Tt Operaciones Bancarias Tambra

7/17/2019 Tt Operaciones Bancarias Tambra

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UNIVERSIDAD NACIONAL“SAN LUIS GONZAGA” DE ICA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

ESCUELA DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

TT: OPERACIONES BANCARIASLEONIDAS TAMBRA VARGAS

ICA – PERÚ

ABRIL - 2014

1



INDICEPág.

CAPÍTULO I : Productos financieros y Servicios financieros 03

1.1. : El negocio bancario 03

1.2. : Operaciones bancarias y servicios bancarios 04

1.3. : Productos bancarios y Servicios bancarios 05

1.4. : Operacin financiera 04

1.5. : !eoria del Porcenta"e 05

1.#. : E$uivalencias de tanto por ciento %&'( fraccin y deci)al 0#

1.*. : El inter+s %,' 0#

1.-. : u)ero de Periodos %n' 0*

1./. : ibliografia 0-

CAPÍTULO II : Operaciones de ,nversin y operaciones de financia)iento. 0/

2.1. : ,nteres Si)ple e ,nteres o)puesto 0/

2.2. : apitaliacion de intereses 0/

2.3. : !asa o)inal %!"' 10

2.4. : oncepto de ,nteres Si)ple 10

2.5. : oncordancia funda)ental entre la tasa no)inal %!' y el n de periodos 11

2.#. : ,nteres Si)ple: El Principal es constante y la ! es constante 11

2.*. : E"ercicios propuestos 12

2.-. : ibliografa 12

CAPITULO III : Politica de Enca"e.

CAPITULO IV : 6or)as de depsito

CAPITULO V : 6or)as de retiro

CAPITULO VI : 7as tasas de inter+s y tarifas pasivas

CAPITULO VII : Productos pasivos o de captacionCAPITULO VIII : 6ondos )utuos

CAPITULO IX : Pasivos por obligaciones. E)ision de c8e$ues %,'

CAPITULO X : Pasivos por obligaciones. E)ision de c8e$ues %,,'

CAPITULO XI : Servicios bancarios

CAPITULO XII : Operaciones activas

CAPITULO XIII : El cr+dito: Productos activos

2



CAPÍTULO I. PRODUCTOS INANCIEROS ! SERVICIOS INANCIEROS

1.1. EL NEGOCIO BANCARIO7os bancos son "#$%&'%(")&"*+ ,"#)#"%&*+ entre los )g%#$%+ %*#'"*+ $ue tienen %/%(%#$%+ (% )"$) ylos )g%#$%+ %*#'"*+ $ue #%%+"$)# )"$) %las e)presas( personas naturales y el gobierno'.En el siste)a financiero( los agentes econ)icos $ue lo co)ponen:

• 7os inter)edarios financieros.

• 7as e)presas• 7as personas naturales y las fa)ilias

• El gobierno

C*#%$* (% N%g*"* B)#)&"*.- El negocio bancario tiene co)o funcin b9sica transferir los fondos de las#"()(%+ %*#'")+ +%&)3"$)&")+ ) )+ (%,""$)&")+.

Siendo ta)bi+n una funcin )uy i)portante para los bancos( &%""& 5 $&)#+,%&"& *+ ,*#(*+.Son sinni)os:S; 6ondos <ecursos 6inancieros <<.66.

GR6ICA 1.: P&*%+*+ (% I#$%&'%(")"# "#)#"%&)

C*#%$* (% C&7("$*7a palabra cr+dito( eti)olgica)ente 8ablando( proviene del latn credire $ue significa confiana. En el caso delnegocio bancario esta confiana no es ili)itada( sino $ue es evaluada.

C*#%$* (% &7("$*.- En t+r)inos econ)icos el cr+dito se relaciona con la transferencia te)poral de recursos.Esta transferencia #* %+ g&)$"$) +"#* 8% $"%#% # &%"*9 8% %+ ) $)+) (% "#$%&7+ TEA9 TEM9 %$.;( ycu)plido el plao pactado se devolver9n el capital prestado original)ente )9s los intereses.

<CU6LES SON LOS ELEMENTOS DEL CR=DITO> CONDICIONES DE UN CR=DITO

• !asa de ,nter+s %i'( plao( periodo de

gracia( etc

• ondiciones =acroecon)icas

1.2. OPERACIONES BANCARIAS ! SERVICIOS BANCARIOS.OPERACIONES BANCARIAS: >$uellos negocios con los $ue el banco cu)ple su funcin de inter)ediariofinanciero. R%"% ("#%&* a cr+dito )g)#(* "#$%&%+%+ %,' y () ("#%&* a cr+dito *&)#(* "#$%&%+%+ %,'.SERVICIOS BANCARIOS: >$uellos negocios en los $ue #* se efectivia la "#$%&'%(")"# ,"#)#"%&). Sonnegocios en los $ue el banco *&) *'"+"*#%+ por el servicio prestado pero no recibe ni da cr+ditos.

CLASIICACION DE LAS OPERACIONES BANCARIAS.Esta clasificacin se refiere al negocio principal de los bancos:

a' O%&)"*#%+ )+"3)+- Son a$uellas for)as )ediante los cuales los bancos recolectan fondos( obtienencapitales o recursos a"enos( de los cuales resultan deudores y( por tal )otivo( $uedan e?presados en lasdiferentes cuentas del pasivo de sus balances. 7os bancos pagan intereses %,'.7os bancos captan fondos los bancos pagan intereses %,'

b' O%&)"*#%+ )$"3)+- Son a$uellos negocios( )ediante los cuales los bancos utilian los fondos captados paraotorgar cr+ditos o presta)os a sus clientes. 7os bancos cobran intereses %,'. 7os bancos colocan fondos los bancos cobran intereses %,'

3

El $ue proporciona los fondos yotorga el cr+dito

El $ue recibe los fondos yacepta el cr+dito

ACREEDOR DEUDOR

Intermediarios

Financieros

• Empresas bancarias• Banco de la Nación• Caja Municipal de Ahorro y Crédito

CMAC.• Caja Rurales de Ahorro y Crédito

CRAC• Entidades de desarrollo a la pequea y

micro empresa E!"#M$• Cooperati%a de Ahorro y Crédito

autori&ado a captar recursos delp'blico.

• (as empresas

• (as )amilias

• El *obierno

• (as empresas

• (as +amilias

• El *obierno

,-.,/

,-.,/



GRAICA: OPE<>,OES >!,@>S A OPE<>,OES P>S,@>S.

Estas operaciones( se e?plicar9n detallada)ente en los siguientes captulos.

1.?. PRODUCTOS BANCARIOS ! SERVICIOS BANCARIOS<@U= SON PRODUCTOS ! SERVICIOS BANCARIOS>• Es una %&&)'"%#$) ,"#)#"%&) )ediante la cual( los bancos y las instituciones financieras buscan satisfaces

las diferentes necesidades de sus lientes actuales y de sus prospectos.• 7os productos o servicios bancarios se crean y son desarrollados a la )edida de los re$ueri)ientos de los

diferentes NICOS de =ercado Ob"etivo.E%'* 1 (% &*($* )#)&"*: sted 8ace un depsito de a8orro de SB. 1(000 en el anco de r+ditoE%'* 2 (% &*($* )#)&"*: El Cerente de ,=PO< S> recibe un financia)iento de ,!E<>D por eli)porte de S; 10(000 para capital de traba"o

Estos productos financieros( Fu+ necesidad satisfacenG• Personas naturales yBo "urdicas $ue poseen SUPERAVIT de dinero y desean AORRAR.

!asa de ,nteres Pasiva H Seguridad H Servicios olaterales

• Personas naturales yBo "urdicas $ue poseen DEICIT de dinero y desean CREDITO.

!asa de ,nteres >ctiva H o)isiones H Castos H Seguridad H Plaos >decuados H Servicios olaterales

1.4. OPERACIFN INANCIERA

na operacin financiera es un interca)bio te)poral de capitales.

7as operaciones financieras se agrupan en:

Operaciones de inversin

Operaciones de financia)iento

4

OPE<>,I P>S,@>S

• Jepositos de a8orro• Jeposito a la vista o

cuenta corriente• uentas a plao fi"o•

OPE<>,I >!,@>S

• Presta)os de consu)o• Pr+sta)o ve8icular • Pr+sta)o 8ipotecario• 7a tar"eta de cr+dito• Pr+sta)o para capital de

traba o

Entrega dinero

Solicitud del credito



OPERACIONES DE INVERSIFN

I#3%&+"#.- Es un )onto re$uerido para ad$uirir el activo fi"o tangible( activo intangible y para pagar los

re$ueri)ientos de capital de traba"oK para iniciar o continuar la produccin de bienes o servicios.

ACTIVO IHO TANGIBLE.- Esta constituido por todos los bienes $ue son indispensables para el funciona)iento

de la e)presa( estos activos sonK

L =a$uinarias y E$uipos L =uebles y EnseresL E$uipos de Oficina L @e8culos de !ransportes

L !errenos L <ecursos aturales

L onstrucciones L Edificios

L ,nstalaciones L Otros

ACTIVOS INTANGIBLES.- Esta for)ado por servicios o derec8os ad$uiridos $ue son necesarios para un

negocio. Estos son:

L Castos de Organiacin para la creacin de la e)presa

L Castos de estudio: Estudios de =ercado( proyecto de ,nversin.

L Patentes( )arcas( etc.

L Otros

CAPITAL DE TRABAHO.- Es el dinero necesario para iniciar o continuar el proceso productivo. apital de

traba"o necesario para ad$uirir( )aterias pri)as( insu)os( pagar sueldos y salarios( etc.

E"e). na persona invierte S ; 20(000 para la creacin de une e)presa.

C)(&*: I#3%&+"# I#"")

>ctivo tangible S ; 12(000 #0 &

>ctivo ,ntangible 3(000 15 &

apital de traba"o 5(000 25 &

T*$) "#3%&+"# 209000 100

OPERACIONES DE INANCIAMIENTO

"#)#")'"%#$* J "#)#K)+.- Se entiende por finanas a la captacin de recursos financieros %S;( SB.'.

Pr+sta)os personales( pr+sta)os 8ipotecarios( e)isin de bonos( e)isin de acciones( etc. para luego realiar

operaciones de inversin.

C)(&*: E+$&$&) (% #)#")'"%#$*

>porte Propio S ; *(000 35 &anco > 13(000 #5 &T*$) "#3%&+"# 209000 100

1.. TEORÍA DE PORCENTAHE

T)#$* *& "%#$* ;-- Se lla)a por ciento a una fraccin o parte de un todo lla)ado 100. n 100 puede ser

uevos Soles( Jlares >)ericanos( D)( Dg( )3( )2( etc( etc.

E%' 1.L ,nterprete d. lo siguiente MNuan <ios recibe un pr+sta)o de SB. 500 y paga una tasa de inter+s del 2&

Por cada SB 100 $ue Nuan <ios recibe de pr+sta)o( tiene $ue pagar SB.2 de ,!E<ES %,'.

E%' 2.L ,nterprete d. lo siguiente M=arisol obtiene un financia)iento de SB *00 y le aplican una tasa de inter+s

del 1*&

Por cada SB 100 $ue =arisol recibe de pr+sta)o( tiene $ue pagar SB.1* de ,!E<ES %,'.

5



1.. E@UIVALENCIAS DE TANTO POR CIENTO ;9 RACCIFN ! DECIMAL

&)"# D%"')

2&

3.5&

5&

* &4

3

50&

*5&

100

2

100

5.3

100

5

100

*5.*

100

50

100

*5

0.02

0.035

0.05

0.0*5

0.50

0.*5

1.. EL INTER=S I;

El inter+s tiene sinni)os:

I#$%&7+ %# US9 SQ.9 %$.; J "#g&%+* J %#%,""* J $""()( J &%#$)""()(

I#$%&7+ %# US9 SQ.9 %$.; J *+$* (% ("#%&* J &%"* (% ("#%&* J *+$* (% &7("$*

P&%+$)'"+$).- El $ue otorga un cr+dito

P&%+$)$)&"*.- El $ue recibe un pr+sta)o

C*#%$* 1 (% "#$%&7+.- Es lo $ue cobra %SB.( S ;' un presta)ista al prestatario por una operacin financiera.

C*#%$* 2 (% "#$%&7+.LEs lo $ue paga %SB.( S ; un prestatario por recibir un cr+dito.

ELEMENTOS DE UNA OPERACIFN INANCIERA:

E P&"#") P; * )"$) "#"").- Se le considera co)o un valor presente o valor actual. T)+) (% "#$%&7+ ";.- Es la relacin o ran $ue 8ay entre el inter+s %,' y el principal %P'. 7a i es e?presada en

porcenta"e.P,i =

T)+) (% " %# ; J *+$* (% ("#%&* J &%"* (% ("#%&* J *+$* (% &7("$* son sinni)os N (% %&"*(*+ * $"%'* #; .- Es el nu)ero de periodos $ue dura la operacin financiera( e?presada en aQos(

se)estres( tri)estres( )eses( etc.

M*#$* S;.L El )onto de una cuenta est9 for)ado por el principal %P' y el inter+s %,'.

S P H ,

#

0 1 2 3 4 5 aQos



E%'. na persona recibe un pr+sta)o de SB. 1(000( a una tasa de inter+s anual de 10&( esta operacinfinanciera dura 1 aQo. Encuentre d. el costo de dinero. %solo precise el plantea)iento del proble)a'

P SB. 1(000i 0.10n 1 aQo, G

1.. NUMERO DE PERIODOS #; P)K* *'&%#("(* %#$&% (*+ ,%)+

E%'*.L Si se abre una cuenta el dia: 2- de >bril y se cierra el 02 de =ayo del )is)o aQo( u9ntos das duraesta operacin financieraG

M7$*(* (% ()+ $%&'"#)%+.- onsiste en considerar todos los das posteriores a la fec8a inicialE%'. u9ntos dias se 8abr9n acu)ulado entre el 2 (% #"* 5 % 4 (% )g*+$* del )is)o aQo( fec8as de

depsito y cancelacin de un i)porte a8orrado en un banco. Para este caso se usa la TABLA04 >gosto 21#2* Nunio 1*-

n 3- das

P%&"*(*+ (% $"%'* )#)&"*nos aQos tiene 3#5 das( otros 3##( unos )eses tienen 30 das( otros 31 dasK para superar estos proble)as seusa el periodo bancario dispuesto por el <P.

P%&"*(* B)#)&"* N (% D)+ >Qo 3#0 .Se)estre 1-0

uatri)estre 120

!ri)estre /0

i)estre . #0

=es 30

Fuincena 15

Ja 1

*&"K*#$% 5 S*&"K*#$%+ T%'*&)%+

*&"K*#$% $%'*&) ;.L Es el tie)po $ue dura una operacin financiera. E"e)plo

S*&"K*#$%+ T%'*&)%+ ";.- Son las unidades de tie)po %8 i' o periodos $ue est9 dentro del 8orionte

te)poral %R'.

*

2-B04 2/B04 30B04 01B05 02B05 6ec8a 6ec8a

,nicial 6inal

6ec8a 6ec8a,nicial 6inal

R 1 aQo

h1 h

2 h

3h4

h5

h6

h7

h8



1.. BIBLIOGRAIA

• @illagaray <o"as( NoelK O,OES S,>S JE7 <EJ,!O >><,O. O6,JE 2014.• ,nstituto de 6or)acion ancaria %,6'( E<!,6,>,O P><> P<O=O!O<ES JE SE<@,,O:

P<OJ!OS( SE<@,,OS A !T!7OS @>7O<ES. 2013• ,nstituto de 6or)acion ancaria %,6'( P<OC<>=> JE >P>,!>,O: EOO=,> E ,S!,!,OES

6,>,E<>S. 2014• 7ey 2#*02: 7ey Ceneral del Siste)a 6inanciero y de Seguros.

• 7ey de !itulos @alores.• 7ey Ceneral de =arcado de @alores.

-



CAPITULO II: INTERES SIMPLE I;

2.1. INTERES SIMPLE V+ INTERES COMPUESTO

E?pli$ue)os la diferencia entre inter+s si)ple e inter+s co)puesto con los siguientes e"e)plos:

INTERES SIMPLE

E%'* I.- Si se coloca un principal de S SB. 1(000 a una !asa de inter+s o)inal >nual %!>' del 10&(

durante 5 aQos. Encontrar el ,nter+s %,' Si)ple y el =onto Si)ple %S' P S ; 1(000 a' , G

!> 10& " 0.10 b' S G

n 5 aQos

a' , 100 H 100 H 100 H 100 H 100

, S ; 500

b' S P H , 1(000 H 500

S S ; 1(500

E%'* 2: Si se coloca un principal de S ; 1(000 a una !asa efectiva >nual %!E>' de 10& durante 5 aQos.Encontrar el ,nter+s o)puesto %i' y el =onto o)puesto %S'.

P S SB. 1(000 a' , G

!E> 10& i 0.10 b' S G

n 5 aQos

a' , 100 H 110 H 121 H 133.10 H 14#.41 S ; #10.51

b' S P H ,

S 1000 H #10.51 S ; 1(#10.51

2.2. CAPITALIACIFN DE INTERESES

); M*#*)"$)")(*.- Si se capitalia el inter+s una sola ve %al final del 8orionte te)poral( R'( durante la

vigencia de la cuenta( se usa en el inter+s si)ple.

; M$")"$)"K)(*.- Si ocurre )Ultiples capitali aciones( %al final de cada periodo' co)o el $ue se usa en el

inter+s co)puesto.

/

0 1 2 3 4 5 aos

" 6 17000 " 6 17000 " 6 17000 " 6 17000 " 6 17000 17000 8 500 6 17500 6 ,

91 92 93 94 95

100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 aos

"0 6 17000 "

1 6 17100 "

2 6 17210 "

3 6 17331 "

4 6 174:4.10 "

5 6 17:10.51 6 ,

916100 9

2 6110 9

36 121 9

46 133.10 9

5 6 14:.41

INTERES COMPUESTO S



2.?. TASA. NOMINAL TNJ;

Es la tasa aparente o b9sica y es publicada por los bancos y financieras. 7a !asa o)inal %!' sirve de base para

efectuar los c9lculos financieros de inter+s si)ple. En las operaciones financieras si no se 8ace referencia al tipo de

la tasa de inter+s( se est9 refiriendo a la !asa o)inal. 7a ! tiene las siguientes siglas:

U#"()( (% $"%'* T)+) N*'"#) J TN

>nual !>

Se)estral !S

uatri)estral !

!ri)estral !!

i)estral !

=ensual !=

Fuincenal !F

Jiaria !J

2.4. CONCEPTO DE ÍNTERES SIMPLE

na cuenta est9 ba"o un r+gi)en de inter+s si)ple cuando: se produce una sola capitaliacin de inter+s( la )is)a

$ue se realia al t+r)ino del 8orionte te)poral %R' pactado. Se usa las variables:

P Principal

, ,nter+s Si)ple

! " !asa o)inal

n n de periodos

S =onto si)ple

G&á,"): I#$%&7+ S"'%

10

I#$%&7+ I;

C*# #) )"$)"K)"#) ,"#) (% ;

C*# M$"%+C)"$)"K)"*#%+ )

,"#) (% Q%&"*(*;

I#$%&7+C*'%+$* I;

I#$%&7+S"'% I;

,

PP

S

n

R



2. CONCORDANCIA UNDAMENTAL ENTRE LA TN ! EL # DE PERIODOS.

Para la solucin de proble)as tiene $ue cu)plirse la concordancia b9sica entre:

!asa o)inal %!' y el

n n de periodos

El n de periodos %n' tiene $ue estar en funcin de la !asa o)inal ! ".

E%'*: Si la !> 24& 7a ! esta e?presado en aQos

n 1-0 das 3#0

1-0 0.5 aQos El n de periodos esta e?presado

en aQos

u9ntos das tiene el aQoG : 3#0

2.. INTERES SIMPLE: EL PRINCIPAL ES CONSTANTE ! LA TN ES CONSTANTE

na situacin donde:

Principal %P' onstante

!asa o)inal ! " onstante

EHEMPLO 1: n banco otorg a una e)presa un pr+sta)o de SB.10(000 para ser devuelto dentro de un aQo( y

cobra una !> de 24&. u9l ser9 el inter+s si)ple $ue pagar9 la e)presa al venci)iento del plaoG

EHEMPLO 2: na persona deposito S; 10(000 en una institucinK este i)porte genera una != de 2&. Fu+inter+s si)ple 8abr9 generado ese principal en tres )esesG

11

I J P#



EHEMPLO ?: alcule el i)porte con el $ue se abri una cuenta( colocada en un banco a una != de 2&( $uedurante el plao de * )eses gener un inter+s si)ple de SB. 112.

EHEMPLO 4: alcule la !> $ue se aplic a un principal de S; 5(000( $ue durante un plao de 3 )eses

produ"o un inter+s si)ple de S; 300.

EHEMPLO : alcule el plao al cual estuvo colocado un principal de S; 5(000( $ue gener una != de 2& y

rindi un inter+s si)ple de S; 350.

2.. EHERCICIOS PROPUESTOS:1. alcule el inter+s si)ple $ue produce un principal de S; 10(000( colocado a una !> de 1-&( durante el

periodo co)prendido entre el 3 de abril y 3 de "unio del )is)o aQo.2. on los datos del proble)a 1( calcule el inter+s si)ple con una != de 1(5&.3. Fu+ principal colocado a una !> de 3#& produce S; 500 de inter+s si)ple al t+r)ino de 1- se)anasG4. u9l es el principal $ue produce un inter+s si)ple de SB.-00 colocado a una !S de 12& en * tri)estresG5. u9l es la tasa anual de inter+s si)ple aplicada para $ue un principal de S; -(000 colocado a 1 aQo( 3

)eses y 1- dias 8aya ganado S; #(000 de inter+sG#. n principal de SB.15(000 produce SB.2(000 de inter+s desde el 3 de )aro 8asta el 1/ de "unio del )is)o

aQo. Se re$uiere deter)inar la tasa )ensual de inter+s si)ple.*. Se coloco una cuenta abierta con un principal de S; 5(000( a una tasa de inter+s si)ple de 30& anual.

alcule el plao en el $ue el inter+s ascendi a 15& del principal.-. n principal de S; #(000( colocado a una !> de 1-&( produce S; 540 de inter+s si)ple. Jeter)ine el

tie)po de la operacin./. u9l es la tasa de inter+s si)ple )ensual aplicada para $ue un principal de S; -(000( colocado a 2 aQos y

# )eses( 8aya ganado S; #(000 de inter+sG10. Jurante cuantos das estuvo un principal de SB.15(000( colocado a una !> de 2-&( si el inter+s si)ple $ue

produ"o fue SB. 350.

12



11. n principal de S;12(000( colocado a una !> de 12(5&( gener 541(#- de inter+s si)ple. Jeter)ine eltie)po de la operacin.

12. Por cu9nto tie)po se i)puso un principal de SB. 10(000( $ue a la != de 2& produ"o un inter+s si)ple deSB. 2(000G

2.. BIBLIOGRAIA

• @illagaray <o"as( NoelK O,OES S,>S JE7 <EJ,!O >><,O. O6,JE 2014.• ,nstituto de 6or)acion ancaria %,6'( E<!,6,>,O P><> P<O=O!O<ES JE SE<@,,O:P<OJ!OS( SE<@,,OS A !T!7OS @>7O<ES. 2013

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Editorial Prentice Rall. 2002

13



CAPITULO III: INTERMEDIACION INANCIERA

Para los efectos del presente estudio( se puede decir $ue los inter)ediarios financieros son los organis)os oinstituciones encargados de captar los recursos de capital y transferirlos a los sectores productivos de la actividadecon)ica.CLASES DE INTERMEDIACIFN

7os )ercados financieros cu)plen la funcin de canaliar fondos de a8orro 8acia las inversiones por parte de lase)presas.); D"&%$) &)+;

7as e)presas pueden iniciar sus actividades co)erciales o a)pliar sus operaciones e?istentes obteniendo fondosdirecta)ente de las fa)ilias. na )anera de 8acerlo es con la venta de acciones co)unes al pUblico. na accinco)Un representa la propiedad parcial en una corporacinK +sta da a su propietario el derec8o de votar en ciertas

decisiones corporativas y participar de las ganancias. na accin co)Un constituye un activo financiero para elpropietario y un pasivo financiero para el e)isor o e)presa. na e)presa ta)bi+n puede obtener fondos al e)itir %vender' bonos. ono es la evidencia de $ue una corpo racin 8a 8ec8o la pro)esa de pagar una deter)inadacantidad de dinero en reconoci)iento de un pr+sta)o. El bono es un activo f inanciero para el presta )istaLposeedor y un pasivo financiero %deuda' para el prestatario corporacin.En a)bos e"e)plos 8ubo financiacin directaK las e)presas 8an to)ado dinero prestado directa)ente de lasfa)ilias. > su ve( las e)presas utilian estos fondos de a8orros para co)prar plantas( e$uipos e inventarios()uestra el proceso de financiacin directa. 7os )ercados 8an evolucionado para facilitar la financiacin directa. 7asacciones y bonos se venden inicial)ente en )ercados pri)ariosK frecuente)ente( +stos se revenden %)uc8asveces' )ediante transacciones $ue se llevan a cabo en )ercados secundarios. (Ver Gráfica 2.1)

GR6ICA 1.1

; I#("&%$) L"+$)+;7a financiacin indirecta surge co)o resultado de la inter)ediacin financiera. 7as instituciones financieras $ueactUan co)o inter)ediarias( cu)plen la funcin de canaliar los fondos de a8orros de las fa)ilias %presta)istasUlti)as' a las e)presas %prestatarias Ulti)as'. Por e"e)plo( los bancos co)erciales aceptan pasivos )onetariostales co)o depsitos a la vista y de a8orroK las instituciones de a8orro aceptan pasivos )onetarios co)o depsitos

de a8orro y depsitos a t+r)ino y las co)paQas de seguros aceptan pago de pri)as. > su ve( las institucionesfinancieras co)pran activos %representan los fondos'. Por e"e)plo( los bancos co)erciales co)pran pagar+s a lase)presas( y las instituciones de a8orro ad$uieren 8ipotecas a los co)pradores de vivienda %esta Ulti)a transaccini)plica un repr+sta)o para las fa)ilias'. @ea gr9fica 2.2.

14

Acti%os )inancieros ;Accionescomunes7 bonos<

E)presas%prestatarios netos'

6a)ilias%>8orradores netos'

6ondos de a8orro



GR6ICA 1.2.: P&*%+*+ (% I#$%&'%(")"# "#)#"%&)

Aqu= se ilustra el proceso de intermediación )inanciera. Nótese que los prestamistas y prestatarios 'ltimos son las mismas unidades

económicas >)amilias7 empresas y ?obiernos > pero no necesariamente las mismas entidades. Mientras que las )amilias indi%idualmente

pueden ser prestamistas o prestatarias netas7 ellas7 consideradas como una unidad económica7 son prestamistas netas. En )orma similar7

determinadas empresas o ?obiernos pueden ser prestamistas netos@ ambos7 como unidades económicas7 son prestatarios netos.

1.2. UNCIONES DEL SISTEMA INANCIEROS S;

Se distingue cinco funciones b9sicas $ue dese)peQa el S6 y $ue se detallan a continuacin:

); T&)#+,%&%#") (% &%&+*+ ) $&)37+ (% $"%'* 5 (% %+)"*• T&)#+,%&%#") (% RR.. ) $&)37+ (% $"%'*

El S6 facilita las transferencias interte)poralesK es decir( contribuye a $ue poda)os decidir si %(%'*+ )g**5 % )#*; )&) *$%#%& )g* %# % ,$&* * 3"%3%&+) . 7a persona $ue traba"a y a8orra para su "ubilacin es un e"e)plo: pospone consu)o 8oy por consu)o en el futuro. Si al ter)inar la universidaddeseas estudiar la =aestra en 6inanas y no tienes dinero suficiente para pagarla( %(%+ )("& ) #)#* 8% &%)"% &7+$)'*+ )&) %+$("*+ 5 +*""$)& # &7+$)'* en ese )o)ento( el cual deber9scancelar cuando ter)ines la )aestra.

• T&)#+,%&%#") (% RR.. ) $&)37+ (% %+)"*.

>de)9s de facilitar dic8os desplaa)ientos de recursos a trav+s del tie)po( el S6 %los bancos' ta)bi+ncontribuye a desplaar dic8os recursos de un lugar a otro. Por e"e)plo( si nuestros padres traba"an en ele?tran"ero y nos envan dinero para pagar la universidad( podr9n 8acernos llegar ese dinero a trav+s de unatransferencia bancaria o )ediante un giro. En el nivel e)presarial( una co)paQa peruana puede pedir prestado a un banco en Rolanda o un inversionista "apon+s puede co)prar las acciones de dic8a co)paQa.o)paQas co)o el anco Viese y la )inera uenaventura 8an captado fondos en la eW AorX StocXE?c8ange %olsa de ueva AorX' a trav+s de la colocacin de sus >J<.En un )undo cada ve )9s globaliado( los S6( gracias a los adelantos tecnolgicos( siguen ta)bi+n esatendencia( integrando cada ve )9s los siste)as financieros nacionales y facilitando el desplaa)iento delos recursos a trav+s del tie)po y entre pases.

; A('"#"+$&)& % &"%+g*El tpico instru)ento para trasladar riesgos son las e)presas de seguros. Si desea)os evitar las consecuenciasde $ue se incendie nuestra f9brica( to)a)os un seguro contra incendios pagando la pri)a correspondiente. 7asopciones financieras $ue estudia)os en otro captulo nos per)iten evitar los riesgos de $ue el precio del activosuba por enci)a de cierto nivel %opcin de co)pra' o $ue caiga por deba"o de un nivel $ue nos per"udi$ue%opcin de venta'.R"%+g*.L es la posibilidad de perder

=uc8as veces( los riesgos se transfieren a trav+s del S6 de la )is)a )anera en la $ue se transfieren los fondos.Por e"e)plo( suponga)os $ue 8e)os llevado el curso de J,P7O=>JO E >J=,,S!<>,I y $uere)osponerlo en pr9ctica creando una nueva e)presa. o)o puede ser obvio( no tendre)os suficiente capital parafor)arla. Entonces( decidi)os recurrir a )$&* ,%#$%+ (% ,"#)#")'"%#$*:

• pr+sta)o bancario por S; 2.000K

• dos a)igos $ue se constituyen co)o accionistas( cuyos aportes son de S; 1.000 cada unoK

• un pr+sta)o de nuestros padres por S; 3.000K y

• nosotros pone)os S; 3.000 %todos nuestros a8orros'.

15

Intermediarios

Financieros

• Empresas bancarias• Banco de la Nación• Caja Municipal de Ahorro y Crédito

CMAC.• Caja Rurales de Ahorro y Crédito

CRAC• Entidades de desarrollo a la pequea y

micro empresa E!"#M$• Cooperati%a de Ahorro y Crédito

autori&ado a captar recursos delp'blico.

• "restamistasltimos

• o?ares

Empresas

• *obiernos

• "restamistasltimos

• +amilias

Empresas

• *obiernos

,-.,/

,-.,/



N%+$&*+ )'"g*+9 % )#* 5 #%+$&*+ )(&%+ %+$á# *')&$"%#(* *# #*+*$&*+9 )#8% %# &**&"*#%+5 for)as diferentes 9 *+ &"%+g*+ (% 8% #%+$&) %'&%+) $%#g) &*%')+.

; C*'%#+)"# 5 "8"()"# (% )g* J +"+$%')+ (% )g*

Se i)aginan cuan ineficiente seria $ue 8aya)os presupuestado gastar S; 5.000 en un via"e a Europa ytenga)os $ue llevar todo ese dinero en la )aletaG O( peor aun( $u+ tenga)os $ue llevar a Europa un con"unto

de bienes e$uivalentes para transarlos en el )ercado por euros y con ese dinero cancelar los gastos del via"eG

>fortunada)ente( una de las funciones )9s i)portantes del S6 es ofrecer un siste)a de pagos eficiente( de tal)anera $ue ni las personas ni las e)presas pierdan tie)po yBo recursos para realiar sus co)pras %y pagos'. >ctual)ente( el papel )oneda es un buen )edio de pago( al )enos )e"or $ue el oro. >de)9s 8ay antiguos ynuevos )edios de pago:

• E?isten los c8e$ues

• !ar"etas de d+bito y de cr+dito

• !ransferencias electrnicas.

• Jinero virtual.

• onos virtuales( etc.(

on estos )edios de pago se 8an incre)entado aun )9s la eficiencia en los pagos.(; C*#%#$&)"# (% &%&+*+ 5 +("3"+"# )"*#)&")

• C*#%#$&)"# (% R%&+*+El S6 proporciona )ecanis)os $ue concentran o agregan ri$uea( de tal )anera $ue %8%W*+ )"$)%+%()# #$)&+%Y 5 *#,*&')& # g&)# )"$) *# 8% "#3%&$"&( co)o sucede en los ,*#(*+ '$*+.

P*& %%'*:7a persona > tiene S; 5(0007a persona tiene S; 10(0007a persona tiene S; 10(0007a persona J tiene S; 10(0007a persona E tiene S; 15(000

T*$) US 09000

Estos recursos financieros reunidos: S; 50(000( lla)ados ONDOS MUTUOS se destinan a co)prar acciones de la e)presa C7O<,> S.>.>. Fui+n posibilita reunir estos fondos )utuos y luego realiar lainversin )encionada %o)pra de acciones'G El siste)a financiero %S6'( un anco o)ercial.

• S("3"+"# A"*#)&").Por otro lado( se re$uieren )ontos )ni)os de inversin para la constitucin de e)presas. En este caso( sepuede subdividir la propiedad de las )is)as en participaciones accionarias y per)itir a las personasparticipar individual)ente en la propiedad de la e)presa.

%; P&**&"*#)& "#,*&')"#

El S6 %los bancos' proporciona infor)acin de precios( la cual ayuda no solo a las personas o e)presas $ue

co)pran y venden valores( sino a todos a$uellos $ue necesitan infor)acin de precios de valores y activos( y latasas de inter+s para la to)a de decisiones.

7a utilidad de la infor)acin pode)os evidenciarla en distintos e"e)plos. Para el caso e)presarial( suponga)os$ue una co)paQa inicia un nuevo proyecto y desea financiarse el *0& del )is)o. Para ello( deber9 acudir al S6con el ob"etivo de conocer $u+ institucin le puede ofrecer dinero y cu9l seria la )e"or tasa a la cual prestarse.

1.?. EL SISTEMA INANCIERO S; DEL PERÚ

En el gr9fico 2.3.( )ostra)os las instituciones $ue confor)an el siste)a financiero del PerU.Je ellos pode)os observar $ue el siste)a financiero est9 co)puesto por el )ercado financiero( el )ercado deinter)ediacin financiera( y los organis)os guberna)entales reguladores y supervisores.El )ercado de inter)ediacin financiera est9 regulado y supervisado por la Superintendencia de anca( Seguros y >6P %SS'( organis)o constitucional autno)oK y el )ercado financiero lo est9 por la o)isin acional Supervisorade E)presas y @alores %O>SE@'( organis)o pUblico descentraliado dependiente del =inisterio de Econo)a y

6inanas.El otro organis)o guberna)ental i)portante es el anco entral de <eserva del PerU %<P'( $ue es ta)bi+n unorganis)o constitucional autno)o.

1.4. INSTITUCIONES REGULADORAS ! DE CONTROL DEL SISTEMA INANCIERO EN EL PERÚ1#



); E B)#* C%#$&) (% R%+%&3) BCR;: Es una persona "urdica de derec8o pUblico y autno)oK posee patri)oniopropio y duracin indefinida.

S+ &"#")%+ ,#"*#%+ +*#: Preservar la estabilidad )onetaria <egular la cantidad de dinero en la econo)a( para lo cual puede e)itir obligaciones. >d)inistrar las reservas internacionales.

E)itir billetes y )onedas. ,nfor)ar sobre las finanas nacionales.

; L) S%&"#$%#(%#") (% B)#) 5 S%g&*+ SBS;: Es una institucin con personera "urdica propia $uecontrola( en representacin del listado( a las e)presas bancarias y financieras( de seguros( al)acenes generales dedepsitos( ca"as de a8orro y cr+dito y a las corporaciones de cr+dito.Sus funciones principales son: >utoriar la organiacin( funciona)iento( fusin y cierre de nuevas instituciones o de sus sucursales. Supervisa y regula los bancos( las financieras y las e)presas de seguro. Previene el lavado de activos. >probar planes t+cnicos y condiciones de cobertura de las e)presas de seguros. >probar los estatutos de las instituciones ba"o su supervisin y sus )odificaciones. Jictar nor)as sobre el control y la estabilidad econ)ica y financiera de las instituciones ba"o su supervisin.

; L) C*'"+"# N)"*#) S%&3"+)&) (% E'&%+)+ 5 V)*&%+ CONASEV;: Es el organis)o del Estadoencargado del ordena)iento( regla)entacin y vigilancia del )ercado de valores( )ediante:

!iene co)o funcin pro)over el )ercado( revisando y aprobando nuevos )ecanis)os financieros $ue a)plen el)ercado burs9til.

