Método de Lagrange

MÉTODO DE LAGRANGE

EVALUACIÓN DEL TERCER PARCIAL

Aplicación del método de Lagrange

en la Ingeniería Petrolera con

PRESENTAN:

David Guadalupe Hernández Arteaga

Alexia Zurita Lugo

Omar Alejandro Arguello Balboa

Responsable:

M.C. Luis G. Fernández G.

ING. PETROLERA INSTITUTO DE CIENCIAS Y ESTUDIOS SUPERIORES DE TAMAULIPAS A.C.

INTRODUCCIÓN.

MÉTODO DE LAGRANGEEn los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.


http://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

APLICACIÓN.

En el pozo #5 “la jaiba” del día 1 al día 27 de octubre se obtuvo la siguiente producción de barriles por día:

Día 1 8 13 17 18 23 27

Bbls/día 215 260 310 315 318 345 368

Como podemos observar en la tabla solo mostramos la producción de barriles que tuvieron los días 1, 8, 13, 17, 18, 23, 27 de octubre, para demostrar el uso de la ecuación de Lagrange se tomara como el valor de X (la incógnita o el valor por buscar) el día 10 de octubre para saber aproximadamente la producción de barriles que se tuvo ese día, el cual al termino de la interpolación el resultado obtenido se tomara como el valor de Y.


Una ves planteado el problema lo primero que tenemos que hacer es:

• Obtener la longitud del vector X, es decir tomar un valor que no este en la tabla en este caso

queremos saber cuantos barriles por día tuvo el día 10.

Día 1 8 10 13 17 18 23 27

Bbls/día 215 260 ? 310 315 318 345 368

• Calcular los n factores de lagrange, aplicaremos la formula de lagrange para despejar el valor de X por cada valor que hay en las X de nuestra tabla. El valor n significa la cantidad infinita de veces que se repite el procedimiento dependiendo del número de valores de X & Y.

• Validar la longitud igual, hay que recordar que en nuestra tabla los valores que tenga X deben ser los mismo que tenga Y (X son los días & Y son los Bbls por día), es decir que en nuestra tabla los valores de X son de 7 y por consiguiente los valores que hay en Y son 7.


• Cada factor es el producto de (x-xj)/(xi-xj).

Para darle la función anterior a nuestro programa, nos iremos a Matlab y crearemos un archivo .m en donde le daremos la función a nuestro polinomio, para esto de debe iniciar marcando el comando function y darle un valor o nombre de lo que será nuestro polinomio, una ves dándole el termino a nuestro polinomio, se marcara que función o rango tomara el software a lo que queremos que realice (en este caso serian los valores de las tablas los cuales le asignamos el nombre de xs & ys & la incógnita como x).


Para esto usaremos el comando if el cual ejecutara un comando condicionante, es decir daremos una serie de reglas o funciones que las tomara si solo se cumple con lo que se esta especificando, en este caso daremos el termino que xs & ys deben tener la misma cantidad de valores para ambos casos.El comando for es para indicar que vamos a seguir dándole mas funciones a las que ya le asignamos al comando if. Y por ultimo ya que se tengan planteadas las funciones que tendrá nuestro archivo .m es necesario finiquitar o terminar la función con el comando end en cada comando o función que se planteo (es necesario que se encuentre en la misma posición que esta la función, para indicarle que esa es la que queremos finalizar).


Una ves tengamos definidos los valores que tendrá nuestro script, le daremos la función a la formula (x-xj)/(xi-xj), donde le marcaremos al programa que el producto que se obtenga de la interpolación yi (el resultado del problema) debe obtenerse de los valores de xs, ys & xi, el formato strcat es para indicar que se va a añadir una cadena a otra, es decir, de la formula (x-xj)/(xi-xj) se va a marcar cada termino para que el programa los reconozca y al final sume los términos y convierta el producto de cada termino. Para eso, a cada termino de la formula se le agrega el formato de num2str para indicarle que el termino que se marca lo convierta en los valores asignados a xs & ys. Al final de la interpolación daremos que el resultado que se obtenga del polinomio ‘pol’ se lo sume ‘+’ para obtener un valor único que es el que se esta buscando ‘yi’.


Al ya tener definido nuestro archivo .m procederemos a la opción que nos da Matlab para crear nuestro archivo .fig con la opción GUI. Al ejecutarlo tendremos que crear cuadros de texto y asignarles los nombres se implementaron en el primer archivo .m que se realizo es decir los valores de xs, ys, xi, yi & pol, etc. (los nombres es para identificar el cuadro de texto y poner los valores que tiene que ejecutar nuestro programa). Al ya tener los nombres asignados a cada cuadro de texto lo que sigue es poner una función a un PUSH BUTTON.


