10.Turbomaquinas Uni Oviedo

10. TURBOMÁQUINAS

_________________________________________________________________________________________________________________ Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 06

1

UNIVERSIDAD DE OVIEDO Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón 3er curso Ingeniería Industrial Curso 2005-06

Mecánica de Fluidos

10. TURBOMÁQUINAS.

José González Pérez Julián Martínez de la Calle

Área de Mecánica de Fluidos

Gijón enero 2006

10. TURBOMÁQUINAS


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10. TURBOMÁQUINAS. 10.1. Definición y clasificación general. 10.2 Ecuación fundamental de turbomáquinas: Ec. de Euler. 10.3. Turbomáquinas hidráulicas. 10.4. Turbomáquinas térmicas. 10.5 Curvas características. 10.6 Problemas resueltos.

10.1.- Definición y clasificación general. 10.1.1.- Definición de Turbomáquinas. Las turbomáquinas son equipos diseñados para conseguir un intercambio energético entre un fluido (que pasa a su través de forma continua) y un eje de rotación, por medio del efecto dinámico de una o varias coronas de álabes (fijos y/o móviles). Los nombres que reciben las coronas fijas y móviles son, respectivamente, rotor (rodete, impulsor o hélice, según el tipo de máquina) y estator (voluta o carcasa, según el caso). Se diferencian de las máquinas de desplazamiento positivo en que existe continuidad entre el fluido que entra y, por tanto, el intercambio energético se produce de forma continua.

El estudio de las turbomáquinas ha progresado mucho en las últimas décadas, pasando a ser un campo tecnológico multidisciplinar y de grandes innovaciones debido al creciente interés por la investigación del flujo en el interior de los distintos equipos. En la figura 10.1 se muestra un panorama cualitativo de los campos científico-técnico que intervienen en el estudio de las turbomáquinas.

Turbomáquinas: a) Investigación b) Desarrollo c) Diseño d) Construcción e) Mantenimiento

MECÁNICA DE FLUIDOS

Ciencia de los materiales Termodinámica y transferencia de calor

Mecánica del sólido y análisis de vibraciones

Mecanización industrial

Matemáticas aplicadas Acústica

Control eléctrico Desarrollos informáticos

Figura 10.1.- Campos científico-técnicos y etapas en el estudio de las turbomáquinas.

Las variables básicas que intervienen en el estudio de turbomáquinas son también numerosas y se

pueden agrupar en las siguientes categorías: Variables geométricas (diámetros, ángulos, espesores, huelgos,...). Variables mecánicas (par, velocidad de giro, potencia en el eje, esfuerzos,...). Variables fluidodinámicas (presión, velocidad, caudal, temperatura, densidad, viscosidad,…) La definición general presentada se matizará para cada tipo de turbomáquina al presentarse la

clasificación de las mismas en el próximo apartado. En cualquier caso, se debe señalar aquí que las turbomáquinas más comunes son las bombas, los compresores, los ventiladores y las turbinas.

10. TURBOMÁQUINAS


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10.1.2.- Clasificación general de las turbomáquinas. En la figura 10.2 se muestra la clasificación general de las turbomáquinas. A continuación se detallan y especifican cada uno de los criterios y diferencias existentes. Para ello se debe tener presente el proceso global de intercambio de energía en el rodete de una turbomáquina, descrito en el apartado anterior.

Aumento de presión Bombas.Generadoras Aumento de energía potencial Tornillo de Arquímedes.

Generación de energía cinética Hélices (marinas).

Hidráulicas (Flujo incompresible)D

Receptoras

Turbomáquinas

⇒⎧⎪ ⇒⎨⎪ ⇒⎩

isminución de energía cinética Turbinas Pelton (Acción). Turbinas Kaplan (Axiales).

Disminución de presión Turbinas Francis (Centrífugas y mixtas).Turbinas de flujo cruzado (Ossberger).

⎧⎪⎪⎪

⎨⇒⎧

⎪⎧⎪

⎨ ⎪⎨⎪⎪⎪ ⎩⎩

Aumento de energía cinética Ventiladores ( P 7 kPa). Soplantes ( P 300 kPa).

Generadoras Aumento de presiónCompresores ( P 300 kPa).

Aumento de energía cinéTérmicas (Flujo compresible)

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⇒ ∆ ≤

∆ <⎧⎨ ∆ ≥⎩

tica Hélices (Aeronáutica).

Turbinas de vapor.Disminución de entalpía

Receptoras Turbinas de gas.Disminución de energía cinética Aeroturbinas.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎧ ⎧⎪⎪ ⎪⎪

⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⇒⎪ ⎩⎪⎪⎨⎪ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎨ ⎩⎪ ⎪ ⇒⎪ ⎩⎪⎩⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Figura 10.2.- Clasificación de las turbomáquinas

10.1.3.- Clasificación según la geometría. Las turbomáquinas se basan en una variación del momento cinético del fluido1 como consecuencia de la deflexión producida en el interior del rodete (que se expondrá en la segunda parte de esta lección), desde su entrada siempre axial a su salida. El intercambio energético será mayor cuanto mayor sea la deflexión de la corriente, a igualdad de otras condiciones. Existen dos tipos básicos de geometrías de turbomáquinas en función de la dirección del flujo de salida:

• Radiales (o Centrífugas): el flujo de salida es en dirección radial. • Axiales: el flujo llega y sale axialmente.

Habitualmente, se distinguen otros dos tipos de geometrías de turbomáquinas:

• Mixtas: o de flujo mixto. El flujo de salida, tiene tanto componente axial como radial. • De flujo cruzado: el flujo de salida atraviesa dos veces el rodete de la máquina.

En la figura 10.3, se representan los cuatro tipos, para la aplicación específica de ventiladores; y en la figura 10.4, se representa una típica bomba centrífuga:

1 Momento cinético, o momento de cantidad de movimiento: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

→→vmr

10. TURBOMÁQUINAS


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Figura 10.3.- Distintas geometrías de turbomáquinas (ventiladores).

Figura 10.4.- Geometría de una bomba centrífuga.

10.1.4.- Clasificación según el sentido de la transferencia de energía. El intercambio energético entre fluido y rotor, puede ser en dos sentido: MÁQUINAS GENERADORAS: en donde parte de la potencia transmitida por el eje al rotor, se utiliza en aumentar la energía específica de un determinado caudal de fluido; son máquinas que consumen potencia, y generan un aumento de la energía específica del fluido. De este tipo son las bombas, ventiladores, hélices marinas, etc. (ver figuras 10.5 y 10.6).

De flujo radial o centrífugo

De flujo mixto

De flujo axial

De flujo cruzado

)0(consumidapotenciaW

ientodimren

gz2

vpuespecíficaenergíae

fluidodelespecíficaenergíadeaumentoemásicocaudalm

m

We2

<=

=η

++ρ

+==

=∆=

η−=∆

•

•

•

•

10. TURBOMÁQUINAS


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Figura 10.5.- Bomba centrifuga Figura 10.6.- Hélice marina. Figura 10.7.- Turbina Kaplan MÁQUINAS RECEPTORAS: en donde el caudal de fluido cede parte de su energía especifica al rotor, lo que provoca una salida de potencia a través del eje; son máquinas que desarrollan potencia, y son receptoras de la energía del fluido. De este tipo son las turbinas, tanto hidráulicas como eólicas (figuras 10.7 y 10.9).

)0(dadesarrollapotenciaW

orendimient

gz2

vpuespecíficaenergíae

fluido del específica energían disminucióemásicocaudalm

emW2

>=

=η

++ρ

+==

=∆−=

∆η−=

•

•

••

10.1.5.- Clasificación según la componente de energía fluidodinámica modificada. La energía especifica, es la energía por unidad de masa, y tiene cuatro componentes (específicas, por unidad de masa):

gz2

vpue

2++

ρ+=

energía especifica = energía interna (û) + trabajo de flujo (p/ρ) + energía cinética (v2/2) + energía potencial (gz) Variación de energía potencial. Un ejemplo es el tornillo de Arquímedes: se trata de un tornillo dentro de una carcasa; cuando se gira en el sentido adecuado, arrastra el fluido en dirección axial. Si se inclina, lo único que varía es la cota geodésica. La presión es la atmosférica y no hay variación de velocidad. Se usaba para elevar aguas; actualmente sólo para aguas residuales y otras emulsiones (figura 10.8).

