Unidad 3 Derivacion Problema Prototipo y Notas

8/9/2019 Unidad 3 Derivacion Problema Prototipo y Notas

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Clculo en fenmenos naturales y procesos sociales

1

A continuacin se describen algunos de los resultados importantes que reper-cuten en el estudio y tratado ptimo de la derivada de una funcin.

Reglas bsicas de derivacin y razones de cambioAl modelar fenmenos naturales y procesos sociales tratamos con funciones querepresentan con expresiones matemticas la situacin o problema real; la pobla-cin de Mxico (en millones de habitantes) se puede aproximar mediante la fun-cin lineal ( ) = +P t t1.65 48.2 , donde tson los aos transcurridos despus de 1970.

9 De acuerdo con este modelo lineal, responde las siguientes preguntas:

1. Cul fue el nmero de habitantes en Mxico al comienzo del siglo ?, coincide el re-

sultado anterior con los obtenidos a partir del censo de poblacin realizado en el ao

2000 por el INEGI? Justifica tu respuesta. Cul fue el nmero de habitantes en elao 2010? Coincide con los resultados del censo de poblacin de 2010 del INEGI?

Cul es el nmero de habitantes de Mxico que el modelo predice para el ao 2030?

Recuerda verificar tus respuestas en el Apndice 1

Utiliza los resultados anteriores para graficar la funcin lineal, ( ) = +P t t1.65 48.2 .Ahora bien, haciendo uso de la definicin (1) podemos determinar la derivada de

la funcinP(t); el ejercicio que debes hacer es: ( ) ( ) ( )

= +

P x

P t t P t

t' lm

t 0

, don-

de: ( ) = +P t t1.65 48.2 y ( ) ( )+ = + +P t t t t1.65 48.2 .Pero, qu representa la derivada ( )P t' en el contexto descrito? Una vez que se

determina la derivada de la funcin linealP(t), se observa que el crecimiento de la

poblacin de Mxico es constante e igual a 1.65 para todo tiempo. El hecho de tra-tar con una funcin lineal implica que su derivada es una constante, sin embargo elnmero de habitantes de Mxico o de alguna otra poblacin, se puede representarmatemticamente a partir de una funcin ahora cuadrtica, pero que puede sercbica o de orden superior hasta n(nmero natural), e incluso a travs de la fun-cin exponencial o logaritmo.

Entonces se requiere contestar la siguiente pregunta: de qu forma ser elcrecimiento de dicha poblacin para cada tipo de modelo matemtico empleado?

Sobre las estadstacaspoblacionales y los datoscensales visita la pgina

del INEGI: http://www.inegi.org.mx.

Ms informacin en...


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U3EL MOVIMIENTO COMO RAZN DE CAMBIO Y LA DERIVADA

2

Es decir, se requiere determinar la derivada de funciones en ocasiones del mismotipo y el hecho de utilizar la definicin 1 para cada caso resulta un tanto tortuoso,por ello se presentan a continuacin las principales reglas de derivacinde fun-ciones que permiten determinar las derivadas sin usar directamente la definicinde derivada utilizando lmites.

Regla de la funcin constante

Teorema 2 Regla de la constante

La derivada de una funcin constante es 0. Es decir, si ces cualquier

nmero real, entonces f c d

dxc'( ) = [ ]=0 .

Demostracin: Sea ( ) =f x c . Entonces, por la definicin 1 de la derivada de unafuncin en trminos de lmite, se tiene:

( ) ( ) ( )

= +

=

=

f x f x x f x

x

c c

x' lm lm 0

x x0 0,

lo que se quera demostrar.Este hecho puede corroborarse si se observa que una funcin constante es una

recta paralela al eje de lasx, por lo cual la recta tangente a esta funcin en cualquie-ra de sus puntos es ella misma, luego entonces, para obtener el valor de la derivada

bastar con obtener la pendiente de esta recta.Pero recordemos que para obtener la pendientede una recta podemos tomar dos puntos distin-tos sobre la recta y utilizar la formula: Pendiente

=

( )( )

y y

x x

2 1

2 1

, dondey1yy2son la segunda coorde-

nada de cada punto tomado de la recta, la cualpor ser la funcin constante sabemos que es la

misma, por lo tanto Pendiente =( )

=0 0

2 1x x,

puesto que los valoresx1y x2son distintos si lospuntos son distintos.

Por lo tanto, la derivada de cualquier funcinconstante es 0.Grfica 3 f (x) = 3.


