Multiplicadores de Lagrange

Corrección de Análisis Granulométricos y Químicos porMultiplicadores de Lagrange

KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio1

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

Av. Túpac Amaru 210 Rímac - Apartado 1301Lima - Perú

15 de octubre de 2003

1e-mail: [email protected]

Índice general

Resumen 6

1. Introducción 8

2. Pasos para corregir por Multiplicadores de Lagrange 10

3. Corrección de Análisis Granulométricos en un Nodo - Método General 123.1. Balance de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1. Notación: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Ecuaciones de Balance de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3. Método Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Método Lagrangiano usando Factores de Ponderación . . . . . . . . . . . 273.4.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Aplicaciones 324.1. Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidrociclón - Multipli-

cadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.1. Corrección usando los Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . 36

4.2. Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidrociclón - Multipli-cadores de Lagrange con Factores de Ponderación . . . . . . . . . . . . . 434.2.1. Corrección usando los Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . 46

4.3. Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidrociclón - Función J(R) 514.3.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.2. Aplicación del Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.3. Corrección usando los Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . 58

4.4. Corrección de Análisis Granulométricos en un Circuito Inverso de Molien-da Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.5. Corrección de Análisis Granulométricos en un Circuito Inverso de Molien-da Clasificación tomando Dos Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.1. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.5.2. Aplicación del Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6. Corrección de Análisis Químicos en un Circuito de Flotación Plomo-Cobre-Zinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6.1. Desarrollo del Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1

KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio 2

4.6.2. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5. Corrección de Análisis Químico en un Nodo - Método General 100

6. Aplicaciones 101

Bibliografía 102

Índice de figuras

3.1. Esquema del Sistema a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Variación de los factores de ponderación con respecto a las fracciones

granulométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1. Esquema del Hidrociclón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. Variación de la Función J(R) vs. R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación . . . . . . . . . 634.4. Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación (Dos Nodos) . . 734.5. Diagrama de Flujo del Circuito de Flotación Pb-Cu-Zn . . . . . . . . . 91

3

Índice de cuadros

3.1. Análisis Granulométricos a Corregir (Forma Simbolica) . . . . . . . . . . 13

4.1. Hidrociclón: Análisis Granulométricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . 354.2. Hidrociclón: Errores para cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . 354.3. Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños 354.4. Hidrociclón: Correcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5. Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 384.6. Análisis Granulométricos - Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . . 384.7. Hidrociclón: Errores para cada intervalo de tamaños - Fracciones Acu-

muladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.8. Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños

- Fracciones Acumuladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.9. Hidrociclón: Correcciones - Fracciones Acumuladas Pasantes . . . . . . . 404.10. Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 404.11. Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 404.12. Hidrociclón: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños . . 454.13. Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños

- usando Factores de Ponderación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.14. Hidrociclón: Correcciones usando Factores de Ponderación . . . . . . . . 454.15. Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 454.16. Hidrociclón: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños -

Porcentajes Acumulados Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.17. Hidrociclón: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños

- usando Factores de Ponderación - Porcentajes Acumulados Pasantes . 474.18. Hidrociclón: Correcciones usando Factores de Ponderación - Fracciones

Acumuladas Pasantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.19. Hidrociclón: Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . 564.20. Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 564.21. Hidrociclón: Función J(R), Valores de Su . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.22. Hidrociclón: Función J(R), Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . 604.23. Hidrociclón: Función J(R), Valores de Su . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.24. Hidrociclón: Función J(R), Análisis Granulométricos Corregidos . . . . . 604.25. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Análisis Granulométricos a Cor-

regir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.26. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Análisis Granulométricos a Cor-

regir (Porcentajes Acumulados Pasantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4


4.27. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Errores para cada intervalo detamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.28. Hidrociclón: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños . . 664.29. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Multiplicadores de Lagrange para

cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.30. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Correcciones . . . . . . . . . . . 684.31. Circuito Inverso Molienda Clasificación: Análisis Granulométricos Cor-

regidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.32. Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso . . . . . . . . 694.33. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granu-

lométricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.34. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granu-

lométricos a Corregir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.35. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Errores para cada

intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.36. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Factores de Pon-

deración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.37. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Multiplicadores de

Lagrange para cada intervalo de tamaños . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.38. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Correcciones . . . 854.39. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granu-

lométricos Corregidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.40. Circuito Inverso Molienda Clasificación (Dos Nodos): Análisis Granu-

lométricos Corregidos - Porcentaje en Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Resumen

En el presente trabajo se elaboró una serie de pasos para poder establecer en formageneral la corrección de Análisis Granulométricos y/o Químicos, en forma particularse desarrolló el método general para corregir los Análisis Granulométricos y Químicos(Mallas Valoradas) en un nodo.

El mejor método para corregir los Análisis Granulométricos se obtuvo usando datosde un Hidrociclón, las razones para emplear dichos datos fueron básicamente por susimplicidad (un nodo con una entrada y dos salidas), aparte que es un equipo comun-mente usado en la industria del procesamiento de minerales. Los métodos aplicadosfueron los Multiplicadores de Lagrange sin y con el uso de Factores de Ponderación, yfinalmente se hace la comparación con el método de la función J(R). Estos tres métodosse corrigieron usando las Fracciones en Peso y las Fracciones Acumuladas Pasantes.

En la corrección de los Análisis Granulométricos para el Hidrociclón se observa:

Los Análisis Granulométricos Corregidos por los métodos empleados son seme-jantes.

Se obtiene un menor error al corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes; peroal convertir dichos análisis a Porcentajes en peso, se observa un ligero incrementoen el error, mayor incluso a las correcciones efecutadas a los Porcentajes en Peso.

En el caso de la Corrección por Multiplicadores de Lagrange sin Factores de Pon-deración y la Corrección usando la Función J(R) se pueden obtener fraccionesnegativas, esto se presenta básicamente cuando los Porcentajes en Peso son cero(incluso valores pequeños) ó los Porcentajes Acumulados Pasantes son 100 %.

El problema anterior queda resuelto al usar Factores de Ponderación para cadaintervalo de tamaños, estos Factores tienen la forma:

W =1

f2 · (1− f)2

Es decir, los Factores de Ponderación son siempre positivos y tienden al infinitocuando las fracciones tienden a ser cero o uno (100 %) y como esta formulado, a unmayor valor de los Factores de Ponderación, menor será el valor de la corrección.

Lo anterior ocasiona un error al corregir los Porcentajes en Peso, el cual consisteen que la suma de las Fracciones en Peso es diferente de 1 (100%), esto se resuelvecorrigiendo los Porcentajes Acumulados Pasantes.

6


El método para la corrección de Análisis Granulométricos recomenda-do es corregir los Porcentajes Acumulados usando Multiplicadores deLagrange con Factores de Ponderación.

El otro caso aplicado fue el de un Circuito Inverso de Molienda Clasificación, estopuede representarse en una forma simple como un nodo con dos Entradas y Dos salidas,o desarrollarse en forma detallada usando dos nodos. En esta última forma, el algorit-mo se complica pero se obtiene una mayor coherencia con el sistema en la realidad (Seasume que en el molino no existe acumulación de partículas).

Para una mejor comprensión de la forma de corregir se presentan los códigos de losprogramas en Matlab (R13, versión 6.5). Si se estudia con detenimiento se verá que lospasos para las correcciones son similares, variando únicamente en las ecuaciones usadaspara cada sistema y/o método.

Capítulo 1

Introducción

En el procesamiento de minerales se efectúan muestreos con diversos fines (deter-minar parámetros de la operación, eficiencia de equipos, detección y análisis de erroresen los procesos, etc.). Existen equipos (Clasificadores, Hidroclasificadores, celdas deflotación, mesas gravimétricas, etc.) que pueden tomarse como un nodo en el cual puedehaber varias alimentaciones y salidas.

Al obtener los Análisis Granulométricos en un nodo determinado, el problema conque uno se encuentra inicialmente es:

“Los Análisis Granulométricos del sistema tienen que ser matemáticamente consis-tentes.”

¿Qué significa esto?

Simplemente que todo lo que entra tiene que ser igual a lo que sale:

Exponiendo un caso simple:

En un proceso X se sabe que: AR = BR + CR

O que: 3 = 1 + 2 (asumiendo esto como “real”).

Pero debido a errores de muestreo, análisis, o cualquier operación en la cual se ma-nipule las muestras, nos puede dar valores como: 3,1 = 0,9 + 2,3

Lo cual no es correcto o “Matemáticamente Inconsistente”.

Es decir tenemos un error de: A− (B + C) = ∆M3,1− (0,9 + 2,3) = 0,1

Ahora el objetivo es hacer que ∆M sea cero, con lo cual sería “Matemáticamenteconsistente”. Se establecen valores corregidos como:

8


A− [B + C] = 0

ó(A−∆A)− [(B −∆B) + (C −∆C)] = 0

Donde:

A, B, C : son los valores muestreadosA, B, C : son los valores corregidos

∆A, ∆B, ∆C : son las correcciones.

Se puede cumplir dicho objetivo de varias formas. Una de las formas más simples(pero con una mayor distorsión con respecto a los datos originales) es que las correc-ciones sean iguales:

∆A = ∆B = ∆C

(A−∆A)− [(B −∆B) + (C −∆C)] = 0

A− (B + C) = ∆A− (∆B + ∆C) = ∆M

Con la cual se obtiene que:

∆A = ∆B = ∆C = ∆M = 0,1

Por lo tanto:

A = 3,1− 0,1 = 3,0

B = 0,9− 0,1 = 0,8

C = 2,3− 0,1 = 2,2

Obteniéndose:

A− (B + C) = 3,0− (0,8 + 2,2) = 0

Nótese que esto se aleja de lo “real”

3,0− (1,0 + 2,0) = 0

Con esto se debe de tener en cuenta que las correcciones no darán los datos exac-tos que realmente ocurren en el proceso X, pero serán matemáticamente consistentes yaproximados a los valores reales.

Más aún, de todos los métodos de corrección que podrían elaborarse, se debe deescoger el que menos se desvíe de los datos muestreados (es decir, las correccionesdeben de ser de valores mínimos posibles). Es por esta razón que se escogió el método demultiplicadores de Lagrange (ver [1], [2] ). Este método es simplemente un optimizadorla cual es usado para minimizar una función objetivo bajo ecuaciones restrictivas.

Capítulo 2

Pasos para corregir porMultiplicadores de Lagrange

Se presenta a continuación una serie de pasos con la finalidad de comprender lacorrección por Multiplicadores de Lagrange en forma sistemática.

1. Obtener los datos a corregir (Análisis Granulometricos, Químicos, etc.)

2. Establecer las ecuaciones de Balance de Masa. (Ecuaciones de Flujo, AnálisisGranulométricos, Leyes, etc.)

3. Normalizar las ecuaciones dividiendo por un flujo “A” (ej: Alimentación Fresca aun Circuito).

4. Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados (∆Q)

Nota 2.1 Los Flujos Normalizados deben de ser Linealmente Independientes.

5. Definir una función ε la cual representa la suma de los errores al cuadrado (∑

∆Q2)

ε =∑

∆Q2

6. Derivar parcialmente la función ε por cada flujo Normalizado (Linealmente inde-pendientes) e igualar a cero.

Nota 2.2 En este paso se obtendrá una ecuación cuya solución dará los FlujosNormalizados Corregidos que hacen que la función ε tome un valor mínimo.

7. Calcular los errores ∆M debido a los Flujos Normalizados Corregidos. Reemplazarlos Flujos Normalizados corregidos hallados en el paso 6 y reemplazarlos en lasecuaciones establecidas en el paso 4.∑

∆M2 = min(ε) = min∑

∆Q2

8. Definir las correcciones.

10


Correcciones = Datos - Datos Corregidos

9. Reemplazar las ecuaciones del paso 8 en ∆M (Ecuaciones dadas en el paso 7)para obtener las ecuaciones de ∆M en función de las correcciones.

10. Definir la Función Lagrangiana L(χ, λ) (Función Objetivo y Ecuaciones Restric-tivas).

L(χ, λ) = f(χ)−∑

[λi · gi(χ)]

La función objetivo f(χ) será la suma de los cuadrados de todas las correc-ciones.

Las ecuaciones restrictivas g(χ) deben de cumplir g(χ) = 0 y estarán dadaspor las ecuaciones de ∆M definidas en 9

λ : son los Multiplicadores de Lagrange

χ : son las Correcciones.

11. Derivar parcialmente la función Lagrangiana (L(χ, λ)) por los Multiplicadores deLagrange y las Correcciones e igualar a cero.

Nota 2.3 En este paso se obtendran las correcciones de los Analisis en función delos Multiplicadores de lagrange. Estas correcciones harán que la función objetivof(χ) tome un valor mínimo sujeto a las ecuaciones restrictivas g(χ).

12. De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallarlos Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M

13. Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en elpaso 11 para obtener las correcciones.

14. Corregir los Análisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8)

Datos Corregidos = Datos - Correcciones

Capítulo 3

Corrección de AnálisisGranulométricos en un Nodo -Método General

3.1. Balance de Masa

Se tiene el sistema de la Figura 3.1:En el método propuesto se considera que existe una Entrada Principal, una Salida

Principal, “m” entradas secundarias y “n” salidas secundarias. Todas estas entradas ysalidas están aplicadas a un nodo y se considera que en dicho nodo no existen procesosde reducción de tamaños.

Cada una de estas entradas y salidas mencionadas tienen una granulometría deter-minada que se puede representar por la siguiente tabla:

NODO

Entrada PrincipalA ; fA

EntradaEm ; fEm

EntradaE3 ; fE3

EntradaE2 ; fE2

EntradaE1 ; fE1

Salida PrincipalZ ; fZ

SalidaSn ; fSn

SalidaS3 ; fS3

SalidaS2 ; fS2

SalidaS1 ; fS1

Figura 3.1: Esquema del Sistema a Corregir

12


ENTRADA SALIDAu A E1 E2 . . . Em Z S1 S2 . . . Sn1 fA1 fE11 fE21 . . . fEm1 fZ1 fS11 fS21 . . . fSn1

2 fA2 fE12 fE22 . . . fEm2 fZ2 fS12 fS22 . . . fSn2

3 fA3 fE13 fE23 . . . fEm3 fZ3 fS13 fS23 . . . fSn3

......

......

......

......

......

...k − 1 fAk−1 fE1k−1 fE2k−1 . . . fEmk−1 fZk−1 fS1k−1 fS2k−1 . . . fSnk−1

k fAk fE1k fE2k . . . fEmk fZk fS1k fS2k . . . fSnk

Cuadro 3.1: Análisis Granulométricos a Corregir (Forma Simbolica)

3.1.1. Notación:m : Número de Entradas Secundarias.n : Número de Salidas Secundarias.

u = 1, 2, 3, . . . , k − 1, k : Intervalos de Tamaños.k : Intervalo de tamaños más fino

(numéricamente igual al númerode intervalos de tamaño).

A : Entrada Principal.Z : Salida Principal.

E1,E2,. . . ,Em : Entradas SecundariasS1,S2,. . . ,Sn : Salidas Secundarias

fXu : Denota la Fracción (ó Porcentaje) del AnálisisGranulométrico de “X” en el intervalo detamaños “u”.

3.2. Ecuaciones de Balance de Masa

Paso 1 Obtener los datos a corregir (Análisis Granulometricos, Químicos, etc.)

Para este caso en particular, los datos serán los Análisis Granulométricos de Entrada ySalida del Nodo:

fAu : Análisis Granulométrico correspondiente a la Entrada Principal.fEiu : Análisis Granulométricos correspondientes a las Entradas Secundarias.fZu : Análisis Granulométrico correspondiente a la Salida Principal.fSju : Análisis Granulométricos correspondientes a las Salidas Secundarias.

Nota 3.1 En el método presentado no se requiere saber los flujos de Entrada y Salidadel Nodo.

Paso 2 Establecer las ecuaciones de Balance de Masa. (Ecuaciones de Flujo, AnálisisGranulométricos).

Se presentan las ecuaciones ideales (error=0) y/o corregidas.


Caudales Corregidos(Flujos):

A+m∑

i=1

Ei = Z +n∑

j=1

Sj (3.1)

Para un Intervalo de Tamaños “u” (donde: u = 1, 2, 3, . . . , k − 1, k).

fAu ·A+m∑

i=1

fEiu · Ei = fZu · Z +n∑

j=1

fSju · Sj (3.2)

Paso 3 Normalizar las ecuaciones dividiendo por un flujo “A”.