El Jecreto 7egislativo **5 confiere autoridad a la O>SE@ en cuanto a la regulacin( supervisin y sancin en el)ercado de valores.

7a O>SE@ est9 dirigida por nueve directores( designados por el Poder E"ecutivo y posee una 7ey Org9nicapropia( la $ue establece sus poderes regulatorios( incluyendo la supervisin de todas las e)presas creadas enPerU( as co)o las agencias de e)presas e?tran"eras o sucursales peruanas de estas e)presas e?tran"erasK laad)isin de nuevos inter)ediarios al =ercado de @alores( la creacin de nuevos instru)entos financieros $uedesarrollen el )is)o( y la aprobacin de la inscripcin de nuevos valores $ue deseen incorporarse al <egistroPUblico de @alores e ,nter)ediarios e inscribirse en olsa.

7a O>SE@ supervisa( pro)ociona y difunde el )ercado de valores( distribuyendo infor)acin a losinversionistas. ontrola( asi)is)o( las actividades de los fondos )utuos y su )ane"o gerencialK controla y)onitorea las regulaciones contables de las e)presas ba"o su supervisin y la unifor)idad de sus estadosfinancierosK supervisa ta)bi+n a los auditores contables $ue proveen servicios a las e)presas ba"o su supervisin.

1.. MERCADO DE INTERMEDIACIFN INANCIERA

El )ercado de inter)ediacin financiera del PerU se )uestra en el blo$ue del lado i$uierdo del gr9fico 3.#. , dondese aprecia a los inter)ediarios financieros $ue est9n ba"o la supervisin de la Superintendencia de anca ySeguros. E)peare)os a describirlos de i$uierda a derec8a.

1..1. SISTEMA PRIVADO DE PENSIONESEst9 confor)ado por las >6P %ad)inistradoras de fondos de pensiones' y constituye el siste)a privado depensiones en el PerU. Parte del sueldo de cada traba"ador es aportado a una >6P donde se va acu)ulando unfondo personal $ue se le entregar9 cuando se "ubile. on ese fondo( el traba"ador podr9 escoger entre diversoses$ue)as posibles( co)o entregarlo a una co)paQa de seguras a ca)bio de una renta )ensual vitalicia.

ADMINISTRADORAS DE ONDOS DE PENSIONES AP;

7as >6P deben constituirse co)a sociedades anni)as. Son de duracin indefinida y tienen co)o Unico ob"etosocial ad)inistrar un deter)inado fondo de pensiones %el fondo' y otorgar las prestaciones. Para dic8o fin( las >6Precaudan( por si )is)as o a trav+s de terceros( los recursos destinados al fondo. El fondo es invertido en distintosinstru)entos financieros( dentro de los l)ites fi"ados por la SS( con el fin de lograr una rentabilidad $ue beneficie a

1*

SBS

,istema de"ensiones

,istema de,e?uros

,istema de intermediación)inanciera

Micro)inan&as ,ector nobancario

,ectorbancario



los aportantes. >ctual)ente( e?isten cinco >6P $ue son >6P Rorionte( >6P ,ntegra. >6P Profuturo( >6P nion @iday >6P Pri)a.

1..2. SISTEMA DE SEGUROS

Est9 confor)ado por e)presas $ue se so)eten( cuando )enos se)estral)ente( a un r+gi)en de clasificacin deriesgo por parte de por lo )enos dos e)presas clasificadoras independientes con el fin de %3))& )+ *"g)"*#%+8% $%#g)# *# ++ )+%g&)(*+. 7a Superintendencia clasificar9 a las e)presas del siste)a de seguros de

acuerdo con criterios t+cnicos y ponderaciones $ue ser9n previa)ente establecidos con car9cter general y $ueconsiderar9n( entre otros( los siste)as de )edicin y ad)inistracin de riesgos( la solide patri)onial( la rentabilidady la eficiencia financiera y de gestin( y la li$uide.

EMPRESAS O COMPAZÍAS DE SEGUROS

!ienen la funcin principal de per)itir a las personas( e)presas e instituciones del gobierno desprenderse de ciertosriesgos %accidentes( robo( vida( incendio( etc.' )ediante la ad$uisicin de "K)+ de seguro $ue pagan unaco)pensacin si el siniestro llegara a ocurrir. Por ese beneficio se paga una su)a de dinero $ue se lla)a Mpri)aon estas pri)as se constituyen fondos disponibles %reservas t+cnicas'( $ue son invertidos en acciones o bonos uotras inversiones )ientras el dinero no se necesite para cubrir los siniestros $ue ocurran. 7as e)presas de segurosen el PerU son las siguientes: Ceneral( 7a Positiva( <i)ac( 7atina( Pacfico Peruano Suia( =apfre( Secre?( >ltasu)bres( ,nterseguro e ,nvita.

1-



GR6ICA 1.?.: S"+$%') "#)#"%&* %# % P%&

Fuente. Elaboración propia.

SBS

,istema de"ensiones

Administradorasde )ondos de

pensiones

Empresas ocias. dese?uros

9ntermediariosde se?uros

,istema de,e?uros

,istema de intermediación)inanciera

Caja rural deahorro y crédito

CajasMunicipales

Caja municipalde créditopopular

E!#"#ME,

MICROFINANZAS SECTOR NO

BANCARIO

Empresas)inancieras

Empresas dearrendamiento

)inaciero

Empresas de)actorin?

Cooperati%as deahorro y crédito

Almacenes?enerales de

depósito

,ectorbancario

Bancoscomerciales

Banco de laNación

C+9!E

MEF BCRP

CNA,ED

Bolsa deDalores

Bolsa de"roductos

A?entes de9ntermediación

Clasi)icadorasde ries?o

,ociedadadministradora

de )ondosmutuos

Caja de %alores yliquidaciones

CADA(9

,ociedada?ente de

bolsa

A?entesde bolsa

Broers

MERCA! +9NANC9ER

MERCA! !E 9NFERME!9AC9GN +9NANC9ERA

Relación dedependenciar?. ?ubernamentales

1/



1..?. EL SISTEMA DE INTERMEDIACIFN INANCIERA

a"o esta deno)inacin encontra)os a las e)presas $ue tienen co)o actividades principales captar depsitos yotorgar pr+sta)os( co)o los bancos y las ca"as )unicipales. !a)bi+n se incluye a$u a las e)presas $ue danservicios especialiados co)o factoring o arrenda)iento financiero. Se 8a agrupado a las e)presas en grandesgrupos: )icrofinanas. sector no bancario y sector bancario( los cuales se describen a continuacin

A; MICROINANASCaja rural de ahorro y &7("$*: es a$uella $ue capta recursos del pUblico y cuya especialidad consiste en otorgar

financia)iento( preferente)ente a la )ediana( pe$ueQa y )icroernpresa del 9)bito rural

Cajas municipales de ahorro y crédito CMAC;: fueron creadas para fo)entar el a8orro co)unal y para apoyar el desarrollo de actividades productivas en las provincias( en especial el fo)ento de la )icro y pe$ueQa e)presa( yde los niveles de e)pleo. 7as => goan de personera "urdica( de autono)a econ)ica( financiera yad)inistrativa.

Caja municipal de crédito popular , es a$uella especialiada en otorgar cr+dito pignoraticio al pUblico en generaly se encuentra facultada para efectuar operaciones activas y pasivas con los respectivos conce"os provinciales ydistritales( y con las e)presas )unicipales dependientes de los pri)eros( as co)o para brindar serviciosbancarios a dic8os conce"os y e)presas.

EDP!MES: fueron creadas principal)ente para facilitar el ingreso de las OC financieras en el siste)a financiero.Est9n i)pedidas de captar depsitos y se 6inancian a trav+s de su capital propio o de las lneas de cr+dito $uecapten de otras instituciones financieras %O6,JE( otros bancos. OC internacionales( etc' y otorganfinancia)iento( preferente)ente a los e)presarios de la pe$ueQa y rnicroe)presa.

B; SECTOR NO BANCARIO

Empresas financieras: son a$uellas $ue captan recursos del pUblico y cuya especialidad consiste en facilitar lascolocaciones de pri)eras e)isiones de valores( operar con valores )obiliarios y brindar asesora de car9cter financiero.

Empresas de arrendamiento financiero: son e)presas cuya especialidad consiste en la ad$uisicin de bienes)uebles e in)uebles( los $ue ser9n cedidos en uso a una persona natural o "urdica a ca)bio del pago de unarenta peridica y con la opcin de co)prar dic8os bienes por un valor predeter)inado.

E'&%+)+ (% ,)$*&"#g: son e)presas cuya especialidad consiste en la ad$uisicin de facturas confor)adas(ttulos valores y( en general( cual$uier valor )obiliario representativo de deuda

Cooperativas de ahorro y crédito: est9n organiadas dentro de la federacin acional de ooperativas de >8orro y r+dito del PerU. 6E><EP( la cual es una organiacin de integracin cooperativa destinada a

contribuir al desarrollo econ)ico y social del pas )ediante la aplicacin y pr9ctica de los principios universalesdel cooperativis)o y enunciados del onse"o =undial de ooperativas de >8orro y r+dito %VO( por sussiglas en ingl+sY. Para eso( realia actividades de representacin( defensa( control( asistencia t+cnica( financiera yeducativa( y servicios econ)icoLfinancieros y sociales.

Almacenes generales de depósito )')%#%&)+;: son instituciones en cuyos depsitos las e)presas puedenal)acenar sus productos. 7a al)acenera le o torga un warrant $ue le servir9 co)o garanta para solicitar pr+sta)os a las instituciones bancarias. 7os al)acenes en el PerU son >l)acenera del PerU .>. >7=>PE<Z. >l)acenera Peruana de o)ercio >7PEO( a. >l)acenera S.>. >S> y Jepsitos S.>.

C; SECTOR BANCARIOB)#*+: 7os bancos son instituciones financieras $ue tienen autoriacin para aceptar depsitos y conceder cr+ditos. Estos persiguen la obtencin de beneficios. Por eso( tratan de prestar los fondos $ue reciben( de tal for)a$ue la diferencia entre los ingresos $ue obtienen y los costos en $ue incurren sea la )ayor posible. 7os ingresoslos obtienen de los intereses $ue cobran por los cr+ditos y pr+sta)os concedidos por sus inversiones en valores

)obiliarios y por los servicios $ue prestan.7as nor)as b9sicas del funciona)iento de los bancos son garantiar la li$uide( la rentabilidad y la solvencia.Pode)os identificar dos tipos de bancos: estatales y privados $ue( a su ve. pueden ser co)erciales( industrialeso )i?tos. 7os bancos co)erciales se ocupan sobre todo de facilitar cr+ditos a individuos privados. 7os bancosindustriales se especialian en e)presas industriales 7os bancos )i?tos %o )Ultiples' co)binan a)bos tipos deactividades. En el PerU( los bancos son de este tipo.

B)#) C*'%&") J B)#) M$"%

1.. GLOSARIOT)+) L"*&: L*#(*# I#$%&)#[ O,,%&%( R)$%;: tasa de inter+s $ue se cobra en las operaciones de cr+ditointerbancario en el =ercado de 7ondres. Sirven co)o punto de referencia en todo el )undo.

T)+) P&"'% R)$%: Es la tasa de interes activa preferencial $ue un banco de los EE.. cobra a sus )e"oresclientes. 7a tasa Pri)e <ate tiende a estandariarse en toda la banca cuando un banco grande la )odifica.



R"%+g* P)"+: El riesgo politico de colocar fondos [ va presta)os [ o efectuar inversiones en un pas diferente aldel inversionista.

TAMEX J T)+) (% I#$%&%+ A$"3) %# M*#%() E/$&)#%&).

TAMN J T)+) (% I#$%&%+ A$"3) %# M*#%() N)"*#).

S&%)(: Jiferencia entre lo $ue rinde el dinero y lo $ue cuesta. Ceneral)ente se refiere a la diferencia entre la tasa

de inter+s activa y pasiva efectivas.B)#* (% I#3%&+"#: E)presa especialiada en la obtencin de fondos de largo plao para sus clientes oe)presas inversionistas.

B)#) (% C*#+'*: E)presa especialiada en la obtencin de fondos de corto plao o largo plao para personasnaturales.

1.. BIBLIOGRAÍA

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2



CAPITULO II: CONSIDERACIONES INICIALES UNDAMENTALES

2.1. LA ORTUNA SONRIE

o lo digo por$ue usted vaya a leer estos apuntes de clase( sino $ue acaba de recibir un eL)ail en el $ue Cooglele infor)a $ue en un sorteo )ensual entre las personas $ue navegan es esta Web( le 8a correspondido un pre)iode S; 100. sted tiene $ue elegir si desea los S;100 8oy( o si prefiere $ue Coogle le entregue sus S;100dentro de 1 aQo. u9ndo pedira usted el dineroG. %En las siguientes gr9ficas se usa la #%) (% $"%'*;

GRAICA: US 1009 U(. * &%,"%&% *5

GRAICA: US 1009 U(. * &%,"%&% (%#$&* (% 1 )W*

Si prefieres los S; 100( usted ya tiene ciertos conoci)ientos( aun$ue no )e lo crea( de la )ateria $ue nos va)osa ocupar durante las pr?i)as p9ginas: la =>!E=>!,> JE 7>S OPE<>,OES 6,>,E<>S. Puede $ueusted $uiera aprender )9s( o $ui9s le obligan a ello. o se preocupeK si )e presta su co)plicidad loconseguire)os. En todo caso( tras su acertada decisin( to)ar los S; 100 8oy( est9 uno de los principios )9si)portantes de las finanas.

US 100 O! VALE M6S @UE US 100 EN EL UTURO

Por $u+ vale )9s S; 100 8oyG Por$ue si usted tiene el dinero 8oy( tiene la oportunidad de invertirlo y obtener una rentabilidad( unos intereses( por lo $ue en el futuro usted tendr9 )9s de S; 100. Pode)os decir $ue suri$uea es )ayor si tiene S; 100 8oy en lugar de tener S; 100( ponga)os( dentro de un aQo.Si( por el contrario( usted prefiere $ue le entregue los S; 100 dentro de 1aQo( sus conoci)ientos son algo)enores( pero no se desani)e( usted y yo for)a)os un e$uipo. Sus conoci)ientos 8abr9n )e"oradosensible)ente cuando ter)ine de estudiar este curso.

2.2. EL DINEROEn la econo)a )oderna $ue nos 8a tocado vivir( e?iste un poderoso caballero lla)ado Jon Jinero. !odos losbienes o servicios pueden valorarse en esa unidad de cuenta $ue lla)a)os dinero.Suponga)os $ue Coogle 8a 8ec8o la siguiente pregunta a los 4 Ulti)os ganadores del pre)io de S; 100 : Fu+va 8acer con este dineroG Sus respuestas 8an sido:I+)%: M=e lo voy a gastar en una cena con )i novio el pr?i)o s9bado en el )aravilloso restaurant M<oXy]s%&#)#(*: MAo voy a 8acer algo parecido a ,sabelK pero de )o)ento lo guardar+ en )i )esilla de noc8e e invitar+

a )i novia dentro de 2 aQos( cuando ter)ine su carrera( a cenar en el M<oXy]s.IW)[": ^Ao no pienso )algastarlo co)o estos consu)istas( lo guardar+ en )i 8uc8a %ca"a para guardar

S;.( SB.( etc.' para cuando )e "ubile( por$ue en esta vida 8ay $ue a8orrar^.E3"&): ^Ao ta)bi+n soy a8orradora( ingresar+ este dinero en el 7,<E!I del anco de r+dito.

TEST DE MATEM6TICA INANCIERA

7e propongo realiar un sencillo ^test^. Suponiendo $ue no 8ubiera otras cosas $ue 8acer con los S; 100( $ue lascuatro alternativas planteadas por nuestros a)igos:

<@U= ARÍA USTED CON SUS US 100>

%Slo puede poner una _'

1. Castarlo co)o ,sabel 3. >8orrarlo co)o ,QaXi

3

S; 100

0 1 aQo

S; 100

0 1 aQo



2. Castarlo co)o 6e)ando 4. >8orrarlo co)o Elvira

S*"#: Si 8a puesto la _ en:

I+)%: sted es consu)ista( pero ade)9s se 8a )ontado al carro de la ley de la subesti)acin de las

necesidades futuras frente a las presentes. sted prefiere pasar una velada inolvidable 8oy $ue

8acerlo en el futuro( por e"e)plo dentro de 2 aQos. 7e felicito( est9 usted en el carro en el $ue va)oscasi todos.

%&#)#(*: !a)bi+n es consu)ista( pero se 8a e$uivocado de carro. =e parece )uy bien $ue usted $uiera

consu)ir dentro de 2 aQos( o necesite ese tie)po para afianar la relacin con su novia. Pero

)ientras tanto... <*& 87 #* *#% + ("#%&* ) $&)))&> o de"e su dinero deba"o de una piedra %la

)esilla'( aUn suponiendo $ue tiene la suerte de vivir en un pas en el $ue los precios no vayan a subir(

esto es( $ue dentro de 1 aQo usted pueda pagar con sus S; 100 la )is)a )aravillosa cena de la

$ue va a disfrutar ,sabel )aQana )is)o.

IW)[": sted no se 8a de"ado seducir por nuestra sociedad de consu)o( `le felicito( pero... `ponga su dinero

a traba"ar sted( al igual $ue 6ernando( est9 perdiendo la **&$#"()( de invertir el dinero durante el

tie)po $ue no lo vaya a necesitar.

E3"&): 7e felicito doble)ente( por no caer en el consu)is)o( y por$ue 8a puesto su dinero a traba"ar. sted

sabe $ue dentro de 1 aQo en su 7,<E!I 8abr9 )9s $ue los S; 100 $ue Coogle le 8a dado 8oy.

o 8a de"ado escapar la **&$#"()( de 8acer $ue su dinero traba"e para usted. sted 8a realiado

una OPERACIFN INANCIERA.

2.?. OBHETIVO PRINCIPAL DEL TALLER

Jesarrollar una visin financiera para la solucin de proble)as de operaciones de inversin y de operaciones de

financia)iento.

"; IDEA UNDAMENTAL I

>s co)o acepta)os de )anera natural $ue los seres 8u)anos deben ca)biar de for)a en el tie)po.

""; IDEA UNDAMENTAL IIJesde una ptica financiera debe)os aceptar ta)bi+n de )anera natural( $ue el dinero debe ca)biar de for)a en

el tie)po.

4

04 meses 5 aos 1H aos 30 aos

04 meses 5 aos 1H aos 30 aos

S;S;

S;

S;



"""; <C'* MEDIR LA TRANSORMACIFN DEL DINERO EN EL TIEMPO>

=edida absoluta: <esta o Jiferencia.

=edida relativa: Jivisin o ociente.

"3; MEDIDAS DE CRECIMIENTO DEL DINERO EN EL TIEMPO.

EL INTERES I; =ide de )anera absoluta la variacin de dinero por unidad de tie)poK se le calcula rest9ndole

al capital final el capital inicial( debido a ello el inter+s debe e?presarse en unidades )onetarias.

P*& %%'*\ si 8oy deposito una cuenta de a8orro SB. 120 y luego de un aQo tengo co)o saldo SB. 150( entonces

el inter+s generado sera SB. 30 al aQo.

Jebido a $ue es una )edida absoluta( no sie)pre nos indicar9 la alternativa financiera correctaK por e"e)plo( no

sie)pre es )e"or el cr+dito donde paga)os )enos inter+s.

3; MEDIDAS DE CRECIMIENTO DEL DINERO EN EL TIEMPO

LA TASA DE INTER=S ";

=ide de )anera relativa la variacin de dinero por unidad de tie)poK se le calculadividiendo el inter+s entre el capital inicial( debido a ello la tasa de inter+s debe e?presarse en deci)ales( en

realidad la tasa de inter+s nos infor)a cu9nto es el inter+s $ue se genera por cada unidad )onetaria en la

operacin.

P*& %%'*\ si 8oy deposito en una cuenta de a8orro SB. 250 y luego de un aQo tengo co)o saldo SB. 300.

, S [ P 300 [ 250 50

7a tasa de inter+s se calcula:

50

5

PSB250

0

PSB300

1 aQo

PSB120

0

PSB150

1 aQo

S;

S;

S; Medida relati%a

S;

M e d i d a a

b s o l u t a



LLLLLL 0.20 250

7a tasa de inter+s es 0.20 anual

3"; MEDIDAS DE CRECIMIENTO DEL DINERO EN EL TIEMPO

LA TASA PORCENTUAL DE INTER=S ";

Es si)ple)ente la e?presin porcentual de la tasa de inter+s( se calcula )ultiplicando a esta Ulti)a por 100&.

Por e"e)ploK si 8oy deposito en una cuenta de a8orro SB. 200 y luego de un aQo tengo co)o saldo SB. 220. 20LLLLLL 0.10 200

7a tasa porcentual de inter+s es: 0.10 ? 100& 10&

2.4. OPERACIFN INANCIERA

na operacin financiera es un interca)bio te)poral de capitales.

7as operaciones financieras se agrupan en:Operaciones de inversin

Operaciones de financia)iento

OPERACIONES DE INVERSIFN

I#3%&+"#.- Es un )onto re$uerido para ad$uirir el activo fi"o tangible( activo intangible y para pagar los

re$ueri)ientos de capital de traba"oK para iniciar o continuar la produccin de bienes o servicios.

ACTIVO IHO TANGIBLE.- Esta constituido por todos los bienes $ue son indispensables para el

funciona)iento de la e)presa( estos activos sonK

L =a$uinarias y E$uipos L =uebles y EnseresL E$uipos de Oficina L @e8culos de !ransportes

L !errenos L <ecursos aturales

L onstrucciones L Edificios

L ,nstalaciones L Otros

ACTIVOS INTANGIBLES.- Esta for)ado por servicios o derec8os ad$uiridos $ue son necesarios para un

negocio. Estos son:

L Castos de Organiacin para la creacin de la e)presa

L Castos de estudio: Estudios de =ercado( proyecto de ,nversin.

L Patentes( )arcas( etc.

L Otros

CAPITAL DE TRABAHO.- Es el dinero necesario para iniciar o continuar el proceso productivo. apital de

traba"o necesario para ad$uirir( )aterias pri)as( insu)os( pagar sueldos y salarios( etc.

E"e). na persona invierte S ; 20(000 para la creacin de une e)presa.

C)(&*: I#3%&+"# I#"")

>ctivo tangible S ; 12(000 #0 &

>ctivo ,ntangible 3(000 15 &

apital de traba"o 5(000 25 &

T*$) "#3%&+"# 209000 100

OPERACIONES DE INANCIAMIENTO

#



"#)#")'"%#$* J "#)#K)+.- Se entiende por finanas a la captacin de recursos financieros %S;( SB.'.

Pr+sta)os personales( pr+sta)os 8ipotecarios( e)isin de bonos( e)isin de acciones( etc. para luego

realiar operaciones de inversin.

C)(&*: E+$&$&) (% #)#")'"%#$*

>porte Propio S ; *(000 35 &anco > 13(000 #5 &

T*$) "#3%&+"# 209000 100

2.. TEORÍA DE PORCENTAHE

T)#$* *& "%#$* ;-- Se lla)a por ciento a una fraccin o parte de un todo lla)ado 100. n 100 puede ser

uevos Soles( Jlares >)ericanos( D)( Dg( )3( )2( etc( etc.

E%' 1.L ,nterprete d. lo siguiente MNuan <ios recibe un pr+sta)o de SB. 500 y paga una tasa de inter+s del

2&

Por cada SB 100 $ue Nuan <ios recibe de pr+sta)o( tiene $ue pagar SB.2 de ,!E<ES %,'.

E%' 2.L ,nterprete d. lo siguiente M=arisol obtiene un financia)iento de SB *00 y le aplican una tasa de inter+s

del 1*&

Por cada SB 100 $ue =arisol recibe de pr+sta)o( tiene $ue pagar SB.1* de ,!E<ES %,'.

2.. E@UIVALENCIAS DE TANTO POR CIENTO ;9 RACCIFN ! DECIMAL

&)"# D%"')

2&

3.5&

5&

* &4

3

50&

*5&

100

2

100

5.3

100

5

100

*5.*

100

50

100

*5

0.02

0.035

0.05

0.0*5

0.50

0.*5

2.. EL INTER=S I;

El inter+s tiene sinni)os:

I#$%&7+ %# US9 SQ.9 %$.; J "#g&%+* J %#%,""* J $""()( J &%#$)""()(

I#$%&7+ %# US9 SQ.9 %$.; J *+$* (% ("#%&* J &%"* (% ("#%&* J *+$* (% &7("$*

P&%+$)'"+$).- El $ue otorga un cr+dito

P&%+$)$)&"*.- El $ue recibe un pr+sta)o

C*#%$* 1 (% "#$%&7+.- Es lo $ue cobra %SB.( S ;' un presta)ista al prestatario por una operacin financiera.C*#%$* 2 (% "#$%&7+.LEs lo $ue paga %SB.( S ; un prestatario por recibir un cr+dito.

*



ELEMENTOS DE UNA OPERACIFN INANCIERA:

E P&"#") P; * )"$) "#"").- Se le considera co)o un valor presente o valor actual. T)+) (% "#$%&7+ ";.- Es la relacin o ran $ue 8ay entre el inter+s %,' y el principal %P'. 7a i es e?presada en

porcenta"e.P

,i =

T)+) (% " %# ; J *+$* (% ("#%&* J &%"* (% ("#%&* J *+$* (% &7("$* son sinni)os N (% %&"*(*+ * $"%'* #; .- Es el nu)ero de periodos $ue dura la operacin financiera( e?presada en aQos(

se)estres( tri)estres( )eses( etc.

M*#$* S;.L El )onto de una cuenta est9 for)ado por el principal %P' y el inter+s %,'.S P H ,

E%'. na persona recibe un pr+sta)o de SB. 1(000( a una tasa de inter+s anual de 10&( esta operacinfinanciera dura 1 aQo. Encuentre d. el costo de dinero. %solo precise el plantea)iento del proble)a'

P SB. 1(000i 0.10n 1 aQo, G

2.. NUMERO DE PERIODOS #;

P)K* *'&%#("(* %#$&% (*+ ,%)+E%'*.L Si se abre una cuenta el dia : 2- de >bril y se cierra el 02 de =ayo del )is)o aQo( u9ntos das duraesta operacin financieraG

M7$*(* (% ()+ $%&'"#)%+.- onsiste en considerar todos los das posteriores a la fec8a inicialE%'. u9ntos dias se 8abr9n acu)ulado entre el 2 (% #"* 5 % 4 (% )g*+$* del )is)o aQo( fec8as dedepsito y cancelacin de un i)porte a8orrado en un banco. Para este caso se usa la TABLA

04 >gosto 21#2* Nunio 1*- 3-

n 3- das P%&"*(*+ (% $"%'* )#)&"*

nos aQos tiene 3#5 das( otros 3##( unos )eses tienen 30 das( otros 31 dasK para superar estos proble)as seusa el periodo bancario dispuesto por el <P.

P%&"*(* B)#)&"* N (% D)+ >Qo 3#0 .Se)estre 1-0

uatri)estre 120!ri)estre /0

i)estre . #0

-

0 1 2 3 4 5 aQos

2-B04 2/B04 30B04 01B05 02B05 6ec8a 6ec8a

,nicial 6inal



=es 30

Fuincena 15

Ja 1

*&"K*#$% 5 S*&"K*#$%+ T%'*&)%+

*&"K*#$% $%'*&) ;.L Es el tie)po $ue dura una operacin financiera. E"e)plo

S*&"K*#$%+ T%'*&)%+ ";.- Son las unidades de tie)po %8 i' o periodos $ue est9 dentro del 8orionte

te)poral %R'.

/

6ec8a 6ec8a,nicial 6inal

R 1 aQo

h1 h

2 h

3h4

h5

h6

h7

h8



CAPÍTULO III: INTERES SIMPLE

?.1. INTERES SIMPLE V+ INTERES COMPUESTO

E?pli$ue)os la diferencia entre inter+s si)ple e inter+s co)puesto con los siguientes e"e)plos:

INTERES SIMPLE

E%'* I.- Si se coloca un principal de S SB. 1(000 a una !asa de inter+s o)inal >nual %!>' del 10&(

durante 5 aQos. Encontrar el ,nter+s %,' Si)ple y el =onto Si)ple %S'

P S ; 1(000 a' , G

!> 10& " 0.10 b' S G

n 5 aQos

a' , 100 H 100 H 100 H 100 H 100

, S ; 500

b' S P H , 1(000 H 500

S S ; 1(500

INTERES COMPUESTO

E%'* 2: Si se coloca un principal de S ; 1(000 a una !asa efectiva >nual %!E>' de 10& durante 5 aQos.

Encontrar el ,nter+s o)puesto %i' y el =onto o)puesto %S'.

P S SB. 1(000 a' , G!E> 10& i 0.10 b' S G

n 5 aQos

a' , 100 H 110 H 121 H 133.10 H 14#.41 S ; #10.51

b' S P H ,

S 1000 H #10.51 S ; 1(#10.51

10

0 1 2 3 4 5 aos

" 6 17000 " 6 17000 " 6 17000 " 6 17000 " 6 17000 17000 8 500 6 17500 6 ,

91 92 93 94 95

100 100 100 100 100

0 1 2 3 4 5 aos

"0 6 17000 "

1 6 17100 "

2 6 17210 "

3 6 17331 "

4 6 174:4.10 "

5 6 17:10.51 6 ,

916100 9

2 6110 9

36 121 9

46 133.10 9

5 6 14:.41



?.2. CAPITALIACIFN DE INTERESES

); M*#*)"$)")(*.- Si se capitalia el inter+s una sola ve %al final del 8orionte te)poral( R'( durante la

vigencia de la cuenta( se usa en el inter+s si)ple.

; M$")"$)"K)(*.- Si ocurre )Ultiples capitali aciones( %al final de cada periodo' co)o el $ue se usa en

el inter+s co)puesto.

?.?. STOC] DE DINERO. LUHO DE DINERO

S$*[ (% ("#%&*.- Es una cantidad de dinero en un )o)ento dado del tie)po( ya sea en el presente o en el futuro.

sando el E%'* 1 del ,nter+s Si)ple %@ea d. la pag. *'

El dinero en el )o)ento Mo^ es:

P S ; 1(000

El dinero en el )o)ento M5^ es:

S S ; 1(500

* (% ("#%&*.L Es la sucesin de cantidades de dinero a trav+s del tie)po. sando el E%'* 2 %@ea d. la

pag. *'.

Si S ; 1(000 8a circulado durante cada uno de los 5 aQos( se considera flu"o de dinero.

?.4. TASA. NOMINAL TNJ;

Es la tasa aparente o b9sica y es publicada por los bancos y financieras. 7a !asa o)inal %!' sirve de base para

efectuar los c9lculos financieros de inter+s si)ple. En las operaciones financieras si no se 8ace referencia al tipo

de la tasa de inter+s( se est9 refiriendo a la !asa o)inal. 7a ! tiene las siguientes siglas:

U#"()( (% $"%'* T)+) N*'"#) J TN

>nual !>

Se)estral !Suatri)estral !

!ri)estral !!

i)estral !

=ensual !=

Fuincenal !F

Jiaria !J

?.. CONCEPTO DE ÍNTERES SIMPLE

na cuenta est9 ba"o un r+gi)en de inter+s si)ple cuando: se produce una sola capitaliacin de inter+s( la

)is)a $ue se realia al t+r)ino del 8orionte te)poral %R' pactado. Se usa las variables:

P Principal

11

I#$%&7+ I;

C*# #) )"$)"K)"#) ,"#) (% ;

C*# M$"%+C)"$)"K)"*#%+ ),"#) (% Q%&"*(*;

I#$%&7+C*'%+$* I;

I#$%&7+S"'% I;



, ,nter+s Si)ple

! " !asa o)inal

n n de periodos

S =onto si)ple

G&á,"): I#$%&7+ S"'%

?.. CONCEPTOS COMPLEMENTARIOS

A. EL CR=DITO

7a concepcin inicial del cr+dito se bas en un aspecto funda)ental: la confiana $ue inspiraba el futuro

deudor. Je all $ue su origen eti)olgico proviene de la vo latina &%("$' %confiana' y &%(%&% %confiar'

CONCEPTO DEL CREDITO.- r+dito es a$uella operacin por la cual una entidad financiera( el presta)ista(

se co)pro)ete a entregar al prestatario una su)a de dinero u otro ele)ento representativo del )is)o(

recibiendo a ca)bio despu+s de un plao( esa su)a )9s un inter+s( ta)bi+n en dinero.

<CU6LES SON LOS ELEMENTOS DEL CR=DITO> CONDICIONES DE UNCR=DITO

• !asa de ,nter+s %i'( plao( periodo

de gracia( etc

• ondiciones =acroecon)icas

B. LOS TÍTULO VALORES

Jocu)ento $ue incorpora una obligacin patri)onial

CONCEPTO DE TÍTULO VALOR.L Jocu)ento $ue contiene o representa un derec8o patri)onial( destinado ala circulacin y $ue cu)ple los re$uisitos for)ales seQalados por la ley.

<@U= TÍTULO VALORES RECONOCE LA LE! N 22>

El Cheque

El "a?aré

(a (etra de Cambio

(a +acturación Con)ormada

(os Certi)icados Bancarios

El Certi)icado de !eposito

El Iarrant

El F=tulo de Crédito ipotecario Ne?ociable.

El Conocimiento de Embarque

(a Carta "orte

(os Dalores MobiliariosJ Acciones7

bonos7 etc.

C. LETRA DE CAMBIO

CONCEPTO DE LETRA DE CAMBIO.L !tulo valor )ediante el cual el Mgirador ordena al Maceptante %ta)bi+nlla)ado Mgirado u Mobligado al pago'( $ue cu)pla con pagarle al beneficiario una su)a de dinero dentro delos t+r)inos y condiciones indicados en la 7etra de a)bio.

12

,

PP

S

n

R

El $ue proporciona los fondos yotor a el cr+dito

El $ue recibe los fondos yace ta el cr+dito

ACREEDOR DEUDOR



abe la posibilidad $ue el girador sea a la ve el )is)o beneficiario( o $ue el girador sea el )is)o aceptante

%obligado al pago frente al beneficiario'.

<@UI=NES INTERVIENEN EN UNA LETRA>

• G"&)(*& .L o librador( es $uien gira o e)ite la letra.

• B%#%,"")&"*.L o to)ador( es la persona a favor de $uien se e)ite la letra y a $uien debe efectuarse el pago

%inicial)ente el acreedor'• G"&)(*.L o librado( es la persona a cuyo cargo se gira la letra y $uien se obliga a pagarla %deudor o

aceptante'.

• G)&)#$%.L aval o fiador( es $uien se obliga a garantiar el pago total o parcial en caso $ue el girado no

cu)pliera con el )is)o %es un respaldo opcional a la operacin crediticia'

MODELO DE UNA LETRA DE CAMBIO

?.. CASOS DE INTER=S SIMPLE

7os casos se observa en la siguiente gr9fica:

G&á,"): asos de inter+s si)ple

C*#*&()#") ,#()'%#$).L Para la solucin de proble)as tiene $ue cu)plirse la concordancia b9sica entre:

!asa o)inal %!' y el

n n de periodos

El n de periodos %n' tiene $ue estar en funcin de la !asa o)inal ! ".

E%'*: Si la !> 24& 7a ! esta e?presado en aQos

13

,ntereses Si)ple %,'

I C)+* P onstante! onstante

II C)+* P onstante! @ariable

III C)+* P @ariable! onstante

IV C)+*P @ariable! @ariable



n 1-0 das 3#0

1-0 0.5 aQos El n de periodos esta

e?presado en aQos

u9ntos das tiene el aQoG : 3#0

I CASO DE INTER=S SIMPLE: P&"#") P; *#+$)#$% 5 T)+) N*'"#) TNJ; *#+$)#$%.

En este caso la fr)ula principal de inter+s si)ple ser9:

, P"n

EHEMPLO 1.

El 20 de )aro se abri una cuenta con S; -00 en el anco del Oriente( el )is)o $ue pagaba una !> de 1-&.

Se re$uiere conocer el inter+s si)ple $ue gener la cuenta 8asta el 15 de abril del )is)o aQo( fec8a en $ue se

cancel la operacin.

EHEMPLO 2.Fue principal colocado entre el 1/ de abril y 30 de "unio del )is)o aQo( a una != de 2& producir9 una inter+ssi)ple de SB. /#.00.

14

I J P#

P500 P500 P500 P500 P500 P500

0 1 2 3 5 # )eses

"10.02

"2 0.02

"3 0.02

"# 0.02

n1 n

2 n

3 n

#

, ,1 H ,

2 H ,

3 H ................................. H ,

//



EHEMPLO ?.alcula la !! $ue se aplic a un principal de SB. 4(000( $ue durante del plao co)prendido entre el 5 de )aro y1* de "ulio del )is)o aQo produ"o un inter+s si)ple de SB. 2/*.*-

EHEMPLO 4.

alcule el plao al cual estuvo colocado un principal de SB 5000( $ue genero una != de 2& y rindi un inter+ssi)ple de SB. 350.

