Derivacion implicita
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INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICOANTONIO JOSE DE SUCRE
EXTENCION DE BARQUISIMETO
Rafael Angel Peña IzarraSencc 85 Diseño GraficoMateria:Matematica
Derivación implícitaEn los cursos de cálculo la mayor parte de las
funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas
funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene
definida implícitamente por la ecuación: x y = 1. Derivacion implícita . Es una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada
la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo
miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro,
utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
Ejemplo
hasta ahora y teniendo presente que:x'=1.
En general y'≠1.Por lo que omitiremos x' y dejaremos
y'.
EjemplosDerivar las funciones:
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla
para facilitar el cálculo:
Ejemplo
Derivada de funciones implícitas. La derivada de la función implícita definida mediante la ecuación puede calcularse:
o bien despejando la y , o bien, mediante la siguiente fórmula:
siempre que
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la
habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será
necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;