Derivadas Parciales 2011-2[1]

8/3/2019 Derivadas Parciales 2011-2[1]

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Departamento de Matemticas-Cajamarca 1

DERIVACIN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Derivadas Parciales de una funcin de dos variables

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta Cmo afectaraal valor de una funcin un cambio en una de sus variables independientes?Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientespor separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento,un qumico podra repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas decatalizador, mientras mantiene constante las otras variables como temperatura ypresin. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funcin f respecto auna de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A esteproceso se le llama derivacin parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con

respecto a la variable elegida.

Definicin de las variables parciales de una funcin de dosvariables

Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una funcinz f ( x, y )con respecto a la variable independiente x al siguiente lmite, si existe y es finito:

(1)

el cual se calcula suponiendo y constante.

Se llama derivada parcial de una funcin z f ( x, y ) con respecto a la variable independiente y

al siguiente lmite, si existe y es finito:

(2)

el cual se calcula suponiendo x constante.

Notacin de las derivadas parciales

Si z f ( x, y ), entonces sus derivadas parciales respecto a x y y se expresan, se

respectivamente, en las formas siguientes:

( , ) ( , )limx

z f x x y f x y

x x 0

( , ) ( , )limy

z f x y y f x y

y y 0


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Ejemplo 1.- Aplique la definicin de derivada parcial para calcular 1D f ( x, y ) y 2D f ( x, y ) si2 2

3 2 f ( x, y ) x xy y

.

Solucin

10

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

2

0 0

3 2 3 2

3 6 3 2 2 3 2

6 3 26 3 2

6 2

x

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x, y )D f ( x , y ) lim

x

( x x ) ( x x )y y ( x xy y )lim

x

x x x ( x ) xy y x y x xy ylim

x

x x ( x ) y xlim lim x x y

x

x y

20

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

2

0

0

3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

2 2

2 2 2 2

y

y

y

y

y

f ( x, y y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

y

x x( y y ) ( y y ) ( x xy y )lim

y

x xy x y y y y ( y ) x xy ylim

y

x y y y ( y )lim

y

lim ( x y y ) x y

Ejemplo 2.- Calcular 1D f ( x, y ) y 2D f ( x, y ) si2 22 5 f ( x, y ) x y xy x y

Solucin

10

2 2 2 2

0

2 22

0 0

2

2 5 2 5

4 24 2 1

4 1

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

x

( ( x x ) y ( x x )y ( x x ) y ) ( x y xy x y )lim

x

xy x ( x ) y x xlim lim xy x y

x

xy y

En forma similar que2

2 2 2 5 D f ( x, y ) x xy .

1

x x

z ff ( x, y ) f ( x, y ) D [ f ( x, y )] D f ( x, y )

x x x

2

y y

z ff ( x, y ) f ( x, y ) D [ f ( x, y )] D f ( x, y )

y y y


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Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que segn laecuacin (1) la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f con

respecto ax manteniendo fija la variabley. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.

REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE ( , )z f x y

1. Para determinarx

f , conservar a y constante y derivar ( , ) f x y con respecto a x .

2. Para determinary

f , conservar a x constante y derivar ( , ) f x y con respecto a y .

Ejemplo 1Dada la funcin z definida por ( )x y

z x y e 2 2 . Hallar z

y

y

z

x

.

Solucin

( )( ) ( )x y 2 2 x y 2 3 x yz

2xe x y ye 2x x y y ex

( )( ) ( ) x y 2 2 x y 3 2 x yz

2 ye x y xe 2 y x xy ey

Ejemplo 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales de ( , )2 x y f x y xe . Hallar ,

x yf f y evaluar a

cada en el punto (1,ln2) .

Solucin

Como ( , ) ( )2 2

2 x y x yx

f x y xe xy e . La derivada parcial de f con respecto a x en (1,ln2) es

ln2 ln2(1,ln2) (2ln 2) 4ln2 2

x f e e .

Como ( , ) ( )2 2

2 3 x y x yy

f x y xe x x e . La derivada parcial de f con respecto a y en (1,ln2) es

ln2(1,ln 2) 2yf e .

INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Para dar una interpretacin geomtrica de las derivadas parciales, recuerde que la ecuacin( , )z f x y representa una superficie S (que es la grfica de f ). Si ( , )f a b c , entonces el

punto ( , , )P a b c est definido sobre S. Si hace y b entonces ( , )z f x b representa la curva

interseccin C1(en otras palabras la curva C

1es la traza de S en el plano y b ). Por

consiguiente


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0

( , ) ( , )( , ) lim

x x

f a x b f a bf a b

x

representa la pendiente de esta curva en el punto ( , , ( , ))a b f a b . Ntese que tanto la curva

como la recta estn en el plano y b . Anlogamente

0

( , ) ( , )( , ) lim

y y

f a y b f a bf a b

y

representa la pendiente de la curva interseccin C2

(en otras palabras la curva C2

es la

traza de S en el plano x a ). Ver figura 1

Ejemplo 1 Si2 2

( , ) 4 2 f x y x y , determine (1,1)y (1,1)x y

f f , e interprete estos valores.

Solucin

Las derivadas parciales de f con respecto a ex y son

( , ) 2 ( , ) 4

(1,1) 2 (1,1) 4

x y

x y

f x y x f x y y

f f

La grfica de f es el paraboloide2 2

( , ) 4 2 f x y x y y el plano vertical 1y lo corta enla parbola

22 , 1 z x y .(Al igual que en el anlisis anterior, es

1C en la figura 2 ). La

pendiente de la tangente de esta parbola en el punto (1,1,1) es (1,1) 2x

f . De la mismamanera, la curva

2C que se forma cuando el plano 1x corta al paraboloide es la parbola

23 2 , 1 z y x y la pendiente de la tangente de esta parbola en el punto (1,1,1) es

(1,1) 4y

f (ver figura 3).


