Derivadas Parciales 2013-1

Departamento de Matemáticas-Cajamarca 1

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta ¿Cómo afectaría

al valor de una función un cambio en una de sus variables independientes?

Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables independientes

por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en un experimento,

un químico podría repetir el experimento varias veces usando cantidades distintas de

catalizador, mientras mantiene constante las otras variables como temperatura y

presión. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función f respecto a

una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimiento similar. A este

proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llama derivada parcial de f con

respecto a la variable elegida.

Definición de las derivadas parciales de una función de dos variables

Derivadas parciales de primer orden. Se llama derivada parcial de una función z f ( x, y )

con respecto a la variable independiente x al siguiente límite, si existe y es finito:

(1)

el cual se calcula suponiendo y constante.

Se llama derivada parcial de una función z f ( x, y ) con respecto a la variable independiente y

al siguiente límite, si existe y es finito:

(2)

el cual se calcula suponiendo x constante.

Notación de las derivadas parciales

Si z f ( x, y ), entonces sus derivadas parciales respecto a x y y se expresan, se

respectivamente, en las formas siguientes:

( , ) ( , )limx

z f x x y f x y

x x

0

( , ) ( , )limy

z f x y y f x y

y y

0


Ejemplo 1.- Aplique la definición de derivada parcial para calcular 1D f ( x, y ) y 2D f ( x,y ) si

2 23 2f ( x, y ) x xy y .

Solución

10

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

2

0 0

3 2 3 2

3 6 3 2 2 3 2

6 3 26 3 2

6 2

x

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

x

( x x ) ( x x )y y ( x xy y )lim

x

x x x ( x ) xy y x y x xy ylim

x

x x ( x ) y xlim lim x x y

x

x y

20

2 2 2 2

0

2 2 2 2 2

0

2

0

0

3 2 3 2

3 2 2 2 3 2

2 2

2 2 2 2

y

y

y

y

y

f ( x, y y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

y

x x( y y ) ( y y ) ( x xy y )lim

y

x xy x y y y y ( y ) x xy ylim

y

x y y y ( y )lim

y

lim( x y y ) x y

Ejemplo 2.- Calcular 1D f ( x, y ) y 2D f ( x,y ) si 2 22 5f ( x, y ) x y xy x y

Solución

10

2 2 2 2

0

2 22

0 0

2

2 5 2 5

4 24 2 1

4 1

x

x

x x

f ( x x, y ) f ( x, y )D f ( x, y ) lim

x

( ( x x ) y ( x x )y ( x x ) y ) ( x y xy x y )lim

x

xy x ( x ) y x xlim lim xy x y

x

xy y

En forma similar que 2

2 2 2 5D f ( x, y ) x xy .

1

x x

z ff ( x, y ) f ( x, y ) D [ f ( x, y )] D f ( x, y )

x x x

2

y y

z ff ( x, y ) f ( x, y ) D [ f ( x, y )] D f ( x, y )

y y y


Nota Para calcular las derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que según la

ecuación (1) la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de f con

respecto a x manteniendo fija la variable y. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.

REGLA PARA DETERMINAR LAS DERIVADAS PARCIALES DE ( , )z f x y

1. Para determinar x

f , conservar a y constante y derivar ( , )f x y con respecto a x .

2. Para determinar y

f , conservar a x constante y derivar ( , )f x y con respecto a y .

Ejemplo 1 Dada la función z definida por ( )x y

z x y e

2 2

. Hallar z

y

y z

x

.

Solución

( )( ) ( )x y 2 2 x y 2 3 x yz

2xe x y ye 2x x y y ex

( )( ) ( )x y 2 2 x y 3 2 x yz

2 ye x y xe 2 y x xy ey

Ejemplo 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales de ( , )2

x y

f x y xe . Hallar ,x y

f f y evaluar a

cada en el punto (1,ln 2) .

Solución

Como ( , ) ( )2 2

2 x y x y

xf x y xe xy e . La derivada parcial de f con respecto a x en (1,ln 2) es

ln2 ln2(1,ln 2) (2ln 2) 4ln 2 2

xf e e .

Como ( , ) ( )2 2

2 3

x y x y

yf x y xe x x e . La derivada parcial de f con respecto a y en (1,ln 2) es

ln2(1,ln 2) 2

yf e .

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recuerde que la ecuación

( , )z f x y representa una superficie S (que es la gráfica de f ). Si ( , )f a b c , entonces el

punto ( , , )P a b c está definido sobre S. Si hace y b entonces ( , )z f x b representa la curva

intersección C1(en otras palabras la curva C

1es la traza de S en el plano y b ). Por

consiguiente


0

( , ) ( , )( , ) lim

x x

f a x b f a bf a b

x

representa la pendiente de esta curva en el punto ( , , ( , ))a b f a b . Nótese que tanto la curva

como la recta están en el plano y b . Análogamente

0

( , ) ( , )( , ) lim

y y

f a y b f a bf a b

y

representa la pendiente de la curva intersección C2(en otras palabras la curva C

2es la

traza de S en el plano x a ). Ver figura 1

Ejemplo 1 Si 2 2

( , ) 4 2f x y x y , determine (1,1) y (1,1)x y

f f , e interprete estos valores.

Solución

Las derivadas parciales de f con respecto a e x y son


( , ) 2 ( , ) 4

(1,1) 2 (1,1) 4

x y

x y

f x y x f x y y

f f

La gráfica de f es el paraboloide 2 2

( , ) 4 2f x y x y y el plano vertical 1y lo corta en

la parábola 2

2 , 1z x y .(Al igual que en el análisis anterior, es 1

C en la figura 2 ). La

pendiente de la tangente de esta parábola en el punto (1,1,1) es (1,1) 2x

f . De la misma

manera, la curva 2

C que se forma cuando el plano 1x corta al paraboloide es la parábola

23 2 , 1z y x y la pendiente de la tangente de esta parábola en el punto (1,1,1) es

(1,1) 4y

f (ver figura 3).

Derivadas parciales de una función de tres o más variables

También se puede definir las derivadas parciales mediante funciones de tres o más

variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables y x y z, , entonces su derivada

parcial con respecto a x se define como

0

( , , ) ( , , )( , , ) lim

xh

f x h y z f x y zf x y z

h

y se determina considerando a y a y z como constantes y derivando ( , , )f x y z con respecto

a x . Si ( , , )w f x y z , entonces ( , , )x

f x y z w x se puede interpretar como la razón de

cambio de w con respecto a x cuando y y z se mantiene constantes.

