Método de interpolación de

Lagrange

Alvarez Serna Bryan Emmanuel.Becerril Serna Marco Eduardo.

Interpolación: Es la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos, y pretende construir una función que

los ajuste.

Como los polinomios de Taylor ya no son adecuados para la interpolación, tenemos que encontrar un polinomio de primer grado que pase por los puntos (x₀,y₀) y (x₁,y₁) con x₀≠x₁ que se aproxime a la función.Para lo cual ƒ(x₀)=y₀ & ƒ (x₁)=y₁.Considerando el polinomio lineal:

+

Considerando que x=x₀)= 1 + 0 = =ƒ()

Y con x=x₁)= 1 + 0 = =ƒ()

De la manera que construimos P es el método de interpolación usado en tablas trigonométricas o logarítmicas.

En el caso general, para cada k= 0,1,…,n, construimos un cociente

Ln,k (x) con la propiedad de que Ln,k (xi)=0 cuando i = k y Ln,k (xk)=1,

Para satisfacer Ln,k (xi)=0 para cada i = k necesitamos que el numerados de Ln,k (x) contenga el termino:

(x-x0)(x-x1)(x-xk-1)(x-xk+1) (x-xn).

Para satisfacer Ln,k (xk)=1, el denominador de Lk (x) debe coincidir con el teorema anterior cuando se evalue en x=xk

Es decir:

Este polinomio, los denominamos n-èsimo polinomio interpolante de

Lagrange y lo define el siguiente teorema.

Ln,k (x)= =n

i=0i≠k

Si , ,. . ., , son n+1 números distintos y si ƒ es una función cuyos valores están dados en esos números, entonces existe un único polinomio P de

grado a lo mas n, con la propiedad que:

ƒ()=P() para cada k= 0,1,…,n

Donde P(x) esta dado por:

P(x)=ƒ(x0)Ln,k (x) + . . . + ƒ(xn)Ln,n (x)=

Donde:

Ln,k (x)= =

Para cada k= 0,1,…,n

n

n

i=0i≠k

k=0

Siguiendo el desarrollo…

Para la función ƒ()=

Tenemos los números o “nodos”:

Debemos determinar L0 (x), L1 (x), L2 (x) y L3 (x):

Ln,k (x)=

Valor2

2.5

4

4

i=0i≠k

L0 (x)= L1 (x)=

L1 (x)=

ƒ(xk) Ln,k (x)

ƒ(x0)= 0.5

ƒ(x1)= 0.4

ƒ(x2)= 0.25

Evaluando en la función ƒ()=

Recordando que P(x) esta dado por:

P(x)=

P(x)= 0.5 ()+ 0.4 ()+ 0.25 ()

2

k=0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.5

0.333333333333333

0.25

f(x)=1/x P(x)= 0.05x² + 0.425x + 1.15

INTERVALO DE INTERPOLACION

Residuo o cota de error:Si x₀, x₁, . . ., x son números distintos al intervalo [a,b] y que ƒ ϵ [a,b], entonces

para cada x en [a,b] existe un número con

Donde P(x) es el polinomio de Lagrange o interpolante.

El error se calcula con

Para cada x[a,b], el error de interpolación admite la siguiente expresión.

Si es una cota superior para esto es:

Así obtenemos la siguiente cota superior para el error de interpolación:

;

𝑚𝑎𝑥𝑡 ∈ [𝑎 ,𝑏] ¿ƒ𝑛+1 (𝜉 (𝑥 ) )∨≤𝑀𝑛+1

|ℓ𝑛 (𝑥 )|=|ƒ (𝑥 )−𝑃𝑛 (𝑥 )|≤ 𝑀𝑛+1

(𝑛+1 ) !∨ (𝑥−𝑥0 ) (𝑥−𝑥1 )⋯ (𝑥−𝑥𝑛 )∨¿