Definimos a los flujos reducidos como la relacion de los flujos de Entradas y Salidascon respecto al flujo de la Entrada Principal “A”:

Ei

A= αi , i = 1, 2, 3, . . . ,m

Z

A= βZ

Sj

A= βj , j = 1, 2, 3, . . . , n

Con lo cual se tiene en las ecuaciones de balance de masa:

1 +m∑

i=1

αi = βZ +n∑

j=1

βj (3.3)

fAu +m∑

i=1

fEiu · αi = fZu · βZ +n∑

j=1

fSju · βj (3.4)

Paso 4 Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados (∆Q)

Para los datos reales se obtendrán los siguientes errores:El error por los caudales normalizados (α y β) que se tiene en el análisis granu-

lométrico por cada malla se toma como:

∆Q1,∆Q2,∆Q3, . . . ,∆Qk−1,∆Qk

Siendo para un Intervalo de Tamaños “u”:

∆Qu = fAu +m∑

i=1

fEiu · αi− fZu · βZ −n∑

j=1

fSju · βj (3.5)



La siguiente ecuación muestra la dependencia lineal de βZ con respecto a los flujosnormalizados αi y βj

βZ = 1 +m∑

i=1

αi−n∑

j=1

βj (3.6)

Reemplázandolo en la Ecuación 3.5 obtenemos:

∆Qu = fAu +m∑

i=1

fEiu · αi− fZu · (1 +m∑

i=1

αi−n∑

j=1

βj)−n∑

j=1

fSju · βj (3.7)

Reordenando obtenemos:

∆Qu = (fAu − fZu) +m∑

i=1

[(fEiu − fZu)αi]−n∑

j=1

[(fSju − fZu)βj] (3.8)

Paso 5 Definir una función ε la cual representa la suma de los errores al cuadrado(∑

∆Q2)

Para corregir los análisis granulométricos con una variación mínima, tenemos quetomar derivadas parciales de la sumatoria de los cuadrados de los errores (

∑∆Q2) (la

sumatoria es debido a cada intervalo de tamaños) con respecto a los caudales reducidos(α y β) e igualarlas a cero.

Es decir:

ε =k∑

u=1

[∆Q2

u

]=

k∑u=1

(fAu − fZu) +m∑

i=1


j=1

[(fSju − fZu)βj]

2Paso 6 Derivar parcialmente la función ε por cada flujo Normalizado (Linealmenteindependientes) e igualar a cero.

∂ε

∂αi=

∂

∂αi

(k∑

u=1

[∆Q2

u

])= 0 , i = [1, 2, 3, . . . ,m]

∂ε

∂βj=

∂

∂βj

(k∑

u=1

[∆Q2

u

])= 0 , j = [1, 2, 3, . . . , n]

Con lo cual tendremos “m” ecuaciones con respecto a α y “n” ecuaciones con respectoa β, esto con el fin de hallar los caudales corregidos: α1, α2, . . ., αm, β1, β2, . . ., βn

Por ejemplo, para α1:

ε =

k∑u=1

[((fAu − fZu) + [(fE1u − fZu) α1] +

m∑i=2

[(fEiu − fZu) αi] −n∑

j=1

[(fSju − fZu) βj]

)2]


Hacemos el siguiente cambio de variables:

ψu = (fE1u − fZu)

φu = (fAu − fZu) +m∑

i=2


j=1

[(fSju − fZu)βj]

Tenemos:

ε =k∑

u=1

[(ψu · α1 + φu)2

]Derivamos parcialmente respecto a αi, βj e igualamos a cero (al hacer esto, se

obtendrán los valores de α y β que darán el valor mínimo de ε.

∂ε

∂α1

∣∣∣∣α1=α1

=k∑

u=1

[2(ψu · α1 + φu

)ψu

]= 0

2k∑

u=1

[ψ2

u · α1 + ψu · φu

]= 0

α1k∑

u=1

ψ2u +

k∑u=1

(ψu · φu) = 0

Entonces:

0 = α1∑

(fE1u − fZu)2

+∑(

(fE1u − fZu) ·

[(fAu − fZu) +

m∑i=2

[(fEiu − fZu) αi

]−

n∑j=1

[(fSju − fZu) βj

]])

Desarrollándolo obtenemos:

∑[(fE1u − fZu) · (fAu − fZu)]+

α1∑[

(fE1u − fZu)2]+

α2∑

[(fE1u − fZu) · (fE2u − fZu)] + . . .

. . .+αm

∑[(fE1u − fZu) · (fEmu − fZu)]+

−β1∑

[(fE1u − fZu) · (fS1u − fZu)]+

−β2∑

[(fE1u − fZu) · (fS2u − fZu)] + . . .

. . .+−βn

∑[(fE1u − fZu) · (fSnu − fZu)] = 0


Análogamente para α2∑[(fE2u − fZu) · (fAu − fZu)]+

α1∑

[(fE2u − fZu) · (fE1u − fZu)]+

α2∑[

(fE2u − fZu)2]+

. . .+αm

∑[(fE2u − fZu) · (fEmu − fZu)]+

−β1∑

[(fE2u − fZu) · (fS1u − fZu)]+

−β2∑

[(fE2u − fZu) · (fS2u − fZu)] + . . .

. . .+−βn

∑[(fE2u − fZu) · (fSnu − fZu)] = 0

Para βn ∑[(fSnu − fZu) · (fAu − fZu)]+

α1∑

[(fSnu − fZu) · (fE1u − fZu)]+

α2∑

[(fSnu − fZu) · (fE2u − fZu)] + . . .

. . .+αm

∑[(fSnu − fZu) · (fEmu − fZu)]+

−β1∑

[(fSnu − fZu) · (fS1u − fZu)]+

−β2∑

[(fSnu − fZu) · (fS2u − fZu)] + . . .

. . .+−βn

∑[(fSnu − fZu)2

]= 0

De las relaciones anteriores se obtendrá la siguiente ecuación lineal:

A ·X = B (3.9)

Obsérvese que la matriz A es simétrica de orden ((m+ n), (m+ n))

A =

∑ [(fE1− fZ)2

] ∑[(fE2− fZ) (fE1− fZ)] . . .

∑[(fEm− fZ) (fE1− fZ)]

∑[(fS1− fZ) (fE1− fZ)]

∑[(fS2− fZ) (fE1− fZ)] . . .

∑[(fSn− fZ) (fE1− fZ)]∑

[(fE1− fZ) (fE2− fZ)]∑ [

(fE2− fZ)2]

. . .∑

[(fEm− fZ) (fE2− fZ)]∑

[(fS1− fZ) (fE2− fZ)]∑

[(fS2− fZ) (fE2− fZ)] . . .∑

[(fSn− fZ) (fE2− fZ)]

.

.

....

. . ....

.

.

....

. . ....∑

[(fE1− fZ) (fEm− fZ)]∑

[(fE2− fZ) (fEm− fZ)] . . .∑ [

(fEm− fZ)2] ∑

[(fS1− fZ) (fEm− fZ)]∑

[(fS2− fZ) (fEm− fZ)] . . .∑

[(fSn− fZ) (fEm− fZ)]∑[(fE1− fZ) (fS1− fZ)]

∑[(fE2− fZ) (fS1− fZ)] . . .

∑[(fEm− fZ) (fS1− fZ)]

∑ [(fS1− fZ)2

] ∑[(fS2− fZ) (fS1− fZ)] . . .

∑[(fSn− fZ) (fS1− fZ)]∑

[(fE1− fZ) (fS2− fZ)]∑

[(fE2− fZ) (fS2− fZ)] . . .∑

[(fEm− fZ) (fS2− fZ)]∑

[(fS1− fZ) (fS2− fZ)]∑ [

(fS2− fZ)2]

. . .∑

[(fSn− fZ) (fS2− fZ)]

.

.

....

. . ....

.

.

....

. . ....∑

[(fE1− fZ) (fSn− fZ)]∑

[(fE2− fZ) (fSn− fZ)] . . .∑

[(fEm− fZ) (fSn− fZ)]∑

[(fS1− fZ) (fSn− fZ)]∑

[(fS2− fZ) (fSn− fZ)] . . .∑ [

(fSn− fZ)2]

X(m+n,1) =

−α1−α2

...−αmβ1β2...βn

, B(m+n,1) =

∑[(fE1− fZ) (fA− fZ)]∑[(fE2− fZ) (fA− fZ)]

...∑[(fEm− fZ) (fA− fZ)]∑[(fS1− fZ) (fA− fZ)]∑[(fS2− fZ) (fA− fZ)]

...∑[(fSn− fZ) (fA− fZ)]

Nota 3.3 Por razones de espacio se obviaron los subíndices “u” correspondientes a los Intervalos de Tamaño.

18


De este sistema de ecuaciones obtenemos los caudales corregidos:α1, α2, . . ., αm, β1, β2, . . ., βnβZ se halla por la Ecuación 3.6

Paso 7 Calcular los errores ∆M debido a los Flujos Normalizados Corregidos.

El siguiente paso es hallar los errores para cada Intervalo de Tamaños ∆M1, ∆M2,∆M3, . . . , ∆Mk usando los caudales normalizados corregidos mediante la siguienteecuación:

∆Mu = fAu +m∑

i=1


j=1

fSju · βj (3.10)

Nota 3.4∑k

u=1

[∆M2

u

]= min

(∑ku=1

[∆Q2

u

])Paso 8 Definir las correcciones.


Sean: fAu, fE1u, fE2u, . . . , fEmu, fZu, fS1u, fS2u, . . . , fSnu los valores cor-regidos del análisis granulométrico. Definimos las correcciones como:

∆fAu = fAu − fAu

∆fEiu = fEiu − fEiu ; i = 1, 2, ...,m∆fZu = fZu − fZu

∆fSju = fSju − fSju ; j = 1, 2, ..., n

Paso 9 Reemplazar las ecuaciones del paso 8 en ∆M (Ecuaciones dadas en el paso 7)para obtener las ecuaciones de ∆M en función de las correcciones.

Si reemplazamos las relaciones anteriores en la Ecuación 3.10 obtenemos:

∆Mu = (fAu+∆fAu)+m∑

i=1

(fEiu+∆fEiu)αi−(fZu+∆fZu)βZ−n∑

j=1

(fSju+∆fSju)βj

Simplificando:

∆Mu = [fAu +m∑

i=1


j=1

fSju · βj]

+[∆fAu +m∑

i=1

∆fEiu · αi−∆fZu · βZ −n∑

j=1

∆fSju · βj]

Pero la ecuación 3.4 se puede expresar de la siguiente manera:

0 = fAu +m∑

i=1


j=1

fSju · βj


Por lo tanto el error que se comete por las fracciones de un Intervalo de tamaños es:

∆Mu = ∆fAu +m∑

i=1


j=1

∆fSju · βj (3.11)

3.3. Método Lagrangiano

Se trata de optimizar funciones restringidas. Para nuestro caso es minimizar unafunción de error con restricciones de igualdad.

El procedimiento se desarrolla formalmente como sigue:

L(χ, λ) = f(χ)− λ · g(χ)

L(χ, λ) : Función Lagrangianaλ : Multiplicadores de Lagrange

f(χ) : Función a Optimizarg(χ) : Funciones Restrictivas

Donde: g(χ) = 0

Nota 3.5 f(χ) y g(χ) se suponen funciones dos veces diferenciables contínuamente.La idea de utilizar derivadas restringidas es encontrar una expresión de forma cerradapara las primeras derivadas parciales de f(χ) en todos los puntos que satisfacen lasrestricciones g(χ) = 0 1

Las ecuaciones:∂L

∂λ= 0 ;

∂L

∂χ= 0

Dan las condiciones necesarias para determinar los puntos estacionarios de f(χ)sujetos a g(χ) = 0

Los puntos estacionarios se identifican como los puntos en los que estas derivadasparciales se hacen cero.

Paso 10 Definir la Función Lagrangiana L(χ, λ) (Función Objetivo y Ecuaciones Re-strictivas).

Determinamos una función la cual es la sumatoria de los cuadrados de los errorespor Intervalo de Tamaños, la cual debe de ser mínima.

fu(χu) = Su = ∆fA2u +

m∑i=1

∆fEi2u + ∆fZ2u +

n∑j=1

∆fSj2u

Se tiene sólo una ecuación restrictiva (Ecuación 3.11).

gu(χu) = 0 = ∆Mu −

∆fAu +m∑

i=1


j=1

∆fSju · βj

1Hamdy A. Taha: “Investigación de Operaciones”, Sexta Edición, página 753.


χu = ∆fAu,∆fE1u,∆fE2u, . . . ,∆fEmu,∆fZu,∆fS1u,∆fS2u, . . . ,∆fSnu

La función Lagrangiana será:

Lu(χu, λu) = ∆fA2u +

m∑i=1

∆fEi2u + ∆fZ2u +

n∑j=1

∆fSj2u

−λu ·

∆Mu −

∆fAu +m∑

i=1


j=1

∆fSju · βj

Paso 11 Derivar parcialmente la función Lagrangiana (L(χ, λ)) por los Multiplicadoresde Lagrange y las Correcciones e igualar a cero.

Hallamos los puntos estacionarios:

∂Lu(χu, λu)∂λu

= 0 = ∆Mu −

∆fAu +m∑

i=1


j=1

∆fSju · βj

(3.12)

∂Lu(χu, λu)∂∆fAu

= 0 =∂(∆fA2

u + λu ·∆fAu + θAu)∂∆fAu

= 2∆fAu + λu

∆fAu = −λu ·12

∂Lu(χu, λu)∂∆fEiu

= 0 =∂(∆fEi2u + λu ·∆fEiu · αi+ θEiu)

∂∆fEiu= 2∆fEiu + λu · αi

∆fEiu = −λu ·αi

2; i = 1, 2, ...,m

∂Lu(χu, λu)∂∆fZu

= 0 =∂(∆fZ2

u − λu ·∆fZu · βZ + θZu)∂∆fZu

= 2∆fZu − λu · βZ

∆fZu = +λu ·βZ

2

∂Lu(χu, λu)∂∆fSju

= 0 =∂(∆fSj2u − λu ·∆fSju · βj + θSju)

∂∆fSju= 2∆fSju − λu · βj

∆fSju = +λu ·βj

2; j = 1, 2, ..., n

Nota 3.6 θu es un factor en el cual no está incluido la variable a Derivar.

Paso 12 De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que permita hallarlos Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M


Sustituimos ∆fAu, ∆fEiu, ∆fSju, ∆fZu en la ecuacion 3.12.

0 = ∆Mu −

−λu ·12

+m∑

i=1

(−λu ·

αi

2· αi)− λu ·

βZ

2· βZ −

n∑j=1

(λu ·

βj

2· βj

)Por lo tanto, hallaremos los Multiplicadores de Lagrange (λ) para cada intervalo de

tamaño mediante la siguiente ecuación:

λu = −2 · ∆Mu

1 +∑m

i=1 αi2 + βZ

2 +∑n

j=1 βj2 (3.13)

Paso 13 Reemplazar los Multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadasen el paso 11 para obtener las correcciones.

Se hallan las correcciones para cada Intervalo de Tamaño

∆fAu = −λu ·12


2; i = 1, 2, ...,m

∆fZu = +λu ·βZ

2


2; j = 1, 2, ..., n

Paso 14 Corregir los Análisis por las siguientes relaciones: (ver Paso 8)


Se procede a corregir los Análisis Granulométricos mediante las siguientes relaciones:

fAu = fAu −∆fAu

fEiu = fEiu −∆fEiu ; i = 1, 2, ...,mfZu = fZu −∆fZu

fSju = fSju −∆fSju ; j = 1, 2, ..., n

Se halla el error de la corrección.

S =k∑

u=1

Su =k∑

u=1

∆fA2u +

k∑u=1

m∑i=1

∆fEi2u +k∑

u=1

∆fZ2u +

k∑u=1

n∑j=1

∆fSj2u (3.14)


3.3.1. Algoritmo

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema.fAu : Análisis Granulométrico correspondiente a la Entrada Principal.fEiu : Análisis Granulométricos correspondientes a las Entradas Secundarias.fZu : Análisis Granulométrico correspondiente a la Salida Principal.fSju : Análisis Granulométricos correspondientes a las Salidas Secundarias.

donde:i = 1,2, ..., m j = 1,2, ..., n u = 1,2, ..., k

m : Número de Entradas Secundarias.n : Número de Salidas Secundarias.k : Número de Intervalo de Tamaños.

2. Resolver la Ecuación Lineal A ·X = B (Ecuación 3.9) para obtener los caudalesnormalizados (αi, βj).

3. Hallar βZ (Ecuación 3.6).

βZ = 1 +m∑

i=1

αi−n∑

j=1

βj

Nota 3.7 Recuérdese:α : Caudales Reducidos de Entrada al Nodo.β : Caudales Reducidos de Salida del Nodo.

Ei

A= αi , i = 1, 2, 3, . . . ,m

Sj

A= βj , j = 1, 2, 3, . . . , n

Z

A= βZ

4. Hallar los errores para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.10).

∆Mu = fAu +m∑

i=1


j=1

fSju · βj

5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación3.13).