Figura 10.8.- Ejemplo de tornillo de Arquímedes.

10. TURBOMÁQUINAS


6

Variación de energía cinética. Un ejemplo es una turbina eólica, en la que se aprovecha parte de la energía cinética del viento, y no varía la presión (presión atmosférica) (ver figuras 10.9 y 10.10). A este tipo de máquinas se les llama máquinas de acción pura. Otro ejemplo es un ventilador de mesa: aspira aire en reposo y lo impulsa a una determinada velocidad sin variación de presión. En una turbina Pelton el chorro de agua a presión atmosférica incide sobre las cucharas (álabes), pudiendo conseguir que la velocidad absoluta de salida sea nula. Otro ejemplo de este tipo de máquinas son las hélices de aviación y las marinas.

Figura 10.9.- Turbina eólica o aeroturbina. Figura 10.10.- Diámetro en función de la potencia de una aeroturbina Variación de presión (entalpía si no hay variación de energía interna). En estas máquinas únicamente varía el término de presión, o bien las otras variaciones son despreciables frente a la de presión. Es lo que ocurre en bombas centrífugas: las variaciones de cota geodésica son muy pequeñas, y aunque suele ocurrir que el diámetro en el conducto de impulsión es diferente del de aspiración y. por tanto, la energía cinética varía, esta variación es despreciable frente a una altura de elevación que puede ser de varios metros. A este tipo de máquinas se les llama máquinas de reacción. Otro ejemplo de este tipo de máquinas sería una turbina Francis: el fluido llega a la turbina con una gran presión, incide sobre el rodete y disminuye la presión (ver figura 10.11).

Figura 10.11.- Rodete de turbina Francis. Para cuantificar la proporción entre acción y reacción, se define el grado de reacción como el cociente entre la variación de entalpía y el de energía total. Su valor esta habitualmente comprendido entre 0 y 1 (aunque existen máquinas con un grado de reacción mayor de la unidad). Si es 0, será una máquina de acción pura. Si es 1, se tiene una máquina de reacción pura.

( ) ( )

( ) ( )gz2/v0

eh

REACCIÓNDEMÁQUINAS

1

zv

gz2/ve

0h

ACCIÓNDEMÁQUINAS

0

∆e∆h = χ

2

2

∆+∆=

∆=∆⇐⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=χ

∆∆

∆+∆=∆

=∆

⇐⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=χ

10. TURBOMÁQUINAS


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10.1.6.- Clasificación según la variación de densidad del fluido. Si el flujo es compresible, hay variación de densidad y también de temperatura. Si el flujo es incompresible, la densidad permanece constante; o bien con un criterio menos estricto, cuando las variaciones de densidad son menores que las variaciones de velocidad, es decir cuando el número de Mach es pequeño (Ma<0,3). 10.1.7.- Clasificación según el número de etapas. Las de una sola etapa poseen un único rodete (figura 10.12), y las multietapa poseen varios (figura 10.13).

Figura 10.12.- Un sola etapa (turbina axial). Figura 10.13.- Multietapa (compresor axial).

10.2.- Ecuación fundamental de las Turbomáquinas: Ec. de Euler. Para el estudio energético del flujo a través de una turbomáquina (figura 10.14) se aplican las ecuaciones de conservación en forma integral al dominio de estudio entre una sección de entrada al rodete y otra de salida del rodete:

Figura 10.14.- Secciones de entrada y salida (1 y 2) del flujo a través de una turbomáquina.

Si se considera la hipótesis de fluido ideal (coeficientes de transporte nulos: viscosidad, µ = 0 y conductividad térmica, k = 0) y que la máquina está perfectamente equilibrada., el momento de giro del eje tiene sólo una componente principal en la dirección de rotación (dirección axial), la ecuación vectorial del momento cinético para flujo estacionario, se puede reducir a una ecuación escalar en dicha dirección, cuya expresión es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×ρ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×ρ=−

→→→→→→→→

∫∫∫∫ dAvvrdAvvrM raxialE

raxialS

eje

ω

1 2

Cubo

Punta

Eje

V2

V 1

10. TURBOMÁQUINAS


8

v1

vr1

vz1 vt

dA

z

RP

RC

R1

vt1

ur

ut

Mz

Mt

Mr

uz

Figura 10.15. Momentos sobre la turbomáquinas Figura 10.16. Flujo elemental de entrada a través de un elemento de área. Dado que el momento en el eje sólo tiene componente en la dirección del propio eje (Mz en dirección axial), será esa la única dirección considerada en el intercambio energético del rodete. Desde luego, existirán esfuerzos y momentos en las otras dos direcciones (radial y tangencial), pero serán mucho menores que los correspondiente a la dirección z (figura 10.15). Aunque el efecto de dichos esfuerzos en las otras direcciones pudiera constituir fuente de problemas en los apoyos, no deberían tener valores comparables a los del par en la dirección axial. En la entrada, la sección de paso, es la corona circular entre el cubo (RC) y la punta (RP) (figura 10.16). En coordenadas cilíndricas, la integral de variación temporal del momento cinético en la sección de entrada es:

( )( ) ( )1t11t1E

11axial

11E

vRmdQvRdAvvr•

−=−ρ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×ρ ∫∫∫∫

→→→→

En flujo estacionario, el caudal másico, debe ser igual en la entrada y en la salida:

∫∫∫∫∫∫∫∫ ρ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ρ=ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ρ−=

→→→→•

SS2

EE1 dQdAvdQdAvm

El radio medio de entrada por la velocidad tangencial media de entrada es:

( )( )

•

∫∫ρ

=

m

dQvRvR

1t1E

1t1

En cilíndricas, el producto vectorial del vector de posición radial y la velocidad de entrada es:

⇒=

++=→→

→→→→

r11

z1zt1tr1r1

uRr

uvuvuvv →→→

→→→

→→++==× z1t1t1z1r

1z1t1r

1

ztr

11 uvRuvRu0vvv00R

uuuvr

Con lo que la componente axial es: 1t1axial

11 vRvr =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

→→

10. TURBOMÁQUINAS


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v w

uvt

vn α β

El producto escalar del vector velocidad por el vector área elemental, es menos el caudal elemental:

dQdAvudA·kvuvuvdA·v 1zz1zt1tr1r1 −=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

→→→→→→

De forma totalmente análoga, se obtienen expresiones para la sección de salida:

( )( ) ( )2t22t2S

22axial

22S

vRmdQvRdAvvr•→→→→

=−ρ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×ρ ∫∫∫∫

El radio medio de salida por la velocidad tangencial media de salida es:

( )( )

•

∫∫ρ

=m

dQv2RvR

2tS

2t2

Con todo el momento provocado por el paso del flujo por el rodete es:

( )1t12t2eje vRvRmM −=−•

. Por simplificar la expresión anterior, habitualmente se encuentra sin los símbolos del promedio, y el caudal másico se expresa por la densidad media y el caudal volumétrico:

( )1t12t2eje vRvRQM −ρ=−

La potencia en el eje será el producto de la velocidad de giro por el momento sobre el eje:

( ) ( ) ( )1t12t21t12t21t12t2 v·uv·uQv·Rv·RQv·Rv·RQMW −ρ=ω−ωρ=−ρ⋅ω=⋅ω−=−•

Quedando, la denominada ecuación de Euler de las turbomáquinas:

( )1t12t2 vuvuQW −ρ=−•

≡ 1t12t2 vuvuw −=−

En donde: u1 es la velocidad tangencial del radio medio del borde de ataque o de entrada del álabe. u2 es la velocidad tangencial del radio medio del borde de estela o de salida del álabe. vt1 es la velocidad tangencial del flujo en el radio medio del borde de ataque. vt2 es la velocidad tangencial del flujo en el radio medio del borde de estela. La componente tangencial, que hemos denotado por vt; se suele denotar también, en componente de la velocidad tangencial de un punto del álabe (u=ωr); es decir por vu. Esta notación es muy útil, en la representación de los triángulos de velocidades (tanto en la entrada como en la salida):

velocidad absoluta = velocidad tangencial + velocidad relativa (figura 10.17): →→→

+= wuv Las componentes tangenciales de la velocidad absoluta, de entrada y de salida: vu1 y vu2 son las que aparecen en la Ec. de Euler. Las componentes normales, vn1 y vn2, son las que determinan el caudal volumétrico que atraviesa un determinado elemento de área. Figura 10.17.- Triángulo de velocidades

10. TURBOMÁQUINAS


10

La justificación del signo negativo en la Ec. de Euler, viene dada por el criterio de signos termodinámico: potencia aportada a la turbomáquina negativa, y potencia desarrollada por la turbomáquina positiva. En las turbomáquinas generadoras, se aporta potencia al eje, con la que se genera un aumento de la energía específica del fluido; en las turbomáquinas receptoras, el eje es el receptor de la disminución de la energía específica del fluido:

GENERADORA: e2 > e1 : •

•−

+=m

Wee 12 RECEPTORA: e1 > e2 : ( )21 eemW −=••

La potencia específica viene dada por la variación de la energía específica del fluido:

( )12 eemW −=−••

⇒ ( )12eje eem

Ww −=−

=−•

•

⇒ ( )12eje eew −=−

Recordamos que la energía específica es: gz2

vpue

2++

ρ+=

Si en la energía especifica, no consideramos la variación de energía potencial, expresamos la suma de la energía interna y del trabajo de flujo, como la entalpía específica: h = û+p/ρ; y se define entalpía de estancamiento, como suma de la entalpía y de la energía interna (específicas);

ρ+=

puh 2

vpuh

2

0 +ρ

+=

Queda como potencia específica:

( ) 0102

21

1

11

22

2

2212eje hh

2vp

u2

vpueew −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ+=−=− ( ) 00102eje hhhw ∆=−=−

Es decir, la potencia específica viene determinada por la variación de la entalpía de estancamiento del fluido al atravesar la turbomáquina. La potencia específica, también se puede obtener a partir de la Ec. de Euler de turbomáquinas:

( )1t12t2

1t12t2eje vuvu

QvuvuQ

m

Ww −=ρ

−ρ=

−=−

•

•

Con lo que la variación de entalpía específica de estancamiento, viene dada por la variación del producto de la velocidad tangencial del álabe y de la componente tangencial de la velocidad absoluta del fluido:

1t12t20 vuvuh −=∆

m

m e1

W(<0)

e2

m

m e1

W(>0)

e2

10. TURBOMÁQUINAS


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v w

uvn

α β

vt

10.3.- Turbomáquinas hidráulicas. La variación de energía del fluido por unidad de peso, tiene dimensiones de longitud y se denomina altura o carga; su expresión para una turbomáquina hidráulica, en donde se puede despreciar la variación de energía interna, y considerar la densidad constante, viene dada por:

( ) zg2v

gpgz

2vpu

g1

ge

mgem

mgEH

22∆+

∆+

ρ∆

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ρ+∆=

∆=

∆=

∆=

Si se despreciar las variaciones de energía cinética y potencial, frente al trabajo de flujo, se tiene que la altura viene determinada por la variación de presión:

gpH

ρ∆

≅

La variación de energía especifica (∆e) viene dada por la potencia transmitida entre la turbomáquina hidráulica y el fluido (Ph):

gHQP

e h =ρ−

=∆ ≡ HgQPh ρ=−

La altura, también se puede expresar a partir de la Ec. de Euler:

( )( )g

vuvugQ

vuvuQgQP

H 1t12t21t12t2h −=

ρ−ρ

=ρ−

=

Esta última expresión, se puede expresar en función de la velocidad absoluta y relativa; a partir del triángulo de velocidades:

( )2t

22t

2 vuwvv −−=− ≡ ( ) t2t

222t

22t

2 vu2vuwvuwvv +−−=−−=−

2wuvvu

222

t−+

=

La altura H, se puede expresar por las siguientes ecuaciones:

( ) ( )g2

wuvwuvg

vuvuH

21

21

21

22

22

221t12t2 −+−−+

=−

=

( ) ( )12

21

2212

2zz

g2vv

gpp

zg2v

gp

H −+−

+ρ−

=∆+∆

+ρ∆

=

Igualándolas: ( ) ( ) ( )12

21

2212

21

21

21

22

22

22 zz

g2vv

gpp

g2wuvwuv

−+−

+ρ−

=−+−−+

2

ugz

2wp

2u

gz2

wp 21

1

211

22

2

222 −++

ρ=−++

ρ ⇒ cte

2ugz

2wp 22

=−++ρ

Al expresar la velocidad tangencial u = ωr, se obtiene la Ec. de Bernoulli en campo centrífugo:

cter21gzw

21p 222 =ωρ−ρ+ρ+

10. TURBOMÁQUINAS


12

10.3.1. BOMBA CENTRÍFUGA: TURBOMÁQUINA GENERADORA DE FLUJO RADIAL Consideremos una bomba centrífuga, en donde el flujo en el rodete no tiene componente axial, ni en la entrada del flujo por el borde de ataque de los álabes, ni en la salida por el borde de estela: vz1 = vz2; además es habitual que el flujo entre con dirección exclusivamente radial sin componente tangencial: vt1 = 0. En la figura 10.18., se representa un rodete de una bomba centrífuga, de envergadura constante: en la perspectiva se visualizan dos de los ocho álabes; y en la vista del corte con un plano perpendicular al eje de giro a envergadura media, se tiene los perfiles hidrodinámicos de cada uno de los ocho álabes, y sus correspondientes triángulos de velocidades: Figura 10.18.- Rodete de una bomba centrífuga, con 8 álabes curvadas hacía atrás. En el triángulo de entrada, la velocidad absoluta tiene componente exclusivamente radial (= normal), con lo que la componente tangencial es nula. Figura 10.19.- Triángulos de velocidades de entrada (1) y de salida (2) en un álabe de bomba centrifuga El caudal viene determinado por el ángulo de entrada del álabe (β1=ángulo de la velocidad relativa con la dirección tangencial) y su velocidad tangencial (u1 = ωR1):

( ) ( )( )11111n11 tgubR2vbR2Q βπ=π=

La potencia específica, viene determinada por el producto de las velocidades tangenciales de salida: del rodete y del fluido:

2t21t12t2 vuvuvuw =−=−

2t2

2n2 vu

vtg

−=β ⇒

2

2n22t tg

vuv

β−= ⇒

2

2222t tg

bR2Q

uvβ

π−=

β1 α1=90º

w1 v1

u1

vn1

β2 α2

w2 v2

u2

vn2

vt2

10. TURBOMÁQUINAS


13

β2<90º β2>90º

β2=90º

w2

w2 w2

curvado átras

radial curvado adelante

ωR

ωR

w1

w1

ÁLABE CURVADO

ATRAS

ÁLABE CURVADO ADELANTE

β2<90º

β2>90º

Expresando la energía intercambiada, por unidad de peso, se tiene la altura de elevación:

gtgbR2

Quu

gvu

gw

gm/W

mgWH 222

222t2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛βπ

−

==−

=−

=−

= ⇒ Qtg

1bR2g

ug

uH

222

222

βπ−=

La altura de elevación es proporcional al caudal, su valor a caudal nulo es u2

2/g, y la pendiente es positiva, nula o negativa en función del valor del ángulo de salida del álabe β2. Cuando β2 = 90º, se tiene un álabe radial, con β2 > 90º, el álabe esta curvada adelante, y con β2 < 90º, el álabe esta curvado atrás. Figura 10.20.- Efecto del ángulo de salida del álabe, sobre la curva característica H vs Q. El utilizar un determinado ángulo de salida del álabe, depende de los efectos disipativos generados por la estela turbulenta que se inicia en el punto de desprendimiento localizado en la cara de succión, y la resistencia al giro provocada por el reparto de presiones entre la cara de presión y de succión: En un álabe curvado adelante, la velocidad tangencial del álabe va en sentido contrario al crecimiento de la estela, con lo que ésta ocupa gran parte del volumen entre álabes; además el reparto de presiones entre la cara de presión y de succión, genera una sustentación en sentido contrario al de giro, con lo que el momento resistente del giro de los álabes es alto. En un álabe curvado atrás, la velocidad tangencial del álabe va en el mismo sentido que al crecimiento de la estela, con lo que ésta queda “comprimida” en la cara de succión y ocupa muy poco volumen entre álabes; además el reparto de presiones entre la cara de presión y de succión, genera una sustentación en el mismo al de giro, con lo que el momento resistente del giro de los álabes es bajo. Figura 10.21.- Efectos disipativos en función del ángulo de salida del álabe.

H (m)

Q (m3/s)

gu

H22= β2 = 90º

β2 > 90º

β2 < 90º

10. TURBOMÁQUINAS


14

w1

u1

v1

w1

u1 v1

w1

u1

v1

Q < Qnominal

Q = Qnominal

α < 0º α > 0º α = 0º

Q > Qnominal

H (m)

Q (m3/s) Qmáximo Q = 0

η (%)

P (kW)

Qnominal

ηmáximo

Hmáxima

Otra consideración importante, es que solo para un determinado valor del caudal, que se denomina caudal nominal, el flujo sobre el borde de ataque entra según la dirección de la cuerda (prácticamente a ángulo de ataque nulo). Si el caudal es mayor que el nominal, el ángulo de ataque es positivo y aumentando con el caudal: el flujo relativo no entra tangencial al álabe, con lo que el punto de separación de la capa límite (álabe curvado atrás) se va aproximando al borde de ataque, y la estela turbulenta es muy amplia. Además, las velocidades aumentan, y con ello puede haber disminuciones locales de presión, con lo que se pueden tener efectos de cavitación. Si el caudal es menor que el nominal, el ángulo de ataque es negativo y aumentando (en modulo) con la disminución de caudal: el flujo relativo no entra tangencial al álabe, con lo que el punto de estancamiento se sitúa en la cara de succión, lo que provoca una sustentación negativa del perfil, y con ello un aumento de la resistencia a su giro. Se genera una amplia estela en la cara de presión, con una alta verticidad en sentido contrario al giro de la turbomáquina: es el denominad desprendimiento rotativo. Figura 10.22.- Efectos disipativos en función del caudal ( ángulo de ángulo de ataque) . Las consideraciones anteriores, hacen que tanto a altos como a bajos caudales, la altura de elevación sea menor que la correspondiente a la evolución teórica lineal, con lo que se tienen curvas características, con un rendimiento máximo en el caudal nominal, y una dependencia cuadrática de la altura con el caudal. Figura 10.23.- Curvas características de una bomba centrífuga

10. TURBOMÁQUINAS


15

β2

u2 v2

β1 v1 u1

w1 α1

α1

w2 α2

R1

R2

RD

β1 α1

w1

v1

u1

vn1

vt1

β2 α2

w2

v2

u2

vn2

vt2

10.3.2. TURBINA CENTRIFUGA FRANCIS: TURBOMÁQUINA RECEPTORA DE FLUJO RADIAL. En una turbina centrífuga tipo Francis2,de flujo totalmente radial, los álabes están situados de tal forma, que el borde de ataque esta a un radio constante (R1) y a menor radio (R2) se sitúa el borde de estela. Para que el flujo entre tangencialmente a la curvatura del álabe en el borde de ataque, es necesario disponer, aguas arriba, un directriz; que además para que se cumpla la condición de entrada sin choque, puede variar su calado (ángulo respecto a la dirección tangencial) para cada caudal: es lo que se denomina turbomáquina de geometría variable. En la figura 10.24. se representa el corte del rotor con un plano perpendicular al eje a envergadura media, en donde el álabe directriz guía el flujo hacia el borde de ataque del álabe del rotor:

Figura 10.24.- directriz y móvil, de una turbina radial

La potencia desarrollada viene dada por la Ec. de Euler para turbomáquinas, en donde las componentes tangenciales se expresan en función de las velocidades absolutas y sus correspondientes ángulos

( ) ( )222111t22t11turbina cosvucosvuQvuvuQP α−αρ=−ρ=

Las velocidades absolutas, vienen determinadas por el caudal y sus ángulos:

1

11

1

1n1 sen

)bR2/(Qsen

vv

απ

=α

= 2

22

2

2n2 sen

)bR2/(Qsen

vv

απ

=α

=

Finalmente, se puede obtener la siguiente expresión para la potencia desarrollada por la turbina:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α

−α

ρωπ

=2211

2turbina tgb

1tgb1Q

21P

2 Primera turbina centrifuga eficiente, construida en 1849 por James B. Francis.

10. TURBOMÁQUINAS


16

2 1 2 1

Q

vn1 vt1

w1

u1

vt2

u2

vn2

w2 R

10.3.3. TURBINA KAPLAN: TURBOMÁQUINA RECEPTORA DE FLUJO AXIAL. En una turbina Kaplan, el flujo en el rodete no tiene componente radial, ni en la entrada del flujo por el borde de ataque de los álabes, ni en la salida por el borde de estela: vr1 = vr2. Los s se sitúan sobre “el cubo”, concéntrico con el eje de giro: el álabe se extiende desde la raíz (unión con el cubo) hasta un radio máximo de la propia punta del . Consideraremos la intersección de todos los álabes con un cilindro concéntrico con el eje de giro, de radio igual a un radio medio R, entra la raíz y la punta; lo que da lugar a una cascada de perfiles hidrodinámicos, sobre la que se representan los triángulos de velocidades:

Figura 10.25.- Corona de álabes móviles en una turbina axial.

La potencia isentrópica desarrollada por la turbina Kaplan es:

( ) ( )2t1t2t21t1Kaplan vvQuvuvuQP −ρ=−ρ=

Las velocidades tangenciales, se expresan en función de las velocidades normales:

( ) uvtg

1tg

1tgv

utgv

vv

tgv

uv

tgv

v

n212

n

1

n2t1t

2

n2t

1

n1t

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

+α

=β

+−α

=−

β−=

α=

Estamos considerando una posición radial media, y que el área de paso tanto en la entrada como en la salida, es la corona perpendicular al eje, que se extiende desde el radio del cubo (o de la raíz del álabe) hasta el radio de la punta del álabe:

Las velocidades normales, son iguales, al serlo las secciones de paso: ( )2raiz

2punta

nRR

Qv−π

=

Finalmente, la potencia desarrollada es: ( )

2

21

212R

2p

2Kaplan Qu

tgtgtgtg

RR

uQP ρ−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β+αβα

−πρ=

Para que la velocidad relativa en la entrada siga la dirección de la cuerda del álabe de rotor, para diferentes caudales, se pueden tener dos sistemas:

- turbomáquinas de geometría variable, en donde se dispone aguas arriba, una corona de álabes directrices, que en función del caudal, modifican su ángulo de salida, al pivotar cada uno de los álabes directrices, para guiar el flujo de entrada en dirección a la cuerda del correspondiente álabe del rotor.

