La Interpolacion en Demografia

TRABAJO SOCIAL

F

AC

ULTA

DDE

Universidad Nacional del Altiplano FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL =================================

CURSO: DEMOGRAFIA TALLER

TEMA : LA INTERPOLACION EN

DEMOGRAFIA

DOCENTE : LIC. EDGARDO SARDÓN MENESES

PRESENTADO POR:

o LAQUISE QUISPE JESUS

PUNO - PERU

Año 2013

INDICE

Pág.

Caratula

Índice

Dedicatoria

Introducción

I. LA INTERPOLACIONEN DEMOGRAFIA 5

DEFINICION. 5

PLANTEAMIENTO GENERAL 7

EJERCICIO N° 01 7

EJERCICIO N° 02 7

EJERCICIO N° 03 8

EJERCICIO N° 04 10

1.3. LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. FÓRMULA DE LAGRANGE 9

EJERCICIO N° 05 10

2 CRECIMIENTO POBLACIONAL E INTERPOLACIÓN 11

2.1 OBJETIVOS 13

2.2 2.3 CRECIMIENTO SOCIAL: 13

2.4 CRECIMIENTO TOTAL 13

2.5 PORCENTAJE DE CRECIMIENTO POBLACIONAL 14

2.6 TASA DE CRECIMIENTO POBLACIONAL 15

3. LOS MODELOS MATEMÁTICOS 18

3.1 MODELO ARITMÉTICO 18

3.2 MODELO GEOMÉTRICO 19

3.3 MODELO EXPONENCIAL 21

4. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN: 24

Conclusiones

Bibliografía

Anexos

A MI MADRE FRANCISCA

INTRODUCCION

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una

cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar

conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no

hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo

en el que conocemos los valores en los extremos.

La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo

conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus

extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

Por otro lado se denomina interpolación a la obtención de

nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de

puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un

cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un

experimento y pretender construir una función que los ajuste la cual se

desarrolla en presente trabajo.

nacimientos, muertes, movimientos de la población ente otros. El

crecimiento de la población es cuando el crecimiento natural y el saldo migratorio

son positivos. El crecimiento natural de la población es por nacimientos y muertes,

y el crecimiento demográfico es por inmigración y emigración.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo

http://es.wikipedia.org/wiki/Experimento

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1ticas%29

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO – PUNO FACULTAD DE TRABAJO SOCIAL

DEMOGRAFIA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA

5

I. LA INTERPOLACION EN DEMOGRAFIA

1.1 DEFINICION.- La interpolación es una Situación o colocación de una cosa

entre otras, especialmente de palabras o fragmentos en un texto ajeno. Y de otro

modo también se considera como el procedimiento que permite calcular el valor

aproximado de una función para un valor x de la variable, conociendo los valores

que toma dicha función en los puntos x1, x2,..., xn.

1.2 PLANTEAMIENTO GENERAL

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan

una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la

derecha de xn o a la izquierda de xo.

Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por esos puntos y

que nos sirva para estimar los valores deseados.

El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios

“interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy

próximo a uno de los extremos.

2. Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la

misma:

(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)

Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder

estudiarla en otros puntos.



6

Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos

quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones

más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor

grado que pase por los n+1 puntos dados.

La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es en

principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao

Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas

(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los

coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez

obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de

la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática

cuando se tomen tres.

En este tema nos limitaremos a estos dos tipos de interpolación.

Ejemplo 1. De una función conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué

podemos decir de esa función cuando x=0 y cuando x=10?

Solución

Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º grado

y= ax2 + bx +c, que pase por los tres puntos ,

Se verifica:

5=a(-3)2+b(-3)+c por pasar por el punto (-3, 5)

-1=a+b+c por pasar por el punto (1, -1)

11=a.32+b.3+c por pasar por el punto (3, 11)

Resolviendo el sistema que se nos plantea nos queda:

y= P(x)=

Cuando x=0, P(0)=-13/4; si x=10, P(10)=527/4



7

El primero, una interpolación, es probablemente una buena aproximación del valor

de la función desconocida, en el punto 0.

Sin embargo, el valor 527/4 es probable que se parezca poco al valor de la

función en el punto 10, pues es el resultado de una extrapolación muy lejana.

No se pueden dar reglas generales para decidir cuál es la interpolación más

adecuada, pues no siempre al aumentar el grado del polinomio aumenta la

precisión en la estimación.

