Visión Empresarial #28

•Laestructuratemporal delastasasdeinterés ysuinterpretación ArturodelMoralMunguía

•¿Puedousarcalculadora? LasTICenlaenseñanzadelasmatemáticas

MaríadeGuadalupe ArroyoSantisteban

revista de la escuela de ciencias económicas y empresariales

visi ne M P r e S A r I A L

•Momento deFODAmexicana GerardoAparicioYacotú

Año 5 • No. 28 • 2010

Responsable de esta publicación:Eduardo López Chávez

[email protected] Tel: 5482 1600 ext. 5454

Diseño y cuidado de la edición:revista .

Secretaría AcadémicaFrancisco A. Loria García de Acevedo

Dirección de Administración y FinanzasEulalio González Anta

Dirección de Administración y MercadotecniaDirección de Administración y Recursos HumanosMa. Luisa Pimentel Zamudio

Subdirección de Administración y MercadotecniaMario Luis Cortés Mencia

Dirección de Administración y Negocios InternacionalesCésar H. Herrera Castillo

Dirección de ContaduríaDirección de Administración y DirecciónJorge Huerta Bleck

Dirección de EconomíaGabriel Pérez del Peral

Dirección de Posgrados y Extensión UniversitariaPedro Salicrup Río de la Loza

Secretaría de Asuntos EstudiantilesGamaliel Téllez Maqueo

Secretaría AdministrativaAlma Rosa Lima Álvarez

Escuela de Ciencias Económicas y Empresariales

DirectorioDirecciónGeneral

Antonio Castro D’Franchis

Jefe del Área de AdministraciónCésar H. Herrera Castillo

Jefe del Área de Control e Información DirectivaJorge Huerta Bleck

Jefe del Área de EconomíaGabriel Pérez del Peral

Jefe del Área de FinanzasEulalio González Anta

Jefe del Área de MercadotecniaRoberto Garza Castillón-Cantú

Jefe del Área de NegociosSergio Garcilazo Lagunes

Jefe del Área de MatemáticasJosé Cruz Ramos Báez

Jefe del Área de ComputaciónEdmundo Marroquín Tovar

Jefe del Área de DerechoJuan G. Araque Contreras

Jefe del Área de HumanidadesGamaliel Téllez Maqueo

Jefe del Área de Recursos HumanosMa. Luisa Pimentel Zamudio

visi ne M P r e S A r I A L

3REvISTA DE LA ESCUELA DE CIENCIAS ECoNóMICAS y EMPRESARIALES • UNIvERSIDAD PANAMERICANA • NúMERo 28/2010

La estructura temporal de las tasas de interés y su interpretaciónArturo del Moral MunguíaProfesor del Área de Matemáticas de la ECEE

La estructura temporal de las tasas de inte-rés (ETTI) es la relación que informa de las distintas tasas de interés existentes en el mercado de deuda, en función del plazo en el que aplican.1

La importancia de conocer, y sobre todo predecir la estructura temporal de las tasas de interés resulta esencial para la toma de decisiones de los diversos agentes económi-cos que participan en los mercados financie-ros, y que contribuyen al proceso de forma-ción de precios.

Se podría observar directamente del mercado una estructura temporal continua en el caso de que existiera un bono cupón cero libre de riesgo para cada plazo. Sin em-bargo, en la realidad se dispone de un nú-mero finito de títulos cuyos precios definen un número finito de puntos en la ETTI. Así mismo, muchas de las tasas observadas no provienen de operaciones de mercado, por lo que hay que estimarlas, a la vez que los instrumentos de largo plazo pagan intere-ses en forma periódica (cupones). Esto sin tomar en cuenta que los tipos observados incluyen los efectos de los riesgos de crédito y liquidez.

La referencia a la ETTI puede hacerse de tres formas distintas: la curva de las tasas de interés en el mercado de contado (spot),

la curva de tasas a plazo (forward), o bien, la función de tipos a descuento, siendo re-lativamente sencillo pasar de una forma funcional a otra.

Dado lo anterior, es necesario estimar el comportamiento de la ETTI a partir de di-versos modelos, que se aplican en función del tipo de decisión requerida: operaciones de crédito o inversión, administración de riesgos, valuación de activos, presupuestos de capital, etcétera.

