Polinomio de Lagrange

La interpolación de Lagrange es una muy conocida técnica clásica técnica para interpolación. Mas generalmente, el termino interpolación polinomial se refiere a la interpolación de Lagrange. En el caso de primer orden, se reduce a interpolación lineal.

Para comenzar a describir este método, primero comenzaremos analizando la ecuación de una recta o función lineal, ya que el polinomio que se ajusta a esta función es el más fácil de obtener.

Dados dos pares de puntos (x0,y0), (x1,y1), sabemos que si pertenecen a una recta, esta tendrá como el valor de la pendiente m= (y1-y0)/(x1-x0), que se representaría en la ecuación de la recta así:

y=P(x)= y0 + (x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)

es un polinomio de grado <=1 y al evaluar P(x) en x0 y x1 da como resultado

P(x0)= y0 + (0)*(y1-y0)/(x1-x0)= y0, P(x1)= y0 + (1)*(y1-y0)= y1

Con esto se ve claramente que este polinomio pasa exactamente por los puntos y1 y y0

Lagrange pudo generalizar una fórmula para un polinomio de cualquier grado así:

Para un polinomio de grado N que pase por N+1 puntos (x0,y0), (x1,y1),…, (xN,yN)

Donde LN,k es el polinomio de Lagrange para los puntos x0, x1,…,xN definido por:

Para cada k fijo, el polinomio coeficiente de Lagrange LN,k tiene la siguiente propiedad:

Al sustituir los valores anteriores en la formula general de Lagrange podemos ver que el polinomio y=PN(x) pasa por los puntos (xj,yj):

Error: supongamos una función f que pertenece a CN+1[a,b] y que x0, x1,…,xN pertenecen a [a,b] son N+1 nodos de interpolación. Si x pertenece a [a,b], entonces

Donde PN(x) es un polinomio que podemos usar para aproximar a f(x), que es llamado polinomio interpolador de Lagrange para los nodos o x dados, y el término EN(x) es el término del error que se puede escribir como:

Para algún c=c(x) que este en el intervalo [a,b].

A continuación un pseudocódigo del metodo de interpolacion de Lagrange generalizado:

FUNCTION Lagrng(x, y, n, x)

sum = 0

DOFOR i = 0, n

product = y i

DOFOR j = 0, n

IF i ≠ j THEN

product = product*(x – x j )/(x i – x j )

ENDIF

END DO

sum = sum + product

END DO

Lagrng = sum

END Lagrng

Polinomio de Lagrange de primer grado

Polinomio de Lagrange de segundo grado