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TURBOMÁQUINAS TÉRMICAS

En los procesos de expansión, el conjunto del proceso presenta una perdida de energía

mecánica menor que la suma de las perdidas de energía mecánica que se producen a lo largo

de dicho proceso. Esto es debido a que parte de la energía degradada en forma de estado

térmico es susceptible de transformarse de nuevo en energía mecánica, existiendo un cierto

grado de recuperación.

En los procesos de compresión, por el contrario la energía degradada por la fricción no puede

generar energía mecánica por la propia naturaleza del proceso. El incremento del estado

térmico del fluido, debido a la fricción, aleja las condiciones finales de las ideales, resultando

que la energía mecánica a aportar en el proceso real para la misma relación de compresión es

mayor, incluso, que la energía mecánica perdida por rozamiento.

2.7 Rendimiento de un turbocompresor en función de su rendimiento politrópico

Si se supone que el turbo compresor tiene infinitos escalonamientos, el rendimiento de cada

uno de estos escalonamientos diferenciales se conoce como rendimiento politrópico, y su

expresión es:

ηp=dhs

dh

Desarrollando esta expresión al igual que se hizo en las turbinas, tenemos:

ηp=νdp

cp dT= RTdp

pc p dT= γ−1

γdpp

TdT

Que se puede poner también de la forma:

dpp= γ

γ−1η p

dTT

E integrando:

p

Tγηpγ−1

El rendimiento del compresor vale:

ηc=T 0 Bs−T 0 A

T0 B−T 0 A

=

T 0 Bs

T 0 A

−1

T 0 B

T 0 A

−1


En el proceso isoentrópico se cumple:

T0 Bs

T 0 A

=( P0 B

P0 A)

γ−1γ =ρc

γ−1γ

Y en el proceso real (no isoentrópico):

T0 Bs

T 0 A

=( P0B

P0 A)

γ−1γηp =ρc

γ−1γηp

En donde c representa la relación de compresión del compresor.

Finalmente, sustituyendo en la expresión del rendimiento del compresor:

ηc=ρc

γ−1γ −1

ρc

γ−1γηp −1


En la figura 2.16 se representan la variación del rendimiento del compresor en función de p

y c para =1,4.

La expresión anterior puede ser muy útil para la estimación del rendimiento de los

turbocompresores axiales a partir del rendimiento de los escalonamientos. En estos

compresores, la relación de compresión de un escalonamiento esta limitada generalmente a

valores pequeños, por las razones que veremos mas adelante, y puede estimarse el

rendimiento politrópico igual al de los escalonamientos.


3

Cascadas de alabes

3.1 introducción

El funcionamiento de cualquier turbomáquina es directamente dependiente de las variaciones

del momento cinético del fluido que evoluciona a través de las coronas de los alabes.

Una idea mas profunda de la mecánica de las turbomáquina se puede obtener estudiando las

variaciones del flujo y las fuerzas ejercidas dentro de estas filas o hileras de alabes

individuales (cascada de alabes). En este capitulo se analizara el flujo bidimensional en

cascadas.

Para obtener un flujo bidimensional seria necesario una cascada de extensión infinita.


Ahora bien, forzosamente las cascadas tienen que ser limitadas en tamaño y, en consecuencia

se necesita un cuidadoso diseño para asegurar que por lo menos las regiones centrales, que es

donde se hacen las medidas, operen con flujo aproximadamente bidimensional.

En maquinas de flujo axial de relación Raíz /Cabeza alta, las velocidades radiales son

despreciables y se puede tratar el flujo como bidimensional para una buena aproximación.

Con las relaciones Raíz/cabeza bajas, los alabes de una turbomáquina tendrán, normalmente,

una torsión apreciable a lo largo de su altura, dependiendo de la ley de torsión elegida, como

se vera en un capitulo posterior, sin embargo, los datos obtenidos de cascadas bidimensionales

pueden ser validos para un diseñador que busque la actuación de tales filas de alabes en

secciones concretas de los mismos.

3.2 Nomenclatura de la cascada de alabes

Un perfil de alabe de una cascada puede concebirse como una línea curva convexa sobre lo

que se superpone simétrica y normalmente a la línea de curvatura una distribución de

espesores (figura 3.1).


La distribución de espesores del perfil puede ser la de una sección de un perfil aerodinámico

estándar pero, más corrientemente, es una de las secciones específicamente desarrolladas por

los distintos centros de investigación para aplicaciones de compresores o turbinas.

En la práctica inglesa, la forma de la línea de curvatura es por lo general un arco de círculo o

un arco de parábola (perfiles de la serie C o P). En las realizaciones americanas se utilizan

perfiles desarrollados por la NACA.

Las curvaturas y las distribuciones de espesores de alabes se presentan generalmente como

tablas de y/l y t/l en función de x/l.

Los parámetros que describen un alabe son:

Forma de la línea de curvatura.

v/l.

a/l.

Tipo de distribución de espesores.

Relación espesor máximo a cuerda tmax/l.

Para describir una cascada se necesitan otros dos parámetros:

Relación paso-cuerda s/l.

Angulo de calado : ángulo formado por la prolongación de la cuerda y la

perpendicular al plano frontal de la cascada.

Todos los ángulos del fluido y del alabe se referirán a la perpendicular al plano frontal de la

casada, aunque en turbinas de vapor se acostumbre aun a utilizar como referencia la dirección

tangencial (paralela al plano frontal).

1, ´1: ángulos de entrada del flujo y del alabe respectivamente.

2, ´2: ángulos de salida del flujo y del alabe respectivamente.

: ángulo de curvatura del alabe, formado por las tangentes a la línea de curvatura del alabe en

los bordes de ataque y de estela, = ´1 - ´2 (en turbinas, = ´1 + ´2).

: ángulo de deflexión del flujo, = 1 - 2 (en turbinas, = 1 + 2).

