INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICOANTONIO JOSE DE SUCRE

EXTENCION DE BARQUISIMETO

Rafael Angel Peña IzarraSencc 85 Diseño GraficoMateria:Matematica

Derivación implícitaEn los cursos de cálculo la mayor parte de las

funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas

funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene

definida implícitamente por la ecuación: x y = 1. Derivacion implícita . Es una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada

la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo

miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro,

utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

Ejemplo

hasta ahora y teniendo presente que:x'=1.

En general y'≠1.Por lo que omitiremos x' y dejaremos

y'.

EjemplosDerivar las funciones:

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla

para facilitar el cálculo:

Ejemplo

Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícita definida mediante la ecuación puede calcularse:

o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:

siempre que

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la

habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será

necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;