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7/24/2019 Derivadas Parciales y Direccionales (1)
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TEMA 2
DERIVADAS PARCIALES Y
DIRECCIONALES
FUNCIONES DIFERENCIABLES
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Derivadas parciales de una funcin escalar
Derivadas parciales de una funcin en un punto 2:Df
Sea y un punto interior de 2:Df ba, D
Derivada parcial de respecto de en
h
bafbhaf
ax
bafbxfbafba
x
f
haxx
,,lim
,,lim,,
0
f x ba,
Derivada parcial de respecto de en
k
bafkbaf
by
bafyafbafba
y
f
kbyy
,,lim
,,lim,,
0
f y ba,
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Ejercicio (Problema 1, Hoja 2B)
Estudiar la continuidad y la existencia de derivadas parciales en el punto
de la funcin
0,0
0,0,si0
0,0,si, 22
23
yx
yxyx
yx
yxf
Solucin
Ejemplo (Problema 1, Hoja 2A)
0,0,si0
0,0,si, 22
33
yx
yxyx
yx
yxf
Hallar las derivadas parciales en el punto de la funcin 0,0
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Derivadas parciales de una funcin 2:Df
Dada una funcin se definen las funciones 2:Df
Derivada parcial de respecto de
21:
Df
x
fx
f x
yxxf
Dyx ,,1
Derivada parcial de respecto def y
22:
Df
y
fy
yxy
fDyx ,
, 2
Notas
1) El dominio de estas funciones ser el conjunto de puntos del plano
donde las derivadas parciales existan
2) se obtiene manteniendo la variable constante y derivando
x
f
y
la funcin respecto de la variablef x
se obtiene manteniendo la variable constante y derivandoy
f
x
la funcin respecto de la variablef y
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Solucin
Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones
Ejemplo (Problema 2, Apartado a), Hoja 2A)
0,0,si0
0,0,si, 22
3
yx
yxyx
yx
yxf ysenxyxf , 3
Ejercicio
0,0,si0
0,0,si, 22
4
yx
yxyx
y
yxf
y
xLogyxf
cos
1,
2
Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones
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Derivadas parciales de una funcin nDf :
Dada una funcin se definen las funciones
derivadas parciales
nDf :
nix
iDfx
fi :
xx
fDx
i
i
ni ,,1
Nota
es una funcin de variables que se obtiene derivando laix
f
n
funcin respecto de y manteniendo constantes el resto de
las variablesixf
Derivadas parciales de una funcin en un punto
n
Df :Sea y un punto interior de nDf : naaa ,,1 DSe llama derivada parcial de respecto de en af ix a
ii
nniii
axx
i ax
aafaaxaafafa
x
f
iii
,,,,,,,,lim
1111 ni ,,1
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Derivada direccional de una funcin en un punto 2:Df
Sea , un punto interior de y unvector unitario ( ). Se llama derivada direccional de en
segn a
2
:Df ba, D 21,vvv 1v f ba,v
bafvbvafbafbafD vv
,,lim,, 21
0
Nota
Como , el vector se puede expresar como , donde
es el ngulo que determina la direccin del vector . Entonces la
derivada direccional queda
1v v ,cos senv v
bafsenbaf
bafbafD
,,cos
lim,, 0
donde es el ngulo que determina la direccin
Nota
Las derivadas parciales y son casos particulares de derivadasdireccionales en las direcciones de los ejes (derivada direccional en la
direccin determinada por ) e (derivada direccional en la direccin
determinada por )
bafx , bafy , X 0,1v Y
1,0v
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Solucin
Ejemplo (Problema 1, Hoja 2A)
0,0,si0
0,0,si, 22
33
yx
yxyx
yx
yxf
Hallar las derivadas direccionales en el punto de la funcin 0,0