II CASO DE INTERES SIMPLE: PRINCIPAL P; CONSTANTE ! TASA NOMINAL TN J ; VARIABLE

Ceneraliando:

15

P P P P P

0 1 2 3 L1

"1 "

2 "

3 "

n1 n

2 n

3 n

, ,1 H ,

2 H ,

3 H ................................. H ,

//

"10.02

"2 0.03

"3 0.025

"# 0.015

n1 n

2 n

3 n

#

P500 P500 P500 P500 P500 P500

0 1 2 3 5 # )eses//



, P"1n1 H P"2n2 H P"3n3 H P"n

332211 n "...n "n "n "

,P

++++=

EHEMPLO.- El 2 de Nulio se abri una cuenta con un principal de SB. 5000 ba"o un r+gi)en de inter+s si)ple. 7a

!> vigente al )o)ento de apertura fue 24&( la )is)a $ue ba"o a 22& el 15 de Nulio y a 20& el 1# de

setie)bre. alcule el inter+s en la fec8a de cierre( $ue fue el 30 de setie)bre del )is)o aQo.

N*$). Es necesario usar la siguiente Crafica:

Se usa 3 tra)os:

!> 24& "1 0.24 n1 13 das

3#0

13aQos

!> 22& "2 0.22 n2 #3 das

3#0

#3aQos

!> 20& "3 0.20 n3 14 das

3#0

14aQos

Se aplica la for)ula respectiva:

Ray tres tra)os.

, 5000 [0.24

3#0

13 H 0.22

3#0

#3H 0.20

3#0

14]

5000 %0.00-###### H 0.03-5 H 0.00*******' 5000 %0.054/4444' 2*4.*2221-/, SB. 2*4.*2

III CASO DE INTERES SIMPLE: PRINCIPAL P; VARIABLE ! TASA NOMINAL TN J ; CONSTANTE

El principal %P' ca)bia por los )ovi)ientos de:

• Jepsitos y

• retiros $ue se producen dentro del 8orionte te)poral %R'

Ceneraliando:

1#

, P [ 1n1 ! 2 n2 ! "n" ! ##### H $ n$ ]

P0 P

1 P

2 P

3 PL1

0 1 2 3 L1

" " "

"

n1 n

2 n

3 n

, ,1 H ,

2 H ,

3 H ................................. H ,

//

SB 5000 ,G

02 "ulio 15 "ulio 1# set. 30 set.

, P [ 1n1 ! 2 n2 ! "n" ]

P500

0 1 2 3 5 # )eses

"10.02

"2 0.02

"3 0.02

"# 0.02

n1 n

2 n

3 n

#

//



, P0 "n1 H P1 "n2 H P2 "n3 H H PL1 "n

EHEMPLO.- El 1 de Nunio una persona abri una cuenta de a8orros en el anco del Oriente( con un i)porte de

S ; 1000( por el $ue percibe una !> de 24&. > partir de esa fec8a efectUa en su cuenta los siguientes

)ovi)ientos.

%) O%&)"# I'*&$%

01B0# Jeposito %J' S ; 1000

0/B0# Jeposito %J' 200

21B0# <etiro %<' 50001B0* ancelacin

Se pide calcular el inter+s si)ple %,' a la fec8a de cancelacin de la cuenta.

N*$).L Es necesario usar la lnea del tie)po.

Se usa 3 tra)os:

!> 24& " 0.24 n1 0- das

3#0

0-aQos

!> 24& " 0.24 n2 12 das

3#0

12aQos

!> 24& " 0.24 n3 10 das

3#0

10aQos

, " %P0n1 H P1n2 H P2n3' Ray 3 tra)os

, 0.24 [1000 %0.022222222' H 1(2000 %0.033333333' H *00 %0.02*******']

0.24 %22.222222222 H 40 H 1/.444444444'

0.24 %-1.#########'

, SB. 1/.#0

IV CASO DE INTERES SIMPLE: PRINCIPAL P; VARIABLE ! TASA NOMINAL TN J ; VARIABLE

Ceneraliando:

1*

, " [P0n1 ! P 1n2 ! P 2 n" ! #####! P $%1n$ ]

P0 P

1 P

2 P

3 PL1

0 1 2 3 L1

"1 "

2 "

3 "

n1 n

2 n

3 n

, ,1 H ,

2 H ,

3 H ................................. H ,

//

SB 1000 ,G

01 Nun. 0/ Nun. 21 Nun. 01 Nul.0*

P500

0 1 2 3 5 # )eses

"10.02

"2 0.03

"3 0.025

"# 0.015

n1 n

2 n

3 n

#

//



EHEMPLO.- Se abri un depsito de a8orro el 20 de Nulio y se cancel el 30 de novie)bre del )is)o aQo en el

anco =ultinacional. En este periodo se efectuaron los ca)bios en principales y tasas de inter+s $ue se presentan

en la siguiente tabla:

%) O%&)"# I'*&$% T)+) N*'"#)

20B0* Jeposito SB. 1000 !asa inicial !>

24&2*B0- a)bio de tasa !> 23&

30B0/ Jeposito 500 a)bio de tasa !=

1.-&

31B10 <etiro 300 a)bio de tasa != 1.*&

30B11 ancelacin

Se re$uiere calcular el inter+s si)ple $ue deveng la cuenta de a8orros en todo el plao de la operacin.

Se usa 4 tra)os:

!> 24& "1 0.24 n1 3- das

3#0

3-

aQos

!> 24& "2 0.23 n2 34 das

3#0

34

aQos

!= 1.-& "3 0.01- n3 31 das

30

31

)eses

!= 1.*& "4 0.01* n4 30 das

30

30

)eses 1 )es

I J I1 ^ I2 ^ I?

); D% 20 (% "* ) ?0 S%$. Se aplica el ,, caso: P onstante

" @ariable

,1 1(000 [0.24

3#0

3- H 0.23

3#0

34]

1(000 %0.025333333 H 0.021*22222' 1(000 %0.04*055555' ,1 SB. 4*.0#

; D% ?0 S%$. ) ?1 O$.

,2 1(500 %0.01-'

30

31

; D% ?1 O$. ) ?0 N*3. ,3 1(200 %0.01*' %1'

,3 SB. 20.40

El inter+s si)ple %,' de toda la operacinfinanciera es:

(; D% 20 H. ) ?0 N*3. I J I1 ^ I2 ^ I? 4*.0# H 2*./0 H 20.40

, SB. /5.3#

1-

, P0 "1n1 ! P 1 "2n2 ! P 2 "3n" ! #####! P $%1 "\n$

PSB.1000 ,G

20 Nul. 2* >go. 30 Set. 31 Oct. 30 ov.

,1 ,

2 ,

3



,2 SB. 2*./0

2.. MONTO SIMPLE S;

En los 4 casos estudiados se us:, P " n

En esta for)ula no aparece la variable )onto %S'. El )onto si)ple %S' tiene 3 casosGRAICA: C)+*+ (% '*#$* +"'% S;

I CASO DE MONTO SIMPLE S;: P&"#") P; *#+$)#$% 5 $)+) #*'"#) TN J ; *#+$)#$%

Sabe)os $ue el )onto si)ple es:

S P H ,

Si , P"n

S P H P"n S P %1 H "n'

EHEMPLO 1.- Fu+ )onto 8abr9 acu)ulado una persona en una cuenta de a8orros a inter+s si)ple( si percibeuna != de 3&( y su depsito inicial de SB. 2500( realiado el 4 de Octubre( se cancel el 1# del )is)o )esG

EHEMPLO 2.- Encontrar el principal $ue una tasa de inter+s si)ple )ensual de 3&( durante -* das( produ"o un

)onto de S; 500.

EHEMPLO ?.- Se ad$uiri una )a$uina cuyo precio de contado es SB. #000( pero se pago una cuota inicial de SB.

2000 y el saldo se financi con una letra de 45 das por el )onto de SB. 4150 u9l es la tasa )ensual de inter+s

si)ple cargada en esta operacinG

1/

=onto Si)ple %S'

I C)+*P onstante

!" onstante

II C)+* P onstante!" @ariable

III C)+*, en f del S

S J P1 ^ #;



P 4000 S 4150

0 45 das

EHEMPLO 4.- En $ue tie)po el )onto se triplicar9 al principal constante colocado a una !> de 20&.

II CASO DE MONTO SIMPLE: PRINCIPAL P; CONSTANTE ! TASA NOMINAL TN J ; VARIABLE

S P [1H% "1n1 H "2n2 H "3n3 H .. H "\n\']

n " n " n " n%"1

S

332211 )+……++++= P

EHEMPLO.- Se re$uiere calcular el )onto si)ple producido por un principal de SB. *000( el )is)o $ue estuvo

colocado del 11 de "ulio al 24 de setie)bre del )is)o aQo. En ese periodo la !> fue de 24& 8asta el 2- deagosto y a partir de esa fec8a vari a 22& 8asta el t+r)ino del plao de la operacin.

!> 24& !>2 22& "1 0.24& "2 0.22 n1 4- das 2* das

3#0

4- aQos

3#0

2* aQos

S G

III CASO DE MONTO SIMPLE: INTERES SIMPLE I; EN UNCIFN DEL MONTO SIMPLE S;

20

P P P P P

0 1 2 3 L1

"1 "2 "3 "

n1 n

2 n

3 n

//

P*000 SG

11 "ulio 2- ago. 24 set.



S P H ,

, S [ P( pero P "n1

S

+

, S L "n1

S

+ S [ S

"n1

1

+ , S

+−

"n1

11

EHEMPLO.- Jeter)inar el inter+s si)ple acu)ulado al 2 de "unio( de una cuenta cuyo )onto a tal fec8a ascendi

a S; 10(000. Jesde la apertura de la cuenta( el 1 de )ayo del )is)o aQo( la !> se 8a )antenido en 3#& y el

principal no sufri variaciones.

?.. ECUACIONES DE VALOR E@UIVALENTE EVE;

na ecuacin de valor e$uivalente %E@E' se obtiene igualando en una fec8a( la su)a del con"unto de obligaciones

iniciales con otro con"unto de obligaciones nuevas pactadosK $ue son e$uivalentes en una fec8a( 6ER> 6O>7

%66'K considerando la tasa de inter+s y el nU)ero de periodos.

En las operaciones financieras y )ercantiles se presentan situaciones en las cuales deudores y acreedores se

ponen de acuerdo para ca)biar las condiciones pactados inicial)ente( co)o sucede en:

<efinanciacin de deudas

Sustitucin de varias deudas $ue vencen en fec8as diferentes( por un solo pago.

Pagos anticipados con relacin a una o varias fec8as de su venci)iento.

Prrrogas de venci)ientos de plaos pactados

Etc.

%7as E@E se continuaran estudiando en el siguiente captulo: ,nter+s o)puesto'

21



GRAICAS.

Son sinni)os: J>!OS OSE<@>,OES ,6O<=>,OES @>7O<ES JE 7>@><,>7E.

E%'*: X: E?portaciones )ensuales de la e)presa eta S.>.. durante el aQo 2013 %)ilesS;'

Enero 6ebrero =aro __ Jicie)bre

100 120 130 __ /00 _1 _2 _3 ...... _12

@alores de la variable Jatos

1.1. TABLAS DE DISTRIBUCION DE RECUENCIAS O DISTRIBUCION DE RECUENCIA.<ecu+rdese $ue en el captulo , se describieron t+cnicas utiliadas para aprender uncon"unto de datos co)o concepto de la Estadstica descriptiva. Para e?presarlo de )anera diferente( utilia)osla Estadstica descriptiva para organiar los datos de varias )aneras( y seQalar dnde los valores de los datostienden a concentrarse( ayuda a distinguir los valores )ayores y )enores. El pri)er )+todo $ue se utiliar9 paradescribir un con"unto de datos es la TABLA: DISTRIBUCIFN DE RECUENCIA.

C*#%$* (% T)) (% D"+$&""# (% &%%#") * D"+$&""# (% &%%#").- >grupa)iento de datos en)$%g*&)+ "#$%&3)*+ (% )+%; $ue )uestren el nU)ero de observaciones %datos' en cada categora)utua)ente e?cluyente.

Su propsito es organiar el con"unto de datos recopilados( ya sean +stos cualitativos o cuantitativos( en unafor)a adecuada para su co)presin y an9lisis.

na tabla $ue presenta la clasificacin de una variable se lla)a !abla nidi)ensional de Jistribucin de6recuencias.

1.2. ELEMENTOS DE UNA TABLA

1. V)*& (% ) V)&")%: X"

uando la variable to)a pocos valores diferentes( en la tabla se )enciona a cada uno de ellos._i: _1 ( _2 ( _3 ( ______ 9 _X X: es el nu)ero de valores diferentes de la variable

@ariable @alores de la variable

E%'*:

Edad_"

1-1/

22



2122

2. I#$%&3)* (% C)+%: I"

uando la variable to)a )uc8os valores diferentes( no pueden )encionarse a todos los valoresK por lo tantodeber9n construirse intervalos( los cuales pueden ser:

,": ,1 ( ,2 ( ,3 ( ________ 9 ,X

X: es el nu)ero de intervalos.

); I#$%&3)*+ C%&&)(*+ : ` I" a S" )3)&")% %+ ("+&%$) ; I#$%&3)*+S%'")"%&$*+ : ` I" ` S" )3)&")% %+ *#$"#)

,": ,1 ( ,2 ( ,3 ( ________ 9 ,X

X: es el nu)ero de intervalos.

>rticulos 7"-1 L 7" Y

11 [ 1415 [ 1-1/ [ 2223 [ 2#

7i)ite inferior 7i)ite Superior

L"'"$% A)&%#$%+.- Son los li)ites de los intervalos cerrados. Entonces si la variable es discreta la tabla tieneli)ites aparentes.

L"'"$% R%)%+.- Se lla)an asi a los li)ites de los intervalos se)iabiertos. Entonces si la variable es continuala tabla ya tiene li)ites reales. Por lo tanto deber9n construirse los li)ites reales de la siguiente )anera:

L'"$%+ ))&%#$%+` L" - L+ a _________

L"'"$%+ &%)%+` L" - L+ `

10 [ 14 /.5 [ 14.515 [ 1/ 14.5 [ 1/.520 [ 24 1/.5 [ 24.525 [ 2/ 24.5 [ 2/.5

L0.5 H0.5?. M)&) (% C)+%: X"

Es el valor representativo de cada intervalo de clase( se calcula 8allando la se)isu)a de los li)ites inferior ysuperior de cada intervalo.

2

sii

L L X

+=

E%'*:

," : Edad _"

15 [ 20 1*(520 [ 25 22(525 [ 30 2*(530 [ 35 32(5

Seguida)ente( desde el punto 4 al punto * conoceras progresiva)ente las # ulti)as colu)nas de la TABLA:DISTRIBUCION DE RECUENCIAS

6recuencia >bsoluta S"'%6recuencia <elativa %proporcin' S"'%6recuencia Porcentual S"'%

X" , " " " " " "

6recuencia >bsoluta A')()

,": Edad 15 [ 2020 [ 2525 [ 3030 [ 35

23



6recuencia <elativa %proporcin' A')() 6recuencia Porcentual A')()

4. &%%#") )+*$) +"'%: , "Es el nu)ero de unidades ele)entales $ue pertenecen a cada intervalo.E%'*:

," : de Ps Y f "

e)presas10 [ 14 515 [ 1/ 20 [ 24 225 [ 2/ #

!otal n 21

Se deben cu)plir: 0 f " n ∑=

=k

i

i n f 1

. &%%#") &%)$"3) &**&"#; +"'%: "

Es la proporcin o porcenta"e de unidades ele)entales $ue presentan los diferentes valores de la variable o$ue pertenecen a los diferentes intervalos de confiana.

Proporcion: 8" Porcenta"e: 8"&

n

f h ii = 8"& 8" ? 100

E%'*:

Edad_"

de personasf "

Proporcion Personas8"

Porcenta"e Personas8"&

1- # 092 2*1/ 2 0(0/ /21 10 0(4# 423 4 0(1- 1-

!otal n 22 1(00 100

8" 0(2* En una proporcin de 0(2* est9n las personas $ue tienen 1- aQos.83& 4# El 4#& de las personas tienen 21 aQos.

Se debe cu)plir: 0 8" 1 0 8" 100

∑=

=k

i

h1

1 1 ∑=

=k

i

h1

1 100%

. &%%#") )+*$) )')(): "

Es el nu)ero de unidades estadsticas $ue presentan 8asta deter)inado valor de la variable o 8asta cierto

intervalo de clase. Se obtiene acu)ulando sucesiva)ente las frecuencias absolutas si)ples %f "'

Edad_"

de Personasf "

8" 8"& de

Personas6"

1- # #1/ 2 -21 10 123 4 22

!otal n 22 L

f " 6" n 6[ n

63 1- Jiecioc8o personas tienen de 1- a 21 aQos de edad.

. &%%#") &%)$"3) )')():Se obtienen acu)ulando sucesiva)ente las frecuencias relativas si)ples %8" o 8"&' o )ediante las for)ulas:Proporcion: 8" Porcenta"e: 8"&

_"

Edadf "

de personas

1- #1/ 221 1023 4

total n 22

," : Edad f "

de personas15 [ 20 420 [ 25 25 [ 30 330 [ 35 12

!otal n 2-

24

f 3 1010 personas tienen 21 aQosf 2 / nueve personas tienenuna edad de 20 a )enos de 25 aQos.

f 2 - 8ay oc8o e)presas$ue tienen de 15 a 1/ Pcs.



n

F H i

i = R"& R1 ? 100

E%'*:

Edad_"

Personasf "

8" 8"& Personas

6"

ProporcionPersonas

R"

Porcenta"ePersonas

R"&

1- # 0(2* 2* # 0(2* 2*

1/ 2 0(0/ / - 0(3# 3#21 10 0(4# 4# 1- 092 -223 4 0(1- 1- 22 1(00 100

!otal n 22 1(00 100 L L L

81 8" 1 81& 8"& 100

R3 : 7a proporcin de personas $ue tienen de 1- a 21 aQos es de 0(-2

2.?. ORMAS @UE PUEDE PRESENTAR UNA TABLA DE RECUENCIAS

1. uando la variable es )#$"$)$"3) #*'"#)( la tabla presenta Unica)ente la variable( frecuencias absolutassi)ples %f "' y frecuencias relativas si)ples %8 " y 8"&'.E%'*:

olor favorito_"

de Personasf "

Proporcion depersonas

8"

Porcenta"e depersonas

8"&

>ul 0(23 23<o"o 10 0(3- ?

egro 2 090 -lanco - 0(31 31

!otal n 2# 1(00 100

f 1 # # personas tienen co)o color favorito el aul.83 0(0- 7a proporcin de personas $ue prefieren el color negro es 0(0-.82& 3-& El 3-& de las personas prefieren el color ro"o.

2. uando la variable es cualitativa ordinal o cuantitativa %discreta o continua' y to)a poco valores diferentes(la tabla presenta frecuencias absolutas y relativas si)ples asi co)o frecuencias absolutas y relativasacu)uladas.E%'* );: )"$)$"3) *&("#)

Crado de,nstruccin

_"

de=u"eres

f "

Proporcion de=u"eres

8"

Porcenta"e de=u"eres

8"&

de=u"eres

6"

Proporcion de=u"eres

R"

Porcenta"e de=u"eres

R"&

,nicial 2 0(10 10 2 0(10 10Pri)aria - 0(40 40 10 090 50

Secundaria 0(30 30 1 0(-0 -0Superior 4 0920 20 20 1(00 100

!otal n 20 1(00 100 L L L

f 3 # # )u"eres tienen grado de instruccin secundaria.84 0(20 En una proporcin de 0(20 est9n las )u"eres con grado de instruccin superior.81& 10& El 10& de las )u"eres tienen grado de instruccin inicial.63 1# 1# )u"eres tienen co)o )9?i)o secundaria.R2 0(50 En una proporcin de 0(50 est9n las )u"eres $ue tienen co)o )9?i)o pri)aria.

E%'* ;: C)#$"$)$"3) *#$"#)

Peso_"

de

Personasf "

40 44* 12

25



5# ##0 10

!otal n

f 1 ..

82 ..

84 ..

62 ..

?. uando la variable es cuantitativa y to)a )uc8os valores diferentes( la tabla presenta: intervalos( )arca declase( frecuencias absolutas y relativas si)ples( frecuencias absolutas y relativas acu)uladas.); S" ) 3)&")% %+ ("+&%$): *+ "#$%&3)*+ +*# %&&)(*+.

>rticulos 7"-1 [ 7" Y

Pro)ediode >rticulos

_"

deobreros

f "

Proporcionesobreros

8"

Porcenta"ede obreros

8"&

deobreros

6"

Proporcionobreros

R"

Porcenta"ede obreros

R"&

11 [ 14 #15 [ 1- -

1/ [ 22 1023 [ 2# 4

!otal n

f 3 ...

85

81&

62

R4

; S" ) 3)&")% %+ *#$"#): *+ "#$%&3)*+ +*# +%'")"%&$*+.

!e)peratura," 7"-1 [ 7"

!e)peraturaPro)edio

_"

de dasf "

Proporcionesde das

8"

Porcenta"ede das

8"&

dedas6"

Proporcionde das

R"

Porcenta"ede das

R"&

10 [ 14 514 [ 1- /1- [ 22 1222 [ 2# #2# [ 30 -

!otal n

f 5 ....................................................

81

82&

64

R2 ..

2.4. CONSTRUCCION DE UNA TABLA CON INTERVALOS.

1. Se calcula el rango %<' o recorrido de la variable el cual es igual a la diferencia entre los valores )9?i)o y)ini)o $ue to)a la variable.< _)9? L _)n

<

_)in _)a?

7.<.

2#



2. Se encuentra el nU)ero de intervalos %D' adecuando( )ediante el criterio de Sturges.X 1 H 3.3 logn

< ,i intervalo de clase ,1 ,2 ,3

_)in _)a?

7" 7s

3. Se calcula la a)plitud %>' de cada intervalo de clase.

k

R A =

4. Se construyen los intervalos de la siguiente )anera:_)n 20 > 10 X 4

S" ) 3)&")% %+ ("+&%$) S" ) 3)&")% %+ *#$"#) I" : ` L"-1 – L" a I" : ` L"-1 – L" `

20 [ 2/ 20 [ 3030 [ 3/ 30 [ 40

40 [ 4/ 40 [ 5050 [ 5/ 50 [ #0

5. Se ubican cada uno de los datos en el intervalo al cual pertenecen( usando la TABULACION. El nu)erode datos de cada intervalo constituyen las frecuencias absolutas si)ples f ".Seguida)ente( es vital el proceso de elaboracin de la TABLA: DISTRIBUCION DE RECUENCIAS:

• 1&) *'#): ,ntervalo de clase: 7 "-1 [ 7" Y 7"-1 [ 7"

• 2() *'#): =arca de clase: _"

• 6inal)ente se elabora las # Ulti)as colu)nas.


7"-1 [ 7" Y _i , " " " " " "

6recuencia >bsoluta A')()6recuencia <elativa %proporcin' A')() 6recuencia Porcentual A')()

E%'* 1:En la tienda >7>J,O E<7 dedicada a la venta de co)putadoras se desea 8acer un estudio acerca delnu)ero de unidades vendidas durante los Ulti)os cinco aQos( con tal )otivo se to) la infor)acincorrespondiente a cierto nu)ero de )eses de dic8o periodo.

23 20 24 3# 21 34 22 1- 1* 1*2/ 30 2# 3* 2- 1 21 32 40 3520 32 1# 31 33 1/ 30 32 1- 42

); ,dentificar: poblacin( )uestra( unidad ele)ental( variable y tipo de variable.Poblacion : 5 aQos. #0 )eses=uestra : 30 )eses. n 30 )esesnidad Ele)ental : 1 )es.@ariable : U)ero de co)putadoras vendidas!ipo de @ariable : uantitativa [ Jiscreta.

; onstruir una tabla de distribucin de frecuencias adecuada.< 42 [ 15 2*X 1 H 3.3 log30 5( -* X # > 2*B# 4(5 > 5

TABLA N 1u)ero de co)putadoras vendidas por )es durante el periodo 200* L 2011

de Psvendidas 7"-1 [ 7" Y

Pro)ediode Ps

vendidas_"

de)eses

f "

Proporcinde )eses

8"

Porcenta"ede )eses

8"&

de)eses

6"

Proporcionde )eses

R"

Porcenta"ede )eses

R"&

2*



15 [ 1/ 1* * 0(23 2? * 0(23 2320 [ 24 22 0(23 23 14 0(4* 425 [ 2/ 2* 3 0(10 10 1* 09 5*30 [ 34 32 - 0(2* 2* 2 0(-3 -335 [ 3/ 3* 3 0(10 10 2- 0./3 /340 [ 44 42 2 090 * 30 1(00 100

!O!>7 30 1(00 100 L L L

6uente : Jatos ficticios.; ,nterpretar:

f 2 * Ray * )eses en los $ue se vendieron de 20 a 24 Ps.

8# 0(0* 0(0* es la proporcinde )eses en los $ue se vendieronde 40 a 44 Ps.

81& 23& En el 23& de los )eses se vendieron de 15 a 1/ Ps.

64 25 Ray 25 )eses en los $ue se vendieron de 15 a 34 Ps.

R3 0(5* En una proporcin de 0(5*

est9n los )eses en $ue se vendieron de 15 a a 2/Ps.

R2& 4*& En el 4*& de los )eses se vendieron de 15 a 24 Ps.

E%'* 2:Se aplico una encuesta a 2* traba"adores de la e)presa >76> S.>.. y se les pregunt su edad( los datosobtenidos fueron:

30 2# 2/ 2* 31 22 2/ 1* 213# ? 30 21 3# 2# 1- 31 232* 2/ 1/ 1 23 2/ 30 24 2/

a' ,dentificar: poblacin( )uestra( unidad ele)ental( variable y tipo de variable.Poblacin : !odos los traba"adores de la e)presa >76> S.>..=uestra : 2* traba"adores. n 2* traba"adores

nidad Ele)ental : un traba"ador @ariable : Edad!ipo de @ariable : uantitativa [ ontinua.

b' onstruir una tabla de distribucin de frecuencias adecuada.< 3/ [ 1* 22X 1 H 3.3 log 2* 5(* X # > 22B# 3(* > 4

TABLA N 2 de !raba"adores de la e)presa >76> S.>.. clasificados segUn edad

Edad 7"-1 [ 7"

EdadPro)edio

_"

de!raba"adores

f "

Prop. de!raba"adores

8"

& de!raba".

8"&

de!raba".

6"

Prop. de!raba".

R"

Prop. de!raba".

R"&

1* [ 21 1/ 4 0(15 1 4 0(15 1521 [ 25 23 0(22 22 10 0(3* 3*25 [ 2/ 2* 4 091 15 14 092 522/ [ 33 31 10 0(3* 3* 24 0(-/ -/33 [ 3* 35 2 0(0* * 2# 0./# /#3* [ 41 3/ 1 0(04 4 2* 1(00 100

!O!>7 2* 1(00 100 L L L

6uente: Jatos 8ipot+ticos

; I#$%&&%$)&:f 2 # # traba"adores tienen de 21 a )enos de 25 aQos83 0(15 7a proporcin traba"adores $ue tienen de 25 a )enos de 2/ aQos es de 0(15.81& 15& El 15& de los traba"adores tienen de 1* a )enos de 21 aQos.64 24 24 traba"adores tienen de 1* a )enos de 33 aQos.R3 0(52 En una proporcin de 0(52 est9n los traba"adores $ue tienen de 1* a )enos de 2/

aQos.

7"-1 [ 7"

14(5 [ 1/(51/(5 [ 24(524(5 [ 2/(52/(5 [ 34(534(5 [ 3/(53/(5 [ 44(5

L

2-



2.. EHERCICIOS PROPUESTOS: TABLAS DE DISTRIBUCION DE RECUENCIAS.

1. na e)presa $ue vende )icroco)putadoras 8a llevado a cabo un estudio para averiguar el nu)ero de)icroco)putadoras $ue e?isten en pe$ueQas e)presas del distrito >. Para el efecto to)a una )uestraaleatoria de 40 e)presas % n ' encontrando los siguientes resultados:

5 * / * - 5 4 4 3 *- 4 / # - * # / - 4# 4 * 4 3 5 - 5 / #* / 4 * 5 - * / # -

); ,dentificar: poblacin( )uestra( unidad ele)ental( variable y tipo de variable.; lasificar los datos en una tabla de distribucin de frecuencias( usar el criterio de Sturges cuando sea

necesario.; ,nterpretar: f 2( 83( 81&( 64( R3( R2&

2. Se tienen los siguientes datos correspondientes al grado de instruccin de un grupo de personasentrevistadas % n 'al aar al )o)ento de ingresar a un cine:

1: P&"')&") 2: S%#()&") ?: S%&"*& 1 3 2 3 1 3 3 2 3 33 2 1 2 3 2 3 3 3 12 3 3 2 2 2 1 1 3 32 3 2 3 2 3 3 2 1 3



?. 7a Cerencia de <ecursos Ru)anos %<<RR' de una e)presa aplica un test de 8abilidad )ental a suse)pleados % n ' con el ob"etivo de seleccionar a un nu)ero deter)inado de ellos para larealiacin de ciertas tareas. 7as puntuaciones obtenidas 8an sido las siguientes:

43 40 41 50 #2 35 3- 50 32 35 3#45 5- 30 33 45 4/ 4# 4* 51 #4 3#3/ 51 4- 53 ## 3- 41 *1 45 #- 555/ #2 #0 32 3/ 42 30 35 40 3- 3#4# 45 #- 50 #/ 53



2/



4. 7os siguientes datos corresponden al nu)ero de traba"adores $ue faltan a una fabrica en 45 dias% n ' de traba"o de EneroL)aro

13 5 13 3* 10 1# 2 11 # 12 - 21 12 11 * / 1# 4/ 1- * 3 11 1/ # 15 10 14 10 * 2411 3 # 10 4 # 32 / 12 *2/ 12 / 1/ -



. Se desea 8acer un estudio acerca del tie)po $ue las alu)nas % n ' de la . MSan 7uis Conagausan ,nternet. Para tal efecto se eligi en for)a aleatoria a un grupo de estudiantes correspondientes a lasdiferentes facultades a $uienes se les pregunt cuantas 8oras usaron ,nternet( durante la se)ana anterior ala entrevista. 7os datos obtenidos fueron los siguientes:

20 1# 2# 15 1# * 13 22 30 2#1- 20 1# 21 23 2# 22 25 24 1*20 14 / 1- 1* 12 10 12 25 2-1/ 22 25 20 10 1* 12 2# 21 1-12 13 1/


necesario.; ,nterpretar: f 2( 83( 81&( 64( R3( R2.

. > un grupo de personas % n ' to)adas al aar entre a$uellas $ue ayer ingresaron a una tienda deauto)viles( se les pregunto el color de carro $ue pensaban co)prar. Se obtuvieron los siguientesresultados:

R: &** A: )K B: )#* V: 3%&(%N: #%g&* > @ @ @ < < @ < < > > > < @ > > @ < < > @ < < < @ > > @

); ,dentificar: poblacin( )uestra( unidad ele)ental( variable y tipo de variable.

; lasificar los datos en una tabla de distribucin de frecuencias( usar el criterio de Sturges cuando seanecesario.; ,nterpretar: f 2( 83( 81&( 64( R3( R2&

. El departa)ento de prevencin de riesgos laborales de una gran e)presa de la construccin 8a recogidoinfor)acin sobre el nu)ero de accidentes laborales diarios con ba"a $ue se 8an producido durante los 44dias % n ' siguientes a la aplicacin de nuevas nor)as laborales de seguridad( obteniendo lossiguientes resultados:

2 1 0 3 3 4 4 3 * 4 41 0 4 2 4 0 2 2 4 3 20 3 0 3 5 1 5 0 0 3 0* 5 4 5 3 / 3 5 3 0 /



. En la niversidad del Pacifico %P' % n ' se reali una encuesta con la finalidad de averiguar conrespecto a los docentes( Fu+ grado acad+)ico poseenG 7os resultados obtenidos fueron:

1: #"#g#* 2: B)"%& ?: M)g"+$%& 4: D*$*& 1 2 3 2 3 4 3 2 2 1 4 23 2 4 2 2 2 4 3 4 4 3 41 3 2 4 3 2 1 2 1 2 2 22 1 4 2 2 1 4 2 2 4 3 13 4 2 3 4 3 2 3 4 3



. Se desea 8acer un estudio acerca del nu)ero de i)presoras vendidas )ensual)ente por i)portacionesRiraoXa( para tal efecto se cuenta con la infor)acin correspondiente a los Ulti)os die aQos. 6inal)ente( yluego de 8aber elegido la )uestra adecuada( se obtuvieron los siguientes datos: % n '

30



#0 44 3/ 34 *5 -# /2 4- 4* 52#5 #- *0 4* 40 3# *2 50 40 5*#0 50 /0 -4 *1 -- *1 3- 34 3533 #1 *1 3- 4* 53 #3 *5 41 #-5/ #2 54 4- *3 4# #2 *3 4/ *4-4



10. En la niversidad Peruana de iencias >plicadas %P' se reali una encuesta con la finalidad deaveriguar con respecto a los alu)nos % n '( en $u+ Pais te gustara seguir una )aestria enegocios ,nternacionalesG 7os resultados obtenidos fueron los siguientes:

1: P%& 2: E+$)(*+ U#"(*+ ?: A%')#") 4: &)#")1 2 3 2 3 4 3 2 2 1 4 23 2 4 2 2 2 4 3 4 4 3 41 3 2 4 3 2 1 2 1 2 2 22 1 4 2 2 1 4 2 2 4 3 13 4 2 3 4 3 2 3 4 3



2.. GUIA PARA ELABORAR LA TABLA: DISTRIBUCION DE RECUENCIAS:

A. CUANDO LA VARIABLE ES CUALITATIVA NOMINAL U ORDINAL.

1. C)#(* ) 3)&")% %+ )"$)$"3) #*'"#).S% "#"") *# ) $))"# (% *+ ()$*+.

olor favorito_"

!abulacion de

Personasf "

>ul #<o"o 10

egro 2lanco -!otal n 2#

S%g"()'%#$% +% %)*&) % CUADRO: DISTRIBUCION DE RECUENCIA9 +)#(* )+ ? *'#)+. 3%) U(.ág. 1;

olor favorito_"

de Personasf "

Proporcion depersonas

8"

Porcenta"e depersonas

8"&

2. C)#(* ) 3)&")% %+ )"$)$"3) *&("#).S% "#"") *# ) $))"# (% *+ ()$*+.

Crado de,nstruccin

_"

!abulacion de

=u"eresf "

,nicial 2Pri)aria -

Secundaria #Superior 4

!otal n 20

S%g"()'%#$% +% %)*&) % CUADRO: DISTRIBUCION DE RECUENCIA9 +)#(* )+ *'#)+. 3%)U(. ág 1;

Crado de de Proporcion de Porcenta"e de de Proporcion de Porcenta"e de

31



,nstruccin_"

=u"eresf "

=u"eres8"

=u"eres8"&

=u"eres6"

=u"eresR"

=u"eresR"&

B. CUANDO LA VARIABLE ES CUANTITATIVA DISCRETA O CONTINUA

S% +) % &*%+* (%: CONSTRUCCION DE LA TABLA: DISTRIBUCION DE RECUENCIAS ág. 1 5 1;). ,nicial)ente se ordenan los datos en for)a creciente.. Se calcula el rango %<' o recorrido de la variable el cual es igual a la diferencia entre los valores )9?i)o y

)ini)o $ue to)a la variable.< _)9? L _)n

. Se encuentra el nU)ero de intervalos %D' adecuando( )ediante el criterio de Sturges.X 1 H 3.3 logn

(. Se calcula la a)plitud %>' de cada intervalo de clase.

k

R A =

%. Se construyen los intervalos de la siguiente )anera:_)n 20 > 10 X 4

S" ) 3)&")% %+ ("+&%$) S" ) 3)&")% %+ *#$"#) I" : ` L"-1 – L" a I" : ` L"-1 – L" `

20 [ 2/ 20 [ 3030 [ 3/ 30 [ 40 40 [ 4/ 40 [ 50

50 [ 5/ 50 [ #0

,. Se ubican cada uno de los datos en el intervalo al cual pertenecen( usando la TABULACION. El nu)ero dedatos de cada intervalo constituyen las frecuencias absolutas si)ples f ". 7uego se presentan dos situaciones:cuando la variable es cuantitativa discreta y la variable es cuantitativa continua.

1. C)#(* ) 3)&")% %+ )#$"$)$"3) ("+&%$): %vea d. p9g. 1#'

>rticulos 7"-1 [ 7" Y

!abulacion de

Obrerosf "

11 [ 14 #15 [ 1- -1/ [ 22 1023 [ 2# 4

!otal n 2-

Seguida)ente se elabora el CUADRO: DISTRIBUCION DE RECUENCIAS• 1&) *'#): ,ntervalo de clase: 7 "-1 [ 7" Y

• 2() *'#): =arca de clase: _"

• 6inal)ente se elaboran las Ulti)as colu)nas.