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3

Utilizando la definicin 1 de la derivada por medio del lmite, determina lasderivadas de las siguientes funciones. Reflexiona qu patrones se observan. Apartir de los resultados obtenidos escribe una conjetura acerca de la derivadade ( ) =f x xn .

a) ( ) =f x x1

b) ( )=

f x x

2

c) f x( ) =x1

2

d) ( ) = f x x 1

Ejemplos

Uso de la regla constante

a) Si f x 8( )= , entoncesdf

dx f ' x 0( )= = .

b) Si y 3= , entonces y' 0=

c) Si d t k 2( )= , donde kes una constante, entonces d' t 0( )= .


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4

Regla de la funcin potencia

Antes de enunciar la siguiente regla se muestra el procedimiento para desarrollar

un binomio: x x x x x x+( ) = + + ( ) 2 2 22 o ( ) ( )+ = + + +x x x x x x x3 3

3 3 2 2

( )x3

.Para un entero >n 0 , el desarrollo general (debido a Newton) de un binomio y

que se utiliza en la demostracin de la regla de la potencia es:

x x x

n n x

x

n n x

xn n

n n

+( ) = + ( )

( ) + ( )

( )

1

2

2

6

22

333

+ + ( )... xn

Teorema 3 Regla de la potencia

Si nes un nmero racional, entonces la funcin ( ) =f x xn es diferenciable y

f x ddx

x nxn n'( )= = 1 .

Para que la funcin fsea diferenciable en x =0, el nmero ndebe ser talquexn1est definido sobre un intervalo que contenga a 0.

Demostracin:si nes un entero positivo mayor que 1, entonces por el desarrollodel binomio y la aplicacin de la definicin 1 obtenemos:


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5

Lo cual demuestra el caso para un entero n1. Has ahora como ejercicio la de-mostracin para n1, para nentero negativo y para ncualquier nmero racional.

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

= +

=

+ +

+ +

= +

+ +

= + + + + =

f x x x x

x

x nx x n n x

x x x

x

nx n n x

x x nx nx

' lm lm

1

2...

lm 1

2... 0 0 ... 0

x

n n

x

n nn

n n

x

nn

n n n

0 0

1

22

0

1

21 1 1 .

Ejemplos

Uso de la regla de la potencia

a) Si f x x3( )= , entoncesdf

dx f ' x x 3

2( )= = .

b) Si yx

1

2= , entonces y'

dy

dx

d

dx x x

x2

22 33

= = = = .

c) Determinar la pendiente de la recta tangente a la curva g x x4( )= en el punto x=1. Solu-

cin: Como g' x x 4 3( )= , entonces para x = 1 se tiene que el valor de la pendiente es

m g' 1 4 1 43

( ) ( )= = = .

Regla del mltiplo constante de una funcin

Primero observemos el caso trivial en donde la constante kes igual a 0, entonces( ) =k f x 0, ( ) =f x 0, por lo cual es una funcin constante, y por el teorema anterior

sabemos que su derivada existe y es 0. Ahora para ejemplificar este hecho tomemosla funcin ( ) =f x x y una constante k 0 y sea la funcin ( ) ( )= =g x k f x k x.Como estas funciones son lneas rectas, igual que en el caso anterior, sabemos queel valor de su derivada es igual a la pendiente de la recta. Entonces en el caso de lafuncinfsabemos que esta pendiente es 1. En el caso de la funcingtenemos quela pendientes es igual a:

kx kx

x x

k x x

x xk

2

2

2

2

( )( )

=

( )

=

Por lo que multiplicar una funcin (que ya es derivable) por una constante dis-tinta de cero solamente cambia el valor de las pendientes en cada punto multipli-cndolo por la constante dada.

Analicemos una funcin cuadrtica.Completa la tabla sustituyendo los valores y grafica la funcin ( ) =f x x4 2 :


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7

Demostracin: de la aplicacin de la definicin (1) obtenemos:

De manera informal, la regla del mltiplo constante expresa que las constantes

pueden extraerse como factor del proceso de derivacin, incluso si aparecen en eldenominador. Ejemplos. Uso de la regla del mltiplo constante.

a) Si ( ) =g t t4 2 , entonces g t dg

dt

d

dtt

d

dtt t t'( )= = = = ( ) =4 4 4 2 8

2 2 .

b) Si f xx

( ) =3

2, entonces f x

df

dx

d

dxx

d

dxx x'( )= = = ( ) =

3 3 3 2

2 2 3 6

3x

c) Si yx

=

1

2 23

, entonces = =

=

= =

y

dy

dx

d

dxx

d

dxx x

x x

' 1

2

1

2

1

2

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

5

3

5

3

35

.