Ejercicio (Problema 2, Hoja 2B)
0,0,si0
0,0,si,
222
23
yx
yxyx
yxsen
yxf
Hallar las derivadas parciales y direccionales en el punto de la funcin 0,0
Ejercicio
Hallar las derivadas parciales y direccionales en el punto de la funcin 2,1
22, yxyxf
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Derivadas parciales sucesivas
xxxf xxyf xyxf xyyf yxxf yxyf yyxf yyyf
Sea 2:Df
xxxx
fx
ff
2
2
Derivadas parciales de
xf yf
f
Derivadas parciales de orden 2 de f
xyyx
fyx
ff
2
yyyy
fy
ff
2
2
yxxy f
xy
ff
2
Derivadas parciales de orden 3 de f
Derivadas parciales sucesivas de una funcin 2:Df
Nota
, : Derivadas cruzadasxyf yxf
Teorema de Schwarz
Sea y un punto interior de tal que se cumplenlas siguientes condiciones 2
:Df ba, D
Existen y en un entorno dexf yf ba,
Existen y en un entorno de y son continuas enxyf ba, ba,
Entonces bafbaf yxxy ,,
yxf
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Solucin
Hallar las derivadas parciales de orden 2 de la funcin
Ejemplo
ysenxyxf , 3
Solucin
Se considera la funcin
Ejemplo (Problema 2, Apartado b), Hoja 2A)
0,0,si0
0,0,si, 22
3
yx
yxyx
yx
yxf
Se verifica ? Razonar la respuesta. 0,00,0yxxy
ff
Las derivadas parciales de la funcin son ,yxf
0,0,si0
0,0,si222
325
yx
yx
yx
yxy
fx
0,0,si0
0,0,si3
222
423
yx
yxyx
yxyx
fy
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Ejercicio y
xLogyxf
cos
1,2
Hallar las derivadas parciales de orden 2 de la funcin
Ejercicio (Problema 3, Hoja 2B)
Dada la funcin , se pide:
0,0,si0
0,0,si, 22
33
yx
yxyx
yxyxyxf
Se verifica ? Razonar la respuesta. 0,00,0 yxxy ff
Hallar las derivadas parciales de .f
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Derivadas parciales sucesivas de una funcin escalar
Sea una funcin escalar nDf :
Derivadas parciales de
nxxx fff ,,,
21
f
Derivadas parciales de orden 2 de f
,,,, 2111 jixxxxxx fffDerivadas parciales de orden 3 de f
,,,,211111 kji xxxxxxxxx fff
Nota
, : Derivadas cruzadasjixxf ijxxf
Teorema de Schwarz
Sea y un punto interior de tal que se cumplen
las siguientes condiciones nDf : a D
Existen y en un entorno deix
fjx
f a
Existen y en un entorno de y son continuas enjixx
f
Entonces afafijji xxxx
a aijxx
f
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Relacin entre la continuidad y las derivadas parciales y
direccionales de una funcin escalar
Una funcin escalar puede ser continua en un punto y no tenerderivadas parciales direccionales en dicho punto
Una funcin escalar puede tener derivadas parciales direccionales en
un punto y no ser continua en dicho punto
Ejercicio
0,0,si0
0,0,si1
, 22
yx
yxyx
senxyxf
Estudiar la continuidad y las derivadas direccionales en el punto de
la funcin . 0,0
Sea la funcin
Ejemplo (Problema 3, Hoja 2A)
0,0,si0
0,0,si, 42
2
yx
yxyx
yx
yxf
Estudiar las derivadas direccionales de en .f 0,0Estudiar la continuidad de en .f 0,0
Solucin
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Funcin diferenciable 2:Df
Sea y un punto interior de . Se dice que esdiferenciable en si
2
:Df D f ba,
Existen , bafx , bafy ,
0
,,lim
22,,
byax
bya,bfaxa,bfbafyxf yx
bayx
ba,
Nota
El concepto de funcin diferenciable para funciones de dos variables es
equivalente al concepto de funcin derivable para para funciones de una
variable, es decir, superficie suave, sin picos, con plano tangente, etc.
