INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON Pervys Rengifo Rengifo

MÉTODOS NUMÉRICOS

REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN

INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

• Para n+1 puntos no colineales se puede hallar un polinomio de interpolación de grado n, que pasa por todos ellos

• La forma general de este polinomio, que utiliza el método de diferencias divididas de Newton es

donde

10102010 ...... nnn xxxxbxxxxbxxbbxP

0 0

1 1 0

2 2 1 0

3 3 2 1 0

3 1 0

,

, ,

, , ,

, , ,n n

b f x

b f x x

b f x x x

b f x x x x

b f x x x

INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

,

i j

i j

i j

f x f xf x x

x x

, ,, ,

i j j k

i j k

i k

f x x f x xf x x x

x x

1 1 1 2 1 0

1 1 0

0

, , , , , , ,, , , ,

n n n n

n n

n

f x x x f x x x xf x x x x

x x

EJEMPLO

Halle el polinomio de interpolación por diferencias divididas de Newton para el siguiente conjunto de puntos, y estime el valor de la función para x=3.5 utilizando este polinomio

i xi f(xi) 0 1.5 -5 1 2.7 2 2 5.6 -2 3 7.2 10

EJEMPLO Con el fin de tener una idea de la distribución de los puntos y poder anticipar comportamientos atípicos, se grafican los puntos a interpolar

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

MÉTODO DE INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE

NEWTONPUNTOS A INTERPOLAR

• En este caso se tienen 4 puntos, es decir que se puede hallar un polinomio de grado 3 que interpole estos puntos:

• Reemplazando los valores de x0, x1 y x2, se obtiene:

EJEMPLO

21031020103 xxxxxxbxxxxbxxbbxP

6.57.25.17.25.15.1 32103 xxxbxxbxbbxP

Ahora de hallan los valores de b0, b1, b2, b3

EJEMPLO

500 xfb

8333333.55.17.2

52,

01

01011

xx

xfxfxxfb

12

1212 ,

xx

xfxfxxf

37931034.17.26.5

22, 12

xxf

EJEMPLO

02

01120122

,,,,

xx

xxfxxfxxxfb

759181385.15.16.5

8333333.537931034.12

b

13

1223123

,,,,

xx

xxfxxfxxxf

973180077.17.22.7

37931034.15.7,, 123

xxxf

EJEMPLO

03

01212301233

,,,,,,,

xx

xxxfxxxfxxxxfb

654800256.0

5.12.7

759181385.1973180077.13

b

EJEMPLO

TABLA DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS

xi f[xi] f[xi+1,xi] f[xi+2,xi+1,xi] f[xi+3,xi+2,xi+1,xi]

1.5 -5 5.83333333 -1.759181385 0.654800256

2.7 2 -1.37931034 1.973180077

5.6 -2 7.5

7.2 10

A continuación se presenta una tabla que resume el cálculo de las diferencias divididas para el problema

i xi f[xi] f[xi+1,xi] f[xi+2,xi+1,xi] f[xi+3,xi+2,xi+1,xi]

0 1.5 f[xo] f[x1,xo] f[x2,x1,xo] f[x3,x2,x1,xo]

1 2.7 f[x1] f[x2,x1] f[x3,x2,x1]

2 5.6 f[x2] f[x3,x2]

3 7.2 f[x3]

La siguiente tabla indica la denominación de cada una de las diferencias dividas de la tabla anterior

EJEMPLO

En la gráfica siguiente se observa que el polinomio de interpolación efectivamente pasa por los puntos iniciales

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

MÉTODO DE INTERPOLACIÓN POR DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE

NEWTONPUNTOS A INTERPOLAR Y POLINOMIO DE INTEROPACIÓN

EJEMPLO

Finalmente, reemplazando los valores de bo, b1, b2 y b3 resulta el siguiente Polinomio de interpolación:

Para estimar el valor de la función en x=3.5, simplemente se evalúa el polinomio de interpolación en este valor

65184759.15.3P3

6.55.37.25.35.15.3654800256.07.25.35.15.3759181385.15.15.38333333.555.3P3

6.5x7.2x5.1x654800256.07.2x5.1x759181385.15.1x8333333.55xP3