- rotor con álabes de paso controlable, en donde el calado o ángulo de paso de los álabes del rotor, se

modifica en función del caudal, al pivotar sobre el anclaje de la raíz en el cubo, para recibir el flujo de entrada, en dirección a su correspondiente cuerda.

10. TURBOMÁQUINAS


17

v1

w1

u1

v1

w1

u1

CORONA ÁLABES FIJOS DISMINUCIÓN

CALADO

CORONA DE S

MOVILES

v1

w1

u1

v1

w1

u1

v1

w1

u1

α1 < α1N

Q=QNOMINAL Q<QNOMINAL Q>QNOMINAL

α1 = α1N α1 > α1N

v1

w1

u1 α1 = α1N

CORONA DE S

MOVILESCORONA

ÁLABES FIJOS CALADO

NOMINAL

CORONA DE S

MOVILESCORONA

ÁLABES FIJOS AUMENTO CALADO

v1

w1

u1

Q=QNOMINAL Q<QNOMINAL Q>QNOMINAL

α1 = α1N

v1

w1

u1

v1

w1

u1

CORONA DE ÁLABES MOVILES

CALADO CONTROLABLE DISMINUCION DEL

CALADO

α1 < α1N

v1

w1

u1

α1 > α1N

v1

w1

u1 v1

w1

u1


CALADO CONTROLABLE AUMENTO

DEL CALADO

CORONA DE ÁLABES MOVILES CALADO

NOMINAL

Figura 10.26.- Calado de los álabes fijos de la corona directriz, en función del caudal.

Figura 10.27.- Calado de los álabes móviles del rotor, en función del caudal.

10. TURBOMÁQUINAS


18

v1

w1

u1

β1 Radio Medio


ALTO CALADO EN LA RAÍZ

CORONA DE ÁLABESS MOVILES

BAJO CALADO EN LA PUNTA


CALADO MEDIO

v1

w1

u1

β1RAÍZ

v1

w1

u1

β1PUNTA

En cuanto al ángulo de calado o de paso del álabe, se define como el ángulo de la cuerda del perfil con la dirección tangencial: así el ángulo de calado de la raíz es relativamente alto, y prácticamente nulo en la punta. La disminución del ángulo de calado desde la raíz a la punta, viene determinado para conseguir que desde la raíz a la punta, el flujo de entrada lo haga en haga por la dirección marcada por la cuerda del álabe del rotor. Consideraremos que en un álabe del rotor, la velocidad normal de entrada del flujo es prácticamente constante desde la raíz a la punta (para un determinado caudal); en cambio la velocidad tangencial del flujo va aumentando desde la raíz a la punta, siguiendo el aumento de la propia velocidad de arrastre del álabe, que va aumentando desde la raíz (menor radio) a la punta (mayor radio). Con lo que para que en cada en cada posición radial, el flujo de entrada relativo entre según la dirección del borde de ataque, éste tiene que ir disminuyendo su ángulo de calado:

Figura 10.28.- Calado de las secciones radiales de los álabes móviles del rotor. 10.3.4. TURBINA DE ACCIÓN PELTON: TURBOMÁQUINA RECEPTORA DE ACCIÓN PURA. El grado de reacción de una turbomáquina viene definido por la relación entre la variación de entalpía específica y la variación de energía específica del flujo al atravesar la máquinas:

( )( ) ( ) zg2/v/pu

/pueh

2 ∆+∆+ρ∆+∆

ρ∆+∆=

∆∆

=χ

En el caso de turbomáquinas hidráulicas, es despreciable la variación de energía interna, quedando:

( )( ) ( ) zg2/v/pu

/peh

2hidráulica∆+∆+ρ∆+∆

ρ∆=

∆∆

=χ

En el caso de las turbinas Pelton3, los álabes reciben un chorro de alta velocidad y a presión atmosférica; con lo que el flujo esta a presión constante, y por tanto su grado de reacción es nulo, denominándose turbinas de acción. El modulo de la velocidad relativa de entrada del chorro al álabe (w1 = v1-u), se mantiene constante en su interacción con el chorro (proceso isentrópico sin efectos disipativos), con lo que el modulo de la velocidad

3 Primera turbina de acción eficiente, diseñada en 1869 por Lester A. Pelton.

10. TURBOMÁQUINAS


19

R

v1 u

v1

u

w2

w2

β2

v1

w1 u1

u

w2

v2 w2

v2 β2

β2

vt2

relativa de salida será igual. El triángulo de velocidades en la entrada queda reducido a tres vectores tangenciales, y en el triángulo de velocidades en la salida, el modulo de la velocidad relativa es igual al de la entrada, y su dirección viene marcada por el ángulo de salida del álabe. El álabe se diseña de tal forma que el chorro incidente se divide en dos chorros simétricos horizontales, con lo que se compensan los esfuerzos en el álabe en dirección axial.

Figura 10.29.- Rueda de álabes de una turbina Pelton. Se tienen dos triángulos de velocidades de salida simétricos, uno por cada uno de los lados por los que salen los chorros, cada uno con la mitad del caudal de entrada. El trabajo específico viene dado por la Ec. de Euler de turbomáquinas:

( ) ( ) ( ) ( )t2t12t22t21t1turbina vvQuuv2Quv

2QuvQP −ρ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ρ+ρ−ρ=

velocidad tangencial absoluta del chorro en la entrada: j11t vvv == (velocidad del chorro: vj “jet”) velocidad tangencial absoluta de cada chorro de salida:

( ) ( ) 2j22222t cosuvucoswuº180coswuv β−+=β+=β−−=

Con lo que la potencia isentrópica desarrollada por la turbina Pelton es:

( )( )( ) ( )( )2j2jjturbina cos1uvQucosuvuvQuP β−−ρ=β−+−ρ=

Si se considera un solo , el caudal que le llega es: Q = Aj(vj-u), con lo que la potencia será:

( ) ( )( ) ( ) ( )2j2j2jjjálabe uvucos1Acos1uvuuvAP −β−ρ=β−−−ρ=

10. TURBOMÁQUINAS


20

Que tiene un máximo, para u = vj /3; es decir, cuando la velocidad tangencial del es un tercio de la del chorro. No obstante, en una turbina Pelton real, con un determinado número de s, prácticamente todo el caudal del chorro (Q = Ajvj) es recogido por los álabes; con lo que la potencia será:

( )( ) ( ) ( )2jj2j2jjjálabe uvuvcos1Acos1uvuvAP −β−ρ=β−−ρ=

Que tiene un máximo, para u = vj/2; es decir, cuando la velocidad tangencial de cada es la mitad que la del chorro. En cuanto al ángulo de salida del , se tiene potencia máxima, con β2 = 180º, es decir, cuando los chorros de salida, saliendo en dirección del chorro de entrada y sentido contrario; no obstante, las posibles interferencias de los chorros de salida con el chorro de entrada, obliga a trabajar con ángulos menores, del orden de β2 = 165º; lo que lleva a potencias ligeramente inferiores, del orden de (1-cos165º)/(1-con180º) = 0,983. 10.3.5. VELOCIDAD ESPECÍFICA: PARÁMETROS ADIMENSIONALES DE LAS TURBOMÁQUINAS: Los tres tipos de turbinas hidráulicas anteriores: Pelton, Francis y Kaplan y Pelton, se distinguen en la relación caudal / altura: así las turbinas de acción pura (Pelton) mueven poco caudal con mucha altura, en cambio las turbinas de reacción de flujo axial (Kaplan) mueven mucho caudal con poca altura. Algo parecido ocurre en cuanto a las bombas: en las centrífuga, el caudal es bajo y la altura de elevación alta; en cambio en las bombas axiales, el caudal es alto y la altura de elevación es baja. La morfología de las turbomáquinas (axiales, radiales o mixtas), viene determinada por un parámetro adimensional que es independiente del tamaño de la máquina: es la denominada velocidad específica; y viene definido a partir de los parámetros adimensionales característicos de las turbomáquinas4. El parámetro adimensional del aumento de energía especifica del fluido, se denomina coeficiente de altura, y determina que para una misma turbomáquina generadora, si la velocidad de giro se duplica, la altura de elevación se cuadruplica; y que la altura depende del cuadrado del tamaño del rodete.