λu = −2 · ∆Mu

1 +∑m

i=1 αi2 + βZ

2 +∑n

j=1 βj2


6. Hallar las Correcciones.

∆fAu = −λu ·12


2; i = 1, 2, ...,m

∆fZu = +λu ·βZ

2


2; j = 1, 2, ..., n

7. Corregir los Análisis Granulométricos.

fAu = fAu −∆fAu


fSju = fSju −∆fSju ; j = 1, 2, ..., n

8. Hallar el Error de la Corrección (Opcional) (Ecuación 3.14).

S =k∑

u=1

Su =k∑

u=1

∆fA2u +

k∑u=1

m∑i=1

∆fEi2u +k∑

u=1

∆fZ2u +

k∑u=1

n∑j=1

∆fSj2u

3.3.2. Propiedades

Las propiedades que se presentan a continuación se cumplen cuando los AnalisisGranulométricos a Corregir son las Fracciones (Porcentajes) en Peso (No Acumulados).

Propiedad 1 La suma de las Fracciones en Peso del Análisis Granulométrico es 1(100%)

k∑u=1

fXu = 1

Propiedad 2 La suma de los errores ∆M es cero.

De la ecuación 3.10 (Para un solo Intervalo de Tamaños).

∆Mu = fAu +m∑

i=1


j=1

fSju · βj

Hacemos la sumatoria de los errores:

k∑u=1

∆Mu =k∑

u=1

fAu +k∑

u=1

m∑i=1

fEiu · αi−k∑

u=1

fZu · βZ −k∑

u=1

n∑j=1

fSju · βj


Tomando en cuenta la Propiedad 1 (∑k

u=1 fXu = 1) la relación anterior se puedeexpresar como:

k∑u=1

∆Mu = 1 +m∑

i=1

αi− βZ −n∑

j=1

βj

Pero la Ecuación 3.3 es:

1 +m∑

i=1

αi = βZ +n∑

j=1

βj

Por lo tanto:k∑

u=1

∆Mu = 0

Propiedad 3 La suma de los Multiplicadores de Lagrange es cero.

De la Ecuación 3.13

λu = −2 · ∆Mu

1 +∑m

i=1 αi2 + βZ

2 +∑n

j=1 βj2

Donde el denominador es constante, por lo tanto al hacer la sumatoria obtenemos:

k∑u=1

λu = −2 ·∑k

u=1 ∆Mu

1 +∑m

i=1 αi2 + βZ

2 +∑n

j=1 βj2


u=1 ∆Mu = 0)

k∑u=1

λu = 0

Propiedad 4 La sumatoria de las correcciones es cero.

Se tienen las correcciones:

∆fAu = −λu ·12


2; i = 1, 2, ...,m

∆fZu = +λu ·βZ

2


2; j = 1, 2, ..., n

Hacemos la sumatoria:


k∑u=1

∆fAu = −12·

k∑u=1

λu

k∑u=1

∆fEiu = −αi2·

k∑u=1

λu ; i = 1, 2, ...,m

k∑u=1

∆fZu = +βZ

2·

k∑u=1

λu

k∑u=1

∆fSju = +βj

2·

k∑u=1

λu ; j = 1, 2, ..., n


u=1 λu = 0) obtenemos:k∑

u=1

∆fAu = 0

k∑u=1

∆fEiu = 0 ; i = 1, 2, ...,m

k∑u=1

∆fZu = 0

k∑u=1

∆fSju = 0 ; j = 1, 2, ..., n

Propiedad 5 La suma de las Fracciones en Peso de los Análisis Granulométricos Cor-regidos es 1 (100%).

De las correcciones:fAu = fAu −∆fAu


fSju = fSju −∆fSju ; j = 1, 2, ..., nHacemos la sumatoria:∑k

u=1 fAu =∑k

u=1 fAu −∑k

u=1 ∆fAu∑ku=1 fEiu =

∑ku=1 fEiu −

∑ku=1 ∆fEiu ; i = 1, 2, ...,m∑k

u=1 fZu =∑k

u=1 fZu −∑k

u=1 ∆fZu∑ku=1 fSju =

∑ku=1 fSju −

∑ku=1 ∆fSju ; j = 1, 2, ..., n

Tomando en cuenta las propiedades 1 y 4 obtenemos:∑ku=1 fAu = 1∑k

u=1 fEiu = 1 ; i = 1, 2, ...,m∑ku=1 fZu = 1∑k

u=1 fSju = 1 ; j = 1, 2, ..., n


3.4. Método Lagrangiano usando Factores de Ponderación

En esta sección introduciremos los factores de ponderación. Lo que se trata de haceres una analogía a los métodos de regresión con estudio de los residuales, los cualespermiten identificar puntos para los cuales el modelo no ajuste bien (detección de ajustes“individuales”); es decir, definiremos la funcion objetivo fu(χ) de la sección 3.3 pero conrespecto a los “residuales estandarizados” (ver [6] página 19) los cuales se definen como:

zi =residual

Pi · (1− Pi)(3.15)

La expresión 3.15 para nuestro caso toma las siguientes formas:

∆fAu =∆fAu

fAu · (1− fAu); ∆fZu =

∆fZu

fZu · (1− fZu)

∆fEiu =∆fEiu

fEiu · (1− fEiu); ∆fSju =

∆fSjufSju · (1− fSju)

Por lo tanto la función objetivo a minimizar es:

fu(χ) = Su = ∆fA2

u +m∑

i=1

∆fEi2

u + ∆fZ2

u +n∑

j=1

∆fSj2

u

o también:

fu(χ) =∆fA2

u

fA2u · (1− fAu)2

+m∑

i=1

∆fEi2ufEi2u · (1− fEiu)2

+∆fZ2

u

fZ2u · (1− fZu)2

+n∑

j=1

∆fSj2ufSj2u · (1− fSju)2

La ecuación anterior puede tomar la siguiente forma:

fu(χ) = Su = WAu ·∆fA2u +

m∑i=1

WEiu ·∆fEi2u +WZu ·∆fZ2u +

n∑j=1

WSju ·∆fSj2u

Donde:

WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

; WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WEiu =1

fEi2u · (1− fEiu)2; WSju =

1fSj2u · (1− fSju)2

La ecuación Restrictiva es idéntica a la ecuación 3.11.Por lo tanto, la función Lagrangiana será:


Lu(χu, λu) = WAu ·∆fA2u +

m∑i=1

WEiu ·∆fEi2u +WZu ·∆fZ2u +

n∑j=1

WSju ·∆fSj2u

−λu ·

∆Mu −

∆fAu +m∑

i=1


j=1

∆fSju · βj

Derivar parcialmente la función Lagrangiana (L(χ, λ)) por los Multiplicadores deLagrange y las Correcciones e igualar a cero.

Hallamos los puntos estacionarios:

∂Lu(χu, λu)∂λu

= 0 = ∆Mu −

∆fAu +m∑

i=1


j=1

∆fSju · βj

(3.16)

∂Lu(χu, λu)∂∆fAu

= 0 =∂(WAu ·∆fA2

u + λu ·∆fAu + θAu)∂∆fAu

= 2 ·WAu ·∆fAu + λu

∆fAu = −λu ·1

2 ·WAu

∂Lu(χu, λu)∂∆fEiu

= 0 =∂(WEiu ·∆fEi2u + λu ·∆fEiu · αi+ θEiu)

∂∆fEiu= 2·WEiu·∆fEiu+λu·αi


2 ·WEiu; i = 1, 2, ...,m

∂Lu(χu, λu)∂∆fZu

= 0 =∂(WZu ·∆fZ2

u − λu ·∆fZu · βZ + θZu)∂∆fZu

= 2·WZu ·∆fZu−λu ·βZ

∆fZu = +λu ·βZ

2 ·WZu

∂Lu(χu, λu)∂∆fSju

= 0 =∂(WSju ·∆fSj2u − λu ·∆fSju · βj + θSju)

∂∆fSju= 2·WSju·∆fSju−λu·βj


2 ·WSju; j = 1, 2, ..., n

Nota 3.8 θu es un factor en el cual no está incluido la variable a Derivar.

De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallar losMultiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M

Sustituimos ∆fAu, ∆fEiu, ∆fSju, ∆fZu en la ecuación 3.16.

0 = ∆Mu−

−λu ·1

2 ·WAu+

m∑i=1

(−λu ·

αi2

2 ·WEiu

)− λu ·

βZ2

2 ·WZu−

n∑j=1

(λu ·

βj2

2 ·WSju

)


Por lo tanto, hallaremos los Multiplicadores de Lagrange (λ) para cada intervalo detamaño mediante la siguiente ecuación:

λu = −2 · ∆Mu

1WAu

+∑m

i=1αi

2

WEiu+ βZ

2

WZu+∑n

j=1βj

2

WSju

(3.17)

Se hallan las correcciones para cada Intervalo de Tamaño

∆fAu = −λu ·1

2 ·WAu= −λu ·

12· fA2

u · (1− fAu)2


2 ·WEiu= −λu ·

αi

2· fEi2u · (1− fEiu)2 ; i = 1, 2, ...,m

∆fZu = +λu ·βZ

2 ·WZu= +λu ·

βZ

2· fZ2

u · (1− fZu)2


2 ·WSju= +λu ·

βj

2· fSj2u · (1− fSju)2 ; j = 1, 2, ..., n

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Fraccion Granulometrica (f)

Fac

tor

de P

onde

raci

on (

W)

Variacion del factor de ponderacion con la fraccion granulometrica

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Fraccion Granulometrica (f)

Inve

rso

del F

acto

r de

Pon

dera

cion

(1/

W) Variacion del inverso del factor de ponderacion con la fraccion granulometrica

Figura 3.2: Variación de los factores de ponderación con respecto a las fracciones gran-ulométricas

Nota 3.9 Obsérvese que con los factores de ponderación, las fracciones que sufriránuna mayor variación son las cercanas a 0.5 (50%) y cuando las fracciones son cero ouno (100%) estas no serán modificadas.

Corregir los Análisis por las siguientes relaciones:



fAu = fAu −∆fAu


fSju = fSju −∆fSju ; j = 1, 2, ..., nSe halla el error de la corrección.

S =k∑

u=1

Su =k∑

u=1

∆fA2u +

k∑u=1

m∑i=1

∆fEi2u +k∑

u=1

∆fZ2u +

k∑u=1

n∑j=1

∆fSj2u (3.18)

3.4.1. Algoritmo

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema.fAu : Análisis Granulométrico correspondiente a la Entrada Principal.fEiu : Análisis Granulométricos correspondientes a las Entradas Secundarias.fZu : Análisis Granulométrico correspondiente a la Salida Principal.fSju : Análisis Granulométricos correspondientes a las Salidas Secundarias.

donde:i = 1,2, ..., m j = 1,2, ..., n u = 1,2, ..., k

m : Número de Entradas Secundarias.n : Número de Salidas Secundarias.k : Número de Intervalo de Tamaños.

2. Resolver la Ecuación Lineal A ·X = B (Ecuación 3.9) para obtener los caudalesnormalizados (αi, βj).

3. Hallar βZ (Ecuación 3.6).

βZ = 1 +m∑

i=1

αi−n∑

j=1

βj

Nota 3.10 Recuérdese:

α : Caudales Reducidos de Entrada al Nodo.β : Caudales Reducidos de Salida del Nodo.

Ei

A= αi , i = 1, 2, 3, . . . ,m

Sj

A= βj , j = 1, 2, 3, . . . , n

Z

A= βZ


4. Hallar los errores para cada Intervalo de Tamaños (Ecuación 3.10).

∆Mu = fAu +m∑

i=1


j=1

fSju · βj

5. Hallar los Factores de Ponderación para cada Intervalo de Tamaños.

WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

; WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WEiu =1

fEi2u · (1− fEiu)2; WSju =

1fSj2u · (1− fSju)2


λu = −2 · ∆Mu

1WAu

+∑m

i=1αi

2

WEiu+ βZ

2

WZu+∑n

j=1βj

2

WSju

(3.19)


∆fAu = −λu ·1

2 ·WAu= −λu ·

12· fA2

u · (1− fAu)2


2 ·WEiu= −λu ·

αi

2· fEi2u · (1− fEiu)2 ; i = 1, 2, ...,m

∆fZu = +λu ·βZ

2 ·WZu= +λu ·

βZ

2· fZ2

u · (1− fZu)2


2 ·WSju= +λu ·

βj

2· fSj2u · (1− fSju)2 ; j = 1, 2, ..., n


fAu = fAu −∆fAu


fSju = fSju −∆fSju ; j = 1, 2, ..., n


S =k∑

u=1

Su =k∑

u=1

∆fA2u +

k∑u=1

m∑i=1

∆fEi2u +k∑

u=1

∆fZ2u +

k∑u=1

n∑j=1

∆fSj2u

Capítulo 4

Aplicaciones

Nota 4.1 Se deberá de tomar en cuenta lo siguiente:

Sólo las tablas de los Análisis Granulométricos y Químicos se presentan en Por-centaje.

Todas las operaciones se harán con respecto a las Fracciones (No Porcentajes).

4.1. Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidro-ciclón - Multiplicadores de Lagrange

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema

En un hidrociclón tenemos una Entrada (m = 0) (Alimento) y dos Salidas (n = 1)(Overflow y Underflow). El esquema adoptado es el siguiente:

Alimento ⇒ fA : Entrada Principal al NodoOverflow ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo

Underflow ⇒ fS1 : Salida Secundaria del NodoSe muestra a continuación los Porcentajes en Peso del Análisis Granulométrico deun Hidrociclón1(ver tabla 4.1 en la página 35)

Observamos que se tiene 7 intervalos de tamaño (“1” corresponde al material másgrueso y “7” al más fino) es decir k = 7.

2. Resolver la ecuación lineal A*X=B para obtener los caudales normalizados αi, βj.

Como se observa, sólo existe una salida secundaria, por lo tanto sólo existiran β1y βZ, consecuentemente la Matriz A, B y X serán de orden (1, 1).

A =7∑

u=1

((fS1u − fZu)2)

1Datos extraídos de [4] página 127

32


AlimentoA, fAu

Ove

rflo

w(S

ólid

os

Fin

os)

Z, f

Zu

Und

erflo

w(S

ólid

os G

rues

os)

S1,

fS1 u

Figura 4.1: Esquema del Hidrociclón

A = (0,180− 0,000)2 + (0,177− 0,001)2 + . . .+ (0,078− 0,517)2 = 0,3404

B =7∑

u=1

((fS1− fZ) · (fA− fZ))

B = (0,180− 0,000) · (0,119− 0,000) + (0,177− 0,001) · (0,122− 0,001) + . . .

+(0,078− 0,517) · (0,220− 0,517) = 0,2290

X = β1 = A−1 ·B

β1 = 0,3404−1 · 0,2290 = 0,6728

3. Hallar βZβZ = 1− β1

βZ = 1− 0,6728 = 0,3272


4. Hallar los Errores para cada Intervalo de Tamaños

∆Mu = fAu − fZu · βZ − fS1u · β1

∆M1 = 0,119− 0,000 · 0,3272− 0,180 · 0,6728 = −0,0021∆M2 = 0,122− 0,001 · 0,3272− 0,177 · 0,6728 = 0,0026

......

...∆M7 = 0,220− 0,517 · 0,3272− 0,078 · 0,6728 = −0,0016

Los errores para cada intervalo de tamaños son: (ver tabla 4.2 en la página 35)

5. Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de Tamaños

λu = −2 · ∆Mu

1 + βZ2 + β12

Donde:1 + βZ

2 + β12 = 1 + 0,32722 + 0,67282 = 1,5597

λ1 = −2 · −0,00211,5597 = 0,0027

λ2 = −2 · 0,00261,5597 = −0,0033

......