Depende siempre del caso concreto a estudiar. A veces la naturaleza del

problema nos da una idea de cuál es la interpolación (o extrapolación) más

conveniente. Por ejemplo si los incrementos de la función son proporcionales a los

de la variable independiente (o casi proporcionales) podremos usar la

interpolación lineal.

Ejercicio 1.

Se conoce la población de cierto municipio, para el 31 de diciembre en los

años que se indican:

años 1950 1960 1970 1980 1990

Población 827 1058 1304 1582 1836

Efectuar una representación gráfica y observar cuál sería en este caso la

interpolación más conveniente.

Ejercicio 2.

Un investigador ha observado que la vida media de una bacteria varía con

la temperatura media en la siguiente forma

Temperatura 6º 9º 12º 15º 16º

Vida media 104,2 140,4 181,7 220,2 257,6

Se pide:



8

a) Efectuar una representación gráfica, tomando en abscisas las temperatura s y

en ordenadas la vida media.

b) Calcular las variaciones de la función “vida media” al variar la temperatura.

c) ¿Los resultados anteriores indican que la vida media varía linealmente con la

temperatura?

d) En caso afirmativo, mediante interpolación lineal, obtener la vida media para las

siguientes temperaturas: 8º, 10,2º, 14,5º y 15,3º

Ejercicio 3.

En una facultad universitaria de nueva creación el número de alumnos

matriculados evolucionó de la siguiente forma:

Años 1 2 3 4 5

Alumnos

matriculados

425 640 941 2790 6123

a) Efectuar una representación gráfica tomando como abscisas los años y como

ordenadas el nº de alumnos.

b) ¿Hubiese sido una “buena idea” obtener el número de alumnos matriculados en

el tercer curso mediante la interpolación lineal?

c) ¿Cuál crees que sería la más conveniente?

3. Interpolación lineal

Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o

casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha

función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal

consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1.

Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:



9

Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

Ejercicio 4.

El número de turistas entrados en España en el período 1980-1995 siguió la

siguiente tendencia:

Año 1980 1985 1990 1995

Millones de

turistas

24,1 30,1 38,0 43,2

a) Expresar la función definida a trozos que daría, por interpolación lineal, el

número de turistas en cada año intermedio. Calcular el número de turistas en 1986

b) Hallar la previsión para el año 1988 (suponiendo fuese lineal).

1.3. LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. FÓRMULA DE LAGRANGE

Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el

nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se

encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es

preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores

que determinan a la función cuadrática (a, b y c)

También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:

y= a + b(x-x0) + c(x-x0)(x-x1), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy

sencilla.



10

Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios

interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por

los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):

Que es la fórmula de Lagrange para n=2.

Ejercicio 5.

El número en miles de habitantes, de una determinada ciudad ha

evolucionado según la siguiente tabla:

Años 1997 1998 1999

Población 53 71 91

Sabiendo que dicha población se ajusta a una función cuadrática, calcular

la población que tenía la ciudad en 1995 y que tendrá en el año 2000.

1.4 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. El número de turistas que visitaron España en el periodo 1975-1990 está

reflejado en la siguiente tabla:

Años 1975 1980 1985 1990

Millones de turistas 24,1 30,1 38,1 43,2

Calcular, utilizando un polinomio de interpolación adecuado (cuadrático, al

menos), el número de turistas que visitarán España en 1995.

2. En la tabla siguiente se indica el tiempo (en días) y el peso (en gramos) de

tres embriones de cierta especie animal:



11

Tiempo 3 5 8

Peso 8 22 73

a) Obtener el polinomio de interpolación de 2º grado correspondiente.

b) Determinar, a partir de dicho polinomio, el peso que correspondería a un

embrión de 6,5 días.

3. Dada la siguiente tabla, obtener por interpolación lineal el valor de .

x 0 1 2

1 1,4142 1,7321

(Sol. 0,7514)

4. De una función f(x) se conocen los valores f(1)=0, f(2)=4, f(5)=52. Hallar el

correspondiente polinomio cuadrático de interpolación. Estimar el valor de la

función en x=3 y en x=6. (Sol. P(x) = 3x2 –5x +2, P(3)=14 y P(6)=80)

5. Obtener la ecuación de la interpolación cuadrática que pasa por los puntos

A(0,4), B(1,3) y C(-1, 9). (Sol. P(x)= 2x2 – 3x + 4)

6. El aumento de líneas telefónicas instaladas en España durante los tres últimos

años fue:

Años 1995 1996 1997

Millones de líneas 8,457 8,882 9,640

a) ¿Es lineal el aumento producido?

b) Calcular el valor esperado en 1998 mediante una extrapolación cuadrática. (Sol.