Regla de la suma y diferencia de funciones

Teorema 5 Regla de la suma y resta (diferencia)

La suma (o la resta) de dos funciones diferenciables es diferenciable y la deri-

vada de la suma es la suma (o resta) de sus derivadas:d

dxf x g x f x g x( ) ( ) = ( ) ( )' '

Demostracin: de la aplicacin de la definicin 1 para la regla de la suma de funcio-nes (la resta se prueba de forma similar) obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+ = + + + +

= + + +

= +

+

+

= +

+

+

= +

d

dxf x g x

f x x g x x f x g x

x

f x ax g x x f x g x

x

f x x f x

x

g x x g x

x

f x x f x

x

g x x g x

xf x g x

lm

lm

lm

lm lm ' '

x

x

x

x x

0

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

= +

=

+

= +

=

y x k f x x k f x

xk

f x x f x

x

k f x x f x

xk f x

' lm lm

lm '

x x

x

0 0

0


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8

La regla de suma y resta se extiende para cualquier nmero finito de funciones.Por ejemplo, si ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + F x f x g x h x r x s x , entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + F x f x g x h x r x s x' ' ' ' ' ' .

Ejemplos

Uso de la regla de la suma y resta

a) Si g' t t t 3 8 22( ) = + , entonces g' t t t 3 8 22( ) = +

b) Si f x x

x3

25

2

( ) = , entonces f ' x x 3 5( ) = .

c) Si yx

x x2

32

4

3= + , entonces y' x x

8

36 1

3 2= + .

Derivadas de las funciones seno y coseno

Para demostrar las reglas de derivacin de las funciones seno y coseno se utilizan

los siguientes resultados:( )

=

x

xlm

sen1x 0 y

( )

=

x

xlm

1 cos0x 0

Teorema 6 Derivadas de las funciones seno y coseno

( ) ( ) =d

dxx xsen cos

( ) ( ) = d

dx

x xcos sen

Demostracin: a partir de la definicin de derivada de una funcin se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

= +

= +

=

=

= =

d

dxx

x x x

x

x x x x x

x

x x x x

x

x x

xx

x

x

x x x

sen lm sen sen

lm sen cos cos sen sen

lmcos sen sen 1 cos

lm cos sen

sen 1 cos

cos 1 sen 0 cos

x

x

x

x

0

0

0

0


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9

Esta regla de derivacin se muestra grficamente en la figura 19. Se debe obser-var que para cada xla pendiente de la curva seno es igual al valor del coseno. Lademostracin de la regla para derivar la funcin coseno elabrala como ejercicio.

Figura 19 La derivada de la funcin seno es la funcin coseno.

De la misma forma que en las reglas anteriores, pero con tcnicas menos directastambin se demuestran las siguientes dos reglas:

Regla del producto de funciones

Teorema 7 Regla del productoEl producto de dos funciones diferenciablesfyges, en si mismo, diferenciable.Ms an, la derivada defges la primera funcin multiplicada por la derivadade la segunda, ms la segunda funcin multiplicada por la derivada de la pri-mera.

d

dxf x g x f x g x g x f x( ) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )' ' .

Demostracin: Algunas demostraciones matemticas, como la que se realiza parala regla de la suma de funciones, son directas. Otras comprenden pasos de ingenio

y habilidad matemtica. En esta demostracin se utiliza uno de estos pasos res-tar y sumar la misma cantidad, el cual se destaca a simple vista.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + +

d

dxf x g x

f x x g x x f x g x

xlmx 0


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10

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + + + + +

= + +

+

+

= + +

+

+

= + +

+

+

= +

f x x g x x f x x g x f x x g x f x g x

x

f x x g x x g x

xg x

f x x f x

x

f x x g x x g x

xg x

f x x f x

x

f x x g x x g x

xg x

f x x f x

x

f x g x g x f x

lm

lm

lm lm

lm lm lm lm

' '

x

x

x x

x x x x

0

0

0 0

0 0 0 0

La regla del producto se extiende para productos que comprendan ms de dosfactores. Por ejemplo, sif,gy hson funciones diferenciables dex, entonces

d

dxf x g x h x f x g x h x f x g x( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )+ ( ) ( )' ' hh x f x g x h x( )+ ( ) ( ) ( )' .