En este contexto, se cuenta con métodos simples de interpolación y extrapolación de tasas, cuya finalidad es estimar la estructura de la curva de tasas a partir de los nodos co-nocidos; modelos de árbol para predecir el comportamiento de las tasas en el tiempo; y los modelos de tasa corta, cuya finalidad es construir e interpretar la ETTI a partir de una tasa instantánea y de ciertos paráme-tros seleccionados razonablemente.

Independientemente del método elegido para modelar las tasas de interés, es impor-tante señalar que en el proceso de formación de precios, donde intervienen todos los agen-tes económicos, las decisiones las toman per-sonas que pueden ser motivadas y reaccionar de maneras diversas, por lo que los precios de mercado pueden tomar cualquier valor fuera de un contexto meramente teórico.

REvISTA DE LA ESCUELA DE CIENCIAS ECoNóMICAS y EMPRESARIALES • UNIvERSIDAD PANAMERICANA • NúMERo 28/20104

En este sentido, los valores teóricos obte-nidos por los modelos se pueden comparar con los niveles reales y determinar si una tasa está por arriba o por abajo de lo esperado, y así tomar decisiones de inversión o financia-miento, por lo que resulta esencial conocer los factores que determinan el comporta-miento de la ETTI.

HipótesisqueexplicanlaeTTIExisten tres hipótesis básicas que pretenden explicar la estructura temporal de las tasas de interés y, aunque se basan en distintos supuestos, en la realidad la explicación final la da una mezcla de las mismas. Estas teorías son: Hipótesis de las expectativas, Hipótesis del hábitat preferido o preferencia por la liquidez e Hipótesis de la segmentación de mercados.

A continuación se exponen las teorías económicas que explican la forma que puede tomar la estructura temporal de las tasas de interés.

HipótesisdelasexpectativasLa evolución de las tasas sigue un proceso esto-cástico, por lo cual resulta incierta. Un inversio-nista sólo tiene la certeza actual del rendimiento al vencimiento de los bonos, lo cual da origen al riesgo de mercado, al que queda expuesto cuando ha de comprar o vender deuda en un momento futuro, pues los precios a los que podrá realizar sus operaciones responderán a funciones de descuento distintas a las ac-tuales. Este riesgo será mayor en función del grado de incertidumbre o volatilidad pre-sentes en el mercado. Por ello, los agentes se caracterizan por su grado de aversión al riesgo, el periodo en el que disponen de fondos y las expectativas sobre la evolución futura de las tasas de interés.

La hipótesis parte del supuesto de que todos agentes son neutrales al riesgo, por lo que elegirán sus estrategias de inversión en función de la rentabilidad esperada, de modo que las expectativas son las únicas variables

que determinan la ETTI. Los fundamentos de esta teoría se encuentran en documentos publicados por Fisher (1930) y Lutz (1940), y existen al menos dos versiones de ella.2

La Hipótesis de las expectativas sostie-ne que las tasas de interés se moverán para igualar la rentabilidad esperada de estrate-gias de inversión equivalentes, independien-temente del plazo de los bonos de cada una, y en función de las expectativas que tengan los agentes para distintos vencimientos. Así mismo, esta teoría considera que el mercado es eficiente y que procesa e incorpora de ma-nera inmediata la información.

Así, las primas por riesgo, podrán ser po-sitivas o negativas en relación a las expectati-vas de los oferentes y demandantes. Si existe un exceso de oferta de activos a un determi-nado plazo, los oferentes estarán dispuestos a ofrecer una prima positiva para compensar el riesgo que supone para los inversionistas. Si por el contrario, existe un exceso de de-manda, los inversionistas estarán dispuestos a recibir una menor rentabilidad.

Es importante señalar que esta teoría ad-mite la posibilidad de arbitraje en los mer-cados en función de la diferencia de expec-tativas entre los agentes económicos, por lo que las tasas podrán ganar o perder valor a lo largo de la curva.

HipótesisdelapreferenciaporlaliquidezSegún ella, los inversionistas prefieren el cor-to plazo, y solo invertirán a plazos más lar-gos a cambio de una prima que compense la pérdida de liquidez. Esta será mayor cuanto mayor sea el plazo de vencimiento de los bo-nos.

Esta teoría (Hicks, 1946) se complementa con la hipótesis del habitat preferido que sur-ge con el trabajo de Modigliani y Sutch (1966), suponiendo que los individuos son aversos al riesgo, por lo que sólo estarán dispuestos a no hacer coincidir el horizonte de sus inversio-nes con su habitat natural a cambio de una compensación: la prima por plazo.