10,731)

7. Dada la tabla de la función y = f(x)

x 1 2 3 4

f(x) 2 -1 6 0

Calcular el error cometido cuando se calcula f(4) mediante la interpolación

cuadrática, obtenida usando los otros valores de la tabla. (Sol. 23)



12

2 CRECIMIENTO POBLACIONAL E INTERPOLACIÓN

2.1 OBJETIVOS

Una vez finalizado el estudio de la presente sesión el estudiante será capaz de:

Identificar el efecto de los procesos de entrada y salida en una población.

Interpretar los conceptos: Crecimiento absoluto y crecimiento natural o

vegetativo.

Valorar la importancia de la ecuación compensadora dentro de los análisis

poblacionales.

Determinar el valor de las tasas de crecimiento de una población bajo

diferentes supuestos.

Identificar modelos matemáticos sobre el crecimiento de una

población: Modelo aritmético, modelo geométrico y modelo exponencial.

Determinar el tiempo aproximado de duplicación de una población.

Valorar la importancia de los procesos de interpolación y extrapolación

dentro de los análisis demográficos.

Dominar estrategias matemáticas de interpolación y extrapolación de

valores demográficos: conociendo dos puntos, conociendo más de dos

puntos y mediante desagregación de grupos.

¿Cuáles son los elementos que intervienen para que una población cambie de

tamaño constantemente?

En el primer capítulo se discutió sobre los principales determinantes del

cambio demográfico y su efecto en el tamaño de una población. Se mencionó

como, en cierto período de tiempo, el tamaño de una población puede crecer,



13

mantenerse constante o disminuir, dependiendo del efecto que estén ejerciendo

estos determinantes o componentes de cambio. Estos agentes crean dos proceso

dentro de la dinámica de una población. El primer proceso introduce nuevos

elementos a la población, se conoce como proceso de entrada y en el intervienen

la fecundidad o natalidad y la inmigración. El segundo proceso excluye individuos

de la población, se conoce como proceso de salida, y en él intervienen la

mortalidad y la emigración.

Las relaciones entre estos dos procesos es la que provoca que el tamaño

de la población esté expuesto a cambiar continuamente. De estas relaciones los

demógrafos han establecidos tres procesos de crecimiento:

2.2 CRECIMIENTO NATURAL: Está constituido por la diferencia entre los

nacimientos y las defunciones ocurridas en el período de interés, también se le

llama crecimiento vegetativo. Se denotará con "CN" y su valor, entre el tiempo t y

t+k, se define por:

CN(t,t+k) = B(t,t+k) - D(t,t+k)

2.3 CRECIMIENTO SOCIAL: También se conoce como Saldo Migratorio y está

constituido por la diferencia entre inmigrantes y los emigrantes de la localidad. Se

representará con "SM", su valor entre el tiempo t y t+k, se define por:

SM(t,t+k) = I(t,t+k) - E(t,t+k)

2.4 CRECIMIENTO TOTAL: Constituye el crecimiento total de una población, se

represente con "C" y se define como la suma del crecimiento natural y el

crecimiento social. Entonces su valor entre los momentos t y t+k es:



14

C(t,t+k) = CN(t,t+k) - SM(t,t+k)

C(t,t+k) = B(t,t+k) - D(t,t+k)+ I(t,t+k) - E(t,t+k)

Estas relaciones constituyen el principio básico de los análisis

demográficos. Entonces el crecimiento de una población entre los momentos t y

t+k viene dada por:

Nt+k - Nt = C(t,t+k)

Con lo cual:

Nt+k = Nt + C(t,t+k)

Nt+k = Nt + B(t,t+k) - D(t,t+k)+ I(t,t+k) - E(t,t+k)

Esta última ecuación recibe el nombre de ecuación compensadora del cambio

demográfico, y como se verá a lo largo del curso, tiene gran cantidad de

aplicaciones dentro del campo demográfico.

¿Cómo medir el ritmo de cambio del tamaño poblacional entre dos o más

momentos?