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Derivadas parciales de una funcin de tres o ms variables

Tambin se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o ms

variables. Por ejemplo, si f es una funcin de tres variables y x y z, , entonces su derivadaparcial con respecto a x se define como

0

( , , ) ( , , )( , , ) lim

xh

f x h y z f x y zf x y z

h

y se determina considerando a y ay z como constantes y derivando ( , , )f x y z con respecto

a x . Si ( , , )w f x y z , entonces ( , , )x

f x y z w x se puede interpretar como la razn decambio de w con respecto a x cuando yy z se mantiene constantes.

En general, si u es una funcin de n variables, 1 2( , , , )nu f x x x , su derivada parcial conrespecto a la i -sima variable

ix es

1 2 1 1 1

0

( , , , , , , , ) ( , , , , )lim i i i n i nh

i

f x x x x h x x f x x xu

x h

y tambin

ix i

i i

u ff f

x x

Ejemplo 2 Dada la funcin f definida por ( , , )x y z

f x y z e 3 4 5

. Hallar sus derivadas

parciales en el punto 1,1,1 .P

Solucin

3 4 5x y z 2 4 5

( 1,1,1) (1,1,1)

fe ( 3x y z ) 3e

x

3 4 5x y z 3 3 5

(1,1,1)( 1,1,1)

fe ( 4x y z ) 4e

y

Figura 4 Figura 3


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( , , )( , , )

( ) x y zf

e x y z ez

3 4 5

3 4 4

1 1 11 1 1

5 5

PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

Se llama plano tangente a una superficie en un punto ( , , )0 0 0

P x y z de la misma, al plano

que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto

( , , )0 0 0

P x y z .

Si la superficie est definida de manera implcita por la ecuacin z f x , y ,entonces laecuacin del plano tangente en un punto ( , , )

0 0 0P x y z de la superficie viene definido por la

ecuacin:

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) ( ) 0

f fx y x x x y y y z z

x y

Ejemplo 1 Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2

z 5 2x y en elpunto 1 1 2 P , , .

Solucin

Hallamos las derivadas parciales:(1,1,2) (1,1,2)

(1,1,2) (1,1,2)

4 4; 2 2z z

x yx y

Luego la ecuacin del plano tangente en el punto P(1,1,2) es: z 8 4x 2 y .

(1,1,2)P


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Ejemplo 2Hallar la ecuacin del plano tangente a la superficie de ecuacin2 2

z 3x y 2 en elpunto 1 2 9 P , , .

Solucin

Hallamos las derivadas parciales:( 1,2,9) ( 1,2,9)

( 1,2,9) ( 1,2,9)

6 6; 2 4z z

x yx y

Luego la ecuacin del plano tangente en el punto P(-1,2,9) es: z 4 y 6x 5 .

Nota Hastaahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de

ecuaciones de la forma z f x, y . Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es convenienteutilizar la representacin ms general ( , , ) 0F x y z . Una superficie S dada por

z f x, y , se puede convertir a la forma general definiendo Fcomo

( , , ) ( , )F x y z f x y z

Puesto que ( , ) 0 f x y z , se puede considerar S como la superficie de nivel de Fdada por

( , , ) 0F x y z (Ecuacin alternativa de la superficie S )

Es as, que enunciamos el siguiente teorema

TEOREMA Ecuacin del plano tangente

Si Fes diferenciable en0 0 0

( , , ) x y z , entonces una ecuacin del plano tangente a la

superficie dada por ( , , ) 0F x y z en0 0 0

( , , ) x y z es

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z


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Ejemplo 3 Hallar una ecuacin del plano tangente al hiperboloide

2 2 22 2 12 z x y en el punto (1, 1,4)

Solucin

Empezamos expresando la ecuacin de la superficie como2 2 2

2 2 12 0 z x y . Despus,considerando

2 2 2( , , ) 2 2 12F x y z z x y

Se tiene

( , , ) 4 , ( , , ) 4 , ( , , ) 2 x y z

F x y z x F x y z y F x y z z .

En el punto (1, 1,4) las derivadas parciales son

(1, 1, 4) 4 , (1, 1, 4) 4 , (1, 1, 4) 8. x y z

F F F

Por tanto, la ecuacin del plano tangente en (1, 1,4) es

4( 1) 4( 1) 8( 4) 0 2 6 0 x y z x y z

Definicin (Recta Normal) La recta normal a la superficie : ( , , ) 0S F x y z en el punto

00 0 0

( , , )p x y z Ses la recta que pasa a travs del punto0

p y sigue la direccin del vector

normal 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )

F x y z F x y z F x y zN F x y z

x y zal plano tangente a

la superficie S en el punto0

p y su ecuacin simtrica de la recta normal a S en

00 0 0

( , , )p x y z es 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ):

( , , ) ( , , ) ( , , )n

x y z

x x y y z zL

F x y z F x y z F x y z

.


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Ejemplo 4 Hallar la ecuacin del plano tangente y de la normal a la superficie3/2 3/2 3/2

17 x y z en el punto (4,4,1) Solucin

Sea3/2 3/2 3/2

( , , ) 17F x y z x y z donde la normal del plano tangente a la superficie es33 3

( , , ) ( , , )2 2 2

y F F F x zN

x y z

en el punto (4,4,1) se tiene3

(2,2,1)2

N . Luego laecuacin del plano tangente es : 2 2 17P x y z y la recta normal es

: (4,4,1) (2,2,1) / 2 2 17N P t t x y z .Derivadas parciales de rdenes superiores.