Para alabes con línea de curvatura circular:

ξ=12(α ' 1+α '2)

Para la línea de curvatura parabólica de baja curvatura (b/l pequeño), utilizada en lagunas

cascadas de compresor:

α ' 1=ξ+arc tgb/ l

( a/ l )2α ' 2=ξ−arc tg

b/ l(1−a /l )2


3.3 Análisis de fuerzas en cascadas de álabes.

Supóngase que el fluido se aproxima a la cascada desde lejos aguas arriba con velocidad c1y

sale de esta lejos aguas abajo con velocidad c2 y que se comporta como incompresible en

condiciones de flujo estacionario.

La hipótesis de flujo incompresible puede ser valida debido a que la mayoría de los ensayos

de cascadas se hacen con mach muy bajo (0,3 en cascadas de compresores) y los efectos de

compresibilidad son despreciables. En el caso de turbinas, aunque valida, esta hipótesis se

aleja algo más de la realidad por ser los saltos de presiones mayores por escalonamiento.

La segunda hipótesis de suponer flujo estacionario es valida para una cascada aislada pero en

una turbomáquina los efectos de flujo no estacionario aumentan debido al movimiento

relativo entre las coronas de alabes sucesivas.

La figura 3.2 representa el caso de una cascada aislada de compresor en la que se ha dibujado

una superficie de control que encierra un alabe. Los límites laterales coinciden con las líneas

medias de la corriente. Los límites extremos están suficientemente alejados aguas arriba y

aguas debajo de la cascada.

Los ángulos 1 y 2 son los que forman las velocidades c1 y c2 con la dirección de referencia.

Las fuerzas X e Y que se ejercen, por unidad de altura de alabe, sobre el fluido son iguales y

de sentido contrario a las ejercidas por el fluido sobre el alabe.

Aplicando la ecuación de la continuidad para una sección de altura unidad (fluido

incompresible):

c1 cosα 1=c2cos α2=cx

Del teorema de la cantidad de movimiento aplicando en las direcciones x e y (cx = cte):


X=( p2−p1 ) s

Y= ρs cx (c y 1−c y 2 )

Y de los triángulos de velocidades:

Y= ρs cx2 ( tgα 1−tgα2 )

Estas fuerzas X e Y se han deducido de los triángulos de velocidades del flujo. La

componente X produce empuje, mientras que la componente tangencial Y produce par (véase

figura 3.2). Como el par es una medida de la potencia que se requiere para el accionamiento

de la corona de alabes, si se tratase de paletas de hélices propulsivas o ventiladores interesaría

que existiese una X y una Y pequeña (potencia de accionamiento reducida).

Ahora bien, para la misma reducción de la velocidad relativa, el empuje y el par en una

turbina deben tener direcciones opuestas a estas mismas componentes en una bomba o en un

compresor. La curvatura de los perfiles, por lo tanto, habrá de invertirse

3.4 Perdidas de energía. Coeficientes característicos

Un fluido que atraviesa una cascada experimenta una perdida de presión total po debido a la

fricción superficial y efectos afines. Con la hipótesis establecida anteriormente de flujo

incompresible, aplicando la ecuación de bernoulli:

p1

ρ+

c12

2=

p2

ρ+

c22

ρ+

Δ p0

ρ

Δ p0

ρ=

p1−p2

ρ12(c1

2−c22)

Ahora bien:

c12−c2

2=(c¿¿ yl2+c x2)−(c¿¿ y22+cx

2)=c yl2 −c y2

2 =(c¿¿ y 1+c y 2) (c y 1−c y 2 )¿¿¿

Δ p0

ρ=−X

ρs+1

2Yρs

c y1+c y 2

c x

= 1ρs (−X+Y

12

(tg α1+tgα2 ))


Δ p0

ρ= 1

ρs(−X+Ytg αm ) , donde tg α m=

12

(tg α1+tgα2 )

Esta ecuación puede expresarse en forma adimensional definiendo los siguientes coeficientes:

Coeficiente de perdida de presión :

ζ=Δ p0

12

ρ c x2

o bien ,ϖ=Δ p0

12

ρ c12

Coeficiente de aumento de presión Cp:

C p=p2−p1

12

ρ cx2= X

12

ρ scx2

Coeficiente de fuerza tangencial Cf:

c f=X

12

ρ scx2=2 (tg α1−tgα2 )

Sustituyendo los coeficientes en la expresión anterior resulta:

12

cx2 ζ=−1

2cx

2C p+12

cx2 C f tgα m

C p=C f tgα−ζ

3.5. Relación entre las componentes deducidas de los triángulos de velocidades y las

componentes aerodinámicas.

Coeficiente de sustentación y resistencia

Se define una velocidad media del flujo Cm como:

Cm=C x

cosα m

Considerando un alabe de cascada de altura unitaria, sobre el actúa una fuerza de sustentación

L en una dirección perpendicular a Cm y una fuerza de resistencia D en una dirección paralela


a Cm. En la figura 3.3 se representa todas las fuerzas como reacciones ejercidas por el alabe

sobre un fluido.

Los datos experimentales se suelen presentar en función de la sustentación y la resistencia

aunque probablemente fuesen más útiles en forma de fuerza tangencial y perdida de presión

total. Expresemos L y D en función de fuerzas axial y tangencial, X e Y, deducidas

anteriormente de los triángulos de velocidades:

L=Xsen αm+Ycos αm

D=Ysen αm−Xcosα m

Ahora bien,

D=cosα m(Ytg αm−X )

D=s Δ p0 cosα m

Y=tgα m−X=s Δ p0

Por otra parte,

L=Xsen αm+Ycos αm

L=(Ytg α m−s Δ p0 ) senα m+Ycosα m=Ysen2α m

cos αm

−s Δ p0 sen αm+Ycos αm

Por tanto:

L=Ysec α m−s Δ p0 senα m


L=ρ scx2 (tg α1−t gα 2 ) sec α m−s Δ p0 sen αm

Ya que

Y= ρ scx2 (tg α1−tgα2 )

Es decir:

D=s Δ p0 cosα m

L=ρ scx2 (tg α1−tgα2 ) sec α m−s Δ p0 senα m

Los coeficientes de sustentación y resistencia se pueden definir como:

CL=L

12

ρ cm2 l

;CD=D

12

ρ cm2 l

Ya que L y D representan fuerzas por unidad de altura y por tanto el área proyectada

correspondiente será 1. l = 1

CD=s Δ p0cos α m

12

ρ cm2 l

CD=sl

ζc x

2

cm2 cosα m

ζ=Δ p0

12

c x2

cx

cm

=cosα m

CD=ζsl

cos3α m

Por otra parte:

CL=ρ sc x

2 (tg α1−tgα2 ) sec αm−s Δ p0 sen αm

12

ρ cm2 l

¿2sl

cos2 α m ( tgα 1−tgα2 ) sec α m−s Δ p0

12

ρ cm2 l

senα m


CL=2sl

cosα m ( tgα 1−tgα2 ) sec α m−CD tg α m

C f=2 ( tgα 1−tgα2 )

CD=ζsl

cos3α m

CL=sl

C f cosα m−ζsl

cos3 α m

sen αm

cos αm

CL=sl

cos αm (C f−ζsen αm cos αm )= sl

cosα m(C f−ζsen2 α m

2 )

Las expresiones CD y CL son por lo tanto:

CD=ζsl

cos3α m

CL=sl

cos αm(C f−ζsen2 α m

2 )Para el rango normal de funcionamiento de una cascada se tiene que CD<<CL y m

generalmente es menor que 60º por ello puede despreciarse el término CDtgm resultando las

expresiones aproximadas:

CL=2sl

cosα m ( tgα 1−tgα2 )

CL=sl

C f cosα m

Y la relación de sustentación arrastre, L/D:

LD=

CL

CD

≈C f cos α m

ζ cos3 αm

=C f

ζsec2 α m

3.6. Circulación y sustentación. Teorema de kutta-joukowski


La sustentación de un perfil aerodinámico único aislado para el caso de un flujo ideal (es decir

fluido no viscoso) en el cual la resistencia es cero, D = 0, viene dado por el teorema de kutta-

joukowsky:

L=ρ Γ c

Donde c es la velocidad relativa entre el perfil aerodinámico y el fluido en el infinito, y es

la circulación alrededor del perfil aerodinámico.

Si no existe perdidas de presión de remanso, la fuerza de sustentación por unidad de altura de

un alabe por unidad de cascada será:

L=ρs cx2 (tg α 1−tgα2 ) sec α m

L=ρs cx1

cos αm(cx tg α 1−cx tgα2 )

L=ρs cm (c y1−c y2 )

Ahora bien la circulación es la integral curvilínea de la velocidad a lo largo de una línea

cerrada cualquiera que contenga ese único perfil y que no encierre puntos singulares de la

corriente. Si se elige por ejemplo la línea cerrada ABCDA de la figura 3.2 se tendrá:

Γ perfil=Γ ABCDA=Γ AB+Γ BC+ΓCD+Γ DA

Como las velocidades del fluido a lo largo de BC y AD son iguales BC = -DA, luego

Γ perfil=Γ AB+ΓCD=sc y 1−sc y 2=s (c y 1−c y 2 )

Y sustituyendo en la expresión d la sustentación:

L=ρ Γ cm

Al incrementar ilimitadamente el espaciamiento entre alabes (es decir cuando s ), las

velocidades de entrada y salida de la cascada tienden a ser iguales (c1=c2=c) y la ecuación

interior, que da la sustentación para un alabe de una cascada cuando no existen perdidas de

presión de remanso (po = 0), es idéntica al teorema de kutta-joukowski para un perfil

aerodinámico aislado. La explicación física es la siguiente: en el caso de un perfil aislado la

corriente no sufre ninguna desviación (c es la misma antes y después del perfil), mientras que

en una cascada si. Un alabe aislado reacciona sobre el fluido circundante con una fuerza igual

y de sentido contrario, pero la ser infinita la masa de fluido circundante la desviación que


dicha fuerza produce en las líneas de corriente a una distancia suficientemente alejada antes y

detrás del perfil es nula. Sin embargo, en una cascada la masa es finita y se produce una

desviación de las líneas de corriente.

3.7. Rendimiento de una cascada de alabes

3.7.1. Rendimiento de una cascada de alabes de compresor

El rendimiento c de una cascada de alabes de un compresor puede definirse de la misma

forma que el rendimiento de un difusor. Con la nomenclatura de la figura3.5, c se puede

expresar como:

ηc=h2 s−h1

h2−h1


En el proceso isoentrópico se cumple que dh = vdp y, como se ha hecho la hipótesis de flujo

incompresible,

h2 s−h1=p2−p1

ρ

Por otra parte, de la aplicación de la ecuación de la energía se obtiene:

h2−h1=c1

2−c22

2

Por lo que el rendimiento de la cascada se puede expresar como:

ηc=p2−p1

12

ρ (c12−c2

2 )

Aplicando ahora la ecuación de bernoulli, se tendrá:

p1

ρ+

c12

2=

p2

ρ+

c22

ρ+

Δ p0

ρ

p2−p1=12

ρ (c12−c2

2 )−Δ p0


Y sustituyendo en el valor de c, queda:

ηc=1−Δ p0

12

ρ (c12−c2

2 )

El denominador de la expresión anterior puede ponerse como:

12

ρ (c12−c2

2 )=12

ρ cx2 ( sec2α 1−sec2α 2 )=

12

ρc x2 ( tg2 α 1−tg2α 2 )

¿ ρ cx2 tg αm (tg α1−tgα2 )

Por otra parte, recordando que:

ζ=Δ p0

12

c x2

C f=2 ( tgα 1−tgα2 )Se obtiene c en función de los coeficientes adimensionales y Cf:

ηc=1−Δ p0

ρ cx2 tg α m (tg α 1−tgα2 )

=1− ζC f tgα m

Recordando la expresión, deducida anteriormente, que liga los coeficientes de sustentación y

de arrastre, CL y CD con y Cf:

CL

CD

≅C f

ζsec2 α m;

ζC f

≅CD

CL

sec2 α m

De donde:

ηc=1−CD

C L tgα m

1cos2α m


ηc=1−2CD

C L sen2 α m

Que es la expresión del rendimiento en función de los coeficientes aerodinámicos.