2.5 PORCENTAJE DE CRECIMIENTO POBLACIONAL: Hasta el momento

únicamente se ha analizado el incremento absoluto; pero este valor, por si solo, no

permite valorar la verdadera magnitud del crecimiento alcanzado. Existen

diferentes estrategias que permiten medir el ritmo de crecimiento de una

población, para ello se debe recurrir a una media relativa donde se eliminen los

efectos de los tamaños poblacionales y del intervalo de tiempo

correspondiente. La medida más simple consiste en el cociente:



15

Donde:

Ni: Representa la población del inicio del intervalo

Nf: Representa la población al final del intervalo

Este cociente permite medir el peso porcentual de la población final con respecto a

la población inicial. Esta cifra presentan tres posibilidades:

Si P > 100 entonces la población experimentó un crecimiento en este

período y su porcentaje de crecimiento es (P - 100)%.

Si P < 100 entonces la población decreció en el período en un porcentaje

de (100 - P)%.

Si P = 100 entonces la población se mantuvo constante en el período, por

lo que su ritmo de crecimiento es nulo.

2.6 TASA DE CRECIMIENTO POBLACIONAL: Como se mencionó en la Tercera

Sesión, es posible aproximar el tiempo vivido entre los momentos t y t+k por medio

del producto entre la población media " " y el tiempo de transcurrido entre estos

dos momentos "Dt" es decir:



16

De esta manera la tasa de crecimiento poblacional entre t y t+k se puede

aproximar por cociente del crecimiento absoluto C(t,t+k) y la aproximación del

tiempo vivido. Esta tasa se acostumbre representar con "r" y viene dada por:

Con lo cual

r = b - d + i - e

o más simplemente

r = b - d + sm

donde:

b: Representa la tasa bruta de natalidad d: Representa la tasa bruta de mortalidad i: Representa la tasa bruta de inmigración e: Representa la tasa bruta de emigración sm: Representa la tasa de migración neta (sm = i - e) Del mismo modo, la tasa de crecimiento natural "r n" viene dada por:

r n = b - d



17

El siguiente cuadro presenta la información de los censos de Costa Rica desde

1950 hasta el año 2000. También se incluye el porcentaje de crecimiento

poblacional entre los censos consecutivos y el tiempo transcurrido entre ellos.

Costa Rica: Porcentaje de crecimiento y tasa de crecimiento en los períodos inter-

censales. 1950-2000

Fuente: INEC. Censos Nacionales del año 2000. San José, Costa Rica.

www.inec.go.cr/INEC2/censo2000.pdf.

1 Para la determinación de estas tasas se utilizó la fórmula como población media

el promedio simple de los valores poblacionales. r = (Nf - Ni)/(k· ), donde = (Nf

+ Ni)/2.

Se ha estimado que para el período 1984-2000 la tasa bruta anual de

mortalidad y natalidad para Costa Rica fueron respectivamente de b = 0,026 y d =

0,004. Con estas cifras y el valor de r = 0,028 de la tabla anterior se tiene que:

r n = 0,026 - 0,004 = 0,022

sm = 0,028 - 0,022 = 0,004

El crecimiento vegetativo anual de Costa Rica durante el período 1984-2000

fue de 22 personas por cada mil habitantes. Mientras que a el saldo migratorio

neto en este mismo período fue de 4 personas por cada mil habitantes. Se debe



18

aclarar que estos datos suponen que no existen errores en el registro de

estadísticas vitales ni de cobertura en los datos censales.

Una de las aplicaciones de mayor interés que tienen estos conceptos lo

constituye la evaluación de las información censal. Desafortunadamente, para ello

se requiere de contar con información sobre migración. A manera de ejemplo,

considere la siguiente información para Costa Rica.

1 Obtenido por una proyección del Censo de Población 1984

2 Información obtenida por medio de CELADE.

La población de Costa Rica estimada al 1 de enero de 1984 es:

N01/01/84 = 1 902 093 + 663 910 - 96 018 + 50 000 = 2 519 985

Si lo que se pretende es evaluar el censo de población de 1984, esta

información indica que se presentó una diferencia de aproximadamente 130 000

habitantes entre el valor del censo y del valor estimado por esta

técnica. Suponiendo los datos como válidos, se observa una sub-enumeración en

el censo de 1984 en aproximadamente 5,2%.

3. LOS MODELOS MATEMÁTICOS



19

Una tasa de crecimiento poblacional puede ser estimada suponiendo que

este crecimiento sigue cierto patrón preestablecido. Los análisis más utilizados en

demografía parten del supuesto que la población sigue cierto modelo matemático,

y el procedimiento consiste en estimar la relación funcional que lo

explica. Generalmente se consideran tres modelos básicos:

3.1 MODELO ARITMÉTICO: Es el más simple de todos, supone que la población

tiene un comportamiento lineal y por ende, la razón de cambio se supone

constante, es decir se incrementa en la misma cantidad cada unidad de tiempo

considerada.