22HD

gHCω

=

El parámetro adimensional de la potencia consumida, se denomina coeficiente de potencia, y determina que la potencia depende del cubo de la velocidad de giro y de la quinta potencia del tamaño del rodete.

53PD

PCρω

=

El parámetro adimensional del caudal, se denomina coeficiente de caudal, y determina que el caudal aumenta linealmente con la velocidad, y cúbicamente con el tamaño.

3QDQC

ω=

La velocidad específica Ns es un parámetro adimensional, que se obtiene de los anteriores, que no depende del tamaño de la máquina, sino de su morfología. Para bombas y en general para turbomáquinas generadoras, se define velocidad especifica por la relación entre los parámetros adimensionales (CQ)1/2 / (CH)3/4. Para turbinas hidráulicas y en general para turbomáquinas receptoras, se define velocidad específica por la relación entre los parámetros adimensionales (CP)1/2 / (CH)5/4:

4/3

2/1

SB)gH(

QN ω= ( )

4/3

2/1

ST)gH(

/PN ρω=

4 Análisis dimensional a partir del teorema de Buckingham.

10. TURBOMÁQUINAS


21

Es práctica habitual, no incluir la gravedad en los cálculos de la velocidad específica, y expresar la velocidad en rpm; así para bombas, se trabaja con las siguientes expresiones de la velocidad específica, según se utilice el sistema técnico europeo o inglés:

( )4/3

2/13

SB))m(H(

s/m(Q)rpm(NN = ( )

4/3

2/1

SB))pies(H(

nutogalones/mi(Q)rpm(NN =

Figura 10.30.- Clasificación de las bombas, en función de su velocidad característica.

10.4.- Turbomáquinas térmicas.

ANÁLISIS ENERGÉTICO: en el análisis energético de una turbomáquina, se ha obtenido que la potencia específica (por unidad de caudal másico), viene determinada por la variación de entalpía de estancamiento:

( ) 00102 hhhw ∆=−=−

En donde la entalpía específica de estancamiento, viene determinada por la suma de la entalpía específica y la energía cinética específica: 2

21

0 vhh += Utilizaremos el diagrama h vs s, entalpía-entropía, para la representación de los cambios de estado del fluido en un determinado proceso. En concreto, se utilizan los diagramas h-s para estudiar los procesos de compresión (ver figura 10.31) y expansión (ver figura 10.32):

Figura 10.31.- Proceso de COMPRESIÓN Figura 10.32.- Proceso de EXPANSIÓN

h (J/kgK)

s (J/kgK)

isobara p2

isobara p1

2

2s

1

h2

h2s

h1

s1 s2

h (J/kgK)

s (J/kgK)

isobara p1

isobara p2

2

1

2s

h2 h2s

h1

s1 s2

CENTRÍFUGAS FLUJO MIXTO AXIALES

NSB = 10 20 40 80 100 300

NSB = 500 1000 2000 4000 5000 15000 ( )( )( ) 4/3

2/1

ftmin/galrpm

( )( )( ) 4/3

2/13

m/smrpm

10. TURBOMÁQUINAS


22

En ambos diagramas se muestra la comparación del proceso real (evolución de 1 a 2) con el equivalente proceso isentrópico (evolución de 1 a 2s). Utilizando estas figuras se definen los rendimientos isentrópicos: de un proceso de compresión y de un proceso de expansión:

21

2s1SC hh

hhη

−−

= 2s1

21SE hh

hhη

−−

=

En el intercambio energético en una turbomáquina, se debe considerar la entalpía de estancamiento; para lo que se modifican los diagramas mostrados las isobaras de las presiones de estancamiento.

Figura 10.33.- Proceso de COMPRESIÓN Figura 10.34.- Proceso de EXPANSIÓN con entalpías de estancamiento ∆h0 >0 con entalpías de estancamiento ∆h0 <0

A continuación se va a expresar el trabajo específico en el eje en función de los rendimientos isentrópicos, para procesos de compresión y de expansión:

12

12s

0102

0102sSC hh

hhhhhh

η−−

=−−

= 2s1

21

02s01

0201SE hh

hhhhhh

η−−

=−−

=

( )SC

01 02sCOMPRESIÓNeje η

h hw−

= ( ) ( ) SE02s01EXPANSIÓNeje ηhhw −=

Lógicamente, según el criterio de signos termodinámico, el trabajo en el eje resulta negativo en el caso de la compresión y positivo en el de la expansión. En relación con los diagramas entálpicos, una definición alternativa del grado de reacción sería el cociente entre la variación de entalpía y la variación de entalpía de estancamiento, es decir:

0102

1 2

hhh hχ

−−

=

10.5.- Curvas características. Es práctica común en turbomáquinas trabajar con la variable altura de elevación, derivada de la variación de entalpía entre la entrada y la salida, que se calcula según la expresión:

( )

ghh H 0201 −

=

Que tiene dimensiones de longitud. Precisamente el tener dimensiones de longitud (longitud de columna del fluido que atraviesa la máquina) le hace ser especialmente idónea para el estudio cuando se tiene flujo incompresible.

h (J/kgK)

s (J/kgK)

p2

p12

2s

1h1

s1 s2

p01

p02

01

02s

02

h01

h2s

h02s

h2

h02

∆h0=h02-h01

h (J/kgK)

s (J/kgK)

p1

p21

2s

2h2

s1 s2

p02

p01

02

02s

01

h02

h2s

h02s

h1

h01

∆h0=h02-h01

10. TURBOMÁQUINAS


23

Por otro lado, esta altura se corresponde con un cambio en la energía interna, cinética y de presión del fluido. En ausencia de las dos primeras o si éstas tienen un bajo valor relativo, se puede hablar de variación de la presión del fluido, que es una variable fácilmente medible en secciones aguas arriba y aguas debajo de cualquier máquina. La altura que proporciona una turbomáquina depende del flujo másico que atraviesa la máquina. En la figura 10.35 se muestra un ejemplo típico de curva de altura de elevación frente al flujo másico, para una determinada velocidad de rotación. Figura 10.35.- Curva característica de una turbomáquina: altura elevación vs caudal másico

En particular, la respuesta funcional de una turbomáquina de flujo incompresible viene caracterizada por la

energía que se intercambia por unidad de peso del fluido, que tiene dimensiones de longitud, y que ya hemos definido como carga o altura de elevación H. Dicha altura es función del caudal circulante y de la velocidad de giro, y viene representa en la curva característica y que, normalmente, se expresa mediante un gráfico en el que se representa la energía (por unidad de peso) en metros de columna del fluido en función del caudal volumétrico impulsado, semejante en forma a la de la figura 10.35, pero en función del caudal volumétrico (Q) en vez del flujo másico o caudal másico ( m& ). Otros ejemplos de curvas características, obtenidos de catálogos de productos comerciales se pueden ver en las figuras 10.36 y 10.37, para ventiladores Cuando el flujo es incompresible, habitualmente, se utiliza el caudal (en vez del flujo másico) como variable independiente (figuras 10.23 y 10.24) y a veces se utiliza la presión, cociente o incremento de presión en vez de la altura de elevación (figuras 10.23, 10.24 y 10.25).