3.7.2. Rendimiento de la cascada de alabes de una turbina

Para el caso de una cascada de turbina (figura 3.5), se tiene:

ηT=h1−h2

h1−h2 s

h1−h2=12(c¿¿22−c1

2)¿

Para proceso isoentrópico y flujo incompresible:

h1−h2 s=p1−p2

ρ

ηT=12(c¿¿22−c1

2)p1−p2

=12

(c¿¿22−c12)

12(c¿¿22−c1

2)+Δ p0=1

1+Δ p0

12(c¿¿22−c1

2)=¿¿

¿¿¿

¿ 1

ρ cx2 tg α m ( tgα 2+ tgα1)

= 1

1+ζ2

2C f

1tg αm

ηT=1

1+CD

CL

sec2 α m

tg α m

= 1

1+CD

CL

1senα m cosαm

ηT=1

1+2CD

CL

1sen2αm


Se puede observar que tanto en el caso de una cascada de compresor como en el de una

cascada de turbina el rendimiento es máximo cuando se hace mínimo el término.

2CD

CL

1sen2 α m

Y esto, si se supone

CD

CL

=cte .

Ocurre cuando m= 45º

Howell ha calculado el efecto que tiene una determinada variación de CD/CL en el rendimiento

de una cascada comparándolo con el caso en que CD/CL= cte. En la figura 3.6 se muestran

estos resultados.

Como puede observarse, la curvatura es bastante plana en un gran intervalo de m, por lo que

puede elegirse un valor de m bastante más pequeño que el óptimo.


4

Actuación de las cascadas de alabes

4.1. Introducción

En el estudio de cascadas se presentan dos problemas fundamentales: el directo y el inverso.

a) Problema directo

Dado un perfil aerodinámico y definida la cascada por la relación paso/cuerda (s/l) y el

ángulo de calado , se trata de determinar el comportamiento de la misma al variar la

incidencia ( i=1-´1) y la velocidad de entrada. El comportamiento se refiere a la

deflexión del fluido (=1-2), valor íntimamente asociado con el coeficiente de

sustentación CL y el coeficiente de perdida de presión de remanso o ligados al

coeficiente de resistencia CD.

b) Problema inverso

Consiste en determinar una geometría de cascada que produzca una cierta deflexión

del fluido, fijada por los triángulos de velocidades, con la condición de mínimas

perdidas. Esta cascada así seleccionada será la óptima desde el punto de vista

aerodinámico. Aunque para ser mas rigurosos habría que considerar como optima la

que respondiese también a otra serie de puntos de vista además del aerodinámico,

como estructurales, económicos, etc. ; aquí se contemplara solamente el aspecto

aerodinámico.

El problema directo se divide en dos problemas parciales según sea el valor de la velocidad de

entrada. Cuando esta es pequeña (Ml<0,5) los efectos de compresibilidad son pequeños y el

fluido puede considerarse como incompresible.


Cuando la velocidad es grande (0,5<Ml<0,7/0,8), los efectos de compresibilidad son

apreciables. Una forma lógica de resolver el problema directo es buscar la solución a baja

velocidad y corregir los resultados obtenidos para números de mach mas elevados.

Para ambos problemas, directo e inverso, pueden encontrarse soluciones aproximadas

mediante tratamientos teóricos (transformación conforme, método de la singularidades,

método de Martensen, elementos finitos, etc.)

Las técnicas modernas de cálculo permiten representar flujos no desprendidos en cascadas

bidimensionales y en turbomáquina. Sin embargo, cuando existe desprendimiento la

distribución del flujo no puede ya ser predicha con fiabilidad. Además, las predicciones se

limitan a distribuciones de presión y no son aplicables necesariamente a ángulos del flujo y

en ningún caso a coeficientes de perdidas.

En consecuencia, en la actualidad, no es posible determinar exactamente las características de

actuación de una cascada únicamente por medios teóricos, y el método experimental sigue

siendo la técnica más segura y utilizada. Estos datos experimentales que constituyen la base

del estudio se obtienen en el túnel del viento.

En el capitulo anterior se desarrollaron una serie de relaciones que permiten deducir el

comportamiento de una cascada si se conocen los ángulos de entrada y salida del flujo y el

coeficiente de perdida de presión. Ahora bien, para una determinada cascada solamente puede

fijarse arbitrariamente uno de estos parámetros, pues los otros dos están fijados por la

geometría de la cascada y en menor grado por los números de mach y Reynolds del flujo. De

esta forma el comportamiento de una familia de cascadas puede expresarse:

ζ ,α 2=f (α 1 , M 1 , Rel)

Donde el numero de Reynolds se define basado en la cuerda del alabe, es decir,

Rel=ρ1 c1l / μ

Los datos básicos de la actuación de una cascada se obtienen de las medidas de presión,

ángulo de flujo y velocidad tomados a lo largo de uno o más pasos de entrada y en la salida de

la cascada.

En la figura 4.1 se representan unos resultados típicos obtenidos del ensayo de una cascada de

turbina de geometría determinada ´1,´2, s/l y un ángulo del flujo 1 dado. Se observa que

tiene lugar una perdida de presión de remanso que es mas acusada en las proximidades de la

cara de succión de los alabes. Por otra parte, la deflexión del fluido = (1+2) es máxima en

cada borde de la estela en la cara de presión de los alabes. De estos resultados se pueden

obtener los valores medios de y de 2 (o de ). A estos valores medios será a los que se

refieran las discusiones siguientes.


Variando el ángulo de entrada 1 (o lo que es lo mismo la incidencia) y manteniendo

constante Ml y Rel, se puede obtener la actuación completa de la cascada. En la figura 4.2 se

representan los valores medios del coeficiente de perdidas, de la deflexión, del coeficiente de

sustentación y del coeficiente de arrastre al variar la incidencia en una cascada de compresor

y en otra de turbina de geometrías fijas.

El coeficiente de pérdidas de presión de remanso esta referido a la velocidad de entrada del

flujo cl en el caso de cascadas de compresor y a la velocidad de salida c 2 en el caso de

turbina. En general, los ensayos de cascadas se hacen a velocidades de entrada bajas pero con

numero de Reynolds mayor que el critico (2x105). Para estas condiciones, y depende solo

muy ligeramente de Rel, y los efectos del numero de mach son despreciables si M l<0,3, como

se dijo en el capitulo anterior. Por ello las características de actuación se pueden expresar

como: , 2 = f(1).