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la funcinz = f(x,y) a las derivadas parciales

de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

2

2

z z

x x x

;2

z z

y x y x

;2

z z

x y x y

;2

2

z z

y y y

A continuacin se presenta un resultado muy importante sobre las derivadas parciales mixtas.

TEOREMA DE CLAIRUT Suponga que f se define en un disco D que contiene el punto

( , )a b . Si tanto la funcin y xy yxf f son continuas enD entonces

( , ) ( , ) xy yx

f a b f a b

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de rdenes superiores.

Ejemplo.- Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la funcin:2

f ( x,y ) sen( x y )

Solucin

Hallamos las derivadas parciales de primer orden:

2 2 22 cos( ) ; cos( )

f f xy x y x x y

x y

As las segundas derivadas son:2

2 2 2 2

22 cos( ) 4 sin( )

fy x y x y x y

x

;

24 2

2sin( )

f x x y

y

2

2 3 22 cos( ) 2 sin( )f x x y x y x yx y

;

2

2 3 22 cos( ) 2 sin( )f x x y x y x yy x

.


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INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

En esta parte generalizaremos el concepto de incrementos y diferenciales a funciones dedos o ms variables. Recordemos que dada ( ) y f x se define la diferencial de y como

'( )d y f x dx .

Terminologa similar se usa para una funcin de dos variables ( , )z f x y . Es decir,

yx y son los incrementos enx y eny , y el incremento enz (incremento total) est dado por

( , ) ( , )z f x x y y f x y

Definicin de diferencial total

Si ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las

variables independientesx eyson

dx x y dy y

y la diferencial total de la variable dependientez es

( , ) ( , )x yz z

d z dx dy f x y dx f x y dyx y

Esta definicin puede extenderse a una funcin de tres o ms variables. Por ejemplo, si

( , , , )w f x y z u entonces dx x , dy y , dz z y du u y la diferencial total de w es

w w w wd w d x d y d z d u

x y z u

Ejemplo Hallar la diferencial total de cada funcin

a) 2 22 3 z x sen y x y b) 2 2 2w x y z

Solucin

a) La diferencial total dz de 2 22 3 z xsen y x y es

2 2(2 6 ) (2 6 ) .

z zdz d x d y

x y

sen y xy d x xcos y x y d x

b) La diferencial total dw de 2 2 2w x y z es

2 2 2 .

w w wdw d x d y d z

x y z

x d x yd y zd z


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DIFERENCIABILIDAD

Definicin de diferenciabilidad

Una funcin f dada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )P x y si z puede expresarse en la

forma

0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y

donde 1 2y 0 cuando ( , ) (0,0)x y . La funcin f es diferenciableen una reginR sies diferenciable en todo punto deR.

Ejemplo Mostrar que la siguiente funcin es diferenciable en todo punto

2( , ) 3 f x y x y

En efecto

Haciendo ( , )z f x y , el incremento de z en un punto arbitrario ( , )x y en el plano es

2 2 2

2

1 2

( , ) ( , )

( 2 ) 3( ) ( 3 )

2 3

2 3 ( ) 0( )

( , ) ( , ) ( ) ( )x y

z f x x y y f x y

x x x x y y x y

x x x y

x x y x x y

f x y x f x y y x y

donde 1 2y 0x . Como 1 20y 0 cuando ( , ) (0,0)x y , se sigue que f es

diferenciable en todo punto en el plano. La grfica de f se muestra en la figura siguiente

Debemos de tener en cuenta que el hecho de que existan las derivadas parciales de f no garantiza

que la funcin sea diferenciable. El teorema siguiente proporciona una condicin suficiente para ladiferenciabilidad. A continuacin presentamos un teorema que proporciona una condicin

suficiente para la diferenciabilidad de una funcin de dos variables.


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TEOREMA 1 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Si f es una funcin de ex y , para la que yx yf f son continuas en una regin abiertaR , entonces

f es diferenciable enR.

Interpretacin del teorema 1

El teorema 1 nos dice que se puede elegir ( , ) x x y y suficientemente cerca de

( , )x y para hacer que 1 2yx y sean insignificantes. En otros trminos, para yx y

pequeos, se puede usar la aproximacin

z dz

lo cual lleva a la siguiente aproximacin

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) z z z z

f x x y y f x y dx dy f x x y y f x y dx dy x y x y

Ejemplo 1 Uso de la diferencial como aproximacin

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en 2 24 z x y cuando ( , )x y se desplaza

del punto (1,1) al punto (1.01,0.97) . Comparar esta aproximacin con el cambio exacto en z .

Solucin

Se hace ( , ) (1,1)x y y ( , ) (1.01 ,0.97) x x y y y se obtiene 0.01d x x y

0.03d y y . Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante

2 2 2 24 4

z z x y z dz dx dy x y

x y x y x y

Cuando 1 y 1x y , se tiene1 1 0.02

(0.01) ( 0.03) 2(0.01) 0.0141.2 2 2

z

con

respecto al cambio exacto se tiene

2 2 2 21.01

(1.01,0.97) (1,1)

4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0.010 3.97 1 1 7

z f f

(Proceso solucionado con calculadora)

En la figura siguiente se puede observar el cambio exacto corresponde a la diferencia entre lasalturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio


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Ejemplo2 Estimar 3 22(2.02) (2.97)

Solucin

Estimar3 2( , ) 2( ) ( ) f x y x y , 2 , 3.a b Despus es fcil calcular el valor exacto de