Puesto que la razón de cambio se supone constante y si "r" es la tasa de

crecimiento por unidad de tiempo, entonces el crecimiento de la población entre un

momento t y un momento t + k viene dada por:

DN = Ni · r · k

Entonces la población en el momento t + k sería:

Nf = Ni + DN



20

Es decir:

Nf = Ni + Ni · r · k

Nf= Ni (1+ r · k)

Si se despeja el valor de "r" en la ecuación anterior, se obtiene la fórmula para la

tasa de crecimiento bajo el supuesto aritmético:

Si se considera nuevamente la información de los censos de Costa Rica,

particularmente los dos últimos, se tiene que bajo el supuesto aritmético su tasa

de crecimiento sería:

3.2 MODELO GEOMÉTRICO: En el modelo aritmético el supuesto básico consiste

en que la población crece en un mismo monto cada unidad de tiempo. En el

modelo exponencial se mantiene constante es el porcentaje de crecimiento por

unidad de tiempo y no el monto.



21

Supongamos que "r" es la tasa de crecimiento por unidad de tiempo, el tamaño de

la población en la primer unidad de tiempo está dado por:

N1 = Ni + Ni · r = Ni ·(1 + r)

Para la segunda unidad de tiempo:

N2 = N1 + N1 · r = N1 ·(1 + r) = [Ni ·(1 + r)]·(1 + r) =Ni ·(1 + r)2

Para la tercera unidad de tiempo:

N3 = N2 + N2 · r = N2 ·(1 + r) = [Ni ·(1 + r)2]·(1 + r) =Ni ·(1 + r)3

Generalizando este resultado para el momento t + k, la población sería;

Nf = Ni ·(1 + r)k

Nuevamente si de despeja el valor de "r" en esta ecuación, se obtiene la fórmula

para la tasa de crecimiento poblacional bajo el supuesto geométrico:

Repitiendo el ejemplo hecho para el caso aritmético, bajo el supuesto geométrico,

la tasa de crecimiento poblacional para el período 1984-2000 es:



22

3.3 MODELO EXPONENCIAL: A diferencia del modelo geométrico el modelo

exponencial supone que el crecimiento se produce en forma continua y no cada

unidad de tiempo. Este supuesto obliga a sustituir la expresión "(1 + r)k" por "er·t"

o "Exp(r·t)". La justificación de esta sustitución se fundamenta en principios del

Cálculo Matemático, y su demostración sobrepasa los objetivos de este curso.

El tamaño de la población en el momento t + k viene dado por:

Nf = Ni ·er·k = Ni · Exp(r·k)

Entonces, la tasa de crecimiento poblacional bajo este supuesto viene dada por:

Bajo este modelo la tasa de crecimiento poblacional para el período 1984-2000 es:



23

Como puede notarse esta tasa es similar al obtenido por la fórmula general:

cuyo valor aparece en la tabla dada arriba. Si se analiza el gráficamente el

crecimiento experimentado por la población de Costa Rica desde el año 1864:

Fuente: INEC. Censos Nacionales del año 2000. San José, Costa Rica.


Claramente puede observarse que efectivamente el crecimiento

experimentado por esta población sigue en patrón que se asemeja a una función

exponencial, por lo que se podría concluir que, al menos entre 1960 y el año 2000,



24

el modelo que mejor explica el comportamiento de la población de Costa Rica es

el Exponencial.

¿Cuánto tiempo requiere una población para duplicar su tamaño?

La respuesta a esta pregunta requiere de una serie de hipótesis sobre el

comportamiento futuro de la población. Los métodos más simples consisten en

suponer que el crecimiento de la población sigue un modelo matemático similar a

los estudiados anteriormente. Para aplicar cualquiera de estos métodos se

requiere conocer la tasa de crecimiento de la población y suponer que permanece

constante en el futuro. Bajo estos supuestos la determinación del tiempo de

duplicación se obtiene de un simple despeje matemático sustituyendo Nf con 2Ni.

En la siguiente tabla se presenta las ecuaciones que permiten estimar el tiempo de

duplicación de la población bajo los tres supuestos matemáticos.

Por razones prácticas el modelo que es utilizado en mayor medida por los

demógrafos es el exponencial.