HipótesisdelasegmentacióndemercadosEsta teoría (Culberston, 1957) considera indi-viduos con total aversión al riesgo, por lo que no están dispuestos a invertir fuera de cierto plazo dado por sus necesidades: su habitat. Esto supone que no existe un mercado global de bonos, sino que los rendimientos se de-terminan en mercados independientes para cada plazo.3 Esta teoría es la que ha recibido menos atención, pues la evidencia empírica

muestra que los agentes están dispuestos a cambiar el plazo de sus inversiones si la prima es lo suficientemente grande, en épocas de alta volatilidad o si existen condiciones de ar-bitraje ante la ineficiencia de los mercados.

En la realidad, todas las teorías tienen cierto impacto en la definición de la forma de la curva de tasas de interés. En la figura 1 y tabla 1 se muestra un resumen sobre cómo reacciona la curva en cada caso.4

Figura 1. Teorías que explican la ETTI

Tasa

Tasa

Tasa

Tasa

Plazo

Plazo

Plazo

Plazo

Curva normal o positiva

Curva plana

Curva negativa

Curva invertida


confirma teoría de la preferencia por la liqui-dez. Sin embargo, se aprecia que la curva tie-ne una tendencia negativa alrededor de los 500 días (1.5 años), y nuevamente cerca de los 2000 días (5 años) y hacia delante.

La tendencia negativa en estos periodos es producto de la existencia de demanda adicional para estos plazos. Los inversionis-tas demandan más bonos de largo plazo en función de una buena expectativa (recupera-ción económica), lo que aumenta los precios de los bonos, disminuyendo la tasa de inte-rés. Concretamente, la demanda adicional en año y medio es donde el mercado espera cierta recuperación a la crisis actual.

ejemplo1Con objeto de ejemplificar lo expuesto has-ta aquí, se analizará la estructura de la curva de rendimientos de mercado al 14 de agosto de 2009. En la figura 2 se muestran los ren-dimientos para los plazos cotizables a dicha fecha, para bonos cupón cero libres de ries-go.5 En el caso de los plazos mayores a un año, donde no existen bonos de este tipo, se utiliza la tasa de los Bonos M de tasa fija, qui-tando el efecto de los cupones reduciendo el plazo a vencimiento a través de su duración modificada.

En este caso puede observarse que la cur-va es positiva en términos generales, lo que

Tabla 1. Teorías que explican la ETTI y su interpretación

Estructura

de TasasPositiva Negativa Plana Invertida

Teoría de las

expectativas

de mercado

Se espera que

las tasas de

corto plazo

aumenten.

Se espera que

las tasas de corto

plazo disminuyan.

Expectativa futura

buena.

Se espera que

las tasas de

corto plazo

permanezcan

igual

(indiferencia).

Se espera que

las tasas de corto

plazo disminuyan

y después

aumenten.

Expectativas

buenas de

mediano plazo.

Teoría de la

preferencia

por la liquidez

Premio

positivo a la

liquidez.

Premio

negativo (castigo)

a la liquidez.

No hay premio

por la liquidez.

Premio negativo

a la liquidez

seguido de

premio positivo.

Teoría de la

segmentación

de mercados

Exceso de oferta

respecto a la

demanda en

largos plazos.

Exceso de oferta

respecto a la

demanda en plazos

cortos.

Equilibrio entre

oferta y demanda

para todos los

plazos.

Exceso de demanda

con respecto a la

oferta en plazos

intermedios.


Esta curva de rendimientos se mueve constantemente en reacción al cambio de ex-pectativas cuando el mercado procesa nueva información y la incorpora en los precios de los bonos. Las tasas de interés de corto pla-zo se encontraban casi 150 puntos base de su nivel actual hace seis meses, lo que impli-ca mejores expectativas sobre la situación de la economía contra el inicio del año. Por el contrario, las tasas de largo plazo se han mantenido sin cambios significativos en el mismo periodo, por lo que podemos consi-derar que el mercado ve a la economía, tan bien o tan mal como hace seis meses.

Volveremos sobre estos rendimientos y su interpretación más adelante cuando se incor-poren los modelos de tasas de interés en el análisis.