7"-1 [ 7" Y _i , " " " " " "


2. C)#(* ) 3)&")% %+ )#$"$)$"3) *#$"#): 3%) U(. ág 1;S% +) % '"+'* &*%+* (% CONSTRUCCIFN (% #) TABLA: DISTRIBUCION DE RECUENCIAS. ág.22;

!e)peratura," 7"-1 [ 7"

!abulacion de das

f "10 [ 14 514 [ 1- /

1- [ 22 1222 [ 2# #2# [ 30 -

!otal n

32



Seguida)ente se elabora el CUADRO: DISTRIBUCION DE RECUENCIAS• 1&) *'#): ,ntervalo de clase: 7 "-1 [ 7"

• 2() *'#): =arca de clase: _"

• 6inal)ente se elaboran las Ulti)as colu)nas.

6recuencia >bsoluta S"'%6recuencia <elativa %proporcin' S"'%

6recuencia Porcentual S"'%

7"-1 [ 7" _i , " " " " " "


2.. USO DEL EXCEL EN LA CONSTRUCCION (% ) TABLA: DISTRIBUCION DE RECUENCIAS

). P)&) "#,*&')"# )"$)$"3). P)&) "#,*&')"# )#$"$)$"3)

2.. USO DEL EXCEL EN LA REPRESENTACIONES GR6ICAS.

). "+$*g&)')+. P*"g*#* (% &%%#")+. O"3)+(. O$&)+ g&á,")+

Para esta parte es )uy Util usar la estructura de las representaciones gr9ficas del ,E,( en su =>>7 P><> 7>P<ESE!>,O JE >J<OS ES!>J,S!,OS %p9g. 30'

2.. BIBLIOGRAIA

1. MANUALE DI STATISTICA( Ediioni Si)one( 5h edicin( 6ebrero 2013( apoli [ ,talia.

2. >ndersen SWeeney Villia)s( ESTADISTICA PARA NEGOCIOS ! ECONOMÍA( 11h edicin( =ayo 2013

=+?ico J.6.

3. =asonB7indB=arc8al( ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION ! ECONOMIA( 13h edicin( 2012 =+?ico

J.6.

4. 8u+BarrenoBastilloB=illonesB@as$ue( ESTADISTICA DESCRIPTIVA ! PROBABILIDADES( niversidad

de 7i)aL6ondo editorial( 200*

5. =artine encardino iro( ESTADISTICA ! MUESTREO( 12h edicin( 200-

#. >liaga @alde arlosB>liaga alderon arlos( ESTADISTICA PARA LOS NEGOCIOS CON EXCEL(

Ediciones E,!E( 200/.

33



u9les son las aplicaciones de la ES!>J,S!,> ,6E<E,>7G on las C<>6,>S y los ENE=P7OS se entiende )uy bien el uso de la ES!>J,S!,> ,6E<E,>7.

EHEMPLO 1.L na poblacin de tarros de lec8e C7O<,> %1 tarro 410 g' y su )uestra tienen sus respectivos

P><>=E!<OS y ES!>J,S!,OS. POBLACIFN MUESTRA

Estadstica

Je la poblacin de tarros de lec8e C7O<,> $ue 8ay en la ciudad de ,ca se $uiere saber algo. Ese algo $ue se$uiere co)probar es el contenido de grasa de lec8e.

Crasa de lec8e *.5&

34

µ

σ2

σ

PARAMETROS

S2

S

ESTADIGRAOS

!a)aQo de la poblacin n !a)aQo de la )uestra

___



o es posible llevar todos los tarros de lec8e %toda la poblacin' al laboratorio. Entonces solo usa)os una )uestrade 5 tarros $ue ser9n analiados por el $u)ico.

EHEMPLO 2.L Jel con"unto de la poblacin electoral del PerU se $uiere saber( la >P<O>,I oJES>P<O>,I de la gestin del Presidente de la <epUblica.

1#]000(000 Electores n 4000 Electores

EHEMPLO ?.L Jel con"unto de la poblacin electoral del Jeparta)ento de ,ca se $uiere saber( la >P<O>,I o

JES>P<O>,I de la gestin del >lcalde Provincial de ,ca( =ariano aci)iento.

POBLACIFN MUESTRA

EHEMPLO 4.L 7os consu)idores de la cervea P,7SE se $ue"aron a la oficina respectiva del onse"o Provincialde $ue las botellas de #50 )l. tienen )enos de 5& de alco8ol. El personal respectivo lleva 10 botellas al laboratorioy los resultados fueron:

4./0& 5.05& 4./#& 5.03& 4.-5& & de alco8ol 4.-#& 4.-/& 4./0& 5.00& 4.//& & de alco8ol

POBLACIFN MUESTRA

Fuien tiene la ranG 7os consu)idores o la )arca Pilsen

EHEMPLO .L 7os representantes de la )arca ><,E7 sostienen $ue sus bolsas contienen )as detergente %en g.'$ue las bolsas de OP>7. > un /5& de confiana la )arca ><,E7 tendr9 la ranG Se usan 2 )uestras aleatorias.

221 223 221 220 221 21/ 21/ 223 g.

220 21- 21* 215 215 215 214 g.

PO7>,I: ><,E7 PO7>,I: OP>7

R0 : µ ariel ≤ µ opal M 7as bolsas de ><,E7 contienen )enos o igual detergente $ue las bolsas de OP>7

35

n - bolsas

_ 220.5- g.S 1.55 g

n * bolsas

_ 21#.2/ g.S 2.14 g

ARIEL

OPAL

450(000 Electores n 300 Electores

_______

___ ___

S2 S

µ 5& alco8ol σ2 σ

5000 botellas n 10 botellas



R1 : µ ariel µ opal M 7as bolsas de ><,E7 contienen )as detergente $ue las bolsas de OP>7

Entonces( Fui+n tiene la ran: 7a )arca ><,E7 o la )arca OP>7G.

Para resolver este proble)a se usa un procedi)iento estadstico lla)ado PRUEBA DE IPOTESIS. ,nicial)entese usan los datos )uestrales de ><,E7( luego los datos )uestrales de OP>7 y al final del proceso estadstico sellega a la siguiente conclusin:

R1 : µ ariel µ opal M 7as bolsas de ><,E7 contienen )as detergente $ue las bolsas de OP>7

!eniendo en cuenta estos ENE=P7OS y otros >SOS en el M)undo de los negocios( la econo)a( laad)inistracin( las industrias( el co)ercio( las finanas( el gobierno( etc.K se sostiene:

7a ,6E<E,> ES!>J,S!,> se ocupa de las deducciones acerca de una poblacin con base en una )uestrato)ada a partir de la poblacin.

7as t+cnicas estadsticas lla)ada P<E> JE R,PI!ES,S( y otros procesos estadsticos( para llegar a la referidadeduccin o conclusin( se estudiaran en los siguientes captulos.

1.2. CONCEPTOS UNDAMENTALES POBLACIFN ! MUESTRA

CONCEPTO DE POBLACIFN.- Es el con"unto

de todas las unidades ele)entales $ue poseenuna caracterstica en co)Un $ue se deseaestudiar. Este con"unto puede estar confor)adopor personas( e)presas( instituciones( productosen proceso( productos ter)inados( servicios()arcas( etc.EHEMPLOS:• on"unto de electores del PerU. 1#]000(00 personas• on"unto de electores del Jeparta)ento de

,ca. 450(00 personas• on"unto de botellas %#50 )l' d cervea

P,7SE $ue 8ay en la ciudad de ,ca.

5000 botellas• on"unto de fa)ilias de la ciudad de ,ca. 3#(000 fa)ilias• on"unto de E)presas >grarias E?portadoras

del valle de ,ca. 100 e)presas agroe?portadoras

CONCEPTO DE MUESTRA.L Es un subcon"unto

de unidades ele)entales( elegidos de unapoblacin.

EHEMPLOS:• 4(000 electores del PerU. n 400 personas• 300 electores del Jeparta)ento de ,ca. n 300 personas• 10 botellas %#50 )l' de cervea P,7SE. n 10 botellas• 100 fa)ilias de la ciudad de ,ca.

n 100 fa)ilias• 30 E)presas >grarias E?portadoras del valle

de ,ca. n 30 e)presas

TIPOS DE POBLACIFN

na poblacin puede ser finita o infinita. Ser9 finita cuando sea posible deter)inar cu9ntos ele)entos la

confor)an( y ser9 infinita cuando sea i)posible establecer el nU)ero de unidades $ue posee.

E"e)plos de poblacin finita:

•on"unto de fa)ilias de una ciudad

•on"unto de e)presas de una regin

•on"unto de bo)billas el+ctricas producidas en un perodo de produccin.

UNIDAD ELEMENTALEs todo ele)ento $ue est9 asociado a una caracterstica o factor $ue se desea estudiar en la poblacin o )uestra.Por e"e)plo:

>l realiar un estudio socioecon)ico en una ciudad( una caracterstica en estudio ser9 el ingreso fa)iliar( y

cada fa)ilia de la ciudad ser9 una unidad ele)ental.

>l estudiar el grado de preparacin t+cnica de los traba"adores de una e)presa( una caracterstica en estudio

podra ser el grado de instruccin( y cada traba"ador de la e)presa ser9 una unidad ele)ental.u9les son las unidades ele)entales y su respectiva caracterstica en cada uno de los ENE=P7OS precedentesG

VARIABLE

Es todo factor o caracterstica $ue se encuentra en estudio en una )uestra o poblacin.

3#

CLASES DE VARIABLES

V. C)"$)$"3)+ V. C)#$"$)$"3)+



A; VARIABLES CUALITATIVAS

Son a$uellas cuyos resultados posibles no pueden ser e?presados en for)a nu)+rica. 7as variables cualitativaspueden ser:); V)&")%+ )"$)$"3)+ #*'"#)%+Son a$uellas cuyas categoras posibles no tienen por $u+ ser presentadas en un orden definido. Por e"e)plo:

olor de preferencia de las personas 7a accin de )ayor cotiacin en la bolsa de valores

; V)&")%+ )"$)$"3)+ %&á&8")+

Son a$uellas cuyas categoras posibles deben ser presentadas en un orden definido. Por e"e)plo: alidad de los artculos producidos por una e)presa: E?celente( )uy bueno( bueno( regular y )alo

Crado de instruccin de los e)pleados de una e)presa: Pri)aria( Secundaria( Superior( Posgrado

B; VARIABLES CUANTITATIVASSon a$uellas cuyos resultados posibles pueden ser e?presados en for)a nu)+rica. 7as variables cuantitativaspueden ser:); V)&")%+ )#$"$)$"3)+ ("+&%$)+

Son a$uellas $ue tienen un nU)ero finito o infinito nu)erable de valores posibles. sual)ente se las asocia aprocesos de conteo( donde el valor es un nU)ero entero. Por e"e)plo: antidad de accidentes se)anales en una e)presa: 0( 1( 2( 3(K accidentes se)anales en una e)presa

antidad de e)presas con proble)as financieros: 0( 1( 2( 3(K e)presas con proble)as financieros

; V)&")%+ )#$"$)$"3)+ *#$"#)+

Son a$uellas $ue tienen un nU)ero infinito no nu)erable de valores posibles. Por e"e)plo: @olu)en )ensual de produccin de 8arina de pescado: 100.00 XgK 100.05 Xg( 100.10 Xg( etc

Peso neto del detergente ><,E7: 221 g.( 223 g.( 220 g.( etc.

OBSERVACIFN

Es el dato o registro $ue resulta de la apreciacin de una caracterstica en un individuo o unidad ele)ental. na

observacin puede ser cualitativa o cuantitativa. Por e"e)plo:

<o"o( es la observacin del color preferido por una deter)inada persona.

100.00 Xg.( es la observacin del volu)en de produccin % de 1 saco' de 8arina de pescado de una e)presa.

ueno( es la observacin de la calidad de un producto despu+s de ser revisado por un t+cnico en control de

calidad.

221 g.( es la observacin de 1 bolsa de ><,E7.

GRAICA: DATOS CUALITATIVOS ! CUANTITATIVOS

PARAMETROS DE 1 POBLACIFN. ESTADISTICOS O ESTADISTICA DE 1 MUESTRA

POBLACIFN MUESTRA

3*

DATOS

ualitativos o deatributos

Jiscretos

uantitativos onu)+ricos

ontinuos

•=arca de auto$ue posee.

•olor de auto•Profesin u

ocupacin•<eligin

de e)pleados Peso de un carga)ento de !@ vendidos Jistancia: 7i)aL=ia)i de 8i"os D) por ca)bio de aceite

µ σ2

σ

PARAMETROS

S2

S

ESTADIGRAOS



CONCEPTO DE PARAMETRO.- Es una cantidadnu)+rica calculada sobre una poblacin. >lgunos de los par9)etros a los cuales se 8ar9referencia son: =edia poblacional( cuya notacin es µ

%se lee M)u' @ariana poblacional( cuya notacin es σ2

%se lee sig)a al cuadrado' Jesviacin poblacional( cuya notacin es σ

%se lee sig)a est9ndar'

CONCEPTO DE ESTADISTICO A;.- Es una cantidadnu)+rica calculada sobre una )uestra. >lgunos de los par9)etros a los cuales se 8ar9referencia son: =edia )uestral( cuya notacin es

_

@ariana )uestral( cuya notacin es S2

Jesviacin est9ndar )uestral( cuya notacin es S

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. ESTADISTICA INERENCIAL

M7$*(*+.L on"unto operaciones ordenadas con $ue se pretende obtener un resultado.

CONCEPTO DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA.-

on"unto de )+todos para recolectar( resu)ir y

presentar los datos estadsticos( )ediante:

• @alores nu)+ricos.L Pro)edio % _ '(

)ediana %=e'( )oda %=d'( desviacin

est9ndar %S'( etc.

• Cr9ficos.L Ristogra)as( polgonos de

frecuencia( gr9ficas lineales( gr9ficas

circulares( etc.

CONCEPTO DE ESTADISTICA INERENCIAL.-

on"unto de )+todos usados para saber algo

acerca de una poblacin( bas9ndose en una

)uestra. > partir de datos )uestrales( efectUa

esti)aciones( decisiones( predicciones u otras

generaliaciones sobre un con"unto )ayor de datos

%la poblacin'.OTRO CONCEPTO.L 7a estadstica inferencial usa

una )uestra de la poblacin y e)pleando t+cnicas

estadsticas obtiene inferencias o conclusiones

(a deducción es una 9N+ERENC9A 6 CNC(,9NE,

1.?. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA 1.- E?presar con @ o 6( segUn considere verdadera o falsa( cada una de las afir)aciones siguientes.<ectifi$ue adecuada)ente a$uellas afir)aciones $ue considere falsas.% ' 1. n estadstico es una )edida estadstica $ue es un valor constante para la poblacin en estudio.% ' 2. na variable es discreta cuando su con"unto de valores posibles es finito.

% ' 3. Para realiar procesos de inferencia estadstica es necesario tener una )uestra aleatoria.% ' 4. 7a organiacin de datos for)a parte de la estadstica descriptiva% ' 5. En un estudio sobre far)acias y boticas de 7i)a =etropolitana se estudia( entre otras variables( el 8orario

de atencin. 7uego( esta variable es de tipo cualitativo.% ' #. El estadstico es un par9)etro cuyo valor se deter)ina utiliando a los ele)entos de la )uestra.% ' *. n par9)etro es una )edida estadstica )uestral cuyo valor es una constante.% ' -. 7a inferencia estadstica se ocupa del c9lculo de par9)etros utiliando infor)acin )uestral.% ' /. El con"unto de valores posibles de una variable discreta sie)pre es finito.% ' 10. na variable continua tiene un con"unto de valores posibles $ue es infinito( nu)erable o no nu)erable.

PROBLEMA 2.- En una cooperativa se realia una auditoria. 7a institucin tiene registrados 5000 socios( de loscuales est9n activos 3-00. onsiderando $ue la cooperativa continUa traba"ando con tar"etas %Xarde?'( la e)presaauditora revisa por )uestreo aleatorio 200 tar"etas de socios activos( y encuentra lo siguiente:

Ray tres tipos de pr+sta)o utiliados: a sola fir)a( nor)al y cinco por uno. E?isten -0 tar"etas sin errores( #0 tar"etas con un error( 30 tar"etas con dos errores y 5 tar"etas con )9s de tres

errores. 7os )ontos de los errores( restando el )onto $ue figura en la tar"eta y el )onto real( van desde SB. 1# 8asta

3-



SB. 4. na tar"eta tena un )onto de # soles en contra del socio.

>l 10& de los pr+sta)os otorgados le faltaba algUn docu)ento o los docu)entos no eran los adecuados.

El 5& estaba )oroso.

El socio Cenaro ienfuegos tiene - cuotas atrasadas.

El tipo de pr+sta)o lla)ado ^nor)al^ es el $ue tiene )ayor acogida.

). u9l es la poblacin en estudioG A la )uestraG E?pli$ue.. Fu+ variables est9n involucradas en los resultados dadosG Estableca el tipo de cada una.. > $u+ concepto corresponde el valor - cuotas atrasadasG(. Fu+ representa el valor 10&G%. > cu9l de los conceptos corresponde el resultado el tipo de pr+sta)o ^nor)al^ es el $ue tiene la )ayor

acogidaG

PROBLEMA ?.- Suponga $ue un investigador tiene inter+s en estudiar a las e)presas consideradas por la S>!co)o grandes contribuyentes. Estas son *100. Para realiar el estudio( el investigador decide clasificar a las e)presas enlos siguientes grupos: anca y 6inanas( ,ndustrias >li)enticias y ebidas( o)ercio y otros. Je cada grupo decideseleccionar al aar # del grupo anca( 14 de =ineraK 20 de ,ndustrias >li)enticias y ebidasK 30 de o)ercioK y 5 deotros grupos. on estas e)presas recoge infor)acin sobre )onto del pago por i)puesto a la renta del Ulti)oe"ercicio anual( )onto del pago por ,C@ del Ulti)o e"ercicio anual( cantidad de traba"adores no)brados $ue laboran enla e)presa( cantidad de traba"adores contratados $ue laboran en la e)presa( )onto de ingresos del Ulti)o e"ercicioanual( )onto de pago por i)puesto de solidaridad del Ulti)o e"ercicio anual( clasificacin de la e)presa segUn utilidadneta del Ulti)o e"ercicio anual y )onto de deudas al 31 de dicie)bre del aQo anterior.a' ,dentifi$ue la poblacin( sus ele)entos y el tipo de poblacin.b' Jeter)ine las variables $ue se estudiar9n. ,dentifi$ue a $u+ tipo pertenece cada una de ellas.

1.4. BIBLIOGRAÍA

• >llen( 7. Vebster %2005'. ES!>J,S!,> >P7,>J> > 7OS ECO,OS A 7> EOO=T>. =+?ico: Editorial =c

CraW Rill.

• !o)a( ,nafuXoK <ubio Jonet( Norge 7uis %200-'. ES!>J,S!,> >P7,>J>( Pri)era parte. 7i)a: niversidad del

Pacifico( entro de ,nvestigacin.

• =asonB7indB=arc8ol %200-'. ES!>J,S!,> P><> >J=,,S!<>,I A EOO=T>. =+?ico( J.6.: Editorial >lfaO)ega.

CAPÍTULO II: PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD

2.1. INTRODUCCIFN

En los >PT!7OS $ue d. estudi en el curso de Estadstica Jescriptiva se e?plic las

)edidas de tendencia central: el pro)edio( la )ediana( percentiles( etc.K y las )edidas de

dispersin: la a)plitud de clase( la desviacin est9ndar( etc.

Por tanto( la Estadstica Jescriptiva se ocupa de 8acer ver algo $ue ya 8a ocurrido. Por

e"e)plo( se describieron los precios de venta %$ue son los datos' de oro de cada uno de los

das del )es pasado y con esa infor)acin:

Se calcul los valores nu)+ricos: la )edia( la )ediana( el cuartel( etc.

7uego se elabor las graficas: 8istogra)as de frecuencias( graficas circulares( etc.

>8ora pase)os a la segunda faceta de la ES!>J,S!,>(

especfica)ente( el c9lculo de la posibilidad de $ue algo ocurrir9 en el futuro. Esta faceta de tal )ateria %7a

Estadstica' se deno)ina ES!>J,S!,> ,6E<E,>7.

3/

ashton kutcher



Jebido a $ue e?iste una incertidu)bre considerable de to)ar decisiones( resulta i)portante $ue todos los riesgos

i)plcitos conocidos( se evalUen en for)a cientfica. >yuda a esta evaluacin la teora de probabilidad( a la $ue

frecuente)ente se deno)ina Mciencia de la incertidu)bre. El e)pleo de la teora probabilstica per)ite a $uien

to)a decisiones( analiar Lcon infor)acin li)itadaL los riesgos y )ini)iar el aar.

E)pleando el ENE=P7O 5 %Pag. 4': usando los datos )uestrales se dedu"o $ue la =><> ><,E7 tiene la ran( es

decir:

R1 µariel µopal M 7as bolsas de ><,E7 contienen )as detergente $ue las bolsas de OP>7

Esta conclusin( no es 100& certea. Po eso se afir)a: M aun /5& de confiana las bolsas de ><,E7 contienen )as

detergente $ue las bolsas de OP>7.

o)o los conceptos de probabilidad son tan i)portantes en el ca)po de la ,6E<E,> ES!>J,S!,>( en este

>P,!7O se introduce el lengua"e b9sico de probabilidad: e?peri)ento aleatorio( espacio )uestral( evento( etc.

2.2. NATURALEA DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADESC%&$%K).L uando se tiene la plena seguridad de conseguir un ob"etivo:

I#%&$"('&%.L uando 8ay duda de lograr algo:

2.?. IDEA DE PROBABILIDAD P;

7a probabilidad %P' est9 relacionado con la incertidu)bre de lo $ue est9 sucediendo o lo $ue se producir9 en elfuturo.7a teora de probabilidades se ocupa de cuantificar la incertidu)bre %5&( 10&( #0&( etc'.

2.4. TERMINOLOGÍA B6SICA DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADESEstudiare)os:

E?peri)ento aleatorio %Ei'Espacio )uestral %Ω'Evento o suceso %>( ( ( '

En la )ayora de los proble)as 8ay $ue to)ar decisiones en base a e?peri)entos.1. E/%&"'%#$*+ A%)$*&"*+ E";.L Es un proceso de observacin de una prueba( ensayo( etcK y al final se

produce un resultado de la observacin.R%+$)(* (% E".L lo $ue resulta especfica)ente de un e?peri)ento aleatorio %E i'. Este resultado nos interesa.

EHEMPLOS DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS E";E1 : 7anar una )oneda y observar la cara superior E2 : 7anar un dado y observar la cara superior E? : E?traer un articulo de un lote $ue contiene artculos defectuosos %J' y artculos no defectuosos

%'E4 : Jesignar un delegado en un saln de 55 alu)nosE : ontar el n de autos $ue cruan la interseccin de dos calles( 8asta( antes $ue ocurra un

accidenteE : 6abricar artculos( 8asta producir 5 defectuosos y contar el de artculos producidos.E : ontar el n de ve8culos $ue llegan a una estacin en un da.E : Je una urna $ue contiene bolas blancas %' y negras %' se escoge una y se anota su color.E : Observar el tie)po de vida de un focoE10 : Preguntar a 200 "efes de fa)ilia si se )atricular9n o no en un nuevo colegio particular.E11 : Entrevistar a 300 niQos si ad$uirir9n o no un "uguete nuevo.E12 : Preguntar a 200 universitarios si co)praran o no una casaca con el logotipo de la niversidad

acional ^San 7uis Conaga^

En general( todos los "uegos al aar constituyen e?peri)entos aleatorios: tinXa( loteras( carreras de caballos(rifas( etc.

G&á,") 1: E+)"*+ '%+$&)%+ )&) %/%&"'%#$*+ +"'%+7os espacios )uestrales de e?peri)entos aleatorios si)ples se pueden representar gr9fica)ente:

40

100 &

5& *& 20& 50& *0&



); lanar una )oneda una ve ; tirar un dado una ve

n dlar de S>

; sacar una carta una ve (; girar la ruleta una ve

CLASES DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS E" D%$%&'"#"+$"*.L Si los resultados del e?peri)ento est9n co)pleta)ente deter)inados:

E%' 1.L Soltar una piedra en el aireE%' 2.L 7anar una pelota y observan si flota o se 8unde

E" #* D%$%&'"#"+$"*.L S los resultados de un e?peri)ento no puede predecirse con e?actitud antes derealiar el e?peri)ento.

E%' 1.L 7anar una )oneda y observar la cara SuperiorE%' 2.L 7anar un dado y observar el nU)ero $ue aparece en la cara superior

P&*"%()(%+ (% %/%&"'%#$* )%)$*&"* E"; ada e?peri)ento es no deter)inistico ada e?peri)ento puede repetirse indefinida)ente sin ca)biar las condiciones

ada e?peri)ento tiene resultados posibles2. E+)"* '%+$&) ;.L Es el con"unto de todos los resultados de un e?peri)ento aleatorio %E i' y se denota con

la letra griega O)ega %Ω'. > cada uno de los resultados del e?peri)ento aleatorio se le conoce con el no)bre de punto )uestral.

R%)"# (% %/%&"'%#$* )%)$*&"* 5 $%*&) (% *##$*+:

E?peri)ento >leatorio Espacio )uestral Ω

!eora de on"untos on"unto universal

EHEMPLOS DE ESPACIOS MUESTRALESsa)os cada uno de los e"e)plos de e?peri)entos aleatorios

Ei

Ωi Espacio )uestralE1 Ω1 c( sE2 Ω2 1( 2( 3( 4( 5( #E3 Ω3 J( E4 Ω4 a1( a2( a3( .. a50K ai alu)no de un saln

n %Ω1' 2n %Ω2' #n %Ω3' 2n %Ω4' 50

T"*+ (% %+)"* '%+$&)• "#"$*+.L Est9n confor)ados por un finito de ele)entos• I#,"#"$*+.L 7os ele)entos del espacio )uestral son infinitos

u)erable. E"e). Ω5( Ω#( Ω*(

41

Ω

n %Ω1' n de ele)entos del espacio )uestral

http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_XcuNWHiZPHc/Rc-o1nTgXnI/AAAAAAAAAck/GXUYBA6rshU/s400/capt.wx10302111017.money_ap_poll_wx103.jpg&imgrefurl=http://articulos-interesantes.blogspot.com/2007/02/despus-de-susan-b.html&usg=__ImdsE5S1D2lgP6Gmw5Qu5MiUdcM=&h=345&w=345&sz=107&hl=es&start=20&itbs=1&tbnid=xgDyz9jIXeCw5M:&tbnh=120&tbnw=120&prev=/images%3Fq%3Dmoneda%2Bde%2Bun%2Bdolar%26start%3D18%26hl%3Des%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26tbs%3Disch:1



o nu)erable. E"e). Ω/(3. E3%#$*+ * +%+*+ A9 B9 C_.;.L Es cual$uier subcon"unto del espacio )uestral( ta)bi+n es cada resultado

del e?peri)ento aleatorio o una co)binacin de resultados.7os eventos son representados por letras )ayUsculas: >( ( ( etc.

GRAICA: E %3%#$* A %# % %+)"* '%+$&) 1;

EHEMPLOS DE EVENTOS O SUCESOSE)pleare)os algunos de los e"e)plos de e?peri)ento aleatorio y su respectivo espacio )uestral

Ei Ωi Evento o sucesoE1 Ω1 > MOcurra cara

> cE2 Ω2 MOcurra un n par

2( 4( #E3 Ω3 MSe e?trae un artculo defectuoso

J

n %>' 1 n %' 3 n %' 1

2.. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA 1.L onsidere el e?peri)ento de verificar el estado %apagado( prendido' de cinco transitores iguales.N*$).L tiliando los nU)eros 0 %cero' para Mpagado y 1 para Mprendido( escribir los ele)entos del espacio)uestral.

PROBLEMA 2.L 7os artculos provenientes de una lnea de produccin se clasifican en defectuosos MJ y nodefectuosos M( se observan los artculos y se anota su condicin. Este proceso se continUa 8asta observar dos

defectuosos consecutivos o 8asta $ue se observen tres artculos no defectuosos. Jescribir el espacio )uestralasociado a este e?peri)ento.

PROBLEMA ?.L na lnea de produccin clasifica sus productos en defectuosos MJ y no defectuosos M. Je unal)ac+n $ue guarda la produccin diaria de est9 lnea se e?traen artculos 8asta observar dos defectuososconsecutivos o 8asta $ue se 8ayan verificado cuatro artculosK construir el espacio )uestral de este e?peri)ento.

PROBLEMA 4.L 7anar una )oneda 8asta $ue ocurra cara.

2.. EXPERIMENTOS ALEATORIOS COMPUESTOSEXPERIMENTO SIMPLE.L Son los e?peri)entos: ∈1( ∈2( etc. estudiadosUN EXPERIMENTO ES COMPUESTO.- si consiste de dos o )9s e?peri)entos si)ples sucesivos o si)ult9neos.

T"* (% %/%&"'%#$*+ *'%+$*+1. E/%&"'%#$*+ #"(*+ *& ) O

Sean los e?peri)entos si)ples: ∈1( y ∈2. El e?peri)ento co)puesto %∈' ocurre cuando el e?peri)ento ∈1 ∈2 ocurre %%&* #* )'*+'

EHEMPLO. 7anar un dado o una )oneda. Rallar el espacio )uestral para este e?peri)ento.

Ω1 j1( 2( 3( 4( 5( # I

Ω2 j(S

Ω1 Ω2 j1( 2( 3( 4( 5( #( ( SΩ Ω1 Ω2 j1( 2( 3( 4( 5( #( ( S

2. E/%&"'%#$*+ #"(*+ *& ) !Sean los e?peri)entos si)ples: ∈1 y ∈2. El e?peri)ento %∈' unido por la My ocurre( cuando el e?peri)ento ∈1 y∈2 ocurren %)'*+ +%(%#'

42

> Ω1

n %>' n de ele)entos del evento >

Mo nin Su)a



EHEMPLO 1. Se lana una )oneda 3 veces. Rallar el espacio )uestral asociado a este e?peri)ento.1 7an. : Ω1 j(S

y2 7an. : Ω2 j(S

y3 7an. : Ω2 j(S

Se usa el diagra)a del 9rbol

S S

SS

S SS

S

S SSS

SSS

S SSS

Ω Ω1 . Ω2 . Ω3 j( S( S( SS( S( SS( SS( SSSΩ j%_( A( \' B_( A( \ (S

EHEMPLO 2.L Se lana una )oneda y un dado si)ult9nea)ente y se observan las caras superiores. Rallar elespacio )uestral asociado a este e?peri)ento.

Ω1 j1( 2( 3( 4( 5( #

yΩ2 j(S

Se e)plea una tabla de doble entrada: Jado=oneda

1 2 3 4 5 #

S

1 2 3 4 5 #S1 S2 S3 S4 S5 S#

Ω Ω1 . Ω2 j1( 2( 3( 4( 5( #( S1( S2( S3( S4( S5( S# Ω j%?(y' B ? (S y 1( 2( 3( 4( 5( #

2.. PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1.- Se lana dos )onedas si)ult9nea)ente y se observan las secuencias de caras y sellos. Rallar el espacio )uestral asociado a este e?peri)ento

PROBLEMA 2.- Se lanan dos dados al )is)o tie)po y se observan las caras superiores. Rallar el espacio

)uestral asociado a este e?peri)ento.

PROBLEMA ?.- Se tiene una ca"a de 10 artculos diferentes. Se e?traen 4 artculos( de uno en uno( con

ree)plaa)iento( describir el espacio )uestral asociado a este e?peri)ento.

PROBLEMA 4.L Ray 3 tiendas de abarrotes en una pe$ueQa ciudad %nu)eradas 1(2(3'. uatro da)as $ue viven

en el poblado seleccionan al aar( y en for)a independiente( una tienda para 8acer sus co)pras sin salir de la

ciudad. Jar un espacio )uestral para el e?peri)ento $ue consiste en seleccionar las tiendas.

2.. BIBLIOGRAÍA

• =oya . <ufino( Saravia >. Cregorio %200*'. P<O>,7,J>J E ,6E<E,> ES!>J,S!,>. 7i)a: Editorial

San =arcos.

43

A ∩ ,nterseccin =ultiplicacin

17an. 27an. 37an.



• 6ern9nde 8apista( NuanK 6ern9nde 8apista( Nos+. .ES!>J,S!,> >P7,>J> %Parte ,,'. 7i)a: Editorial san

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44



CAPITULO III: AN6LISIS COMBINATORIO?.1. T=CNICAS DE CONTEO

En )uc8os casos estare)os interesados solo en el n de ele)entos $ue tiene unespacio )uestral( o un evento particular( en tales situaciones se usa dos principios.

PRINCIPIOS DE CONTEO1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIFNSe tiene los siguientes e?peri)entos aleatorios y el n de ele)entos: ∈1 ocurre en n1 for)as

y ∈2 ocurre en n2 for)asK entonces:

EHEMPLO 1.% u9ntos ele)entos tiene el espacio )uestral del e?peri)ento aleatorio: lanar una )oneda y undado si)ult9nea)ente.

∈1 n1 2 ele)entosy

∈2 n2 # ele)entos∈2 y ∈2 n1.n2 2 ? # 12 for)as o ele)entos

EHEMPLO 2.L na persona puede via"ar de una ciudad > a otra ciudad de 5 for)as y de a de # for)as Jecu9ntas for)as puede ir de > a ( pasando por G

∈1 n1 5 ele)entosy

∈2 n2 # ele)entos∈2 y ∈2 n1.n2 5 ? # 30 for)as o ele)entos

EHEMPLO ?.- u9ntos nU)eros pares de " dgitos se puede for)ar con los dgitos: 1(2(5(#(*(-(/K si cada dgito see)plea una veG.Ray * dgitos: 1( 2( 5( #( *( -( /.

5 ? # ? 3 /0 nU)eros pares diferentes EHEMPLO 4.- Se lana una )oneda sucesiva)ente # veces Je cu9ntas for)as ocurreG

%( S' %( S' %( S' %( S' %( S' %( S'

1 7an. 2 7an. 3 7an. 4 7an. 5 7an. # 7an.

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2# #4 for)as diferentes.