En el caso de las cascadas de turbina el intervalo de actuación con bajas pérdidas es más

amplio que para cascadas de compresor debido a que el proceso que tiene lugar en estas

ultimas es un proceso de difusión (aumento depresión), donde las perdidas suelen altas. En un

apartado posterior se volverá sobre ello al analizar el método de Ainley y Mathieson para

actuación de cascadas de turbina.

4.2 Actuación de una cascada de alabes de compresor.

Correlaciones de Howell y Lieblein


En la figura 4.2, caso de la cascada de compresor, se observa un aumento pronunciado de

cuando la incidencia aumenta por encima de un cierto valor debido a que la cascada entra en

desprendimiento. La deflexión máxima corresponde con la entrada en desprendimiento, pero

la incidencia para la cual ocurre este fenómeno es difícil de definir, por lo que, en general, se

determina arbitrariamente el punto de desprendimiento como la incidencia a la que la perdida

de presión total es el doble que la perdida mínima. En adelante la deflexión de

desprendimiento se denomina s.

Para incidencia decreciente las perdidas de presión de remanso aumentan de nuevo y se

puede definir como antes un punto de desprendimiento de incidencia negativa. El intervalo de

trabajo se define convencionalmente como el rango de incidencias entre estos dos limites.

Suele definirse un ángulo de incidencia de referencia que corresponde con el punto medio del

intervalo de trabajo o, menos exactamente, con la condición de perdida mínima.

De estos resultados se pueden estimar las perdidas por perfil, a través de alabes de compresor

de la misma geometría, y los limites de la deflexión del fluido (limites de desprendimiento).

Para poder utilizar más fácilmente los datos de actuación de una cascada, lo mejor es

presentarlos de alguna forma abreviada. Se han desarrollado diversos métodos de correlación

empírica de estos datos. Se estudian a continuación los métodos de Howell y de Lieblein por

considerarlos los mas significativos.

4.2.1. Correlación de Howell

La correlación de Howell ha sido muy utilizada por diseñadores de compresores axiales y se

basa en la elección de una condición nominal de diseño tal que la deflexión, *, es el 80% de

la deflexión de desprendimiento s (figura 4.2). Howell encontró que las deflexiones


nominales de distintas cascadas de compresor son, fundamentalmente, una función de la

relación paso-cuerda s/l, del ángulo nominal de salida del flujo *2 y del numero de Reynolds

Rel.

ε ¿=f ( sl

, α 2¿ , Rel)

Es importante observar que esta correlación es, en la practica, independiente de la curvatura

del alabe para el rango normal de elección de este parámetro 20º< < 40º. Como ya se

comento anteriormente la influencia del numero de Reynolds es pequeña para Rel > 3x105.

En la figura 4.3 se representa la variación de en función de alfa para distintos valores de s/l.

Una formula aproximada que se corresponde con los resultados de la figura 4.3 es la

denominada regla de diferencia de tangentes:

tg α1¿−tgα 2

¿= 1,551,15 s /l

Para 0º < *2 < 40º

Por otra parte, hay que tener en cuenta que así como la incidencia puede ser elegida

arbitrariamente por el diseñador no ocurre lo mismo con la diferencia entre los ángulos de

salida del flujo y del alabe (desviación) que es una función de la curvatura del alabe , forma

de este, relación paso/cuerda y ángulo de calado. La desviación puede alcanzar un valor

importante y es necesario hacer una estimación exacta de ella. Howell utilizo una regla

empírica (deducida por Constant) para relacionar la deviación * con la curvatura y la

relación paso-cuerda s/l.

δ ¿=α2¿−α2

' =mθ ( sl)

n


Donde los valores de m y n son los siguientes:

Para alabes de compresor n 1/2

m=0,23 (2 al)

2

+α2¿ /500

Para alabes guía de compresor (donde el flujo se va acelerando): n 1

m=cte.=0,19

Con estos datos experimentales el problema directo en el punto de diseño esta determinado:

Datos (datos)

s/l

´1

´2

Forma de la línea de curvatura

Obtener (incógnitas)

*

i*

α 2¿=α 2

' +δ¿=α2' +mθ ( s

l)

n

Con este valor de *2 y s/l se determina *, bien de la figura 4.3 o de la regla de la diferencia

de tangentes, y por tanto i*=*1-*

1. Con este valor de i* se puede obtener en un ábaco del

tipo de la figura 4.2 y también CL y CD.

Para obtener la actuación de una cascada dada en condiciones “fuera de diseño”, pueden

utilizarse las curvas generalizadas de Howell que se muestran en la figura 4.4.

Conocidas la deflexión y la incidencia nominales, * y i*, es fácil calcular de esta forma la

deflexión y el coeficiente de perdida de presión de remanso de la cascada en cualquier

condición. La figura 4.4 es una curva única utilizada por todas las cascadas.

La correlación de Howell puede utilizarse también para resolver el problema inverso o de

diseño (selección de una geometría de cascada que produzca una deflexión determinada).

Si se eligen como condiciones de diseño las condiciones nominales de Howell pueden resultar

relaciones paso/cuerda mecánicamente inadecuadas. Así mismo conviene observar que tales

condiciones nominales pueden satisfacerse con diversos ángulos de curvatura y,

consecuentemente, diversos ángulos de calado.


Ahora bien, si por el contrario se elige inicialmente la relación paso/cuerda por

consideraciones mecánicas, entonces la incidencia de diseño puede coincidir con la nominal

solo casualmente. Por tanto la incidencia de diseño es en cierto modo arbitraria y algunos

diseñadores pueden elegir, ignorándolas condiciones nominales, una incidencia que se ajuste

mas a las condiciones operativas bajo las cuales ha de funcionar el escalonamiento del

compresor.

4.2.2. Correlación de Lieblein

Se trata de una correlación experimental basada en los datos obtenidos del ensayo de cascadas

de baja velocidad y para alabes convencionales. Los alabes utilizados en los ensayos

pertenecen a la serie NACA-65(A10), aunque la correlación también es valida para alabes de

arco circular de la serie inglesa C4. Por otra parte, los datos utilizados en las correlaciones

están obtenidos con números de Reynolds comprendidos entre 2x105 Re 1,5x105, estando

definido el numero de Reynolds con respecto a la cuerda del alabe (Re = dffdk).