Estudiar la diferenciabilidad en el punto de la funcin
Ejemplo (Problema 4, Apartado a), Hoja 2A)
0,0,si0
0,0,si, 22
3
yx
yxyx
yx
yxf
Solucin
0,0
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Teorema
Sea diferenciable en . Entonces 2:Df ba,
es continua enf ba,Existen , bafx , bafy ,Existen todas las derivadas direccionales de en
Adems se verifica
f ba,
senbafbafbafD yx ,cos,,
Estudiar la diferenciabilidad en el punto de la funcin
Ejemplo (Problema 4, Apartado b), Hoja 2A)
Solucin
0,0
0,0,si0
0,0,si1,
22
yx
yxyxyxf
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Estudiar la continuidad, las derivadas parciales y direccionales y la
diferenciabilidad en el punto de la funcin
Ejemplo (Problema 5, Hoja 2A)
0,0,si0
0,0,si, 22
2
yx
yxyx
yx
yxf
Solucin
0,0
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Teorema
Sea y un punto interior de tal que se cumplen
las siguientes condiciones
2:Df ba, D
ba,
ba,Entonces es diferenciable enf
es continua enf ba,Existen y en un entorno de y son continuas en
xf yf ba,
Notas
2) La diferenciabilidad de una funcin en un punto se estudiar a travs de las
derivadas parciales si stas son fciles de calcular y es fcil estudiar su
continuidad. En caso contrario se recurrir a la definicin de funcindiferenciable.
1) Puede ocurrir que las derivadas parciales de no sean continuas
en y la funcin si sea diferenciable en ba,f
f ba,
Dada la funcin , se pide:
Ejemplo (Problema 6, Hoja 2A)
22, yxyxf
Solucin
Estudiar la diferenciabilidad de en el puntoHallar las derivadas direccionales de en el punto .
f 2,1f 2,1
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Ejercicio (Problema 4, Hoja 2B)
0,0,si0
0,0,si1
, 22
yx
yxyx
senyxtgyxf
Estudiar la diferenciabilidad en el punto de las siguientes funciones: 0,0
0,0,si0
0,0,si, 22
33
yx
yxyx
yx
yxf
0,0,si0
0,0,si, 84
42
yx
yxyx
yx
yxf
Ejercicio (Problema 9, Hoja 2B)
Hallar las derivadas parciales y la derivada direccional en la direccin en
el punto de la funcin 0,0
0,0,si0
0,0,si
,3
22
52
yx
yx
yx
yx
yxf
6
A la vista de los resultados anteriores, analizar la diferenciabilidad de enf 0,0
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Estudiar la diferenciabilidad de en el punto para y 5b
Ejercicio (Problema 6, Hoja 2B)
Dada la funcin
0,0,si0
0,0,sicos1
1
,222
2
yx
yxxyyxLog
eseny
yxf
yxb
Estudiar la continuidad de en el punto segn los distintosf 0,0con , se pide:
0,0f
Nb
valores de .b
Estudiar la existencia de las derivadas parciales de en el puntof 0,0segn los distintos valores de .b
3b
Sea una funcin continua y tal que admite derivadas parciales en un
Ejercicio (Problema 8, Hoja 2B)
yxf ,
entorno de , siendo , y siendo . 0,0 10,0
x
f
10,0
yf
33cos0,0 senfD .