ModelosdeinterpolaciónyextrapolacióndetasasdeinterésComo se asentó inicialmente, en el mercado de deuda no existe la oferta suficiente de bo-nos para construir una curva de rendimientos completa. Sólo ciertos plazos son cotizables, por lo que resulta necesario estimar los pre-cios desconocidos para completar la curva a partir de los nodos disponibles.

Para el caso existen diversos métodos para calcular las tasas desconocidas y construir así la curva de rendimientos completa, a su vez insumo en otro tipo de modelos de tasas o administración de riesgos.

En este sentido, se pueden aplicar desde métodos simples de interpolación y extrapola-ción lineal; la interpolación mediante polino-

Figura 2. Curva de rendimientos al 14 de agosto de 2009

Plazos cotizablesCurva de rendimientos libres de riesgo 14 ago 09

Plazo (días) Tasa mercado

1 4.46% 28 4.50% 91 4.62% 182 4.77% 364 5.09% 503 4.90% 685 5.47% 867 6.30% 1,049 7.24% 1,231 7.59% 1,413 7.93% 1,595 8.43% 1,959 9.27% 2,323 9.00% 2,687 8.70% 3,051 8.70%

10.00%

9.00%

8.00%

7.00%

6.00%

5.00%

4.00%

3.00%

2.00%

1.00%

0.00%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

%

Plazo (días)Tasa cero 14 ago 09


mios de grado “n” (interpolación cúbica con estimación lineal de pendientes); interpola-ción por trazadores cúbicos o splines6 y su de-rivación al método de smoothing splines.7 Así mismo, se puede utilizar la estimación de tasas por el método de Nelson-Siegel y su variación en el Nelson-Siegel+Sevensson, o la interpola-ción con tasas forward o “Tasas alambradas” y el método de “Bootstraping”.

Todos estos métodos se pueden encontrar en documentos anexos al presente, y su ob-jetivo es, en todos los casos el “rellenar” la curva para contar con una ETTI completa.

ejemplo2Continuando con el ejemplo propuesto sobre las tasas del 14 de agosto de 2009, se proce-dió a completar la curva a partir de la tasa forward, utilizando para ello “Tasas alambra-das”. Este método fue seleccionado en virtud de su sencillez, y donde las tasas de interés entre dos nodos conocidos pueden ser calcula-das a través de los rendimientos forward entre estos dos plazos, a través de la relación:8

donde:

rd es la tasa que se desea encontrar a par-tir de las tasas con el plazo más corto “rc” y el más largo “rl”.

Todas las tasas se expresan en base anual.td, tc y tl, son los plazos en años para las

tasas.Es importante notar que el término

es la tasa forward entre los plazos corto y lar-go, por lo que la “tasa alambrada” constituye la tasa de no arbitraje entre estos periodos.

En la figura 3, se presentan la curva de rendimientos cotizables y la construcción de la curva a través de la ecuación (1).

rd = (1 + rc tc)

[1]-11+rl tl 1

1+rc tc td

f(c,1)= 1+rl tl

1+rc tc

td -tc

tl -tc

Figura 3. ETTI por “tasas alambradas”

Plazo (días)R(t,T)

10.00%

8.00%

6.00%

4.00%

2.00%

0.00%

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

%

Curva de rendimiento


ModelosdetasacortaysuinterpretaciónentérminosdelaeTTIobservadaLa de corto plazo o “tasa corta”, rt, es la que aplica en un periodo infinitesimalmente pe-queño al tiempo, a manera de una “tasa ins-tantánea”. Precios de bonos, opciones y otros instrumentos derivados dependen del proceso que sigue en el “mundo neutral al riesgo”. El proceso de rt en el mundo real es irrelevante; sin embargo, es posible conocer el comporta-miento teórico de la ETTI bajo condiciones de no arbitraje y compararla con la curva observa-da. De esta forma se puede estimar si una tasa de mercado dada está por arriba o por debajo de su nivel teórico, o en un lenguaje coloquial, saber si un tipo de interés es “barato” o “caro” y con ello tomar decisiones sobre la convenien-cia de invertir o pedir prestado (posición corta o larga) a diferentes plazos dentro de la curva, basándose en reversión a la media como carac-terística del proceso estocástico que siguen las tasas de interés (movimiento browniano).

Existen diversos modelos de tasa corta, iniciando por los modelos de equilibrio, don-de a partir de supuestos a partir de las varia-bles económicas se deriva el proceso para rt. En este grupo se encuentran modelos como el de Rendelman-Barter, el modelo de Vasi-cek y el de Cox-Ingersoll-Ross. Dentro de este grupo resultan especialmente relevantes los dos últimos al incorporar el concepto de reversión a la media.