En general, si u es una función de n variables, 1 2

( , , , )n

u f x x x , su derivada parcial con

respecto a la i -ésima variable i

x es

1 2 1 1 1

0

( , , , , , , , ) ( , , , , )lim i i i n i n

hi

f x x x x h x x f x x xu

x h

Figura 4 Figura 3


y también

ix i

i i

u ff f

x x

Ejemplo 2 Dada la función f definida por ( , , )x y z

f x y z e3 4 5

. Hallar sus derivadas

parciales en el punto 1,1,1 .P

Solución

3 4 5x y z 2 4 5

( 1,1,1 ) ( 1,1,1 )

fe ( 3x y z ) 3e

x

3 4 5x y z 3 3 5

( 1,1,1 )( 1,1,1 )

fe ( 4 x y z ) 4e

y

( , , )( , , )

( )x y zf

e x y z ez

3 4 53 4 4

1 1 11 1 1

5 5

PLANO TANGENTE A UNA SUPERFICIE

Se llama plano tangente a una superficie en un punto ( , , )0 0 0

P x y z de la misma, al plano

que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto

( , , )0 0 0

P x y z .

Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación z f x, y , entonces la

ecuación del plano tangente en un punto ( , , )0 0 0

P x y z de la superficie viene definido por la

ecuación:

0 0 0 0 0 0 0( , )( ) ( , )( ) ( ) 0

f fx y x x x y y y z z

x y

Ejemplo 1 Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación 2 2

z 5 2x y en el

punto 1 1 2P , , .

Solución

Hallamos las derivadas parciales: (1,1,2) (1,1,2)

(1,1,2) (1,1,2)

4 4; 2 2z z

x yx y

Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,1,2) es: z 8 4x 2 y .


Ejemplo 2 Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie de ecuación 2 2

z 3x y 2 en el

punto 1 2 9P , , .

Solución

Hallamos las derivadas parciales: ( 1,2,9) ( 1,2,9)

( 1,2,9) ( 1,2,9)

6 6; 2 4z z

x yx y

Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(-1,2,9) es: z 4 y 6x 5 .

Nota Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de

ecuaciones de la forma z f x, y . Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente

utilizar la representación más general ( , , ) 0F x y z . Una superficie S dada por

z f x, y , se puede convertir a la forma general definiendo F como

( , , ) ( , )F x y z f x y z

(1,1,2)P


Puesto que ( , ) 0f x y z , se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada por

( , , ) 0F x y z (Ecuación alternativa de la superficie S )

Es así, que enunciamos el siguiente teorema

TEOREMA Ecuación del plano tangente

Si F es diferenciable en 0 0 0

( , , )x y z , entonces una ecuación del plano tangente a la

superficie dada por ( , , ) 0F x y z en 0 0 0

( , , )x y z es

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0

x y zF x y z x x F x y z y y F x y z z z

Ejemplo 3 Hallar una ecuación del plano tangente al hiperboloide

2 2 22 2 12z x y en el punto (1, 1,4)

Solución

Empezamos expresando la ecuación de la superficie como 2 2 2

2 2 12 0z x y . Después,

considerando

2 2 2( , , ) 2 2 12F x y z z x y

Se tiene

( , , ) 4 , ( , , ) 4 , ( , , ) 2x y z

F x y z x F x y z y F x y z z .

En el punto (1, 1,4) las derivadas parciales son

(1, 1,4) 4 , (1, 1,4) 4 , (1, 1,4) 8.x y z

F F F

Por tanto, la ecuación del plano tangente en (1, 1,4) es

4( 1) 4( 1) 8( 4) 0 2 6 0x y z x y z


Definición (Recta Normal) La recta normal a la superficie : ( , , ) 0S F x y z en el punto

00 0 0

( , , )p x y z S es la recta que pasa a través del punto 0

p y sigue la dirección del vector

normal 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )

F x y z F x y z F x y zN F x y z

x y z al plano tangente a

la superficie S en el punto 0

p y su ecuación simétrica de la recta normal a S en

00 0 0

( , , )p x y z es 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( ):

( , , ) ( , , ) ( , , )n

x y z

x x y y z zL

F x y z F x y z F x y z

.

Ejemplo 4 Hallar la ecuación del plano tangente y de la normal a la superficie 3/2 3/2 3/2

17x y z en el punto (4,4,1) .

Solución

Sea 3/2 3/2 3/2

( , , ) 17F x y z x y z donde la normal del plano tangente a la superficie es

33 3( , , ) ( , , )

2 2 2

yF F F x zN

x y z

en el punto (4,4,1) se tiene

3(2,2,1)

2N

. Luego la

ecuación del plano tangente es : 2 2 17P x y z y la recta normal es

: (4,4,1) (2,2,1) / N

P t t .

Ejemplo 5 Hallar una ecuación del plano tangente y la recta en el punto dado

3 3 36x y z xyz en el punto (1,2, 1)

Solución

Sea 3 3 3

( , , ) 6F x y z x y z xyz . Entonces la normal del plano tangente a la superficie

es 2 2 2

( , , ) (3 ,3 ,3 )F F F

N x yz y xz z xyx y z

la cual evaluado en el punto (1,2, 1) es

(1,11,5) . Luego, la ecuación del plano es 1( 1) 11( 2) 5( 1) 0x x z y la recta normal

: (1,2, 1) (1,11,5) / N

P t t .

Derivadas parciales de órdenes superiores.

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales

de las derivadas parciales de primer orden.

Se usan las siguientes notaciones:

2

2

z z

x x x

;

2z z

y x y x

;

2z z

x y x y

;

2

2

z z

y y y

A continuación se presenta un resultado muy importante sobre las derivadas parciales mixtas.


TEOREMA DE CLAIRUT Suponga que f se define en un disco D que contiene el punto

( , )a b . Si tanto la función y xy yx

f f son continuas en D entonces

( , ) ( , )xy yx

f a b f a b

Igual se definen las derivadas parciales de tercer orden y de órdenes superiores.

Ejemplo.- Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función: 2

f ( x, y ) sen( x y )

Solución

Hallamos las derivadas parciales de primer orden:

2 2 22 cos( ) ; cos( )f f

xy x y x x yx y

Así las segundas derivadas son: 2

2 2 2 2

22 cos( ) 4 sin( )

fy x y x y x y

x

;

24 2

2sin( )

fx x y

y

22 3 22 cos( ) 2 sin( )

fx x y x y x y

x y

;

22 3 22 cos( ) 2 sin( )

fx x y x y x y

y x

.

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

En esta parte generalizaremos el concepto de incrementos y diferenciales a funciones de

dos o más variables. Recordemos que dada ( )y f x se define el incremento de la variable

dependiente y como

( ) ( ) y f x x f x

De manera análoga para una función de dos variables ( , )z f x y , definimos el incremento

de la variable dependiente z como

( , ) ( , )z f x x y y f x y

Como podemos observar, z produce la cantidad de cambio en la función cuando ( , )x y cambia

de ( , ) x x y y .

