MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

16
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA CURSO: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 TEMA: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PRESENTADO POR: QUISPE SURCO MARCO ANTONIO DOCENTE: Ing. Mcs. HOLGER MEZA DELGADO AREQUIPA- PERÚ 2014 INGENIERÍA ELÉCTRICA U N S A

Transcript of MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Page 1: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN

AGUSTÍN

FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y

SERVICIOS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

CURSO: ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2

TEMA: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE

LAGRANGE

PRESENTADO POR: QUISPE SURCO MARCO

ANTONIO

DOCENTE: Ing. Mcs. HOLGER MEZA DELGADO

INGENIERÍA ELÉCTRICA

U N S A

Page 2: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

AREQUIPA- PERÚ

2014

CONTENIDO

1.- INTRODUCCIÓN................................................................................................................3

2.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAGRANGE:......................................3

3.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON UNA RESTRICCIÓN.................6

4.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON DOS RESTRICCIÓNES..............6

5.- MÉTODO DE LAGRANGE GENERALIZADO........................................................................8

6.- EJEMPLO........................................................................................................................ 10

7.- BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................13

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 2

Page 3: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

1.- INTRODUCCIÓN

En esta lectura veremos el problema de optimizar una función de valor real sujeta a un

conjunto de restricciones. El método que veremos se debe a Joseph Louis Lagrange (1736-

1813) y la prueba de que define condiciones necesarias para los puntos óptimos aparece en el

libro de A. Khuri (1993): Advanced Calculus with Applications in Statistics (John Wiley and Sons,

New York) y la prueba de las condiciones de suficiencia aparecen en el libro R. P. Gillespie

(1954): Partial ifferentiation (Oliver and Boyd, Edinburgh).

Veremos ejemplos para clarificar los criterios de máximos y mínimos relativos.

2.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LAGRANGE:

Sea una función continua y derivable de varias variables f(x,y) (“varias” variables, o sea , dos en

este ejemplo). Sabemos que para encontrar los extremos de la función (es decir, los puntos

(x,y) donde f alcanza su máximo o mínimo valor), debemos resolver las ecuaciones:

Esto es lo mismo que especificar el punto donde el gradiente de la función en el plano XY se

anula:

Como sabemos, el gradiente en este caso es un vector en el plano XY que indica la dirección

hacia donde hay que moverse para que la función aumente más bruscamente. El gradiente se

anula en los puntos donde la función es “horizontal” (donde la función no aumenta hacia

ningún lado).

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 3

Page 4: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En la figura se muestra una función con un máximo bien notorio. Las curvas de nivel indican los

puntos donde la función tiene un valor dado. El gradiente de la función en un punto dado tiene

dirección perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. En el máximo, la curva de

nivel degenera en un solo punto. En tal caso, el gradiente es cero: a partir de ese punto no hay

ninguna dirección hacia donde la función aumente.

A veces no queremos buscar el máximo de la función en todo el dominio (plano XY, en este

caso), sino sólo a lo largo de una curva en el plano XY (en el caso de una función de 3 variables,

es decir en el volumen XYZ, la restricción puede ser una curva o una superficie en el espacio

XYZ).

Nuestro problema es entonces cómo encontrar los extremos de f si queremos limitarnos sólo a

puntos (x,y) que estén sobre una curva definida por:

g(x,y) = 0

La forma más directa (aunque no necesariamente la más simple de calcular) es usar la

condición de restricción g(x,y) = 0 para despejar y como función de, x,y=y(x), y luego

reemplazar este valor de y en la función. f(x,y(x)) De esta forma, tenemos una función de una

variable menos (en este caso una función que sólo depende de x) sin restricciones. Para

encontrar los extremos, simplemente buscamos los puntos x tales que:

Lo malo de este método es que en la práctica no siempre es posible despejar y = y( x)

Alternativamente, podemos definir la curva g ( x, y) = 0 en forma paramétrica, es decir,

mediante un par de funciones de un parámetro t: x = x(t ) e y = y(t ) tales que g ( x(t ), y(t )) =

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 4

Page 5: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

0 . En este caso, buscamos el extremo de la función f (t ) = f ( x(t ), y(t )) usando, como

siempre, la condición:

Derivada de f con respecto de t = 0

En la práctica, esto a veces tampoco resulta fácil de hacer.

Veamos entonces la otra alternativa: el método de Lagrange.

Gráficamente, la función f ( x, y) se puede representar por un mapa de curvas de nivel en el

plano XY, que en el ejemplo anterior son curvas circulares. Como sabemos, el punto máximo

está en el centro de las curvas de nivel.

Sobre este gráfico podemos dibujar la curva de restricción atraviesa la figura. Note que

en esta figura, hemos dibujado la curva con un parámetro t, que avanza de izquierda a

derecha.

En el ejemplo, la función es mayor

mientras más nos movemos hacia el

centro de las curvas de nivel.