(2,3) 2.8 9 25 5f . A continuacin,2

3 2 3 2

3

2 2

df x df yy

dx dy x y x y

Por lo que12 3

(2,3) (2,3)5 5

x y f y f

En este caso utilizando 0.02 0.03x y

y tenemos

2 22(2.02) (2.97) (2.02,2.97)

(2,3) (2,3).(0.02) (2,3).( 0.03)

12 35 .(0.02) .(0.03) 5.03

5 5

x y

f

f f f

El valor real con cuatro decimales es 5.0305

Ejemplo 4

Un envase metlico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto, 6 pulgadas de alturainterior, 2 pulgadas de radio interior y 0.1 pulgadas de grosor. Si el costo del metal es de40 centavos por pulgadas cbica. Aproxime mediante diferenciales el costo total del metalempleado en la elaboracin del envase.


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Solucin

La figura muestra el envase. Si V pulgadas cbicas es el volumen de un cilindro circularrecto que tiene un radio de r pulgadas y una altura de h pulgadas, entonces

V r h 2

El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre los volmenesde dos cilindros circulares rectos para los cuales 2 1r . , 6 2h . y 2r y

6h respectivamente. El incremento V proporciona el volumen exacto del metal, pero

como nicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV que es el diferencial total

de V.

22

V VdV dr dh

r h

hdr r dh

Con 2, 6, 0.1 0.2,r h dr y dh 22 (2)(6)(0.1) (2) (0.2)

3.2

dV

De este modo, 3.2 ,V por lo que el metal empleado en el envase es aproximadamente

3.2pulg3. Puesto que el costo del metal es de 40 centavos por pulgada cbica, entoncesel nmero aproximado de centavos del costo aproximado es 128 402 .

Conclusin El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02.

Ejemplo 5 El punto (1,2) est sobre la curva cuya ecuacin es

3 3( , ) 2 5 0 f x y x y xy . (1)

Aproxime la coordenaday del punto cercano ( , )x y sobre dicha curva para el que 1.2.x

Solucin

0.1pulg

0.1pulg


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El incremento entre (1,2) 0f y ( , ) 0 f x y sobre esta curva es ( , ) 0 , f x y df por lo que

cuando se calculan las diferenciales en la ecuacin (1) se obtiene

2 22 2(6 5 ) (3 5 ) 0

f fdf dx dy x y dx y x dy

x y

Ahora al sustituir 1, 2x y y 0.2dx , se obtiene la ecuacin ( 4)(0.2) 7 0dy . De donde

se sigue que0.8

0.114 0.17

dy . Esto deja a (1.2;2.1)como las coordenadas aproximadas

del punto cercano.

Nota Una funcin de tres variables ( , , )w f x y z se dice que es diferenciable en ( , , ) x y z si

( , , ) ( , , )w f x x y y z z f x y z

puede expresarse en la forma

1 2 3 x y zw f x f y f z x y z

donde 1 2 3, y 0 cuando ( , , ) (0,0,0) x y z . Con esta definicin de diferenciabilidad el

teorema 1 pude generalizarse.

Ejemplo 6 Estimar 2 2 21,98 2,01 1,05 Solucin

Tomamos 2 2 2( , , )f x y z x y z , como 0 0( , , ) (2,2,1)oP x y z ; as 0,02h ; 0,01k ; 0,05r ;

luego tenemos que 2 2 2(2,2,1) 2 2 1 3f ; adems2 2 2

(2,2,1)(2,2,1)

2

3

f x

x x y z

;

2 2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f y

y x y z

;

2 2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f z

z x y z

; finalmente se tiene que

2 2 2 2 2 11,98 2,01 1,05 3 ( 0,02) (0,01) (0,05) 3,01

3 3 3 .


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Ejemplo 7 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es 0.1milmetros. Las dimensiones de la caja son 50x centmetros, 20y centmetros y

15z centmetros, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado.

Solucin

El volumen de la caja est dado por V xyz , y por tanto

.

V V VdV dx dy dz

x y z

yzdx xzdy xydz

Utilizando 0.1 milmetros = 0.01centmetros, se tiene 0.01dx dy dz , y el error propagado

es aproximadamente

(20)(15)(0.01) (50)(15)(0.01) (50)(20)(0.01)

300(0.01) 750(0.01) 1000(0.

centmetros cbico

01)

2 s0.5 .

dV


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Derivada de la Funcin Compuesta

Teorema.- Sea 2:f D una funcin diferenciable, definida por ( , )u f x y y

( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y

x y r s r s

;

Entonces las derivadas parciales de la funcin compuesta ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s se pueden calcular

mediante:u u x u y

r x r y r

;

u u x u y

s x s y s

.

Caso Particular:Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( ) y y t , entonces la derivada total dez respectodex se puede calcular: o bien haciendo la sustitucin, o bien, aplicando la siguiente frmula:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

.. (1)

Ejemplo 1 Dada la funcinz=2xy donde 2 2 x s t ;s

yt

; hallar ;z z

s t

Solucin

Como2

12 ; 2 ; 2 2 ; ;

z z x x y y s y x s t

x y s t s t t t

entonces

2 21 2 2(3 )

(2 )(2 ) (2 ) 4 z z x z y x s t

y s x yss x s y s t t t

2 3

2 2 2

2 2 2(2 )(2 ) (2 )( ) 4

z z x z y s xs st s y t x yt

t x t y t t t t

Ejemplo 2 Si 2 43 z x y xy , donde 2 x sen t y cosy t . Determine dz dt cuando 0t .

