ ) ( ) 1 ( ) ( ) () 1 ( ) 1 ( ) 1 (kTkkTkkTkkTkkr rr rq sq r+ + + = = H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 35 k kkks r s =++) 1 (1 Como ejemplo, considrese la solucin del sistema de ecuacionesb Ax = definido por: ||||

\| =2 1 01 2 10 1 2A )`=400b Con la aproximacin inicial0) 0 (= xse obtienen: ) 0 (0) 0 (x A b s r = = ( )T4 0 0 0 0s A q = ( )T8 4 0 ) ( ) (0 0) 0 ( ) 0 (0q s r rTT= 1/2 0 0) 0 ( ) 1 (s x x + = ( )T2 0 0 0 0) 0 ( ) 1 (q r r = ( )T0 2 0 ) ( ) (0 0 0) 1 (0q s q rTT= 1/4 0 0) 1 (1s r s = ( )T1 2 0 1 1s A q = ( )T0 3 2 ) ( ) (1 1) 1 ( ) 1 (1q s r rTT= 2/3 1 1) 1 ( ) 2 (s x x + = ( )T3 8 3 4 0 1 1) 1 ( ) 2 (q r r = ( )T0 0 3 4 ) ( ) (1 1 1) 2 (1q s q rTT= 4/9 1 1) 2 (2s r s = ( )T9 4 9 8 3 4 2 2s A q = ( )T0 0 9 16 ) ( ) (2 2) 2 ( ) 2 (2q s r rTT= 3/4 2 2) 2 ( ) 3 (s x x + = ( )T3 2 1 Elmtododegradienteconjugadapuedesergeneralizadopararesolvercualquier sistema de ecuacionesb x A =(conA no singular): Con ) 0 (xarbitrario, se obtiene) 0 (0) 0 (x A b s r = =Y luego para 1 2 , 1 , 0 = n k L : kTks A q = (no se requiereA en forma explcita) kTkkTkkq qr r) ( ) (= k kk kq x x + =+ ) ( ) 1 ((2.62) H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 36 k kk kq A r r =+ ) ( ) 1 ( ) ( ) () 1 ( ) 1 (kTkkTkkr rr r+ + = k kkks r s =++) 1 (1 2.8Sistemas Sobre-Determinados de Ecuaciones Lineales El problema de determinacin de los parmetros de un modelo lineal para aproximar un conjunto de datos es frecuente.A fin de reducir la influencia de errores de medicin, es habitual hacer ms mediciones que las estrictamente necesarias, de donde resultan ms ecuaciones que incgnitas. DadaunamatrizAdeordenn m ( n m> )yunvectorb deordenm ,serequiere determinarxde modo tal quex Asea la mejor aproximacin posible ab . Unprocesosimple(ymuyadecuadosiloserroresenlos ib sonestadsticamente independientes)eselmtododemnimoscuadrados,queconsisteenminimizarla magnituddelresiduox A b r = (ominimizarr r rT=2)conrespectoalasx .Dado que: x A A x b A x b b r rT T T T T Tf + = = 2 (2.63) y por lo tanto: 0 x A A b Ax= + =T Tf2 2 elmtododemnimoscuadradospuedeformularsecomolasolucindelsistemade ecuaciones normales: ( ) b A x A AT T= (2.64) Si( )na a a a A L3 2 1= , la matriz simtricaA A CT=tiene elementos jTi ijc a a = .LamatrizCesnosingularslositodaslascolumnas ka delamatrizAson linealmente independientes. Paraformarlasecuacionesnormalesserequieren( ) 321+ n mn operaciones.Para resolver el sistema( )361n Ooperaciones.La mayor parte del trabajo est en formar las ecuaciones normales. Considrese por ejemplo )`=)`|||||||||

\|1213211 0 11 1 00 1 11 0 00 1 00 0 1321xxx las ecuaciones normales son en este caso: H. Scaletti - Mtodos Numricos: lgebra Lineal2 - 37 )`=)`||||