Definición de diferenciabilidad

Una función f dada por ( , )z f x y es diferenciable en 0 0( , )P x y si z puede expresarse en la

forma

0 0 0 0 1 2( , ) ( , )x yz f x y x f x y y x y


donde 1 2 y 0 cuando ( , ) (0,0)x y . La función f es diferenciable en una región R si

es diferenciable en todo punto de R.

Ejemplo Mostrar que la siguiente función es diferenciable en todo punto

2( , ) 3f x y x y

En efecto Haciendo ( , )z f x y , el incremento de z en un punto arbitrario ( , )x y en el plano es

2 2 2

2

1 2

( , ) ( , )

( 2 ) 3( ) ( 3 )

2 3

2 3 ( ) 0( )

( , ) ( , ) ( ) ( )x y

z f x x y y f x y

x x x x y y x y

x x x y

x x y x x y

f x y x f x y y x y

donde 1 2y 0x . Como 1 20y 0 cuando ( , ) (0,0)x y , se sigue que f es

diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figura siguiente

Debemos de tener en cuenta que el hecho de que existan las derivadas parciales de f no garantiza

que la función sea diferenciable. El teorema siguiente proporciona una condición suficiente para la

diferenciabilidad. A continuación presentamos un teorema que proporciona una condición

suficiente para la diferenciabilidad de una función de dos variables.

Definición de diferencial total

Si ( , )z f x y y x y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferenciales de las

variables independientes x e y son

dx x y dy y

y la diferencial total de la variable dependiente z es


( , ) ( , )x y

z zd z dx dy f x y dx f x y dy

x y

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejemplo, si

( , , , )w f x y z u entonces dx x , dy y , dz z y du u y la diferencial total de w es

w w w wd w d x d y d z d u

x y z u

Ejemplo Hallar la diferencial total de cada función

a) 2 22 3z xsen y x y b) 2 2 2w x y z

Solución

a) La diferencial total dz de 2 22 3z xsen y x y es

2 2(2 6 ) (2 6 ) .

z zdz d x d y

x y

sen y xy d x xcos y x y d x

b) La diferencial total dw de 2 2 2w x y z es

2 2 2 .

w w wdw d x d y d z

x y z

xd x yd y zd z

TEOREMA 1 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Si f es una función de e x y , para la que y x yf f son continuas en una región abierta R , entonces

f es diferenciable en R.

Interpretación del teorema 1

El teorema 1 nos dice que se puede elegir ( , )x x y y suficientemente cerca de ( , )x y

para hacer que 1 2 y x y sean insignificantes. En otros términos, para y x y pequeños,

se puede usar la aproximación

z dz

lo cual lleva a la siguiente aproximación

( , ) ( , ) ( , ) ( , )z z z z

f x x y y f x y dx dy f x x y y f x y dx dyx y x y


Ejemplo 1 Uso de la diferencial como aproximación

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en 2 24z x y cuando ( , )x y se desplaza

del punto (1,1) al punto (1.01,0.97) . Comparar esta aproximación con el cambio exacto en z .

Solución

Se hace ( , ) (1,1)x y y ( , ) (1.01 ,0.97)x x y y y se obtiene 0.01d x x y

0.03d y y . Por tanto, el cambio en z puede aproximarse mediante

2 2 2 24 4

z z x yz dz dx dy x y

x y x y x y

Cuando 1 y 1x y , se tiene 1 1 0.02

(0.01) ( 0.03) 2(0.01) 0.0141.2 2 2

z

con

respecto al cambio exacto se tiene

2 2 2 21.01

(1.01,0.97) (1,1)

4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0.010 3.97 1 1 7

z f f

(Proceso solucionado con calculadora)

En la figura siguiente se puede observar el cambio exacto corresponde a la diferencia entre las

alturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio

Ejemplo2 Estimar 3 22(2.02) (2.97)

Solución

Estimar 3 2( , ) 2( ) ( )f x y x y , 2 , 3.a b Después es fácil calcular el valor exacto de

(2,3) 2.8 9 25 5f . A continuación,


2

3 2 3 2

3

2 2

df x df yy

dx dyx y x y

Por lo que

12 3(2,3) (2,3)

5 5x yf y f

En este caso utilizando 0.02 0.03x yy tenemos

2 22(2.02) (2.97) (2.02,2.97)

(2,3) (2,3).(0.02) (2,3).( 0.03)

12 35 .(0.02) .(0.03) 5.03

5 5

x y

f

f f f

El valor real con cuatro decimales es 5.0305 Ejemplo 4

Un envase metálico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto, 6 pulgadas de altura

interior, 2 pulgadas de radio interior y 0.1 pulgadas de grosor. Si el costo del metal es de

40 centavos por pulgadas cúbica. Aproxime mediante diferenciales el costo total del metal

empleado en la elaboración del envase.

Solución

La figura muestra el envase. Si V pulgadas cúbicas es el volumen de un cilindro circular

recto que tiene un radio de r pulgadas y una altura de h pulgadas, entonces

V r h 2

El volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre los volúmenes

de dos cilindros circulares rectos para los cuales 2 1r . , 6 2h . y 2r y 6h

respectivamente. El incremento V proporciona el volumen exacto del metal, pero como

únicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV que es el diferencial total de V.

0.1pulg

0.1pulg


22

V VdV dr dh

r h

hdr r dh

Con 2, 6, 0.1 0.2,r h dr y dh

22 (2)(6)(0.1) (2) (0.2)

3.2

dV

De este modo, 3.2 ,V por lo que el metal empleado en el envase es aproximadamente

3.2 pulg3. Puesto que el costo del metal es de 40 centavos por pulgada cúbica, entonces

el número aproximado de centavos del costo aproximado es 128 402 .

Conclusión El costo aproximado del metal empleado en el envase es $4.02.

Ejemplo 5 El punto (1,2) está sobre la curva cuya ecuación es

3 3( , ) 2 5 0f x y x y xy ……………………. (1)

Aproxime la coordenada y del punto cercano ( , )x y sobre dicha curva para el que 1.2.x

Solución

El incremento entre (1,2) 0f y ( , ) 0f x y sobre esta curva es ( , ) 0 ,f x y df por lo que

cuando se calculan las diferenciales en la ecuación (1) se obtiene

2 2(6 5 ) (3 5 ) 0

f fdf dx dy x y dx y x dy

x y

Ahora al sustituir 1, 2x y y 0.2dx , se obtiene la ecuación ( 4)(0.2) 7 0dy . De donde

se sigue que 0.8

0.114 0.17

dy . Esto deja a (1.2;2.1) como las coordenadas aproximadas

del punto cercano.

