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7/23/2019 DERIVADAS PARCIALES jheferson.docx http://slidepdf.com/reader/full/derivadas-parciales-jhefersondocx 1/37 INDICE: 1.- INTRODUCCION 3 2.- OBJETIVOS 4 3.-MARCO TEORICO 5 4.- ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES  Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA 5 5.-ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES SEPARABLES 8 6.- ECUACIONES CLASICA Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA 11 7.- ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE CALOR ECUACIÓN DE ONDA. 1! 8.- ECUACIÓN DE LAPLANCE. 25 !.-ECUACIONES NO "OMO#ENEAS Y CONDICIONES EN LAS FRONTERAS 2! 1$.- CONCLUSIONES 32

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INDICE:

1.- INTRODUCCION 3

2.- OBJETIVOS 4

3.-MARCO TEORICO 5

4.- ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA 5

5.-ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESSEPARABLES 8

6.- ECUACIONES CLASICA Y PROBLEMAS DE VALOR EN LAFRONTERA 11

7.- ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE CALOR ECUACIÓN DE ONDA.

1!

8.- ECUACIÓN DE LAPLANCE. 25

!.-ECUACIONES NO "OMO#ENEAS Y CONDICIONES EN LASFRONTERAS 2!

1$.- CONCLUSIONES 32

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INTRODUCCIÓN

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OBJETIVOS

C:*:% >& &*' %&'%()* * +(0'+' '%('/.

A*+ &' /' '*,:;'+' + L'/'% * /' :/&%()* +%&'%(:* (*?'/ + (;' + %&'%(:* +(,*%('/.

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ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA

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a2 d

d x

2=

d2

θ

d t 

2 0< x<1 , t >0

θ (0,t )=0 ,dθ

dx

|¿0 ,t >0 x=1

θ ( x ,0 )= x , dθ

dt 

|¿0 ,0< x<1t =0

L' %:*+(%()* * /' ,:*' *  x=1,   //';' %:*+(%()* + ;:

/(. "'// θ( x ,t ) .

S:/&%()*

1 C:* θ= XT   *;: >&G

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 X ' ' +γ 

2 X =0 , T 

' ' +a2

γ 2

T =0

E*:*%G

 X  ( x )=c1

cosγx+c2

senγx y T ( t )=c3

cosaγt +c4

senaγt 

L' %:*+(%(:* * /' ,:*'  X (0)=0    X ’(1)=0   +'* c1=0  

c2

cosλ=0,   %(0';*. C:;: /' ,&*%()* %:*: %: *

;/(/: (;' + K2 /: 0'/: :(: +/ :/;' :* X =(2n−l)(d 2) n=1,2,3,   L' %:*+(%()* (*(%(' T ’ (0) *: +' %:;:

&/'+: c4=0,  + ;:+: >&G

θn= XT = A n cosa( 2n−1

2   )πt sen(2n−1

2   ) πx

P'' '(,'% /' %:*+(%()* (*(%('/ '* ,:;';:G

θ ( x , t )=∑n=1

 An cosa

(2n−1

2

  )πt sen

(2n−1

2

  )πx

C&'*+: t =0   + * '' 0< x<1

θ ( x ,0 )= x=∑n=1

 An sen (2n−1

2   )πx

L' ( &*' ( + F:&( ?*'/(9'+' : %:*(?&(*G

 A n=∫0

1

 xsen(2n−1

2   )πxdx

∫0

1

sen2( 2n−1

2   )πxdx

E*:*% / <*?&/: + :%(;(*: G

θ ( x , t )= 8

π 2∑n=1

∞ (−1)n+1

(2n−1 )2 cosa

(2n−1

2   )πt sen

(2n−1

2   )πx

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PROBLEMAS DEVALOR INICIALY DE FRONTERA

E;/:G

1. U*' '=%&/' P ;&0 ' /: /'?: +/ + ;'*' '/ >& &

'%/'%()* * %&'/>&( (;: t ≥0   < +'+' :

a(t )=8−4 t +t 2

.   E*%&* /' :(%()*  x (t )   + /' '=%&/' *

%&'/>&( (;: &:*(*+: >& (*(%('/;* /' '=%&/' <

/:%'/(9'+' *  x=1   < 0(''*+: ' &*' 0/:%(+'+ + v=3.

