TRABAJO DE INVESTIGACIN (LAGRANGE)

RICHARD ALEXANDER DUQUE DURANGOHERMAN LEONARDO ALARCON

UNIVERSIDAD CATLICA DE PEREIRAFACULTAD DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERASINGENIERA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONESMATEMATICAS IIIPEREIRA06-05-2015TRABAJO DE INVESTIGACIN (LAGRANGE)

RICHARD ALEXANDER DUQUE DURANGOHERMAN LEONARDO ALARCON

CARLOS ANDRS BEDOYA PARRAUNIVERSIDAD CATLICA DE PEREIRAFACULTAD DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERASINGENIERA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONESMATEMATICAS IIIPEREIRA06-05-2015Contenido

1.TEORA DEL MTODO LAGRANGE41.1.CMO FUNCIONA?41.2.PARA QUE TIPOS DE PROBLEMAS SE UTILIZA?62.BIOGRAFA63.TRES EJEMPLOS DE APLICACIN DEL METODO LAGRANGE73.1.EJEMPLO 173.2.EJEMPLO 2103.3.EJEMPLO 3113.4.EJEMPLO 4144.BIBLIOGRAFA16

1. TEORA DEL MTODO LAGRANGE

En los problemas de optimizacin, los Multiplicadores de Lagrange, nombrados as en honor a Joseph Louis Lagrange, son un mtodo para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y est sujeta a ciertas restricciones. Este mtodo reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este mtodo introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restriccin y forma una combinacin lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostracin involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. Usando alguna funcin implcita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una funcin sea igual a cero

1.1. CMO FUNCIONA?

Una manera de atacar los problemas de estos tipos es resolver la ecuacin es la restriccin para una de las variables en trminos de otras y sustituir el resultado en F esto produce una nueva funcin de una o dos variables, que incorporan la restriccin y puede maximizarse o minimizarse aplicando los mtodos ordinarios por ejemplo para resolver el problema del ejemplo se sustituir 2 en 1 para obtener

La cual se minimizo en seguida, encontrando los puntos crticos y aplicndose el criterio de segundas derivadas parciales sin embargo este proceso se apoya en la capacidad de resolver la ecuacin de restriccin ara una de las variables en trminos de las otras. Si esto no puede hacerse, entonces deben emplearse otros mtodos Para concebir el mtodo de los multiplicadores de lagranje suponga que se intenta maximizar una funcin f (x,y)=, sujeta a la restriccin g (x,y)=0 geomtricamente esto significa que se busca un punto (x, y) en la grfica de la curva de restriccin en el punto f (x,y) es tan grande como sea posible. Para ayudar a localizar tal punto, se construye una grfica de contornos de f (x,y) en el mismo sistema coordenado que la grfica de g (x,y)=0 en la siguiente figura se muestra lagunas curvas de nivel usuales de f (x,y) = cAs cuales se identificaron como c=100,200,300,400 y 50 para propsito ilustrativos en esta figura cada punto de interseccin de g (x,y )=0 con una curva de restriccin entre las siete intercesiones (x0, y0), donde f(x,y) tiene un valor de 400.ests solo se tocan y tienen una tangente en el punto puesto es normal que la curva de nivel f(x,y)=400

IMAGEN

1.2. PARA QUE TIPOS DE PROBLEMAS SE UTILIZA?

Creemos que el mtodo Lagrange se utiliza para solucionar muchos problemas, sean de ingeniera, astronoma, en la fsica, hasta en la qumica, pero en la economa y la administracin es donde ms lo utilizan. En la economa se utiliza para maximizar la utilidad sin importar las limitaciones de recursos (tiempo o dinero). el mtodo sirve para medir la forma en que el consumidor puede tener una satisfaccin mxima y en los negocios se pueden maximizar los beneficios y minimizar los costos con los limites datos.

2. BIOGRAFA

Joseph Louis LagrangeGiuseppe Lodovico Lagrangia; Matemtico y astrnomo francs. Naci el 25 de enero de 1736 enTurn(Italia) en el seno de una ilustre familia parisiense, que tena profundo arraigo en Cerdea.

Curs estudios en cuya universidad de la ciudad. Profesor de geometra en laAcademia Militar de Turncuando slo contaba 19 aos. A esa misma edad, obtuvo fama resolviendo el llamado problema isoperimtrico, que haba desconcertado al mundo matemtico durante medio siglo.