...λ7 = −2 · −0,0016

1,5597 = 0,0021

Los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños son (ver tabla4.3 en la página 35):

6. Hallar las correcciones

∆fAu = −λu ·12

∆fZu = +λu ·βZ

2

∆fS1u = +λu ·β12

Para el primer intervalo de tamaños

∆fA1 = −(0,0027) · 12

= −0,0014

∆fZ1 = +(0,0027) · 0,25302

= 0,4422 · 10−3

∆fS11 = +(0,0027) · 0,74702

= 0,0009

Las correcciones son (ver tabla 4.4 en la página 35):


u Fracción fAu fZu fS1u R

1 +m65 11.9 % 0.0% 18.0 % 1.9512 65/100 12.2 % 0.1% 17.7 % 2.2003 100/150 18.0 % 2.1% 25.9 % 2.0134 150/200 15.9 % 12.0 % 18.1 % 1.7735 200/270 11.5 % 17.2 % 8.1 % 1.6766 270/400 8.5% 16.9 % 4.4 % 2.0497 -m400 22.0 % 51.7 % 7.8 % 2.095

Cuadro 4.1: Análisis Granulométricos a Corregir

u ∆Mu

1 -0.00212 0.00263 -0.00114 -0.00205 0.00426 0.00017 -0.0016

Cuadro 4.2: Errores para cada intervalo de tamaños

u λu

1 0.00272 -0.00333 0.00154 0.00265 -0.00546 -0.00017 0.0021

Cuadro 4.3: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños

u ∆fAu ∆fZu ∆fS1u

1 -0.0014 0.0004 0.00092 0.0017 -0.0005 -0.00113 -0.0007 0.0002 0.00054 -0.0013 0.0004 0.00095 0.0027 -0.0009 -0.00186 0.0001 -0.0000 -0.00007 -0.0010 0.0003 0.0007

Cuadro 4.4: Correcciones


7. Corregir los Analisis Granulometricos

fAu = fAu −∆fAu

fZu = fZu −∆fZu

fS1u = fS1u −∆fS1u

Los Analisis Granulométricos corregidos son (ver tabla 4.5 en la página 38):

8. Hallar el error de la correccion

S =7∑

u=1

(∆fA2u) +

7∑u=1

(∆fZ2u) +

7∑u=1

(∆fS12u)

S = ((−0,0014)2 + (0,0017)2 + . . .+ (−0,0010)2) +((0,4422 · 10−3)2 + (−0,5419 · 10−3)2 + . . .+ (0,3422 · 10−3)2) +(0,00092 + (−0,0011)2 + . . .+ 0,00072) = 2,3789 · 10−5

Cálculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificación sería elPorcentaje de Carga Circulante)

R =β1βZ

R =0,67280,3272

= 2,0564 (205,64 %)

4.1.1. Corrección usando los Porcentajes Acumulados Pasantes


(ver tabla 4.6 en la página 38):


A =7∑

u=1

((fS1u − fZu)2)

A = 1,4518

B =7∑

u=1

((fS1− fZ) · (fA− fZ))

B = 0,9760


X = β1 = A−1 ·B

β1 = 0,6723

3. Hallar βZβZ = 1− β1

βZ = 0,3277


∆Mu = fAu − fZu · βZ − fS1u · β1

(ver tabla 4.7 en la página 38)


λu = −2 · ∆Mu

1 + βZ2 + β12



∆fAu = −λu ·12

∆fZu = +λu ·βZ

2

∆fS1u = +λu ·β12



fAu = fAu −∆fAu

fZu = fZu −∆fZu




S =7∑

u=1

(∆fA2u) +

7∑u=1

(∆fZ2u) +

7∑u=1

(∆fS12u)


u fAu fZu fS1u

1 12.0351 % -0.0442% 17.9091 %2 12.0344 % 0.1542 % 17.8114 %3 18.0725 % 2.0763 % 25.8512 %4 16.0309 % 11.9572 % 18.0119 %5 11.2290 % 17.2887 % 8.2823 %6 8.4934 % 16.9022 % 4.4044 %7 22.1046 % 51.6658 % 7.7296 %

Cuadro 4.5: Análisis Granulométricos Corregidos

u fAu fZu fS1u

1 88.10 % 100.00 % 82.00 %2 75.90 % 99.90 % 64.30 %3 57.90 % 97.80 % 38.40 %4 42.00 % 85.80 % 20.30 %5 30.50 % 68.60 % 12.20 %6 22.00 % 51.70 % 7.80 %7 0.00 % 0.00 % 0.00 %

Cuadro 4.6: Análisis Granulométricos - Porcentajes Acumulados Pasantes

u ∆Mu

1 0.00202 -0.00073 0.00034 0.00235 -0.00186 -0.00197 0.0000

Cuadro 4.7: Errores para cada intervalo de tamaños - Fracciones Acumuladas Pasantes

u λu

1 -0.00262 0.00093 -0.00044 -0.00305 0.00246 0.00247 -0.0000

Cuadro 4.8: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños - FraccionesAcumuladas Pasantes


S = 1,0869 · 10−5

Calculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificación sería elPorcentaje de Carga Circulante)

R =β1βZ

R = 2,0514 (205,14 %)

Pasando los Analisis Corregidos a Porcentajes en Peso obtenemos (ver tabla 4.11en la página 40):

Calculamos el error S pero con respecto las diferencias de los Porcentajes en Peso.

S = 2,3860 · 10−5

Nota 4.2 Si comparamos los errores (con respecto a las fracciones en peso) vemosque al corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes obtenemos un error ligera-mente mayor que al corregir los Porcentajes en Peso (2,3860 · 10−5 respecto a2,3789 · 10−5).

Código del programa en Matlab para el cálculo: hidrociclon.m

%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange:% Sistema:% Hidrociclon%% hidrociclon.m%% KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio% UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA% FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------

% Analisis Granulometricos

% Paso 1: Obtener los Analisis Granulometricos del Sistema

% Analisis Granulometricos% Fracciones en Peso



1 0.0013 -0.0004 -0.00092 -0.0004 0.0001 0.00033 0.0002 -0.0001 -0.00014 0.0015 -0.0005 -0.00105 -0.0012 0.0004 0.00086 -0.0012 0.0004 0.00087 0.0000 -0.0000 -0.0000

Cuadro 4.9: Correcciones - Fracciones Acumuladas Pasantes

u fAu fZu fS1u

1 87.9711 % 100.0422 % 82.0867 %2 75.9429 % 99.8859 % 64.2712 %3 57.8786 % 97.8070 % 38.4144 %4 41.8498 % 85.8492 % 20.4010 %5 30.6177 % 68.5614 % 12.1209 %6 22.1199 % 51.6607 % 7.7194 %7 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %


u fAu fZu fS1u

1 12.0289 % -0.0422% 17.9133 %2 12.0282 % 0.1563 % 17.8155 %3 18.0643 % 2.0789 % 25.8568 %4 16.0288 % 11.9578 % 18.0134 %5 11.2321 % 17.2878 % 8.2801 %6 8.4978 % 16.9007 % 4.4015 %7 22.1199 % 51.6607 % 7.7194 %

Cuadro 4.11: Análisis Granulométricos Corregidos - Fracciones en Peso


% Alimento al HidrociclonfA=[11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’;

% Overflow del Hicrociclon (Salida Principal)fZ=[0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’;

% Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria)fS1=[18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’;

% Analisis Granulometricos% Fracciones en Peso Acumulados Pasantes

% Alimento al Hidrociclon%fA=1-cumsum([11.9 12.2 18.0 15.9 11.5 8.5 22.0]/100.’);

% Overflow del Hicrociclon (Salida Principal)%fZ=1-cumsum([0 0.1 2.1 12.0 17.2 16.9 51.7]/100.’);

% Underflow del Hidrociclon (Salida Secundaria)%fS1=1-cumsum([18.0 17.7 25.9 18.1 8.1 4.4 7.8]/100.’);

% Paso 2: Resolver la ecuacion lineal A*X=B para obtener los caudales% normalizados alpha_i, beta_j

A=sum((fS1-fZ).^2)B=sum((fS1-fZ).*(fA-fZ))X=A\B

beta_1=X

% Paso 3: Hallar beta Zbeta_Z=1-beta_1

% Paso 4: Hallar los Errores para cada Intervalo de TamañosDM=fA-fZ*beta_Z-fS1*beta_1

% Paso 5: Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de% Tamañoslambda=-2/(1+beta_Z^2+beta_1^2)*DM

% Paso 6: Hallar las correccionesDfA=-lambda*(1/2)DfZ=lambda*(beta_Z/2)DfS1=lambda*(beta_1/2)


% Paso 7: Corregir los Analisis GranulometricosfAc = fA - DfAfZc = fZ - DfZfS1c = fS1 - DfS1

% Paso 8: Hallar el error de la correccionS = sum(DfA.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)

% Calculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificacion% seria el Porcentaje de Carga Circulante)R=beta_1/beta_Z

% Verificacion de la correccionDMc=fAc-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1


4.2. Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidro-ciclón - Multiplicadores de Lagrange con Factores dePonderación

Los datos son los empleados en la sección 4.1, por lo tanto, los pasos del 1 al 4 seránidenticos a la sección referida:



3. Hallar βZ



WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WS1u =1

fS12u · (1− fS1u)2

Para el primer intervalo de tamaños:

WA1 =1

0,1192 · (1− 0,119)2= 90,9817

WZ1 =1

0,0002 · (1− 0,000)2= ∞

WS11 =1

0,1802 · (1− 0,180)2= 45,9015

Los factores de Ponderación obtenidos son (ver tabla 4.12 en la página 45):


λu = −2 · ∆Mu

1WAu

+ βZ2

WZu+ β1

2

WS1u

(4.1)

λ1 = −2 · −0,00211

90,98+ 0,32722

∞ + 0,67282

45,90

= 0,2022

λ2 = −2 · 0,00261

87,15+ 0,32722

1002003,00+ 0,67282

47,13

= −0,2451

......

...λ7 = −2 · −0,0016

133,96

+ 0,32722

16,04+ 0,67282

193,35

= 0,0848




∆fAu = −λu ·1

2 ·WAu= −λu ·

12· fA2

u · (1− fAu)2

∆fZu = +λu ·βZ

2 ·WZu= +λu ·

βZ

2· fZ2

u · (1− fZu)2

∆fS1u = +λu ·β1

2 ·WS1u= +λu ·

β12· fS12

u · (1− fS1u)2

Para el primer intervalo de tamaños

∆fA1 = −(0,2022) · 12 · 90,9817

= −0,0011

∆fZ1 = +(0,2022) · 0,32722 · ∞

= 0,0000

∆fS11 = +(0,2022) · 0,67282 · 45,9015

= 0,0015



fAu = fAu −∆fAu

fZu = fZu −∆fZu



Nota 4.3 Aquí se comete un error al usar las fracciones en peso ya que la sumade las fracciones no da 1 (100%)

Para el Alimento:∑fAc = 0,999871

Para el Overflow:∑fZc = 1,000813

Para el Underflow:∑fS1c = 0,999413


S =k∑

u=1

Su =k∑

u=1

∆fA2u +

k∑u=1

∆fZ2u +

k∑u=1

∆fS12u

S = ((−0,0011)2 + 0,00142 + . . .+ (−0,0012)2) +(0,00002 + (−0,0000)2 + . . .+ 0,00092) +(0,00152 + (−0,0017)2 + . . .+ 0,00012) = 2,7534 · 10−5

Calculo de R

R =β1βZ

R =0,67280,3272

= 2,0564 (205,64 %)


u WAu WZu WS1u

1 90.98 ∞ 45.902 87.15 1002003.00 47.133 45.90 2365.90 27.154 55.93 89.68 45.515 96.54 49.30 180.476 165.32 50.70 565.177 33.96 16.04 193.35

Cuadro 4.12: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños

u λu

1 0.20222 -0.24513 0.05884 0.14075 -0.56226 -0.02297 0.0848

Cuadro 4.13: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños usando Fac-tores de Ponderación


1 -0.0011 0.0000 0.00152 0.0014 -0.0000 -0.00173 -0.0006 0.0000 0.00074 -0.0013 0.0003 0.00105 0.0029 -0.0019 -0.00106 0.0001 -0.0001 -0.00007 -0.0012 0.0009 0.0001

Cuadro 4.14: Correcciones usando Factores de Ponderación

u fAu fZu fS1u

1 12.0111 % 0.0000 % 17.8518 %2 12.0594 % 0.1000 % 17.8750 %3 18.0640 % 2.0996 % 25.8272 %4 16.0258 % 11.9743 % 17.9960 %5 11.2089 % 17.3865 % 8.2048 %6 8.4931 % 16.9074 % 4.4014 %7 22.1249 % 51.6135 % 7.7852 %




Pasos del 1 al 4 ver 4.1.1



3. Hallar βZ



WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WS1u =1

fS12u · (1− fS1u)2



λu = −2 · ∆Mu

1WAu

+ βZ2

WZu+ β1

2

WS1u

(4.2)



∆fAu = −λu ·1

2 ·WAu= −λu ·

12· fA2

u · (1− fAu)2

∆fZu = +λu ·βZ

2 ·WZu= +λu ·

βZ

2· fZ2

u · (1− fZu)2


2 ·WS1u= +λu ·

β12· fS12

u · (1− fS1u)2



fAu = fAu −∆fAu

fZu = fZu −∆fZu




u WAu WZu WS1u

1 90.98 ∞ 45.902 29.89 1002003.00 18.983 16.83 2160.12 17.874 16.85 67.37 38.205 22.26 21.55 87.156 33.96 16.04 193.357 ∞ ∞ ∞

Cuadro 4.16: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños - PorcentajesAcumulados Pasantes

u λu

1 -0.19292 0.02343 -0.00794 -0.06445 0.06666 0.09727 Indeterminado

Cuadro 4.17: Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños usando Fac-tores de Ponderación - Porcentajes Acumulados Pasantes


1 0.0011 0.0000 -0.00142 -0.0004 0.0000 0.00043 0.0002 -0.0000 -0.00014 0.0019 -0.0002 -0.00065 -0.0015 0.0005 0.00036 -0.0014 0.0010 0.00027 0.0000 0.0000 0.0000

Cuadro 4.18: Correcciones usando Factores de Ponderación - Fracciones AcumuladasPasantes



S =k∑

u=1

Su =k∑

u=1

∆fA2u +

k∑u=1

∆fZ2u +

k∑u=1

∆fS12u

S = 1,3138 · 10−5

Calculo de R

R =β1βZ

R = 2,0514 (205,14 %)

Pasando los Analisis Corregidos a Porcentajes en Peso obtenemos (ver tabla 4.20en la página 56):

Nota 4.4 En este método se obtiene la suma de las fracciones igual a 1 (100%).

Calculamos el error S pero con respecto las diferencias de los Porcentajes en Peso.

S = 2,8310 · 10−5

Nota 4.5 Si comparamos los errores (con respecto a las fracciones en peso) ve-mos que al corregir los Porcentajes Acumulados Pasantes obtenemos un errorligeramente mayor que al corregir los Porcentajes en Peso 2,8310 · 10−5 respectoa 2,7534 · 10−5.

Código del programa en Matlab para el cálculo: hidrociclon_FP.m

%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange:% Sistema:% Hidrociclon%% hidrociclon_FP.m%% KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio% UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA% FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------













A=sum((fS1-fZ).^2)B=sum((fS1-fZ).*(fA-fZ))X=A\B

beta_1=X

% Paso 3: Hallar beta Zbeta_Z=1-beta_1

% Paso 4: Hallar los Errores para cada Intervalo de TamañosDM=fA-fZ*beta_Z-fS1*beta_1

% Paso 5: Hallar los Factores de Ponderacion para cada Intervalo de TamañosWA=1./(fA.*(1-fA)).^2;WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2;


WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2;

% Paso 6: Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de% Tamañoslambda=-2./(1./WA+beta_Z^2./WZ+beta_1^2./WS1).*DM

% Paso 7: Hallar las correccionesDfA=-lambda.*(1./(2*WA))DfZ=lambda.*(beta_Z./(2*WZ))DfS1=lambda.*(beta_1./(2*WS1))

% Paso 8: Corregir los Analisis GranulometricosfAc = fA - DfAfZc = fZ - DfZfS1c = fS1 - DfS1

% Paso 9: Hallar el error de la correccionS = sum(DfA.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)

% Calculo de R (En un circuito cerrado directo de Molienda-Clasificacion% seria el Porcentaje de Carga Circulante)R=beta_1/beta_Z

% Verificacion de la correccionDMc=fAc-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1


4.3. Corrección de Análisis Granulométricos en un Hidro-ciclón - Función J(R)

A continuación se muestra un método alternativo (ver [3]) para la corrección deAnálisis Granulométricos en un Hidrociclón, la cual consiste en minimizar la siguientefunción:

J(R) =k∑

u=1

Ju(R) (4.3)

Donde:k = Número de Intervalos de Tamaño.Ju = Es la suma de los cuadrados ajustados para cada Intervalo de tamaños.

Ju(R) = (fAu − fAu)2 + (fZu − fZu)2 + (fS1u − fS1u)2

La ecuación anterior puede expresarse como sigue:

Ju(R) =[(fAu − fZu) +R · (fAu − fS1u)]2

2 · (1 +R+R2)(4.4)

Nota 4.6 Tomamos la misma notación que en el ejemplo anterior:Alimento ⇒ fA : Entrada Principal al NodoOverflow ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo

Underflow ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo

Si reemplazamos la Ecuación 4.4 en la Ecuación 4.3 obtendremos:

J(R) =k∑

u=1

[(fAu − fZu) +R · (fAu − fS1u)]2

2 · (1 +R+R2)

Expandiendo la ecuación anterior obtendremos:

J(R) =A ·R2 + B ·R+ C

2 · (1 +R+R2)(4.5)

donde:

A =k∑

u=1

[(fAu − fS1u)2

]B = 2 ·

k∑u=1

[(fAu − fZu) · (fAu − fS1u)]

C =k∑

u=1

[(fAu − fZu)2

]Si derivamos la Ecuación 4.5 e igualamos a cero, obtendremos el valor de R que

minimizará la función J(R) el cual se hallará por medio de la siguiente relación:


∂J(R)∂R

∣∣∣∣R=RMin

=(A− B) ·R2 + 2 · (A− C) ·R+ (B − C)

2 · (1 +R+R2)2

∣∣∣∣∣R=RMin

= 0

RMin =C − A±

√A2 + B2 + C2 − A · B − B · C − C · A

A− B(4.6)

Nota 4.7 RMin ∈ <+

Los valores ajustados que minimizan la funcion J(R) están dados por:

Para u = 1, 2, · · · , k − 1

fAu = fAu − (1 +RMin) · Su

fZu = fZu + Su

fS1u = fS1u +RMin · Su

Para u = k (Intervalo de tamaños más fino)

fAk = 1−k−1∑u=1

fAu

fZk = 1−k−1∑u=1

fZu

fS1k = 1−k−1∑u=1

fS1u

El valor se Su varía para cada Intervalo de Tamaños y está dado por:

Su =(fAu − fZu) +RMin · (fAu − fS1u)

2 · (1 +RMin +R2Min)

4.3.1. Algoritmo

El método puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema.fAu : Análisis Granulométrico correspondiente al AlimentofZu : Análisis Granulométrico correspondiente al Overflow (Finos)fS1u : Análisis Granulométricos correspondientes a Underflow (Gruesos).

donde:u = 1,2, ..., k k : Número de Intervalo de Tamaños.


