Sólido de Lagrange - E.T.S.I.A.- Escuela Técnica ... · Sólido de Lagrange Sólido pesado con...

Sólido de Lagrange

Mecánica IITema 11

Manuel Ruiz Delgado

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Aeronauticos

Universidad Politecnica de Madrid

Solido de Lagrange– p. 1/22

Sólido de Lagrange

Sólido pesado con punto fijo

Sólido de LagrangeReducción a cuadraturasAnálisis cualitativo

Movimientos estacionarios

Movimiento pseudoregular del trompo rápido

La Tierra como sólido de Lagrange: Precesión de los equinoccios



EjeOz1 fijo vertical ascendente:Ejes sólido principales enO: Ii = A,B,C

OG = (ξ, η, ζ)0 = (ξ1, η1, ζ1)1

En el caso general hay dos integrales primeras:

Rótula lisa, peso→ conservativo:

1

2

(

Ap2 +Bq2 + Cr2)

+mgζ1 = E

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x1

y1

z1

ζ1

θ

OG

mg

x

y

z

El peso no da momento segúnOz1, pues~g ‖ k1:

MDO · k1 =

dHO

dt· k1 = 0 ⇒ HO · k1 = Hz1

= Cte.

HO = (Ap,Bq,Cr)0 ; k1 = (sin θ sinϕ, sin θ cosϕ, cos θ)0

(Ap sinϕ+Bq cosϕ) sin θ + Cr cos θ = Hz1



Hace falta otra ecuación, p.e., una de las de Euler:

Ap+ qr(C −B)

Bq + pr(A− C)

Cr + pq(B − A)

= −mg

η cos θ − ζ sin θ cosϕ

ζ cos θ sinϕ− ξ cos θ

sin θ (ξ cosϕ− η sinϕ)

No se pueden integrar analíticamente en el caso general. Puedenreducirse a cuadraturas en dos casos:

Sólido de Sofía Kowaleskaya:A = B = 2C, ζ = 0

Sólido de Lagrange:A = B, ξ = η = 0 (trompo simétrico).


Sólido de Lagrange

Sólido pesado con punto fijo, elipsoide de inerciade revolución (A = B) y centro de masas en eleje (ξ = η = 0).

En este caso, la tercera ecuación de Euler dauna integral primera: x

y

z

yz

x

11

1

0

00

O

ϕ θ

θ

ψ

ψ

ψ

θ

.

.

.

mg

Cr + pq(��B − A) = −mg sin θ (��ξ cosϕ−�η sinϕ) ⇒ r = r0

Las dos integrales primeras del caso general quedan:

A(

p2 + q2)

+ Cr20 + 2mgζ cos θ = 2E

A (p sinϕ+ q cosϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1

Ahora el problema puede reducirse a cuadraturas.Solido de Lagrange– p. 5/22

Sólido de Lagrange: reducción a cuadraturas

A(

p2 + q2)

+ Cr20 + 2mgζ cos θ = 2E

A (p sinϕ+ q cosϕ) sin θ + Cr0 cos θ = Hz1

Sustituyendop y q por sus valores en función de los ángulos de Eulery sus derivadas,

θ2 + ψ2 sin2 θ = 2E−Cr2

0

A − 2mgζA cos θ = α − a cos θ

ψ sin2 θ =Hz1

A − CA r0 cos θ = β − b r0 cos θ

α y β dependen de las condiciones iniciales

a y b dependen de la geometría de masas del sólido

Eliminandoψ, queda una ecuación enθ2 y θ → cuadraturaLas cuadraturas pueden integrarse mediante funciones elípticas


Sólido de Lagrange: reducción a cuadraturas

De la integral de la energía se obtiene una cuadratura parat(θ)

(

dθ

dt

)2

= α−a cos θ−(

β − br0 cos θ

sin θ

)2

= f(θ) →∫ t

t0

dt =

∫ θ

θ0

±dθ√

f(θ)

Sustituyendo estedt en la del momento cinético, se obtieneψ(θ):

ψ =β − br0 cos θ

sin2 θ→ ψ − ψ0 = ±

∫ θ

θ0

β − br0 cos θ

sin2 θ

dθ√

f(θ)

Y finalmente, der0 se obtieneϕ(θ)

r0 = ϕ+ψ cos θ → ϕ− ϕ0 = ±∫ θ

θ0

(

r0 −β − br0 cos θ

sin2 θcos θ

)

dθ√

f(θ)


Sólido de Lagrange: análisis cualitatativo

Mediante dos integrales primeras se ha dejado la de la energía sólocomo función deθ2 y θ → se puede hacer un análisis cualitativo:

θ2 = α− a cos θ −(

β − br0 cos θ

sin θ

)2

=2

A

[

E′ − Vef (θ)]

≥ 0

queda más simple con el cambiou = cos θ, que dau = −θ sin θ:

θ2 sin2 θ = (α− a cos θ) sin2 θ − (β − br0 cos θ)2 ⇒⇒ u2 = (α− au)

(

1 − u2)

− (β − br0u)2

Con lo que, tomando la constanteE′ como cero, queda:

2

AVef (u) = − (α− au)

(

1 − u2)

+ (β − br0u)2


Sólido de Lagrange: análisis cualitatativo

2AVef (u) = − (α− au)

(

1 − u2)

+ (β − br0u)2 ≤ 0.