\| 6113 1 11 3 11 1 3321xxx de donde: ( )T3 75 . 1 25 . 1 = xUnmtodoalternativo(ynumricamentemejorcondicionado)sebasaenal descomposicin de la matriz de coeficientes,A, en el producto de una matriz ortogonal, Q,yunamatriztriangularsuperior,R(enelcaptulorelativoavaloresyvectores caractersticos se describen procedimientos que pueden ser empleados para esto). Al tenerseR Q A = (2.65) las ecuaciones normales( ) b A x A AT T=pueden rescribirse: ( ) 0 = Ax b AT ( ) 0 = x R Q b Q RT T y dado queI Q Q =T se obtiene: ( ) 0 = x R b Q RT T La matrizR no es singular y por tanto: b Q x RT= (2.66) LamatrizReslamismaqueseobtendraaldescomponerA ATendosfactores triangulares por el mtodo de Cholesky.Para el ejemplo precedente: ||||

\| |||||||||

\| = =|||||||||

\|=4142 . 1 0 08165 . 0 6330 . 1 05774 . 0 5774 . 0 7321 . 13536 . 0 2041 . 0 5774 . 03536 . 0 6124 . 0 00 4082 . 0 5774 . 07071 . 0 0 03536 . 0 6124 . 0 03536 . 0 2041 . 0 5774 . 01 0 11 1 00 1 11 0 00 1 00 0 1QR Ade donde: )`= =)`||||

\| =2426 . 44082 . 05774 . 04142 . 1 0 08165 . 0 6330 . 1 05774 . 0 5774 . 0 7321 . 1321b Q x RTxxx y finalmente:( )T3 75 . 1 25 . 1 = x H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 1 3.Valores y Vectores Caractersticos 3.1. Introduccin El producto de una matriz cuadrada, A, por un vector (matriz columna), x, es otro vector, cuyascomponentessonhabitualmentenoproporcionalesax.Sinembargo,puede existir un vector no nulo tal que: A = (3.1a) Sediceentoncesque esunvectorcaracterstico(tambinllamadovectorpropio, eigenvectoromodo)delamatrizA.Elcorrespondienteescalaresunvalor caracterstico(tambinllamadovalorpropio,autovaloroeigenvalor).Ntesequesiun vector satisface las ecuaciones (3.1a) tambin un mltiplo arbitrario (un vector "paralelo") essolucin.Sinembargo,setrataesencialmentedelamismasolucin;losvectores caractersticosslosecalificancomodistintossisuscomponentesnoson proporcionales. Por ejemplo, )`=)`|||

\|111112 11 2 )`=)`|||

\|113112 11 2 en este caso )`=111 y )`=112 son vectores caractersticos, a los que corresponden los valores propios 1 y 3, respectivamente.Otros vectores, no paralelos a los dos antes mencionados, no cumplen la condicin (3.1a): )`=)`|||