2. Obtener los Coeficientes Óptimos

A =k∑

u=1

[(fAu − fS1u)2

]B = 2 ·

k∑u=1


C =k∑

u=1

[(fAu − fZu)2

]3. Cálculo de R que minimiza la función J(R)

RMin =C − A±

√A2 + B2 + C2 − A · B − B · C − C · A

A− B


4. Cálculo de los valores de Su



5. Corrección de los Análisis Granulométricos u = 1, 2, ..., k − 1


fZu = fZu + Su


6. Corrección de los Análisis Granulométricos u = k

fAk = 1−k−1∑u=1

fAu

fZk = 1−k−1∑u=1

fZu

fS1k = 1−k−1∑u=1

fS1u

7. Hallar el error de la corrección

S =7∑

u=1

(∆fA2u) +

7∑u=1

(∆fZ2u) +

7∑u=1

(∆fS12u)


4.3.2. Aplicación del Método

1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema.

Con el fin de establecer una comparación con el método de los Multiplicadores deLagrange utilizaremos los mismos datos que en 4.1.


A =7∑

u=1

[(fAu − fS1u)2

]B = 2 ·

7∑u=1


C =7∑

u=1

[(fAu − fZu)2

]

A =[(0,119− 0,180)2 + (0,122− 0,177)2 + . . .+ (0,220− 0,078)2

]= 0,0365

B = 2 · [(0,119− 0,000) · (0,119− 0,180) + (0,122− 0,001) · (0,122− 0,177) + . . .

+(0,220− 0,517) · (0,220− 0,078)] = −0,1498C =

[(0,119− 0,000)2 + (0,122− 0,001)2 + . . .+ (0,220− 0,517)2

]= 0,1541

3. Cálculo de R que minimiza la función J(R)

RMin =C − A±

√A2 + B2 + C2 − A · B − B · C − C · A

A− B

RMin1 = 2,0567RMin2 = −0,7934

RMin = 2,0567 (205,67 %)


Nota 4.10 Obsérvese que la forma de la curva J(R) tiene un valor máximo y unvalor mínimo. En este caso la curva tiende a converger en un valor de 0.018217cuando R→ ±∞.


−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

R

J(R

)

Variacion de J(R) vs. R

−5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000 4000 50000

0.05

0.1

0.15

0.2

R

J(R

)

Variacion de J(R) vs. R

Figura 4.2: Variación de la Función J(R) vs. R




S1 = (0,119−0,000)+2,0567·(0,119−0,180)2·(1+2,0567+2,05672)

= −0,4430 · 10−3

S2 = (0,122−0,001)+2,0567·(0,122−0,177)2·(1+2,0567+2,05672)

= 0,5410 · 10−3

......

...S7 = (0,220−0,517)+2,0567·(0,220−0,078)

2·(1+2,0567+2,05672)= −0,3399 · 10−3

Los valores de Su obtenidos son (ver tabla 4.21 en la página 56):

5. Corrección de los Análisis Granulométricos u = 1, 2, ..., 6


fZu = fZu + Su



u fAu fZu fS1u

1 87.9940 % 100.0000 % 82.1413 %2 75.9391 % 99.9000 % 64.2586 %3 57.8766 % 97.8001 % 38.4148 %4 41.8090 % 85.8157 % 20.3566 %5 30.6496 % 68.5494 % 12.1743 %6 22.1431 % 51.6007 % 7.7831 %7 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %


u fAu fZu fS1u

1 12.0060 % 0.0000 % 17.8587 %2 12.0549 % 0.1000 % 17.8827 %3 18.0624 % 2.0999 % 25.8438 %4 16.0676 % 11.9844 % 18.0581 %5 11.1593 % 17.2663 % 8.1823 %6 8.5066 % 16.9487 % 4.3912 %7 22.1431 % 51.6007 % 7.7831 %


u Su

1 −0,4430 · 10−3

2 0,5410 · 10−3

3 −0,2386 · 10−3

4 −0,4286 · 10−3

5 0,8870 · 10−3

6 0,0222 · 10−3

7 −0,3399 · 10−3

Cuadro 4.21: Valores de Su


fA1 = 0,1190− (1 + 2,0567) · (−0,4430 · 10−3) = 0,120354 (12,0354 %)fZ1 = 0,0000 + (−0,4430 · 10−3) = −0,000443 (−0,0443 %)fS11 = 0,1800 + 2,0567 · (−0,4430 · 10−3) = 0,179089 (17,9089 %)

fA2 = 0,1220− (1 + 2,0567) · 0,5410 · 10−3 = 0,120346 (12,0346 %)fZ2 = 0,0010 + 0,5410 · 10−3 = 0,001541 (0,1541 %)fS12 = 0,1770 + 2,0567 · 0,5410 · 10−3 = 0,178113 (17,8113 %)

fA6 = 0,0850− (1 + 2,0567) · 0,0222 · 10−3 = 0,084932 (8,4932 %)fZ6 = 0,1690 + 0,0222 · 10−3 = 0,169022 (16,9022 %)fS16 = 0,0440 + 2,0567 · 0,0222 · 10−3 = 0,044046 (4,4046 %)

u fAu fZu fS1u

1 12.0354 % -0.0443 % 17.9089 %2 12.0346 % 0.1541 % 17.8113 %3 18.0729 % 2.0761 % 25.8509 %4 16.0310 % 11.9571 % 18.0118 %5 11.2289 % 17.2887 % 8.2824 %6 8.4932 % 16.9022 % 4.4046 %

6. Corrección de los Análisis Granulométricos u = 7

fA7 = 1−k−1∑u=1

fAu

fZ7 = 1−k−1∑u=1

fZu

fS17 = 1−k−1∑u=1

fS1u

fA7 = 1− (0,120354 + 0,120346 + . . .+ 0,084932) = 0,221039fZ7 = 1− (−0,000443 + 0,001541 + . . .+ 0,169022) = 0,516660fS17 = 1− (0,179089 + 0,178113 + . . .+ 0,044046) = 0,077301

Los Análisis Granulométricos Corregidos son (ver tabla 4.22 en la página 60):


S =7∑

u=1

[(fAu − fAu)2

]+

7∑u=1

[(fZu − fZu)2

]+

7∑u=1

[(fS1u − fS1u)2

]


S =[(0,119000 − 0,120354)2

]+[(0,122000 − 0,120346)2

]+[(0,220000 − 0,221039)2

]+[(0,000000 − (−0,000443))2

]+[(0,001000 − 0,001541)2

]+[(0,517000 − 0,516660)2

]+ . . .

+[(0,180000 − 0,179089)2

]+[(0,177000 − 0,178113)2

]+[(0,078000 − 0,077301)2

]

S = 2,3789 · 10−5


1. Obtener los Análisis Granulométricos del Sistema.

Con el fin de establecer una comparación con el método de los Multiplicadores deLagrange utilizaremos los mismos datos que en 4.1.


A =7∑

u=1

[(fAu − fS1u)2

]B = 2 ·

7∑u=1


C =7∑

u=1

[(fAu − fZu)2

]

A = 0,1559B = −0,6397C = 0,6562

3. Cálculo de R que minimiza la función J(R)

RMin =C − A±

√A2 + B2 + C2 − A · B − B · C − C · A

A− B

RMin1 = 2,0514RMin2 = −0,7940

RMin = 2,0514 (205,14 %)






Los valores de Su obtenidos son (ver tabla 4.23 en la página 60):

5. Corrección de los Análisis Granulométricos u = 1, 2, ..., 6


fZu = fZu + Su


u fAu fZu fS1u

1 87.9711 % 100.0423 % 82.0867 %2 75.9428 % 99.8860 % 64.2712 %3 57.8785 % 97.8070 % 38.4144 %4 41.8497 % 85.8493 % 20.4011 %5 30.6176 % 68.5615 % 12.1209 %6 22.1198 % 51.6607 % 7.7194 %

6. Corrección de los Análisis Granulométricos u = 7 - Para el caso de las FraccionesAcumuladas Pasantes, en el último intervalo de tamaños corresponde un valor decero

fA7 = 0fZ7 = 0fS17 = 0

Los Análisis Granulométricos Corregidos son (ver tabla 4.24 en la página 60)::


S =7∑

u=1

[(fAu − fAu)2

]+

7∑u=1

[(fZu − fZu)2

]+

7∑u=1

[(fS1u − fS1u)2

]

S = 1,0869 · 10−5

Código del programa en Matlab para el cálculo: hidrociclon_JR.m

%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por la Funcion J(R):% Sistema:% Hidrociclon%


u fAu fZu fS1u

1 12.0354 % -0.0443% 17.9089 %2 12.0346 % 0.1541 % 17.8113 %3 18.0729 % 2.0761 % 25.8509 %4 16.0310 % 11.9571 % 18.0118 %5 11.2289 % 17.2887 % 8.2824 %6 8.4932 % 16.9022 % 4.4046 %7 22.1039 % 51.6660 % 7.7301 %


u Su

1 0,4225 · 10−3

2 −0,1404 · 10−3

3 0,0704 · 10−3

4 0,4926 · 10−3

5 −0,3854 · 10−3

6 −0,3927 · 10−3

7 0,0000 · 10−3

Cuadro 4.23: Valores de Su

u fAu fZu fS1u

1 87.9711 % 100.0423 % 82.0867 %2 75.9428 % 99.8860 % 64.2712 %3 57.8785 % 97.8070 % 38.4144 %4 41.8497 % 85.8493 % 20.4011 %5 30.6176 % 68.5615 % 12.1209 %6 22.1198 % 51.6607 % 7.7194 %7 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %



% hidrociclon_JR.m%% KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio% UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA% FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------










% Paso 2: Obtener los Coeficientes Optimos

A=sum((fA-fS1).^2);B=2*sum((fA-fZ).*(fA-fS1));C=sum((fA-fZ).^2);

% Paso 3: Calculo de R que minimiza la funcion JRR=(C-A+sqrt(A^2+B^2+C^2-A*B-B*C-C*A))/(A-B)R1=(C-A-sqrt(A^2+B^2+C^2-A*B-B*C-C*A))/(A-B)

% Paso 4: Calculo de los valores de Sk


Sk=((fA-fZ)+R*(fA-fS1))/(2*(1+R+R^2));

% Paso 5: Correccion de los Analisis Granulometricos u=1, 2, ..., k-1k=length(fA);

fAc=fA(1:k-1)-(1+R)*Sk(1:k-1);fZc=fZ(1:k-1)+Sk(1:k-1);fS1c=fS1(1:k-1)+R*Sk(1:k-1);

% Paso 6: Correccion de los Analisis Granulometricos u=kfAc(k)=1-sum(fAc);fZc(k)=1-sum(fZc);fS1c(k)=1-sum(fS1c);

% Fracciones en Peso Acumulados Pasantes%fAc(k)=0;%fZc(k)=0;%fS1c(k)=0;

% Paso 7: Hallar el error de la correccionS = sum((fA-fAc).^2)+sum((fZ-fZc).^2)+sum((fS1-fS1c).^2)

figure(1)% Funcion J(R)Ri=-10:0.1:10;J=(A*Ri.^2+B*Ri+C)./(2*(1+Ri+Ri.^2));

subplot(2,1,1), plot(Ri,J)xlabel(’R’);ylabel(’J(R)’);title(’Variacion de J(R) vs. R’)

% Funcion J(R)Rii=-5*10^3:0.1:5*10^3;Jii=(A*Rii.^2+B*Rii+C)./(2*(1+Rii+Rii.^2));

subplot(2,1,2), plot(Rii,Jii)xlabel(’R’);ylabel(’J(R)’);title(’Variacion de J(R) vs. R’)print -f -deps variajr_exp % crea variajrexp.eps


4.4. Corrección de Análisis Granulométricos en un CircuitoInverso de Molienda Clasificación


En este ejemplo, tomaremos al Hidrociclón como un nodo el cual se tiene dosEntradas (m = 1) (Alimentacion Fresca y Descarga del Molino); y dos Salidas(n = 1) (Overflow y Underflow). El esquema adoptado es el siguiente:

Ove

rflo

w(S

ólid

os

Fin

os)

Z, f

Zu

Underflow(Sólidos Gruesos)

S1, fSu

Descarga delMolino

E1, fE1 u

AlimentoA, fAu

Figura 4.3: Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación

Alimentación Fresca al Circuito ⇒ fA : Entrada Principal al NodoDescarga del Molino ⇒ fE1 : Entrada Secundaria al Nodo

Overflow del Hidrociclón ⇒ fZ : Salida Principal del NodoUnderflow del Hidrociclón ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo

Nota 4.12 La alimentación compuesta (Alimentación Fresca & Descarga del Moli-no) no se tomará como dato para la corrección.

Se muestra a continuación los Análisis Granulométricos de un Circuito Inversode Molienda Clasificación 2 (Porcentaje en Peso: ver tabla 4.25 en la página 64;Porcentaje Acumulados Pasantes: ver tabla 4.26 en la página 64):

Observamos que se tiene 13 intervalos de tamaño (“1” corresponde al material másgrueso y “13” al más fino) es decir k = 13.


Como se observa, solo existen una entrada secundaria y una salida secundaria,por lo tanto solo existiran α1, β1 y βZ, consecuentemente la Matriz A será deorden (2, 2), B de orden (2, 1) y X de orden (2, 1).

A =( ∑13

u=1[(fE1u − fZu)2]∑13

u=1[(fS1u − fZu) · (fE1u − fZu)]∑13u=1[(fE1u − fZu) · (fS1u − fZu)]

∑13u=1[(fS1u − fZu)2]

)2Datos extraídos de [1], página 157.


Malla Tyler fAu fE1u fZu fS1u

+m8 0.1% 0.0 % 0.0% 0.0%-m8 +m10 0.4% 0.0 % 0.0% 0.3%-m10 +m14 1.0% 0.0 % 0.0% 0.2%-m14 +m20 1.2% 0.1 % 0.0% 0.2%-m20 +m28 1.6% 0.1 % 0.0% 0.3%-m28 +m35 2.2% 0.2 % 0.0% 0.6%-m35 +m48 2.9% 0.7 % 0.0% 1.2%-m48 +m65 4.7% 1.5 % 0.1% 2.1%-m65 +m100 8.1% 4.9 % 0.3% 5.7%-m100 +m150 9.3% 9.3 % 0.8% 9.9%-m150 +m200 12.8 % 24.6 % 2.6% 25.4 %-m200 +m325 14.1 % 32.0 % 13.8 % 33.5 %

-m325 41.6 % 26.6 % 82.4 % 20.6 %


u Malla Tyler fAu fE1u fZu fS1u

1 -m8 99.9 % 100.0 % 100.0 % 100.0 %2 -m10 99.5 % 100.0 % 100.0 % 99.7 %3 -m14 98.5 % 100.0 % 100.0 % 99.5 %4 -m20 97.3 % 99.9 % 100.0 % 99.3 %5 -m28 95.7 % 99.8 % 100.0 % 99.0 %6 -m35 93.5 % 99.6 % 100.0 % 98.4 %7 -m48 90.6 % 98.9 % 100.0 % 97.2 %8 -m65 85.9 % 97.4 % 99.9 % 95.1 %9 -m100 77.8 % 92.5 % 99.6 % 89.4 %10 -m150 68.5 % 83.2 % 98.8 % 79.5 %11 -m200 55.7 % 58.6 % 96.2 % 54.1 %12 -m325 41.6 % 26.6 % 82.4 % 20.6 %13 0.0% 0.0% 0.0 % 0.0%

Cuadro 4.26: Análisis Granulométricos a Corregir (Porcentajes Acumulados Pasantes)


A =(

0,482884 0,5420890,542089 0,610345

)

B =( ∑13

u=1[(fE1− fZ) · (fA− fZ)]∑13u=1[(fS1− fZ) · (fA− fZ)]

)

B =(

0,4475970,514465

)

X =(−α1β1

)= A

−1 ·B

X =(−6,58376,6904

)

α1 = 6,5837β1 = 6,6904

Nota 4.13 Según la Figura 4.3, si consideramos que no existe acumulación dematerial dentro del molino, el flujo del Alimento al Molino (Undeflow del Hidro-ciclón S1) debe de ser igual al flujo de la Descarga del Molino (fE1), es decirα1 = β1.