Solucin

Por la regla de la cadena tenemos

4 2 3(2 3 )(2cos2 ) ( 12 )( )

dz z dx z dy xy y t x xy sent

dt x dt y dt

No es necesario escribir las expresiones para yx y en trminos de t simplemente observemos

que cuando 0t tiene 0 0 x sen y cos0 1y . Por lo tanto

0

(0 3)2 cos 0 (0 0)( 0) 6t

dz z dx zsen

dt x dt t

La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razn de cambio de z con respecto atcuando el punto ( , )x y se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones parametricas son 2 x sen t ,


18/33


y cost . Ver figura

En particular, cuando 0t , el punto ( , )x y es (0,1) y 6dz dt es la razn del incremento

cuando uno se desplaza por la curva C que pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si2 4( , ) 3z T x y x y xy representa la temperatura en el punto ( , )x y , entonces la funcin

compuesta ( 2 , ) z T sen t cost representa la temperatura en los puntos sobre C y la derivada dz dt

representa la razn a la cual la temperatura cambia a lo largo de C .

Ejemplo 3

La figura anterior muestra un bloque de hielo cilndrico que se funde. Debido al calor del

Sol que le llega desde arriba, su altura h decrece con ms rapidez que su radio r . Si su

altura disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando 15r cm y 40h cm Cul es la tasa

de cambio del volumen V del bloque en ese instante?

Solucin

Con 2V r h , la regla de la cadena ofrece

22 .

dV V dr V dh dr dhrh r

dt r dt h dt dt dt

Al sustituir los valores de 15r cm , 40h cm , 1dr

dt y 3

dh

dt se encuentra que

22 (15)(40)( 1) (15) ( 3) 1875 5890.49

dV

dt (cm3/h).

As en el instante en cuestin, el volumen del bloque cilndrico disminuye a poco menos

de 6 litros por hora.


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Ejemplo 4 Dos objetos recorren trayectorias elpticas dadas por las ecuacionesparametricas siguientes

1 1

2 2

4cos y 2 (Primer objeto)

2 2 y 3cos2 (Segundo objeto)

x t y sent

x sen t y t

A qu velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ?

Solucin

En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos est dada por

2 2

2 1 2 1( ) ( )s x x y y

y que cuando t , se tiene 1 1 2 24 , 0 , 0 , 3 x y x y y

2 2(0 4) (3 0) 5s .

Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

Cuando t , las derivadas de 1 1 2 2, , y x y x y son


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1 1

2 2

4 0 , 2 2

4 2 4 , 6 2 0

x ysent cost

t t

x ycos t sen t

t t

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una velocidado ritmo

1 1 2 2

1 1 2 2

4 3 4 3(0) ( 2) (4) (0)

5 5 5 5

22.

5

dx dy dx dyds s s s s

dt x dt y dt x dt y dt


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Derivada direccional y vector gradiente

En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de curvas de nivel de la funcin

temperatura ( , )T x y para los estados de California y Nevada a las 3 pm de un da de

octubre. Las curvas de nivel unen localidades con la misma temperatura.

La derivada parcialx

T en un lugar como Reno es la razn de cambio de la temperatura con

respecto a la distancia si viaja hacia el este desde Reno;y

T es la razn de cambio de la

temperatura si viaja hacia el norte. Pero Qu sucede si queremos saber la razn de

cambio de la temperatura cuando viaja al sureste? En esta seccin se estudia un tipo de

derivada, que se denomina derivada direccional, que permite calcular la razn de cambiode una funcin de dos o ms variables en cualquier direccin.

La derivada direccional de : n f D R R en el punto x D y en la direccin de u

vector unitario de nR denotada por ( )u

D f x se define por

0

( ) ( )( ) lim

hu

f x hu f x D f x

h

,

Siempre que exista.

A esta definicin la podemos particularizar considerando a 2D R y deseamos encontrar

la razn de cambio de ( , )z f x y en 0 0( , )x y en la direccin de un vector unitario ( , )u a b .

Para hacer esto considere la superficie S cuya ecuacin es ( , )z f x y , y 0 0 0( , ) z f x y .

Entonces el punto 0 0 0( , , )P x y z queda en S. El plano vertical que pasa por P en la direccin

de u corta a S en una curva C (vase figura 2). La pendiente de la recta tangente T a C enel punto P es la razn de cambio de z en la direccin de u.

Figura 1


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Luego, para este caso, la definicin de derivada direccional de f en 0 0( , )x y en ladireccin de un vector unitario ( , )u a b es

0 0 0 00 0 0

( , ) ( , )( , ) lim

u h

f x ha y hb f x yD f x y

h

Si existe este lmite.

Teorema Si : nf D es una funcin diferenciable, entonces la derivada

direccional se calcula por la frmula:

1 1 2

1 2

( ,... ) ......n nun

f f f D f x x u u u

x x x

. (1)

Observacin En 2 , u

puede tomarse como (cos ,sin )u

donde es el ngulo

formado por el vector u

con el eje OX.

Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la funcin 2 2( , ) 3 f x y x xy en el punto

(1,2)P en la direccin que va desde el origen hacia este punto.

Solucin

2

(1,2)

(1,2)

2 3 14f

x yx

; (1,2)

(1,2)

6 12f

xyy

; adems

2 2

(1,2) 1 2,

5 51 2

vu

v

.

Por lo tanto

1 2 38

(1,2) 14 125 5 5uD f

.