R:/&%()*G

R%&+ >& /' (;' +(0'+' + /' :(%()* *: +' /' 0/:%(+'+ /' ?&*+' +(0'+' /' '%/'%()*. D +:*+ / :/;' + 0'/:(*(%('/ ='G

d2 x

d t 2 =8−4 t +t 

2

 x (0 )=1

 x' (0 )=−3

I*?'*+: %:* %: '  X   :*;:G

dxdt =8t −2 t 

2+ t 3

3+ A

&'*+: /' %:*+(%()*  X (0)=1  :+;: '//' >&  A=3 ,  %:* /:

%&'/ /' 0/:%(+'+ * %&'/>&( (;: ='G

dxdt  =8t −2 t 2+ t 

3

3 −3

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 x ( t )=  1

12t 4−

2

3t 3+4 t 

2−3 t +1

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESSEPARABLES

E* ;' 0;: +: :%+(;(*: '' :/0 %&'%(:** +(0'+' '%('/ >& &?* %:* ,%&*%(' * :/;'+:*+ ''%* 0('%(:* :*%('/ +((&%(:* +;'&'. E: :/;' //';'* :/;' + 0'/: * /',:*' +%(* ;+('* %&'%(:* + +(0'+' '%('/+ ?&*+: :+* >& :* /'(0';* (;/. L: >& '%

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(*+*+(*  x y ,  G

 A d

2u

d x2+B

  d2

u

dxdy +C 

 d2

u

d y2+ D

 du

dx+ E

 du

dy + Fu= ,

E* >&  A , B , C , ! ,  :* ,&*%(:* + ( x , y )  . C&'*+: ( x , y )=0,

/' %&'%()* //';' :;:?*' * %&'/>&( :: %': *::;:?*'.

Ejemplo 01:

EDP /(*'/ :;:?*'.

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L' %&'%()* d

2u

d x2+

d2

u

d y2−u=0   :;:?*' ;(*' >&

d2

u

d x

2−

du

dy

= x2

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0'('/ (*+*+(* ( x , y )   &*' ,&*%()* u( x , y )  >& :

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* '/?&*' ?()* +/ /'*:  xy .

C:;: +(% /' (*:+&%%()* ' ;' *: *+;:

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u ( x , y )= X ( x ) ."  ( y ) ,

' 0% :(/ %:*0( &*' %&'%()* * +(0'+' '%('//(*'/ %:* +: 0'('/ * +: %&'%(:* +(,*%('/ :+(*'('.

P'' '%/: *:;: >&du

dx= X 

' " 

 du

dy= X" ' 

" #ue d

2u

d x2= X 

' ' " 

  d2

u

d y2= X" ' ' 

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D:*+ /' (;' +*:' +(0'%()* :+(*'('.

Ejemplo 0): S''%()* + 0'('/

D;(* /' :/&%(:* :+&%: +d

2u

d x2=4

 du

dy

Sol*!"#$:

S( u ( x , y )= X ( x ) " ( y ) ,  /' %&'%()* '*,:;' *

 X ' ' 

" =4 x" ' 

D(0(+(;: ';: /'+: * 4 X" ,  %:* /: %&'/ '';: /'

0'('/G

 X ' ' 

4 x =

" ' 

P&: >& / /'+: (9>&(+: + ' %&'%()* (*+*+(* + (?&'/ '/ /'+: +%: >& (*+*+(* + //?';: ' /'

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E* /' <%(%' '%:&;' %(( ' %:*'* + ''%()*

'/ %:;: γ 2

o−γ 2

.  

D((*?&(;: /: %': (?&(*.