Nota Una función de tres variables ( , , )w f x y z se dice que es diferenciable en ( , , )x y z si

( , , ) ( , , )w f x x y y z z f x y z

puede expresarse en la forma


1 2 3x y zw f x f y f z x y z

donde 1 2 3, y 0 cuando ( , , ) (0,0,0)x y z . Con esta definición de diferenciabilidad el

teorema 1 pude generalizarse y lo podemos utilizar en el siguiente ejercicio.

Ejemplo 6 Estimar Solución

Tomamos , como ; así 0,02h ; 0,01k ; 0,05r ;

luego tenemos que 2 2 2(2,2,1) 2 2 1 3f ; además 2 2 2

(2,2,1)(2,2,1)

2

3

f x

x x y z

;

; 2 2 2

(2,2,1)(2,2,1)

1

3

f z

z x y z

; finalmente se tiene que

2 2 2 2 2 11,98 2,01 1,05 3 ( 0,02) (0,01) (0,05) 3,01

3 3 3 .

Ejemplo 7 El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es 0.1

milímetros. Las dimensiones de la caja son 50x centímetros, 20y centímetros y 15z

centímetros, como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado.

Solución

El volumen de la caja está dado por V xyz , y por tanto

.

V V VdV dx dy dz

x y z

yzdx xzdy xydz

Utilizando 0.1 milímetros = 0.01centímetros, se tiene 0.01dx dy dz , y el error propagado

es aproximadamente

2 2 21,98 2,01 1,05

2 2 2( , , )f x y z x y z 0 0( , , ) (2,2,1)oP x y z

2 2 2(2,2,1)

(2,2,1)

1

3

f y

y x y z


(20)(15)(0.01) (50)(15)(0.01) (50)(20)(0.01)

300(0.01) 750(0.01) 1000(0.

centímetros cúbico

01)

2 s0.5 .

dV


Derivada de la Función Compuesta

Teorema.- Sea 2:f D una función diferenciable, definida por ( , )u f x y y

( , ) y ( , )x h r s y g r s , y existen las derivadas parciales , , , , ,u u x x y y

x y r s r s

;

Entonces las derivadas parciales de la función compuesta ( ( , ), ( , ))u f x r s y r s se pueden calcular

mediante: u u x u y

r x r y r

;

u u x u y

s x s y s

.

Caso Particular: Si ( , )z f x y , donde ( )x x t ; ( )y y t , entonces la derivada total de z respecto

de x se puede calcular: o bien haciendo la sustitución, o bien, aplicando la siguiente fórmula:

dz z dx z dy

dt x dt y dt

………………….. (1)

Ejemplo 1 Dada la función z=2xy donde 2 2x s t ; s

yt

; hallar ;z z

s t

Solución

Como 2

12 ; 2 ; 2 2 ; ;

z z x x y y sy x s t

x y s t s t t t

entonces

2 21 2 2(3 )(2 )(2 ) (2 ) 4

z z x z y x s ty s x ys

s x s y s t t t

2 3

2 2 2

2 2 2(2 )(2 ) (2 )( ) 4

z z x z y s xs st sy t x yt

t x t y t t t t

Ejemplo 2 Si 2 43z x y xy , donde 2x sen t y cosy t . Determine dz dt cuando 0t .

Solución

Por la regla de la cadena tenemos

4 2 3(2 3 )(2cos2 ) ( 12 )( )

dz z dx z dyxy y t x xy sent

dt x dt y dt

No es necesario escribir las expresiones para y x y en términos de t simplemente observemos

que cuando 0t tiene 0 0x sen y cos0 1y . Por lo tanto

0

(0 3)2cos0 (0 0)( 0) 6t

dz z dx zsen

dt x dt t

La derivada del ejemplo 2 se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t

cuando el punto ( , )x y se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones parametricas son 2x sen t ,


y cost . Ver figura

En particular, cuando 0t , el punto ( , )x y es (0,1) y 6dz dt es la razón del incremento

cuando uno se desplaza por la curva C que pasa por el punto (0,1) . Por ejemplo si 2 4( , ) 3z T x y x y xy representa la temperatura en el punto ( , )x y , entonces la función

compuesta ( 2 , )z T sen t cost representa la temperatura en los puntos sobre C y la derivada dz dt

representa la razón a la cual la temperatura cambia a lo largo de C .

Ejemplo 3 La figura anterior muestra un bloque de hielo cilíndrico que se funde. Debido al calor del

Sol que le llega desde arriba, su altura h decrece con más rapidez que su radio r . Si su

altura disminuye a 3cm/h y su radio a 1cm/h cuando 15r cm y 40h cm ¿Cuál es la tasa

de cambio del volumen V del bloque en ese instante?

Solución

Con 2V r h , la regla de la cadena ofrece

22 .dV V dr V dh dr dh

rh rdt r dt h dt dt dt

Al sustituir los valores de 15r cm , 40h cm , 1dr

dt y 3

dh

dt se encuentra que

22 (15)(40)( 1) (15) ( 3) 1875 5890.49dV

dt (cm

3/h).

Así en el instante en cuestión, el volumen del bloque cilíndrico disminuye a poco menos

de 6 litros por hora.


Ejemplo 4 Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones

parametricas siguientes

1 1

2 2

4cos y 2 (Primer objeto)

2 2 y 3cos2 (Segundo objeto)

x t y sent

x sen t y t

¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando t ?

Solución

En la figura siguiente se puede ver que la distancia s entre los dos objetos está dada por

2 2

2 1 2 1( ) ( )s x x y y

y que cuando t , se tiene 1 1 2 24 , 0 , 0 , 3x y x y y

2 2(0 4) (3 0) 5s .

Cuando t , las derivadas parciales de s son las siguientes.

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 21 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

2 1

2 22 2 1 2 1

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

( ) 1 4(0 4)

5 5( ) ( )

( ) 1 3(3 0)

5 5( ) ( )

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

x xd s

d x x x y y

y yd s

d y x x y y

Cuando t , las derivadas de 1 1 2 2, , y x y x y son


1 1

2 2

4 0 , 2 2

4 2 4 , 6 2 0

x ysent cost

t t

x ycos t sen t

t t

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia a una velocidad

o ritmo

1 1 2 2

1 1 2 2

4 3 4 3(0) ( 2) (4) (0)

5 5 5 5

22.

5

dx dy dx dyds s s s s

dt x dt y dt x dt y dt


Derivada direccional y vector gradiente

En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de curvas de nivel de la función

temperatura ( , )T x y para los estados de California y Nevada a las 3 pm de un día de

octubre. Las curvas de nivel unen localidades con la misma temperatura.