\|30212 11 2 El vector )`30 no puede expresarse como un mltiplo de )`21. El problema clsico de valores y vectores caractersticos consiste en la determinacin de losvectores yloscorrespondientesescalaresparalosquesecumple(3.1a).Con frecuencia se presenta el problema general: A = B (3.1b) EnmuchasaplicacioneslasmatricesAyBsonsimtricasydefinidaspositivas.En algunoscasossehacenhiptesissimplificadorasqueresultanenBdiagonal.El problema clsico, definido en (3.1a), corresponde al caso particular B = I. 3.1.1Conversin del Problema General a la Forma Clsica Un problema de la forma general (3.1b) puede convertirse a otro equivalente de la forma clsica (3.1a).As por ejemplo, si B es no singular puede determinarse: B-1 A = (3.2) H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 2 Sinembargo,siAyBsonsimtricas(comoes,porejemplo,elcasoenproblemasde vibracin,enlosqueesasmatricessonrespectivamenterigidecesymasas)conviene ms hacer la descomposicin (Cholesky): B = RT R(3.3a) y efectuar entonces el cambio de variables = R-1 z(3.3b) con lo que se obtiene: (R-1)T A R-1 z = z(3.3c) Esto es particularmente fcil si B es diagonal. B = B B = B- z(3.4) B- A B- z = H z = z Donde j iijijb bah = . Ntese que los valores caractersticos son los mismos que los del problema original;los correspondientes vectores caractersticos se relacionan mediante (3.4b). 3.1.2Polinomio Caracterstico y Valores Propios Las ecuaciones A = B pueden tambin rescribirse como: (A - B) = 0(3.5a) que tiene soluciones no triviales slo si la matriz (A - B) es singular, es decir, si: ( ) ( ) 0 det = = B A p (3.5b) ( ) pse denomina polinomio caracterstico.Siendo A y B matrices cuadradas de orden n,( ) pes un polinomio de grado n, cuyas races son 1, 2, n.En lo que sigue se supone, sin perder generalidad, que:n 3 2 1 3.1.3Independencia Lineal de los Vectores Caractersticos Asociadoacadaunodelosnvalorescaractersticos isetieneunvector i.Si ies una raz de multiplicidad m, el correspondientevector i puede obtenerse resolviendoel sistemadeecuacioneshomogneas:(A- i B) i=0suponiendomcomponentes arbitrarias en i. Losvectorescaractersticoscorrespondientesavalorescaractersticosdistintosson linealmente independientes.Supngase que ste no fuera el caso, pudindose obtener unodelosvectorescomocombinacinlinealdeotrosquessonlinealmente independientes: ==jii i sc1 (3.6a) Y entonces: H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 3 = == =jii ijii i s c c1 1 (3.6b) Por otro lado, por la definicin del problema, (3.1b): == =jii s i s s s c 1 (3.6c) Restando (3.6b) de (3.6c) se obtiene: ( ) 0 = =jii i s i c1 Si i s debera entonces tenerse ci = 0 para todo i, lo que se opone a la hiptesis. Excepcionalmentepuedenpresentarsevalorescaractersticosrepetidos.Aneneste casoesfactibleobtenervectorescaractersticoslinealmenteindependientes.Sin embargo, el conjunto de vectores asociados a los valores caractersticos repetidos define un subespacio, talque cualquier vector del subespacio (es decir una combinacin lineal de aquellos tomados como base) es tambin un vector caracterstico: A i = i B i A i = i B i(3.7) A ( c1 1 +c2 2 +c3 3 + ) = i B ( c1 1 +c2 2 +c3 3 + ) Tenindose n vectores caractersticos linealmente independientes de dimensin n, estos constituyenunabasecompleta.Cualquierotrovectordetaldimensinpuede expresarse como combinacin lineal de los vectores caractersticos: v = 1 1 +2 2 +3 3 + +n n(3.8) Por ejemplo, con los vectores caractersticos antes obtenidos: )`)`=)`1111212123 3.1.4Ortogonalidad de los Vectores Caractersticos SilasmatricesAyBsonHermitianas(osimplementesimtricas)ydefinidaspositivas, losvalorescaractersticosdeA = B sontodosrealesypositivos.Paraprobar esto basta considerar: r s r r s B * * = (3.9a) s r s s r B * * = (3.9b) Elsuperndice*denotaaquconjugadatraspuesta.Laconjugadatranspuestadela segunda de estas expresiones es (recurdese que ses un escalar): r s s r s B * * * = (3.9c) yalserAyBHermitianas(esdecirA* = AyB* = B),restando(3.9c)de(3.9a)se obtiene: ( ) 0* *= r s s r B(3.9d) Si r=s, al ser B una matriz definida positiva se tendra 0 >r r B*.Por lo tanto, siendo s r = , se tendra0 = *r r lo que implica que todos losson nmeros reales.Si H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 4 ademsAesdefinidapositiva,esdecir0 >r r A*,seconcluyequelosvalores caractersticos son todos positivos. Por otro lado, si s r se tiene que0 *s r y en consecuencia (3.9d) implica que: rs r r sb = B* (es decir, cero sis r )(3.10a) y adems, observando las expresiones precedentes: rs r r sa = A*(3.10b) Laspropiedadesdeortogonalidadexpresadasen(3.10)sonlabaseparala descomposicinmodalutilizadaalresolversistemasdeecuacionesdiferencialesen aplicaciones tales como el anlisis ssmico lineal. Refirindose nuevamente al ejemplo inicial: ( ) 2112 11 21 1 =)`|||