Ejemplos

Uso de la regla del producto

a) Si h t t t t 5 42( )( ) ( )= + , entonces

h' t t t d

dt t t

d

dt t t

t t t t h' t

t t t t t h' t

t t

5 4 5 4

4 5 4 1 2

4 4 5 10 4 8

12 18 5

2 2

2

2 2

2

( ) ( )

( )( ) ( )

[ ]( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

= + + +

= + + +

= + + +

= +

b) Si ( ) ( )=f x x x sen , entonces

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

= +

= +

= +

f x d

dx x x

d

dx x f x

x x x f x

x x x

' sen sen '

cos sen 1 '

cos sen

c) Si ( ) ( )= y x x x5 cos 5 sen , entonces

( )

[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

= +

= +

=

y x x d

dx x x

d

dx x

d

dx x

x x x x

x x

' 5 cos cos 5 5 sen

5 sen cos 5 5cos

5 se n


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11

Regla del cociente de funciones

Teorema 8 Regla del cociente

El cociente def

gde dos funciones diferenciablesfyges, en si mismo diferen-

ciable para todos los valores dexpara los que ( ) g x 0 . Ms an, la derivada

de fg

se expresa por el denominador multiplicado por la derivada del nume-

rador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador,todo dividido por el cuadrado del denominador.

d

dx

f x

g x

g x f x f x g x

g x

( )( )

=

( ) ( ) ( ) ( )

( )

' '

2

Demostracin: as como en la demostracin del teorema 7 la clave de sta es sumary restar la misma cantidad, de la aplicacin de la definicin 1 para la regla del co-ciente obtenemos:

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=

+ +

=

+ +

+

= + +

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

d

dx

f x

g x

f x x

g x x

f x

g x

x

g x f x x f x g x x

x g x g x x

g x f x x f x g x f x g x x

x g x g g x

g x f x x f x

x

f x g x x g x

x

g x g x x

g xf x x f x

xf x

g x x g x

x

g x g x x

g x f x f x g x

g x

lm

lm

lm

lm lm

lm

lm lm

lm

' '

x

x

x

x x

x

x x

x

0

0

0

0 0

0

0 0

0

2


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Derivadas de las funciones trigonomtricas

A partir del teorema 6, es decir, del conocer las derivadas de las funciones seno ycoseno, es posible determinar las derivadas de las cuatro funciones trigonomtri-cas restantes.

Teorema 9 Derivadas de funciones trigonomtricas

d

dx

x xtan sec( )

= ( )2

d

dxx xcot csc( ) = ( )

2

d

dxx x xsec sec tan( ) = ( ) ( )

d

dxx x xcsc csc cot( ) = ( ) ( )

Demostracin: A partir de la regla del cociente y considerando que ( ) ( )( )

=x xx

tansen

cosse obtiene:

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

=

=+

= =

d

dxx

x x x x

x

x x

x

xx

tancos cos sen sen

cos

cos sen

cos

1

cossec

2

2 2

2

2

2

Ejemplo

Uso de la regla del cociente

Si f x x

x

3

2 1

2

( )=+

, entonces

( )

( )

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

=+ +

+

= +

+

= +

+

= +

+

f ' x

x d

dx x x

d

dx x

x

f ' x

x x x

x

f ' x

x x x

x

f ' x

x x

x

2 1 3 3 2 1

2 1

2 1 6 3 2

2 1

12 6 6

2 1

6 6

2 1

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2


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13

La demostracin de las tres restantes partes del teorema realzalas ahora comoejercicio.

Regla de la cadena o derivada

de una funcin compuesta

Bsicamente la regla de la cadena expresa que si la funcinycambia du

dx

veces tan

rpido como u, y dicha funcin u cambia dudx

veces tan rpido comox, entonces la

funcinycambiady

du

du

dx

veces tan rpido comox.