Comunic su demostracin en una carta aLeonhard Euler, el cual se interes enormemente por la solucin, de modo especial en cuanto concordaba con un resultado que l mismo haba hallado. Fue uno de los matemticos ms importantes del siglo XVIII; cre el clculo de variaciones, sistematiz el campo de las ecuaciones diferenciales y trabaj en la teora de nmeros. En 1758 fund lo que ms adelante se convertira en laAcademia de Ciencias de Turn. En el ao 1766 fue director de laAcademia de Ciencias de Berln. Viaja a Pars invitado por el reyLuis XVI. Lagrange trabaj paraFederico IIde Prusia, en Berln, durante veinte aos

Durante laRevolucin Francesa, encabez la comisin para el establecimiento de un nuevo sistema depesos y medidas. Finalizada la Revolucin, fue profesor de la nueva cole Normale y miembro del Senado. Recibi el ttulo deconde. LagrangeEntre sus investigaciones en astronomadestacan los clculos de la libracin de laLunay losmovimientos de los planetas. Su obra ms destacada esMecnica analtica(1788).

Joseph-Louis de Lagrange falleci el 10 de abril de 1813 enPars.

3. TRES EJEMPLOS DE APLICACIN DEL METODO LAGRANGE

En el ejemplo 1 vamos a ver un problema resuelto de optimizacin paso a paso y ms adelante veremos en el ejemplo 2 la aplicacin del mtodo de Lagrange basndonos en este mismo ejemplo.3.1. EJEMPLO 1

Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1500 pies cbicos de agua. La base y las paredes verticales debern ser de concreto y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de rea que el del concreto, determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de construccin.

Solucin Sean x, y y z (en pies) la longitud, el ancho y la altura del tanque rectangular, respectivamente. (Vase la figura 15).

Entonces:

rea de la base = rea de la tapa = xy

Y tambin:

rea de las cuatro paredes = 2xz + 2yzSea p el costo del concreto por pie cuadrado. Se sigue que el costo del acero por pie cuadrado es de 2p. El costo de construir la base y las cuatro paredes verticales con concreto a p por unidad de rea es

p (xy +2xz + 2yz)

El costo de construir la tapa con acero a 2p por unidad de rea es 2pxy. El costo total C es, por tanto

C =p (xy + 2xz + 2yz) + 2pxy = p(3xy + 2xz + 2yz) (1)

El volumen de la caja debe ser de 1500 pies cbicos. Esto es,

xyz = 1500 (2)

Note que hemos de minimizar la funcin de la ecuacin (1) sujeta a la condicin dela ecuacin (2). Resolvemos este problema usando la restriccin de la ecuacin (2) con el propsito de eliminar una de las variables. A partir de la ecuacin (2), z =1500/xy, y sustituyendo esta expresin de z en la ecuacin (1), obtenemos

C = p ( 3xy+(3000/x) + (3000/y) )

Ahora C es una funcin de dos variables que son independientes y podemos encontrar su mnimo en la forma ordinaria. En el caso de un mximo o un mnimo,

Cx = P ( 3y (300/x^2) ) = 0 o bien x^2y = 1000Cy = P ( 3y (300/y^2) ) = 0 o bien xy^2 = 1000

Por tanto, se sigue que x^2y = xy^2. Dividiendo ambos lados entre xy (observe que X y Y no pueden ser cero), obtenemos x = y.

Sustituyendo y = x en x^2y = 1000, obtenemos x^3 = 1000 o x = 10. En consecuencia, y = x = 10.

Es fcil verificar que cuando x = y = 10, 10, Cxx, Cyy y = CxxCyy-C^2xy son positivas. Por consiguiente, el costo C es mnimo. Cuando x = 10 y y = 10, la ecuacin (2) implica que z = 15. As, para el costo mnimo, las dimensiones del tanque debern ser de 10 pies por 10 pies por 15 pies.

En el ejemplo 1, eliminamos una de las variables (z en este caso) de la funcin C valindonos de la ecuacin restrictiva y, luego, encontramos los puntos crticos de C. Algunas veces ocurre que no podemos resolver la ecuacin restrictiva para alguna de las variables, de modo que ninguna de ellas puede eliminarse. Por ejemplo, si la ecuacin restrictiva fuese x^5 + 5x^3y^3 + z^3 + z^5 + 2y^5 + 16 = 0, no podemos resolver para x y y o z en trminos de las otras variables. Por otro lado, aunque fuera posible eliminar una variable empleando la ecuacin restrictiva, puede suceder que la funcin resultante que debe optimizarse sea muy complicada de manejar.