3. Hallar βZβZ = 1 + α1− β1

βZ = 0,8934


∆Mu = fAu + fE1u · α1− fZu · βZ − fS1u · β1

Los Errores para cada intervalo de tamaños son (ver tabla 4.27 en la página 66):


WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

WE1u =1

fE12u · (1− fE1u)2

WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WS1u =1

fS12u · (1− fS1u)2



u ∆Mu

1 -0.00102 0.01513 0.01854 0.01325 0.01076 0.01577 0.02098 0.01659 -0.003010 -0.038811 -0.063812 0.052913 0.0000


u WAu WE1u WZu WS1u

1 1002003.00 ∞ ∞ ∞2 40403.02 ∞ ∞ 111780.793 4580.84 ∞ ∞ 40403.024 1448.93 1002003.00 ∞ 20696.915 590.53 251003.01 ∞ 10203.046 270.74 63003.02 ∞ 4034.327 137.88 8449.33 ∞ 1350.058 68.17 1559.32 1002003.00 460.529 33.52 207.78 63003.02 111.3610 21.48 51.18 7114.16 37.6511 16.42 16.99 748.31 16.2212 16.94 26.23 47.55 37.3813 ∞ ∞ ∞ ∞

Cuadro 4.28: Factores de Ponderación para cada intervalo de tamaños



λu = −2 · ∆Mu

1WAu

+ α12

WE1u+ βZ

2

WZu+ β1

2

WS1u

(4.7)



∆fAu = −λu ·1

2 ·WAu= −λu ·

12· fA2

u · (1− fAu)2

∆fE1u = −λu ·α1

2 ·WE1u= −λu ·

α12· fE12

u · (1− fE1u)2

∆fZu = +λu ·βZ

2 ·WZu= +λu ·

βZ

2· fZ2

u · (1− fZu)2


2 ·WS1u= +λu ·

β12· fS12

u · (1− fS1u)2



fAu = fAu −∆fAu

fE1u = fE1u −∆fE1u

fZu = fZu −∆fZu


Los Analisis Granulométricos corregidos son (Porcentajes Acumulados Pasantes:ver tabla 4.31 en la página 69; Porcentajes en Peso: ver tabla 4.32 en la página69):


S =13∑

u=1

(∆fA2u) +

13∑u=1

(∆fE12u) +

13∑u=1

(∆fZ2u) +

13∑u=1

(∆fS12u)

S = 1,7791 · 10−4

Código del programa en Matlab para el cálculo: cinverso_mc.m

%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange:% Sistema:


u λu

1 2004.012 -70.893 -27.834 -9.155 -3.436 -2.037 -0.928 -0.249 0.0110 0.0411 0.0212 -0.0413 0.00


u ∆fAu ∆fE1u ∆fZu ∆fS1u

1 -0.0010 0.0000 0.0000 0.00002 0.0009 0.0000 0.0000 -0.00213 0.0030 0.0000 0.0000 -0.00234 0.0032 0.0000 0.0000 -0.00155 0.0029 0.0000 0.0000 -0.00116 0.0037 0.0001 0.0000 -0.00177 0.0033 0.0004 0.0000 -0.00238 0.0017 0.0005 -0.0000 -0.00179 -0.0001 -0.0001 0.0000 0.000310 -0.0009 -0.0024 0.0000 0.003311 -0.0007 -0.0046 0.0000 0.004912 0.0011 0.0045 -0.0003 -0.003213 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000



u fAu fE1u fZu fS1u

1 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %2 99.4123 % 100.0000 % 100.0000 % 99.9122 %3 98.1963 % 100.0000 % 100.0000 % 99.7304 %4 96.9843 % 99.8970 % 100.0000 % 99.4479 %5 95.4093 % 99.7955 % 100.0000 % 99.1126 %6 93.1251 % 99.5894 % 100.0000 % 98.5683 %7 90.2670 % 98.8642 % 100.0000 % 97.4275 %8 85.7262 % 97.3500 % 99.9000 % 95.2721 %9 77.8141 % 92.5150 % 99.6000 % 89.3716 %10 68.5868 % 83.4398 % 98.7998 % 79.1687 %11 55.7723 % 59.0604 % 96.1986 % 53.6099 %12 41.4932 % 26.1460 % 82.4340 % 20.9238 %13 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %


Malla Tyler fAu fE1u fZu fS1u

+m8 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m8 +m10 0.5877 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0878 %-m10 +m14 1.2160 % 0.0000 % 0.0000 % 0.1818 %-m14 +m20 1.2120 % 0.1030 % 0.0000 % 0.2825 %-m20 +m28 1.5750 % 0.1015 % 0.0000 % 0.3353 %-m28 +m35 2.2842 % 0.2061 % 0.0000 % 0.5442 %-m35 +m48 2.8581 % 0.7252 % 0.0000 % 1.1408 %-m48 +m65 4.5407 % 1.5142 % 0.1000 % 2.1554 %-m65 +m100 7.9121 % 4.8350 % 0.3000 % 5.9005 %-m100 +m150 9.2273 % 9.0752 % 0.8002 % 10.2029 %-m150 +m200 12.8145 % 24.3794 % 2.6012 % 25.5589 %-m200 +m325 14.2791 % 32.9144 % 13.7646 % 32.6861 %

-m325 41.4932 % 26.1460 % 82.4340 % 20.9238 %



% Circuito Inverso de Molienda Clasificacion%% cinverso_mc.m%% KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio% UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA% FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------

% Nota: Tomar al Hidrociclon como un Nodo.



% Alimento Fresco (Entrada Principal)%fA=[0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’;

% Producto de Molienda (Entrada Secundaria)%fE1=[0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’;

% Overflow del Hicrociclon (Salida Principal)%fZ=[0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’;

% Underflow del Hidrociclon (Salida Principal)%fS1=[0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’;

% Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon)% Nota: NO SE TOMA EN CUENTA PARA LA CORRECCION.%fA_HC=[0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’;

%Fracciones Acumuladas Pasantes:

% Alimento Fresco (Entrada Principal)fA=1-cumsum([0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’);

% Producto de Molienda (Entrada Secundaria)fE1=1-cumsum([0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’);

% Overflow del Hicrociclon (Salida Principal)fZ=1-cumsum([0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’);

% Underflow del Hidrociclon (Salida Principal)fS1=1-cumsum([0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’);


% Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon)% Nota: NO SE TOMA EN CUENTA PARA LA CORRECCION.fA_HC=1-cumsum([0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’);


A=[sum((fE1-fZ).^2) sum((fS1-fZ).*(fE1-fZ))sum((fE1-fZ).*(fS1-fZ)) sum((fS1-fZ).^2)];

B=[sum((fE1-fZ).*(fA-fZ))sum((fS1-fZ).*(fA-fZ))];

X=A\B

alpha_1=-X(1);beta_1=X(2);

% Paso 3: Hallar beta Zbeta_Z=1+alpha_1-beta_1

% Paso 4: Hallar los Errores para cada Intervalo de TamañosDM=fA+fE1*alpha_1-fZ*beta_Z-fS1*beta_1

% Paso 5: Hallar los Factores de Ponderacion para cada Intervalo de TamañosWA=1./(fA.*(1-fA)).^2;WE1=1./(fE1.*(1-fE1)).^2;WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2;WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2;

% Paso 6: Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada Intervalo de% Tamañoslambda=-2./(1./WA+alpha_1^2./WE1+beta_Z^2./WZ+beta_1^2./WS1).*DM

k=length(lambda);lambda(k)=0; % F(0)=0

% Paso 7: Hallar las correccionesDfA=-lambda.*(1./(2*WA))DfE1=-lambda.*(alpha_1./(2*WE1))DfZ=lambda.*(beta_Z./(2*WZ))DfS1=lambda.*(beta_1./(2*WS1))

% Paso 8: Corregir los Analisis GranulometricosfAc = fA - DfAfE1c = fE1 - DfE1fZc = fZ - DfZ


fS1c = fS1 - DfS1

% Paso 9: Hallar el error de la correccionS = sum(DfA.^2)+sum(DfE1.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)

% Calculo del alimento CompuestofA_HC_calc=(fAc+alpha_1*fE1c)/(1+alpha_1)% ErrorErrAC=fA_HC_calc-fA_HC

% Verificacion de la correccionDMc=fAc+fE1c*alpha_1-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1


4.5. Corrección de Análisis Granulométricos en un CircuitoInverso de Molienda Clasificación tomando Dos Nodos

1. Obtener los datos a corregir

Para este caso los análisis granulométricos a corregir son:

Ove

rflo

w(S

ólid

os

Fin

os)

Z, f

Zu

Underflow(Sólidos Gruesos)

S1, fSu

Descarga delMolino

E1, fE1 u

AlimentoA, fAu

Alimento CompuestoAC, fACu

1 2

Figura 4.4: Esquema del Circuito Inverso de Molienda Clasificación (Dos Nodos)

En este caso tomaremos dos nodos:Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentación Fresca al Circuito

y la Descarga del Molino (Carga Circulante)Nodo 2 : Hidrociclón

Alimentación Fresca al Circuito ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo 1Descarga del Molino ⇒ fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1

Alimentación Compuesta ⇒ fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/oEntrada Principal al Nodo 2

Overflow del Hidrociclón ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo 2Underflow del Hidrociclón ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2

2. Establecer las ecuaciones de Balance de Masa. (Ecuaciones de Flujo, AnálisisGranulométricos, Leyes, etc.)

A+ E1 = AC (4.8)AC = Z + S1 (4.9)

fAu ·A+ fE1u · E1 = fACu ·AC (4.10)fACu ·AC = fZu · Z + fS1u · S1 (4.11)

3. Normalizar las ecuaciones dividiendo por un flujo “A” (ej: Alimentación Fresca aun Circuito).


E1A

= α1

AC

A= φ

Z

A= βZ

S1A

= β1

1 + α1 = φ (4.12)φ = βZ + β1 (4.13)

fAu + fE1u · α1 = fACu · φ (4.14)fACu · φ = fZu · βZ + fS1u · β1 (4.15)

4. Establecer las ecuaciones de error debido a los Flujos Normalizados (∆Q)


Por la Figura 4.4 y asumiendo que no existe acumulación de material en el molinotomamos al flujo de ingreso del molino igual al flujo de salida del molino.

α1 = β1

Por lo tanto de las ecuaciones 4.12 y 4.13

βZ = 1

Se sabe también que el flujo φ es linealmente dependiente de α1 por lo tanto, lasecuaciones para cada nodo resultan:

Nodo 1:

∆Q1u = fAu + fE1u · α1− fACu · (1 + α1)∆Q1u = (fAu − fACu) + (fE1u − fACu) · α1

Nodo 2:

∆Q2u = fACu · (1 + α1)− (fZu + fS1u · α1)∆Q2u = (fACu − fZu) + (fACu − fS1u) · α1

Nota 4.15 Como se puede apreciar, las dos ecuaciones de error están en funciónde sólo una variable independiente (α1).


5. Definir una función ε la cual representa la suma de los errores al cuadrado (∑

∆Q2)

ε =∑

∆Q2

ε =k∑

u=1

(∆Q12

u + ∆Q22u

)

ε =k∑

u=1

[(fAu − fACu) + (fE1u − fACu) · α1]2 +

k∑u=1

[(fACu − fZu) + (fACu − fS1u) · α1]2

6. Derivar parcialmente la función ε por cada flujo Normalizado (Linealmente inde-pendientes) e igualar a cero.

Nota 4.16 En este paso se obtendrá una ecuación cuya solución dará los FlujosNormalizados Corregidos que hacen que la función ε tome un valor mínimo.

∂ε

∂α1

∣∣∣∣α1=α1

= 2 ·k∑

u=1

[(fAu − fACu) + (fE1u − fACu) · α1] · (fE1u − fACu)+

2 ·k∑

u=1

[(fACu − fZu) + (fACu − fS1u) · α1] · (fACu − fS1u) = 0

Reordenando obtenemos:

α1 = −∑k

u=1 [(fAu − fACu) · (fE1u − fACu) + (fACu − fZu) · (fACu − fS1u)]∑ku=1 [(fE1u − fACu)2 + (fACu − fS1u)2]

7. Calcular los errores ∆M debido a los Flujos Normalizados Corregidos. Reemplazarlos Flujos Normalizados corregidos hallados en el paso 6 y reemplazarlos en lasecuaciones establecidas en el paso 4.∑

∆M2 = min(ε) = min∑

∆Q2

∆M1u = (fAu − fACu) + (fE1u − fACu) · α1∆M2u = (fACu − fZu) + (fACu − fS1u) · α1


Los errores también pueden expresarse como:

∆M1u = fAu + fE1u · α1− fACu · φ∆M2u = fACu · φ− fZu · βZ − fS1u · β1

8. Definir las correcciones.


∆fAu = fAu − fAu

∆fEiu = fEiu − fEiu ; i = 1, 2, ...,m∆fACu = fACu − fACu

∆fZu = fZu − fZu

∆fSju = fSju − fSju ; j = 1, 2, ..., n

9. Reemplazar las ecuaciones del paso 8 en ∆M (Ecuaciones dadas en el paso 7)para obtener las ecuaciones de ∆M en función de las correcciones.

∆M1u = (∆fAu −∆fACu) + (∆fE1u −∆fACu) · α1∆M2u = (∆fACu −∆fZu) + (∆fACu −∆fS1u) · α1

Nota 4.17 Reordenando las Ecuaciones 4.14 y 4.15 obtenemos:

0 = (fAu − fACu) + (fE1u − fACu) · α10 = (fACu − fZu) + (fACu − fS1u) · α1

Los errores también pueden expresarse como:

∆M1u = ∆fAu + ∆fE1u · α1−∆fACu · φ∆M2u = ∆fACu · φ−∆fZu · βZ −∆fS1u · β1

10. Definir la Función Lagrangiana L(χ, λ) (Función Objetivo y Ecuaciones Restric-tivas).

L(χ, λ) = f(χ)−∑

[λi · gi(χ)]

La función objetivo f(χ) será la suma de los cuadrados de todas las correc-ciones.

Las ecuaciones restrictivas g(χ) deben de cumplir g(χ) = 0 y estarán dadaspor las ecuaciones de ∆M definidas en 9

λ : son los Multiplicadores de Lagrange


χ : son las Correcciones.

La función objetivo a minimizar es:

fu(χ) = ∆fA2

u + ∆fE12

u + ∆fAC2

u + ∆fZ2

u + ∆fS12

u

Donde:

∆fAu =∆fAu

fAu · (1− fAu); ∆fZu =

∆fZu

fZu · (1− fZu)

∆fE1u =∆fE1u

fE1u · (1− fE1u); ∆fS1u =

∆fS1u

fS1u · (1− fS1u)

∆fACu =∆fACu

fACu · (1− fACu)

La ecuación anterior puede tomar la siguiente forma:

fu(χ) = WAu·∆fA2u+WE1u·∆fE12

u+WACu·∆fAC2u+WZu·∆fZ2

u+WS1u·∆fS12u

Donde:

WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

; WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WE1u =1

fE12u · (1− fE1u)2

; WS1u =1

fS12u · (1− fS1u)2

WACu =1

fAC2u · (1− fACu)2

g1(χ) = ∆M1u −[(∆fAu −∆fACu) + (∆fE1u −∆fACu) · α1

]g2(χ) = ∆M2u −

[(∆fACu −∆fZu) + (∆fACu −∆fS1u) · α1

]Las ecuaciones restrictivas pueden expresarse también como:

g1(χ) = ∆M1u −[∆fAu + ∆fE1u · α1−∆fACu · φ

]g2(χ) = ∆M2u −

[∆fACu · φ−∆fZu · βZ −∆fS1u · β1

]11. Derivar parcialmente la función Lagrangiana (L(χ, λ)) por los Multiplicadores de

Lagrange y las Correcciones e igualar a cero.