En el archivo .m de el archivo .fig le daremos la función al PUSH BUTTON asignándole un nombre con el cual el archivo lo ubicara, en este caso utilizamos el nombre de ‘calcular’, para comenzar se creara una cadena con el formato str2num para la sumatoria de los valores de xs, ys & xi, para que realice esta variable sin tener un contacto directo con la función en si, se le agregara el formato handles (para los valores de xs, ys, xi, yi & el polinomio), el string se agrega entre comillas para indicar el seguimiento de la cadena. El formato length es para marcar el valor que se le asigno anteriormente a xs, el cual marcara el valor mínimo y máximo de la incógnita x esto se hace para que el programa sepa que valor tomar para comenzar con la interpolación (indicando que el valor mínimo del polinomio & yi sea 0). Y por ultimo el plot es para indicar la grafica tomando los valores de xs, ys, xi & yi.


• Al obtener el polinomio creado por nuestro programa de la formula (x-xj)/(xi-xj), obtendremos

el siguiente resultado

0+215*(x-8)/(1-8)*(x-13)/(1-13)*(x-17)/(1-17)*(x-18)/(1-18)*(x-23)/(1-23)*(x-27)/(1-27)260*(x-1)/(8-1)*(x-13)/(8-13)*(x-17)/(8-17)*(x-18)/(8-18)*(x-23)/(8-23)*(x-27)/(8-27)310*(x-1)/(13-1)*(x-8)/(13-8)*(x-17)/(13-17)*(x-18)/(13-18)*(x-23)/(13-23)*(x-27)/(13-27)315*(x-1)/(17-1)*(x-8)/(17-8)*(x-13)/(17-13)*(x-18)/(17-18)*(x-23)/(17-23)*(x-27)/(17-27)318*(x-1)/(18-1)*(x-8)/(18-8)*(x-13)/(18-13)*(x-17)/(18-17)*(x-23)/(18-23)*(x-27)/(18-27)345*(x-1)/(23-1)*(x-8)/(23-8)*(x-13)/(23-13)*(x-17)/(23-17)*(x-18)/(23-18)*(x-27)/(23-27)368*(x-1)/(27-1)*(x-8)/(27-8)*(x-13)/(27-13)*(x-17)/(27-17)*(x-18)/(27-18)*(x-23)/(27-23)

Día 1 8 13 17 18 23 27

Bbls/día 215 260 310 315 318 345 368

Como se indico anteriormente el 0 se toma como el valor mínimo de la expresión de el polinomio después se toma el primer valor de Y en este caso el 215 multiplicándolo por la formula (x-xj)/(xi-xj), donde x es el valor que se toma de la tabla de las X (Días), xj es el valor de x que se toma después del valor que se toma de Y (Bbls/día), xi es la sustitución del valor real de x y xj es el valor que ya se conocía de xj, esto se repetirá por el numero de datos que se tengan en la tabla.


Una ves planteado el polinomio procederemos a sustituir las x por el valor que se esta buscando, en este caso es el valor de 10.

0+215*(10-8)/(1-8)*(10-13)/(1-13)*(10-17)/(1-17)*(10-18)/(1-18)*(10-23)/(1-23)*(10-27)/(1-27)260*(10-1)/(8-1)*(10-13)/(8-13)*(10-17)/(8-17)*(10-18)/(8-18)*(10-23)/(8-23)*(10-27)/(8-27)310*(10-1)/(13-1)*(10-8)/(13-8)*(10-17)/(13-17)*(10-18)/(13-18)*(10-23)/(13-23)*(10-27)/(13-27)315*(10-1)/(17-1)*(10-8)/(17-8)*(10-13)/(17-13)*(10-18)/(17-18)*(10-23)/(17-23)*(10-27)/(17-27)318*(10-1)/(18-1)*(10-8)/(18-8)*(10-13)/(18-13)*(10-17)/(18-17)*(10-23)/(18-23)*(10-27)/(18-27)345*(10-1)/(23-1)*(10-8)/(23-8)*(10-13)/(23-13)*(10-17)/(23-17)*(10-18)/(23-18)*(10-27)/(23-27)368*(10-1)/(27-1)*(10-8)/(27-8)*(10-13)/(27-13)*(10-17)/(27-17)*(10-18)/(27-18)*(10-23)/(27-23)


Después simplificaremos el polinomio para poder tener un mejor control de los resultados, para esto lo resolveremos por filas, obteniendo así, un solo valor por cada una de las filas.

-1.221590909+96.77473684+411.06-870.1875+694.512-44.78727273+5.810526316

Al realizar la suma y resta obtenemos que en el día 10 de octubre se obtuvo una producción de 291.9608995 Bbls/día aproximadamente, mediante este problema pudimos comprobar el método de interpolación de Lagrange a través de Matlab.

= 291.9608995 Bbls/día


GRACIAS POR SU ATENCIÓN


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