Una segunda generación de estos mode-los considera dos factores en equilibrio como el de Brennan y Schwartz, donde la tasa corta se revierte a la tasa de largo plazo siguiendo un proceso estocástico.

En virtud de que los modelos de equilibrio no siempre ajustan con la estructura real de la ETTI, se desarrolló otra vertiente para los modelos de tasa corta: los modelos de arbi-traje. Eligiendo ciertos parámetros de mane-ra adecuada es posible encontrar curvas que

ajusten a las de mercado. Esto se considera especialmente relevante si consideramos que, a juicio de los operadores de derivados, un error de 1% en el precio de un bono, equiva-le a 25% en el precio de una opción.

Un modelo de no arbitraje es diseñado para ser consistente con la estructura observada de las tasas de interés. La diferencia esencial entre los modelos de equilibrio y los de no arbitraje es que en los primeros, la ETTI es un producto del modelo, mientras que en los segundos, la curva de mercado es la entrada del modelo a partir de la cual se estima la tasa corta. Es posible ajustar modelos como el de Vasicek o el Cox-Ingersoll-Ross a fin de conseguir ajuste contra la curva observada, calibrando el modelo utilizando he-rramientas computacionales.

Dentro de los modelos de no arbitraje en-contramos al de Ho-Lee, el Black-Karasinski, el Hull-White (uno y dos factores) y el Black-Derman-Toy.

Como se dijo anteriormente, utilizando cual-quiera de los modelos anteriores, es posible tra-zar una curva teórica a partir de la tasa corta y compararla contra los rendimientos observados en el mercado. Específicamente, si se considera como la tasa corta a la tasa de fondeo (libre de riesgo), y a partir de ella se desarrolla la curva completa, es posible determinar los plazos don-de dicha curva tiene valor.

Así mismo, es posible también, concluir si la tasa de fondeo observada es o no co-rrecta; es decir, si existe, por condiciones de mercado, un premio excepcional para la li-quidez en contra de las inversiones a plazo. Todo lo anterior se explica a mayor detalle en el siguiente ejemplo.

ejemplo3Continuando con el ejemplo propuesto sobre las tasas del 14 de agosto de 2009, considere-mos el modelo de Vasicek, donde el proceso para la tasa corta, rt , en el mundo neutral al riesgo, está dada por la relación:9

dr=a(b-rt ) dt+σdz[2]


donde a, b y σ son constantes. La tasa corta es tal que se mueve hacia el nivel “b” a una tasa “a”. Asimismo, se supone una distribución normal del término estocástico σdz

Vasicek muestra que la ecuación [2] pue-de ser usada para obtener una expresión para el precio de un bono cupón cero al tiempo “t” como sigue:

donde rt es el valor de r al tiempo t,

y

Cuando a = 0, B(t,T)=0 y A(t,T)=exp[σ2(T-t)3/6] tenemos que

Utilizando las ecuaciones [2] a [6], es po-sible estimar la ETTI a partir de la tasa de fondeo observada, como se presenta en la figura 4.

En la figura, se estiman, a partir de la tasa de fondeo al 14 de agosto (4.46%) y la estructura de tipos de interés observada, los parámetros “a” y “b” del modelo de Va-sicek utilizando el “Solver” del Excel, don-de mediante aproximaciones sucesivas se obtienen los parámetros que aseguren el mínimo cuadrado de las diferencias entre el modelo de Vasicek y la curva de mercado observada.

Los parámetros obtenidos mediante este procedimiento son a=0.50 y b=0.11 cuando la tasa corta se fija en su nivel de mercado de 4.46%.

Interpretando los resultados obtenidos, puede apreciarse que para plazos que van hasta los 3 años, la curva de mercado está por debajo de la curva teórica, lo que se traduce en que las tasas de interés de cor-to plazo no producen ningún valor para el inversionista, pero sí para los tomadores de crédito.

Así mismo, de los tres a los cuatro años, ambas curvas coinciden, por lo que es de es-perarse que el precio sea “justo” y que no haya primas excepcionales ni para inversores ni acreditados.