∂L(χ, λ)∂λ1u

= ∆M1u −[(∆fAu −∆fACu) + (∆fE1u −∆fACu) · α1

]= 0

∂L(χ, λ)∂λ2u

= ∆M2u −[(∆fACu −∆fZu) + (∆fACu −∆fS1u) · α1

]= 0


∂L(χ, λ)∂∆fAu

= 2 ·WAu ·∆fAu + λ1u = 0

∂L(χ, λ)∂∆fE1u

= 2 ·WE1u ·∆fE1u + λ1u · α1 = 0

∂L(χ, λ)∂∆fACu

= 2 ·WACu ·∆fACu − λ1u · (1 + α1) + λ2u · (1 + α1) = 0

∂L(χ, λ)∂∆fZu

= 2 ·WZu ·∆fZu − λ2u = 0

∂L(χ, λ)∂∆fS1u

= 2 ·WS1u ·∆fS1u − λ2u · α1 = 0

∆fAu = −λ1u ·1

2 ·WAu

∆fE1u = λ1u ·α1

2 ·WE1u

∆fACu = (λ1u − λ2u) · (1 + α1)2 ·WACu

= (λ1u − λ2u) · φ

2 ·WACu

∆fZu = λ2u ·1

2 ·WZu= λ2u ·

βZ

2 ·WZu

∆fS1u = λ2u ·α1

2 ·WS1u= λ2u ·

β12 ·WS1u

12. De las relaciones del paso anterior obtener una ecuacion que que permita hallarlos Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆M

2 ·∆M1u = −λ1u ·

[1

WAu+

φ2

WACu+

α12

WE1u

]+ λ2u ·

φ2

WACu

2 ·∆M2u = +λ1u ·φ

2

WACu− λ2u ·

[βZ

2

WZu+

φ2

WACu+

β12

WS1u

]

1WAu

+ φ2

WACu+ α1

2

WE1u− φ

2

WACu

− φ2

WACu

βZ2

WZu+ φ

2

WACu+ β1

2

WS1u

· [ λ1u

λ2u

]= −2 ·

[∆M1u

∆M2u

]





4.5.1. Algoritmo


Se deberá de tener los Análisis Granulométricos de los siguientes flujos:Alimentación Fresca al Circuito ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo 1

Descarga del Molino ⇒ fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1Alimentación Compuesta ⇒ fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/o

Entrada Principal al Nodo 2Overflow del Hidrociclón ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo 2

Underflow del Hidrociclón ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2

Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentación Fresca al Circuitoy la Descarga del Molino (Carga Circulante)

Nodo 2 : Hidrociclón

2. Obtener el Flujo Normalizado α1

α1 = −∑k


β1 = α1βZ = 1φ = 1 + α1

3. Calcular los errores ∆M1u y ∆M2u debido a α1 para cada Intervalo de Tamaños



WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

; WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WE1u =1

fE12u · (1− fE1u)2

; WS1u =1

fS12u · (1− fS1u)2

WACu =1


5. Calcular los Multiplicadores de Lagrange λ1u y λ2u para cada Intervalo de Tamaños

1WAu

+ φ2

WACu+ α1

2

WE1u− φ

2

WACu

− φ2

WACu

βZ2

WZu+ φ

2

WACu+ β1

2

WS1u

· [ λ1u

λ2u

]= −2 ·

[∆M1u

∆M2u

]



∆fAu = −λ1u ·1

2 ·WAu

∆fE1u = λ1u ·α1

2 ·WE1u

∆fACu = (λ1u − λ2u) · φ

2 ·WACu

∆fZu = λ2u ·βZ

2 ·WZu

∆fS1u = λ2u ·β1

2 ·WS1u



fAu = fAu −∆fAu


fACu = fACu −∆fACu

fZu = fZu −∆fZu


4.5.2. Aplicación del Algoritmo


Se deberá de tener los Análisis Granulométricos de los siguientes flujos:Alimentación Fresca al Circuito ⇒ fA : Entrada Principal al Nodo 1

Descarga del Molino ⇒ fE1 : Entrada Secundaria al Nodo 1Alimentación Compuesta ⇒ fAC : Salida Principal del Nodo 1 y/o

Entrada Principal al Nodo 2Overflow del Hidrociclón ⇒ fZ : Salida Principal del Nodo 2

Underflow del Hidrociclón ⇒ fS1 : Salida Secundaria del Nodo 2

Nodo 1 : Punto en donde se unen la Alimentación Fresca al Circuitoy la Descarga del Molino (Carga Circulante)

Nodo 2 : HidrociclónLos Análisis Granulometricos a usar son los mismos que en la Sección 4.4 peroutilizando los Análisis Granulométricos de la Alimentación Compuesta 3 (ver tabla4.33 en la página 81):


Malla Tyler fAu fE1u fACu fZu fS1u

+m8 0.1% 0.0 % 0.0 % 0.0% 0.0%-m8 +m10 0.4% 0.0 % 0.0 % 0.0% 0.3%-m10 +m14 1.0% 0.0 % 0.0 % 0.0% 0.2%-m14 +m20 1.2% 0.1 % 0.4 % 0.0% 0.2%-m20 +m28 1.6% 0.1 % 0.3 % 0.0% 0.3%-m28 +m35 2.2% 0.2 % 0.3 % 0.0% 0.6%-m35 +m48 2.9% 0.7 % 0.9 % 0.0% 1.2%-m48 +m65 4.7% 1.5 % 1.7 % 0.1% 2.1%-m65 +m100 8.1% 4.9 % 4.7 % 0.3% 5.7%-m100 +m150 9.3% 9.3 % 8.9 % 0.8% 9.9%-m150 +m200 12.8 % 24.6 % 21.6 % 2.6% 25.4 %-m200 +m325 14.1 % 32.0 % 30.9 % 13.8 % 33.5 %

-m325 41.6 % 26.6 % 30.3 % 82.4 % 20.6 %


u Malla Tyler fAu fE1u fACu fZu fS1u

1 -m8 99.9 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 100.0 %2 -m10 99.5 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.7 %3 -m14 98.5 % 100.0 % 100.0 % 100.0 % 99.5 %4 -m20 97.3 % 99.9 % 99.6 % 100.0 % 99.3 %5 -m28 95.7 % 99.8 % 99.3 % 100.0 % 99.0 %6 -m35 93.5 % 99.6 % 99.0 % 100.0 % 98.4 %7 -m48 90.6 % 98.9 % 98.1 % 100.0 % 97.2 %8 -m65 85.9 % 97.4 % 96.4 % 99.9 % 95.1 %9 -m100 77.8 % 92.5 % 91.7 % 99.6 % 89.4 %10 -m150 68.5 % 83.2 % 82.8 % 98.8 % 79.5 %11 -m200 55.7 % 58.6 % 61.2 % 96.2 % 54.1 %12 -m325 41.6 % 26.6 % 30.3 % 82.4 % 20.6 %13 0 0.0% 0.0 % 0.0% 0.0% 0.0%



Como se vió en la sección 4.2, se deberá de corregir con las Fracciones Acumuladas(ver tabla 4.34 en la página 81)

2. Obtener el Flujo Normalizado α1

α1 = −∑k


α1 = 4,7891

β1 = α1 = 4,7891βZ = 1φ = 1 + α1 = 5,7891

3. Calcular los errores ∆M1u y ∆M2u debido a α1 para cada Intervalo de Tamaños


Por ejemplo, para el primer intervalo de tamaños:

∆M11 = 0,9990 + 1,0000 · 4,7891− 1,0000 · 5,7891 = −0,0010∆M21 = 1,0000 · 5,7891− 1,0000 · 1− 1,0000 · 4,7891 = 0,0000

Los errores obtenidos son (ver tabla 4.35 en la página 83):


WAu =1

fA2u · (1− fAu)2

; WZu =1

fZ2u · (1− fZu)2

WE1u =1

fE12u · (1− fE1u)2

; WS1u =1

fS12u · (1− fS1u)2

WACu =1


Los Factores de Ponderación obtenidos son (ver tabla 4.36 en la página 83):3Datos extraídos de [1], página 157.


u ∆M1u ∆M2u

1 -0.0010 0.00002 -0.0050 0.01443 -0.0150 0.02394 -0.0086 0.01045 -0.0121 0.00746 -0.0263 0.01877 -0.0367 0.02418 -0.0571 0.02739 -0.1007 0.031110 -0.1238 -0.002011 -0.1795 -0.010012 -0.0642 -0.056513 0.0000 0.0000


u WAu WE1u WACu WZu WS1u

1 1002003.00 ∞ ∞ ∞ ∞2 40403.02 ∞ ∞ ∞ 111780.793 4580.84 ∞ ∞ ∞ 40403.024 1448.93 1002003.00 63003.02 ∞ 20696.915 590.53 251003.01 20696.91 ∞ 10203.046 270.74 63003.02 10203.04 ∞ 4034.327 137.88 8449.33 2878.42 ∞ 1350.058 68.17 1559.32 830.31 1002003.00 460.529 33.52 207.78 172.63 63003.02 111.3610 21.48 51.18 49.30 7114.16 37.6511 16.42 16.99 17.74 748.31 16.2212 16.94 26.23 22.42 47.55 37.3813 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

Cuadro 4.36: Factores de Ponderación


5. Calcular los Multiplicadores de Lagrange λ1u y λ2u para cada Intervalo de Tamaños

1WAu

+ φ2

WACu+ α1

2

WE1u− φ

2

WACu

− φ2

WACu

βZ2

WZu+ φ

2

WACu+ β1

2

WS1u

· [ λ1u

λ2u

]= −2 ·

[∆M1u

∆M2u

]

Para el primer intervalo de tamaños obtenemos:

[1

1002003,00 + 5,78912

∞ + 4,78912

∞ −5,78912

∞−5,78912

∞12

∞ + 5,78912

∞ + 4,78912

∞

]·[λ1u

λ2u

]= −2·

[−0,00100,0000

]Resolviendo obtenemos:

λ11 = 2004,01λ21 = 0,00

Los Multiplicadores de Lagrange obtenidos son (ver tabla 4.37 en la página 85):


∆fAu = −λ1u ·12

∆fE1u = −λ1u ·α12

∆fACu = (λ1u − λ2u) · (1 + α1)2

∆fZu = λ2u ·12

∆fS1u = λ2u ·α12

Las correcciones obtenidas son (ver tabla 4.38 en la página 85):


fAu = fAu −∆fAu


fACu = fACu −∆fACu

fZu = fZu −∆fZu


Los Análisis Granulométricos Corregidos son (ver tabla 4.39 en la página 87):


u λ1u λ2u

1 2004.01 0.002 404.03 -140.043 137.43 -84.364 9.83 -9.455 6.58 -1.056 6.32 -1.867 3.19 -0.398 1.74 0.179 0.71 0.1910 0.31 0.1611 0.17 0.1012 0.15 0.1613 0.00 0.00


u ∆fAu ∆fE1u ∆fACu ∆fZu ∆fS1u

1 -0.0010 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 -0.0050 0.0000 0.0000 0.0000 -0.00303 -0.0150 0.0000 0.0000 0.0000 -0.00504 -0.0034 -0.0000 0.0009 0.0000 -0.00115 -0.0056 -0.0001 0.0011 0.0000 -0.00026 -0.0117 -0.0002 0.0023 0.0000 -0.00117 -0.0116 -0.0009 0.0036 0.0000 -0.00078 -0.0127 -0.0027 0.0055 0.0000 0.00099 -0.0106 -0.0082 0.0088 0.0000 0.004110 -0.0071 -0.0143 0.0083 0.0000 0.010511 -0.0051 -0.0235 0.0107 0.0001 0.015012 -0.0044 -0.0137 -0.0011 0.0017 0.010213 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000




S =13∑

u=1

(∆fA2u) +

13∑u=1

(∆fE12u) +

13∑u=1

(∆fAC2u) +

13∑u=1

(∆fZ2u) +

13∑u=1

(∆fS12u)

S = 0,00276315151037

Los análisis granulométricos corregidos expresados en Porcentajes en peso son (vertabla 4.40 en la página 87):

El error de la corrección usando las fracciones en peso resulta:

S = 0,00117523516467

Código del programa en Matlab para el cálculo: cinverso_mc_total.m

%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------% Correccion de Analisis Granulometricos por Multiplicadores de Lagrange:% Sistema:% Circuito Inverso de Molienda Clasificacion%% cinverso_mc_total%% KOBASHICAWA CHINEN, Juan Antonio% UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA% FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA, MINERA Y METALURGICA%--------------------------------------------------------------------------%--------------------------------------------------------------------------

% Nota: Tomar al Hidrociclon como un Nodo.



% Alimento Fresco (Entrada Principal)%fA=[0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’;

% Producto de Molienda (Entrada Secundaria)%fE1=[0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’;

% Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon)%fAC=[0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’;


u fAu fE1u fACu fZu fS1u

1 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %2 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %3 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 % 100.0000 %4 97.6392 % 99.9023 % 99.5114 % 100.0000 % 99.4094 %5 96.2572 % 99.8063 % 99.1932 % 100.0000 % 99.0248 %6 94.6674 % 99.6240 % 98.7678 % 100.0000 % 98.5105 %7 91.7555 % 98.9903 % 97.7406 % 100.0000 % 97.2688 %8 87.1749 % 97.6669 % 95.8545 % 99.9000 % 95.0098 %9 78.8629 % 93.3213 % 90.8238 % 99.5998 % 88.9913 %10 69.2126 % 84.6320 % 81.9684 % 98.7988 % 78.4541 %11 56.2080 % 60.9516 % 60.1322 % 96.1932 % 52.6023 %12 42.0445 % 27.9747 % 30.4051 % 82.2331 % 19.5830 %13 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %


Malla Tyler fAu fE1u fACu fZu fS1u

+m8 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m8 +m10 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m10 +m14 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 % 0.0000 %-m14 +m20 2.3608 % 0.0977 % 0.4886 % 0.0000 % 0.5906 %-m20 +m28 1.3820 % 0.0961 % 0.3182 % 0.0000 % 0.3846 %-m28 +m35 1.5898 % 0.1823 % 0.4254 % 0.0000 % 0.5142 %-m35 +m48 2.9119 % 0.6337 % 1.0273 % 0.0000 % 1.2418 %-m48 +m65 4.5806 % 1.3234 % 1.8860 % 0.1000 % 2.2590 %-m65 +m100 8.3120 % 4.3456 % 5.0308 % 0.3001 % 6.0186 %-m100 +m150 9.6504 % 8.6893 % 8.8553 % 0.8010 % 10.5372 %-m150 +m200 13.0046 % 23.6804 % 21.8363 % 2.6056 % 25.8518 %-m200 +m325 14.1635 % 32.9769 % 29.7271 % 13.9602 % 33.0193 %

-m325 42.0445 % 27.9747 % 30.4051 % 82.2331 % 19.5830 %

Cuadro 4.40: Análisis Granulométricos Corregidos - Porcentaje en Peso


% Overflow del Hicrociclon (Salida Principal)%fZ=[0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’;

% Underflow del Hidrociclon (Salida Principal)%fS1=[0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’;

%Fracciones Acumuladas Pasantes:

% Alimento Fresco (Entrada Principal)fA=1-cumsum([0.1 0.4 1.0 1.2 1.6 2.2 2.9 4.7 8.1 9.3 12.8 14.1 41.6]/100.’);

% Producto de Molienda (Entrada Secundaria)fE1=1-cumsum([0 0 0 0.1 0.1 0.2 0.7 1.5 4.9 9.3 24.6 32.0 26.6]/100.’);

% Alimentacion Compuesta (Alimento al Hidrociclon)fAC=1-cumsum([0 0 0 0.4 0.3 0.3 0.9 1.7 4.7 8.9 21.6 30.9 30.3]/100.’);

% Overflow del Hicrociclon (Salida Principal)fZ=1-cumsum([0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 2.6 13.8 82.4]/100.’);

% Underflow del Hidrociclon (Salida Principal)fS1=1-cumsum([0 0.3 0.2 0.2 0.3 0.6 1.2 2.1 5.7 9.9 25.4 33.5 20.6]/100.’);

k=length(fA);

% Paso 2: Obtener el Flujo Normalizado alpha_1

alpha_1=-sum((fA-fAC).*(fE1-fAC)+(fAC-fZ).*(fAC-fS1))/...(sum((fE1-fAC).^2+(fAC-fS1).^2));

beta_1=alpha_1;beta_Z=1;phi=1+alpha_1

% Paso 3: Calculo de los errores DM1 y DM2

%DM1=(fA-fAC)+(fE1-fAC)*alpha_1;DM1=fA+fE1*alpha_1-fAC*phi;

%DM2=(fAC-fZ)+(fAC-fS1)*alpha_1;DM2=fAC*phi-fZ*beta_Z-fS1*beta_1;

% Paso 4: Hallar los Factores de Ponderacion para cada Intervalo de TamañosWA=1./(fA.*(1-fA)).^2;WE1=1./(fE1.*(1-fE1)).^2;


WAC=1./(fAC.*(1-fAC)).^2;WZ=1./(fZ.*(1-fZ)).^2;WS1=1./(fS1.*(1-fS1)).^2;

% Paso 4: Calcular los Multiplicadores de Lagrange%a11=1./WA+(1+alpha_1)^2./WAC+alpha_1^2./WE1a11=1./WA+phi^2./WAC+alpha_1^2./WE1%a12=-(1+alpha_1)^2./WACa12=-phi^2./WACa21=a12;a22=beta_Z^2./WZ+phi^2./WAC+beta_1^2./WS1

for u=1:kA=[a11(u) a12(u)

a21(u) a22(u)];B=-2*[DM1(u)

DM2(u)];X=A\B;

lambda1(u)=X(1);lambda2(u)=X(2);

end

lambda2(1)=0;lambda1(k)=0;lambda2(k)=0;% El error DM2 en el primer intervalo es 0, al igual que los errores (DM1 y% DM2) en el intervalo mas fino, por lo tanto no necesitan de correccion.

