Extremos Restringidos (Multiplicadores de Lagrange)

Dada la curva en el plano (x−h)2

a2 + (y−k)2

b2= 1. Esta es una elipse con centro en (h,k) y queremos

encontrar que punto de esta elipse se encuentra mas cercano al origen y que punto se encuentra

mas alejado de el. Para un punto (x, y) en el plano, la distancia entre el y el origen es√

x2 + y2.

Si la expresion anterior la pensamos como una funcion f(x, y) =√

x2 + y2. Esta es una funcion

de las variables x,y, de la cual nos interesa obtener el maximo y el mınimo, cuando x,y se

mueven sobre la elipse g(x, y) = 0

Diremos entonces que queremos encontrar el maximo y el mınimo de la funcion z = f(x, y) =√x2 + y2 sujeta a la restriccion g(x, y) = (x−h)2

a2 + (y−k)2

b2− 1 = 0. Estos valores extremos de la

funcion z = F (x, y) se llaman en general, estremos condicionados

Fijemos nuestra atencion en las curvas de nivel de la funcion f; es decir, las curvas f(x, y) = C.

Estas son cırculos√

x2 + y2 = C, que tienen su centro en el origen y radio C. Sea x0 el punto

donde se alcanza el mınimo buscado y sea C = f(x0). Observemos con cuidado que la curva de

nivel f(x0) = C. Esta curva debe ser tangente a la elipse en g(x, y) = 0 en el punto x0.

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Sabemos que el vector gradf(x, y) es un vector perpendicular a la curva de nivel que pasa por

x0. Entonces este es un vector perpendicular a la curva de nivel f(x0) = C en el punto x0. por

otra parte la elipse g(x, y) = 0 la podemos ver como una curva de nivel de la funcion z = g(x, y).

Entonces el vector gradiente graf g(x, y) debe ser perpendicular a tal curva en x0. En resumen:

gradf(x, y) es perpendicular a f(x0) = C en x0; gradg(x, y) es perpendicular a g(x, y) = 0

en x0; las curvas f(x0) = C y g(x, y) = 0 son tangentes en x0. Concluimos que gradf(x, y) y

gradg(x, y) son vectores colineales. lo anterior nos permite afirmar que en el punto x0, donde la

funcion z = f(x, y) alcanza su maximo o su mınimo condicionado, debe existir una constante

λ tal que

gradf(x, y) = λgradg(x, y)

Dado nuestro ejemplo buscamos los puntos en los que ocurre una relacion como la anterior. Se

debe tener entonces que(∂f

∂x,∂f

∂y

)= λ

(∂g

∂x,∂g

∂y

)o sea

∂f

∂x= λ

∂g

∂x,

∂f

∂y= λ

∂g

∂y

que junto con la ecuacion g(x, y) = 0 nos da un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas

x, y, λ. Resolviendo este sistema localizamos los puntos x, y de la elipse en la que se da la

colinealidad de los vectores ∇f(x, y) y ∇g(x, y). estos son los extremos que se buscan.

Supongase que se quieren hallar los valores extremos (maximo o mınimo) de una funcion f(x, y)

sujeta a la restirccion x2 + y2 = 1; esto es, que (x, y) esta en el circulo unitario. con mayor

generalidad, podemos necesitar maximizar o minimizar f(x, y) sujeta a la condicion adicional

de que (x, y) tambien satisfaga una ecuacion g(x, y) = c donde g es alguna funcion y c es una

constante [En el ejemplo g(x, y) = x2 + y2 y c = 1]. El conjunto de dichas (x, y) es un conjunto

de nivel de g.

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En general, sean f : u ⊂ Rn → R y g : u ⊂ Rn → R funciones C1 dadas, y sea S el conjunto de

nivel de g con valor c. [Recordar que el conjunto de nivel son los puntos x ∈ Rn con g(x) = c]

Cuando f se restringe a S, de nuevo tenemos el concepto de maximos locales o mınimos locales

de f (extremos locales), y un maximo (valor mayor) o un minimo absoluto (valor menor) debe

ser un extremo local.

Teorema.- Metodo de los multiplicadores de lagrange. Sean f : u ⊂ Rn → R y g : u ⊂

Rn → R funciones C1 con valores reales dados. Sean x0 ∈ u y g(x0) = c, y sea S el

conjunto de nivel de g con valor c. Suponer ∇g(x0) 6= 0.

Si f |s (f restringida a s) tiene un maximo o un mınimo local en S, en x0, entonces existe

un numero real λ tal que ∇f(x0) = λ∇g(x0).

Demostracion: Para n = 3 el espacio tangente o plano tangente de S en x0 es el espacio

ortogonal a ∇g(x0) y para n arbitraria podemos dar la misma definicion de espacio

tangente de S en x0. Esta definicion se puede motivar al considerar tangentes a

trayectorias c(t) que estan en s, como sigue: si c(t) es una trayectoria en S y c(0) = x0,

entonces c′(0) es un vector tangente a S en x0, pero

dg(c(t))

dt=

d

dt(c) = 0

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Por otro lado usando regla de la cadena

d

dtg(c(t))

∣∣∣∣t=0

= ∇g(x0) · c′(0)

de manera que ∇g(x0) · c′(0) = 0, esto es, c′(0) es ortogonal a ∇g(x0).