En una cascada bidimensional las perdidas provienen fundamentalmente del aumento de la

capa limite en la cara de succión y en la cara de presión del alabe, combinándose ambas en la

salida de este para formar la estela (fig. 4.5).


Como consecuencia de la formación de la capa limite existirá una disminución de presión del

remanso local y consecuentemente en la región de estela. Esta perdida se evaluara por medio

del coeficiente de perdida de remanso jjdd definido en el capitulo anterior.

En un análisis teórico de las perdidas en una cascada bidimensional con flujo incompresible,

realizado por Lieblein y Rodebush, se establece que el coeficiente de perdida de presión de

remanso, medido en la estación de salida (lugar donde la presión estática es esencialmente

uniforme a lo largo de la cascada), puede ser expresado como:

ϖ=2( θ2

l ) 1

( sl )cosα 2

( cosα 1cos α2

)2|

F2

3 F2−1

(1− ( θ2

l )F2

( sl )cos α2 )

3|Donde.


2/l = relación entre el espesor por la cantidad de movimiento de la estela y la cuerda del

alabe.

F2 = factor de forma de la estela (espesor de desplazamiento/espesor de la cantidad de

movimiento).

El espesor por la cantidad de movimiento es una forma de medir el espesor de la capa limite,

así el flujo con capa limite sufre un decremento en la catidad de movimiento con respecto al

mismo flujo sin capa limite, que es equivalente a la cantidad de movimiento de un flujo de un

cierto espesor sin capa limite.

ρCCθ=∫0

∞

ρ [C−c ( y ) ]c ( y ) dy

θ= 1C2∫

0

∞

c ( y ) [C−c ( y ) ] dy=∫0

∞c (dy )

C [1− c (dy )C ]dy

Donde C es la velocidad de la corriente libre.


Para el caso de la estela del alabe (figura 4.7):

θ2=∫−∞

+∞c ( y )c2

[1− c ( y )c2

]dy

El valor de la expresión encerrada entre corchetes es próximo a la unidad cuando no existe

desprendimiento.

De esta manera, en la zona de pérdidas mínimas, el coeficiente de perdida de presión de

remanso se podrá expresar como:

ϖ=( θ2

l )( ls ) c os2 α 1

c os3 α 2

o bien , ζ=2( θ2

l )( ls ) 1

c os3 α 2

Que puede relacionarse con el coeficiente de arrastre mediante la ecuación desarrollada en el

capitulo anterior:

CD=ζ ( sl )c os3α m

Como puede apreciarse, los factores determinantes de las perdidas en la cascada son:

Geometría de la misma (relación paso/cuerda, ángulos de entrada y salida del flujo) y el factor

aerodinámico espesor por la cantidad de movimiento de la estela.

La experiencia demuestra que las distribuciones de velocidades en la superficie de los alabes

que suponen una gran difusión de esta, tienden a producir capas limites gruesas y, en


consecuencia, desprendimiento. Lieblein establece la hipótesis de que “en la región de perdida

mínima el espesor de la estela, y consecuentemente el valor de la perdida de presión de

remanso, es proporcional a la difusión de la velocidad en la cara de succión del alabe en

dicha región”.

Esta hipótesis se funda en que la capa limiten la superficie de succión de alabes de compresor

convencionales aporta la mayor parte de la estela de los mismos. Por esta razón la distribución

de velocidades en la superficie de succión del alabe llega a ser el factor principal en la

determinación de la perdida de presión de remanso.

Para una distribución convencional de la velocidad en las dos caras del alabe (figura 4.8), la

difusión de esta puede ser expresada en función de la velocidad máxima en la cara de succión

del alabe y de la velocidad de salida, definiéndose un parámetro de “difusión local” D que

puede ser expresado de la forma:

Dlocal=(cmax )s−c2

(cmax )s

Como ya ha sido comentado, la hipótesis de Lieblein se establece en la región de perdida

mínima de la cascada. Sin embargo, en cascadas de baja velocidad la región de actuación con

baja perdida es bastante plana, por lo que es difícil establecer la incidencia correspondiente a

pérdida mínima. Lieblein selecciona esta incidencia nominal o de referencia como el valor

central del intervalo de funcionamiento con bajas perdidas. Posteriormente se indicara el

procedimiento para establecer dicha incidencia de referencia.


En la figura 4.9 se presentan los resultados obtenidos por Lieblein y otros, en el ensayo de

cascadas de baja velocidad constituidos por perfiles de la serie NACA-65 (A10) y para la

incidencia de referencia. Puede observarse que para valores elevados de la relación de

difusión local, existe un desprendimiento de la capa límite en la cara de succión, ya que

aumenta rápidamente el espesor el espesor por la cantidad de movimiento de la estela. Por

otra parte, para relación de difusión local nula, el valor del espesor de la cantidad de

movimiento de la estela representa la fricción superficial del fluido sobre el alabe, y en menor

grado, el efecto del borde de salía finito de este.


En la actualidad el cálculo de Dlocal no tiene dificultad alguna, pero cuando se desarrollo esta

metodología de análisis resultaba una tarea ardua y costosa (en términos de cálculo). Por esto

se definió otro factor de difusión (DF), basado en las velocidades de entrada y salida del flujo

(y por tanto a partir de los triángulos de velocidades) y de la solidez (σ=l /s).