Ca(o 01: S( γ 2>0,  /' +: (?&'/+'+G

 X ' ' 

4 x =

" ' 

"  =γ 

2

E/ %&'/ +'*  X ' ' −4 γ 

2 X =0 y " 

' −γ 2

" =0

E' %&'%(:* (** /' :/&%(:* (?&(*G

 X =c1

e−2 γx+c

2e2 γx

 y " =c3

eγ 2 y

,

R%(0';*. A= &*' :/&%()* '(%&/' + /' %&'%()*

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u= X" 

¿ (c1e−2 γx+c

2e2 γx )(c

3e

γ 2 y )

¿ A1

e−2 γx

eγ 2 y+B

1c2

e2 γx

eγ 2 y

,

E* >&  A1=c

1c3 y B

1=c

2c3

Ca(o ): S( −γ 2<0,   /' +: (?&'/+'+

 X ' ' 

4 x =

" ' 

"  =−γ 

2

E>&(0'/* '  X ' ' +4 γ 

2 X =0 y " 

' +γ 2

" =0

E* 0(' + >& /' :/&%(:* + ' %&'%(:* :*G

 X =c4cos2 γx+c

5sen2γx y " =c

6e−γ 

2 y

R%(0';* :' :/&%()* '(%&/' G

u= A2

e−γ 

2 ycos2γx+B

2e−γ 

2 y

sen2 γx

E* +:*+  A2=c

4c6 y B

2=c

5c6  

Ca(o +: S( γ 2=0,   *:*%

 X ' ' =0 y " 

' =0

E* %':

 X =c7 x+c

8 y " =c

9

u= A3 x+B3

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 Y *:*%G

u= A3 x+B

3  

4

E* +:*+  A3=c

7c9

B3=c

8c9

L' ''%()* + 0'('/ *: &* ;:+: ?*'/ '' '//':/&%(:* '(%&/' '/?&*' %&'%(:* +(,*%('/(;/;* *: :* ''/.

C/'(H%'%()* + /' %&'%(:*.- U*' %&'%()* * +(0'+' '%('/

/(*'/ + ?&*+: :+* %:* +: 0'('/ (*+*+(* %:*%:H%(* %:*'* &+ *% ' &*: + (:?*'/.

TEOREMA: p"$!"p"o %e (*pepo("!"#$,

S( u1

,u2

, ! ! , un   :* :/&%(:* + &*' %&'%()* * +(0'+'

'%('/ /(*'/ :;:?*' /' %:;(*'%()* /(*'/

u=c1

u1+c

2u

2+...+c$ u$ 

E* /' >& c %=1,2,! , $  :* %:*'* ';(* &*' :/&%()*.

S&:*+;: >& (; >& '' &* %:*&*: (*H*(:

u1

,u2

, u3

, ! .

D :/&%(:* + &*' %&'%()* /(*'/ :;:?*' &+ %:*&(:' :/&%(:* & ,:;'*+: /' ( (*H*('

u=∑$ =1

 x

c$ u$ 

E* >& /' c %=1,2,! ,  :* %:*'*.

 

Cla("-!a!"#$ %e la( e!*a!"o$e(,. &*' %&'%()* * +(0'+''%('/ /(*'/ + ?&*+: :+* %:* +: 0'('/

(*+*+(* %:* %:H%(* %:*'* &+* *%' &*: + (: ?*'/. E' %/'(H%'%()* :/: +*+ +

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/: %:H%(* + /' +(0'+' + ?&*+: :+*. N'&'/;*&:*;: >& '/ ;*: &*: + /: %:H%(* A B C *: %:.