\| ( ) 6112 11 21 1 =)`|||

\| ( ) 0112 11 21 1 =)`|||

\| 3.1.5 Normalizacin de los Vectores Caractersticos Comosemencionanteriormentelosvectorescaractersticossedefinenporla proporcin de sus elementos, pudindose escalar o "normalizar" en forma arbitraria.Es frecuente escalarlos de modo que: rs r s = B*(3.11a) SediceentoncesquelosvectoresestnnormalizadosrespectoalamatrizB.Ental caso se tiene tambin: rs r r s = A*(3.11b) 3.1.6Cociente de Rayleigh Si se conoce un vector caracterstico i, el correspondiente valor i puede determinarse con el cociente de Rayleigh: ( )iTiiTii B= (3.12) Esta expresin puede aplicarse tambin con aproximaciones a los vectores propios.Si x esunaaproximacinaunvectorcaractersticoconunerrordeorden,elcocientede Rayleigh, (x), aproxima el correspondiente valor caracterstico con un error de orden 2. 3.1.7Teorema de Gershgorin Supngaseque i esunvalorcaractersticodelamatrizAyque i esel correspondiente vector, con componentesL3 2 1v v v : H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 5 i i i = A (3.13a) La componente de mayor valor absoluto en i es sv .Dividiendo la ecuacin s en (3.13a) entre sve intercambiando ambos miembros: |||

\|+ + + +|||

\|+|||

\|= snsn ssssss ivva avvavva L L2211(3.13b) y por lo tanto: sn s s ss ia a a a + + + + + = L L 02 1(3.13c) Enconsecuencia,cadavalorcaracterstico i estdentrodeporlomenosunodelos crculosconcentroen ssa yradioigualalasumadelosvaloresabsolutosdela correspondiente fila s. Por ejemplo, considerando la matriz: |||

\|=4 11 2Aqueesdefinidapositiva,puedeasegurarsequesusvalorescaractersticos(queson nmeros reales) estn dentro de los intervalos (1,3) y (3,5).Efectivamente, en este caso 2 3 = . 3.1.8Formas polinmicas Supngase que se conocen los valores y vectores caractersticos de una matriz, A: A = (3.14a) Cules son los valores caractersticos de la matriz A2 = A A? (AA) = A (A ) = A ( ) = (A )= 2 EsteresultadopuedeextenderseparalamatrizAk(siendo k unexponente).Los vectorescaractersticossonlosmismosquelosdelamatrizA,mientrasquelos correspondientes valores caractersticos son k: Ak = k (3.14b) Estoesinclusovlidoparaexponentesnegativos.Porejemplo,multiplicandoambos miembros de (3.15a) por -1A-1 se obtiene: A-1 = -1 (3.14c) Porotrolado,combinandolinealmenteexpresionesdelaforma(3.14b)yteniendoen cuenta que A0 = I(as como 0 = 1): (c0 I+ c1 A+ c2 A2 + c3 A3 +...) = (c0 + c1 + c2 2 + c3 3 +...) (3.14d) Por ejemplo, si: |||