Polinomio de grado 3 con las siguientes propiedades:

u −∞ −1 u0 1 ∞Vef (u) + + − + −

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0

Vef (u) 1

1−1

−1 u1 u2 u3

u

θ1

θ2

Traza del eje de revolución sobre la esfera unidad


Sólido de Lagrange: casos

Vef (u) = − (α− au)(

1 − u2)

+ (β − br0u)2

ψ sin2 θ = β − br0u ψ = 0 → u∗ =β

br0

∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

> 1 |u∗| > 1 ⇒ u∗ /∈ [u1, u2]−1 0 1

Vef(u)

uu1 u2 u3

u*

∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

< 1

|u∗| < 1

α > au∗ u∗ ∈ [u1, u2]−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*

α < au∗ u∗ /∈ [u1, u2]−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*

α = au∗ u∗ = u2

[

V ′(u∗) = a(

1 − u∗2)

> 0]

−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

u*



∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

= 1

u∗ = +1

V ′(1) =

2(α − a)

α > a θ(1) =√

α − a−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2 u3

α < a u = 1 imposible, puesT < 0−1 0 1

Vef(u)

uu1 u2 u3

α = a

b2r2

0>

2a

Trompo dormi-

do estable −1 0 1

Vef(u)

uu1=u2 u3

b2r2

0=

2a

Transición:

ω∗ =2

C

√Amgζ

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2=u3

b2r2

0<

2a

Trompo dormi-

do inestable −1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2=u3



∣

∣

∣

∣

β

br0

∣

∣

∣

∣

= 1u∗ = −1

V ′(1) = −2(α+ a)

α+ a > 0−1 0 1

Vef(u)

uu1u2 u3

α+ a = 0−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2 u3


Trompo dormido

Vef (u) = − (α− au)(

1 − u2)

+ (β − br0u)2

V ′

ef (u) = a(

1 − u2)

+ 2u (α− au) − 2br0 (β − br0u)

V ′′

ef (u) = 2 (α− au) −4au+ 2b2r20 Disipación:r0 ↓

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2 u3

−1 0 1

Vef(u)

uu1=u2=u3

−1 0 1

Vef(u)

u

u1 u2=u3


Trompo dormido

Aplicación del trompo dormido: estabilización de proyectiles porrotación

θ θv

Fr

v

Fr

ψ

ϕ


Movimiento estacionario

Movimiento con θ = θ0, θ = 0, ψ = ψ0 y ϕ = ϕ0

Las condiciones inciales necesarias se pueden obtener deanálisis cualitativo: hacerV ′

ef (u) = 0

ecuaciones de Euler: hacerθ = θ = ψ = ϕ = 0

En el movimiento estacionario se cumple parau = u0 = cos θ0

Vef (u0) = −(α− au0)(1 − u20) + (β − br0u0)

2 = 0

V ′

ef (u0) = a(1 − u20) + 2u0(α− au0) − 2br0(β − br0u0) = 0

La primera no dice nada: se cumple siempre que se lance conθ = 0. Lo propio del estacionario es que se anule la derivada.

θ0 = 0 θ0 = 0



V ′

ef (u0) = a(1 − u20) + 2u0(α− au0) − 2br0(β − br0u0) = 0

Las constantesα, β, en función de las condiciones iniciales,

��θ20 + ψ2

0 sin2 θ0 = α− au0

ψ0 sin2 θ0 = β − br0u0

se sustituyen en la derivada del potencial,

a(

1 − u20

)

+ 2u0

[

ψ20

(

1 − u20

)

]

− 2br0

[

ψ0

(

1 − u20

)

]

= 0

Como sólo interesan los casos con|u0| 6= 1, queda:

a+ 2u0ψ20 − 2br0ψ0 = 0



a+ 2u0ψ20 − 2br0ψ0 = 0

Es más intuitivo usarϕ0 en vez der0:

a+ 2u0(1 − b) ψ20 − 2b ϕ0 ψ0 = 0

Esta expresión es cuadrática en laψ0 y lineal en laϕ0:

ψr0 =

2bϕ0+√

4b2ϕ2

0−8au0(1−b)

4u0(1−b) ψl0 =

2bϕ0−

√4b2ϕ2

0−8au0(1−b)

4u0(1−b)

Habrá dos valores de la precesión, rápida y lenta, si:

(ϕ∗

0)2 ≥ 2a

b2u0(1 − b) = ω∗2 u0(1 − b)

dondeω∗ es la velocidad crítica del trompo dormido.



La rotación propia es única, y tiene dos términos:

ϕ0 =a

2b ψ0

+u0 (1 − b)

bψ0 =

mgζ

ψ0

+

(

1 − C

A

)

r0

Uno, inversamente proporcional a la precesión, recoge elefecto del peso a través dea = 2mgζ/A. El otro, proporcional a la

precesión, se debe a lainercia como en el sólido de Poinsot.Para valores altos deϕ0,

Precesión lenta:efecto del peso dominante:ψl0 ≃ a

2bϕ0

Precesión rápida:inercia dominante:ψr0 ≃ bϕ0

u0(1 − b)



ϕ0 =mgζ

ψ0

+

(

1 − C

A

)

cos θ0ψ0

ω∗√

u0(1 − b)

ϕ0

ψ0

u0 > 0b < 1: Prolato

b > 1: Oblato

ψr0

ψl0


Precesión de los equinoccios

Movimiento de la Tierra como sólido de Lagrange:

S T

ω



�

�

23,5o

PrimaveraVerano

Otoño

Invierno



día noche

Verano en elhemisferio norte

Invierno en elhemisferio norte

23o26′

CírculoPolar Ártico

Trópicode Cáncer

Trópicode Capricornio


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