Las funciones y son continuas en x
f
y
f
0,0
Se pide decir razonadamente si es cierta o falsa la proposicin siguiente:
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Ejercicio (Problema 9, Hoja 2B)
Dada la funcin , se pide:
Estudiar la diferenciabilidad de en el punto
Hallar la derivada direccional
f ,0 ,04fD
yeyxf x cos,
Estudiar para la diferenciabilidad de en el punto 1,1 7a
Ejercicio (Problema 5, Hoja 2B)
Dada la funcin con , se pide:
0,0,si0
0,0,si, 64
yx
yxyx
x
yxf
a
Estudiar la continuidad de en el punto segn los distintosf 0,0
Estudiar la diferenciabilidad de en el punto para y 0,0f
Na
valores de .a
Estudiar la existencia de las derivadas parciales de en el puntof 0,0segn los distintos valores de .a
3a
f1a
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Plano tangente a la grfica de una funcin 2:Df
Sea diferenciable en . Entonces el plano
tangente a la superficie en el punto es bafbaP ,,, 2:Df ba,
yxfz ,
bybafaxbafbafz yx ,,,Nota
El vector caracterstico del plano tangente es
1,,,, bafbafN yx
Hallar el plano tangente a la superficie en el punto
Ejemplo (Problema 7, Hoja 2A)
22 3yxz 4,1,1PSolucin
Ejercicio (Problema 10, Hoja 2B)
Hallar el plano tangente a la superficie que sea paralelo al
plano
22 53 yxz 6253 zyx
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Aproximacin de una funcin mediante su plano tangente tangente
Sea una funcin diferenciable en . 2:Df ba,
Si est cerca de entonces podemos aproximar yx,
bybafaxbafbafyxf yx ,,,,
ba,
Calcular de forma aproximada
Ejemplo (Problema 8, Hoja 2A)
33 011012 Solucin
Ejercicio (Problema 11, Hoja 2B)
Calcular de forma aproximada 3 44 28023012
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Gradiente de una funcin en un punto 2:Df
Gradiente de una funcin 2:Df
Sea y un punto interior de . Se llama gradiente
de en a
2:Df ba, Df ba,
a,bf,a,bfbaf yx ,
Gradiente de una funcin 2:Df
yx f,ff
Hallar el gradiente de la funcin
Ejemplo (Problema 9, Hoja 2A)
2
3
1, y
xyxf
Solucin
Hallar 1,1f
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Nota
Si es diferenciable en entoncesf ba,
vbafsenbafbafbafD yx ,,cos,, donde es el vector unitario que determina la direccin.
Si es el ngulo que forman y entoncesv
cos,cos,, bafvbafbafD
baf , v
Si (direccin del gradiente) entonces la derivada direccional
es mxima y0
,, bafbafD
Si (direccin opuesta a la del gradiente) entonces la derivadadireccional es mnima y
,, bafbafD
Si (direccin perpendicular a la del gradiente)
entonces
2
0, bafD
23
Nota
Si entonces no es diferenciable enf ba, vbafbafD ,,
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Analizar si el montaero asciende desciende cuando camina en las
direcciones Norte, Noroeste y Sur respectivamente.
Ejemplo (Problema 11, Hoja 2A)
22 0500101000, yxyxh
Solucin
Hallar las direcciones de ascenso y descenso ms rpido.
La altura de una montaa con respecto al nivel del mar viene dada por la
expresin
h
donde representa la direccin Este e representa la direccin Norte.
Un montaero est en el punto de la montaa de coordenadas
Se pide:
x y
100,200, 00 yx
Hallar la direccin para la cual no cambia de altura.
Sea una funcin tal que el gradiente de en el punto
Ejemplo (Problema 10, Hoja 2A)
Solucin
es y la derivada direccional 3,12,1 f2:f f 2,1
22,14 fD Es diferenciable en el punto ? Razonar la respuesta.f 2,1
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Hallar la derivada direccional de en un punto , en la
direccin
Sea una funcin diferenciable en tal que la derivada direccional
Ejercicio (Problema 14, Hoja 2B)
yxf ,
, donde y la derivada direccional mxima de en
2
00,0 fDv
5
4,
5
3v f
el punto vale 10, dndose en un direccin del segundo cuadrante.