P=(t,T )= A(t,T)e -B(t,T)rt

B=(t,T )=

A(t,T )= exp B(t,T) - T+t) (a2b-σ2/2 σ2B(t,T)2

1-ea(T-t)

a

a2 4a

[3]

[4]

[5]

[6]1 1T-t T-tR(t,T)= ln A (t,T) + B (t,T)rt

Figura 4. Modelo de Vasicek aplicado a la ETTI observada

1.00000.90000.80000.70000.60000.50000.40000.30000.20000.10000.0000

0 2 4 6 8 10

Pre

cio

Plazo de vencimientoPrecio mercado Precio modelo

Precio bonos

-


Por el contrario, de los cuatro a los siete años, la curva tiene valor para los inversionis-tas, mientras que resulta caro para los toma-dores de crédito. Cerca de los ocho años, esta situación se revierte.

Concluyendo, de acuerdo a la estructura actual de la ETTI, los inversionistas deberían estar comprando bonos de plazos largos para obtener ingresos adicionales por su inversión debido a que los precios de mercado están “baratos” con respecto a la curva teórica, por lo que se esperaría una baja de tasas de in-terés futura para igualar estos precios. Esto confirma lo asentado al inicio cuando se ex-plicaron las teorías económicas sobre el com-portamiento de las tasas de interés.

Las tasas de corto plazo se encuentran por debajo de su valor teórico, por lo que resulta más rentable invertir a la tasa de fondeo, a menos que se invierta a largo plazo.

Es importante señalar que lo anterior es cierto sin consideraciones de riesgo crediticio y de liquidez, y siempre que no se incorpore nueva información que modifique la curva de rendimientos.

1 Ruiz Dotraz, Elizabeth (2005), Comparación de los tipos de interés. Efectos de la integra-ción financiera, Universidad de Barcelona.

2 Romero Abad, Pilar y Robles Fernández, M. Dolores (2004), Estructura temporal de los tipos de interés; teoría y evidencia empírica. Universidad Complutense de Madrid,

3 Handa, Jaddish (2008), Monetary Economics. Second Edition, Ed. Taylor & Francis, USA, pp. 698–701.

4 Mas, Ariel G (2005), Estructura temporal de las tasas de interés, Universidad del CEMA, Buenos Aires, Argentina.

5 Valuación Operativa y Referencias de Merca-do, S.A. de C.V. (Valmer). http://www.valmer.com.mx/VAL/

6 El método es similar a la interpolación cúbi-ca con estimación lineal de pendientes, pero asumiendo propiedades sobre la segunda de-rivada para suavizar la pendiente de la curva estimada entre dos nodos.

7 A diferencia de otros métodos, requiere de pocos parámetros, al no forzar que la curva pase por todos los nodos. Se busca la curva que proporcione el mejor ajuste.

8 Lore y Borodovsky (2000), The Professional´s Handbook of Financial Risk Management, Ed. Butterworth-Heinemann, p. 97.

9 Hull, John C (2005), Options, Futures and Other Derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, USA, pp. 649-657.

0 2 4 6 8 10

Plazo de vencimientoTasa de mercado Tasa estimada

Rendimientos

%

10.00%

8.00%

6.00%

4.00%

2.00%

0.00%


¿Puedo usar calculadora?Las TIC en la enseñanza de las matemáticas empresarialesMaría de Guadalupe Arroyo SantistebanProfesor de la Academia de Matemáticas de la ECEE

El desarrollo de las Tecnologías de la Informa-ción y de la Comunicación (TIC) ha provocado cambios que impactan a todos los ámbitos de la actividad humana; en la educación nos brinda posibilidades que no se pueden dejar pasar. En el documento presentado por la UNESCO en abril del 2000, durante el Foro Mundial Sobre la Educación de Dakar en Se-negal, todos los países se comprometieron a apoyar el uso de las TIC en el aula.

Estas herramientas proporcionan nuevas formas de enseñar y crean ambientes de aprendizaje enriquecidos que se adaptan a estrategias innovadoras. Las TIC permiten desarrollar competencias como: creatividad, innovación, investigación, pensamiento crí-tico, solución de problemas, toma de deci-siones, razonamiento sostenido, manejo de complejidad y prueba de soluciones.1 Aumen-tan la calidad del aprendizaje y hacen que el estudiante sea protagonista en la adquisición de conocimientos.