\|=2 11 2Atiene valores caractersticos 1 y 3, la matriz: |||

\|= =5 44 52AA A H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 6 tienevalorescaractersticos1y9(esdecir,loscuadradosde1y3).Losvectores caractersticos son los mismos para ambas matrices. 3.2Mtodos de Iteracin con Vectores Losmtodosquesepresentanenestaseccinsonlosmseficientescuandoslose requieren un valor caracterstico y su vector asociado, o en todo caso cuando el nmero de valores y vectores caractersticos por determinar es pequeo. 3.2.1Iteracin Directa En la iteracin "directa" se considera un vector inicial 0xy se obtiene una secuencia de vectores corregidos, kx , mediante: j jx A x B =+1(3.15a) 111+++=jjjrxx (3.15b) donde rj+1 es un escalar que normaliza el vector utilizado enla iteracin.Lo habitual es tomar rj+1 como el elemento de mximo valor absoluto en 1 + jx , lo que significa escalar el vector de aproximacin de modo que la mayor componente sea igual a 1.. Esteprocesoconvergealvectorcaracterstico n ,asociadoalvalorcaractersticode mayor mdulo, n .En efecto, la aproximacin inicial x0 puede escribirse como: x0 = 1 1 +2 2 +3 3 + +n-1 n-1 +n n(3.16a) Recurdesequelosnvectorescaractersticossonlinealmenteindependientesy constituyenunabasecompletaenelespaciodedimensinn.Entonces(suponiendo que B no es singular): = =i i i i i B A x A0(3.16b) 011Ax B x== (1 1) 1 +(2 2) 2 + +(n n) n(3.16c) y por lo tanto: ( ) =ni ir111x i(3.16d) Se observa que, si las componentes de x0 eran i, aquellas de x1 resultan proporcionales a i i.Repitiendo pasos anlogos a los indicados en (3.18), puede comprobarse que la aproximacinxkpuedeexpresarsecomocombinacinlinealdelosvectores caractersticos con coeficientes proporcionales a ki i (en este caso k es un exponente).Enconsecuencia,si 1 2 1 Ln n n,lascomponentessegn ncrecen ms rpidamente que las otras y se tiene que: = kkLim x n(3.17a) n kkr Lim = (3.17b) Estoesvlidoancuandon = 0puestoque,porlomenosaltratarcongrandes matrices,loserroresderedondeo(debidosalaaritmticaimperfectadelcomputador) introducensiempreunacomponentesegn n.Laconvergenciaesmuyrpidasi H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 7 1 >> n no six0es aproximadamente paralelo a n (es decir, si la componenten es importante en relacin a las dems).En cambio, si los ltimos valores caractersticos sonsimilareslaconvergenciaesengeneralmuylenta.Porotrolado,nosetienen dificultades para el caso (ms acadmico que prctico) en que 1 = n n: en tal caso el procesoconvergeaunvectorcaractersticoqueresultaserlaproyeccindex0enel subespacio definido por los vectores n y n-1. Considrese por ejemplo el problema A = B con las matrices: ||||

\| =1 1 01 3 20 2 5A||||

\|=3 0 00 2 00 0 1BAncuandoenestecasosetienenmatricessimtricas,elprocedimientodescritose aplica a matrices cuadradas cualesquiera. En este caso se obtienen: kx kAx k 1 + kx r k+1 (xk+1) 01.000005.000005.000005.00000 0.00000-2.00000-1.00000 0.000000.000000.000005.481481 11.000005.400005.400005.40000 -0.20000-2.60000-1.30000 0.000000.200000.066675.502594 21.000005.481485.481485.48148 -0.24074-2.73457-1.36728 0.012350.253090.084365.503559 31.000005.498875.498875.49887 -0.24944-2.76370-1.38185 0.015390.264830.088285.503603 41.000005.502595.502595.50259 -0.25130-2.76994-1.38497 0.016050.267350.089125.503605 51.000005.503395.503395.50339 -0.25169-2.77128-1.38564 0.016200.267890.089305.503605 61.000005.503565.503565.50356 -0.25178-2.77156-1.38578 0.016230.268010.089345.503605 El procedimiento converge al valor caracterstico: 3 = )`01623 . 025180 . 000000 . 1