Un mtodo alternativo (que evita tal eliminacin) fue desarrollado por el matemtico francs J.L. Lagrange (1736-1813) y se conoce como el mtodo de multiplicadores de Lagrange. Suponga que nos interesa encontrar el valor extremo de la funcin f(x, y, z) sujeta a la restriccin g(x, y, z) = 0. Entonces, construimos una funcin auxiliar F(x, y, z, ) definida por

F(x, y, z, ) _ f(x, y, z) - g(x, y, z)

La nueva variable _ (lambda) se denomina multiplicador de Lagrange. De acuerdo con el mtodo de multiplicadores de Lagrange, si (x0, y0, z0, 0) es un punto crtico de F(x, y, z, ), entonces, (x0, y0, z0) es un punto crtico de f(x, y, z)Sujeta a la restriccin g(x, y, z) = 0, y recprocamente. As, con el objetivo de encontrar los puntos crticos de f(x, y, z) sujeta a la restriccin g(x, y, z) = 0, podemos en lugar de ello hallar los puntos crticos de la funcin auxiliar F(x, y, z, ). stos estn dados por las condiciones

Fx = fx - gx = 0Fy = fy - gy = 0Fz = fz - gz = 0F = - g = 0

La ltima ecuacin no es otra cosa que la ecuacin restrictiva dada g(x, y, z) = 0. El mtodo de los multiplicadores de Lagrange no indica directamente si f(x, y, z) tendr un mximo, un mnimo o un punto silla en el punto crtico. En problemas prcticos a menudo nos dejamos llevar por la intuicin al decidir si el punto crtico da un mximo o un mnimo. Existe un criterio que puede aplicarse, pero es complicado.

3.2. EJEMPLO 2

Resolvamos el ejemplo 1 de nuevo, esta vez por el mtodo de multiplicadores de Lagrange.

Tenamos la funcin

f(x, y, z) = C = p(3xy + 2yz + 2zx)

Y la restriccin xyz = 1500. Esta restriccin puede escribirse en la forma

g(x, y, z) = xyz - 1500 = 0

La funcin auxiliar en este caso es

F(x, y, z, ) = f(x, y, z) - g(x, y, z) = p(3xy + 2yz + 2zx) - (xyz - 1500)

Los puntos crticos de F estn determinados por las condiciones siguientes:

Fx = p(3y + 2z) - yz = 0Fy = p(3x + 2z) - xz = 0Fz = p(2x + 2y) - xy = 0

y tambin

F=-xyz + 1500 = 0

De las primeras tres ecuaciones, tenemos

/p= [(3y+2z)/(yz)] =[(3/z)+(2/y)]

/p= [(3x+2z)/(xz)] =[(3/z)+(2/x)]

/p= [(2x+2y)/(xy)] =[(2/x)+(2/y)]

Del primero y segundo valores de /p, resulta

(3/z)+(2/y)=(3/z)+(2/x) o bien, (2/y)=(2/x)

de lo cual se sigue que x = y. Del segundo y tercero valores de /p,

(3/z)+(2/x)=(2/x)+(2/y) o bien, (3/z)=(2/y)

Por tanto, z = 3y/2. Sustituyendo x= yyz = 3y/2 en la expresin de F Tenemos

-y * y * (/3/2)*y)+1500=0 o bien, y3 = 1000

En consecuencia, y= 10 . Por tanto, x=y=10yz = (3/2)(y)=15

El punto critico de C(x,y,z) Sujeto a la restriccin xyz = 1500 esta dado por X=10y =10yx =15, como antes.

3.3. EJEMPLO 3

(Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital) EmpleandoL unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, conP(L, K) Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada unidadde capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45,000 para propsitos de produccin.a) Mediante el mtodo de multiplicadores de Lagrange determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debera utilizar con el objetivo de maximizar su produccin.b) Demuestre que en este nivel mximo de produccin la razn de los costos marginales de mano de obra y capital es igual a la razn de sus costos unitarios.c) Pruebe que si se dispone de $1 adicionales para fines de produccin en este nivel mximo de produccin, la empresa puede producir aproximadamente unidades extra de su producto, en donde es el multiplicador de Lagrange. En tras palabras, puede interpretarse como la productividad marginal del capital.

Solucina) Aqu la funcin a maximizar esP(L, K) El costo de emplear L unidades de mano de obra a $100 cada una y K unidades de capital a $300 cada una es de (100L _ 300K) dlares. Puesto que deseamos disponer por completo de la suma de $45,000, debemos tener que100L +300K = 45,000Maximizaremos P(L, K) sujeta a esta restriccin.La funcin auxiliar esF(L, K, ) = - (100L + 300K - 45,000)Para de obtener un mximo de P(L, K), debe tenerse que - 100(3) - 100(4) (100L + 300K - 45,000)Resolviendo las primeras dos ecuaciones para ,= Y = (5)