Figura 2


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Ejemplo 2 Hallar la derivada de la funcin 3 22 f ( x, y ) x xy y en el punto 1 2P( , ) y en

la direccin que va desde este punto al punto 4 6 N( , )

Solucin

Sea (4,6) (1,2) (3,4) 5a PN N P a

. El vector unitario es3 4

( , ) ,5 5

a

a

2

(1,2)

(1,2)

3 1f

x yx

;

(1,2)

(1,2)

4 9f

x yy

. Por lo tanto

3 4 33(1,2) 1 9

5 5 5uD f

.

Ejemplo 3

Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x,y) cerca de un aeropuertoest dado por

1

( , ) 7400 4 9 (0.03)180

f x y x y xy

(con las distancias x y y medidas en kilmetros). Suponga que su avin despega del

aeropuerto en la ubicacin (200,200)P y se sigue al noreste en la direccin especificada por el

vector (3,4)v Cul es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observar?

Solucin

Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo como uno que s lo sea yque este en la misma direccin:

2 2

(3,4) 3 4( , )5 53 4

vu

v

.

Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce

3 1 4 1

( , ) 4 (0.03) 9 (0.03) .5 180 5 180

u D f x y y x

Cuando se sustituye 200x y , se encuentra que

3 1 4 15 18( ) 0.1

5 180 5 180 180u

D f P

Esta tasa instantnea de cambio -0.10C/Km significa que se observar en un inicio unadisminucin de 0.10C en la temperatura por cada kilmetro que se viaje.


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Gradiente de una funcin

Si : n f D R R es una funcin diferenciable, entonces el gradiente de f es el vector

definido por

1 2

( ) , ,......,

n

f f f f x x x x

Interpretacin del vector gradiente

El vector gradiente f tiene una interpretacin importante que involucra el mximo valor

posible de la derivada direccional de la funcin f derivable en un punto P dado. Si es el

ngulo entre ( )f P y el vector unitario u (como se muestra en la figura),

entonces la ecuacin (*) da

( ) ( ). ( ) cos ( ) cosuD f P f P u f P u f P

porque 1u . El valor mximo posible de cos es 1, y esto se consigue cuando 0 . Es

decir, cuando u es el vector unitario particular ( ) ( )m f p f p , que apunta en

direccin del vector gradiente ( )f p mismo. En este caso la frmula anterior lleva a

( ) ( )mD f P f p

El cual representa el valor mximo de la derivada direccional.

Resumen:

1.- 1 1 2 1 2( ,... ) ( , ,...., )( , ...... ) n n nuD f x x f x x x u u u

2.- El gradiente indica el sentido de crecimiento ms rpido de una funcin en un puntodado, mientras que el gradiente cambiado el signo seala la direccin de mximadisminucin.

3.- La derivada direccional tiene su valor mximo en el sentido del gradiente y coincide

con su modulo es decir ( ) max ( )u

f x D f x

f

u


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Ejemplo 1 Dada la funcin2 2

f ( x, y ) x y

a) Calcula ( )

uD f x en el punto P (1,2) en el sentido del vector que forma un ngulo de

60 con el sentido positivo del eje OX.

b) Calcula mx. ( )

uD f x

Solucin

a)1 3

(cos60 ,sin60 ) ,2 2

u

; adems

(1,2)

( 1,2)

2 2f

xx

;

( 1,2)

( 1,2)

2 4f

yy

, luego

1 3

( ) 2,4 , 1 2 32 2

u D f x

.

b) (1,2) (2,4)f 2 2max ( ) ( ) 2 4 2 5 u

D f x f x .

Ejemplo 2

Ahora suponga que la funcin de temperatura del ejemplo 2 se reemplaza con

1

( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180

w f x y z x y xy z

El trmino adicional -2z corresponde a una disminucin de 20C en la temperatura porkilometro de altitudz. Suponga que un halcn esta inmvil en el aire, en el punto P (200,200,5) y sobre el aeropuerto desciende en forma sbita a la velocidad de 3km/min en ladireccin especificada por el vector (3,4,-12). Cul es la tasa de cambio instantnea queexperimenta el ave?

Solucin

El vector unitario en la direccin del vector (3, 4,-12) es

2 2 2

(3,4, 12) 3 4 12( , , )

13 13 133 4 ( 12)

u

El vector gradiente de temperatura

1 1( ) [4 (0.03) ] [9 (0.03) ] 2

180 180 f P y i x j k

Tiene el valor10 15

( ) 2180 180

f P i j k

En la posicin inicial del halcn, (200,200,5)P . Por lo tanto, la tasa de cambio de latemperatura para el ave respecto a la distancia es:


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010 3 15 4 12

( ) ( ). ( )( ) ( )( ) ( 2)( ) 1.808 .180 13 180 13 13

u

dw CD f P f P u

ds km

Su velocidad es de 3 / minds

kmdt

, por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura

que experimenta el halcn es

0 0

. 1.808 5 5.424 .min min

dw dw ds C km C

dt ds dt km

As, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto conforme desciende hacia latierra.

Ejemplo 3

Del ejemplo anterior, la funcin de temperatura es

1

( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180

w f x y z x y xy z

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilmetros). En qu

direccin debe descender un halcn que comienza en el punto (200,200,5)P a una altitud

de 5 Km, afn de calentarse lo ms rpido? Que tan rpido subir su temperaturaconforme el ave baje a una velocidad de 3 km/min? Cual ser la direccin de la brjula y

el ngulo de descenso conforme vuele en esa direccin particular? (Tarea)


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e)2 2 2

(3.1) (4.2) 11.7 f) 2 2 23 (5.1) 2(5.2) 2(5.3)

6. La coordenada y del punto P cerca de (1; 2) sobre la curva 3 32 2 9 , x y xy si la coordenadax

de P es 1.1.