45

7os ∈1 y ∈2 ocurrir9n en n1. n2 for)as %o ele)entos'

>



EHEMPLO .- u9ntos puntos )uestrales 8ay en un espacio )uestral cuando se lana un par de dados una solaveG

1 Jado 2 Jado n1 # for)as n2 # for)as n1 ? n2 # ? # 3# for)as posibles

?.2. PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1.L Je cu9ntas )aneras diferentes se puede arreglar uno de los via"es especiales de fin dese)ana a 12 ciudades distintas( por avin( tren o autobUs( $ue ofrece una agencia de via"esG

PROBLEMA 2.L n urbanista de una nueva subdivisin ofrece a los interesados en la co)pra de una casa laposibilidad de selecciona el estilo de la fac8ada entre tudor( rustico( colonial y tradicionalK y una sola planta( dospisos o desniveles. Je cu9ntas )aneras diferentes puede un co)prador ordenar una de estas casasGPROBLEMA ?.L u9ntos )enUs $ue consiste en de sopa( e)paredado( postre y un refresco e?isten si se puedeseleccionar entre 4 sopas diferentes( 3 clases de e)paredados( 5 postres y 4 refrescosGPROBLEMA 4.L n articulo )anufacturado debe pasar por dos controles. En cada uno de los controles seinspecciona una caracterstica particular del artculo y se le anota la confor)idad. En el pri)er control 8ay dos)ediciones posibles %=1 y =2'( )ientras $ue en el segundo 8ay 3 )ediciones posibles %D1( D2( D3'. Je cu9ntas)aneras se anota el artculoGN*$).L El diagra)a de 9rbol es Util cuando e?isten pocos procedi)ientos.PROBLEMA .L Suponga $ue un cliente ingresa a una tienda para ad$uirir un pantaln y una ca)isa. n vendedor le )uestra # pantalones y - ca)isas diferentes. Je cu9ntas )aneras diferentes puede el cliente efectuar suco)praG

2. PRINCIPIO DE ADICIFN

Sean los e?peri)entos aleatorios y el n de for)as: ∈1 ocurre en n1 for)as

Mo∈2 ocurre en n2 for)asK entonces:

EHEMPLO 1L onsidera)os el e?peri)ento de lanar una )oneda * un dado Je cu9ntas for)as ocurreG∈1 n1 2 for)as

Mo∈2 n2 # for)as

∈1 ∈2 n1 H n2 2 H # - for)as o ele)entos

EHEMPLO 2.L na persona puede via"ar de > a por va a+rea o por va terrestre y tiene a su disposicin 5 lneas

a+reas( # lneas terrestres. de cu9ntas for)as puede 8acer el via"eG

@a a+rea o @a terrestre

n1 5 lneas n2 # lneas

n1 H n2 5 H # 11 for)as $ue puede 8acer el via"e

4#

7os ∈1 ∈2 ocurrir9n en n1 H n2 for)as %o ele)entos'

>: ogota : ali



?.?. PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1.L n e$uipo de sonido se vende en 3 )ercadosK en el pri)er )ercado se tiene disponible 5 tiendas(

en el segundo 4 y en el tercer )ercado # tiendas. Je cu9ntas )aneras puede venderse ese e$uipo de sonidoG

PROBLEMA 2.L Nuan desea co)prar un !v.( una radio y un J@J. Ray 3 )arcas de !v( 5 )arcas de radio y #

)arcas de J@J. de cu9ntas )aneras diferentes puede realiar Nuan su co)praGPROBLEMA ?.L Si una persona desea trasladarse desde 7i)a a >re$uipa y tiene 3 )aneras de 8acerlo por va

a+rea y 12 por va terrestre. u9l es el total de for)as para trasladarse de 7i)a a >re$uipaG

PROBLEMA 4.L Suponga $ue un artculo es co)ercialiado por las e)presas ! y V. 7a e)presa ! tiene 3 tiendas

y la e)presa V tiene # tiendas( a trav+s de las cuales se vende dic8o artculo. Je cu9ntas )aneras diferentes

puede un cliente co)prar el artculoG

?.4. AN6LISIS COMBINATORIO1. ACTORIAL DE UN NÚMERO

n 1 ? 2 3 ? . ? %nL1' no 11 1

3 3 ? 2 ? 15 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1

2. PERMUTACIONES

C*#%$* (% %&'$)"*#%+:•Son ordenaciones o arreglos de todos los ele)entos %n' o de una parte %r' de los ele)entos del suceso.•E# )+ %&'$)"*#%+( el orden es i)portante abc( cbaK son dos arreglos diferentes

Su fr)ula de c9lculo es:

P Per)utacionesn n de ele)entos del evento.r n de ele)entos $ue se usa en cada ordenacin

Son sinni)os:

Per)utaciones arreglos ordenaciones

EHEMPLO 1.L Si > a(b(c y r 1 u9les y cu9ntas son las per)utacionesG

A&&%g*+

a 32

3

'13%

3P13 ==

−=

bc

13P 3 per)utaciones

EHEMPLO 2.L Si > a(b(c y r 2 u9les y cu9ntas son las ordenacionesG

P%&'$)"*#%+

ab 1?2?31

3

'23%

3P23 ==

−=

ac

bc =23P # arreglos

bacacb

EHEMPLO ?.L Si > a(b(c y r 3 u9les y cu9ntos son lo arreglosG

O&(%#)"*#%+

abc 1?2?303

'33%3P33 ==−

=

acb

4*

'r n%

nPr n

−=



bca =33P # ordenaciones

baccabcba

•E# ) &)$") +% &*%(%.L > cada uno de los ele)entos lo asocia)os con el &%+$* (% *+ %%'%#$*+. >cada uno de los ele)entos se le asocia con los de la derec8a( luego con los de la i$uierda.

EHEMPLO 4.- En una co)petencia auto)ovilstica intervienen 40 participantes Je cu9ntas for)as distintasse pueden ubicar los lugares de largada a los 40 co)petidoresG

a1 a2 a3 a40

40!

1!

40!

0!

40!

40)!(40

40!PP 40

40r n ===

−

==

EHEMPLO .% Je cu9ntas )aneras se pueden colocar 10 c8icas en una fila de )anera $ue dos c8icas( enparticular( no $ueden "untosG

U#) (% )+ *+""*#%+ (% )+ ")+

U")"*#%+ *+"%+ )&) ) *$&) ") %# %+$"#

Separe)os del grupo una de las c8icas en cuestin( de )anera $ue considere)os solo /.

Estos se podr9n ordenar / for)as

Para cada ordenacin de /( la c8ica separada puede ubicarse en - lugares sin estar "unto a la otra c8ica encuestin. Por lo tanto( de acuerdo al principio de la )ultiplicacin:

- ? / es el n total de for)as diferentes

EHEMPLO .L En un )nibus $ue posee 3* asientos %en - filas de 4 asientos cada una con un pasillo en el)edio( y al final 5 asientos "untos'( se desea ubicar 25 pasa"eros.

4-

E# )+ %&'$)"*#%+( el orden es i)portante abc( cbaK son dos arreglos diferentes

na de las c8icasen cuestin



# J ? )+"%#$*+& J 2 )+)%&*+); Je cuantas for)as se pueden ubicar las 25 personasG ; Je cu9ntas for)as se pueden ubicar( si

deciden no ocupar los Ulti)os 5 asientosG

25)!(37

37!P 25

37 −=

P ; Je cuantas for)as se pueden ubicar si via"an 5 a)igos $ue deciden( via"ar "untos en los Ulti)os asientosG

20)!(32

32! x5!PxP 20

3255

−=

PERMUTACIONES CIRCULARES: Es el nu)ero de per)utaciones de todos los ele)entos del eventocolocados alrededor de un circulo es.

Pc %nL1'

EHEMPLO. Je cuantas )aneras distintas pueden sentarse alrededor de una )esa redonda los padres y sus3 8i"osG

n 5 Prep %5L1'

4 4?3?2?1 24 for)as.

PERMUTACIONES CON REPETICIFN: El n de per)utaciones de n ele)entos da los cuales n1 son id+nticos( n2 son id+nticos(...K se calcula.

n.....nn

nPP

i21

n.....n(n(nnr

i321 ==

EHEMPLO. n estante de una librera tiene capacidad para 10 libros de =ate)9tica 6inanciera $ue tiene pastaverde( - de Proyectos de pasta ro"a y * de 6inanas de pasta aul. Je cu9ntas )aneras pueden colocarse los

libros segUn los coloresG

#00(034]21*-10

25P *(-(1025 == per)utaciones

?.. PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA 1.L 7os cinco individuos $ue co)ponen la direccin de una pe$ueQa e)presa )anufactureraser9n sentados "untos en un ban$uete. ); Jeter)ine el nU)ero de diferentes disposiciones posibles de losasientos para los cinco individuos. ; Suponga)os $ue slo a tres de los cinco directivos se le pedir9representar a la co)paQa en el ban$uete. u9ntas diferentes disposiciones ser9n posibles en la )esaconsiderando $ue pueden ser elegidos tres cuales$uiera de los cinco individuosG

PROBLEMA 2.% Je cuantas )aneras se pueden colocar 12 niQos en una fila de )anera $ue 4 niQos( enparticular $ueden "untosG

PROBLEMA ?.L n grupo de * personas debe participar en una serie de c8arlas $ue se llevar9 a cabo en dosdas sucesivos. En el pri)er da deben participar 3 personas y en el segundo da las 4 personas restantes. Jecu9ntas )aneras diferentes se pueden organiar las c8arlas del pri)er daG

PROBLEMA 4.L n e)presario debe asignar a sus 5 vendedores a 5 distritos de la capital. El pri)er vendedor puede ser signado a cual$uiera de los 5 distritosK el segundo( a cual$uiera de los 4 distritos restantesK eltercero( a cual$uier de los 3 distritos restantesK el cuarto( a cual$uiera de los 2 distritos restantes( y( final)ente(el $uinto vendedor al Unico distrito $ue $ueda. Encuentre d. las for)as de asignar a los 5 vendedores( a los 5distritos.

PROBLEMA .L En un concurso pUblico realiado en una institucin privada para cubrir los puestos de traba"ode supervisor( gerente de ventas y gerente de recursos 8u)anos se evaluaron 40 e?pedientes de igual nU)erode candidatos Je cu9ntas for)as pueden cubrirse las vacantesG

PROBLEMA .L n inversionista tiene la intencin de invertir S; 5000 en un proyecto( S; 10000 en unsegundo proyecto y S;20000 en un tercer proyecto. Si e?isten en total 10 posibilidades de inversin. Jecu9ntas )aneras diferentes puede invertir el inversionistaG

4/



PROBLEMA .L na agencia de publicidad desea poner seis artculos diferentes en un folleto de ventas. Encu9ntas for)as distintas se pueden ponerG

PROBLEMA .L na e)presa desea colocar tres nuevos gerentes( en tres de sus die plantas. Je cu9ntas)aneras diferentes puede 8acerloG

PROBLEMA .L Se sacan dos boletos de la lotera( entre 20 posibles( para el pri)ero y segundo pre)ios.Encu+ntrese el nU)ero de puntos )uestrales en el espacio )uestral respectivo.

PROBLEMA 10.L En cu9ntas for)as diferentes pueden aco)odarse 3 focos ro"os( 4 a)arillos y 2 aules enun 9rbol de navidad con / recept9culosG

PROBLEMA 11.L En la )esa de negociaciones para resolver el proble)a de los traba"adores despedidos por la e)presa M!aca)a S.>. se encuentran 3 grupos de personas: 2 funcionarios del =inisterio de !raba"o yPro)ocin Social( 3 representantes de la e)presa y 3 delegados del Sindicato de !raba"adores de la e)presaM!aca)a S.>.. Si los asistentes deciden sentarse al aar:); Je cu9ntas )aneras pueden ubicarse en la )esaG; Si los asistentes deciden sentarse segUn el grupo al $ue representan( de cu9ntas )aneras pueden

8acerloG; Suponga $ue entre los )ie)bros de un grupo no 8ay ninguna diferencia( de cu9ntas )aneras pueden

sentarse en la )esaG

PROBLEMA 12.L n obrero se encuentra arreglando 3 )artillos( 2 alicates y 4 desar)adores. Si las8erra)ientas se arreglan al aar y no se diferencian entre s( de cu9ntas for)as puede el obrero arreglar sus8erra)ientasG

?. C*'"#)"*#%+:

C*#%$* (% *'"#)"*#%+: Son arreglos de todos los ele)entos %n' o de una parte %r' de ob"etos %ele)entos' del evento. os interesa el n de diferentes agrupaciones de los ob"etos.

7a for)ula de co)binaciones es: o)binacinn n de ele)entos del eventor n de ele)entos $ue se usa en cada arreglo.

Son sinni)os:o)binaciones ordenaciones arreglos

EHEMPLO 1. Sea > a(b(c y r1 u9les y cu9ntos son las co)binacionesG

C*'"#)"*#%+:

a

b 323

1'L%313 13 === co)binaciones

c

EHEMPLO 2. Sea > a(b(c y r 2 u9les y cu9ntos son las ordenacionesG

O&(%#)"*#%+:

ab

ac 32'L%32

3 2

3 == ordenaciones

bc

EHEMPLO ?. Sea > a(b(c y r 3 u9les y cu9ntas son las co)binacionesG

A&&%g*+:

50

r'L%nr

n r

n =



abc 13'L%33

3 33 == arreglos

E# ) &á$") +% &*%(%: > cada uno de los ele)entos( se le asocia con los restantes $ue esten a laderec8a( o a cada uno se le asocia con los de aba"o.

EHEMPLO 4. Se e?traen 2 cartas de una bara"a de 52 cartas de cu9ntas )aneras se puede 8acer estoG

C*'"#)"*#%+:

n 52 132#51?2#2

51?52

250

52

2'L%522

52 252 =====

r 2

EHEMPLO .L Je cu9ntas )aneras diferentes se puede seleccionar un co)it+ de 5 de los #2 )ie)bros delpersonal de oficina de una i)portante e)presa consultoraG

1 2 3 4 5 # #2

onsultor %a' E)presarialn #2 )ie)brosr 5 )ie)bros para 1 co)it+

5)!-(625!

62! 5

62 === C C r n

J

EHEMPLO .L n inversionista desea seleccionar tres inversiones de un total de 10 inversiones. Je cu9ntas)aneras diferentes puede invertir el inversionistaG

Si ,ca( 8inc8a( Pisco( Palpa( aca y =arcona tienen un gran creci)iento econ)ico( En $u+ ,dea denegocio %,' se puede invertir en estas ciudadesG

,1 odega,2 Panadera,3 <estaurant,4 ebic8eria,5 Nugueria

,# Reladera,* 7ibrera para escolares,- ar ,/ Jiscoteca,10 ,nfor)9tica para niQos

7!3!

10!

3)!-(103!

10! 3

10 ====C C r

n

120 oportunidad de ,nversin %O,'( cada una tiene 3 O,

EHEMPLO .L n estudiante tiene $ue contestar - de 10 preguntas en un e?a)en. P1 P2 P3 P4 P5 P# P* P- P/ P10

n 10 preguntasr - preguntas para contestar

); Je cu9ntas )aneras puede el estudiante escoger las - preguntasG

2!8! 10!

8)!-(108!10! 810 ====C C

r

n

8

10C 45 for)as

51

E# )+ *'"#)"*#%+( no nos interesa el orden( nos interesa las agrupacionesdiferentes.abc cba K para la co)binacin es un solo arreglo



; Si los tres pri)eros son obligatorios( Je cu9ntas )aneras puede escoger las preguntasG

2!5!

7!

5)!-(75!

7! 1x 5

7

3

3 === xC C

75C 21 for)as

; Si tiene $ue contestar 4 de las 5 pri)eras u9ntas for)as puede 8acerloG

4)!-(54!

5!

4)!-(54!

5! x

4

5

4

5 ===C C

4

5

4

5 CxC 5 ? 5 25 for)as

EHEMPLO .L n "oven tiene 15 a)igos.n 15 a)igos

); Je cu9ntas )aneras puede invitar a una cena a # de ellosGn 15 a)igosr invitar a # a)igos

6

15C C r n =

; Si entre las 15 personas 8ay 2 )atri)onios y cada pare"a asisten "untos a cual$uier reunin Je cu9ntas)aneras puede invitar a # a)igosGn 15 a)igosr 8ay 2 )atri)onios %sie)pre asisten "untos a una reunin'

S% &%+%#$)# *+ +"g"%#$%+ )+*+:

i' inguno de los dos )atri)onios est9n en la cena:

611C

ii' no de los )atri)onios asiste a la reunin y los 4 restantes debe elegirse de las otras 11 personas.

x 4

11

1

2 C C

iii' 7os 2 )atri)onios asisten a la cena

x 2

11

2

2 C C

; Si entre las 15 personas 8ay 2 $ue no puede estar en la )is)a reunin. Je cu9ntas for)as puede invitar a # a)igosG

52



Se presentan los siguientes casos:i' inguna de las 2 personas en cuestin est9n en la reunin

6

13C

ii' na de las personas en cuestin est9 en la reunin.

El nu)ero de )aneras de escoger una de las personas en cuestin 12C y el nu)ero de for)as de elegir 5

de 13 es5

13C

Por lo tanto( el nU)ero de elegir las # personas es:

12C ?

5

13C

?.. PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1.L Je cu9ntas )aneras una persona puede seleccionar tres libros de una lista de oc8o bestLsellersG

PROBLEMA 2.L Je cu9ntas )aneras distintas un director de un laboratorio de investigacin puede seleccionar

a dos $u)icos de entre siete solicitantes y a tres fsicos de entre nueve solicitantesG.

PROBLEMA ?.- n grupo de * personas debe participar en una serie de c8arlas $ue se llevar9 a cabo en dosdas sucesivos. En el pri)er da deben participar 3 personas y en el segundo da las 4 personas restantes. Jecu9ntas )aneras diferentes se puede elegir a las personas $ue deben participar el pri)er daG

PROBLEMA 4.- El gerente de ventas de una e)presa tiene $ue elegir - vendedores de un total de 15 paracapacitarlos en t+cnica )odernas de atencin al cliente. Je cu9ntas )aneras puede el gerente elegir a los -vendedoresG

PROBLEMA .- n especialista en seguridad industrial debe seleccionar 3 e)presas de las 10 $ue e?isten en el)ercado local y $ue ofrecen el servicio de seguridad. Je cu9ntas for)as puede 8acerloG.

PROBLEMA .L Encu+ntrese el nU)ero de co)it+s $ue pueden for)arse con 4 $u)icos y 3 fsicos y $ue

co)prendan 2 $u)icos y 1 fsico.?.. BIBLIOGRAÍA

• =ason B 7ind B =arc8al %200-'. ES!>J,S!,> P><> >J=,,S!<>,I A EOO=T>. =+?ico J.6.: Editorial

>lfao)ega.


San =arcos.


=arcos.


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53

!e las 2 personas encuestión esco?e 1



CAPÍTULO IV.- TEORIA DE LA PROBABILIDAD: UN PANORAMA DE CONCEPTOS4.1. INTRODUCCIFN

Sin tener en cuenta la profesin $ue se 8aya elegido( algo s es seguro: en algUn )o)entose 8an de to)ar decisiones. on )uc8a frecuencia esto tendr9 $ue 8acerse sin conocer todas las consecuencias de tales decisiones. Por e"e)plo: 7os inversionistas deben decidir sobre la conveniencia de invertir en una accin en

particular( con base en sus e?pectativas sobre rendi)ientos futuros. 7os e)presarios( al decidir co)ercialiar un producto enfrentan la incertidu)bre sobre la

posibilidad de +?ito.Sin duda d. se est9 fa)iliariando con t+r)inos tales co)o probabilidad( posibilidad yaar.

<@7 %+ #) &*)""()(>En general( es la posibilidad de $ue algo suceder9 %en el futuro'

V)*& (% P&*)""()(:. @alor entre 0 y 1( inclusiveK $ue describe la posibilidad relativa de $ue ocurra un evento. @alor entre 0 y 100 &( inclusiveK $ue describe la posibilidad porcentual de $ue ocurra un evento.

.

Se puede 8ablar de posibilidades y de probabilidades( el pri)ero 8ace referencia a la co)paracin entre el nU)ero

de resultados favorables con los desfavorables:sdefectuosonoden

sdefectuosoden

°°

. En el segundo es el cuociente entre el

nU)ero favorable sobre el total de casos posibles: Psdefectuosonoden

sdefectuosoden

°°

!odos en esencia so)os "ugadores. En los negocios( es nuestra vida y sie)pre $ue to)a)os una decisin(sie)pre va a ver incertidu)bres por la dificultad de predecir con e?actitud: aprobar+ el parcialG aprobar+ else)estreG =e ganar+ la !inXa si la co)proG Si le 8ablo a esa persona )e corresponder9G !odas estaspreguntas y )uc8as )9s( tendran en nuestra )ente una posible respuesta ya $ue nos de"a)os guiar por lae?periencia y la intuicin.

Se usan 3 palabras clave en el estudio de la probabilidad: e?peri)ento( resultado y evento• E/%&"'%#$* A%)$*&"* E";.L Proceso $ue conduce a la ocurrencia de una %y sola)ente una' de varias

observaciones posibles.• E+)"* M%+$&)

;.- Son todos los resultados de un e?peri)ento aleatorio %E i'• R%+$)(*.L 7o $ue resulta especfica)ente de un e?peri)ento.• E3%#$* A9 B9 C9 %$;.L on"unto de uno o )9s resultados de un e?peri)ento.

4.2. CONCEPTOS B6SICOS DE PROBABILIDAD

Ristrica)ente se 8an desarrollado 3 enfo$ues conceptuales de probabilidad y deter)inar valores de probabilidad.• Enfo$ue cl9sico a priori Enfo$ue• Enfo$ue de frecuencias relativas cl9sica e)prica ob"etivo• Enfo$ue sub"etivo

1. PROBABILIDAD CLASICA O A PRIORISi > es un con"unto del espacio )uestral %Ω' donde el evento > puede ocurrir de n %>' )aneras y suceder en n%Ω')aneras igual)ente posibles( entonces la probabilidad de > ser9:

P %>' Probabilidad el evento >n %>' n de ele)entos de >n%Ω' n de ele)entos de Ω

7la)ada ta)bi+n probabilidad ) &"*&" debido a $ue es posible conocer el resultado( sin llevar a cabo el

e?peri)ento y solo basado en un raona)iento lgico %aplicando la for)ula respectiva'.• E3%#$*+ '$)'%#$% %/5%#$%+

54

'n%

n%>' ' >%P

Ω=

Robert Pattison

0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.:0 0.H0 0.K0 0.L0 1

"robabilidadde que el soldesapare&ca

este ao

(a selecciónperuana participeen el mundial de)utbol en el 2014

"osibilidad de queuna moneda cai?acara al lan&ar una

%e&

El rescate )inanciera;,/ 14070000007<

)uncionara.

"osibilidad de quellue%a en Farapoto

en !iciembre

0 100



Jos o )9s eventos son )utua)ente e?cluyentes( si no pueden ocurrir al )is)o tie)po. Esto es( la ocurrencia deun evento i)pide auto)9tica)ente la ocurrencia de otro %u otros'.L*+ %3%#$*+ A 5 B %en la gr9fica siguiente' son )utua)ente e?cluyentesPOR EHEMPLO: onsidera)os dos eventos as y rey en relacin( con la e?traccin de un naipe de un )ao.

> as rey

Estos dos eventos son )utua)ente e?cluyentes( por$ue un naipe dado no puede ser al )is)o tie)po as y rey.

E3%#$*+ #* %/5%#$%+Jos o )9s eventos no son e?cluyentes cuando es posible $ue ocurran al )is)o tie)po.7os eventos > y %en la gr9fica siguiente' ocurren al )is)o tie)po en la superficie so)breada.

POR EHEMPLO: dos eventos as y tr+bol( en la e?traccin de un naipe de un )aso. > as trebol

Estos eventos no son )utua)ente e?cluyentes( por$ue un naipe dado puede ser al)is)o tie)po as y tr+bol.

EHEMPLOS DE PROBABILIDAD CL6SICA

EHEMPLO 1. Rallar la probabilidad de obtener cara en el lana)iento de una )oneda.PLANTEAMIENTO SOLUCIFN

> caraΩ cara( selloP%>' G

2

1

'n%

n%>' ' >%P =

Ω=

P%>' 0.50 50&

EHEMPLO 2. Rallar la probabilidad de obtener 2 en el lana)iento de un dado.PLANTEAMIENTO SOLUCIFN

> 2Ω 1(2(3(4(5(#P%>' G

#

1

'n%

n%>' ' >%P =

Ω=

P%>' 0.1######## 1#.#*&

EHEMPLO ?. En un )ao de naipes debida)ente bara"ados( la probabilidad de obtener un as en una solae?traccin ser9.

PLANTEAMIENTO SOLUCIFNΩ 1( 2 . 52

> ases

P%>' G

52

4

'n%

n%>' ' >%P =

Ω

=

13

1 0.0*#/230*#

55

> Ω

>

> Ω

>



*.#/&

EHEMPLO 4. u9l es la probabilidad de obtener un nU)ero par al lanar un dado legalG

PLANTEAMIENTO SOLUCIFN > 2( 4( #

Ω 1(2(3(4(5(#

P%>' G

2

1

#

3

'n%

n%>' ' >%P ==

Ω=

0.50 50&

EHEMPLO .L >l lanar dos )onedas legales( deter)inar la probabilidad de no obtener sello.

EHEMPLO .L Jel e"e)plo 5( 8allar la probabilidad de obtener 1 ve cara

EHEMPLO .- Jel e"e)plo 5 8allar la probabilidad de obtener por lo )enos 1 ve cara

EHEMPLO .- Jel e"e)plo 5 8allar la probabilidad de obtener al )enos 1 sello.

5#

S S

S

S SS

S

0.25

0.25

P %>' *5&

Ω ( S( S( SS

>

1 =oneda 2 =oneda

S S

S

S SS

S

0.50

0.50

P %' 50&

Ω ( S( S( SS

S( S

1 =oneda 2 =oneda

S S

SS SS

S

0.*5

0.*5

P %' *5&

Ω ( S( S( SS

( S( S

1 =oneda 2 =oneda

S S

S

S SS

S

0.*5

0.*5

P %' *5&

Ω ( S( S( SS

J S( S( SS

1 =oneda 2 =oneda



EHEMPLO .L na lotera consta de 10(000 billetes. n billete se pre)ia con S;. 100( cuatro billetes con S;.50( die billetes con S;.20( veinte billetes con S;. 10( 1#5 billetes con S;. 5 y 400 billetes con S;. 1.00cada uno( los de)9s billetes no se pre)ian. Se co)pra un billete( u9l es la probabilidad de ganarG

); Por lo )enos S;. 10G

Ω 10(000 billetesK n %Ω' 10(000 billetes

> 4 billetes H 10 billetes H 20 billetes 34 billetesK n %>' 34 billetes

0.003410(000

34 'n%

n%>' ' >%P ==

Ω=

0.0034

P%>' 0.34 &

; a lo )9s S;. 5

Ω 10(000 billetesK n %Ω' 10(000 billetes

> 1#5 billetes H 400 billetes 5#5 billetesK n %>' 5#5 billetes

0.05#510(000

5#5 'n%

n%>' ' >%P ==

Ω=

5*

n%Ω' 10(000 billetes

1

2

3

10(000

Se pre)ia con S; 1001

1 2 3 4 Se pre)ian con S; 50



1:51 2 3 4 Se pre)ian con S; 5


n%Ω' 10(000 billetes

1

2

3

10(000

Se pre)ia con S; 1001




1:51 2 3 4 Se pre)ian con S; 5




0.05#5

P%>' 5.#5 &EHEMPLO 10.L se elige una carta aleatoria)ente de una bara"a de 52 cartas.); u9l es la probabilidad $ue sea espada o tr+bolesG

copyright © consultacartas.com

; u9l $ue sea 10G

5-

J,>=>!ES

!<EO7

O<>\OES

ESP>J>S

>

Ω 52 cartasK n%Ω' 52 cartas

> 13 espadasK n%>'K 13 espadas

13 trebolesK n%'K 13 treboles

P %> ' G

P %> ' P%>' H P %'

0.50

0.50

P %>' 50&

J,>=>!ES

!<EO7

O<>\OES

ESP>J>S

>

P %>' 0.0*#/

P%>' *.#/&


> 1 carta de 10 de dia).( 1 carta de 10 de tr+b.(

1 carta de 10 de esp.( 1 carta de 10 de cora.K

n%>'K 4 cartas P%>' G



; u9l $ue sea una figuraG

(; Fu+ sea 4 )enosG

5/

J,>=>!ES

!<EO7

O<>\OES

ESP>J>S

>

P %>'

0.230-

P%>' 23.0-&


> sean figurasK n%>'K 12 cartas

P%>' G

>

J,>=>!ES

!<EO7

O<>\OES

ESP>J>S

P %>'

P%>' 30.**&Ω 52 cartasK n%Ω' 52 cartas

> 4 )enos K n%>'K 1# cartas

P%>' G



PROBLEMAS PROPUESTOS: PROBABILIDAD CL6SICA

PROBLEMA 1.L >l lanar 3 )onedas legales( deter)inar la probabilidad de obtener 2 veces cara %Si se lanan 3)onedas'

PROBLEMA 2.- Jel proble)a 1 8allar la probabilidad de obtener por lo )enos 1 ve cara %Si se lanan 3)onedas'

PROBLEMA ?.- Jel proble)a 1 8allar la probabilidad de obtener a lo )uc8o 3 caras. %Si se lanan 3 )onedas'

PROBLEMA 4.L u9l es la probabilidad de obtener un nU)ero )enor $ue * al lanar un dadoG

PROBLEMA .L u9l es la probabilidad de obtener un nU)ero )ayor $ue #G

PROBLEMA .L >l lanar dos dados legales( u9l es la probabilidad $ue la su)a de dos nU)eros sea )enor $ue 5G

PROBLEMA .L Jel proble)a #( encontrar la probabilidad $ue los dos nU)eros sean iguales e i)pares.

PROBLEMA . L Jel proble)a #( 8allar la probabilidad de $ue el pri)er nU)ero sea )ayor $ue 4.

PROBLEMA .L En una ca"a 8ay 20 bolas nu)eradas del 1 al 20. Se e?trae al aar una bola. u9l esprobabilidad $ue el nU)ero de la bola e?trada:); no e?ceda de 20G; sea el 32G; sea por lo )enos 15GPROBLEMA 10.L Sobre una )esa 8ay 10 )onedas con 4 caras y # sellos a la vista. Se separan # )onedas alaar. u9l es la probabilidad $ue resultan 3 caras y 3 sellosG

PROBLEMA 11.L Jie egresados %4 )u"eres y # 8o)bres' de la Escuela de ,ngeniera se inscribieron co)ocandidatos a 4 becas de estudios de posgrado en la niversidad de Vas8intong. Si las becas son otorgadas alaar( cu9l es la probabilidad de $ue:); las 4 )u"eres sean favorecidas con las becasK; a los )9s 2 )u"eres sean favorecidas con las becasK y(; dos )u"eres y 2 8o)bres sean favorecidos con las becasG

PROBLEMA 12.L Se eligen al aar y con reposicin 5 nU)eros del 0( 1(.(/ u9l es la probabilidad de $uetodos los dgitos elegidos sean diferentesG

>ntes de e?plicar la probabilidad de frecuencias relativas estudie)os el )+todo a?io)9tico.

M7$*(* )/"*'á$"*.L El cual concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso( co)o un nU)ero co)prendidoentre 0 y 1. Este concepto tiene $ue ver directa)ente con la nocin de frecuencias relativas( donde 0 k 8 1 k 1.Suponga)os $ue se lana 100 veces una )oneda( anota)os el nU)ero de veces $ue sale cara y las veces $uesale selloK los resultados fueron los siguientes:

6recuencia absoluta: cara 5# veces sello 44 veces6recuencia relativa: 5#B100 44B100Probabilidad: p 5#& %+?ito' $ 44& %fracaso'

2. PROBABILIDAD DE RECUENCIA RELATIVA O CL6SICA EMPIRICA O PR6CTICO.

Je acuerdo con el enfo$ue de frecuencia relativa o concepto e)prico:"; 7a probabilidad de $ue un evento ocurra en el presente( se deter)ina en las siguientes alternativas:

• en funcin de los registros estadsticos de los eventos si)ilares $ue ocurrieron en el pasado• e?periencias $ue sucedieron en el pasado.• <esultados de encuestas( estudio de )ercado o traba"o de ca)po.

""; >l elegir( seleccionar o e?traer un ob"eto a partir de un acervo( la probabilidad de $ue dic8o ob"eto perteneca auna clase deter)inada es la frecuencia relativa de clase.

posibles casos den

favorables casosden ' >evento( del ocurrenciade%P

°°= o se e)plea la for)ula

nesobservacio de total n

pasadoelen%>'evento del ocurrencia de veces den ' >evento( del ocurrenciade%P

°°

=

EHEMPLO 1.L Jeter)inar la probabilidad de +?ito de una operacin $uirUrgica practicada por un )+dico. En unpasado reciente reali 10 operaciones con un +?ito de( / operaciones.

P %de +?ito de la operacin' G

posibles casos den

favorables casosden 'operacinlade+?itode%P

°

°=

#0



n de casos favorables / operaciones 10.010

/ ==

n de casos posibles 10 operaciones P %de +?ito de la operacin' 10&EHEMPLO 2.L Si lana)os una )oneda 10 veces( es posible $ue - sean caras y 2 sellos. Entonces si lana 10veces una )oneda( u9l es la probabilidad de $ue salga selloG

EHEMPLO ?.L na )uestra aleatoria de 10 f9bricas $ue e)plean un total de 10(000 personas( de)ostr $ueocurri 500 accidentes de traba"o durante el Ulti)o aQo. Rallar la P de un accidente de traba"o en una industriadeter)inada.

n de casos favorables 500 accidentesn de casos posibles 10(000 personasP %$ue ocurra un accidente' G

p casos den

fa casosden 'accidente un ocurra $ue%P

°

°=

05.010(000

500 ==

P %$ue ocurra un accidente' 5 &

EHEMPLO 4.L 7a distribucin de los )ie)bros de los partidos polticos se observa en el siguiente cuadro.P)&$"(* A B C D E

total de )ilitantes 105 100 *0 45 40 15=ilitantes )u "eres 15 20 5 10 3 2

u9l es la P $ue un )ie)bro seleccionado aleatoria)ente(); sea )u"erG

,nicial)ente se co)pleta el cuadro anterior:

P)&$"(* A B C D E TOTAL total de )ilitantes 105 100 *0 45 40 15 3*5=ilitantes )u"eres 15 20 5 10 3 2 55=ilitantes 8o)bres /0 -0 #5 35 3* 13 320

n de casos favorables 55

n de casos posibles 3*5

P %$ue sea )u"er' G

posibles casos den

favorables casosden ')u"er sea $ue%P

°

°=

14#*.014#######.03*5

55 ===

P %$ue sea )u"er' 14.#* &

; Pertenece al partido G

P)&$"(* A B C D E TOTAL total de )ilitantes 105 100 *0 45 40 15 3*5=ilitantes )u"eres 15 20 5 10 3 2 55=ilitantes 8o)bres /0 -0 #5 35 3* 13 320

n de casos favorables 100


P %$ue perteneca al partido ' G

posibles casos den

favorables casosden ' partidoal perteneca$ue%P

°

°=

2######.03*5

100 ==

P %$ue perteneca al partido ' 2#.#* &

#1



; Sea un 8o)bre )ie)bro del partido G

P)&$"(* A B C D E TOTAL

total de )ilitantes 105 100 *0 45 40 15 3*5=ilitantes )u"eres 15 20 5 10 3 2 55=ilitantes 8o)bres /0 -0 #5 35 3* 13 320

n de casos favorables #5


P %sea un 8o)bre del partido ' G

posibles casos den

favorables casosden 'partido del 8o)breunsea%P

°

°=

1*3333333.03*5

#5 ==

P %$ue perteneca al partido ' 1*.33 &

PROBLEMAS PROPUESTOS: PROBABILIDAD DE RECUENCIA RELATIVAS O CL6SICA EMPIRICA

PROBLEMA 1.L En una serie de observaciones sobre la longitud de vida de ratas )ac8os( un bilogo 8aencontrado $ue el /-& sobrevive a un 200 das despu+s de nacerK -3& sobrevive 400 dasK 40& sobreviven #00dasK -& sobreviven -00 dasK y no sobreviven despu+s de 1000 das.Esti)e las probabilidades de los eventos:); Mse )uere dentro los pri)eros 200 das; M)uere entre 200 y 400 das; Msobreviven a lo )9s 400 das(; M)ueren dentro de los 100 das

PROBLEMA 2.L n e?portador de artesanas se cer9)ica en Ruara( enva del PerU a 6rancia sus productose)balados en ca"as( cada una de las cuales contiene 5 artculos. El nU)ero de artculos daQados por ca"a en lase?portaciones realiadas anterior)ente( se )uestra en el siguiente cuadro:

>rtculos daQados 0 1 2 3 !otalU)ero de ca"as 120 50 20 10 200

En la fec8a enva 1#0 ca"as a 6rancia( cu9l ser9 la probabilidad de $ue las ca"as tengan 0( 1( 2 y 3 artculosdaQados respectiva)ente sobre la base de los datos disponibles y ba"o el enfo$ue de frecuencia relativaG

PROBLEMA ?.L uando las tablas de )ortalidad sintetian los registros de vida de un grupo representativo deindividuos suficiente)ente grande( dic8as tablas pueden ser usadas de base para definir probabilidades ba"o elenfo$ue de frecuencias relativa. >s( si de acuerdo con los registros del pasado( se sabe $ue de una )uestrarepresentativa de 100 000 8o)bres de 50 aQos vivos al inicio del aQo( 40 )ueren durante dic8o aQoK cu9l ser9 laprobabilidad de $ue en el pr?i)o aQo un 8o)bre de 50 aQos )uera ser9G.

?. PROBABILIDAD SUBHETIVA

Posibilidad %probabilidad' de $ue suceda un evento especfico( asignado por una persona con base a cual$uier infor)acin de $ue disponga. Jado $ue en estas condiciones el valor de la probabilidad es un "uicio personal. Eldesarrollo de este enfo$ue de probabilidad es relativa)ente reciente( y se asocia con el )#á"+"+ (% (%"+"#.

EHEMPLO 1.- 7a P de $ue el 8o)bre llegue a 8abitar la luna en los pr?i)os 10 aQos.

EHEMPLO 2.- 7a P de $ue una e?pedicin tripulado llegue a =arte en los pr?i)os 20 aQos.

EHEMPLO ?.- 7a P de $ue se encuentre una cura para el S,J> en los pr?i)os 5 aQos.

EHEMPLO 4.- u9l es la P $ue d. Obtenga 15 en el , parcial de finanasG

4.?. PROBABILIDAD RENTE A APUESTASRare)os un estudio breve de la relacin entre las apuestas a favor de un evento( su probabilidad. uando se dice(por e"e)plo( $ue las apuestas son 3 a 1 $ue el bo?eador A ganar9 la pro?i)a pelea( significa $ue 8ay( 3

#2



posibilidades en 4( $ue A( ganar9 la pelea. 7as apuestas 3 a 1( se escribe: 3:1( se lee: Mlas apuestas son de 3 a 1 afavor de A( la cual se convierte en una probabilidad( as

4

3

13

3 =+

P %de $ue A ganar9'

CONCEPTO.L Sea A un evento cual$uiera( si las apuestas son a:b a favor del evento A( entonces la probabilidad$ue ocurra dic8o evento es

P %>' ba a+

>de)9s( decir $ue las apuestas son a:b a favor del evento A es lo )is)o decir $ue las apuestas son b:a en contradel evento A. Entonces( la probabilidad $ue no ocurra > es

P %>' ba

b

+Puede ta)bi+n la probabilidad de un evento A convertirse en apuestas a favor de la ocurrencia del evento AK as( siP%>' es probabilidad $ue ocurra el evento AK las apuestas a favor de la ocurrencia de A son

P%>' : [1 L P%>']

y las apuestas en contra de +l son [1 L P%>'] : P%>'.