La derivada parcial xT en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura con

respecto a la distancia si viaja hacia el este desde Reno; yT es la razón de cambio de la

temperatura si viaja hacia el norte. Pero ¿Qué sucede si queremos saber la razón de

cambio de la temperatura cuando viaja al sureste? En esta sección se estudia un tipo de

derivada, que se denomina derivada direccional, que permite calcular la razón de cambio

de una función de dos o más variables en cualquier dirección.

La derivada direccional de en el punto x D y en la dirección de u

vector unitario de nR denotada por ( )u

D f x se define por

0

( ) ( )( ) lim

hu

f x hu f xD f x

h

,

Siempre que exista.

A esta definición la podemos particularizar considerando a 2D R y deseamos encontrar

la razón de cambio de ( , )z f x y en 0 0( , )x y en la dirección de un vector unitario ( , )u a b .

Para hacer esto considere la superficie S cuya ecuación es ( , )z f x y , y 0 0 0( , )z f x y .

Entonces el punto 0 0 0( , , )P x y z queda en S. El plano vertical que pasa por P en la dirección

de u corta a S en una curva C (véase figura 2). La pendiente de la recta tangente T a C en

el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de u.

: nf D R R

Figura 1


Luego, para este caso, la definición de derivada direccional de f en 0 0( , )x y en la

dirección de un vector unitario ( , )u a b es

0 0 0 00 0 0

( , ) ( , )( , ) lim u h

f x ha y hb f x yD f x y

h

Si existe este límite. Los teoremas dados a continuación nos ayudaran a evitar el uso del

límite.

Teorema Si : nf D es una función diferenciable, entonces la derivada

direccional se calcula por la fórmula:

1 1 2

1 2

( ,... ) ......n nu

n

f f fD f x x u u u

x x x

…………. (1)

Teorema Si ( , )z f x y es una función diferenciable de ,x y , y cos u = i jsen es un

vector unitario, entonces

( , ) cos

u

f fD f x y sen

x y

donde es el ángulo formado por el vector u

con el eje OX.

Ejemplo 1 Calcula, la derivada direccional de la función 2 2( , ) 3f x y x xy en el punto

(1,2)P en la dirección que va desde el origen hacia este punto.

Solución

Figura 2


2

( 1,2)

( 1,2)

2 3 14f

x yx

; ( 1,2)

(1,2)

6 12f

xyy

; además

2 2

(1,2) 1 2,

5 51 2

vu

v

.

Por lo tanto 1 2 38

(1,2) 14 125 5 5

uD f

.

Ejemplo 2 Hallar la derivada de la función 3 22f ( x, y ) x xy y en el punto 1 2P( , ) y en

la dirección que va desde este punto al punto 4 6N( , )

Solución

Sea (4,6) (1,2) (3,4) 5a PN N P a

. El vector unitario es 3 4

( , ),5 5

a

a

2

( 1,2)

( 1,2)

3 1f

x yx

; ( 1,2)

(1,2)

4 9f

x yy

. Por lo tanto

3 4 33(1,2) 1 9

5 5 5uD f

.

Ejemplo 3

Suponga que la temperatura (en grados Celsius) en el punto (x,y) cerca de un aeropuerto

está dado por

1

( , ) 7400 4 9 (0.03)180

f x y x y xy

(con las distancias x y y medidas en kilómetros). Suponga que su avión despega del

aeropuerto en la ubicación (200,200)P y se sigue al noreste en la dirección especificada por el

vector (3,4)v ¿Cuál es la tasa de cambio inicial de la temperatura que se observará?

Solución

Como v no es un vector unitario, primero debemos reemplazarlo como uno que sí lo sea y

que este en la misma dirección:

2 2

(3,4) 3 4( , )5 53 4

vu

v

.

Ahora utilizamos la formula (*) la cual produce

3 1 4 1

( , ) 4 (0.03) 9 (0.03) .5 180 5 180

uD f x y y x

Cuando se sustituye 200x y , se encuentra que


3 1 4 15 18( ) 0.1

5 180 5 180 180uD f P

Esta tasa instantánea de cambio -0.10C/Km significa que se observará en un inicio una

disminución de 0.10C en la temperatura por cada kilómetro que se viaje.

Ejemplo 4

Del ejemplo anterior haciendo

1

( , ) 7400 4 9 (0.03)180

w f x y x y xy ,

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros) observamos que la

derivada direccional de la función temperatura es

0

( ) 0.1u

dw CD f P

ds km

En el punto (200,200)P en dirección del vector (3,4)u . Si un avión sale del aeropuerto

en P y vuela en dirección de u con velocidad 5v ds dt km/min, entonces, la ecuación (1)

proporciona 0 0

. 0.1 5 0.5 .min min

dw dw ds C km C

dt ds dt km

Así, se observa una tasa inicial de disminución de medio grado de temperatura por minuto.


Gradiente de una función

Si : nf D R R es una función diferenciable, entonces el gradiente de f es el vector

definido por

1 2

( ) , ,......,

n

f f ff x

x x x

Interpretación del vector gradiente

El vector gradiente f tiene una interpretación importante que involucra el máximo valor

posible de la derivada direccional de la función f derivable en un punto P dado. Si es el

ángulo entre ( )f P y el vector unitario u (como se muestra en la figura),

entonces la ecuación (1) da

( ) ( ). ( ) cos ( ) cosuD f P f P u f P u f P

porque 1u . El valor máximo posible de cos es 1, y esto se consigue cuando 0 . Es

decir, cuando u es el vector unitario particular ( ) ( )m f p f p , que apunta en

dirección del vector gradiente ( )f p la derivada direccional alcanza su máximo valor. En

este caso la fórmula anterior lleva a

max ( ) ( ) uD f P f p

El cual representa el valor máximo de la derivada direccional.

Resumen:

1. 1 1 2 1 2( ,... ) ( , ,...., )( , ...... )n n nu

D f x x f x x x u u u

2. El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un

punto dado, mientras que el gradiente cambiado el signo señala la dirección de

máxima disminución.

3. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y

coincide con su modulo es decir ( ) max ( )u

f x D f x

.

f

u


4. El valor mínimo de la derivada direccional es ( )

f x y ocurre cuando u y ( )

f x

tienen direcciones opuestas (cuando cos 1 ).