Teorema 10 Regla de la cadena

Si ( )=y f u es una funcin diferenciable de uy ( )=u g x es una funcin dife-

renciable enx, entonces ( )( )=y f g x es una funcin diferenciable dexy

dy

dx

dy

du

du

dx=

O de forma equivalente:dy

dx

d

dxf g x f g x g x= ( )( ) = ( )( ) ( )' '

Demostracin: sea ( )( ) ( )=h x f g x . Entonces, si se aplica la forma alternativade la derivada de una funcin, es necesario demostrar que para x = c,

( )( ) ( ) ( )=h c f g c g c' ' ' .En esta demostracin se aplica una tcnica similar a la empleada anteriormen-

te, slo que ahora se multiplica y se divide por la misma cantidad (siempre distintade cero). Se debe observar que, en virtud de que la funcinges diferenciable, tam-

bin es continua y se concluye que ( ) ( )g x g c cuandox c. Supongamos que

( ) ( )g x g c para todo valor dex c, entonces:( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

h cf g x f g c

x c

' lm

x c

,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )=

f g x f g c

g x g c

g x g c

x clmx c

,

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) =

=

g x g cf g x f g c

g x g c

g x g c

x cf g c g clm lm ' '

x c x c


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17/25


17

Grfico 4 RobertA.Rohdeyelproyectodeartedelcalentamientoglobal.

El grfico 5, que incluye tanto medidas directas como los datos obtenidos de lasburbujas de aire en los hielos polares, muestra que los niveles de dixido de carbo-no han ido en constante aumento desde al menos 1850, y han aumentado conside-rablemente a partir de 1950 (lnea curva en color azul). Este aumento correspondea un periodo de crecimiento dramtico de las emisiones de CO2 por la quemade combustibles fsiles que ha utilizado el ser humano a partir de la RevolucinIndustrial. De esta forma se hace evidente que la concentracin atmosfrica deCO2ha aumentado cerca de 35% por encima de los niveles preindustriales (desde280 hasta 380 ppm).

Grfico 5 La funcin f (t) representa la concentracin de dixido

de carbono en la atmsfera ndices de contaminacin.

Este grfico muestra las concentraciones promedio mundiales de dixido de car-bono durante un periodo de 250 aos desde 1750 hasta 2000. La lnea azul indica


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18

las mediciones atmosfricas directas. Los puntos de colores indican los datos reco-gidos en los ncleos de hielo, cada color representa un ncleo de hielo de diferentespuntos de muestreo.

A partir de la informacin anterior, podemos utilizar el concepto de funcinpara modelar el problema. Si la concentracin de dixido de carbono en la atms-fera (ndices de contaminacin) se representa por la funcin ( ) = +f t e t0.0013 3.17 , en-tonces la derivada de dicha funcin es el crecimiento instantneo de la concentracinde CO2(tasa de variacin de los ndices de contaminacin) con respecto al tiempo.

10 Anlisis de informacin.Problema:Cambios en la cantidad de gases invernadero en la atmsfera en

tiempos recientes.

A continuacin se presenta el problema planteado previamente, que permite el es-

tudio de un fenmeno natural y proceso social a partir del uso adecuado de herramien-

tas matemticas descritas con anterioridad.

A partir de la informacin anterior podemos utilizar el concepto de funcin para el

anlisis de la informacin del problema de la actividad 8; la funcin (modelo matemti-

co) que representa los ndices de contaminacin es la siguiente: f t e t0.0013 3.17( ) = + , don-

de tes el tiempo en aos y f (t) se mide en ppm (partes por milln).

La grfica de la funcin se representa a continuacin:

Ests trabajandopara utilizar de

manera sistemtica elconcepto de razn de cambio

como medio de anlisisdel comportamiento de

fenmenos naturales y/o

procesos sociales presentesen el entorno. Tambin para

valorar la importancia delclculo en el estudio

del comportamiento de losfenmenos naturales

y procesos sociales, comoconcepto para simplificar

el anlisis de modelosmatemticos que

los representen.

Visita el enlace que tepodr dar mayores

elementos: Disponible:http://www.windows2uni-

verse.org/earth/climate/greenhouse_effect_gases.

html. [Consulta06/12/2011].

Ms informacin en...

Grfico 6


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19

Responde a las siguientes preguntas haciendo uso de tus aprendizajes hasta este

momento.

1. Qu es el efecto invernadero?

2. Cules son los gases que ocasionan el efecto invernadero?

3. Es un fenmeno natural o un problema ocasionado por las actividades humanas? Expli-

ca tu respuesta.

4. Cul es la razn por la que el CO2es considerado un gas invernadero?

5. Cules son las principales fuentes naturales de emisin de CO2a la atmsfera?

6. Cules son las principales fuentes antropognicas de emisin de CO2a la atmsfera?

7. Qu consecuencias se pueden presentar si la tendencia de la concentracin de CO2en

la atmsfera sigue en aumento?