Hallar el plano tangente a la superficie en el punto yxfz , 0,0
Ejercicio (Problema 13, Hoja 2B)
Hallar el gradiente de la funcin
0,0, ba
22
22
,yx
yxyxf
f4
Hallar la direccin para la cual
01,1 fD
1,0,0
en el punto .
Ejercicio (Problema 12, Hoja 2B)Hallar el vector gradiente y la derivada direccional mxima de la funcin
1,1 33, yxyxf
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Sea una funcin diferenciable en tal que el plano tangente
Ejercicio (Problema 15, Hoja 2B)
2:g
a la grfica de en el punto es y la derivada
2
g 21,1, azayx 723
direccional , donde . Hallar una direccin para
la cual .
w
Ejercicio (Problema 16, Hoja 2B)
La piscina de una casa tiene forma de circulo de radio y su profundidad
es directamente proporcional a , siendo e las coordenadas respecto
a unos ejes de referencia que aparecen marcados en la piscina y cuyo origen
es el centro de la misma. Sabiendo que la profundidad en el punto
es se pide:
Marcar una zona de seguridad en la piscina en la cual la profundidad sea
como mximo un metro.
Decir en que direccin debe nadar un nio, situado en el punto , para
ir a zonas menos profundas lo ms rpidamente posible.
.12m
22yx yx
4,4.40 m
Decir, razonando la respuesta, si la piscina est bien diseada.
9,5
1071,1 gDv
5
4
,5
3
v
01,1 gDw
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Diferenciabilidad de una funcin escalar
Sea y un punto interior de . Se dice que esdiferenciable en si
n
Df : D f
Existen , afix
ni ,,1
0lim22
11
111
nn
nnxx
ax
axax
axafaxafafxfn
aa
es continua en
Teorema
Sea diferenciable en . Entonces
f
Existen , af ix ni ,,1
nDf : a
a
Teorema
Sea y un punto interior de tal que se cumplen
las siguientes condiciones nDf : D
Entonces es diferenciable enf
es continua enf
Existen en un entorno de y son continuas ennxx
ff ,,1
a
a
a a
a
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Gradiente de una funcin escalar nDf :
nxx f,ff ,
1
Estudiar si es diferenciable la funcin en el punto
y, en caso afirmativo, hallar el gradiente de en dicho punto.
Ejemplo (Problema 12, Hoja 2A)
Solucin
32
,, zyxezyxf 1,1,2f
Ejercicio (Problema 17, Hoja 2B)
Estudiar si es diferenciable la funcin en el puntoy, en caso afirmativo, hallar el gradiente de en dicho punto.
322
,, zyx
exzyxf
1,1,1f
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Diferenciabilidad de una funcin vectorial
Sea , un punto interior de y sus
funciones componentes. Se dice que es diferenciable en si
son diferenciables en
mnDf : Df
aa
mff ,,1
mff ,,1 a
Matriz jacobiana de una funcin vectorial. Jacobiano
Sea , un punto interior de y sus
funciones componentes. Se llama matriz jacobiana de en a
Da mff ,,1 f a
ax
fa
x
f
ax
f
ax
f
axx
ffaDf
n
mm
n
n
m
1
1
1
1
1
1
,
,,
mnDf :
Si , se llamajacobiano de en anm f a
a
xx
ffaDfaJf
n
n
,,
,,)(
1
1
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Nota
La matriz jacobiana de una funcin vectorial esmnDf :
m
n
mm
n
n
m
f
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xx
ffDf
1
1
1
1
1
1
1
,
,,
Si , el jacobiano esnm f
n
n
xx
ffDfJf
,,
,,
1
1
Ejemplo (Problema 13, Hoja 2A)
Solucin
senrrrg ,cos,
Hallar la matriz jacobiana y el jacobiano de la funcin
Ejercicio (Problema 18, Hoja 2B)
sensenf ,cos,coscos,,
Hallar la matriz jacobiana y el jacobiano de la funcin