Figura 10.36.- Curvas características de un ventilador Figura 10.37. Curvas características de un ventilador centrífugo con velocidad de accionamiento variable. Axial con distintos ángulos de los álabes

El rendimiento, definido para máquinas generadoras como cociente entre potencia hidráulica y potencia absorbida, también puede ser representado frente al caudal. Esta curva pasa por el origen (la potencia útil es nula), su valor aumenta hasta un máximo (condiciones de diseño) y luego vuelve a disminuir. En el caso de máquinas receptoras, se define como el cociente entre la potencia absorbida y la potencia útil. El rendimiento presentan la misma tendencia (crecimiento, máximo y disminución), excepto a bajos caudales para los que aparece un rendimiento negativo. Al igual que para el resto de las curvas, si se trata de máquinas de flujo incompresible, se habla habitualmente de curvas rendimiento-caudal. Habitualmente se representan todas juntas (al menos altura y rendimiento, como en la figura 10.23.

H (m)

m (k / )·

10. TURBOMÁQUINAS


24

β1 u1

v1

β2 v2 u2

u1

v1 w1

α1 β1 u2

v2 w2

α2

vn2

vt2

β2

P.10.1. Ecuación de Euler para una bomba centrífuga. En una bomba centrífuga, el flujo sobre los álabes no tiene prácticamente componente axial, y además es habitual que el flujo de entrada hacia el borde de ataque sea prácticamente radial (α=90º). Con lo que el caudal de paso se puede determinar a partir de la geometría de los álabes: ángulos, radios y envergaduras. A partir de los datos: DETERMINE: 1. Caudal volumétrico. 2. Potencia hidráulica. 3. Altura de bombeo. DATOS: Fluido: densidad: ρ = 1000 Kg./m3 Álabes: borde de ataque: radio medio: R1 = 60 mm; envergadura: b1 = 38 mm; ángulo: β1 = 43º borde de estela: radio medio: R2 =115 mm; envergadura: b2 = 38 mm; ángulo: β2 = 32º RESOLUCIÓN:

1) CAUDAL VOLUMÉTRICO: la sección de entrada, correspondiente al radio medio del borde de ataque, tiene un área: A1 = 2πR1 b1; la componente normal de la velocidad, es la que atraviesa perpendicularmente la citada área, con lo que el caudal de paso será:

( ) 1n11 vbR2Q π=

En el caso de las bombas centrífuga, es habitual que el ángulo de la velocidad absoluta de entrada (respecto a la dirección tangencial) sea de 90º, es decir, que el flujo de entrada tenga exclusivamente componente normal, siendo la tangencial nula; es decir: vn1 = v1; vt1 = 0. El cálculo de la velocidad absoluta de entrada, se hace a partir del triángulo de velocidades: 111 tguv β=

La velocidad tangencial correspondiente al radio medio del borde de ataque es:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=ω= 060,0

rpms/rad

602rpm1440Ru 11 9,048 m/s

Con lo que las velocidades absoluta y normal de entrada son: ==β== º43tg048,9tguvv 111n1 8,437 m/s

Finalmente es caudal queda: ( ) ( ) 437,8038,006,02vbR2Q 1n11 π=π= = 0,121 m3/s 2) POTENCIA HIDRÁULICA: se determina a partir de la Ec. de Euler para turbomáquinas:

( )( )2t21t1h vuvuQP −ρ=

En esta caso, la velocidad tangencial del flujo de entrada es nula, y la velocidad tangencial del flujo de salida, se determina a partir del triángulo de velocidades en la salida.

10. TURBOMÁQUINAS


25

La velocidad tangencial correspondiente al radio medio del borde de estela es:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π=ω= 115,0

rpms/rad

602rpm1440Ru 22 17,342 m/s

La componente normal de la velocidad de salida, viene dada por el caudal de salida, igual al de entrada:

21 QQQ == ⇒ 2n221n11 vbR2vbR2 π=π ⇒ =⋅⋅

==038,0115.0038,0060,0

437,8bRbR

vv22

111n2n 4,402 m/s

La componente tangencial de la velocidad de salida, viene dada por: (ver triángulo de velocidades):

=−=β

−=º32tg

402,4342,17tgv

uv2

2n2t2t 10,297 m/s

Finalmente, la potencia hidráulica que se transmite al fluido es:

( )( ) ( ) =⋅−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−ρ=

2

23

32t21t1hsm297,10342,170048,9

sm121,0

mkg1000vuvuQP -21,61 kW

3) ALTURA DE BOMBA: el trabajo específico que se transmite al fluido es igual a su aumento de entalpía específica de estancamiento:

0hw ∆=− En el caso de las bombas, se pueden despreciar, las variaciones de energías cinética e interna, con lo que el aumento de entalpía de estancamiento, viene dado por el aumento de trabajo de flujo:

ρ−

=ρ

∆≅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

∆+∆=∆ 122

0ppp

2vpuh

La entalpía de estancamiento por unidad de peso, tiene dimensiones de longitud y se denomina altura o carga:

gp

g/p

gh

mghm

H 00

ρ∆

=ρ∆

≅∆

=∆

=

La entalpía específica de estancamiento, viene dada por el trabajo específico, con lo que se obtiene la siguiente expresión entre la potencia hidráulico transmitida al fluido y la altura de bombeo:

( )gQP

gQ/P

gw

gh

H hh0

ρ−

=ρ−

=−

=∆

= ≡ HgQPh ρ=−

La altura de bombeo, también se puede expresar a partir de la Ec. de Euler:

( )( )g

vuvugQ

vuvuQgQP

H 1t12t21t12t2h −=

ρ−ρ

=ρ−

=

Numéricamente: =−

=−

=8,9

0·048,9297,10·342,17g

vuvuH 1t12t2 18,22 m

10. TURBOMÁQUINAS


26

2 1 2 1

Q

vn1

vt1

w1 u1

vt2 u2

vn2

w2 R

P.10.2. Ecuación de Euler para un ventilador axial. En un ventilador axial, el flujo sobre los álabes no tiene prácticamente componente radial, con lo que la velocidad solo tendrá componentes axial y tangencial: la componente axial (vz) es la que determina el caudal en cualquier sección recta (perpendicular al eje) y se denomina habitualmente componente normal (vn); la componente tangencial (vt) es la que determina la potencia específica. A partir de la geometría de los álabes ( envergaduras y ángulos), se puede obtener el caudal y la potencia consumida. DETERMINE: 1. Caudal volumétrico. 2. Potencia consumida. 3. Incremento de presión. DATOS: Fluido: densidad: ρ = 1,3 Kg./m3 Álabes: borde de ataque: ángulos: α1 = 55º β1 = 30º borde de estela: ángulo: β2 = 60º envergadura : b1 =b2 = 100 mm Cubo: diámetro: DC = 800 mm Velocidad de giro: N = 1200 rpm RESOLUCIÓN: 1) CAUDAL VOLUMÉTRICO: la sección de entrada, es una corona circular desde la raíz del álabe hasta la punta en el borde de ataque, de área A1 = π(RP

2-RC2).

Consideraremos como velocidad media, la correspondiente a la mitad de la envergadura del borde de entrada, es decir a un radio R = (RP+RC)/2 = (500+400)/2 = 450 mm El triángulo de velocidades en la sección de entrada a una distancia radial R, será:

Velocidad tangencial de álabe: 450,06021200Ruuu 21

π=ω=== = 56,548 m/s

Del triángulo de velocidades en la entrada: 1

1n

1

1n1 tg

vtgv

uα

+β

=

Con lo que la velocidad normal (axial) de entrada es: =+

=

α+

β

=

º55tg1

º30tg1

548,56

tg1

tg1

uv

11

11n 23,249 m/s

La componente tangencial en la entrada será: ==α

=º55tg

249,23tgv

v1

1n1t 16,279 m/s

El caudal volumétrico que atraviesa la corona de entrada es: ( ) ( ) =−π=−π= 249,23400,0500,0vRRQ 22

1n2C

2P 6,573 m3/s

vn1

β1 α1

w1 v1

u1

vn1

10. TURBOMÁQUINAS


27

2) POTENCIA: se determina a partir de la Ec. de Euler para turbomáquinas, con la velocidad tangencial del borde de ataque igual a la del borde de estela (u1 = u2 = u)