8. Cul es el papel de la Revolucin Industrial en el aumento de la concentracin de dixido

de carbono?

9. En qu momento histrico se presenta un aumento desmedido en los ndices de con-

centracin de CO2y cules eran las actividades humanas que en ese momento se de-

sarrollaron?


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20

10. Si el CO2 sigue aumentando de manera desmedida, cules seran las consecuencias

para la vida humana para el ao 2015?

11. Qu medidas emplearas para evitar el aumento de CO2en la atmsfera?

Con base en lo estudiado durante la unidad responde las siguientes preguntas.

1. Obtn la tasa de variacin de los ndices si t=2012; asimismo, compara la tasa de varia-

cin del ao 1880 (periodo de la 2 Revolucin Industrial) con la de 1940 (3 Revolucin

Industrial) y da el porcentaje en que se increment. Obtn el punto o rea ms crtico

para determinar la fecha en donde se logra apreciar un aumento significativo de CO2y en

el cual disminuy. Y calcula la rapidez con la cual el aumento de CO 2comenz a mostrar

consecuencias incidentes en la calidad de vida del ser humano.

2. Elabora un resumen de cuando mucho dos cuartillas, donde la idea central sea la propo-

sicin de una solucin alternativa, desde un punto de vista social, con base en la informa-

cin obtenida acerca de este fenmeno.

Comportamiento de funciones, puntos crticos,

mximos y mnimosCon las herramientas que hasta el momento has desarrollado podemos abordar conmayor capacidad el comportamiento de las funciones; tambin podemos resolverproblemas de optimizacin derivados de situaciones tcnicas, f sicas, tecnolgicaso simplemente numricas que puedan ser representados por curvas o en generalpor grficas de funciones.

Un aspecto central en el anlisis del comportamiento de las funciones tieneque ver con los conceptos de valores extremos, la concavidad, sus puntos crticos ysi la funcin es creciente o decreciente.

En el estudio de las parbolas por ejemplo la concavidad se localiza a partir delvrtice, determinando si dicha parbola abre hacia abajo, hacia arriba, hacia la de-recha o hacia la izquierda.

En cualquiera de estos casos las pendientes de las rectas tangentes, es decir laderivada evaluada en el vrtice es igual a cero y nos indican un cambio de compor-tamiento cualitativo y cuantitativo en la trayectoria descrita por la representacingrfica de la funcin.


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Para ejemplificar y definir los conceptos ms importantes en el comportamien-to de funciones matemticas consideraremos a continuacin el planteamiento ysolucin de dos problemas que no slo incentivan la definicin del concepto dederivada de una funcin, sino que en determinado tiempo motivaron el desarrollotecnolgico; su estudio permite describir los alcances de la aplicacin directa delclculo diferencial. El primero de los problemas parte del estudio de la cada librede un cuerpo o proyectil, fenmeno natural descrito en secciones anteriores.

El segundo hace referencia a un problema de optimizacin de recursos; maxi-

mizar el volumen de una caja. ste representa un ejemplo de las situaciones que altratarse y resolverse con clculo matemtico permiti desarrollar la industria apartir del siglo en Gran Bretaa y Europa continental.

Problemas referentes al comportamiento

de funciones y el uso de la derivada

Ests trabajando

para utilizar demanera sistemtica el

concepto de razn de cambiocomo medio de anlisis del

comportamiento defenmenos naturales y

procesos sociales presentesen el entorno. Tambin para

utilizar la obtencin de laderivada para formar una

idea aproximada de lavariacin de la funcin de losfenmenos naturales y

procesos sociales a fin deexplicar y predecir situacioneso hechos de manera objetiva,propositiva, crtica y analtica.

Ejemplo 1Comportamiento de funciones. La altura mxima y velocidadde impacto de un proyectil

El objetivo es determinar la velocidad de impacto con el suelo y la altura mxima que alcanzar un

proyectil lanzado verticalmente desde el nivel del piso con una velocidad inicial de 323.4 m/s.

Despus de hacer su recorrido, se impactar el proyectil con el suelo a la misma velocidad con la

que inici su recorrido?, o piensas que la velocidad de impacto con el suelo es mayor o menor a

la velocidad inicial? Justifica tus respuestas y compara con el resultado obtenido a continuacin.

De acuerdo con Galileo Galilei y la ecuacin 1, la funcin que describe la trayectoria de dicho

proyectil est dada por: d t . t . t 4 9 323 4t( ) = +

Y su derivada es: d' t d

dt d . t .9 8 323 4[ ]( ) = = + .