Este factor de difusión se ha desarrollado empíricamente a partir de una aproximación de la

distribución de velocidades en cascadas d la familia NACA-65, con una relación

espesor/cuerda (t/l) del 10%, operando con incidencia de mínima perdida (según define

Lieblein) y para velocidad axial constante. Así se tiene que:

DF=[1− c2

c1]+ c y 1−c y 2

2 σ c1

Donde c se refiere a la velocidad del flujo relativa a los alabes, ya sean de rotor o de estator, y

los subíndices 1 y 2 indican entrada y salida del alabe, respectivamente. Por otro lado, la

expresión anterior puede ponerse, para velocidad axial constante y flujo incompresible, solo

en función de la solidez y de los ángulos del flujo de la forma:

DF=(1− cosα1

cos α2)+( tgα¿¿1−tg α2)cos α1

2 σ¿

La figura 4.10 muestra la correlación entre el espesor por la cantidad de movimiento /l y el

factor DF (perfiles NACA-65 y C4 con incidencias de mínimas perdidas, según Lieblein). De

aquí se puede deducir que para valores de DF mayores a 0,60 hay un rápido crecimiento de

/l y por ello de la capa limite y previsiblemente de las perdidas, de tal manera que este punto

es el que se toma como el indicativo del inicio del desprendimiento y por ello de la operación

inestable de la cascada. Por tanto, el valor de DF no debería ser superior a 0,6. Sin embargo,

la experiencia ha mostrado que al considerar la deflexión, la incidencia y las perdidas, los

diseños mas aceptables se realizan con DF=0,45, lo que para ángulos de entrada y salida del

flujo fijos permite determinar la solidez.


A modo de resumen, las características más relevantes del factor de difusión (DF) son:

a) Esta definido completamente a partir de magnitudes conocidas o medidas en los

ensayos de cascadas.

b) Se ha probado suficientemente su validez como indicador del desprendimiento del

flujo para una gran variedad de cascadas de alabes y con una gran diversidad de

relaciones paso/cuerda (o de su inversa, solidez ) y de incidencias.

c) Presenta una fuerte dependencia con la relación paso/cuerda (o de la solidez ). La

influencia de la solidez sobre la distribución de velocidades en el perfil del alabe se

muestra de forma cualitativa en la figura 4.11 y su justificación se expuso en el

capitulo 3, al demostrar que la fuerza ejercida sobre el alabe (directamente relacionada

con la carga del alabe) es inversamente proporcional a la solidez.


Posteriormente, Lieblein correlaciono el espesor por la cantidad de movimiento de la estela

2/l con un nuevo parámetro denominado relación de difusión DR y definido como:

DR=(cmax )s

c2

Donde (cmax)s, es la velocidad máxima en la cara de succión del alabe. Dicha correlación se

representa en la figura 4.12 (a)


La correlación de Lieblein se corresponde con la curva de la figura 4.12 (b), que representa la

ecuación:

θ2

l= 0,004

1−1,17 ln [ (cmax )sc2

]


Como se ve, para (cmax)s/c2 = 2,35, 2/l tiende al infinito, pero el limite practico de buen

rendimiento se encuentra comprendido entre:

1,9<(cmax )s

c2

<2

La correlación anterior permite estimar la relación entre el espesor por la cantidad de

movimiento de la estela y la cuerda del alabe, y, por lo tanto, la perdida de presión de remanso

para la incidencia de referencia, conocidos los valores de la relación de difusión, para un

amplio rango de relaciones paso/cuerda, curvaturas y ángulos de entrada.

Para utilizar esta correlación, es necesario conocer la distribución de velocidades en la cara de

succión de los alabes, para poder determinar la relación (cmax)s/c2. Como este dato era

complejo de obtener en aquel entonces, Lieblein estableció una relación de difusión

equivalente Deq:

Deq=(cmax )s

c2

=1,12+0,61 f (Γ )

Valida para la incidencia de referencia, donde:

f ( Γ )=Γ cosα 1

l c1

=s(c y1−c y 2)

l c1

cos α1

Desarrollando la expresión se tiene:

(cmax )sc1

=(cmax )s

c2

cosα 2

cosα 1

=1,12+0,61( sl )(c y 1−c y 2)cos α1

cx

cos α1

(cmax )sc2

=cos α2

cos α1[1,12+0,61

sl(tgα1−tgα2)cos2 α1]

Para incidencias distintas a la de referencia, la relación de difusión equivalente vale:

(cmax )sc2

=cos α2

cos α1[1,2+k (i−iref )

1,43+0,61( sl )(tgα1−tgα2)cos2 α 1]


Donde:

k = 0,0117 para alabes NACA 65-(A10).

k = 0,007 para alabes de arco circular C4.

Conviene comentar aquí que actualmente, y gracias a las potencia de calculo de los actuales

ordenadores, tanto la difusión local

Dlocal=(cmax )s−c2

c2

Como la relación (cmax)s/c2 se pueden calcular sin grandes dificultades. Sin embargo, la

utilidad de la relación de difusión equivalente o del factor de difusión simplifica el proceso, al

menos es primera aproximación.

Aunque sin duda el factor de difusión es el más representativo, hay otros criterios utilizados

en el diseño para establecer el límite de operación estable de cascadas, como el número de

Haller y el criterio de Howell (anteriormente comentado).

Según el criterio de Haller, la operación estable de la cascada esta garantizada siempre que se

cumpla que:

c2

c1

≥ 0,72

Donde c se refiere a la velocidad del flujo relativa a los alabes, ya sean de rotor o de estator, y

los subíndices 1 y 2 indican entrada y salida del alabe. Este criterio limita la difusión máxima,

y su simplicidad permite su utilización en trabajos preliminares de diseño, aunque para el

diseño último se recurre al factor de difusión.

En lo que respecta al criterio de Howell, su interés radica en la validez de los diseños de

compresor desarrollados a partir de los límites de carga impuestos por las condiciones

nominales de Howell, que establecen la deflexión máxima del flujo en el 80% de la deflexión

de desprendimiento. La figura 4.13 representa el factor de difusión (calculado con flujo no

viscoso) para una cascada con deflexiones del flujo iguales a 1,25 veces el valor nominal

fijado por Howell, por lo que se corresponde con la situación de desprendimiento. Es

significativo como las curvas colapsan en torno a una recta horizontal de ordenada 0,6, valor

considerado como indicativo del inicio del desprendimiento para una gran variedad de

solideces y ángulos de salida del flujo. Expresado de otra forma, las condiciones nominales de

Howell se corresponden con un factor de difusión DF en torno a 0,45.