Si f |s tiene un maximo en x0, entonces f(c(t)) tiene un maximo en t = 0. Por calculo

de una variable,df(c(t))

dt

∣∣∣∣t=0

= 0.

Entonces por regla de la cadena 0 =df(c(t))

dt

∣∣∣∣t=0

= ∇f(x0) · c′(0).

Asi, ∇f(x0) es perpendicular a la tangente de toda curva en S y entonces tambien

es perpendicular al espacio tangente completo de S en x0. Como el espacio perpen-

dicular a este espacio tangente es una recta, ∇f(x0) y ∇g(x0) son paralelos. Como

∇g(x0) 6= 0, se deduce que ∇f(x0) es multiplo de ∇g(x0).

Corolario.- Si f al restringirse a una superficie S, tiene un maximo o un mınimo local en x0,

entonces ∇f(x0) es perpendicular a S en x0.

La geometria de los valores extremos restringidos.

Ejemplo.- Sea S ⊂ R2 la recta que pasa por (−1, 0) inclinada a 45o, y sea f : R2 → R daa asi

f(x, y) = x2 + y2. Hallar los extremos de f |s.

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Solucion.- Aqui S = {(x, y)|y − x− 1 = 0} y por lo tanto hacemos g(x, y) = −y − x− 1

y c = 0. Tenemos ∇g(x, y) = −i + j 6= 0. Los extremos relativos de f |s deben

hallarse entre los puntos en que ∇f es ortogonal a S, esto es, inclinada a −45o. Pero

∇f(x, y) = (2x,2y), que tiene la pendiente deseada solo cuando x = −y, o cuando

(x, y) esta sobre la recta L, que pasa por el origen inlinada a −45o. Esto puede

suceder en el conjunto S solo para el unico punto en el que se intersecan L y S. Al

referirnos a las curvas de nivel de f se indica que este punto (−11, 1

2) es un mınimo

relativo de f |s (Pero no de f).

Ejemplo.- Sea f : R2 → R dada asi f(x, y) = x2 − y2 y sea S el circulo de radio 1 alrededor

del origen. Halar los extremos de f |s.

Solucion.- El conjunto S es la curva de nivel para g con valor t. Donde g : R2 → R,

(x, y) → x2 + y2. La condicion de que ∇f = λ∇g en x0, es decir que ∇f y ∇g

son pararlelos en x0, es la misma que las curvas de nivel sean tangentes en x0.

Asi los puntos extremos de f |s son (0,±1) y (±1, 0). Evaluando f hallamos que

(0,±1) son mınimos y (±1, 0) son maximos. Usando Multiplicadores de lagrange

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∇f(x, y) = (2x, 2y) y ∇g(x, y) = (2x, 2y)

∴ (2x,−2y) = λ(2x, 2y) cuya solucion es (0,±1), (±1, 0).

Ejemplo.- Maximizar la funcion f(x, y, z) = x + z sujeta a la restriccion x2 + y2 + z2 = 1

Solucion.- Buscamos λ y (x, y, z) tales que 1 = 2xλ, 0 = 2yλ y 1 = 2zλ x2+y2+z2 = 1 la

solucion es ( 1√2, 0, 1√

2), (− 1√

2, 0,− 1√

2) comprobando los valores de f en estos puntos

podemos ver que el primer punto produce el maximo de f y el segundo el mınimo.

Ejemplo.- Hallar los puntos extremos de f(x, y, z) = x + y + z sujeto a las dos condiciones

x2 + y2 = 2 y x + z = 1

Solucion.- Aquı hay dos restricciones g1 = (x, y, z) = x2 + y2 − 2 = 0 g2(x, y, z) =

x + z − 1 = 0 asi, debemos encontrar x, y, z, λ1 y λ2 tales que

∇f(x, y, z) = λ1∇g(x, y, z) + λ2∇g2(x, y, z)

g1(x, y, z) = 0 y g2(x, y, z) = 0

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Calculando gradientes e igualando componentes, obtenemos

1 = λ1 · 2x + λ2 · 1 (1)

1 = λ12y + λ2 · 0 (2)

1 = λ1 · 0 + λ2 · 1 (3)

x2 + y2 = 2 (4)

x + z = 1 (5)

De (3) λ2 = 1 y asi 2xλ1 = 0, 2yλ1 = 1. Como la segunda implica λ1 6= 0 x = 0. Asi

y = ±√

2 y z = 1. Entonces los extremos deseados son (0,±√

2, 1). Por inspeccion

(0,√

2, 1) da un maximo relativo y (0,−√

2, 1) un mınimo relativo.

La condicion x+z = 1 implica que z tambien esta acotada. Se deduce que el conjunto

de restricciones S es cerrada y acotada, Por lo tanto f tiene un maximo y un mınimo

en S que se deben alcanzar en (0,√

2, 1) y (0,−√

2, 1) respectivamente.

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