El máximo de f a lo largo de la curva

ocurre en el punto tal que al avanzar

sobre la curva no nos cambiamos de

nivel, es decir donde la curva es

tangente a la correspondiente curva de

nivel.

En otras palabras, el extremo de la

función f sobre la curva g = 0 ocurre donde el gradiente de f es perpendicular a la curva g = 0.

Hay otra forma de especificar esto más elegantemente: uno siempre puede definir el gradiente

de la función g, esto es ∇g , puesto que g ( x, y) es simplemente otra función más en en plano

XY, donde la restricción g ( x, y) = 0 simplemente corresponde a una de las curvas de nivel de g.

Esto significa que ∇g , para puntos sobre la curva g = 0, es un vector perpendicular a esta

curva.

La condición del extremo es, por lo tanto, un punto donde el gradiente de f es paralelo al

gradiente de g:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 5

Page 6: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Condición de extremo: ∇f = λ ∇g , donde λ es una constante de proporcionalidad.

Esta elegante condición corresponde exactamente al Método de Lagrange para encontrar

máximos y mínimos de una función f ( x, y) sujeto a la restricción g ( x, y) = 0 :

a) Construya una nueva función f ( x, y) = f ( x, y) − λ g ( x, y) , donde λ es una

constante (multiplicador de Lagrange), hasta aquí desconocida.

b) Extremice esta nueva función, considerando las variables sin restricción, es decir: ∇ f ( x, y) = 0 Las ecuaciones obtenidas serán funciones de las coordenadas x, e y

del parámetro λ .

c) Use la ecuación de restricción g ( x, y) = 0 para determinar λ .

El uso de este método es que es fácil de aplicar y fácil de generalizar a un número mayor de

variables y de restricciones.

3.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON UNA RESTRICCIÓN

Queremos encontrar los extremos de f ( x, y, z) , sujeto a g ( x, y, z) = 0 . Esto se generaliza en

forma muy simple:

a) Ahora trabajamos en el espacio XYZ en vez del plano XY.

b) Ahora f ( x, y, z) se puede representar en el espacio XYZ por superficies de nivel, donde cada

superficie es el lugar de puntos donde la función tiene un valor dado. Tal como las curvas de

nivel en dos dimensiones, las superficies de nivel resultan como hojas paralelas en cada

vecindad, y el gradiente de la función es un vector que apunta normalmente a las hojas en la

dirección en la que la función aumenta.

c) Ahora, la función de restricción g ( x, y, z) = 0 es una superficie, que corresponde a una de

las superficies de nivel de la función g ( x, y, z).

d) Claramente, el extremo de la función f sujeta a la restricción g = 0 ocurre donde el

gradiente de f es perpendicular a la superficie g = 0, es decir, nuevamente los vectores

gradiente de f y g son paralelos.

4.- MÉTODO DE LAGRANGE PARA TRES DIMENSIONES, CON DOS RESTRICCIÓNES

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 6

Page 7: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Qué pasa si hay dos ecuaciones de restricción? (en 3 dimensiones, eso puede ocurrir). En tal

caso, tenemos una función f ( x, y, z) , de la cual buscamos los extremos, sujeto a las

condiciones conjuntas: g1 ( x, y, z) = 0 y g2 ( x, y, z) = 0 .

Cada una de estas condiciones corresponde a una superficie en el espacio XYZ. La restricción

simultánea corresponde a los puntos que son comunes a ambas superficies, es decir, definen

una curva en el espacio XYZ, que es la intersección de las superficies (más vale que tal

intersección exista, pues de otro modo el problema es inconsistente).

En tal caso, el extremo de la función, al igual que en el caso en dos dimensiones, ocurre donde

la curva de restricción es tangente a una superficie de nivel de la función f. Ahora, todo el

problema es expresar esa condición en término de los gradientes:

Sabemos que en cada punto, ∇f es un vector perpendicular a la superficie de nivel donde yace

tal punto. Por lo tanto, en el punto de extremo, ∇f es perpendicular a la curva de restricción.

La última pregunta que nos queda es: ¿cómo defino la dirección de la curva de restricción?

La respuesta es que, en vez de definir la dirección de dicha curva, voy a identificar el plano

normal a la curva.

Cada superficie de restricción, en cada punto, tiene definido un gradiente, que es un vector

normal a dicha superficie. Por lo tanto, la curva de intersección de ambas superficies es

normal a ambos vectores gradiente (ver figura). El plano normal a la curva, por lo tanto, es

aquél que contiene a todos los vectores que son combinación lineal de los dos gradientes, ∇g1

y ∇g2.

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 7

Page 8: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Como en el punto de extremo, ∇f debe ser normal a la curva, entonces dicho gradiente debe

yacer en el plano normal. Esto significa que ∇f es una combinación lineal de los dos vectores

gradiente ∇g1 y ∇g2 : ∇f = λ1 ∇g1 + λ2 ∇g2, para algún λ1 y λ2 .Eso es nuevamente el

método de Lagrange.