Ejemplo 1 Dada la función 2 2

f ( x,y ) x y

a) Calcula ( )

uD f x en el punto P (1,2) en el sentido del vector que forma un ángulo de

60º con el sentido positivo del eje OX.

b) Calcula máx. ( )

uD f x

Solución

a) 1 3

(cos60 ,sin 60 ) ,2 2

u

; además ( 1,2)

( 1,2)

2 2f

xx

; ( 1,2)

( 1,2)

2 4f

yy

, luego

1 3

( ) 2,4 , 1 2 32 2

uD f x

.

b) (1,2) (2,4)f 2 2max ( ) ( ) 2 4 2 5

uD f x f x .

Ejemplo 2

Ahora suponga que la función de temperatura del ejemplo 4 (pag 24) se reemplaza con

1

( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180

w f x y z x y xy z

El término adicional -2z corresponde a una disminución de 20C en la temperatura por

kilometro de altitud z. Suponga que un halcón esta inmóvil en el aire, en el punto P (200,

200,5) y sobre el aeropuerto desciende en forma súbita a la velocidad de 3km/min en la

dirección especificada por el vector (3,4,-12). ¿Cuál es la tasa de cambio instantánea que

experimenta el ave?

Solución

El vector unitario en la dirección del vector (3, 4,-12) es

2 2 2

(3,4, 12) 3 4 12( , , )13 13 133 4 ( 12)

u

El vector gradiente de temperatura

1 1( ) [4 (0.03) ] [9 (0.03) ] 2

180 180f P y i x j k

Tiene el valor


10 15( ) 2

180 180f P i j k

En la posición inicial del halcón, (200,200,5)P . Por lo tanto, la tasa de cambio de la

temperatura para el ave respecto a la distancia es: 010 3 15 4 12

( ) ( ). ( )( ) ( )( ) ( 2)( ) 1.808 .180 13 180 13 13

u

dw CD f P f P u

ds km

Su velocidad es de 3 / minds

kmdt

, por lo que la tasa de cambio temporal de la temperatura

que experimenta el halcón es

0 0

. 1.808 5 5.424 .min min

dw dw ds C km C

dt ds dt km

Así, el ave se calienta inicialmente casi 5.5 grados por minuto conforme desciende hacia la

tierra.

Ejemplo 3

Del ejemplo anterior, sabemos que la función de temperatura es

1

( , , ) 7400 4 9 (0.03) 2180

w f x y z x y xy z

(Con la temperatura expresada en grados Celsius y la distancia en kilómetros). ¿En qué

dirección debe descender un halcón que comienza en el punto (200,200,5)P a una altitud

de 5 Km, afín de calentarse lo más rápido? ¿Que tan rápido subirá su temperatura

conforme el ave baje a una velocidad de 3 km/min? ¿Cual será la dirección de la brújula y

el ángulo de descenso conforme vuele en esa dirección particular? (Tarea)

Ejercicios Propuestos

1. Calcula todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes:

a) ( , ) sin(3 )cos(3 )f x y x y g) cos( )( , )

x x yf x y e

b) ( , ) ln(1 )f x y xy h) 2 2 2 2( , ) ( )ln( )f x y x y x y

c) 4 3 2 2 3 4( , )f x y x x y x y xy y i) 2 2 2 2( , ) (2 3 )exp( )f u v u v u v

d) 2( , ) xyf x y e e j)2 2

2 2( , )

r sf r s

r s

e)2 2

( , )xy

f x yx y

k) 2 2 2( , , ) (1 ) rstf r s t r s t e

f) 2 2( , ) ( )f x y Ln x y


2. Calcula, todas las derivadas parciales de segundo orden de las funciones siguientes

a) ( , ) sin( cos( ))f x y x xy e) ( , ) 3y yf x y x x

b) ( , ) xyf x y xye f) 2 23( , ) ( )f x y Ln x y

c) ( , ) ( )secf x y x y xy g) 2( , , ) 3 .cos .f x y z sen x x tg x

d) 1( , ) tanf x y sen xy xy h) ( , , ) z x z yf x y z x z y z

3. Calcular el plano tangente y la recta normal en los puntos que se indican:

a. 2 2exp( ) ; (0,0,1)z x y P

b. 2sin( )x y

z e x y ; P(0, 0,1)

c. 2 2

2xyz

x y

en el punto (1, 0,0)

d. sin( )z xy en el punto (1,2

,1)

e. 4

( ) ; (1,1,1)z arctg xy P

f. 3 3 4z x x y en el punto (1, 1,0)

g. 2 2 250 ; (4, 3,5)z x y P

h. 2 23 2 z x y ; ( 1,2,9)P

i. 2 24 16 0 x y z ; (2,4,2)P .

j. 2 21 z x y el punto ( , , )a b c , donde

2 21c a b .

k. 3 2 3 2 3 2 17 x y z en el punto (4,4,1) .

l. 2 2 z x y xy en el punto (3,4, 7) .

m. 3 3 3 6 x y z xyz ; (1,2, 1)P .

n. 4 3 2 33 4 4 4 1 0x y z xyz xz ;

(1,1,1)P .

o. 2 2 24 x y z x y z en el punto

(2,3,6) .

p. 2 2 5( ) 5z x xyz y en el punto (1,1,2)

.

4. Mostrar que las superficies 2 ln 4 0 x y z y 2 8 5 0x xy x z son tangentes,

estos es, se tiene un plano común tangente en el punto (2, 3,1) .

5. Evaluar (1,2)f y (1.05,2.1)f y calcular z y b) utilizar la diferencial total dz para aproximar

z :

a) 2 2( , ) 9f x y x y b) 2 2( , )f x y x y c) ( , )f x y xsen y

d) ( , ) yf x y xe e) ( , ) 3 4f x y x y f) ( , )x

f x yy

6. En los ejercicios siguientes hallar ( , )z f x y y utilizar la diferencial total para aproximar la

cantidad

a) 2 2 2((1.95) (2.01) )

b) 2 2 2 2(5.05) (3.1) 5 3

c) 2 3 2 3(2.03) (1 8.9) (2) (1 9)

d)

2 2

2 2

1 (3.05) 1 3

(5.95) 6

e) 2 2 2 2[(1.05) (0.95) ] (1 1 )sen sen

f) 2 2 2(3.1) (4.2) 11.7

g) 2 2 23 (5.1) 2(5.2) 2(5.3)


7. Aproximar la coordenada y del punto P cerca de (1; 2) que se encuentra sobre la curva 3 32 2 9 ,x y xy si la coordenada x de P es 1.1.

8. Aproximar la coordenada x del punto P cerca de (2; 4) que se encuentra sobre la curva 4 4 2 24 4 17x y x y si la coordenada y de P es 3.9.

9. Volumen El radio r y la altura h de un cilindro circular recto se miden con los posibles errores

de 4% y 2%, respectivamente. Aproximar el máximo error porcentual posible al medir el

volumen.