7. La coordenada y del punto P cerca de (2; 4) sobre la curva 4 4 2 24 4 17 x y x y si la

coordenaday de P es 3.9.

8. Volumen El radio ry la altura h de un cilindro circular recto se miden con los posibles erroresde 4% y 2%, respectivamente. Aproximar el mximo error porcentual posible al medir el

volumen.

9. Viento la frmula para la frialdad producida por el viento C(en grados Fahrenheit) es

0.16 0.1635,74 0.6215 35.75 0.4275C T T

donde es la velocidad del viento en millas por hora y Tes la temperatura en grados Fahrenheit.

La velocidad del viento es 23 3 millas por hora y la temperatura es o o8 1 . Utilizar dCparaestimar el posible error propagado al calcular la frialdad producida por el viento.

10.Pndulo El periodo T de un pndulo de longitud L es 2T L g , donde g es la

aceleracin de la gravedad. Un pndulo se lleva de la zona del canal, donde232.09piesg s , a Groenlandia, donde 232.23piesg s . Debido al cambio en la

temperatura, la longitud del pndulo cambia de 2.5 pies a 2.48 pies. Aproximar el cambio en el

periodo del pndulo.

11. rea En un tringulo, dos lados adyacentes miden 3 y 4 pulgadas de longitud, y entre ellos

forman un ngulo de 4 . Los posibles errores de medicin son1

16pulgadas en los lados y

0.02 radianes en el ngulo. Aproximar el mximo error porcentual posible al medir el volumen .

12.Volumen Un abrevadero tiene 16 pies de largo (ver la figura A). Sus secciones transversalesson tringulos issceles en los que los dos lados iguales miden 18 pulgadas.

a) Expresar el volumen del abrevadero en funcin de y determinar el valor de para el que elvolumen es mximo.

b) El error mximo en las mediciones lineales es de media pulgada y el error mximo en lamedida del ngulo es 02 . Aproximar el cambio a partir del volumen mximo.

13.Deportes Un jugador de bisbol en el jardn central se encuentra aproximadamente a 330 piesde una cmara de televisin que est en la base. Un bateador golpea una pelota que sale hacia

una valla situada a una distancia de 420 pies de la cmara (ver figura B).

a) La cmara gira0

9 para seguir la carrera. Aproximar el nmero de pies que el jugador centraltiene que correr para atrapar la pelota.b) La posicin del jugador central podra tener un error hasta de 6 pies y el error mximo al medir

la rotacin de la cmara de0

1 . Aproximar el mximo error posible en el resultado del apartado a).


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Figura A Figura B

14.Las dimensiones de una caja son 10 cm, 12 cm y 15cm, con un posible error de 0.02 en cada

medicin. Aproxime mediante diferenciales el mximo error si el volumen de la caja se calcula

a partir de estas medidas.

15.La funcin 0,425 0,7250,1091S w h da el rea de la superficie corporal de una persona, en

trminos del peso w y la estatura h . Si el error en la medida de w es a lo sumo 3%, y el error

en la medida de h es a lo ms 5%, Cul es el porcentaje mximo de error aproximado en la

medida de S ?

16.En un experimento para hallar la rapidez promedio, un ingeniero usa la formula svt

, donde

s es la distancia recorrida, t el tiempo, y v la rapidez promedio. Si existe un 1% de error al

medir s , y un 2% al medir t, qu tan grande es el porcentaje de error en el clculo de v?

17.Dos lados de un tringulo miden 150 y 200 metros y el ngulo que forman es de 600 . Sabiendo

que los errores en la medicin son de 0.2 metros en la medida de los lados y de 1 0 en la del

ngulo. Hallar el mximo error probable que se puede cometer al evaluar su rea.

18.La presin P , en Kilopascales, el volumen V , en litros y la temperatura T en Kelvin, de un

mol de un gas ideal, estn relacionados mediante la ecuacin 8.31PV T . Determine la razn a

la cual la presin cambia cuando la temperatura es de 300K y se incrementa a razn de

0.1K s y el volumen es de 100 L y se incrementa a razn de 0.2L s .

19.La temperatura en un punto ( , )x y es ( , )T x y , medida en grados Celsius. Un animalito se

arrastra de tal modo que su posicin despus de tsegundos est definida por 1x t ,

12

3y t , donde yx y se miden en centmetros. La funcin de la temperatura cumple con

(2,3) 4x

T y (2,3) 3yT . Qu tan rpido se eleva la temperatura en la trayectoria del

animalito despus de 3 segundos?

20.La altura de un cono circular es de 30 pulg. En un cierto instante y crece a razn de 2 pulg./seg,

el radio de la base en ese mismo instante es de 20 pulg./seg y crece a razn de 1 pulg/seg. A

qu velocidad crece el volumen en aquel instante.


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21.El radio de un cono circular recto se incrementa a una razn de 1.8 pulg s , mientras su altura

disminuye a razn de 2.5 pulg s . A qu razn cambia el volumen del cono cuando el radio es

120 pulg y la altura es de 140 pulg. ?

22.El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razn de 6 pulgadas por minuto y la alturadecrece a razn de 4 pulgadas por minuto. Cul es la velocidad o el ritmo de cambio del

volumen y del rea superficial cuando el radio es 12 pulgadas y la altura 36 pulgadas?

23.La longitud , ancho w y la altura h de una caja cambia con el tiempo. En un cierto instante,

las dimensiones son 1 m y 2 mw h , y y w se incrementan a razn de 2m s , en tanto

que h disminuye a razn de 3 m s . Encuentre en ese instante las razones a las cuales las

siguientes magnitudes cambian.

a) El volumen

b) El rea superficialc) La longitud de la diagonal.