5.- MÉTODO DE LAGRANGE GENERALIZADO

Suponga que se desea optimizar la función real valuada f(x1, x2, . . . , xn) donde las variables

x1,x2,. . . ,xn están sujetas a las restricciones de igualdad (m < n):

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0

Donde las funciones f, g1, g2,. . ., gm son diferenciables. f debe tener segundas derivadas

continuas, mientras que las gi deben tener primeras derivadas continuas.

El primer paso consiste en determinar los puntos críticos para ello se forma la función Lagrangeana:

F (x , λ)=f (x )+∑j=1

m

λj , gj(x )

Los puntos estacionarios se determinan resolviendo ∇F = 0:

Es decir, los puntos máximos o mínimos se encuentran dentro del conjunto de puntos críticos

que se obtienen de resolver el sistema formado por las ecuaciones:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 8

Page 9: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

y junto con las m ecuaciones dadas por las restricciones:

Este sistema se resuelve para las variables x1, x2, . . . ,xn y λ 1, λ 2,. . . , λ m. Así pues el sistema

consta de n + m ecuaciones en n + m incógnitas. El resultado sobre la necesidad dice: Un

máximo o mínimo al problema debe satisfacer el sistema de ecuaciones antes planteado.

Habiendo ubicado los puntos estacionarios viene el problema de determinar si son máximos o

mínimos locales. Para cada punto estacionario xo y para los valores λ1, λ2,. . ., λm

correspondientes. Se construye la matriz:

Sea ahora para i = 2, 3, . . . , n − m, Bi la matriz obtenida de B1 eliminando las primeras i − 1 filas

y las primeras i – 1 columnas, y sea ∆i el determinante de Bi.

Xo es un mínimo local si:

siendo m par cuando

∆1 > ∆0, ∆2 > 0, . . . , ∆n−m > 0

siendo m impar, cuando

∆1 <∆ 0, ∆2 < 0, . . . , ∆n−m < 0

Xo es un máximo local si:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 9

Page 10: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

siendo n par cuando

∆1 > 0, ∆2 < 0, . . . , (−1)n−m ∆n−m < 0

siendo n impar, cuando

∆1<0,∆2>0,...,(−1)n−m∆n−m>0

6.- EJEMPLO

Encuentre los valores óptimos de la función

f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2

Sujeto a

4x2 + y2 = 25

Solución:

El sistema de ecuaciones es:

De la primera ecuación despejas Y (Observe que no conviene que despeje X o λ pues implica

indicar una división con una expresión que dependerá de una variable y se tendría que

considerar por separado el caso cuando es cero.

Si sustituimos esto en las ecuaciones 2 y 3 del sistema nos queda:

Si tomamos la nueva ecuación 1 y la factorizamos queda:

Esto nos origina tres posibles casos:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 10

Page 11: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Si sustituimos el caso x = 0 en la segunda nueva ecuación nos queda:

Es decir, este caso de la primera ecuación es incompatible con la segunda. El caso λ = 2

sustituido en la segunda ecuación da:

La cual da las soluciones:

sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:

Resumiendo tenemos los puntos:

El caso λ = −17/4 sustituido en la segunda ecuación da:

La cual da las soluciones:

sustituyendo λ = 2 y estos casos de x dan en y:

Resumiendo tenemos los puntos:

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 11

Page 12: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En nuestro problema n = 2 (número de variables en f) y m = 1 (número de restricciones), y por

tanto debemos calcular ∆i desde i = 1 hasta i = n − m = 1. Es decir, que en este ejemplo basta

calcular ∆1 para cada punto. La matriz B1 queda:

Para el punto P(x = −2, y = 3, λ = 2), B1 queda:

Como m = 1 es impar, P es mínimo local.

Para el punto Q(x = 2, y = −3, λ = 2), B1 queda:

Como m = 1 es impar, Q es mínimo local.

Para el punto R(x = 3/2, y = 4, λ = −17/4), B1 queda:

Como n = 2 es par, R es máximo local.

Para el punto S(x = −3/2, y = −4, λ = −17/4), B1 queda:

Como n = 2 es par, S es máximo local.

La gráfica en la figura 1 ilustra los puntos críticos de ejemplo 1 sobre la misma superficie de la

función: se puede observar que tales puntos corresponden a los puntos más altos y más bajos

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 12

Page 13: MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

de la superficie restringidos a la elipse.

7.- BIBLIOGRAFÍA

http://www.fis.utfsm.cl/fis140/Lagrange.pdf

http://cb.mty.itesm.mx/materias/ma4011/materiales/a130-15.pdf

http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1328695759_1992907084.pdf

http://almagestoudea.files.wordpress.com/2008/07/el-gradiente-y-los-multiplicadores-de-lagrange.pdf

http://portalevlm.usal.es/INDEX_FILES/BASES/ARCHIVOS/TEMA6/MULTILAGRANGEEJ.PDF

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE POTENCIA 2 13