% Paso 5: Hallar las CorreccionesDfA=-lambda1.*(1./(2*WA))DfE1=-lambda1.*(alpha_1./(2*WE1))%DfAC=(lambda1-lambda2).*((1+alpha_1)./(2*WAC))DfAC=(lambda1-lambda2).*(phi./(2*WAC))%DfZ=lambda2.*(1./(2*WZ))DfZ=lambda2.*(beta_Z./(2*WZ))%DfS1=lambda2.*(alpha_1./(2*WS1))DfS1=lambda2.*(beta_1./(2*WS1))

% Paso 6: Corregir los Analisis GranulometricosfAc = fA - DfAfE1c = fE1 - DfE1fACc = fAC - DfACfZc = fZ - DfZfS1c = fS1 - DfS1


% Paso 8: Hallar el error de la correccionS = sum(DfA.^2)+sum(DfE1.^2)+sum(DfAC.^2)+sum(DfZ.^2)+sum(DfS1.^2)

% Verificacion de la correccion

%DM1=(fA-fAC)+(fE1-fAC)*alpha_1;DM1c=fAc+fE1c*alpha_1-fACc*phi

%DM2=(fAC-fZ)+(fAC-fS1)*alpha_1;DM2c=fACc*phi-fZc*beta_Z-fS1c*beta_1


4.6. Corrección de Análisis Químicos en un Circuito deFlotación Plomo-Cobre-Zinc

(En Desarrollo) El diagrama de flujo propuesto es:

FlotaciónPb - Cu

Flotación Zn

Flotacion Cu

Alim

ento

(A -

LA

)

Co

ncen

tra

doP

b -

Cu

(F1

- L

1)

Co

ncen

tra

do

Cu

(F3

- L

3)

ConcentradoPb

(F4 - L4)

RelavePb - Cu(F2 - L2)

Con

cent

rad

oZ

n(F

5 -

L5

)

RelaveCircuito(F6 - L6)

Figura 4.5: Diagrama de Flujo del Circuito de Flotación Pb-Cu-Zn

Se observa que el flujo “A” es alimentado al banco de celdas de Flotación Pb-Cu(Nodo 1), de las cuales se obtiene un concentrado de Pb-Cu (Flujo F1 con ley L1) y unrelave (Flujo F2 con ley L2).

El Flujo F1 posteriormente alimenta a un banco de Celdas en donde se obtiene unConcentrado de Cobre (Flujo F3 con ley L3) y un Concentrado de Plomo (Flujo F4 conley L4).

El Flujo F2 alimenta a un banco de Celdas en donde se obtiene un concentrado deZinc (Flujo F5 con ley L5) y el Relave del Circuito (Flujo F6 con ley L6)


4.6.1. Desarrollo del Algoritmo

Ecuaciones de Balance de Masa

Ecuaciones de Flujo

A = F1 + F2 (4.16)F1 = F3 + F4 (4.17)F2 = F5 + F6 (4.18)

A = F3 + F4 + F5 + F6 (4.19)

Ecuaciones de Leyes

LAA = L1F1 + L2F2 (4.20)L1F1 = L3F3 + L4F4 (4.21)L2F2 = L5F5 + L6F6 (4.22)

LAA = L3F3 + L4F4 + L5F5 + L6F6 (4.23)

Ecuaciones Normalizadas

Para normalizar las ecuaciones 4.16 al 4.23 se dividirán entre el flujo A obteniendose:

1 = φ1 + φ2 (4.24)φ1 = φ3 + φ4 (4.25)φ2 = φ5 + φ6 (4.26)

1 = φ3 + φ4 + φ5 + φ6 (4.27)

LA = L1φ1 + L2φ2 (4.28)L1φ1 = L3φ3 + L4φ4 (4.29)L2φ2 = L5φ5 + L6φ6 (4.30)

LA = L3φ3 + L4φ4 + L5φ5 + L6φ6 (4.31)

Errores debido a los Flujos Normalizados

Se establecen los errores de las leyes debido a los flujos normalizados (4.28 al 4.30).

∆Q = LA − (L1φ1 + L2φ2) (4.32)∆Q1 = L1φ1 − (L3φ3 + L4φ4) (4.33)∆Q2 = L2φ2 − (L5φ5 + L6φ6) (4.34)

El siguiente paso es establecer las ecuaciones anteriores en terminos independientesque para el presente trabajo se tomarán como φ1, φ3 y φ5.


Las ecuaciones 4.32 ~ 4.34 se representarán como:

∆Q = (LA − L2)− (L1 − L2)φ1 (4.35)∆Q1 = (L1 − L4)φ1 − (L3 − L4)φ3 (4.36)∆Q2 = (L2 − L6)− (L2 − L6)φ1 − (L5 − L6)φ5 (4.37)

Cálculo de los Caudales Reducidos

Para obtener los caudales reducidos que den un valor mínimo de ∆Q las ecuaciones4.35 - 4.37 se derivarán e igualarán a cero las sumatorias de dichas ecuaciones elevadasal cuadrado; es decir:

k∑i=1

∆Q2 =k∑

i=1

[(LA − L2)− (L1 − L2)φ1]2 (4.38)

k∑i=1

∆Q21 =

k∑i=1

[(L1 − L4)φ1 − (L3 − L4)φ3]2 (4.39)

k∑i=1

∆Q22 =

k∑i=1

[(L2 − L6)− (L2 − L6)φ1 − (L5 − L6)φ5]2 (4.40)

Cambio de VariablesHacemos un cambio de variables segun:

Ω1 = LA − L2 ; Ω2 = L1 − L2

Ω3 = L1 − L4 ; Ω4 = L3 − L4

Ω5 = L2 − L6 ; Ω6 = L5 − L6

Con lo cual las ecuaciones 4.38 - 4.40 resultan:

k∑i=1

∆Q2 =k∑

i=1

[Ω1 − Ω2φ1]2 (4.41)

k∑i=1

∆Q21 =

k∑i=1

[Ω3φ1 − Ω4φ3]2 (4.42)

k∑i=1

∆Q22 =

k∑i=1

[Ω5 − Ω5φ1 − Ω6φ5]2 (4.43)

Función a derivar Establecemos como función a derivar a:

f(φi) =k∑

i=1

∆Q2 +k∑

i=1

∆Q21 +

k∑i=1

∆Q22 (4.44)


Derivamos parcialmente con respecto a φ1:

∂f(φi)∂φ1

= 0 = 2k∑

i=1

(Ω1 − Ω2φ1)·(−Ω2)+2k∑

i=1

(Ω3φ1 − Ω4φ3)·Ω3+2·k∑

i=1

(Ω5 − Ω5φ1 − Ω6φ5)·(−Ω5)

(4.45)Simplificando obtenemos:

0 = φ1

(k∑

i=1

Ω22 +

k∑i=1

Ω23 +

k∑i=1

Ω25

)−φ3

k∑i=1

Ω3 ·Ω4 +φ5

k∑i=1

Ω5 ·Ω6−k∑

i=1

Ω1 ·Ω2−k∑

i=1

Ω25

(4.46)Derivamos parcialmente con respecto a φ3:

∂f(φi)∂φ3

= 0 = 2k∑

i=1

(Ω3φ1 − Ω4φ3) · (−Ω4) (4.47)

Simplificando obtenemos:

0 = −φ1

k∑i=1

(Ω3Ω4) + φ3

k∑i=1

(Ω2

4

)(4.48)

Derivamos parcialmente con respecto a φ5:

∂f(φi)∂φ5

= 0 = 2k∑

i=1

(Ω5 − Ω5φ1 − Ω6φ5) · (−Ω6) (4.49)

Simplificando obtenemos:

0 = −k∑

i=1

(Ω5Ω6) + φ1

k∑i=1

(Ω5Ω6) + φ5

k∑i=1

(Ω2

6

)(4.50)

Establecimiento de la Ecuación MatricialReordenando las ecuaciones 4.46, 4.48 y 4.50 obtenemos la siguiente ecuación ma-

tricial

(∑Ω22 +

∑Ω2

3 +∑

Ω25

)−∑

(Ω3Ω4) +∑

(Ω5Ω6)−∑

(Ω3Ω4)∑(

Ω24

)0

+∑

(Ω5Ω6) 0∑(

Ω26

)· φ1

φ3

φ5

=

∑ (Ω1Ω2) +∑(

Ω25

)0∑

(Ω5Ω6)

(4.51)

Como se puede observar la matriz cuadrada es simétrica.Calculados los valores de φ1, φ3 y φ5 se procede a calcular φ2, φ4 y φ6 por las

ecuaciones 4.24, 4.25 y 4.26


Cálculo de los Errores

El siguiente paso es calcular los errores ∆Mi

∆M = LA − (L1φ1 + L2φ2) (4.52)∆M1 = L1φ1 − (L3φ3 + L4φ4) (4.53)∆M2 = L2φ2 − (L5φ5 + L6φ6) (4.54)

Cálculo de los Multiplicadores de Lagrange

Establecimiento de las correcciones de las leyes

∆LA = LA − LAc

∆L1 = L1 − L1c

∆L2 = L2 − L2c

∆L3 = L3 − L3c

∆L4 = L4 − L4c

∆L5 = L5 − L5c

∆L6 = L6 − L6c

Si reemplazamos las correcciones en las ecuaciones 4.52, 4.53 y 4.54 obtenemos.

∆M = (∆LA + LAc)− [(∆L1 + L1c)φ1 + (∆L2 + L2c)φ2] (4.55)∆M1 = (∆L1 + L1c)φ1 − [(∆L3 + L3c)φ3 + (∆L4 + L4c)φ4] (4.56)∆M2 = (∆L2 + L2c)φ2 − [(∆L5 + L5c)φ5 + (∆L6 + L6c)φ6] (4.57)

Pero se sabe que las leyes corregidas deben de cumplir:

0 = LAc − (L1cφ1 + L2cφ2) (4.58)0 = L1cφ1 − (L3cφ3 + L4cφ4) (4.59)0 = L2cφ2 − (L5cφ5 + L6cφ6) (4.60)

Errores en función de las correccionesSi reemplazamos las ecuaciones 4.58, 4.59 y 4.60 en las ecuaciones 4.55, 4.56 y 4.57

obtendremos:

∆M = ∆LA − (∆L1φ1 + ∆L2φ2) (4.61)∆M1 = ∆L1φ1 − (∆L3φ3 + ∆L4φ4) (4.62)∆M2 = ∆L2φ2 − (∆L5φ5 + ∆L6φ6) (4.63)

Método Lagrangiano


La funcion lagrangiana tiene la siguiente forma:

L(χ, λ) = f(χ)− [λ g(χ) + λ1 g1(χ) + λ2 g2(χ)] (4.64)

Donde:

λ, λ1 y λ2 son los Multiplicadores de Lagrange.χ son las correcciones.

g(χ) = ∆M −∆LA + (∆L1φ1 + ∆L2φ2) (4.65)g1(χ) = ∆M1 −∆L1φ1 + (∆L3φ3 + ∆L4φ4) (4.66)g2(χ) = ∆M2 −∆L2φ2 + (∆L5φ5 + ∆L6φ6) (4.67)

Función Objetivo

La función objetivo f(χ) se define como

f(χ) = ∆L2A + ∆L2

1 + ∆L22 + ∆L2

3 + ∆L24 + ∆L2

5 + ∆L26 (4.68)

Derivamos parcialmente respecto a los multiplicadores de Lagrange y las correc-ciones:

Derivación parcial respecto a los Multiplicadores de Lagrange

∂L(χ, λ)∂λ1

= 0 = ∆M −∆LA + (∆L1φ1 + ∆L2φ2) (4.69)

∂L(χ, λ)∂λ2

= 0 = ∆M1 −∆L1φ1 + (∆L3φ3 + ∆L4φ4) (4.70)

∂L(χ, λ)∂λ3

= 0 = ∆M2 −∆L2φ2 + (∆L5φ5 + ∆L6φ6) (4.71)

Derivación parcial respecto a las Correcciones

∂L(χ, λ)∂∆LA

= 0 = 2∆LA + λ

∆LA =−λ2

(4.72)

∂L(χ, λ)∂∆L1

= 0 = 2∆L1 − λφ1 + λ1φ1

∆L1 =(λ− λ1)φ1

2(4.73)


∂L(χ, λ)∂∆L2

= 0 = 2∆L2 − λφ2 + λ2φ2

∆L2 =(λ− λ2)φ2

2(4.74)

∂L(χ, λ)∂∆L3

= 0 = 2∆L3 − λ1φ3

∆L3 =λ1φ3

2(4.75)

∂L(χ, λ)∂∆L4

= 0 = 2∆L4 − λ1φ4

∆L4 =λ1φ4

2(4.76)

∂L(χ, λ)∂∆L5

= 0 = 2∆L5 − λ2φ5

∆L5 =λ2φ5

2(4.77)

∂L(χ, λ)∂∆L6

= 0 = 2∆L6 − λ2φ6

∆L6 =λ2φ6

2(4.78)

Si reemplazamos las correcciones 4.72, 4.73, . . . , 4.78 en las ecuaciones 4.69, 4.70 y4.71 obtendremos:

0 = ∆M +λ

2+

(λ− λ1)φ21

2+

(λ− λ2)φ22

2(4.79)

0 = ∆M1 −(λ− λ1)φ2

1

2+λ1φ

23

2+λ1φ

24

2(4.80)

0 = ∆M2 −(λ− λ2)φ2

2

2+λ2φ

25

2+λ2φ

26

2(4.81)

Cálculo de los Multiplicadores de Lagrange

Las ecuaciones 4.79, 4.80 y 4.81 puede expresarse como una ecuación matricial, lacual es:

(1 + φ21 + φ2

2

)−φ2

1 −φ22

−φ21

(φ2

1 + φ23 + φ2

4

)0

−φ22 0

(φ2

2 + φ25 + φ2

6

) · λλ1

λ2

= −2

∆M∆M1

∆M2

(4.82)

Como se puede observar la matriz cuadrada es simétrica.Una vez calculados los multiplicadores de Lagrange, se hallan las correcciones de las

leyes mediante las ecuaciones: 4.72, 4.73, . . . , 4.78 y Luego se corrigen las leyes.


4.6.2. Algoritmo

1. Obtener las leyes Li del circuito en mención.

2. Establecer las variables Ω:

Ω1 = LA − L2 ; Ω2 = L1 − L2

Ω3 = L1 − L4 ; Ω4 = L3 − L4

Ω5 = L2 − L6 ; Ω6 = L5 − L6

3. Calcular los flujos normalizados φi: (∑Ω22 +

∑Ω2

3 +∑

Ω25

)−∑

(Ω3Ω4) +∑

(Ω5Ω6)−∑

(Ω3Ω4)∑(

Ω24

)0

+∑

(Ω5Ω6) 0∑(

Ω26

)· φ1

φ3

φ5

=

∑ (Ω1Ω2) +∑(

Ω25

)0∑

(Ω5Ω6)

φ2 = 1− φ1

φ4 = φ1 − φ3

φ6 = φ2 − φ5 = 1− φ1 − φ5

4. Calcular los Errores ∆Mi:

∆M = LA − (L1φ1 + L2φ2)∆M1 = L1φ1 − (L3φ3 + L4φ4)∆M2 = L2φ2 − (L5φ5 + L6φ6)

5. Calcular los Multiplicadores de Lagrange λi: (1 + φ21 + φ2

2

)−φ2

1 −φ22

−φ21

(φ2

1 + φ23 + φ2

4

)0

−φ22 0

(φ2

2 + φ25 + φ2

6

) · λλ1

λ2

= −2

∆M∆M1

∆M2

6. Calcular las Correcciones:

∆LA =−λ2

∆L1 =(λ− λ1)φ1

2

∆L2 =(λ− λ2)φ2

2

∆L3 =λ1φ3

2

∆L4 =λ1φ4

2

∆L5 =λ2φ5

2

∆L6 =λ2φ6

2


7. Corregir las leyes:

LAc = LA −∆LA

L1c = L1 −∆L1

L2c = L2 −∆L2

L3c = L3 −∆L3

L4c = L4 −∆L4

L5c = L5 −∆L5

L6c = L6 −∆L6

Capítulo 5

Corrección de Análisis Químico enun Nodo - Método General

(En Desarrollo)

100

Capítulo 6

Aplicaciones

(En Desarrollo)

101

Bibliografía

[1] A. J. Lynch: Circuitos de Trituración y Molienda de Minerales

Editorial Rocas y Minerales, Primera Edición, 1980.

[2] H. A. Taha: Investigación de Operaciones

Sexta Edición.

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Chemical Engineering, Junio 1983.

[4] I. Quiroz N.: Ingeniería Metalúrgica - Operaciones Unitarias en Proce-samiento de Minerales

1986.

[5] J.A. Kobashicawa Ch.: Tesis: Eficiencia del Clasificador Stokes

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[6] C. Veliz: Regresión con Datos Categóricos

Sociedad Matemática Peruana, Segunda Edición, 18o Coloquio, 3 - 7 de Julio del2000.

[7] F. A. Ayres H., M. T. Torres P.: Balances Metalúrgicos - Aplicación deMultiplicadores de Lagrange

Ferayhi Ingeniería y Computación E.I.R.L.

102

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