TRABAJO FIN DE MÁSTER Derivadas en la vida cotidiana.
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Luisa Quesada Barrioseta
Clara Jiménez Gestal
Facultad de Letras y de la Educación
Máster universitario en Profesorado de ESO, Bachillerato, FP y Enseñanza de Idiomas
Matemáticas
2013/2014
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE ESTUDIOS
Curso Académico
Derivadas en la vida cotidiana
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
Derivadas en la vida cotidiana, trabajo fin de estudiosde Luisa Quesada Barrioseta, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la
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TRABAJO FIN DE MÁSTER
Derivadas en la vida cotidiana.
Máster en Profesorado
Especialidad de Matemáticas
Luisa Quesada Barrioseta
Tutora: Clara Jiménez Gestal
Curso: 2013/2014
TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3
2. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................... 5
2.1. EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE .................................................................. 5
2.2. LA ADOLESCENCIA ......................................................................................................... 8
2.3. CONCLUSIONES ........................................................................................................... 11
3. MEMORIA DE PRÁCTICAS .................................................................................................... 12
3.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 12
3.2. ANÁLISIS DEL CENTRO ...................................................................................................... 13
3.3. ESTUDIO DE LOS GRUPOS-CLASE ..................................................................................... 14
3.4. UNIDAD DIDÁCTICA 1º BACHILLERATO CIENCIAS NATURALES: DERIVADAS. APLICACIÓN DE DERIVADAS ......................................................................................................................... 17
3.4.1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 17
3.4.2. OBJETIVOS ................................................................................................................. 18
3.4.3. COMPETENCIAS ......................................................................................................... 19
3.4.4. CONTENIDOS ............................................................................................................. 21
3.4.5. METODOLOGÍA .......................................................................................................... 23
3.4.6. TEMPORALIZACIÓN ................................................................................................... 25
3.4.7. ACTIVIDADES ............................................................................................................. 33
3.4.8. EVALUACIÓN ............................................................................................................. 34
3.4.9. MATERIALES Y RECURSOS DE APOYO A LA DOCENCIA ............................................. 36
3.5. OTRAS ACTIVIDADES ........................................................................................................ 37
3.6. REFLEXIÓN Y CONCLUSIONES ........................................................................................... 38
4. PROYECTO DE INNOVACIÓN ................................................................................................... 40
4.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 40
4.2. OBJETIVOS ........................................................................................................................ 42
4.3. MARCO TEÓRICO .............................................................................................................. 43
4.4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO .......................................................................................... 47
4.5. TEMPORALIZACIÓN .......................................................................................................... 49
4.6. EVALUACIÓN .................................................................................................................... 52
4.7. MATERIALES ..................................................................................................................... 54
4.8. CONCLUSIONES ................................................................................................................ 54
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5. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................ 56
6. ANEXOS ............................................................................................................................... 58
Anexo I: Resumen Derivadas .................................................................................................. 58
Anexo II: Hojas de actividades de desarrollo y aprendizaje de derivadas .............................. 60
Anexo III: Actividades de refuerzo de derivadas .................................................................... 62
Anexo IV: Actividades de ampliación de derivadas ................................................................ 63
Anexo V: Examen de derivadas .............................................................................................. 64
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1. INTRODUCCIÓN
El Máster en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato,
Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas en la especialidad en Matemáticas está
dividido en dos bloques: el bloque teórico y el bloque práctico.
El bloque teórico está formado por tres asignaturas genéricas:
- Aprendizaje y desarrollo de la personalidad.
- Procesos y contextos educativos.
- Sociedad, familia y educación.
Y otras tres específicas:
- Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.
- Complementos para la formación disciplinar. Matemáticas.
- Innovación docente e iniciación a la investigación educativa. Matemáticas.
El bloque práctico que consta de ocho semanas de duración está formado por la
realización de prácticas en un instituto de secundaria.
De entre los motivos por los que es interesante la realización de este máster,
podemos destacar los siguientes:
- Capacitarnos para enseñar, de manera adecuada al nivel y a la formación
previa de los estudiantes, la materia de Educación Secundaria
correspondiente a la especialidad cursada, que en mi caso es Matemáticas,
tomando en consideración la diversidad en el aula.
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- Formarnos en habilidades que nos permitan actuar profesionalmente como
miembros de un equipo docente.
- Capacitarnos en aquellos conocimientos académicos, profesionales de
tutoría y orientación que permitan desarrollar de forma adecuada la labor
del docente y que faciliten conseguir una formación integral en los
estudiantes.
- Enseñarnos a adaptar nuestra actividad docente a las nociones de igualdad
entre hombres y mujeres, los principios de igualdad de oportunidades y
accesibilidad universal de las personas con discapacidad y los valores
democráticos y los que son propios de la cultura por la paz.
Este Trabajo fin de Máster consta de tres partes diferenciadas. Un primer bloque
teórico sobre los procesos de enseñanza aprendizaje, un segundo bloque en los que se
detallan los elementos fundamentales de la memoria de prácticas. En ella aparece un
breve y reflexivo análisis del PEC, estudio de cada uno de los grupo–clase, reflejo de los
procesos de enseñanza aprendizaje en el aula, una unidad didáctica completamente
desarrollada y una reflexión y conclusiones finales. Por último, un proyecto de
innovación educativa.
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2. MARCO TEÓRICO
2.1. EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
Las actividades de enseñanza que realizan los profesores deben estar
íntimamente ligadas a los procesos de aprendizaje de los estudiantes.
El principal propósito del profesorado es que los estudiantes progresen
positivamente en el desarrollo integral de su persona y, en función de sus capacidades
y de sus circunstancias individuales, logren los aprendizajes previstos en la
programación del curso.