24.El automvil A viaja hacia el norte por la carretera 16 y el automvil B viaja hacia el oeste por

la carretera 83. Los vehculos se aproximan a la interseccin de dichas carreteras. En un cierto

momento, el automvil A est a 0.3 km de la interseccin y se desplaza a 90km h mientras que

el automvil B est a 0.4 km de la interseccin y viaja a. Qu tan rpido cambia la distancia

entre los automviles en ese momento?

25.El radio de una esfera disminuye a razn de 2cm s y el radio de un cono recto inscrito en

dicha esfera aumenta a razn de 1cm s . Calcular la rapidez con que vara el volumen del conocuando el radio de la esfera es de 10 cm y el radio de la base del cono 6 cm .

26.Una pared hace un ngulo de 1200 con el suelo, una escalera de 20 cm. de longitud est

recargada contra la pared y su parte superior esta resbalando a la rapidez de 3cm/seg. Que

rpido est cambiando el rea del triangulo formado por la escalera, la pared y el suelo cuando

la escalera hace un ngulo de 300 con el suelo.

27.Calcula en cada caso, el gradiente y el valor mximo de la derivada direccional de la funcin en

el punto que se indica:

a)2 2

( , ) yf x yx y

en el punto (1,1) b)2

( , ) x f x yx y

en el punto (2,1)

c) ( , , ) cosx f x y z ze y en el punto (0,4

,1) d) 2 2( , )f x y x y en el punto (2,1)

28.Encuentra la direccin y sentido en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo ms

rpidamente posible en el punto P indicado en cada caso, y encuentra la razn de decrecimiento

en esa direccin.

a) 2 2( , ) 20 ; ( 1, 3) f x y x y P b) ( , ) ; (2,3)xyf x y e P

c) ( , ) cos(3 ); ( , )6 4

f x y x y P

d) ( , ) ; (3,1)x y

f x y P

x y


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29.El capitn McPherson se encuentra sobre la cara iluminada de Mercurio y nota que se est

quemando, la orografa local y la geometra de Mercurio hacen que la temperatura alrededor

del punto (0,0) donde se encuentra venga dada por la funcin0,0020,01( , ) 100 50 100

yxT x y e e , donde la temperatura T es medida en grados

centgrados y las distancias ,x y en kilmetros. Calcule:

a) La temperatura que est soportando Mc Pherson en el punto que se encuentra.b) La direccin en que ha de moverse para que su situacin mejore lo ms rpidamente

posiblec) En este momento cual es el ritmo de descenso de la temperatura en la mencionada

direccin.

30.En una montaa la elevacin z por sobre el punto x,y en el plano XY horizontal al nivel del

mar es de 2 22000 2 4 z x y pies. El eje positivo de las abscisas apunta al este y el eje

positivo de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en el punto (20, 5,1100).

a) Si el alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el oeste, subir o bajara? Con querapidez?

b) Si el alpinista utiliza una brjula para avanzar hacia el noreste, subir o bajara? Con querapidez?

c) Qu direccin ha de marcar la brjula para que el alpinista avance en el mismo nivel?

31.La temperatura en un punto x,y de una placa metlica en el plano XY es

2 2( , )

1

xyT x y

x y

grados Celsius.

a) Encuentra la razn de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la direccin y sentidodel vector (2,-1).

b) b) Una hormiga que esta en el punto (1,1) quiere caminar en la direccin y sentido en quela temperatura disminuye ms rpidamente. Encuentra un vector unitario en esta direcciny sentido.

32.Investigacin Un equipo de oceangrafos est elaborando un mapa del fondo del ocano paraayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo

2250 30 50 , 0 2 , 0 2

2

y D x sen x y

donde D es la profundidad en metros, y yx y son las distancias en kilmetros.

a) Utilizar un sistema computacional para representar grficamente la superficie.

b) Como la grfica del apartado a) da la profundidad, no es un mapa del fondo del ocano.

Cmo podra modificarse el modelo para que se pudiera obtener una grfica del fondo del

oceano?

c) Cul es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las coordenadas

1 y 0.5x y ?

d) Determina la pendiente del fondo del ocano en la direccin del eje x positivo a partir del

punto donde se encuentra el barco.


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e) Determina la pendiente del fondo del ocano en la direccin del eje y positivo en el punto

donde se encuentra el barco.

f) Determinar la direccin de mayor tasa o ritmo de cambio de la profundidad a partir de

33.Temperatura La temperatura en el punto ( , )x y de una placa metlica se modela mediante

2( ) 2( , ) 400 , 0 , 0x yT x y e x y

a) Utilizar un sistema computacional para graficar la funcin de distribucin de temperatura.b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el

calor.c) Hallar la direccin de mayor incremento de calor en el punto (3,5) .

34.Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de ( , ) xy f x y ye en el punto

(0,2) tiene el valor 1.

35.En las cercanas de una boya, la profundidad de un lago en el punto de coordenadas ( , )x y es2 3200 0.02 0.001 z x y , donde , y x y zse miden en metros. Un pescador en un bote

pequeo parte del punto (80,60) y se dirige hacia la boya, la cual se ubica en el punto (0,0) .

El agua bajo el bote se hace ms somera o ms profunda cuando el pescador parte? Explique.

36.La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde elcentro de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1,2,2)

es 0120 .

a) Determine la razn de cambio de T en (1,2,2) en la direccin hacia el punto (2,1,3) .b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la direccin de incremento ms grande de

temperatura est definido por un vector que seala hacia el origen.

Derivadas Parciales 2011-2[1]

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