EHEMPLO.L En una carrera de caballos( el cabalo Mclaudio tiene las apuestas 5:1 en su contra( )ientras $ue elcaballo M<oyal las tiene /:1 en su contra. u9l es la probabilidad $ue cual$uiera de estos caballos ganeG

PLANTEAMIENTO SOLUCIFN Mel caballo claudio gane la carrera< Mel caballo royal gane la carreraP %' GP %<' GP % ∪ <' G

Entonces( P %' #

1

15

1 =+

(

P %<' 10

1

1/

1 =+

7uego( P % ∪ <' P%' H P%<'

15

4

10

1

#

1=+

Aa $ue y < son eventos )utua)ente e?cluyentes

4.4. AXIOMAS DE PROBABILIDAD

7os espacios )uestrales pueden ser finitos o infinitos( sin e)bargo a$u solo nos ocupare)os de espacios)uestrales finitos. Ray 3 a?io)as o postulados siguientes:

A/"*') 1.- 7a probabilidad de un evento( to)a valores entre cero y uno.0 ≤ P%>' ≤ 1

A/"*') 2.- 7a probabilidad del suceso seguro o del espacio )uestral %Ω' es igual a la unidad.P %Ω' 1

A/"*') ?.- Si > y son sucesos )utua)ente e?cluyentes( entonces:P%>∪' P%>' H P%'

CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS1. 7a probabilidad de un evento cual$uiera( es sie)pre positiva.

P %>' ≥ 0

2. 7a probabilidad de un evento i)posible es cero.P %∅' 0

?. Si >( y son eventos )utua)ente e?cluyentes( entonces:P%>∪∪' P%>' H P%' H P%'

4.. PROBLEMAS PROPUESTOS: ENO@UE CLASICO9 ENO@UE DE RECUENCIAS RELATIVAS ! ENO@UESUBHETIVO.

PROBLEMA 1.-na encuesta en una clase de 34 estudiantes de una escuela de >d)inistracin( revel lasiguiente seleccin de carreras:

ontadura 106inanas 5

Siste)as de infor)acin 3 >d)inistracin #=ercadotecnia 10

Suponga $ue selecciona a un %o una' estudiante y observa su opcin profesional.

#3



); u9l es la probabilidad de $ue +l o ella estudie la carrera de ad)inistracinG; Fu+ concepto de probabilidad utili para 8acer esta esti)acinG

PROBLEMA 2.L El Jeparta)ento de obras pUblicas de la =unicipalidad Provincial de 7i)a( est9 considerandoa)pliar la >venida anada a tres carriles. >ntes de to)ar una decisin( se pregunt a 500 ciudadanos siapoyaban la a)pliacin.); u9l es el e?peri)entoG

; u9les son algunos de los posibles eventosG; =encione dos resultados posibles.

PROBLEMA ?.L En cada uno de los siguientes casos indi$ue si se utilia la probabilidad cl9sica( la e)pricao la sub"etiva.); na "ugadora de bas$uetbol realia 30 canastas en 50 tiros de falta. 7a probabilidad de $ue efectUe bien el

pr?i)o tiro es 0.#.; Se for) un co)it+ de alu)nos de siete )ie)bros para estudiar asuntos a)bientales. u9l es la probabilidad

de $ue uno de ellos sea elegido co)o el voceroG; sted co)pra uno de los 5 )illones de boletos $ue 7otera anad9 vendi para un sorteo. u9l es la

probabilidad de $ue gane el pre)io principal de un )illn de dlaresG(; 7a probabilidad de $ue ocurra un sis)o en el norte de alifornia en los pr?i)os 10 aQos( es de 0.-0.

PROBLEMA 4.L Ray 52 cartas en una bara"a nor)al %a)ericana'.); u9l es la probabilidad de $ue la pri)era $ue se sa$ue sea de espadasG; u9l es la de $ue el pri)er naipe seleccionado sea la sota de espadasG; Fu+ concepto de probabilidad ilustran a y b.G

PROBLEMA .L >ntes de efectuar una encuesta en todo el pas se seleccionaron 40 personas para probar elcuestionario. na pregunta acerca de si debe o no legaliarse el aborto( re$uiere una respuesta de s o no.); u9l es el e?peri)entoG; =encione un posible evento.; Jie de los 40 opinantes se declararon a favor de la legaliacin. on base en estas respuestas )u+strales(

cu9l es la probabilidad de $ue una persona especfica est+ a favor de tal legaliacinG

(; Fu+ concepto de probabilidad ilustra estoG%; ada uno de los resultados posibles son igual)ente probables y )utua)ente e?cluyentesG

PROBLEMA .L 7os clientes bancarios seleccionan su propio nU)ero de ,dentificacin Personal %,P' detres dgitos( para utiliarlo en la )ayora de los ca"eros auto)9ticos.); onsidere esto co)o un e?peri)ento y )encione cuatro posibles resultados.; u9l es la probabilidad de $ue el Sr. 7i)a y la Sra. <os seleccionen el )is)o ,PG; Fu+ concepto de probabilidad utili para contestar la pregunta anteriorG

PROBLEMA .L En cada una de las situaciones siguientes( indi$ue cu9l de los )+todos %cl9sico( de la frecuenciarelativa o sub"etivo' sera el )9s Util para la deter)inacin del valor de probabilidad re$uerido.); 7a probabilidad de una recesin el aQo $ue viene.; 7a probabilidad de $ue un dado con seis caras )uestre ya sea un 1 o un # en un solo lana)iento.; 7a probabilidad de $ue de un lote de 20 pieas( de las cuales se sabe $ue una de ellas est9 defectuosa( una

piea elegida de )anera aleatoria resulte ser la defectuosa.(; 7a probabilidad de $ue una piea to)ada en for)a aleatoria de un lote grande de pieas resulte defectuosa.%; 7a probabilidad de $ue una persona( elegida de )anera aleatoria( $ue entra en una tienda de departa)entos

grande efectUe una co)pra.,; 7a probabilidad de $ue el pro)edio industrial JoW Nones au)ente por lo )enos 50 puntos durante los

siguientes seis )eses(

PROBLEMA .L Jeter)ine el valor de probabilidad aplicable a cada una de las siguientes situaciones.); 7a probabilidad de sufrir un accidente de traba"o en una industria especfica a lo largo de un aQo. na )uestra

aleatoria de 10 e)presas $ue e)plean en total a - 000 personas revel $ue ocurrieron 400 accidentes detraba"o en un periodo reciente de 12 )eses.

; 7a probabilidad de apostar al nU)ero ganador en la ruleta. 7os nU)eros de la rueda son 0( 00 y del 1 8asta el3#.

; 7a probabilidad de $ue una fran$uicia de co)ida r9pida vaya a tener +?ito financiero. El futuro inversionista

#4



obtiene datos de otras unidades en el siste)a de fran$uicia( estudia el desarrollo del 9rea residencial en la cualse ubica la instalacin y considera el volu)en de venta $ue se re$uiere para el +?ito financiero con base en lainversin re$uerida de capital y en los costos de operacin. En general( el criterio del inversionista es $uee?iste -0 por ciento de probabilidad de $ue la instalacin tenga +?ito financiero y 20 por ciento de probabilidadde $ue no lo tenga.

PROBABILIDAD RENTE A LAS APUESTAS

PROBLEMA 1.L Para cada una de las siguientes oportunidades relativas deter)ine el valor de la probabilidadcorrespondiente( y para cada uno de los valores de probabilidad deter)ine las oportunidades relativase$uivalentes.); n agente de co)pras esti)a $ue las oportunidades relativas de $ue un flete llegue a tie)po son 2:1.; 7a probabilidad de $ue un nuevo co)ponente no funcione de )anera apropiada cuando se ensa)ble se

calcula $ue es P 1B5.; 7as oportunidades relativas de $ue un nuevo producto tenga +?ito se esti)a $ue son 3:1.(; 7a probabilidad de $ue el e$uipo local gane el "uego inicial de la te)porada se calcula $ue es 1B3.

PROBLEMA 2.LPara cada una de las oportunidades relativas siguientes deter)ine el valor de probabilidade$uivalente( y cada uno de los valores de probabilidad deter)ine a oportunidad relativa e$uivalente.); 7a probabilidad P 2B3 de cu)plir con una fec8a l)ite de entrega.

; 7a probabilidad P /B10 de $ue un nuevo producto sobrepase el nivel de ventas en tablas.; 7as oportunidades relativas 1:2 de $ue un co)petidor alcance la supre)aca tecnolgica.(; 7as oportunidades relativas 5:1 de $ue un nuevo producto sea rentable.

#5



4.. REGLAS DE PROBABILIDAD7as principales reglas de probabilidad son:

,. <eglas de >dicin

1. Si > y son eventos =E→ R%g) %+%") (% )(""#2. <egla del co)ple)ento3. Si > y no son eventos =E→ R%g) g%#%&) (% )(""#

,,. <eglas de =ultiplicacin1. Si > y son independientes

→ R%g) %+%") (% '$"")"#2. Si > y son dependientes

→ R%g) g%#%&) (% ) '$"")"#

I. REGLAS DE ADICION1' REGLA ESPECIAL DE ADICION.- Para aplicar la regla especial de adicin( los eventos deben ser )utua)ente

e?cluyentes.

> P %> ' G

Si > y son =E 7a <egla Especial de la adicin

=E =utua)ente e?cluyentes. Se aplica

>cu+rdese $ue =E significa $ue cuando ocurre un evento( ninguno de los otros puede ocurrir al )is)o tie)po.

EHEMPLO 1.L n e?peri)ento de tirar un dado( son los eventos: > Mun nU)ero 4 )ayor > j4(5(# Mun nU)ero 2 )enor j1(2

Si el resultado est9 en el pri)er grupo >j4(5(#no puede ta)bi+n estar en el segundo grupo j1(2

EHEMPLO 2.- n producto $ue sale de una lnea de ensa)bla"e no puede ser defectuoso %J' y no defectuoso a lave %'.Si dos eventos > y son =E( la &%g) %+%") (% )(""# indica $ue la probabilidad de $ue ocurra uno u otro de

los eventos es:

<EC7> ESPE,>7 JE >J,,O P%> ' P%>' H P%'

E%'* ?.- na )9$uina auto)9tica del Riper)ercado =E!<O llena bolsas de pl9stico de pallares. 7a )ayorade las bolsas contiene el peso correcto %1 Xg 1(000 g'( pero debido a ligeras variaciones en el ta)aQo de lospallares( una bolsa puede tener un peso ligera)ente )enor o )ayor. na verificacin de 4000 bolsas llenados el)es pesado indic:

PESO EVENTO N DE PA@UETESon )enor pesoSatisfactorioon peso )ayor

>

1003#00 3004000

u9l es la P de $ue un pa$uete es especial tenga un peso )enor o )ayorGP%> ' GP%> ' P%>' H P%'

##

&"$#%5 +%)&

A B

Ω



>

#0 #0 40

P%> ' 0.025 H 0.0*5P%> ' 0.10P%> ' 10&

2' REGLA DEL COMPLEMENTO.L Es el suceso $ue ocurre si y slo si > no ocurre.

A >] Ω L >

P% A ' P%>' P%Ω' [ P%>'P%>]' 1 [ P%>'

REGLA DE COMPLEMENTO PA; J 1 - PA;

EHEMPLO.L onsiderando el proble)a de las bolsas de pl9stico %Pag. 34' u9l es la P de encontrar un pa$uete conpeso satisfactorioG

jpeso satisfactorioP%' P %Ω' [ P P%>' H P%'YP%' 1 [ 0.10P%' 0./0P%' /0&

3' REGLA GENERAL DE ADICION.L 7os resultados de un e?peri)ento pueden no ser )utua)ente e?cluyentes(entonces se aplica la regla general de adicin.

Si > y no son =E R%g) G%#%&) (% ) )(""#

G&),"): E3%#$*+ A 5 B #* +*# ME

> P %> ' G

uando dos eventos se traslapan A 5 B;( son sucesos no =E y se puede encontrar la probabilidad con"unta.

P&*)""()( C*##$).L Es la probabilidad $ue calcula la posibilidad de $ue dos o )9s eventos ocurran en for)asi)ultanea. E").: P%> y '.

G&),"): &*)""()( *##$)9 P A 5 B;

> y P %> y '

7a regla general de la su)a tiene la siguiente fr)ula:

<egla Ceneral de >dicin P %> ' P%>' HP%'LP%> y '

EHEMPLO 1.L 7a Secretaria de turis)o %7i)a' seleccion una )uestra de 200 turistas $ue visitaron el PerU en el)es pasado. 7a encuesta revel $ue 120 fueron a =ac8upic8u( y 100( a las lneas de asca( #0 visitaron los doscentros tursticos u9l es la P de $ue una persona seleccionada 8aya visitado las 7neas de asca *

=ac8upic8uG

> j@isitaron =ac8upic8u n %>' 120 j7neas de asca n %' 100

#*

Ω A´

>

>

>



> 5 j>)bos centros tursticos n%> y ' #0Ω j200 turistas n%Ω' 200P %> ' G

P %> ' P%>' H P %' [ P %> y ' 200

#0 L

200

100

200

120+ 0.-0

200

1#0=

P %> ' -0&EHEMPLO 2.- u9l es la P de $ue una carta elegida al aar de una bara"a sea un rey o una de coraonesG

> j<eyes n%>' 4

joraones n %' 13

> y j<ey y coran n%> y ' 1

Ω j52 cartas n%Ω' 52

P %> ' G

P %> ' P%>' H P %' [ P %> y '

52

1 L

52

13

52

4+

70.30769230 52

16=

P %> ' 30.** &

4.. PROBLEMAS PROPUESTOS: REGLAS DE LA SUMAPROBLEMA 1.- Jeter)ine la probabilidad de obtener un as %>'( un rey (&) o un dos (') cuando se e?trae una carta de un "uego de naipes bien bara"ado con 52 naipes.PROBLEMA 2.- Je acuerdo con la tabla ad"unta( cu9l es la probabilidad de $ue una fa)ilia escogida al aar tenga uningreso fa)iliar ); entre ;20 000 y ;40 000( ; )enor $ue ;40 000( ; en uno de dos e?tre)os( o sea )enor $ue;20 000 o cuando )enos de ;100 000G

T)) I#g&%+* ,)'"")& )#) (% 00 ,)'"")+

C)$%g*&) I#$%&3)* (% "#g&%+* # (% ,)'"")+12345

=enor $ue ; 20 000; 20 000 L ; 40 000; 40 000 L ; #0 000; #0 000 L ; 100 000; 100 000 o )9s

#01001#0140

40!otal 40 500

PROBLEMA ?.- Je 300 estudiantes de ad)inistracin( 100 se encuentran inscritos en contabilidad y -0 est9n inscritosen estadstica para la ad)inistracin. Estas cifras incluyen a 30 estudiantes $ue est9n inscritos en a)bos cursos. u9les la probabilidad de $ue un estudiante elegido de )anera aleatoria est+ inscrito en contabilidad %>' o en estadstica parala ad)inistracin %'GPROBLEMA 4.- Je 100 personas $ue solicitaron puestos de analistas de siste)as en una e)presa grande durante elaQo pasado( 40 tenan alguna e?periencia laboral previa %!'( y 30 tenan un certificado profesional %'. Sin e)bargo( 20de los solicitantes tenan tanto e?periencia co)o un certificado( y por eso se incluyen en a)bos conteos.); onstruya un diagra)a de @enn para ilustrar estos eventos.

#-

>

>

3 1 12



; u9l es la probabilidad de $ue un solicitante elegido de )anera aleatoria tenga e?periencia laboral o un certificado%o a)bos'G

; u9l es la probabilidad de $ue un solicitante escogido en for)a aleatoria tenga e?periencia laboral o un certificado( pero no abo*

PROBLEMA .- Jurante cierta se)ana la probabilidad de $ue una e)isin especfica de acciones co)unes %S' suba(per)a neca sin ca)bios %' o dis)inuya (') de precio se esti)a $ue es 0.30( 0.20 y 0.50( respectiva)ente.); u9l es la probabilidad de $ue la e)isin de acciones au)ente o no ca)bie de precioG

; u9l es la probabilidad de $ue el precio de la e)isin ca)bie durante la se)anaG

PROBLEMA .- Je 500 e)pleados( 200 participan en el plan de reparto de utilidades de una e)presa (P), 400 tienenseguro de gastos )+dicos )ayores %='( y 200 participan en a)bos progra)as. onstruya un diagra)a de @enn parilustrar los eventos denotados por P + .

PROBLEMA .- <efi+rase al diagra)a de @enn $ue elabor en el proble)a #. u9l es la probabilidad de $ue une)pleado elegido al aar a) participe por lo )enos en uno de los dos progra)as( b) no participe en ninguno de los dosprogra)asG

PROBLEMA .- 7a probabilidad de $ue un nuevo )+todo de )ercadotecnia tenga +?ito (E) se calcula $ue es 0.#0. 7aprobabilidad de $ue el gasto en el desarrollo del )+todo pueda conservarse dentro del presupuesto original %P' es 0.50.7a probabilidad de $ue estos dos ob"etivos sean alcanados se esti)a $ue es 0.30. u9l es la probabilidad de $ue sealcance cuando )enos uno de estos ob"etivosG

PROBLEMA .- n estudio de 200 cadenas de tiendas de co)estibles revel estos ingresos( despu+s del pago dei)puestos:

I#g&%+* %# US;(%+7+ (% I'%+$*+ N'%&* (% %'&%+)+

=enos de 1 )illn 102Je 1 )illn a 20 )illones #1Je 20 )illones o )9s 3*

); u9l es la probabilidad de $ue una cadena en especial tenga )enos de un )illn %S;' en ingresos despu+s depagar i)puestosG

; u9l es la probabilidad de $ue una cadena de tiendas seleccionada al aar tenga un ingreso entre un )illn y 20)illones( o bien uno de 20 )illones o )9sG Fu+ regla de probabilidad se aplicG

PROBLEMA 10.-El presidente de una Nunta de >ccionistas dice: ^Ray un 50& de posibilidad de $ue esta co)paQatenga utilidades( un 30& de $ue $uede a nivel( y un 20& de $ue perder9 dinero el siguiente tri)estre.^); tilice una regla de adicin para encontrar la probabilidad de $ue no se pierda dinero en el pr?i)o tri)estre.; >pli$ue la regla del co)ple)ento para obtener la probabilidad de $ue no 8aya p+rdidas en tal periodo.

PROBLEMA 11.-Se tira un solo dado. Sea > el evento êl dado sale 4^( el evento sea êl dado sale un nU)ero par^( yel evento corresponde a êl dado )uestra un nU)ero i)par^. onsidere cada pare"a de eventos y describa si son =E.Jespu+s identifi$ue si son co)ple)entarios.

PROBLEMA 12.-7as probabilidades de los eventos > y son 0.20 y 0.30( respectiva)ente. 7a probabilidad de $uetanto > co)o ocurran es 0.15. u9l es la probabilidad de $ue suceda > o bien G

PROBLEMA 1?.-Supngase $ue los dos eventos > y son )utua)ente e?cluyentes. u9l es la p dad de su

ocurrencia con"untaG

PROBLEMA 14.- na encuesta a e"ecutivos de alto nivel en E>( revel $ue 35& leen con regularidad la revista TIMET;( 20& leen NEbSbEE] N; y 40& leen U.S. NEbS c bORLD REPORT Nb;. El 10& leen tanto TIME T; co)oU.S. NEbS c bORLD REPORT bR;.); u9l es la probabilidad de $ue un e"ecutivo especfico de nivel superior lea TIME T;o bien .S. eWs m Vorld

<eport Nb; con regularidadG); )o se deno)ina a la probabilidad 0.10G; 7os eventos son )utua)ente e?cluyentesG E?pli$ue la respuesta.

PROBLEMA 1.L En la =S= 40& de estudiantes son costeQos( el 10& estudien ,ngeniera ,ndustrialK el 2& estudian,ngeniera ,ndustrial y son costeQos. Si se selecciona al aar un estudiante san)ar$uino.a' u9l es la P de $ue no sea costeQoGb' u9l es la P de $ue sea costeQo o perteneca a ,ngeniera ,ndustrialG

c' o sea costeQo( ni estudiante de ,ngeniera ,ndustrialG

#/



PROBLEMA 1.L En una encuesta se deter)ina $ue la P $ue consu)e el producto > es 0.50( $ue consu)a el producto es 0.3*( $ue consu)a el producto es 0.30K $ue consu)a > y es 0.12( $ue consu)a sola)ente > y es 0.0-( $ueconsu)a sola)ente y es 0.5 y $ue consu)a sola)ente es 0.15. alcular la P $ue una persona consu)a:a' > ( pero no b' Sola)ente >

II. REGLAS DE MULTIPLICACIFN.

1. REGLA ESPECIAL DE MULTIPLICACIFN.7a regla especial de )ultiplicacin re$uiere $ue dos eventos( $ue > y seanindependientes.

Si > y son independientes R%g) %+%") (% ) '$"")"#

Esta regla supone $ue un segundo resultado no depende del pri)ero.EHEMPLO 1.- Se lanan la dos )onedas. El resultado de una )oneda %cara o sello'no se ve afectado por el resultado de la otra )oneda %cara o sello'.

E1 > j( S

E2

j( SJos eventos son independientes( %> y ' si el resultado de #* (%%#(% delresultado de >.Si dos eventos son independientes > y ( la probabilidad $ue ocurra > y K se aplica.

<egla especial de la )ultiplicacin P %> y ' P%>'. P %'

EHEMPLO 2.- Se lanan dos )onedas. u9l es la P de $ue a)bos caigan caraG

E1 M7anan 1 )oneda Ω1 j(S > jara

E2 M7ana 2 )oneda Ω2 j(S jara

P %> y ' G P%> y ' P %>' . P %'

0.25 4

1

2

1 .

2

1==

P %> y ' 25&

2. REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIFN.Si dos eventos no son independientes( se dicen $ue +*# (%%#("%#$%+. Para ilustrar la dependencia use)os elSgte. E"e)plo.EHEMPLO 1.L Suponga $ue en una urna 8ay 10 rollos de pelcula fotogr9fica en una ca"a y $ue se sabe $ue 3est9n defectuosos.

10 <ollos 3 J*

); Si E1 se escoge un rollo. u9l es la P de sacar un rollo defectuosoG

103

; Seguida)ente un E2 se escoge un 2 rollo( +"# &%*+""#( u9l es la P de obtener un rollo defectuosoG

9

2

Se reali un 1 e?peri)ento %E1'( seguida)ente se reali un 2 e?peri)ento %E2'

Es decir:

1 Ocurre el evento > y seguida)ente ocurre un 2 evento( . El evento ocurre #) 3%K $ue 8aya sucedido el evento >.

PROBABILIDAD CONDICIONAL.- Es la probabilidad $ue ocurra un evento es particular( dado $ue otro evento8aya ocurrido.

P %>' . P %B>' P %>' . P %B>'

*0

C&"+$")# '%"%&

http://www.google.com.pe/imgres?imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_XcuNWHiZPHc/Rc-o1nTgXnI/AAAAAAAAAck/GXUYBA6rshU/s400/capt.wx10302111017.money_ap_poll_wx103.jpg&imgrefurl=http://articulos-interesantes.blogspot.com/2007/02/despus-de-susan-b.html&usg=__ImdsE5S1D2lgP6Gmw5Qu5MiUdcM=&h=345&w=345&sz=107&hl=es&start=20&itbs=1&tbnid=xgDyz9jIXeCw5M:&tbnh=120&tbnw=120&prev=/images%3Fq%3Dmoneda%2Bde%2Bun%2Bdolar%26start%3D18%26hl%3Des%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D18%26tbs%3Disch:1



Prob. $ue ocurra ( Probabilidad ()(* 8% 5) $ue Ocurri > ondicional

Si depende de la ocurrencia de >( +% )") la <egla Ceneral de la =ultiplicacin.

7a for)ula de la <egla de =ultiplicacin:

REGLA GENERAL DE MULTIPLICACIFN P A 5 B; J PA;.PBQA;

7a probabilidad con"unta de P%> 5 ' es igual a la probabilidad de > por la Probabilidad de ( ()(* 8% Q; yaocurri >.

EHEMPLO 2.- onsiderando el %%'* anterior: 8ay 10 rollos de pelcula en una ca"a y se sabe $ue tres est9nJefectuosos. u9l es la P de sacar un rollo defectuoso( seguido por otro ta)bi+n defectuosoG +"# &%*+""#;.

P %> y ' G

); E1: se saca el 1 rollo Jefectuoso

Ω j10 <ollos n%Ω' 10

> j<ollos Jefectuosos n%>' 3

; Se aplica la 6O<=7> P %> y ' G

P A 5 B; J PA;.PBQA;

/

2 ?

10

3

'n%

n%B>' .

'%n

' >%n=

ΩΩ 0.0##* P %> y ' #.#* &

; Seguida)ente( sin reposicin( se realia un 2e?peri)ento:E2: Se saca el 2 rollo Jefectuoso( dado $ue yase saco un 1 rollo Jefectuoso'

Ω j/ <ollos n%Ω' /

j<ollos Jefectuosos B> j <ollos Jefectuosos( ()(* 8%( ya se

saco 1 rollo defectuoso n%B>' 2

EHEMPLO ?.L sando el e"e)plo 1. u9l es la P de sacar 3 defectuosos( uno despu+s de otro( +"# &%*+""#G

P %> y y ' P %>' . P %B>'. P %B > y '

0.008390

20

1

8

1

9

2 x == x

10

3

P %> y y ' 0.-3/0&

EHEMPLO 4.- na )uestra aleatoria de los e)pleados de la e)presa >ceites S.>.>.. Se seleccion paradeter)inar sus planes de "ubilacin despu+s de cu)plir #5 aQos. 7os seleccionados en la )uestra se dividieronen las 9reas de gerencia y produccin. 7os resultados fueron:

P)#%+ (%+7+ (% *+ )W*+E'%)(*+ S% &%$"&) N* +% &%$"&) T*$)

Cerencia 5 15 20 Produccin 30 50 -0

100

); )o se deno)ina esta tablaG!abla de ontigencia

; !race un diagra)a de 9rbol y deter)ine las probabilidades con"untas.

EMPLEADO PLANES PROBABILIDAD

CONDICIONALPROBABILIDAD

CONHUNTA

Cerencia100

20

<etiro

o retiro

1

20

5 ?

100

20

20

5==

1

20

15 ?

100

20

20

15==

0.05

0.15

Produccin 100

-0

<etiro 1 -0

30 ?100

-0

-0

30== 0.30

*1



o retiro

1

-0

50 ?

100

-0

-0

50==

0.50 1.00

; Estas Ulti)as probabilidades dan un total de 1.00G Por $u+G Su)an un total de 1( por$ue se incluyen todas las probabilidades.

EHEMPLO .- na encuesta de e"ecutivos se enfoc sobre su lealtad a la e)presa. na de las preguntas fue:

MSi otra co)paQa le 8iciera una oferta igual o ligera)ente )e"or $ue la de su puesto actual per)anecera en lae)presa o to)ara el otro e)pleoG. 7as respuestas de 200 e"ecutivos de la encuesta se clasificaron en for)acruada con su tie)po de servicio en la co)paQa.

CUADRO: L%)$)( (% *+ E%$"3*+ 5 T"%'*+ (% S%&3""*+ %# ) E'&%+)TIEMPO DE SERVICIO EN LA EMPRESA

LEALTAD MENOS DE 1AZO

1 ) AZOS ) 10 AZOS MAS DE 10AZOS

TOTAL

Se $uedarao se $uedara

1025

3015

510

*530

120-0

200

); )o se deno)ina esta tablaG !abla de contingencia; u9l es la P de seleccionar al aar un e"ecutivo $ue es leal a la e)presa %se $uedara' y $ue tiene )9s de 10

aQos de servicioG

>sea leal a la e)presa( se $uedara P %> y ' P%>' . P %B>'

)9s de 10 aQos de servicio 0.3*5200

*5

120

*5 ?

200

120 ===

P %> y ' G P %> y ' 3*.50 &

; !race un diagra)a de 9rbol $ue )uestre todas las posibilidades o probabilidades: nor)ales( condicionales ycon"untas.

LEALTADTIEMPO DESERVICIO

PROBABILIDADCONDICIONAL

PROBABILIDADCONHUNTA

Se $uedara200

120

=enos 1 aQo

1 a 5 aQos

# a 10 aQos

=as de 10 aQos

2

120

10 ?

200

120

120

10==

2

120

30 ?

200

120

120

30==

2

120

5 ?

200

120

120

5==

2

120

*5 ?

200

120

120

*5==

0.050

0.150

0.025

0.3*5

o se $uedara200-0

=enos 1 aQo

1 a 5 aQos

# a 10 aQos

=as de 10 aQos

-0

25 ?

200

-0

-0

25==

-0

15 ?

200

-0

-0

15==

-0

10 ?

200

-0

-0

10==

-0

30 ?

200

-0

-0

30==

0.125

0.0*5

0.005

0.150 1.000

(; Observe . la pregunta ; en el diagra)a del 9rbol desarrollado

LEALTADTIEMPO DESERVICIO

PROBABILIDADCONDICIONAL

PROBABILIDADCONHUNTA

=enos 1 aQo

1 a 5 aQos

2

120

10 ?

200

120

120

10==

2

120

30 ?

200

120

120

30==

0.050

0.150

*2



Se $uedara200

20 # a 10 aQos

=as de 10 aQos

2

120

5 ?

200

120

120

5==

2

120

*5 ?

200

120

120

*5==

0.025

0.3*5

o se $uedara200

-0

=enos 1 aQo

1 a 5 aQos

# a 10 aQos

=as de 10 aQos

-0

25 ?

200

-0

-0

25==

-0

15 ?

200

-0

-0

15==

-0

10 ?

200

-0

-0

10==

-0

30 ?

200

-0

-0

30==

0.125

0.0*5

0.005

0.150 1.000

PROBLEMAS PROPUESTOS: REGLAS DE MULTIPLICACIFN

PROBLEMA 1.- Rallar la P de obtener 2 caras si se lana sucesiva)ente dos veces una )oneda.PROBLEMA 2.- Rallar la P de obtener un # y un 5 sucesiva)ente al lanar un dado dos veces.PROBLEMA ?.- u9l es la P de $ue un )atri)onio tenga 2 8i"os varones seguidosGPROBLEMA 4.- En general( la probabilidad de $ue una persona realice una co)pra despu+s de 8aber sidocontactada por un vendedor( P 0.40. Si un vendedor elige a tres individuos en for)a aleatoria de un arc8ivo y8ace contacto con ellos( cu9l es la probabilidad de $ue los tres 8agan una co)praGPROBLEMA .- Je las 12 cuentas en un arc8ivo( cuatro tienen un error en el estado de cuenta.); Si un auditor elige al aar dos de estas cuentas %sin ree)plao'( cu9l es la probabilidad de $ue ninguna de

ellas contenga un errorG onstruya un diagra)a de 9rbol para representar este proceso secuencial de)uestreo.

; Si el auditor to)a una )uestra de tres cuentas( cu9l es la probabilidad de $ue ninguna de ellas contenga unerrorG

PROBLEMA .- uando de una poblacin finita se to)a una )uestra in ree)plao( los valores de probabilidadcorrespondientes a los diferentes eventos dependen de $u+ eventos %ele)entos )uestreados' ya 8ayan ocurrido.Por otro lado( cuando el )uestreo se 8ace con ree)plao( los eventos sie)pre son independientes.); Suponga $ue se escogen al aar y sin ree)plao tres cartas de una bara"a ci+ 52 naipes. u9l es la

probabilidad de $ue las tres cartas sean asesG; Suponga $ue se escogen en for)a aleatoria tres cartas de una bara"a de 52 naipes( pero despu+s de elegida(

cada carta se devuelve al pa$uete $ue se bara"a antes de la siguiente e?traccin de una carta. ual es laprobabilidad de $ue las tres cartas sean asesG

PROBLEMA .- Jurante un periodo especfico( -0 & de las e)isiones de acciones co)unes en una industria $ueco)prende slo 10 e)presas 8an incre)entado su valor de )ercado. Si un inversionista escoge dos de estase)isiones en for)a aleatoria( cu9l es la probabilidad de $ue a)bas 8ayan incre)entado su valor de )ercadodurante este periodoG

PROBLEMA .- 7a proporcin general de artculos defectuosos en un proceso continuo de produccin es 0.10.u9l es la probabilidad de $ue ); dos artculos escogidos al aar salgan sin defecto %J'( ; dos artculosescogidos al aar est+n defectuosos %J'( ; por lo )enos uno de los dos artculos escogidos en for)a aleatoriasalga sin defecto %J]'G

PROBLEMA .- n banco local reporta $ue -0& de sus clientes tienen una cuenta de c8e$ues( #0& una cuentade a8orros( y 50& tienen a)bas. Si se selecciona un cliente al aar( u9l es la probabilidad de $ue el cliente notenga ninguna de las dos cuentasG

PROBLEMA 10.- n SPE<=E<>JO tiene una )9$uina $ue llena pa$uetes de legu)bres )i?tas en una bolsade pl9stico. 7a e?periencia indica $ue algunos pa$uetes tuvieron )enos peso( y algunos otros peso de )9s( perola )ayora fueron satisfactorios. @ea)os lo siguiente:

PESO PA@UETE PROBABILIDAD P;

*3



>1 >

2

B>1 B>

2

,nsuficienteSatisfactorio

E?cedido

0.0250./000.0*5

); u9l es la P de seleccionar 8oy 3 pa$uetes de la lnea de procesa)iento de ali)entos( y encontrar $ue a los3 les falta pesoG %con reposicin'

; Fu+ significa esta probabilidadG

PROBLEMA 11.- ada vendedor en Dola <eal se califica co)o M>>NO P<O=EJ,O( MP<O=EJ,O o M><<,>

JE7 P<O=EJ,O( con respecto a su aptitud para las ventas. >de)9s( cada uno ta)bi+n se clasifica respecto desu posibilidad de pro)ocin en: regular( buena o e?celente. En el cuadro se presentan las calificaciones de estosconceptos para 500 vendedores.

)""()( %# V%#$)+P*+"""()(%+ (% P&*'*"#

R%g)& B%#) E/%%#$%Por aba"o del pro)edioPro)edioPor arriba del pro)edio

1#45/3

12#0*2

2245

135); o)o se deno)ina esta tablaG.; u9l es la P de $ue un vendedor seleccionado al aar tenga aptitud para las ventas por enci)a del pro)edio

y e?celente posibilidad de pro)ocinG; !race un (")g&)') (% á&* $ue )uestre todas las posibilidades: nor)ales( condicionales y con"untas.

4.. TEOREMA DE BA!ESEn el siglo _@,, el reverendo !RO=>S >AES )inistro presbiteriano ingles( plante la siguiente cuestin:<eal)ente e?iste JiosG. Estando interesado en las )ate)9ticas( intent desarrollar una fr)ula para llegar aevaluar la probabilidad de $ue Jios e?ista( con base en la evidencia de $ue +l disponia a$u en la !ierra. =9sadelante( 7>P7>E afin el traba"o de ayes y le di el no)bre de M TEOREMA DE BA!ES. En for)a)ane"able( dic8o TEOREMA DE BA!ES %+:

!EO<E=> JE >AES P%>1B' '%B>P'.%>P' >B%P '.P%>

'%B>P '.%>P

2211

11

+

El significado de estas letras se e?plicara con el siguiente EHEMPLO( pero *+%&3% $ue se refiere )&*)""()(%+ *#(""*#)%+.

EHEMPLO 1.- onsidere el proble)a $ue sigue. Suponga $ue 5& de la poblacinde AITI( uno de los pases de >)+rica 7atina( padece de una enfer)edad( y >2

el evento Mno tiene la enfer)edad. Por lo tanto sabe)os $ue si selecciona)osuna persona de AITI al aar( la probabilidad de $ue la elegida tenga elpadeci)iento es 0.05( o bien P%>1' 0.05. Esta probabilidad( P%>1' P %tiene laenfer)edad' 0.05( se deno)ina &*)""()( ) &"*&". Se le da este no)brepor$ue la probabilidad se asigna antes de 8aber obtenido datos e)pricos.

PROBABILIDAD A PRIORIEs la probabilidad inicial con base en el nivel actual de infor)acin7a probabilidad a priori de $ue una persona no padeca el trastorno es( por lo tanto( igual a 0./5( o bien P%>2' 0./5( $ue se obtiene por 1 L 0.05.E?iste una t+cnica de diagnstico para detectar la enfer)edad( pero no es )uy e?acta. Sea el evento %laprueba' indica $ue la enfer)edad est9 presente. onsidere $ue la evidencia 8istrica )uestra $ue si unapersona real)ente padece la enfer)e dad( la probabilidad de $ue la prueba indi$ue la presencia de la )is)avale 0./0. tiliando las definiciones de probabilidad condicional desarrolladas anterior)ente en este captulo(tal afir)acin se e?presa co)o:

P % >1' 0./0onsidere $ue la probabilidad de $ue una persona en realidad no tenga el padeci)ien to( pero $ue la pruebaindi$ue$ue el )is)o est9 presente( es 0.15.

