DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de orden superior comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

Representación:

Utilidad:

Para graficar una función tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina:

Teorema de schwarz (igualdad de las derivadas mixtas).

Ejercicios de aplicación:Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden y muestre que las derivadas mixtas son iguales:

Función:

Derivada de orden superior respecto de x.

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=√ 𝑥2𝑎2+ 𝑦 2𝑏2

Solución:

Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x.

Siendo

Simplificar

𝑢=𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2

Paso 2: Derivar parcialmente la función en segundo orden respecto de x.

El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en x, “()” es:

Derivada de orden superior respecto de y.

Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función de primer orden respecto de y.

Paso 2: Derivar parcialmente la función de segundo orden respecto de y.

El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en y, “()” es:

Derivada de orden superior mixta (:

Función:

Solución: Paso 1: Derivar parcialmente la función respecto

de x.

𝑓 (𝑥 , 𝑦 )=√ 𝑥2𝑎2+ 𝑦 2𝑏2

Paso 2: Derivar parcialmente la función respecto y.

El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en xy, “()” es:

Solución:

Paso 1: Derivar parcialmente la función respecto de y.

Paso 2: Derivar parcialmente la función

respecto de X.

Derivada de orden superior mixta (:

𝑓 𝑦𝑥= 𝑓 𝑥𝑦

El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la función () en yx, “()” es:

 Finalmente, tomando en cuenta las derivadas parciales de orden superior mixtas, se puede afirmar que son iguales. Lo que se comprueba el teorema de schwarz siendo la función continua.