Con lo estudiando anteriormente, qu puedes decir respecto a lo que representa la derivada

en cualquier punto de la curva descrita por la funcin?

La respuesta correcta debe ser: es precisamente la velocidad instantnea del proyectil en todo

tiempo. SI as respondiste, sigues hacindolo muy bien.

A partir de la grfica de la figura 20 se observa que el vrtice de la parbola representa la altura

mxima que alcanza dicho proyectil, a dicho punto se le llama mximode la funcin, qu carac-

terstica tiene este punto?

Efectivamente, ah la recta tangente a la curva es horizontal, es decir, la derivada es igual a

cero.(Contina...)


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Observa lo que pasa a la izquierda del valor tvdel vrtice, cmo son las pendientes de las rectas

tangentes?, qu implica que sean de esa forma?

Estamos de acuerdo si respondiste que son positivas e implica que la funcin es creciente.

Por el contrario, a la derecha de este punto tvdel vrtice, cmo es el comportamiento de las

pendientes y qu significa que se comporten as?

As es, las pendientes de las rectas tangentes son negativas lo cual implica que es una funcin

decreciente.

Del anlisis anterior puede deducirse entonces cundo una funcin es creciente o decrecien-

te. Exprsalo con tus propias palabras.

Si la derivada siempre es positiva (o negativa) entonces la funcin es creciente (o decreciente)

respectivamente.Por lo tanto, si en el problema planteado hacemos la derivada igual a cero entonces obtene-

mos la coordenada tvdel vrtice, de modo que podernos determinar la altura mxima que alcanza

el proyectil. Es decir, d'(t)=0

. t . t .

.9 8 323 4 0

323 4

9 833v + = =

= s.

De lo que concluimos que la altura o distancia mxima es:

d t d . . d , . , . , .33 4 9 33 323 4 33 33 5 336 1 10 672 2 5 336 1v2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= = + = + = m.

Figura 20 Grfica de la funcin distancia, d(t), que describe un proyectil lanzado verticalmente

desde el piso con una velocidad inicial de 323.4 m/s. La derivada de la funcin d' (t) est

representada por las pendientes de las rectas tangentes trazadas a la izquierda, derecha y sobreel vrtice de la parbola.

(Continuacin...)


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Es decir, el proyectil alcanza su altura mxima de 5,336.1 metros en 33 segundos, que no es

otra cosa que las coordenadas del vrtice de la parbola V t , d t , .33 53361v v( ) ( )( ) = .Por ltimo, para determinar la velocidad de impacto del proyectil con el suelo se evala la

derivada de la funcin en el tiempo de choque (una de las dos soluciones de la funcin distancia

y cuadrtica), identificado por t2en la figura 20.

Para encontrar las soluciones t1 y t2, utilizamos la frmula general de segundo grado:

t b b ac

a

4

2,1 2

2

=

.

A partir de la funcin distancia del proyectil se tiene que: a= 4.9, b= 323.4 y c= 0. Sustitu-

yendo valores tenemos:

t. . .

.t

. .

.t

. .

. .

323 4 323 4 4 4 9 0

2 4 9

323 4 323 4

9 8

323 4 323 4

9 8

0

9 80, ,1 2

2

1 2 1

( ) ( )( )

( )=

=

=

+

=

= s

t . .

.

.

.

323 4 323 4

9 8

646 8

9 8662 =

=

= s

Finalmente al evaluar t2=66 en la derivada de la funcin, se obtiene:

d' . . d' . . .66 9 8 66 323 4 66 646 8 323 4 323 4 s( ) ( ) ( )= + = + =

Que representa la velocidad instantnea o de impacto del proyectil con el suelo. Cabe sealar

que la velocidad con la que choca el proyectil con el suelo es la misma velocidad con la que inici

su recorrido. Para cualquier proyectil que se arroja verticalmente hacia arriba y sin contemplar la

resistencia del aire, siempre sucede que la velocidad inicial es igual a la velocidad de impacto con

el suelo o depende de otro factor?

Ejemplo 2

Comportamiento de funciones. El volumen mximo de una caja.

Un fabricante desea disear una caja de cartn sin tapa que contenga una base cuadrada a partir

de una pieza de cartn de forma cuadrada cuyo lado es un metro. Cules son las dimensiones del

diseo para producir una caja con el volumen mximo?