*4

!ilsa 7oano



Ω

>1 >

2

B>1 B>2

P % >2' 0.15

Seleccione)os en for)a aleatoria a un 8abitante de AITI( al $ue se %le aplica la prueba'. 7os resultadosindican $ue el padeci)iento est9 presente. u9l es la probabilidad de $ue la persona real)ente tenga laenfer)edadG En for)a si)blica( se desea deter)inar P%>1'( $ue se interpreta co)o: P%tiene la enfer)edad'%los resultados de la prueba son positivos'. 7a probabilidad de P %>1 ' se deno)ina una probabili dad aposteriori.

P&*)""()( ) P*+$%&"*&". Es una probabilidad revisada con base en infor)acin adicional.

on la ayuda del $%*&%') (% B)5%+( fr)ula( es posible deter)inar la probabilidad a posteriori o revisada

'P%B>'P%>'P%B>'P%>

'P%B>'P%> 'B >%P

2211

111 +

=

24& 0.240.1-*5

0.0450

%0.15'%0./5'%0./0'%0.05'

%0./0' %0.05' ===

+=

Por lo tanto( la probabilidad de $ue una persona tenga la enfer)edad( dado $ue la prueba result positiva( es0.24. )o se interpreta este resultadoG Si una persona se selecciona al aar de la poblacin( la probabilidadde $ue padeca al trastorno es 0.05. Si se aplica la prueba a la persona y resulta positiva( la posibilidad de $ueen realidad tenga el padeci)iento au)enta apro?i)ada)ente cinco veces( de 0.05 a 0.24.

El %%'* anterior incluy sola)ente dos eventos( >1 y >2( co)o probabilidades a priori. Si 8ay )9s de dosprobabilidades de este tipo( el deno)inador del teore)a de ayes re$uiere t+r)inos adicionales. Si ladistribucin probabilstica a priori consiste en n eventos )utua)ente e?cluyentes( el teore)a de ayes(fr)ula( $ueda co)o sigue

'P%B>'P%>...'P%B>'P%>'P%B>'P%>

'P%B>'P%> 'B >%P

nn2211

ii1 +++

=

donde >1 se refiere a cuales$uiera de los n posibles resultados.tiliando la anotacin anterior( los c9lculos para el proble)a en AITI se pueden resu)ir en la siguiente tabla.

E%ento7 A1

"robabilidad apriori7

P(A1 )

"robabilidadcondicional

P(B/A1 )

"robabilidad7conjunta7

P(A1 y B)

"robabilidada posterior7

P(A1 / B)Fiene la en)ermedad7 A1

No tiene la en)ermedad7 A 2

0.050.L5

0.L00.15

0.0450 0.1425";B< 6 0.1KH5

0.0450-0.1KH5 6 0.240.1425-0.1KH5 6 0.H:

1.00

EHEMPLO 2.L n e$uipo de b9s$uet( "uega el 0 (% ++ )&$"(*+ *& ) #*%( y el ?0 (&)#$% % (). Ele$uipo gana 50& de sus "uegos nocturnos y /0& de los diurnos. Je acuerdo con un diario del da de 8oy(g)#)&*# )5%& . <Cá %+ ) &*)""()( de $ue % )&$"(* +% )5) (%+)&&*)(* *& ) #*%>

>1 "uega de noc8eK P A1; J 0 J 0.0 >2 "uega de daK P A2; J ?0 J 0.?0B J

g)#)&*# )5%&

B>1 ganaron ayer( tal $ue( "uega de noc8e P BQA1;J0 J 0.0

B>2 ganaron ayer( tal $ue( "uega de daK P BQA2;J0 J 0.0

PA1 QB; J >

G)#)&*# )5%&9 u9l es la P de $ue el partido se 8aya desarrollado por la noc8eGS*"#:

24 0.240.1-*5

0.0450

%0./0'%0.30'%0.50'%0.*0'

%0.50' %0.*0'

'P%B>'P%>'P%B>'P%>

'P%B>'P%> 'B >%P

2211

111 ===

+=

+=

EHEMPLO ?.L 7a Jra. <os 8a estado enseQando Estadstica para Econo)istas durante )uc8os aQos. Sabe$ue 0 (% *+ %+$(")#$%+ +" ""%&*# )+ $)&%)+ )+"g#)()+. Jeter)in $ue de los alu)nos $ue si cu)plenlas tareas asignadas( /0& aprobar9 el curso. Je a$uellos estudiantes $ue no 8acen las tareas asignadas( #0&

*5



Ω

>1 >

2

Ω

B>1 B>

2

>1 >

2

Ω

B>1 B>

2

ser9 pro)ovido. =iguel S9nc8e to) Estadstica para Econo)istas ,( durante el Ulti)o se)estre con laprofesora <os y recibi una )",")"# )&*)$*&") %# % &+*. Cá %+ ) P (% 8% + )5) %* )+$)&%)+>

>1 si 8acen las tareasK P A1; J 0 J 0.0 >2 no 8acen las tareasK P A2; J 20 J 0.20B J

)",")"# )&*)$*&") (% &+*

B>1 calificacin aprobatoria del curso( tal $ue( +" 8acen tareas

P BQA1;J0 J 0.0B>2 calificacin aprobatoria del curso( tal $ue( #* 8acen tareas P BQA2;J0 J 0.0

PA1 QB; J >

C)",")"# )&*)$*&")9 u9l es la P de $ue s 8aya 8ec8o las tareasG

S*"#:

24 0.240.1-*5

0.0450

%0.#0'%0.20'%0./0'%0.-0'

%0./0' %0.-0'

'P%B>'P%>'P%B>'P%>

'P%B>'P%>

'B >%P2211

11

1 ===+=+=EHEMPLO 4.L 7a Jra. <os 8a estado enseQando Estadstica para Econo)istas durante )uc8os aQos. Sabe$ue 0 (% *+ %+$(")#$%+ +" ""%&*# )+ $)&%)+ )+"g#)()+. Jeter)in $ue de los alu)nos $ue si cu)plenlas tareas asignadas( /0& aprobar9 el curso. Je a$uellos estudiantes $ue no 8acen las tareas asignadas( #0&ser9 pro)ovido. =iguel S9nc8e to) Estadstica para Econo)istas ,( durante el Ulti)o se)estre con laprofesora <os y recibi una )",")"# )&*)$*&") %# % &+*. <Cá %+ ) P (% 8% #* )5) %* )+$)&%)+>

>1 si 8acen las tareasK P A1; J 0 J 0.0 >2 no 8acen las tareasK P A2; J 20 J 0.20B J

)",")"# )&*)$*&") (% &+*

B>1 calificacin aprobatoria del curso( tal $ue( +" 8acen tareas P BQA1;J0 J 0.0

B>2 calificacin aprobatoria del curso( tal $ue( #* 8acen tareas P BQA2;J0 J 0.0

PA2 QB; J >

C)",")"# )&*)$*&")9 u9l es la P de $ue no 8aya 8ec8o las tareasG

S*"#:

%0.#0'%0.20'%0./0'%0.-0'

%0.#0' %0.20'

'P%B>'P%>'P%B>'P%>

'P%B>'P%> 'B >%P

2211

222 =

+

=

+

=

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1.L El departa)ento de cr+dito de una tienda por departa)entos( infor) $ue 30& de sus ventasson en efectivo( 30& son pagadas con c8e$ues en el )o)ento de la ad$uisicin y 40& son a cr+dito. Se tiene$ue 20& de las co)pras en efectivo( /0& de las pagadas con c8e$ues( y #0& de las ad$uisiciones a cr+dito(son por )9s de ;50. 7a Sra. Nuana acaba de co)prar un vestido nuevo $ue cuesta ;120. u9l es laprobabilidad de $ue 8aya pagado por +l en efectivoG

PROBLEMA 2.L n fabricante de J@J co)pra un cierto )icroc8ip( lla)ado 7SL24 de tres proveedores. n30& de los )icrocircuitos 7SL24 se co)pran a PROVEEDOR I9 20& a PROVEDOR II y el 50& restante alPROVEEDOR III. El fabricante tiene 8istoriales e?tensos acerca de los tres abastecedores y sabe $ue 3& de

los )icroc8ips 7SL24 del PROVEEDOR I son defectuosos( un 5& de los de PROVEEDOR II son noaceptables( y un 4& de los de PROVEEDOR II ta)bi+n tienen defectos.uando tales )icrocircuitos 7SL24 llegan al fabricante( se colocan directa)ente en un deposito( y no soninspeccionados o identificados de algUn )odo por el proveedor. n traba"ador selecciona uno para su

*#



instalacin en un J@J( y lo encuentra defectuoso. u9l es la probabilidad de $ue 8aya sido fabricado por elPROVEEDOR II G.

PROBLEMA ?. n analista de una e)presa de teleco)unicaciones esti)a $ue la probabilidad de $ue unanueva e)presa planee ofrecer servicios co)petitivos en los pr?i)os tres aQos es 0.30( y 0.*0 de $ue no lo8aga. Si la nueva e)presa tiene estos planes( definitiva)ente tendra $ue construirse una nueva instalacin de)anufactura. Si la nueva e)presa no tiene estos planes( todava $ueda una probabilidad de #0& de $ue seconstruya una nueva instalacin de )anufactura por otras raones.

); <epresente con ! la decisin de $ue la nueva e)presa ofreca los servicios de teleco)unicaciones y con= la adicin de una nueva instalacin de )anufactura( e ilustre los eventos posibles )ediante un diagra)a de9rbol.; Suponga $ue se observa $ue la nueva e)presa ya 8a co)enado a traba"ar en una nueva instalacin de)anufactura. on base en esta infor)acin( cu9l es la probabilidad de $ue la e)presa 8aya decidido ofrecer servicios co)petitivos de teleco)unicacionesG

PROBLEMA 4.Si 8ay un incre)ento de inversin de capital el pr?i)o aQo( la probabilidad de $ue au)ente elprecio del acero estructural es 0./0. Si no 8ay un incre)ento en esta inversin( la probabilidad de un au)entoes 0.40. En general( se esti)a $ue e?iste una posibilidad de #0 & de $ue se incre)ente la inversin de capitalel pr?i)o aQo.); se , e , para incre)ento y el no incre)ento de la inversin de capital( y < y < para au)ento y el no

au)ento de los precios del acero estructural. onstruya un diagra)a de 9rbol $ue represente esta situaLcin en la $ue intervengan eventos independientes.

; u9l es la probabilidad de $ue no au)enten los precios del acero estructural aun cuando 8aya un increL

)ento de inversin de capitalG; u9l es la probabilidad %no condicional' de un au)ento de los precios del acero estructural el pr?i)oaQoG

(; Suponga $ue durante el pr?i)o aQo au)entan los precios del acero estructural. u9l es la probabilidadde $ue 8aya un incre)ento de inversin de capitalG

PROBLEMA .L El -0& del )aterial de vinilo $ue se recibi del proveedor > es de calidad e?cepcional()ientras $ue sola)ente 50 & del )aterial de vinilo $ue se recibi del proveedor es de calidad e?cepcional.Sin e)bargo( la capacidad de fabricacin del proveedor > es li)itada( y por esta ran slo 40& del )aterialde vinilo $ue co)pra la e)presa proviene del proveedor >. El otro #0& proviene del proveedor . Seinspecciona un flete de )aterial de vinilo $ue va entrando y se encuentra $ue es de calidad e?cepcional. u9les la probabilidad de $ue provenga del proveedor >G

PROBLEMA .L Se produce gasolina en tres refineras con niveles diarios de produccin de 100 000( 200 000y 300000 galones( respectiva)ente. 7a proporcin de producto con un octana"e inferior al de las

especificaciones es en cada una de las tres refineras 0.03( 0.05 y 0.44( respectiva)ente. Se encuentra $ueuna pipa transporta gasolina $ue tiene un octana"e inferior al de las especificaciones( y por ello el co)bustiblese va a co)ercialiar fuera del siste)a de distribucin con )arca. Jeter)ine la probabilidad de $ue la pipaprovenga de cada una de las tres refineras( respectiva)ente( a) sin considerar la infor)acin de $ue eloctana"e del flete es inferior al de las especificaciones y b) dada la infor)acin adicional de $ue el flete tiene unoctana"e inferior al de las especificaciones.

4.. BIBLIOGRAIA• Da)ier( 7eonard N. %200#'. ES!>J,S!,> >P7,>J> > >J=,,S!<>,I A EOO=T>. =+?ico J.6.:

Editorial =c CraW Rill.


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CAPITULO V: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

En este CAPITULO se iniciar9 el estudio de ("+$&""*#%+ (% &*)""()(%+ * &*)"+$")+;.na distribucin deprobabilidades de toda la ga)a de valores $ue puede ocurrir con base en un %/%&"'%#$* )%)$*&"*( y resulta si)ilar auna distribucin de frecuencias. Sin e)bargo( en ve de describir el )+)(*(

define $u+ tan probable es $ue +%() )g# %3%#$* ,$&*

.1. <@UE ES UNA DISTRIBUCIFN PROBABILISTICA>DISTRIBUCIFN PROBABILISTICA.- Es la %#'%&)"# de todos los resultados necesarios *& %%'*9 #*+"#$%&%+) % # (% )&)+; de un e?peri)ento aleatorio "unto con su probabilidad asociada a cada uno.

• <esultado $ue interesa( X n caras y• Probabilidad del resultado $ue interesa( P/;

)o se puede generar una distribucin de probabilidadesG

EHEMPLO.- Suponga)os $ue nos interesa el # (% )&)+ %' $ue es el resultado de lanar 3 veces una )oneda <u9les la distribucin &*)"+$") para el # (% )&)+>

1 L)#K. 2 L)#K. ? L)#K. N )&)+

S

S

S

S S

S

S SS

S

S SS

SS

S SSS

3

2

2

1

2

1

1

0

7uego( se calcula la P del n de caras

CUADRO: D"+$&""# &*)"+$") para el # (% )&)+ %_ 0(1(2 y 3' si se lanan 3 veces 1 )oneda.

X: n de caras P %n caras'PX;

0

1

2

3

1B- 0.125

3B- 0.3*5

3B- 0.3*5

1B- 0.125-B- 1.000

GRAICA: D"+$&""# &*)"+$") para el # (% )&)+ %_ 0(1(2 y 3' si se lanan 3 veces una )oneda.

*-

PX;

3B-

2B-

1B-

0 1 2 3 X : # (% )&)+



CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIFN PROBABILISTICA

a' 7a P de un resultado especifico sie)pre est9 entre 0 y 1.0 ≤ P %?' ≤ 10 ≤ P %?' ≤ 100&

P %? 0' 0.125 P %? 2' 0.3*5

P %? 1' 0.3*5 P %? 3' 0.125

b' 7a su)a de las probabilidades de todos los &%+$)(*+ '$)'%#$% e?cluyente es 1.000P %? 0' H P %? 1' H P %? 2' H P %? 3' 1.000

0.1250.3*5 H 0.3*5 H 0.125 1.000

.2. VARIABLES ALEATORIAS.

VARIABLE ALEATORIA.- Es la )#$"()( ( $ue es el &%+$)(* 8% "#$%&%+)( de un e?peri)ento aleatorio el cual(debido al aar( puede to)ar valores diferentes.

EHEMPLO 1.- El )is)o e").( del uadro: Jistribucin de probabilidad

P%n caras'

@ariable aleatoria d X: n caras

0 1 2 3

P /; .

1B- 0.1253B- 0.3*53B- 0.3*51B- 0.125-B- 1.000

EHEMPLO 2.L Si se considera el n de e)pleados ausentes de un turno del da lunes( el )is)o podra ser: 0(1(2(3(....V)&")% )%)$*&") j ? 0( 1( 2( 3(...

EHEMPLO ?.- Si se pesa una planc8a de acero( el resultado podra ser.

V)&")% )%)$*&")j ? 1(000( 1(000.01( 1000.02... %en Dg'El resultado depende de la e?actitud del peso.

TIPOS DE VARIABLE ALEATORIA

@><,>7E >7E>!O<,>); D"+&%$); C*#$"#)

a' VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.- Por lo general( una variable aleatoria es el resultado de *#$)& algo %son los

nU)eros naturales'.

E%'* 1: _ n de caras...

0(1(2( y 3 %del e"e). anterior'

E%'* 2: _ n de e)pleados ausentes en el 1 turno 0(1(2(3( ....

7a variable aleatoria discreta → Jistribucin probabilstica discreta

b' VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.- Puede to)ar un valor dentro de una cantidad infinita grande de valores.

E%'* 1.- 7a distancia entre las ciudades > y podran ser 500 D)( 500.1 D). 500.15 D). y as sucesiva)ente.

E%'* 2.- 7a presin de un neu)9tico %en libras por pulgada cuadrada podran ser: 2-( 2-.#( 2-.#3( etc.

7a variable aleatoria continua → Jistribucin probabilstica continua

.?. BIBLIOGRAIA• Da)ier( 7eonard N. %200#'. ES!>J,S!,> >P7,>J> > >J=,,S!<>,I A EOO=T>. =+?ico J.6.:

Editorial =c CraW Rill.


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CAPITULO VI: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

#.1. Jescripcin de una @ariable >leatoria Jiscreta#.2. Jistribucin ino)ial#.3. Jistribucin Ripergeo)etrica#.4. Jistribucin Poisson

.1. DESCRIPCIFN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

7o )is)o $ue en el caso de recolecciones de datos )uestrales y poblacionales( a )enudo es Util (%+&""& una variable

aleatoria en t+r)inos de su:• =edia• @ariana• Jesviacin Est9ndar

LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCIFN DE PROBABILIDADEs el 3)*& &*'%("* o 3)*& %+%&)(* a largo plao de la variable aleatoria( EX;. Es un pro)edio ponderado de losvalores posibles $ue se consideran por las probabilidades correspondientes de ocurrencia.

=edia de una Jistribucin Probabilstica µ Ε % Χ' ∑ [Χ . Ρ % Χ']

LA VARIANA ! DESVIACIFN ESTANDARna )edia %µ'( no describe el grado de ("+%&+"# * 3)&")"#; en una distribucin. L) 3)&")#K) +" * )%. naco)paracin de dos varianas per)ite confrontar el grado de dispersin de los datos de la variable. 7a fr)ula para lavariana es:

@ariana de una Jistribucin Probabilstica σ2 ∑ [% Χ L µ'2 . Ρ % Χ']

Jesviacin Est9ndar de una Jist. Probabilstica σ ( )Y_pq'd%_ 2 ⋅−∑

EHEMPLO 1.- Nuan <a)re vende auto)viles nuevos. Ceneral)ente( negocia el )ayor nU)ero de ve8culos( *+

()+ +á)(*+. Ra establecido la siguiente distribucin probabilstica para el # (% )$*+ $ue espera vender en un

s9bado en particular.

X: n autosvendidos

P%n autosvendidos'

PX;0123

4

0.100.200.300.30

0.101.00a' Fu+ tipo de distribucin es +staGb' En un s9bado co)Un( cu9ntos autos espera vender NuanGc' u9l es la variana de la distribucinG u9l es la desviacin est9ndarG

SOLUCIFN

); Este es en caso de distribucin probabilstica discreta .;

X: n autos@endidos

P%n autosvendidos'

PX;_ . P%_'

012

34

0.100.200.30

0.300.10

0.000.200.#0

0./00.402.10

µ ∑_.P%_'YEs decir:µ Ε %_' ∑_.P%_'Y

µ 0%0.10'H1%0.20'H2%0.30'H3%0.30'H4%0.10'µ 2.1 autos $ue espera vender.

;

X: nautosvendidos

P%n autos@endidos'

PX;%_Lµ' %_Lµ'2 j_Lµ'2.P%_'

012

34

0.100.200.30

0.300.10

0L2.11L2.12L2.1

3L2.14L2.1

4.411.210.01

0.-13.#1

0.4410.2420.003

0.2430.3#11.2/0

σ2 ∑%_Lµ2 . P%_'Y

-0



7a variana: σ2 1.2/0

(; 7a Jesviacin Est9ndar σ2 1.2/0

σ 290.1

σ 1.13#


PROBLEMA 1.- EL PALACIO DE LA PIA ofrece 3 ta)aQos de refresco %pe$ueQo( )ediano y grande'( co)oco)ple)ento de sus pias. 7as bebidas se venden a S; 0.50( 0.*5 y 0./0( respectiva)ente. Je los pedidos( el 30&son para el ta)aQo pe$ueQo( 50& para el )ediano y 20& para el grande. Organice el ta)aQo de los refrescos y la P deuna venta dentro de una distribucin probabilstica.a' Es +sta una distribucin del tipo discretoGb' alcule la cantidad )edia cobrada por un refresco.c' u9l es la variana de los cobros por la bebidaG y su desviacin est9ndarGPROBLEMA 2.- Se 8a deter)inado $ue el n de ca)iones de carga $ue arriban cada 8ora a un super)ercado sigue ladistribucin de probabilidad del C)(&* 1. alcule(); El n esperado de arribos _ por 8ora.; 7a variana.; 7a desviacin est9ndar de la variable aleatoria discreta.

CUADRO N 1: A&&"* (% C)'"*#%+ (% C)&g)Q*&) ) # S%&'%&)(*

X: de a)iones 0 1 2 3 4 5 #PX; 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05

PROBLEMA ?.- En el C)(&* 2. Se identifica la P de $ue una red de co)puto se 8alle fuera de operacin durante el nidentificado de perodos por se)ana en su fase inicial de instalacin. alcule:a' El n esperado de veces por se)ana en $ue la red estar9 fuera de operacin(b' 7a variana yc' 7a desviacin est9ndar de esta variable.

CUADRO N 2 X: de periodos 4 5 # * - /P X; 0.01 0.0- 0.2/ 0.42 0.14 0.0#

Seguida)ente se estudia las 3 distribuciones de probabilidad discreta.

.2. DISTRIBUCIFN BINOMIAL

7a ("+$&""# "#*'") es una ("+$&""# (% &*)""()( ("+&%$) aplicable co)o )odelo para situaciones deto)a de decisiones en las $ue puede suponerse $ue un proceso de )uestreo responde a un &*%+* (% B%&#*".

D"+$&""# B%&#*".L 7as condiciones $ue debe cu)plirse para una correcta aplicacin de la Jistribucin ernoulli:L El e?peri)ento aleatorio debe tener Unica)ente dos resultados posibles: +?ito o fracaso( prendido o apagado( ganar o

no ganar( par o i)par( ro"o y no ro"o( defectuoso %J' o no defectuoso %'( etc( etc.L 7os resultados deben ser )utua)ente e?cluyentes.

EHEMPLO 1.- 7a respuesta a una pregunta del tipo verdadero %@'Bfalso %6'.p probabilidad de +?ito en cada ensayoK p 0.50$ probabilidad de fracaso en cada ensayoK $ 0.50

7os resultados son '$)'%#$% %/5%#$%+( lo cual significa $ue la respuesta a una pregunta de @B6 no puede ser @y 6 al )is)o tie)po.

<CFMO ELABORAR UNA DISTRIBUCIFN PROBILISTICA BINOMIAL>Para establecer una distribucin probabilstica bino)ial( se debe saber:

• El n de ensayos ta)aQo de la )uestra.• 7a P de +?ito en cada ensayo p

Seguida)ente observe usted el e"e)plo 2.

EHEMPLO 2.- Si un e?a)en realiado al t+r)ino de un se)inario de 6inanas ,, consiste en 20 preguntas de opcin)Ultiple( el nU)ero de ensayos es 20. Si cada pregunta tiene cinco opciones y slo una es correcta( la probabilidad de

+?ito en cada ensayo de una persona $ue desconoca la )ateria( es 0.20. Je este )odo( la probabilidad de $ue unapersona sin conoci)iento del te)a adivine la respuesta a una pregunta en for)a correcta( tiene un valor de 0.20. Por tanto( se cu)plen las condiciones descritas para una distribucin bino)ial.

-1

D"+$&""*#%+ (%

P&*)""()( D"+&%$)

Jistribucinino)inal

JistribucinRipergeo)+trica

JistribucinPoisson



7a distribucin probabilstica bino)ial puede describirse utiliando la fr)ula:

Jistribucin Probabilstica ino)ial P%_' X

np? $n [ ?

n n de ensayos ta)aQo de la )uestra/ J # (% 7/"$*+ 8% "#$%&%+)#. P%(% +%& 091929?9 _\ / J 091929?9 _p probabilidad de +?ito$ 1 [ p probabilidad de fracaso

EHEMPLO ?.- n e?a)en consiste en 4 preguntas. 7a respuesta a cada pregunta es VQ y el estudiante no sabe elcurso. u9l es la probabilidad de:); o obtener e?acta)ente ninguna de las 4 en for)a correcta.; Obtener e?acta)ente una de las 4GSOLUCIFN:);D)$*+n 4_ 0P 0.50F 0.50P%?0'G

P%_0' )!04(!0

!4

−%0.50'0%1L0.50'4L0

P%_0' 0.0#25P%_0' #.25&

;

D)$*+n 4_ 1P 0.50F 0.50P%?1'G

P%_1' 1)!(4 1!

!4

−%0.50'1%1L0.50'4L1

P%_1' 0.2500P%_1' 25&

CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIFN BINOMIAL• n resultado de cada ensayo de un e?peri)ento se clasifica en 2 categoras )utua)ente e?cluyentes: 7/"$* *

,&))+*( prendido o apagado( ganar o no ganar( par o i)par( ro"o y no ro"o( defectuoso %J' o no defectuoso %'( etc.• 7a variable aleatoria es el resultado de contar el n de +?itos en una cantidad fi"a de ensayos.• M%+$&%* *# &%%')K*. 7a P de +?ito per)anece igual en cada ensayo.• 7os ensayos son "#(%%#("%#$%+( lo cual significa $ue el resultado de un ensayo no afecta el resultado de algUn otro.

Se conoce: =EJ,> JE > J,S!<,,I ,O=,>7 µ n p

!a)bi+n:

@><,>\> JE > J,S!<,,I ,O=,>7 σ2 n p $

USO DE TABLAS DE PROBABILIDAD BINOMIALSe 8a desarrollado $))+ cuando n1(2(3(...(1#(1/(25 y 30K para desarrollar en for)a r9pida los proble)as de estadistribucin.%>tienda d. el uso de las tablas'.


PROBLEMA 1.- En una situacin bino)ial n4 y p0.25. Jeter)ine las siguientes probabilidades utiliando la fr)ulabin)ica %bino)ial'.a' _ 2b' _ 3PROBLEMA 2.- En un caso bino)ial n5 y p0.40. Jeter)ine las siguientes probabilidades utiliando la fr)ularespectiva.a' _ 1b' _ 2

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ACUMULATIVAS

PROBLEMA ?.- Para un caso donde n 12 y p 0.#0( deter)ine la probabilidad:); _ 5; _ ≤ 5; _ ≥ #

PROBLEMA 4.- Ray /0& de probabilidades de $ue un tipo particular de co)ponente funcione adecuada)ente en

condiciones de alta te)peratura. Si el dispositivo en cuestin incluye cuatro de esos co)ponentes( deter)ine laprobabilidad de cada uno de los siguientes eventos con el uso de la for)ula de probabilidades bino)inales.); !odos los co)ponentes funcionan adecuada)ente y por lo tanto el dispositivo es operante.; El dispositivo es inoperante por$ue falla e?acta)ente uno de los cuatro co)ponentes.

-2



; El dispositivo es inoperante por$ue fallan uno o )9s de los co)ponentes.

PROBLEMA .- Suponga)os $ue 40& de los e)pleados de una gran e)presa est9n a favor de la representacinsindical y $ue se contacta a una )uestra aleatoria de 10 e)pleados en solicitud de una respuesta anni)a. u9l es laprobabilidad de $ue a' la )ayora de los interrogados y b' )enos de la )itad de los interrogados est+n a favor de larepresentacin sindicalG

PROBLEMA .- En general( el 45& de los postulantes fallan en una prueba de seleccin de personal. u9l es laprobabilidad de $ue en una )uestra de 15:

a' 6allen por lo )enos -b' 6allen )9s de 4c' 6allen e?acta)ente 4

PROBLEMA .- >pro?i)ada)ente 2B5 de las fa)ilias de una cierta co)unidad( viven en e?tre)a pobrea. u9l es laprobabilidad de $ue en una )uestra aleatoria de 5 personas); 3 de ellos vivan en e?tre)a pobreaG; ninguno viva en e?tre)a pobreaG; 3 )9s vivan en e?tre)a pobreaG

PROBLEMA .- En el caserio ayanca( el #5& de la poblacin adulta no 8a ter)inado Educacin Secundaria. onfines de capacitacin se selecciona una )uestra aleatoria de 20 adultos de este asero. u9l es la probabilidad de$ue:); E?acta)ente 12 personas no 8ayan ter)inado Educacin SecundariaG; =enos de 5 personas no 8ayan ter)inado Educacin SecundariaG

; Entre 3 y 5 personas no 8ayan ter)inado Educacin SecundariaG(; Pro)edio y desviacin standard de las personas $ue no 8an ter)inado Educacin SecundariaG

PROBLEMA .- En general( el 4-& de los alu)nos de una cierta niversidad( logran cul)inar su carrera profesional.u9l es la probabilidad de $ue en un grupo de 1-:a' =enos de la )itad logren cul)inar su carreraGb' E?acta)ente 15 alu)nos logren cul)inar su carreraGc' Entre 10 y 14 logren ter)inar su carreraGd' =9s de 15 logren ter)inar su carreraGe' Rallar el pro)edio y desviacin standard para esta distribucin de probabilidadGPROBLEMA 10.- Suponga)os el lana)iento de 12 )onedas o una )oneda lanada 12 veces. u9l es laprobabilidad de obtener:a' e?acta)ente 4 carasGb' e?acta)ente 10 carasGc' por lo )enos 2 carasGd' co)o )9?i)o / carasGe' )as de 10 caras y )enos de 3 carasG. PROBLEMA 11.- na institucin universitaria establece nuevos )+todos de aprendia"e y de evaluacin( con elresultado donde el -5& de sus alu)nos aprueban todas las asignaturas. Suponga)os $ue se seleccionan -estudiantes de dic8o plantel. cu9l es probabilidad:a' e?acta)ente 3 aprueben todas las asignaturasGb' e?acta)ente 3 pierdan alguna asignaturaGc' por lo )enos 2 pierdan alguna asignaturaG

PROBLEMA 12.- Se encuentra 5 a)igos cierto da u9l es la probabilidada' por lo )enos 2 de ellos 8ayan nacido un )artesGb' Si el grupo lo confor)an 40 a)igos( cuantos esperara)os 8ubiesen nacido el da lunesG

PROBLEMA 1?.- >l inspeccionar 2340 soldaduras producidas por cierto tipo de )a$uina se encontraron 44- unionesdefectuosas. >l efectuar 5 soldaduras( u9l es la probabilidad de:a' obtener 3 o )9s defectuosasGb' co)o )9?i)o 2 buenasG

.?. DISTRIBUCIFN IPERGEOMETRICA

<ecuerde d. $ue uno de los criterios para utiliar la ("+$&""# "#*'") es $ue pasa la P de +?ito per)anece igualde un ensayo a otro.uando el )uestreo se realia +"# &%%')K* de cada ele)ento )uestreado to)ado de una *)"# &%)$"3)'%#$%%8%W)9 #* +% )") % &*%+* BERNOULLI( por$ue cuando se eli)inan ele)entos de la poblacin %sin reposicin'e?iste un ca)bio siste)9tico en la P de +?ito. Entonces( debe aplicarse la ("+$&""# "%&g%*'7$&")( $ue usa:

• Si se selecciona una )uestra de una *)"# ,#"$) +"# &%*+""#( y• Si el ta)aQo de la )uestra #; es )ayor $ue 5& del ta)aQo de la poblacin N;.

CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIFN IPERGEOMETRÍCA

• E?isten slo dos resultados posibles.

-3



• E '%+$&%* %+ +"# &%%')K*. 7a probabilidad de un +?ito no es la )is)a en cada ensayo.• 7a distribucin resulta de un conteo del nU)ero de +?itos en una cantidad fi"a de ensayos.

7a fr)ula para la distribucin 8ipergeo)+trica es:

Jistribucin Ripergeo)+trica P%_' n

N

xn

S N

x

S

C

C C −−

donde:N es el ta)aQo de la poblacin.S es la cantidad de +?itos incluidos en la poblacin o productos sin proble)as % productos con proble)as'./ %+ % #'%&* (% 7/"$*+ 8% "#$%&%+)#. P%(% +%& 091929?9... /J091929?9.....# es el ta)aQo de la )uestra o el #'%&* (% %#+)5*+.C es el s)bolo para una *'"#)"#.

EHEMPLO.- Supngase $ue durante la se)ana se fabricaron 50 "uegos PlayStation %50'. Operaron 40 sin proble)as%S40'( y 10 tuvieron al )enos un defecto. Se selecciona una )uestra al aar de 5%n5'. tiliando la fr)ula8ipergeo)+trica( cu9l es la probabilidad de $ue 4%?4' de los 5 funcionan perfecta)enteG %Obs+rvese $ue el )uestreose 8ace sin reposicin y $ue el ta)aQo de la )uestra de 5 es 5B50( o 10& de la poblacin. esto es )ayor $ue lacondicin de 5&'.

50S 40LS 10 5_ 4P%?4'G

P%_4' n

N

X n

S N

X

S

C

C C −−

5

50

45

4050

4

40

C

C C −

−

P%_4'

45! 5!

!509! 1!

10!

36! 4!

40!

211876

91390

P%_4' 0.43133*1/*P%_4' 43.13&

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA 1.- Je seis e)pleados( tres 8an per)anecido en la co)paQa por cinco o )9s aQos. Si de este grupo deseis se elige aleatoria)ente a cuatro e)pleados( la probabilidad de $ue e?acta)ente dos de ellos tengan unaantigedad de cinco o )9s aQos es:

PROBLEMA 2.- 7a florera ><O,<,S S.>.. tiene 15 ca)iones de reparto $ue se utilian principal)ente para entregar flores y arreglos florales en el 9rea de 7i)a =etropolitana. Supngase $ue # de los 15 ve8culos tienen proble)as conlos frenos. Se seleccionaron cinco ca)iones al aar para probarlos. u9l es la probabilidad de $ue 2 de los ve8culose?a)inados tengan frenos defectuososG

PROBLEMA ?.- Fuince de los 20 estudiantes de un grupo escolar est9n insatisfec8os con el te?to $ue se e)plea. Siuna )uestra aleatoria de cuatro estudiantes es interrogada sobre el libro de te?to( deter)ine la probabilidad de $ue a'e?acta)ente tres y b' al )enos tres estudiantes se )uestren insatisfec8os con el libro.

PROBLEMA 4.- ierto grupo departa)ental se co)pone de cinco ingenieros y nueve t+cnico. Si se elige aleatoria)entea cinco individuos para ser asignados a un proyecto( cu9l es la probabilidad de $ue el grupo encargado del proyectoincluya a e?acta)ente dos ingenierosG

PROBLEMA .- En la produccin de cierto artculo( se sabe $ue por cada 50 producidos en 43 su ter)inado ese?celente. Si se to)a una )uestra de 12 artculos( cu9l es probabilidad:a' de $ue e?acta)ente 2 no sean clasificados co)o e?celentesGb' por lo )enos 2 no sean clasificados co)o e?celentesGc' 10 sean clasificados co)o e?celentesG

PROBLEMA .- n colegio tiene a su disposicin para el transporte de sus estudiantes 10 buses. Por infor)acinllegada a la directiva del plantel se sabe $ue 4 no se encuentran en pti)as condiciones. Si se selecciona una )uestrade 5 buses(a' cu9l es probabilidad de $ue 2 de ellos no se encuentren en pti)as condicionesGc' $u+ 2 de ellos se encuentren en perfectas condicionesG

.4. DISTRIBUCIFN DE POISSON

7as atribuciones probabilsticas bino)iales para probabilidades de +?ito %p' )enores $ue 0.05 %se acerca a cero'podran calcularse( pero esto to)ara de)asiado tie)po %en especial para una n grande de( por e"e)plo( n 50. 7a

distribucin de probabilidades se volvera cada ve )9s sesgada confor)e la probabilidad de +?ito fuera )enor. 7afor)a l)ite de la distribucin bino)ial cuando la probabilidad de +?ito es )uy pe$ueQa y n es grande se deno)ina("+$&""# &*)"+$") (% P*"++*#.

Jistribucin Poisson ); Probabilidad de +?ito %p' es )uy pe$ueQa

-4



p k 0.05 o p k 5& %se acerca a cero'$ probabilidad de fracaso %se apro?i)a a 1'

; n es grande( n 50Esta distribucin tiene )uc8as aplicaciones:

• U)ero de lla)adas por 8ora $ue llegan al con)utador de una estacin de polica.• U)ero de llegadas de carros al da en un puente de pea"e• U)ero de 8uelgas industriales i)portantes al aQo en los EE.( en el PerU( etc.