Es necesario incorporar las TIC a la ense-ñanza de las matemáticas. La tendencia mundial muestra el uso de la tecnología como parte esencial en su proceso de enseñanza-apren-dizaje. Las computadoras y las calculadoras son herramientas indispensables; hoy ningún profesor enseña a usar tablas trigonométri-cas o de logaritmos. En internet se puede

conseguir software educativo gratuito que permite desarrollar destrezas matemáticas y facilita la organización y el análisis de datos. Al usar estas herramientas los estudiantes se enfocan en la reflexión, el razonamiento, en la toma de decisiones y en la solución de pro-blemas. Gracias a la tecnología pueden ejecu-tar procedimientos rutinarios de forma rápi-da y precisa e invertir más tiempo en elaborar conceptos y modelos matemáticos.

Cuando se emplean las TIC en matemá-ticas se debe desarrollar en los estudiantes la capacidad de estimación mental, es decir, que el estudiante sea capaz de deducir si el resultado de la calculadora o computadora es congruente con la respuesta que solicitó o se trata de un resultado ilógico. Esto implica que sepa manejar correctamente los datos, que conozca y comprenda la prioridad de los operadores aritméticos para escribir sus ope-raciones de forma adecuada.

Con el uso de estas herramientas la ense-ñanza se centra en la comprensión del proce-dimiento y en su significado. Así, el estudian-te sabe lo que necesita realizar. La respuesta que espera es la interpretación del resultado obtenido de acuerdo con un planteamiento formal del problema de estudio.

De acuerdo a experiencias anteriores en la Escuela de Ciencias Económicas y Empre-


sariales, la mayoría de los estudiantes de pri-mer ingreso llegan con problemas de álge-bra acumulados durante su vida académica. El reto es desarrollar las competencias nece-sarias para que egresen con el perfil deseado sin hacer mayor énfasis en los procedimien-tos algebraicos. Para superar este obstáculo, la academia de Matemáticas se apoya en el uso de las TIC. En particular se recomienda el uso de la calculadora electrónica (debe ser un modelo que resuelva diferentes tipos de ecuaciones) para evitar errores algebraicos y enfatizar el desarrollo de habilidades ló-gicas de pensamiento, a través del plantea-miento de problemas e interpretación del resultado.

La ECEE imparte a los estudiantes de pri-mer semestre el curso de fundamentos de cálculo, que se apoya en el uso de la calcula-dora. El objetivo principal es que los alumnos aprendan a plantear diferentes tipos de pro-blemas (problemas que involucran ecuacio-nes de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones, desigualdades lineales y cuadráti-cas y funciones), y a interpretar los resultados encontrados. La solución de las ecuaciones se obtiene directamente de la calculadora, para evitar que el estudiante se equivoque al resol-ver la ecuación. Con este método se evitan los procesos repetitivos y puramente algebraicos, que sólo consumen tiempo para analizar el problema y plantear el modelo matemático que lo resuelve. Después se enseña al alum-no a interpretar el resultado con base en el enunciado del problema, para que conteste de manera adecuada a la pregunta que se le plantea.

Comprender los conceptos, apoyarse con la calculadora y decidir si el resultado obte-nido es congruente con el enunciado del pro-blema, supera por mucho a la memorización de algoritmos para resolver ecuaciones.

Este sistema de enseñanza se ha aplicado durante dos años a los alumnos de la ECEE y se ha observado que:

• El número de alumnos reprobados ha dismi-nuido. El uso de la calculadora les da seguri-dad y dejan atrás las malas experiencias de cometer errores por distracción.

• Para los alumnos es un gran reto plantear problemas, y usar la calculadora hace que se enfoquen en la comprensión del proble-ma y en el razonamiento que deben seguir para construir la(s) ecuación(es) que lo re-suelven. Esto les permite desarrollar nuevas capacidades.

• Los alumnos se sienten más satisfechos cuando los profesores dedican tiempo a enseñar el uso correcto de la calculadora. La mayoría aprende a utilizar una herra-mienta que tiene a su alcance y que antes utilizaba para hacer operaciones básicas.

• Los alumnos se muestran más curiosos acer-ca de otras funciones que tiene la calcula-dora y su uso en otras materias.

El uso de las TIC continuará en los semestres siguientes. Los profesores se seguirán apoyan-do en el uso de la calculadora e incorporarán el uso de software especializado para gráficas, así como Excel para lograr una mejor comprensión de los temas y enfocarse en aplicaciones, no en la solución con procesos repetitivos.