Comprensin del problema

El volumen de la caja depender de los distintos ta-

maos de los cortes (de lado x) de las esquinas de la

pieza de cartn (cuadrados rojos de la figura 21).

Figura 21 Pieza cuadrada de cartn de un metro

de lado, utilizada para fabricar una caja sin tapa

superior, cortando cuadrados en sus cuatro esquinas,

y levantando los cuatro rectngulos resultantes, para

formar los laterales de la caja.

(Contina...)


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Sl el volumen de la caja depende de los distintos tamaos de los cortes (de ladox) de las es-

quinas de la pieza de cartn, es importante que realices lo siguiente:

Describe cmo cambian sus dimensiones.

Piensa cmo va cambiando la forma de la caja de cartn para los distintos valores dex.

Busca una expresin para el volumen de la caja resultante.

Para determinar la expresin matemtica (funcin) que identifica el volumen de dicha caja de

cartn, cortamos un cuadrado de ladoxen cada esquina de la pieza de cartn y observamos que

el rea de la base de la caja estar determinada por la funcin:

A x x x x1 2 1 2 1 2 2

( ) ( )( ) ( )= = .

Y por lo tanto la funcin que representa el volumen de la caja es:

V x x x x x x 1 2 4 42 3 2( ) ( )= = +

En la figura 24 se ejemplifica la variacin del volumen de la caja a partir de determinado corte

de las esquinas de la pieza cuadrada de cartn.

Figura 22 Funcin rea y volumen que describen el problema de optimizacin de recursos

matemticamente.

A partir de la funcin volumen, arriba descrita, realiza lo siguiente:

Construye una tabla de valores que relacione la variable independiente,x, con la varia-

ble dependiente, V. Emplea un incremento en xde 0.5.

Crees que se alcanzar un volumen mximo para algn valor dex? Justifica tu respues-ta. En caso afirmativo, cul es dicho valor?

El poder del clculo diferencial

El volumen mximo de la caja de cartn lo obtendremos justo cuando la derivada de la funcin

volumen, V(x) sea igual a cero, es decir, cuando la recta tangente a la curva sea horizontal (con

(Continuacin...)


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pendiente cero). De esta forma la altura xde la caja queda determinada gracias al concepto de

derivada de una funcin, entonces derivando la funcin volumen obtenemos: V ' x x x 12 8 12( ) = + .El problema queda resuelto al hacer V' x 0( )= y determinar la variable x, que representa el

corte en las esquinas de la pieza cuadrada de cartn o altura de la caja, es decir, utilizando de nue-

vo la frmula general de segundo grado:

x b b ac

a

4

2,1 2

2

=

.

A partir de la funcin volumen de la caja se tiene que: a 12= , b 8= y c 1= . Sustituyendo

valores en la ecuacin anterior tenemos:

x x

8 8 4 12 1

2 12

8 16

24

8 4

24

12

24

1

2m,1 2

2

1

( ) ( )( )

( )=

=

=

+= = x

8 4

24

4

24

1

6m2 =

= =

Por lo tanto, el volumen mximo de la caja se obtiene cuando el corte de cada esquina en la

p i e z a

cuadrada de cartn es x 1

6= de metros (aproximada-

mente 16.6 centmetros). De esta forma el volumen

mximo en metros cbicos es:

V

. m

1

6

1

61 2

1

6

1

6

4

6

4

6

16

216

2

270 074

2 2

2

3

3

=

=

= = = = .

Por lo tanto, para un corte en cada esquina de la

pieza cuadrada de cartn de x m .1

616 6= cm, la pen-

diente de la recta tangente a la curva, V (x), es cero y

por lo tanto se tiene que V x . cm74000 3

( )=

es el volu-men mximo de la caja. En la figura 23 se observa

la grfica de la funcin volumen y dos de sus rectas

tangentes a la curva en puntos x ,V x( )( ) dados. Dedonde la pendiente de dichas rectas tangentes es la

derivada de la funcin volumen, V (x), dado un punto.

Figura 23a y 23b (a) El valor del volumen de la caja

es P=64.000 cm3para un valor dex =10 cm, lapendiente de la recta tangente a la curva, V (x), no es

cero y por lo tanto no se tiene el volumen mximo.

(b) El valor del volumen de la caja es P=A=74,000

cm3para un valor de , la pendiente

de la recta tangente a la curva, V (x), es cero y por lo

tanto aqu s se tiene el volumen mximo de la caja.

a)

b)

Unidad 3 Derivacion Problema Prototipo y Notas

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