• U)ero de c8ispas por galleta en un pa$uete de galletas c8ispas de c8ocolate de =arilyn.• U)ero de )anc8as en una yarda cuadrada de tela.• U)ero de defectos por lote en un proceso de produccin.

CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIFN DE POISSON• ada resultado se clasifica en una de dos categoras )utua)ente e?cluyentes.• M%+$&%* *# &%%')K*. 7a probabilidad de un +?ito per)anece igual de un ensayo a otro.• ada ensayo es independiente• 7a distribucin resulta de un conteo del nU)ero de +?itos en una cantidad fi"a de ensayos.

7a distribucin de Poisson puede describirse )ate)9tica)ente:

Jistribucin de Poisson P%_' ! X

μeμ −

µ Es la )edia %arit)+tica' del n de ocurrencia%+?itos' a largo plao en la di)ensin te)poral o espacial.

e Es la constante 2.*1-2-_ E+ % # (% *&&%#")+ 7/"$*+; 8% #*+ "#$%&%+)#.P%_' Es la P $ue se va a calcular para un valor

dado de _

El n de )edios de +?itos %µ' puede deter)inarse en los casos de POISSON9 se calcula con:

=edia de una Jistribucin de Poisson µ np

EHEMPLO 1.- Si el 1& de las bo)billas fabricadas por una co)paQa son defectuosas( 8allar la probabilidad de $ue( enuna )uestra de 100 bo)billas( 3 sean defectuosas.

100 %0(01' 1 _ 3

P XJ?; Ja3

e 1 13 − =

1.2.3

'3#*--(0%1= 0(0#131

#(13&

EHEMPLO 2.-. Si la probabilidad de $ue una persona ad$uiera la enfer)edad co)o consecuencia de una vacuna contrala )is)a( es 0(0002. cu9l es la probabilidad de $ue la ad$uieran e?acta)ente 5 personas en una poblacin de 10.000vacunadosG

10.000 %0(0002' 2 K _ 5 K

P XJ; J5e 225 −

=120

'13534(0%32 = 0(03#0/

3.#1&

USO DE TABLAS DE DISTRIBUCIFN DE POISSON >prenda a usar estas tablas


PROBLEMA 1.- n pro)edio de cinco personas por 8ora realian transacciones en una ventanilla de serviciosespeciales de un banco co)ercial. Suponiendo $ue el arribo de esas personas tiene una distribucin independiente y esigual)ente probable a lo largo del perodo de inter+s( cu9l es la probabilidad de $ue )9s de 10 personas deseenrealiar transacciones en la ventanilla de servicios especiales durante una 8ora en particularG

PROBLEMA 2.- n pro)edio de seis personas por 8ora 8acen uso de una ca"a bancaria auto)9tica durante el 8orario

pico de co)pras en una tienda departa)ental. u9l es la probabilidad de $ue); e?acta)ente seis personas usen la ca"a durante una 8ora aleatoria)ente seleccionadaG; =enos de cinco personas usen la ca"a durante una 8ora aleatoria)ente seleccionadaG; inguna persona la use durante un intervalo de 10 )inutosG

-5



(; inguna persona la use durante un intervalo de 5 )inutosG

PROBLEMA ?.- El nU)ero pro)edio de recla)os por 8ora 8ec8os a la )udana S.>.>. por daQos o p+rdidas incurridasdurante una )udana es 3.1 u9l es la probabilidad de $ue en una 8ora dada

); se 8agan )enos de 3 recla)osG; Se 8agan e?acta)ente tres recla)osG; Se 8agan tres o )9s recla)osG(; Se 8agan )9s de tres recla)osG

PROBLEMA 4.- as9ndose en registros anteriores( el nU)ero pro)edio de accidentes de dos carros en un distrito de

polica de la ciudad de ueva AorX es de 3.4 al da. u9l es la probabilidad de $ue 8aya); >l )enos seis de tales accidentes en este distrito en cual$uier da dadoG; o )9s de dos de tales accidentes en este distrito en cual$uier da dadoG; =enos de dos de tales accidentes en este distrito en cual$uier da dadoG(; >l )enos dos pero no )9s de seis de tales accidentes en este distrito en cual$uier da dadoG

PROBLEMA .- El gerente de control de calidad de las galletas ariQo est9 inspeccionando un lote de galletas dec8ispas de c8ocolate $ue se acaban de 8ornear. Si el proceso de produccin est9 ba"o control( el nU)ero pro)edio dec8ispas por galleta es de #.0 u9l es la probabilidad de $ue en cual$uier galleta inspeccionada

); Se encuentren )enos de cinco c8ispasG; Se encuentren e?acta)ente cinco c8ispasG; Se encuentren cinco o )9s c8ispasG(; Se encuentren cuatro o cinco c8ispasG

PROBLEMA .- na co)paQa de e?ploracin de gas natural pro)edia 4 descubri)ientos %es decir( se encuentra gasnatural' por 10 poos perforados. Si se deben perforar 20 poos( u9l es la probabilidad de $ue); Se 8aga e?acta)ente un descubri)ientoG; Se 8agan al )enos dos descubri)ientosG

PROBLEMA .- as9ndose en la e?periencia anterior( 2& de las cuentas telefnicas enviadas a casas suburbanas sonincorrectas. Si se selecciona una )uestra de 20 cuentas( encuentre la probabilidad de $ue al )enos una cuenta seaincorrecta. Raga esto usando dos distribuciones de probabilidad %la bino)inal y la Poisson' y co)pare breve)ente ye?pli$ue breve)ente sus resultados.

PROBLEMA .- Se esti)a $ue una de cada 10.000 personas es al+rgica a cierta sustancia utiliada en la fabricacin detintes para el cabello. u9l es la probabilidad de $ue en 20.000 usuarias de tintes( )9s de 5 sufran reaccionesal+rgicas debido a su usoG

PROBLEMA .- El nU)ero de clientes $ue llegan a una corporacin de a8orro y vivienda los das s9bados es( enpro)edio( 40 por 8ora cu9l es probabilidad de $ue lleguen por lo )enos 2 clientes:a' en un periodo de 14 )inutosGb' en 5 )inutosG

.. BIBLIOGRAÍA• =ason B 7ind B =arc8al %200-'. ES!>J,S!,> P><> >J=,,S!<>,I A EOO=T>. =+?ico J.6.: Editorial

>lfao)ega.


San =arcos.


=arcos.


-#



CAPITULO VII: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS.En este captulo @,, estudiare)os una J,S!<,,I para @><,>7ES >7E>!O<,>S O!,>S:

7a e?plicacin de esta distribucin( para )e"or co)prensin lo 8are)os de la siguiente )anera:

.1. ,ntroduccin.2. ,)portancia de la distribucin nor)al

.?. 7a distribucin nor)al curva nor)al.4. Jistribucin nor)al est9ndar curva nor)al est9ndar... reas ba"o la curva nor)al en unidades de desviacin est9ndar o escala _.. asos de la distribucin nor)al est9ndar.

.1. INTRODUCCIFN

El capitulo @, estuvo dedicado a tres fa)ilias de distribuciones probabilsticas discretas: la distribucin bino)inal( ladistribucin 8ipogeo)etrica y la distribucin de Poisson. <ecu+rdese $ue las )is)as se basan en variablesaleatorias discretas( $ue pueden to)ar solo valores especficos. Por e"e)plo( el nu)ero de respuestas correctas aun e?a)en $ue contiene 10 preguntas solo puede ser 0(1(2(3( .........( 10.ontinuare)os con el estudio de las distribuciones probabilsticas en este capitulo( e?a)inando una distribucinprobabilstica continua )uy i)portante: la distribucin probabilstica nor)al. SegUn se observo en el capituloanterior( una 3)&")% )%)$*&") continua es la $ue puede $*')& # #'%&* "#,"#"$* (% 3)*&%+ *+"%+ (%#$&*(% # g)') o variedad especifica

Ceneral)ente( es el resultado de '%("& )g*( co)o el peso de una persona. El peso podra ser 112.0 Dg( 112.1Dg( 112.12 Dg( etc.

7as distribuciones probabilsticas (% %/%$)$"3)+ (% 3"() (% )g#*+ &*($*+ ( co)o baterias( neu)9ticos ybo)billas o l9)paras( tienden a seguir un patrn Mnor)al. 7o )is)o sucede con los pesos de las ca"as de cereal(la longitud de rollos de alu)inio y otras variables $ue se )iden en una escala continua.

.2. IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIFN NORMAL

7a distribucin nor)al de P es i)portante para la inferencia estadstica por 3 raones.• Se sabe $ue las )edidas obtenidas en )uc8os procesos aleatorios siguen esta distribucin.• 7as probabilidades nor)ales suelen servir para apro?i)ar otras distribuciones de probabilidad( co)o las

distribuciones bino)ial y de Poisson.• 7as distribuciones de estadstica co)o la )edia )uestras y la proporcin )uestral tienen distribucin nor)al

cuando el ta)aQo de )uestras es grande( independiente)ente de la distribucin de la poblacin de origen..?. LA DISTRIBUCIFN PROBABILISTICA NORMAL CURVA NORMAL

• C)&)$%&+$")+ (% ) D"+$&""# #*&').

GRAICA N 1: aracterstica de la curva nor)al

-*

DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDADES CONTINUAS

DISTRIBUCIÓN NORMAL

En teor=a7 la cur%a seeOtiende hasta >∞hasta (a media7

la mediana y lamoda son i?uales

En teor=a7 la cur%a se eOtiendehasta 8 ∞

ola ola

7a curva nor)al es si)+tricaJos )itades id+nticas



7a distribucin probabilista nor)al y su respectiva curva nor)al tienen las siguientes peculiaridades:

7a curva nor)al es ))')#)() y presenta un solo pico en el centro de la distribucin. 7a )edia %arit)+tica'(la )ediana y la )oda de la distribucin son iguales y est9n localiadas a la altura del pico.

7a distribucin probabilstica nor)al es +"'7$&") con respecto a su )edia. Si se corta una curva nor)alvertical)ente en este valor central( las dos )itades se refle"aran co)o i)9genes en un espe"o.

7a curva nor)al decrece unifor)e)ente en a)bas direcciones a partir del valor central. Es )+"#$$")( lo cualsignifica $ue la curva se acerca cada ve )as al e"e _( pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es( lospuntos e?tre)os de la curva se e?tiende indefinitiva)ente en uno y otro sentidos.

Estas caractersticas se )uestran en la Cr9fica 1.• LA AMILIA DE LAS DISTRIBUCIONES CURVAS; NORMALES.

o e?iste solo una distribucin probabilstica nor)al( sino $ue 8ay una Mfa)ilia de ellas. E?iste una distribucin de

probabilstica nor)al para los tie)pos de servicios de los e)pleados de la planta 1( para la $ue la )edia es 20%aQos' y la desviacin est9ndar vale 3.1 %aQos'. E?iste otra distribucin probabilstica nor)al para los citados tie)pos

en la planta 2( para la cual µ 20 y σ 3./. En la gr9fica 2 ilustran tres distribuciones nor)ales( para las $ue las

)edias son iguales( pero las desviaciones est9ndares son diferentes.

GRAICA N 2: Jistribuciones nor)ales con )edias iguales( pero diferentes desviaciones est9ndares.

En el diagra)a 3 se )uestra la distribucin de los pesos de e)pa$ues de tres cereales. 7os pesos est9ndistribuidos en for)a nor)al( con )edidas diferentes( pero desviaciones est9ndares id+nticas.

DIAGRAMA ?: DISTRIBUCIONES PROBABILISTCAS NORMALES CON MEDIAS DIERENTES9 PERODESVIACIONES EST6NDARES IGUALES.

--

σ 6 3.1. aos7 planta 1

σ 6 3.L. aos7 planta 2

σ 6 5.0. aos7 planta 3

µ

20 aosFiempo de ser%icio

µ2K3 ?ramos

ereal tipo 1

σ 1.# gra)os

µ310 ?ramos

ereal tipo 2

σ 1.# gra)os

µ321 ?ramos

ereal tipo 3

σ 1.# gra)os



Por Ulti)o( en el diagra)a 4 se )uestran tres distribuciones nor)ales $ue tienen distintas )edias y desviacionesest9ndares diferentes. =uestran la distribucin de resistencias a la tensin )edidas en libras por pulgada cuadrada%lbBpulg2' [psi] para tres tipos de cables.

DIAGRAMA 4: DISTRIBUCIONES PROBABILISTCAS NORMALES CON DIERENTES MEDIAS !

DESVIACIONES EST6NDARES DIERENTES

.4. DISTRIBUCIFN NORMAL EST6NDAR CURVA NORMAL EST6NDAR

Se observ $ue e?iste una fa)ilia de distribuciones nor)ales. ada distribucin tiene )edia %µ' y su desviacinest9ndar %σ'( con valores diferentes. Por lo tanto( el nU)ero de distribuciones nor)ales es ili)itado. <esultai)posible proporcionar una tabla de probabilidades %co)o para la bino)ial y la de Pisson' para cada co)binacinde µ y σ . Por fortuna( puede utiliarse la ("+$&""# #*&') %+$á#()&; para todos los proble)as donde taldistribuciones resulte aplicable. 7a distribucin nor)al est9ndar tiene:

!iene una )edia %µ' igual a 0 y una desviacin est9ndar %σ' igual a 1

C)8"%& ("+$&""# #*&') puede convertirse en una ("+$&""# #*&') %+$á#()& restando la )edia acada observacin y dividiendo luego entre la desviacin est9ndar.Pri)ero se convierte( o se estandaria( la distribucin nor)al est9ndar utiliando el 3)*& K( %ta)bi+n deno)inado(a veces( desvo nor)al estandariado( o si)ple)ente desvo nor)al'.

V)*& K. Jiferencia %desviacin' entre un valor seleccionado( denotado por _ y la )edia µ ( dividida tal diferenciaentre la desviacin est9ndar( σ.

Por lo tanto( el valor es la distancia a partir de la )edia( )edida en unidades de la desviacin est9ndar.

@>7O< O<=>7 ES!>J>< σ

µ −X

Jonde:_ es el valor( cual$uier )edida u observacin especificaµ es la )edia de la distribucinσ es la desviacin est9ndar de la distribucin

E%'*:Supngase( $ue se obtuvo por calculo una igual a 1./1. u9l es el 9rea ba"o la curva nor)al entre la )edia y ?GSe +) ) $)) *&&%+*#("%#$%.R%+$) 0.41. Esto significa $ue 4.1

-/

µ

2000 psi

σ 41 psi

µ

204K psi

σ 52 psi

µ

21K: psi

σ 2# psi

0 1.L1 &

P

µ 0

σ 1



APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIFN NORMAL EST6NDAR: U+* (% ) $))EHEMPLO.- u9l es el 9rea ba"o la curva entre la )edia y _ para los siguientes valores G o)pruebe susrespuestas con las e?presadas. o todos los valores se encuentran en la tabla. Jeber9 utiliar la tabla.

V)*& K A)#K)(* 6&%) )* ) &3)2.-41.000.4/

0.4/**0.34130.1-*/

>8ora se calcula el valor cuando se conocen la )edia poblacional. µ( la desviacin est9ndar de la poblacin( σ yuna ? seleccionada.EJEMPLO7a )edia de grupo de ingresos se)anales con distribucin nor)al para un gran con"unto de gerentes de nivel)edio( es ; 1000( y la desviacin est9ndar es de ; 100. u9l es el valor para un ingreso _ de ; 1100 A parauno de ; /00G

a' Para _ ; 1100: b' Para _ ; /00

-x

σ

µ=2

-x

σ

µ=2

$

$1,000-$1,100

100=

$

$1,000-$900

100=

1.00 L 1.00

El valor de 1.00 indica $ue un ingreso se)anal de ; 1(100 para un gerente de nivel )edio esta una desviacinest9ndar por enci)a de la )ediaK una de [1.00 indica $ue un ingreso de ; /00 esta una desviacin est9ndar por deba"o de la )edia. Obs+rvese $ue a)bos ingresos %; 1(100 y ; /00' est9n a la )is)a distancia %; 100' respecto

de la )edia.

.. 6REAS BAHO LA CURVA NORMAL %# #"()(%+ (% (%+3")"# %+$á#()& * %+)) X >ntes de e?a)inar diversas aplicaciones de la distribucin de probabilidad nor)al est9ndar( se consideran tres9rea ba"o la curva nor)a $ue 8an de ser utiliadas a)plia)ente en los siguientes captulos.

GR6ICA: reas a"o la urva or)al

Se tiene:

a' >pro?i)ada)ente #-& del 9rea ba"o la curva nor)al esta dentro de )as una y )enos una desviacin

est9ndar respecto a la )edia. Esto se e?presa co)o µ ± 1σ.

b' >pro?i)ada)ente /5& del 9rea ba"o la curva nor)al esta de )as dos y )enos dos desviaciones

est9ndares respecto a la )edia( lo $ue se e?presa por µ ± 2σ.

/0

µ>3σ µ>2σ µ>1σ µ µ81σ µ82σ µ83σ Escala de P

:K.2:

L5.44

LL.H4

L00 P

>3 >2 >1 0 1 2 3 &1.L1 &

>3 >2 >1 0 1 2 3 &1.L1 & 1100 P



c' Pr9ctica)ente todo el 9rea %//.*&' ba"o la curva nor)al esta dentro de tres desviaciones est9ndares

respecto de la )edia %a uno y otro lados del centro'( lo cual se indica por µ ± 3σ.

E $&)#+,*&')& )+ '%(""*#%+ ) 3)*&%+ K * (%+3*+ #*&')%+ %+$á#()&%+; )'") ) %+)). 7as

conversiones se )uestran en el siguiente diagra)a. Por e"e)plo µ H 1σ( se convierte a un valor H 1.00. Je

)anera se)e"ante( µL2σ se transfor)a en un valor [2.00. Obs+rvese $ue el centro de la distribucin de es

cero( lo cual indica $ue no e?iste desviacin respecto a la )edia µ .

EHEMPLO.L na prueba de vida Util un gran nu)ero de pilas alcalinas tipo J( revelo $ue la duracin )edia para unuso especifico antes de la falla( es de 1/.0 8oras %8'. 7a distribucin de las duraciones se apro?i)a a unadistribucin nor)al. 7a desviacin est9ndar de la distribucin fue 1.2 8.); Entre $ue par de valores fallo apro?i)ada)ente #-& de las pilasG; Entre cuales dos valores ocurri la falla de alrededor de /5& de las pilasG; Entre $ue par de valores fallaron pr9ctica)ente todas las pilasGS*"#a' apro?i)ada)ente #-& fallo entre 1*.- y 20.2 8. @alores obtenidos de 1/.0 ± 1%1.2'b' >lrededor de /5& lo 8io entre 1#.# 8 y 21.4 8( calculado por 1/.0 ± 2 %1.2'

c' Pr9ctica)ente todas las pilas fallaron entre 15.4 8 y 22.# 8( lo $ue resulta de 1/.0 ± 3%1.2'=ostrando esto en un diagra)a $ueda co)

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMA 1.L 7a distribucin de los ingresos anuales de un grupo de e)pleados a nivel gerencial )edia enPl9sticos S.>.>.( sigui en for)a apro?i)ada una distribucin nor)al con una )edia de ; 3*(200 y una desviacinest9ndar de ; -00.a' Entre $ue par de cantidades esta( apro?i)ada)ente( el #-& de los ingresosGb' >pro?i)ada)ente( entre $ue dos valores se encuentran el /5& de los ingresosGc' Pr9ctica)ente( Entre $ue par de valores se 8allan todos los ingresosGd' u9les son la )ediana y la )oda de los ingresosGe' Es si)+trica la distribucin de estos Ulti)osG

PROBLEMA 2.L E?pli$ue lo $ue significa el siguiente enunciado: Mo e?iste solo una distribucin probabilsticanor)al( sino una Mfa)ilia de tales distribuciones

PROBLEMA ?.L 7a )edia de una distribucin probabilstica nor)al es 500K la desviacin est9ndar( 10.

/1

µ>3σ µ>2σ µ>1σ µ µ81σ µ82σ µ83σ P

,e con%ierte en

>3 >2 >1 0 1 2 3 &

µ>3σ µ>2σ µ>1σ µ µ81σ µ82σ µ83σ P

,e con%ierte en

15.4 1:.: 1H.K 1L.0 20.2 21.4 22.: P



a' Entre $ue par de valores esta( apro?i)ada)ente( el #-& de las observacionesGb' Entre cuales dos valores se encuentran( apro?i)ada)ente( el /5& de las observacionesGc' Pr9ctica)ente( entre $ue par de valores se 8allan todas las observacionesG

.. CASOS DE LA DISTRIBUCIFN NORMAL EST6NDAR PARA USO DE LA TABLA

> continuacin se presentan - >SOS bien aplicativos para el )ane"o de la !>7> de probabilidades nor)ales:

I CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores co)prendidos entre 0 y1.2*.

P %0 ≤ ≤ 1.2*' G

P %0 ≤ ≤ 1.2*' 0.3/-0 3/.-0&

II CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores co)prendidos entreL2.-0 y 0.

P %L2.-0 ≤ ≤ 0' GPor si)etra:P %L2.-0 ≤ ≤ 0' P %0 ≤ ≤ 2.-0' G 0.4/*4

4/.*4&

III CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores co)prendidos entre1.02 y 2./*.

P %1.02 ≤ ≤ 2./*' G

P %1.02 ≤ ≤ 2./*' 0.4/-5 [ 0.34#1 0.1524

15.24 &

IV CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores co)prendidos entre

L2.40 y L0.-5.

P %L2.40 ≤ ≤ L0.-5' GPor si)etra:

/2

0 1.2H &

> 2.K0 0 &

0 1.02 2.LH &

> 2.40 > 0.K5 0 &



P %L2.40 ≤ ≤ L0.-5' P%0.-5 ≤ ≤ 2.40' 0.4/1- [ 0.3023 0.1//5

1/./5 &

V CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores co)prendidos entreL1.03 y 2./4.

P %L1.03 ≤ ≤ 2./4' G

P %L1.03 ≤ ≤ 2./4' P %L1.03 ≤ ≤ 0' H P %0 ≤ ≤ 2./4' 0.34-5 H 0.4/-4 0.-4#/ -4.#/ &

VI CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores )ayores $ue 2.03

P % 2.03' G

P % 2.03' 0.5 [ 0.4*-- 0.0212 2.12 &

VII CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores )enores $ue L1./#

P % k L1./#' GPor si)etra:P % k L1./#' P % 1./#' G

0.5 [ 0.4*50 0.025 2.5 &

VIII CASO.L alcular la probabilidad del evento: $ue la variable estandariada to)e valores )enores $ue L1./# o)ayores $ue 1./#

/3

> 1.03 0 2.L4 &

0 2.03 &

>1.L: 0 &

>1.L: 0 1.L: &



P % k L1./#' G P % 1./#' GP % k L1./#' H P % 1./#' G

%0.5 [ 0.4*50' H %0.5 [ 0.4*50' 0.025 H 0.025 0.05

5 &

.. PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 1.Se estudiaron los valores de la ran precioLutilidades %P' y los ca)bios de precio durante un periodo de tres

aQos en el caso de acciones seleccionadas. Para las raones P( µ 10.0 y σ 2.0. para los ca)bios de precio µ

50& y σ 10&. >)bas distribuciones son nor)ales. 7a e)presa ,ca ,ndustrial tiene una P de 11.2 y un

au)ento porcentual en precio de *5( en el periodo de tres aQos.); onvierta la P y el ca)bio porcentual a valores .

; =uestre los dos valores en una curva nor)al estandariada.; o)parar la ran P y el ciado ca)bio porcentual de la e)presa( con los de otras acciones seleccionadas.

PROBLEMA 2. n poblacin nor)al tiene una )edia de 50.0 y una desviacin est9ndar de 4.0); alcule la probabilidad de un valor entre 44.00 y 55.00; EvalUe la probabilidad de uno )ayor $ue 55.0; Obtenga la probabilidad de uno entre 52.0 y 55.0(; Jeter)ine el valor de ? aba"o del cual ocurrir9 el /5& de los valores.

PROBLEMA ?. na )a$uina e?pendedora de refresco se a"usta para servir *.00 o %onas' de li$uido por vaso. 7a desviacin

est9ndar es de 0.10 o cu9l es la probabilidad de $ue la )a$uina sirva:a' Entre *.10 y *.25 onas de refrescob' *.25 o o )asGc' Entre #.- y *.25 onasGd' u9nto refresco se sirve en el )9?i)o 1& de las bebidasG

PROBLEMA 4. 7as cantidades de dinero en solicitudes de pr+sta)os para cosas $ue recibe la e)presa anco 7i)ata)bo( est9napro?i)ada)ente distribuidas en for)as con una )edia de ; *0000 y una desviacin est9ndar de ; 20000. nasolicitud de pr+sta)o se recibi esta )aQana. u9l es la probabilidad de $ue:a' 7a cantidad solicitada sea de ; -0000 o )asGb' El )onto solicitado este entre ; #5000 y ; -0000G

c' El i)porte solicitado sea ; #5000 a )asd' 20& de los presta)os sean )ayores $ue cual cantidad

PROBLEMA . Se 8a deter)inado $ue la vida Util de cierta )arca de llantas de alto rendi)iento sigue una distribucin nor)al con

µ 3- 000 )illas y σ 3 000 )illas.

a' u9l es la probabilidad de $ue una llanta aleatoria)ente seleccionada tenga una vida util de al )enos 35 000)illasG

b' u9l es la probabilidad de $ue dure )9s de 45 000 )illasG

PROBLEMA . Se 8a deter)inado $ue la cantidad de tie)po re$uerida por individuo en la ventanilla de un banco es de

distribucin apro?i)ada)ente nor)al con µ 130 segundos y σ 45 segundos. u9l es la probabilidad de $ueun individuo aleatoria)ente seleccionadoa' <e$uiera de )enos de 100 seg para concluir una transaccinG

/4



b' Pase entre 2.0 y 3.0 )inutos en la ventanillaG

PROBLEMA . Supngase $ue en un estudio de los internos en una institucin correccional se refiere al a"uste social de losreclusos y sus perspectivas de re8abilitacin al salir en libertad. > cada uno se le aplica una prueba referente ala"uste social. 7as puntuaciones siguen una distribucin nor)al( con )edia de 100 y desviacin est9ndar de 20. 7ospsiclogos del reclusorio calificaron a cada interno con respecto a la posibilidad de re8abilitacin. !ales

puntuaciones ta)bi+n est9n distribudas en for)a nor)al( con )edia de 500 y desviacin est9ndar de 100.Nuanita una interna( obtuvo 14# en la prueba de a"uste social y su puntuacin con respecto a re8abilitacin es 335.Je $ue )odo se co)para su calificacin con la del grupo( en lo $ue se refiere a la responsabilidad social y lasperspectivas de re8abilitacin.

PROBLEMA .

Suponga $ue el ingreso fa)iliar )ensual en una co)unidad tiene distribucin nor)al con )edia ;#00 y desviacinest9ndar ;100.a' alcular la probabilidad de $ue el ingreso de una fa)ilia escogida al aar sea )enor $ue ;400.b' Si el 5& de las fa)ilias con )ayores ingresos deben pagar un i)puesto( a partir de $ue ingreso fa)iliar se

debe pagar el i)puestoG.

PROBLEMA .Suponga $ue la duracin - de los focos $ue produce una co)paQa se distribuye nor)al)ente. Si el 1-.41& deestos focos duran )enos de -.2 )eses y el #.#-& duran al )enos 13 )eses.a' alcular la )edia y la variana de la duracin de los focos.b' Rallar el cuartil F1 de la distribucin.c' Si el costo de cada foco es de /. 10 y se vende en SB.25( pero garantiando la devolucin total del dinero si

dura )enos de - )eses( cu9l es la utilidad esperada por focoG.d' Si )ediante un nuevo proceso se au)enta la duracin en 10& )9s 15 das( $u+ porcenta"e de focos duran

a8ora )enos de * )esesG.

PROBLEMA 10.n producto cuyo peso se distribuye nor)al)ente con un pro)edio de 250 gra)os y una desviacin est9ndar de

10 gra)os es e)balado en ca"as de 4 docenas cada una. Se supone $ue el peso de las ca"as vacas sedistribuyen nor)al)ente con un pro)edio de 350 gra)os y una desviacin est9ndar de 15 gra)os. Si los pesosdel producto y de la ca"a son independientes(a' alcular la probabilidad de $ue una ca"a llena pese )enos de 12.5 Xg.b' u9ntas ca"as llenas ser9n necesarias para $ue el peso total sea al )enos 110(*24.5# gra)os con

probabilidad de 0./**2.

/5



.. APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIFN NORMAL ESTANDAR

I CASO.L 7a pri)era aplicacin de la distribucin nor)al est9ndar se relaciona con la deter)inacin del 9rea ba"ola curva nor)al( entre la )edia y un valor seleccionado( $ue se denota por _.

E%'* 1.L tiliando el e"e)plo principal anterior del ingreso se)anal [µ ; 1(000( σ ; 100]. u9l es laprobabilidad del 9rea ba"o la curva nor)al entre ; 1(000 y ; 1(100G

P %;1000 k _ k 1100' G

); 0100

000(1000(1? =

−=

σµ−

=

; 001100

00011001? .

$

,$,$ =−=σµ−=

P %;1000 k _ k 1100' G

P %0 k k 1.0' G 0.3413P %0 k k 1.0' 34.13&

APLICACIFN ADICIONAL:EHEMPLO 2. <efi+rase al e"e)plo 1 anterior [µ ; 1(000( σ ; 100]); u9l es la probabilidad de $ue un ingreso se)anal especifico al aar este entre ; */0 y ; 1(000G

P %;*/0 k _ k ;1000' G

"; 10.2100

000(1*/0? −=−=

σµ−=

""; 0100;

000(1;000(1;? =−=σµ−=

P %;*/0 k _ k ;1000' G

P %L2.10 k k 0' G 0.4-21P %L2.10 k k 0' 4-.21&

; u9l es la probabilidad de $ue el ingreso sea )enor de ; */0G

P %_ k ;*/0' G

10.2100

000(1*/0? −=−=

σµ−=

/#

0 1.0 &

0.3413

/1000 /1100 P

>2.10 0 &

0.4K21

/HL0 /1000 P

>2.10 0 &

0.01HL

/HL0 P



>1.:0 0 2.00 &

0.4HH2

/K40 /1200 P

0.4452

P % k L2.10' G 0.5 [ 0.4-21 0.01*/

P % k L2.10' 1.*/&

PROBLEMAS PROPUESTOS.PROBLEMA 1.L > los e)pleados de la e)presa Soyu S.>.>. se le otorga puntuaciones por eficiencia. 7adistribucin de estas sigue( apro?i)ada)ente( una distribucin nor)al. 7a )edia es 400( y la desviacin est9ndar(50.a' u9nto vale el 9rea ba"o la curva nor)al entre 400 y 4-2Gb' u9nto vale el 9rea ba"o la citada curva para puntuaciones )ayores $ue 4-2Gc' =uestre los aspectos de este proble)a en un diagra)aGPROBLEMA 2.L na poblacin nor)al tiene una )edia de 20.0 y una desviacin est9ndar de 4.0.a' alcule el valor asociado a 25.0b' Fu+ porcenta"e de la poblacin est9 entre 20.0 y 25.0Gc' Fu+ porcenta"e de la poblacin es )enor $ue 1-.0Gd'PROBLEMA ?.L n estudio reciente de los sueldos por 8ora de tripulaciones de )anteni)iento para aerolneasi)portantes )ostr $ue el salario )edio por 8ora era de ; 1#.50( con una desviacin est9ndar de ; 3.50. Si seselecciona al aar un ele)ento de la tripulacin.cu9l es la probabilidad de $ue ganeGa' entre ; 1#.50 y ; 20.00 por 8oraGb' =as de ; 20.00 por 8oraGc' =enos de ; 15.00 por 8oraG

II CASO: na segunda aplicacin de la distribucin nor)al est9ndar se relaciona con ca)biar dos 9reas( una a laderec8a y la otra a la i$uierda de la )edia.

EHEMPLO:@olviendo a la distribucin de ingresos se)anales [µ ; 1(000( σ ; 100]u9nto vale la probabilidad del 9rea ba"o la curva nor)al entre ; -40 y ; 1(200G

P %;-40 k _ k 1200' G

); #0.1100

000(1;-40;? −=−=

σµ−=

; 00.2100;

000(1;200(1;? =

−=

σ

µ−=

P %; -40 k _ k 1200' G

P %L1.#0 k k 2.00' G 0.4452 H 0.4**2P %L1.#0 k k 2.00' 0./224P %L1.#0 k k 2.00' /2.24&

APLICACIFN ADICIONAL.L Je la distribucin nor)al est9ndar consiste en deter)inar el 9rea por enci)a o por deba"o( de un valor especifico.E%'*.L onsiderando de nuevo el e"e)plo de los ingresos se)anales %µ ; 1000( σ ; 100' $u+ porcenta"ede los e"ecutivos tienen ingresos por se)ana de ; 1(245 o )9sG

P %_ ;1(245' G

45.2100

000(1245(1? =−=σµ−=

/* 0 2.45 &

0.00H1

/ 17245 P



0 1.50 2.50 &

0.0:0:

/ 17150 / 17250 P

P %_ ;1(245' GP % 2.45' 0.50 [ 0.4/2/

0.00*1P % 2.45' 0.*1&

III CASO.L Otra aplicacin de la distribucin nor)al est9ndar i)plica deter)inar el 9rea entre valores sobre el)is)o lado de la )edia.

EHEMPLO: @olviendo al e"e)plo de los ingresos se)anales %µ 1000( σ 100'( cu9nto vale el 9rea ba"o la curvanor)al entre ; 1(150 y ; 1(250G

P %;1(150 k _ k ;1(250' G

a' 50.1100

000(1;150(1;? =−=

σµ−=

b' 50.2100;

000(1;250(1;? =−=

σµ−=

P %; 1(150 k _ k ;1(250' G

P %1.50 k k 2.50' G 0.4/3- L 0.4332

0.0#0#

P %1.50 k k 2.50' #.0# &

PROBLEMAS PROPUESTOS.PROBLEMA 1.- on relacin al e"e)plo anterior( donde la )edia del ingreso se)anal es de ; 1000 y σ vale ; 100:); Fu+ porcenta"e de los e"ecutivos tienen un ingreso se)anal entre ; *50 y ; 1225G

Elabore una curva nor)al y so)bree el 9rea deseada en el diagra)a.; Fu+ porcenta"e de dic8os directivos tienen un ingreso por se)ana entre ; 1100 y ; 1225.

Elabore una curva nor)al y so)bree el 9rea en cuestin en el diagra)aG

PROBLEMAS 2.L n proceso de e)pa$ue de una co)paQa productora de cereales para el desayuno 8a sidoa"ustado para $ue cada pa$uete contenga un pro)edio de µ 13.0 onas de cereal. Por supuesto $ue no todos lospa$uetes contienen e?acta)ente 13.0 o( a causa de fuentes aleatorias de variabilidad. 7a desviacin est9ndar delpeso neto real es σ 0.1 o( y se sabe $ue la distribucin de pesos sigue la distribucin nor)al de probabilidad.

u9l es la P de $ue el peso del cereal se 8alle entre 13.1 y 13.2 onasG

IV. CASO: na cuarta aplicacin de la distribucin nor)al consiste en co)parar dos o )as o observaciones $ueest+n en distinta escalas o en diferentes unidades. Esto es( las observaciones corresponden a distintasdistribuciones.

EHEMPLO.- Supngase $ue en un estudio de los internos en una institucin correccional se refiere al a"uste socialde los reclusos y sus perspectivas de re8abilitacin al salir en libertad. > cada uno se le aplica una prueba referenteal a"uste social. 7as puntuaciones siguen una distribucin nor)al( con )edia de 100 y desviacin est9ndar de 20.7os psiclogos del reclusorio calificaron a cada interno con respecto a la posibilidad de re8abilitacin. !alespuntuaciones ta)bi+n est9n distribudas en for)a nor)al( con )edia de 500 y desviacin est9ndar de 100.Nuanita una interna( obtuvo 14# en la prueba de a"uste social y su puntuacin con respecto a re8abilitacin es 335.Je $ue )odo se co)para su calificacin con la del grupo( en lo $ue se refiere a la responsabilidad social y lasperspectivas de re8abilitacin.

); >"uste social: _ 14#

/- >1.:5 0 2.30 &

0.4505 0.4KL3

335 14: P

Rehabilitación Ajuste ,ocial

0.010H0.04L5



20

100-146

-x =

σµ=

K 2.30

; <e8abilitacin social: _ 335

100

500-335

-x =

σµ=

K L1.#5

on respecto a responsabilidad social. Nuanita esta en el 1& )as elevado del grupo. Sin e)bargo( en co)paracincon los internos( $ueda en el 5& )9s ba"o en lo $ue se refiere a las posibilidades de re8abilitacin.

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