Hay que romper los paradigmas de la en-señanza de las matemáticas, aunque el cam-bio siempre es difícil, no debemos quedarnos con los métodos tradicionales. Es hora de apoyarnos en la tecnología que tenemos a nuestro alcance y de seguir las tendencias de la educación mundial para que los egresados sean competitivos a nivel global.

1 “El porqué de las TIC en educación”, EDUTE-KA, septiembre de 2007, http://www.eduteka.org/PorQueTIC.php, consultada el 19 de agos-to de 2009.

BibliografíaCarrillo de albornoz, agustín, Unión Revista Ibero-

americana de Educación Matemática, “Intro-


ducción”, No. 9, 2007, 7-8, http://www.fisem.org/descargas/9/Union_009_005.pdf, consul-tado el 21 de agosto de 2009.

Fernández domínguez, Jesús y muñoz santonJa, José, Unión Revista Iberoamericana de Educación Matemática, “Las T.I.C. como herramienta educativa en matemáticas”, No. 9, 2007,119-147,http:/ /www.fisem.org/descargas/9/Union_009_013.pdf, consultado el 21 de agos-to de 2009.

marqués graells, Pere, “Impacto de las TIC en educación: funciones y limitaciones”, http://www.pangea.org/peremarques/siyedu.htm, consultado el 19 de agosto de 2009.

“Principios para matemáticas escolares”, EDU-TEKA. Noviembre de 2003, http://www.edute-

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“The Technology Principle”, National Council of Teachers of Mathematics, http://standards.nctm.org/document/chapter2/techn.htm, con-sultado el 27 de agosto de 2009.

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Momento de FODA mexicanaGerardo Aparicio YacotúProfesor del Área de Finanzas

Hoy los empresarios mexicanos deben sacar la casta. Es necesario hacer frente a la rece-sión de este año surgida de la combinación del entorno global y las condiciones propias de nuestro país.

Pero por dónde comenzar. Primero, poner los pies sobre la tierra y conocer las fortale-zas, debilidades, oportunidades y amenazas con que nos encontramos. Este no es un tema de los grandes corporativos tan solo, sino de todo individuo que desea hacerse un diag-nóstico financiero para saber cuáles podrían ser sus síntomas y determinar de qué tamaño es el problema que debe afrontar.

En la parte de las fortalezas podríamos enumerar algunas, que si revisa su infor-mación financiera seguramente posee y a las que no ha podido sacar el provecho su-ficiente. Por ejemplo, bajo apalancamiento operativo de la empresa, estructura de la deuda a largo plazo, alta liquidez, elevada productividad financiera, elevada rentabili-dad en función de los recursos propios o en comparación con el sector o el competidor, alta rotación de inventarios, importante ge-neración de flujos de efectivo, significativas inversiones en moneda extranjera, significa-tivas ventas al contado, altas tasas internas de retorno de las inversiones de capital, gran capital humano… o algunas otras fortalezas que solo usted conoce.

Aunque a veces no es grato, es muy im-portante señalar las debilidades con las que contamos. Pueden ser: una elevada inversión

en cuentas por cobrar, elevado nivel de cuen-tas incobrables, elevado costo financiero de la deuda, carencia de coberturas contra los riesgos financieros de mercado, bajo índice de reinversión de utilidades, una mala diver-sificación de ingresos, elevado endeudamien-to en moneda extranjera y algunas otras más particulares.

El problema de las anteriores debilidades es que, de no ponerles atención, pondrían po-ner en riesgo nuestra salud financiera, cuando ocurriera un alza en las tasas de interés tanto nacionales como en EUA principalmente, una depreciación más pronunciada aunque fuera temporal de nuestra moneda en compara-ción del dólar, o un aumento en las cuentas incobrables por la esperada contracción del mercado.

Por lo anterior, no desaproveche la oportuni-dad de reestructurar sus pasivos a una situación más cómoda. No desaproveche la oportunidad de capitalizar deudas que le generen una re-estructuración de su capital; emitir valores en el mercado bursátil es posible ya que siempre habrá inversionistas que deseen arriesgar sus recursos en negocios como el que usted con-trola. Incluso la posible fusión, asociación o separación de unidades de negocio que pue-den ser parte de la salvación para el nivel de riesgo que posee.

Dicho estudio permitirá identificar por dónde comenzar a sacar la casta que como dueño de un negocio o de su propia situación puede iniciar de inmediato.

Visión Empresarial #28

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