10. Viento la fórmula para la frialdad producida por el viento C (en grados Fahrenheit) es

0.16 0.1635,74 0.6215 35.75 0.4275C T T

donde es la velocidad del viento en millas por hora y T es la temperatura en grados

Fahrenheit. La velocidad del viento es 23 3 millas por hora y la temperatura es o o8 1 .

Utilizar dC para estimar el posible error propagado al calcular la frialdad producida por el

viento.

11. Péndulo El periodo T de un péndulo de longitud L es 2T L g , donde g es la

aceleración de la gravedad. Un péndulo se lleva de la zona del canal, donde 232.09piesg s

, a Groenlandia, donde 232.23piesg s . Debido al cambio en la temperatura, la longitud del

péndulo cambia de 2.5 pies a 2.48 pies. Aproximar el cambio en el periodo del péndulo.

12. Área En un triángulo, dos lados adyacentes miden 3 y 4 pulgadas de longitud, y entre ellos

forman un ángulo de 4 . Los posibles errores de medición son 1

16pulgadas en los lados y

0.02 radianes en el ángulo. Aproximar el máximo error posible al medir el área.

13. Volumen Un abrevadero tiene 16 pies de largo (ver la figura A). Sus secciones transversales

son triángulos isósceles en los que los dos lados iguales miden 18 pulgadas.

a) Expresar el volumen del abrevadero en función de y determinar el valor de para el que

el volumen es máximo.

b) El error máximo en las mediciones lineales es de media pulgada y el error máximo

en la medida del ángulo es 02 . Aproximar el cambio a partir del volumen máximo.

14. Deportes Un jugador de béisbol en el jardín central se encuentra aproximadamente a 330 pies

de una cámara de televisión que está en la base. Un bateador golpea una pelota que sale hacia

una valla situada a una distancia de 420 pies de la cámara (ver figura B).

a) La cámara gira 09 para seguir la carrera. Aproximar el número de pies que el jugador central

tiene que correr para atrapar la pelota.

b) La posición del jugador central podría tener un error hasta de 6 pies y el error máximo al

medir la rotación de la cámara de 01 . Aproximar el máximo error posible en el resultado del

apartado a).


Figura A Figura B

15. Las dimensiones de una caja son 10 cm, 12 cm y 15cm, con un posible error de 0.02 en cada

medición. Aproxime mediante diferenciales el máximo error si el volumen de la caja se calcula

a partir de estas medidas.

16. La función 0,425 0,7250,1091S w h da el área de la superficie corporal de una persona, en

términos del peso w y la estatura h . Si el error en la medida de w es a lo sumo 3%, y el error

en la medida de h es a lo más 5%, ¿Cuál es el porcentaje máximo de error aproximado en la

medida de S ?

17. En un experimento para hallar la rapidez promedio, un ingeniero usa la formula svt

, donde

s es la distancia recorrida, t el tiempo, y v la rapidez promedio. Si existe un 1% de error al

medir s , y un 2% al medir t , ¿qué tan grande es el porcentaje de error en el cálculo de v?

18. Dos lados de un triángulo miden 150 y 200 metros y el ángulo que forman es de 600. Sabiendo

que los errores en la medición son de 0.2 metros en la medida de los lados y de 10 en la del

ángulo. Hallar el máximo error probable que se puede cometer al evaluar su área.

19. El sistema cardiovascular humano es similar a circuitos eléctricos en serie y en paralelo.

Por ejemplo, cuando la sangre circula a través de dos resistencias en paralelo, como se muestra

en la figura , entonces la resistencia equivalente R de la red es

1 2

1 2 1 2

R R1 1 1o R

R R R R R

Si los errores porcentuales en la medición de 1R y 2R son 0.2% y 0.6% , respectivamente,

encuentre el error porcentual máximo aproximado en .

20. La presión P , en Kilopascales, el volumen V , en litros y la temperatura T en Kelvin, de un

mol de un gas ideal, están relacionados mediante la ecuación 8.31PV T . Determine la razón a

R1

R2


la cual la presión cambia cuando la temperatura es de 300K y se incrementa a razón de

0.1K s y el volumen es de 100 L y se incrementa a razón de 0.2L s .

21. La tensión T en la cuerda del yo-yo que se muestra en la figura es

2 22

RT mg

r R

donde mg es su peso constante. Determine el cambio aproximado en la tensión si R y r se

incrementan de 4cm y 0.8 cm a 4.1 cm y 0.9cm, respectivamente. ¿La tensión aumenta o

disminuye ?

22. Movimiento de proyectiles. Se dispara un proyectil a un ángulo con velocidad v a través de

un abismo de ancho D hacia el muro del acantilado vertical que es esencialmente infinito tanto

en la altura como en profundidad, ver figura.

a) Si el proyectil sólo está sujeto a la fuerza de la gravedad, demuestre que la altura H a la

cual golpea el muro del acantilado como una función de las variables v y está dada por

22

2

1tan sec

2

DH D g

v .

b) Calcule la diferencial total de H.

c) Suponga que 2100 , 32 , 100D pies g pies s v pies s y

045 . Calcule H.

d) Suponga, para los datos del inciso c), que el error en la medición de v es a lo sumo

1 pies s y que el error en la medición de es a lo sumo 01 . Calcule el error máximo

aproximado en H.

e) Al dejar que D varíe, H también puede considerarse como una función de tres variables.

Encuentre la diferencial total de H. Empleando los datos de los incisos c) y d) y

suponiendo que el error en la medición D es a lo sumo 2 pies s , calcule el error

máximo aproximado en H.


23. La temperatura en un punto ( , )x y es ( , )T x y , medida en grados Celsius. Un animalito se

arrastra de tal modo que su posición después de t segundos está definida por 1x t ,

12

3y t , donde y x y se miden en centímetros. La función de la temperatura cumple con

(2,3) 4xT y (2,3) 3yT . ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura en la trayectoria del

animalito después de 3 segundos?

24. La altura de un cono circular es de 30 pulg. En un cierto instante y crece a razón de 2 pulg./seg,

el radio de la base en ese mismo instante es de 20 pulg./seg y crece a razón de 1 pulg/seg. A

qué velocidad crece el volumen en aquel instante.

25. El radio de un cilindro circular recto se incrementa a razón de 6 pulgadas por minuto y la altura

decrece a razón de 4 pulgadas por minuto. ¿Cuál es la velocidad o el ritmo de cambio del

volumen y del área superficial cuando el radio es 12 pulgadas y la altura 36 pulgadas?

26. La longitud , ancho w y la altura h de una caja cambia con el tiempo. En un cierto instante,

las dimensiones son 1 m y 2 mw h , y y w se incrementan a razón de 2m s , en tanto

que h disminuye a razón de 3 m s . Encuentre en ese instante las razones a las cuales las

siguientes magnitudes cambian.

a) El volumen

b) El área superficial

c) La longitud de la diagonal.