Ahora igualamos los dos valores de , = Multiplicando ambos lados por L1/3K2/3, obtenemosK = L o bien, L=6KSustituyendo esto en la expresin de F_ resulta que600K +300K - 45,000 = 0 o bien, K = 50Por consiguiente, L =6K = 300 y la empresa maximiza su produccin si emplea300 unidades de mano de obra y 50 de capital.b) Las productividades marginales de la mano de obra y del capital estn dadaspor 100 Y =300(6)Por tanto, = = = Pero = = As que en el nivel de produccin mximo, la razn de las productividades marginalesde mano de obra y capital es igual a la razn de las unidades de costo de lamano de obra y de capital.c) En el nivel de produccin mximo, cuando L =300 y K =50, tenemosdos formas de calcular (de las ecuaciones (5)): = 0.1835

= 0.1835Suponga que podemos emplear L unidades de mano de obra y K unidades de capitalcon $1 extra de disponibilidad. Entonces,100 L+ 300 K =1(7)El aumento en la produccin cuando la mano de obra se incrementa de 300 a 300 + L y el capital se incrementa de 50 a 50 + K est dado por: P=P(300 + L, 50 + K)- P(300, 50)

(300, 50) L (300, 50) . K

Por la ecuacin (6) se sigue que en el mximo (300, 50) = 100 y (300, 50) = 300 . En consecuencia, el incremento en la produccin es aproximadamente igual a p100 L +300 K = (100 L + 300 K) = en donde usamos la ecuacin (7). As que un dlar extra disponible para produccinincrementar sta por una cantidad aproximada = 0.1835 unidades. En otras palabras , representa la productividad marginal del dinero.

3.4. EJEMPLO 4

(Decisiones de produccin) Una compaa puede destinar su planta a la elaboracin de dos tipos de productos, A y B. Obtiene una utilidad de $4 por unidad de A y de $6 por unidad de B. Los nmeros de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta estn restringidos por la ecuacin de transformacin del producto, que es

++ +2x +4y +4 = 0

con x y y los nmeros de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidaspor semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizarla utilidad.

Solucin Deseamos maximizar la utilidad P, que est dada por

P(x, y) _ 4x _ 6y

(en miles de dlares por semana). Aqu X y Y estn sujetas a las restricciones

g(x, y) _= ++ +2x +4y +4 = 0 (8)

Empleando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange, construimos la funcin

F(x, y, ) =P(x, y) - g(x, y)

As, los puntos crticos estn dados porFx = Px - gx = 4 -(2x _ 2) = 0Fy = Py - gy = 6 (2y + 4) =0= -g =0

Esta expresin de es igual que la ecuacin restrictiva dada. A partir de las ecuacionespara y

= =

Por consiguiente, 2(y + 2) = 3(x -1) o y = (3x - 1)/ 2. Sustituyendo esto en la ecuacin (8), obtenemos una ecuacin slo en trminos de x.

( ) + 2x + 4( ) 4=0

Despus de simplificar, esto se reduce a 13+ 26x 23= 0 A partir de la frmula cuadrtica, encontramos las races

x = -1 + - = 0.664 o bien, -2.664

Por supuesto, slo la raz positiva x = 0.664 tiene sentido. Con este valor de x, tenemos

= = 0.496As que los niveles de produccin ptimos son de 664 unidades por lo que respecta a A y de 496 unidades en el caso de B por semana. La utilidad mxima es

P = 4(0.664) + 6(0.496) = 5.63Esto es, $5630 por semana.

El mtodo de multiplicadores de Lagrange tambin puede utilizarse cuando hay ms de una restriccin. Si f(x, y, z) ha de maximizarse o minimizarse sujeta a las dos restricciones g1(x, y, z) = 0 y g2(x, y, z) _ 0, entonces, construimos la funcin auxiliar F de la siguiente manera:

F(x, y, z, 1, 2) _ f (x, y, z) 1g1(x, y, z) - 2g2(x, y, z)Luego, los puntos crticos se obtienen resolviendo las ecuacionesFx = Fy = Fz = F 1= F 2 = 0

RESPUESTA

X = Y = 0.5

4. BIBLIOGRAFA

George Brinton Thomas Jr. Clculo: Varias variables. Undcima Edicin. PEARSON Educacin, 2006. 1192 pginas.

Toms David Pez Gutirrez. Matemticas a lo largo de la historia de la Europa medieval al siglo XIX

CALCULO MULTIVARIABLE, 2009, LIMUSA S.A DE C.V GRUPO NORIEGA. HOWARD ANTON - IRL C. BIVENS - STEPHEN L. DAVIS

Macroeconoma. 7ma Edicin, Robers S Pindyck Daniel L Rubinfeld

Matematicas aplicadas a la Administracin y a la Economa, 5ta Edicin. Jagdish C Arya - Robin W Lardner