A continuación se detallan el tiempo de duplicación del tamaño de la población de

Costa Rica, a partir del año 2000 y bajo las hipótesis de un crecimiento similar al

que se presentó en el período 1984-2000.



25

Estos tres modelos señalan que si la población de Costa Rica continúa creciendo

al ritmo que lo hizo en el período 1984-2000, duplicaría su tamaño antes del año

2030.

¿Cómo poder estimar el tamaño de una población en períodos inter-censales

y post-censales?

4. INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN:

Los modelos matemáticos que se han utilizado anteriormente pueden ser

utilizados para estimar el tamaño de una población en un momento concreto, ya

sea en un memento entre dos censos o predecir el tamaño que esta población

podría tener o haber tenido en un momento futuro o pasado respectivamente. Para

ello se deben considerarse las mismas hipótesis analizadas antes. Cuando la

estimación se realiza para un momento entre dos puntos conocidos (dos censos)

se llama interpolación; pero cuando se realiza hacia el futuro o hacia el pasado de

un período conocido se le llama extrapolación.

Por ejemplo, supóngase que se desea estimar la población de Costa Rica,

bajo los tres modelos básicos, para el 30 de junio de 1990 y para el 30 de junio del

año 2010. El siguiente cuadro presenta un resumen de los elementos más

importantes que deben considerarse para efectuar estas estimaciones.



26

Como se puede notar existen importantes diferencias en las predicciones

hechas por los diferentes modelos, entre los modelos. De acuerdo con la discusión

hecha, si los supuestos se mantienen, el modelo que daría la mejor predicción

sería el exponencial, aunque no presenta diferencias muy marcadas con el

geométrico.

Sin embargo, existen muchas otras técnicas matemáticas que permiten

efectuar interpolaciones y extrapolaciones. Las que se han desarrollado hasta el



27

momento parten del conocimiento de dos puntos; sin embargo muchas otras

técnicas requieren de más de un punto para estimar el modelo funcional que

puede ser utilizado en las predicciones.

Basados en principios matemáticos y estadísticos es posible aproximar funciones

que realicen predicciones fundamentadas en una serie de puntos u

observaciones. Con los actuales herramientas tecnológicas no es necesario saber

mucha matemática para poder poner en práctica estos principios. Con una simple

"hoja de cálculo" (Microsoft Excel) es posible determinar una modelo matemático

que ajuste una serie de puntos de una manera muy acertada.

A modo de ejemplo, si se considera la población Costa Rica de acuerdo con los

nueve censos de población efectuados, es posible por medio de Microsoft Excel

generar un modelo matemático que permita estimar la población a partir de 1850.

De este modo el modelo matemático generado por el programa es:



28

Nt = 78475·e0,0252·t (t es número de años trascurridos desde 1850)

Con este modelo para el año 1990 (t = 140) la población de Costa Rica era de:

N1990 = 78475·e0,0252·140 = 2 672 528

Mientras que para el año 2010 (t = 160) la población de Costa Rica sería de:

N2010 = 78475·e0,0252·160 = 4 423 914

De acuerdo con los resultados del último censo, pareciera que este modelo

subestima el valor poblacional, sobre todo en los años en que se efectuaron las

estimaciones; no obstante, es una muy buena aproximación matemática sobre el

comportamiento de la población de Costa Rica en los últimos 150 años.

CONCLUSIONES

PRIMERA.- La interpolación es una Situación o colocación de una cosa entre

otras, especialmente de palabras o fragmentos en un texto ajeno.

SEGUNDA.- El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los

polinomios “interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe

estar muy próximo a uno de los extremos.

TERCERA.- La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos [1] es

en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao

Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas

(sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los

coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

BIBLIOGRAFIA WEBGRAFIA

Roland Pressat, Introducción a la demografía, Ariel, 1977, ISBN 84-344-1033-8,

pag. 187

www.inec.go.cr/INEC2/censo2000.pdf. Fuente: INEC. Censos Nacionales del año 2000. San José, Costa Rica.


http://age-tig.es/docs/XII_1/012%20-%20Garcia%20y%20Cebrian.pdf

http://www.eustat.es/document/Proyecciones_2020_Informe_Metodol%F3gico_c.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8434410338

http://www.inec.go.cr/INEC2/censo2000.pdf

http://age-tig.es/docs/XII_1/012%20-%20Garcia%20y%20Cebrian.pdf

La Interpolacion en Demografia

Documents

Transcript of La Interpolacion en Demografia