que corresponde al valor caracterstico de mayor mdulo, 3 = 5.503605. H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 8 Elvalorderesaproximadamenten,peroelcocientedeRayleigh,(x)"proporciona siempre una aproximacin mejor. 3.2.2Iteracin Inversa El proceso deiteracindirecta antes descrito converge al vector caractersticoasociado alvalorcaractersticodemayormdulo.stepuedesertilalconsiderarel condicionamiento de las matrices de coeficientes en grandes sistemas de ecuaciones, o alanalizarlaestabilidadnumricadeciertosmtodosparaintegrarsistemasde ecuaciones diferenciales, pero por lo general tiene poca importancia en la respuesta del sistemaestudiado.Paradeterminarlarespuestadeunsistemaserequierenmsbien los valores caractersticos de menor mdulo y sus vectores asociados. Paradeterminarelvectorcaractersticoasociadoalvalorpropiodemenormdulo(el modo fundamental) puede usarse una "iteracin inversa": j jx B x A =+1(3.18a) 111+++=jjjrxx (3.18b) En este caso si: x0 = 1 1 +2 2 +3 3 + +n-1 n-1 +n n(3.19a) laaproximacinxkpuedeexpresarsecomocombinacinlinealdelosvectores caractersticosconcoeficientesproporcionalesa ki i (nuevamente,kesaquun exponente): xk = k11 1 + k22 2 + k33 3 + + knn11 n-1 + knn n(3.19b) En consecuencia, si n 3 2 1 al emplear la iteracin inversa se tiene que: = kkLim x 1(3.20a) 11= kkr Lim (3.20b) Loscomentariosanterioresrelativosalaconvergenciadelaiteracindirectason tambin vlidos.En este caso la velocidad de convergencia depende de la razn 2 / 1. Para las matrices del caso anterior y considerando, por ejemplo, el vector inicial: )`=2100xse obtiene el vector asociado al valor caracterstico de menor mdulo, es decir, 1. Ntese que r es ahora una aproximacin de 1 / 1, mientras que en la iteracin directa lo era de n.Tambin en este caso se observa que el cociente de Rayleigh es siempre una mejor aproximacin al valor caracterstico. H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 9 kx kBx k 1 + kx r k+1 (xk+1) 00.000000.000002.6666712.66667 1.000002.000006.66667 2.000006.0000012.666670.154734 10.210530.210531.421056.44737 0.526321.052633.44737 1.000003.000006.447370.154625 20.220410.220411.429936.46463 0.534691.069393.46463 1.000003.000006.464630.154624 30.221190.221191.431026.46696 0.535941.071873.46696 1.000003.000006.466960.154624 40.221280.221281.431166.46727 0.536101.072213.46727 1.000003.000006.467270.154624 50.221290.221291.431186.46731 0.536131.072253.46731 1.000003.000006.467310.154624 60.221290.221291.431186.46731 0.536131.072263.46731 1.000003.000006.467310.154624 EnmuchasaplicacionesBesdiagonalyAnoloes,porloquelaiteracindirectaes mssimple.Sinembargo,unpasotpicodelaiteracininversarequiere aproximadamenteelmismonmerodeoperacionesqueunpasodeiteracindirecta.SupngasequesetienenmatricesdeordennyqueAesunamatrizdealtadensidad (esdecir,conpocoscoeficientesnosignificativos).Elnmerodeoperaciones requeridasparaefectuarelproductoAxesdeordenn2.Aqusecuentacomouna "operacin"lacombinacindeunamultiplicacinodivisinconunasumaoresta.Tambinsehasupuestoquenesgrande,porloquen2esmuchomayorquen.La divisindeAxentreloscoeficientes(deladiagonalprincipal)deBrequiereunnmero deoperacionesdeordenn,quepuededespreciarse.Esinteresanteobservarquesi previamente se realiz (una sola vez) la factorizacin A = LU, la solucin del sistema de ecuacionesAx = brequieretambinunnmerodeoperacionesdeordenn2,mientras que el producto Bx demanda slo n operaciones.Por otro lado, si la matriz A es de baja densidad y tiene un ancho de semibanda promedio m, tanto un producto de la forma Ax como la solucin de las ecuaciones Ax = b requieren aproximadamente mn operaciones. 3.2.3Traslacin Lavelocidaddeconvergenciadelaiteracininversadependedelasrazones1 / i.Si 1 2 laconvergenciaeslenta;siendoencambiomuyrpidasi 2 1 > 2 1

y por tanto: ).Los q vectoresinicialesdefinenunsubespacioquenonecesariamentecontienealosp H. Scaletti - Mtodos Numricos: Valores y Vectores Caractersticos3 - 34 vectores de inters.Si esospvectores caractersticos si estuvieran contenidos en el subespacio,serasuficienteproyectar B A = paraobtenerelsistema z B z A = ,deordenn q