27. El automóvil A viaja hacia el norte por la carretera 16 y el automóvil B viaja hacia el oeste por

la carretera 83. Los vehículos se aproximan a la intersección de dichas carreteras. En un cierto

momento, el automóvil A está a 0.3 km de la intersección y se desplaza a 90km h mientras que

el automóvil B está a 0.4 km de la intersección y viaja a 80 km/h. ¿Qué tan rápido cambia la

distancia entre los automóviles en ese momento?

28. El radio de una esfera disminuye a razón de 2cm s y el radio de un cono recto inscrito en

dicha esfera aumenta a razón de 1cm s . Calcular la rapidez con que varía el volumen del cono

cuando el radio de la esfera es de 10 cm y el radio de la base del cono 6 cm .

29. Una pared hace un ángulo de 1200 con el suelo, una escalera de 20 cm. de longitud está

recargada contra la pared y su parte superior esta resbalando a la rapidez de 3cm/seg. Que

rápido está cambiando el área del triangulo formado por la escalera, la pared y el suelo cuando

la escalera hace un ángulo de 300 con el suelo.

30. En cada ejercicio calcular la derivada direccional de f en el punto P para el cual

es

un vector unitario en la dirección de PQ

.

a) ( , ) cosx yf x y e y e sen x (1,0)P , ( 3,2)Q .

b) 2 3( , ) .f x y x xy y (1,2) , (1,3)P Q .

c) ( , ) .xf x y e arctg y (0,2) , ( 2,5)P Q .


31. Calcula en cada caso, el gradiente y el valor máximo de la derivada direccional de la función en

el punto que se indica:

a) 2 2

( , )y

f x yx y

en el punto (1,1) b) 2

( , )x

f x yx y

en el punto (2,1)

c) ( , , ) cosxf x y z ze y en el punto (0, 4

,1) d) 2 2( , )f x y x y en el punto (2,1)

32. Dada la función 2 2 2( , , ) ( 1) 2( 1) 3( 2) 6f x y z x y z , encontrar la derivada

direccional de la función en el punto (2,0,1) en la dirección del vector 2i j k

.

33. Hallar la derivada de la función 1

r , donde 2 2 2 2r x y z , en la dirección del

gradiente.

34. Calcular la derivada de la función 2 2z x y en el punto (1,1)M en la dirección del

vector que forma un ángulo de 060 con el sentido positivo del eje x .

35. Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de ( , ) xyf x y ye en el punto

(0,2) tiene el valor 1.

36. Encuentra la dirección y sentido en que cada una de las siguientes funciones disminuye lo más

rápidamente posible en el punto P indicado en cada caso, y encuentra la razón de decrecimiento

en esa dirección.

a) 2 2( , ) 20 ; ( 1, 3)f x y x y P b) ( , ) ; (2,3)xy

f x y e P

c) ( , ) cos(3 ); ( , )6 4

f x y x y P

d) ( , ) ; (3,1)x y

f x y Px y

37. En una montaña la elevación z por sobre el punto x, y en el plano XY horizontal al nivel del

mar es de 2 22000 2 4z x y pies. El eje positivo de las abscisas apunta al este y el eje

positivo de las ordenadas apunta al norte. Un alpinista se encuentra en el punto (20, 5,1100).

a) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el oeste, ¿subirá o bajara? ¿Con que

rapidez?

b) Si el alpinista utiliza una brújula para avanzar hacia el noreste, ¿subirá o bajara? ¿Con que

rapidez?

c) ¿Qué dirección ha de marcar la brújula para que el alpinista avance en el mismo nivel?

38. La temperatura en un punto x, y de una placa metálica en el plano XY es

2 2( , )

1

xyT x y

x y

grados Celsius.

a) Encuentra la razón de cambio de la temperatura en el punto (1,1) en la dirección y sentido

del vector (2,-1).

b) b) Una hormiga que esta en el punto (1,1) quiere caminar en la dirección y sentido en que

la temperatura disminuye más rápidamente. Encuentra un vector unitario en esta dirección

y sentido.


39. Investigación Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del océano para

ayudar a recuperar un barco hundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo

2250 30 50 , 0 2 , 0 22

yD x sen x y

donde D es la profundidad en metros, y yx y son las distancias en kilómetros.

a) Utilizar un sistema computacional para representar gráficamente la superficie.

b) Como la gráfica del apartado a) da la profundidad, no es un mapa del fondo del océano.

¿Cómo podría modificarse el modelo para que se pudiera obtener una gráfica del fondo del

oceano?

c) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si se localiza en las coordenadas

1 y 0.5x y ?

d) Determina la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje x positivo a partir del

punto donde se encuentra el barco.

e) Determina la pendiente del fondo del océano en la dirección del eje y positivo en el punto

donde se encuentra el barco.

40. Temperatura La temperatura en el punto ( , )x y de una placa metálica se modela mediante

2( ) 2( , ) 400 , 0 , 0x yT x y e x y

a) Utilizar un sistema computacional para graficar la función de distribución de temperatura.

b) Hallar las direcciones, sobre la placa en el punto (3,5) , en las que no hay cambio en el

calor.

c) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto (3,5) .

41. En las cercanías de una boya, la profundidad de un lago en el punto de coordenadas ( , )x y es

2 3200 0.02 0.001z x y , donde , y x y z se miden en metros. Un pescador en un bote

pequeño parte del punto (80,60) y se dirige hacia la boya, la cual se ubica en el punto (0,0) .

¿El agua bajo el bote se hace más somera o más profunda cuando el pescador parte? Explique.

42. La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el

centro de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1,2,2) es

0120 .

a) Determine la razón de cambio de T en (1,2,2) en la dirección hacia el punto (2,1,3) .

b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la dirección de incremento más grande de

temperatura está definido por un vector que señala hacia el origen.

43. La temperatura es T grados en cualquier punto ( , , )x y z en el espacio 3R y

2 2 2

60( , , )

3T x y z

x y z

, la distancia se mide en pulgadas.

a) Encontrar la rapidez de cambio de temperatura en el punto (3, 2,2) en la

dirección del vector 2 3 6 i j k .


b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en

(3, 2,2) .

44. La función ( , , )f x y z tiene en el punto (2, 3,5)P las derivadas direccionales 1

3en la

dirección al punto (0,1,9)A , 3

5 en la dirección al punto (5, 3,1)B y

1

4en la dirección

al punto (4, 2,7)C . Calcular la derivada direccional de f en la dirección al punto

(1,3,6)D .

Derivadas Parciales 2013-1

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