L' %&'%()* * +(0'+' '%('/ /(*'/ + ?&*+: :+*

 A d2u

d x2+B

  d2u

dxdy +C 

 d2u

d y2+ D

 du

dx+ E

 du

dy + Fu=0,

E* +:*+ A B C D E F :* %:*'* '/

"()/(%' ( B2−4 AC >0

P'')/(%' ( B2

−4 AC =0

E/=(%' ( B2−4 AC <0

EJEMPLO 3G C/'(H%'%()* + /' %&'%(:* +(,*%('/ /(*'/ +?&*+: :+*

C/'(H>& /' (?&(* %&'%(:*G

  (a )3 d

2u

d x2=

du

dy(& ) d

2u

d x2=

 d2

u

d y2 (c ) d

2u

d x2+

 d2

u

d y2=0  

SOLUCION

' E%((;: ' %&'%()* %:;:G

  3 d

2u

d x2−

du

dy=0

(+*(H%';: + ' ,:;' /: %:H%(*G

 A=3, B=0 y C =0,  * 0(' + >& B2−4 AC =0,  /' %&'%()*

'')/(%'.

R'?/';: /' %&'%()*G

 d

2u

d x2− d

2u

d y2=0  

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 Y 0;: >&  A=1, B=0,   C =−1  

B2−4 AC =−4 (1)(−1)>0.  L' %&'%()* ()/(%'.

% C:*  A=1, B=0,C =1,   *:*% B

2

−4 AC =−4 (1)(1)<0,   /'%&'%()* /=(%'.

L' /(%'%()* +'//'+' + : >& %/'(H%'* /' %&'%(:*+(,*%('/ + ?&*+: :+* '/ +/ :)(: + ;' :/' &' < * / %: + >& +' :/0 %&'%(:*&' ' %(' %:*+(%(:* >& &+* + ,:*' : (*(%('/ /(: + %:*+(%(:* '+%&'+' '' %(' %&'%()* +*+ + ( ()/(%' '')/(%' : /=(%'.

ECUACIONES CLASICA Y PROBLEMAS DE VALOR EN LAFRONTERA

D&'* / : +/ %'=&/: *: :%&';: (*%('/;* * '//':/&%(:* * ,:;' + :+&%: + /' %&'%(:* * +(0'+''%('/

$  d2

ud x

2=dudt 

  , $ >0   1

a2 d

2u

d x2=d

2u

d t 2 ,   2

d2

u

d x2+ d

2u

d y2=0   3

O >&' 0'('%(:* + /' ;(;'. A ' %&'%(:* %/<(%'+ /' ,=(%' ;';<(%' / %:*:% %(0';* %:;:%&'%()* * &*' +(;*()* + %'/: %&'%()* + :*+'&*(+(;*(:*'/ %&'%()* + L'/'% * +: +(;*(:*. E* &*'+(;*()* (*+(%' >& *' &*' +(;*()* '%('/ >&

*' '/ (;:. L' %&'%()* + L'/'% '0('  2

u=0

+:*+

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 2

u=d

2u

d x2+

d2

u

d y2

E / /'/'%('*: * +: +(;*(:* + /' ,&*%()* u .   E*

+(;*(:* / /'/'%('*: + u  G

 2

u= d2

u

d x2+ d

2u

d y2+ d

2u

d (2

O0 >& /' %&'%()* (1)  + '*;(()* + %'/:

'')/(%' /' %&'%()* + :*+'(2)

  ()/(%' /' %&'%()* +L'/'% (3)   /=(%'.

E%&'%()* + '*;(()* + %'/:.- L' %&'%()* (1)   :(?(*' * /'

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* &*' 0'(//' : '/'; +/?'+:. L' ,&*%()* u( x ,t )   /'

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'>&= &*' :/&%()* u( x ,t )   + /' %&'%()* (2)   *' /

+/'9';(*: + &*' %&+' (+'/. P: /(;: &*' :/&%()*u( x , y )  + /' %&'%()* (3)  + L'/'% &+ (*' %:;:

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1. ECUACIÓN DE TRANSMISIÓN DE CALOR ECUACIÓN DE ONDA.

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2. ECUACIÓN DE LAPLANCE.

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3. ECUACIONES NO "OMO#ENEAS Y CONDICIONES EN LASFRONTERAS.

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