1. Obtención de la incidencia de referencia

Esta generalmente aceptado, en función de ciertas consideraciones teóricas, que el ángulo de

incidencia de perdida mínima es usualmente positivo cuando la curvatura del alabe es nula y

disminuye al aumentar esta, dependiendo de la relación paso/cuerda y del ángulo de calado.

La teoría indica también que la variación del ángulo de incidencia de referencia con la

curvatura, para una relación paso/cuerda y un angulo de calado dados, debe ser esencialmente

lineal, aunque este ángulo de referencia puede variar con el número de Mach y posiblemente

con el número de Reynolds del flujo.

Por lo tanto, para un ángulo de curvatura, una relación paso/cuerda y un ángulo de entrada

del flujo dado, se tiene:

iref=i0+nθ ;( sl=cte

α1=cte)Donde io es el ángulo de incidencia de referencia (perdida mínima) para un perfil sin

curvatura y n es la pendiente de la variación del ángulo de incidencia con la curvatura.

A partir de los datos obtenidos en el ensayo de cascadas de alabes de la serie NAC-65 (A10),

Lieblein establece la variación del ángulo incidencia de referencia para alabes sin curvatura,

io, en función del ángulo de entrada del flujo 1, tomando como parámetro la solidez. Los

resultados se muestran en la figura 4.14.


Por otra pare, en la figura 4.15 se representa la variación del factor de pendiente n en función

del ángulo de entrada del flujo 1 y de la solidez para alabes de la serie NACA-65


Para otras formas de alabes convencionales y otra relación de espesores tmax/l, Lieblein

propone la corrección:

i0=(ci )a (ci )t ( i0 )10

Donde.

(io)10 = incidencia de referencia para alabes no curvados de la serie 65 (NACA) y relación

tmax/l = 0,1.

(ci)t = corrección para tener en cuenta el hecho de que la relación tmax/l sea distinta del 10%.

(ci)a = corrección para tener en cuenta el hecho de disponer de alabes cuya distribución de

espesores sea diferente de los de la serie NACA-65.

a) Efecto de la forma del alabe

Alabes de línea media circular serie C

Teniendo en cuenta que el espesor del alabe en la entrada es algo mayor en la

serie C que en la serie NACA-65, el ángulo de incidencia de perdida mínima

para el perfil sin curvatura es algo mayor en la serie C que en la serie NACA-

65. Lieblein propone que para esta serie se tome arbitrariamente:

(c i )a=1,1

Por otra parte, se han realizado ensayos que confirman la aplicabilidad de los

valores de n deducidos del estudio experimental de la serie NACA-65-(A10) al

caso de la serie C. esto es además esperable teniendo en cuenta la similitud de

la línea de curvatura de la serie NACA-65(A10) con un arco de circulo.

Alabes de doble arco circular

En este tipo de alabes las dos caras del mismo tienen perfil circular. Este alabe

es mal delgado en la región de entrada que el NACA-65, por lo que el ángulo

de incidencia de perdida mínima debe ser inferior al de la serie NACA-65.

Lieblein recomienda:

(c i )a=0,7

Por la misma razón anterior, el valor de n a utilizar en este caso coincide con el

valor de n obtenido en el ensayo de la serie NACA-65.


b) Efecto de la relación de espesor máximo/cuerda (tmax/l)

De los datos disponibles del ensayo de cascadas, Lieblein establece la variación del

factor de corrección (ci)t, en función de la relación tmax/l. los resultados se muestran en

la figura 4.16.

2. Estimación de la desviación del flujo

Ya que la desviación del flujo es una expresión de la capacidad de guiado de los alabes de la

cascada, es esperable que la geometría de esta tenga una influencia capital en dicha

desviación.

De la teoría potencial se desprende que el ángulo de desviación aumenta con la curvatura y

con el ángulo de calado y disminuye cuando lo hace la relación paso/cuerda s/l.

De los resultados de ensayos de cascadas de baja velocidad, se deduce que la desviación de

referencia puede ser representada mediante una dependencia lineal con la curvatura, para una

relación paso/cuerda y un ángulo de entrada del flujo dado:

δ ref=δ ref0 +mθ


En donde:

δ ref0 = angulo de desviación de referencia para el perfil sin curvatura.

m = pendiente de la variación del ángulo de desviación de referencia con la curvatura.

Por otra parte, hay que tener en cuenta que δ ref y m son funciones de la relación paso/cuerda y

del ángulo de entrada del flujo.

A su vez, el ángulo de desviación de referencia para curvatura nula puede ser expresado:

i0=(cδ )a (cδ )t (δref0 )10

Donde:

(δref0 )10 = desviación de referencia para alabes sin curvatura de relación tmax/l =0,1.

(cδ )a= corrección de la desviación para tener en cuenta una distribución de espesores diferente

de la serie NACA-65.

(cδ )t = corrección para tener en cuenta una relación tmax/l diferente de 0,1.

El problema queda pues reducido a encontrar los valores de m y (δref0 ) como funciones de las

variables 1 y s/l.

En las figuras 4.17 y 4.18 se presentan las variaciones de los valores (δref0 )10 y de m como

funciones de s/l y de 1 obtenidos de los ensayos de cascadas.


a) Efectos de la forma del alabe

Alabes de línea media circular serie C


Utilizando un factor de corrección (cδ )a=1,1 se obtienen resultados

satisfactorios en la determinación de los valores de δ ref0 .

Los valores de m deben ser corregidos también en este caso. Dichos valores en

función de 1 y s/l se representan en la figura 4.19.

Alabes de doble arco circular

Como la serie circular difiere de la de doble arco circular únicamente en la

distribución de espesores, es razonable esperar que, como en el caso de la

incidencia, solamente sea afectada la desviación del perfil sin curvatura δ ref0 por

tanto, el factor de pendiente m, deducido para la serie C, podría ser utilizado

con este tipo de alabes.

Para corregir δ ref0 se tomara arbitrariamente δ ref

0 = 0,7

b) Efectos de la relación espesor máximo/cuerda (tmax/l)

En la figura 4.20 se presenta la variación del coeficiente (cδ )a en función del relación

tmax/l propuesta por Lieblein, que nos permite llegar a δ ref0 cuando la relación tmax/l es

diferente a 0,1, para cualquier tipo de alabe.

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