( )( ) ( )2t1t2t21t1 vvQuvuvuQP −ρ=−ρ= El triángulo de velocidades en la sección de salida a una distancia radial R, será:

Velocidad tangencial de álabe: 450,06021200Ruuu 21

π=ω=== = 56,548 m/s

La velocidad normal de salida, coincide con la de entrada al ser el caudal constante: vn2 = 23,249 m/s

Del triángulo de velocidades en la salida: 2

2n

2

2n2 tg

vtgv

uα

+β

=

Con lo que el ángulo α2 que forma la velocidad absoluta con la dirección tangencial es:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β−

=α

º60tg249,23548,56

249,23arctg

tgv

u

varctg

2

2n2

2n2 = 28,33º

La componente tangencial en la salida será: ==α

=º33,28tg

249,23tgv

v2

2n2t 43,124 m/s

Finalmente, la potencia que se transmite al aire es:

( ) ( ) =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−ρ=

2

23

32t1tsm124,43279,16548,56

sm573,6

mkg3,1vvQuP -12,97 kW

3) INCREMENTOS DE VELOCIDAD Y DE PRESIÓN: En el caso de ventiladores, en donde el número de Mach5 sea menor de 0,3, se puede considerar que la densidad prácticamente no varía, y además se puede despreciar la variaciones de energías interna; con lo que el aumento de presión viene dado por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+

ρ∆

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

∆+∆=∆2

vp2

vpuh22

0 ⇒ ( ) ( )2212

21

0 vwvhp ∆−−ρ=∆−∆ρ=∆

La potencia específica, viene dada por la Ec. de Euler: ( )2t1t2t21t1 vvuvuvuw −=−=

( ) ( ) =−=−= 124,43279,16548,56vvuw 2t1t -1518,03 J/kg

Las velocidades absolutas son: ==α

=º55sen

249,23sen

vv

1

1n1 28,382 m/s ==

α=

º33,28sen249,23

senv

v2

2n2 48,992 m/s

El incremento de energía cinética específica es: ( ) ( )=−=−=∆ 22

212

1222

1221 382,28992,48vvv 797,34 J/kg

Con lo que el aumento de presión es: ( ) ( )34,79703,15183,1vwp 2

21 −=∆−−ρ=∆ = 936,9 Pa = 0,937 kPa

5 La velocidad máxima del fluido sería la correspondiente a la punta del , que es igual a ωRpunta=1200(2π/60)(0,500)=62,83 m/s, que corresponde a un Ma = 0,185 (con a = 340 m/s)

β2 α2

w2 v2

u2

vn2

10. TURBOMÁQUINAS


28

P.10.3. Ángulo de paso (calado) en turbomáquinas axiales. Para cada posición radial de los alabes de una turbomáquina axial, la velocidad de arrastre (tangencial de la posición radial) va aumentando desde la raíz a la punta; para adecuar el flujo de entrada (velocidad relativa) a la dirección del álabe, es necesario ir modificando el calado a cada posición radial. En cada sección radial, la velocidad normal es prácticamente constante (vn(r) = cte.) y la velocidad tangencial del flujo, es siempre inferior a la de arrastre en la misma proporción (vt1(r)/u(r) = cte.). Otra consideració importante, es que en función del caudal, el álabe debe ir pivotando, para adaptar su ámngulo de entrada, a la nueva velocidad normal. Para los datos de una bomba axial: DETERMINE: 1. Velocidades normal y tangencial de entrada en la sección radial media. 2. Ángulo de entrada de la velocidad relativa (β1) para la sección radial media. 3. Ángulos de entrada (β1) en la raíz y la punta. 4. Para un caudal 50% del nominal, los nuevos ángulos de entrada. 5. Para un caudal 150% del nominal, los nuevos ángulos de entrada DATOS: Álabes: Radios: RRAÍZ = 200 mm; RPUNTA = 600 mm Turbobomba: caudal nominal: Q = 4,85 m3/s; velocidad giro: N = 476 rpm Factor de resbalamiento del flujo de entrada: relación entre la velocidad tangencial del flujo y la velocidad tangencial del alabe: FR = vt1(r)/u(r) = 0,43 RESOLUCIÓN: 1) FLUJO DE ENTRADA EN LA POSICIÓN RADIAL MEDIA: R = 400 mm: La velocidad normal, viene determina por el caudal y la sección de paso:

( ) ( ) =−π

=−π

=222

R2P

1n200,0600,0

85,4RR

Qv 4,824 m/s

La velocidad de arrastre (tangencial del alabe en la posición radial media) es:

400,0602476Ru π

=ω= =19,939 m/s

La velocidad tangencial, viene determinada por el factor de resbalamiento:

939,19·43,0uFRv 1t == = 8,574 m/s

2) TRIÁNGULO DE VELOCIDADES EN LA SECCIÓN RADIAL MEDIA: una vez conocidas, las componentes normal y tangencial del flujo de entrada, y la velocidad de arrastre, el triángulo de velocidades en la entrada es: El ángulo de la velocidad relativa de entrada (con la dirección tangencial de la velocidad de arrastre) es:

=−

=−

=β574,8939,19

824,4arctgvu

varctg

1t

1n1 23º

El borde de ataque, debe situarse de tal forma que el flujo le entre práctricamente a ángulo de ataque nulo, es decir con el mismo ángulo que la velocidad relativa de entrada.

10. TURBOMÁQUINAS


29

w1

u1

v1

w1

u1

β1 =40º β1 =16º

3) ÁNGULOS DE ENTRADA DE LA VELOCIDAD RELATIVA EN LARAÍZ Y LA PUNTA: De forma análoga al apartado anterior, para cualquier posición raidal, el ángulo β2, viene dado por:

( ) ( ) )mm(r)mm(784,169arctg

r60247643,01

824,4arctgrFR1

varctg

)r(v)r(u)r(v

arctg)r( 1n

1t

1n2 =

π−

=ω−

=−

=β

Para distintas posiciones radiales, desde la raíz a la punta se tiene:

raíz radio medio punta r (mm) 200 300 400 500 600

β2 40,00º 29,22º 23,00º 18,76º 15,80º 4) CAUDAL INFERIOR AL NOMINAL: Q = 0,5 QNOMINAL; la nueva velocidad normal del flujo de entrada, se reduce a la mitad, y consideraremos que se mantiene el factor de resbalamiento, con lo que la ecuación de cálculo del ángulo de entrada de la velocidad relativa es:

( )( )

( ) )mm(r)mm(892,84

arctgr

60247643,01

10050824,4

arctgrFR1

varctg

)r(v)r(u)r(v

arctg)r( 1n

1t

1n2 =

π−

=ω−

=−

=β

5) CAUDAL SUPERIOR AL NOMINAL: Q = 1,5 QNOMINAL; la nueva velocidad normal del flujo de entrada, aumenta un 50%, y consideraremos que se mantiene el factor de resbalamiento, con lo que la ecuación de cálculo del ángulo de entrada de la velocidad relativa es:

( )( )

( ) )mm(r)mm(676,254

arctgr

60247643,01

100150824,4

arctgrFR1

varctg

)r(v)r(u)r(v

arctg)r( 1n

1t

1n2 =

π−

=ω−

=−

=β

raíz radio medio punta

r (mm) 200 300 400 500 600 50 % β2 23,00º 15,80º 11,98º 9,64º 8,053º 100 % β2 40,00º 29,22º 23,00º 18,76º 15,80º 150 % β2 51,86º 40,33º 32,48º 27,00º 23,00º

Es decir, al 50% del caudal nominal, el alabe debe disminuir su calado (respecto al valor del radio medio) un ángulo 11.02º (pivotar 11,02º hacia paso nulo); y al 150% del caudal nominal, el alabe debe aumentar su calado (respecto al valor del radio medio) un ángulo 10.48º (pivotar 10,48º en sentido contrario de paso nulo).

10.Turbomaquinas Uni Oviedo

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