Enseñanza y aprendizaje forman parte de un único proceso que tiene como fin
la formación del estudiante, donde los profesores han de actuar de forma eficiente y
adaptarse a las necesidades de los estudiantes para que éstos aprendan de forma
adecuada.
La educación ha evolucionado a lo largo del tiempo. Ha pasado de estar centrada
en la enseñanza y el profesor a centrarse en el aprendizaje y el alumno.
Las teorías que estudian este concepto son:
• Teoría conductista
El conductismo es una teoría psicológica iniciada por John Watson que se
centra en lo que se puede observar. El aprendizaje se produce al interactuar
los estímulos y las respuestas. Dentro de esta teoría se pueden diferenciar
dos categorías:
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- El condicionamiento clásico: el aprendizaje se obtiene por detección de
regularidades o relaciones entre estímulos y no es necesario introducir un
refuerzo.
- El condicionamiento operante: está orientado a la consecución de un
resultado e incorpora un propósito y una intención y se introducen refuerzos.
El conductismo tiene como pilar fundamental al profesor y los alumnos son seres
pasivos que deben memorizar y aprender lo que el profesor les va enseñando. En esta
teoría no se tiene en cuenta las diferencias individuales de los estudiantes, ya que el
profesor transmite los conocimientos a todos por igual y su objetivo es que los
estudiantes memoricen y no que comprendan.
Esta teoría afirma que la educación ha evolucionado a lo largo del tiempo, ha
pasado de estar centrada en la enseñanza y el profesor a centrarse en el aprendizaje y el
alumno, de atender sobre todo a los productos, a considerar la importancia de los procesos.
• Teoría cognitivista
El cognitivismo es una teoría que se centra en el estudio de la mente humana
para comprender cómo interpreta, procesa y almacena la información en la memoria. Es
decir, el objetivo principal del cognitivismo es descubrir cómo la mente humana es capaz
de pensar y aprender.
Este modelo asume que el aprendizaje se produce a partir de la experiencia. El
ser humano es considerado un organismo que realiza una actividad basada
fundamentalmente en el procesamiento de la información, lo cual lo diferencia mucho
de la visión reactiva y simplista que hasta entonces había defendido y divulgado el
conductismo.
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El alumno es un sujeto activo procesador de información, que posee
competencia cognitiva para aprender y solucionar problemas. El papel del profesor es
transmitir la información mientras que el de los alumnos es aprender conocimientos.
• Teoría constructivista
La teoría constructivista está fundamentada en que cada alumno es diferente y
por tanto asimila los conocimientos de formas diferentes. Por tanto, el alumno ya no es
un mero receptor de conocimientos, sino que tiene que construir su propio aprendizaje
relacionándolo con experiencias y conocimientos previos.
Esta teoría tiene como pilar fundamental al alumno y no al profesor como en las
teorías anteriores. El profesor pasa de ser un mero transmisor de conocimientos a guiar
a los alumnos para que ellos mismos sean quienes construyan el suyo propio. Por tanto,
el profesor debe enseñar a aprender.
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2.2. LA ADOLESCENCIA
El Máster está orientado a la formación de futuros profesores de Secundaria y
Bachillerato. Los alumnos correspondientes a dichos cursos pertenecen a la a la etapa
de la adolescencia, que es una época de la vida que transcurre entre la infancia y la
adultez y que abarca desde los 11 a los 20 años dependiendo de cada persona. Teniendo
en cuenta que vamos a tratar con alumnos de este tipo, deberemos conocer las
características más relevantes de esta etapa.
La adolescencia está caracterizada por múltiples cambios que ocurren tanto a
nivel físico y hormonal como en las esferas social y cognitiva en el inicio de la etapa y
cambios de tipo psic –social en el final.
Se producen una serie de cambios físicos y madurativos debido a cambios
hormonales y en este período se alcanza la madurez sexual. Dicha madurez es diferente
en función del sexo.
Se desarrollan también las operaciones formales que producen cambios como la
capacidad de pensar en abstracto, la capacidad para formular hipótesis, la capacidad
para concebir lo posible, el uso de la combinatoria y el uso de la lógica proposicional.
Los rasgos cognitivos característicos de los adolescentes son:
- Idealismo: el adolescente empieza a concebir lo que “podría ser” además de
lo que “es”. El pensamiento no parte de lo real y lo concreto sino de lo
posible y hasta lo ideal. El adolescente se vuelve idealista porque ya puede
concebir cómo podrían ser las cosas o cómo le gustaría que fuesen, y puede
comparar su visión ideal con la real.
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- Tendencia a discutir e indecisión: el adolescente busca de manera constante
las oportunidades de razonamiento.
- Egocentrismo: el adolescente puede adoptar otros puntos de vista distintos
al suyo pero no lo consigue, lo que le lleva a centrarse en sí mismo. Se suele
sentir incomprendido por los adultos.
- Audiencia imaginaria: el adolescente se siente el centro de atención y cree
que existe una audiencia imaginaria ante la que hay que actuar. Por tanto
están muy preocupados por lo que los demás piensan y se sienten
observados creyendo que su apariencia es lo que más interesa a los demás.
- Fábula personal: los adolescentes piensan que son seres únicos,
excepcionales e irrepetibles. Se consideran diferentes a los demás y creen
que lo que viven es algo excepcional y único, que nadie más ha vivido y que
nadie más puede comprender.
- Fábula de invencibilidad: los adolescentes piensan que ellos no pueden ser
víctimas de conductas peligrosas. Por eso asumen todo tipo de riesgos y no
toman las precauciones necesarias. Conocen los riesgos pero piensan que
ellos no pueden ser víctimas.
También tienen un desarrollo socio–emocional, donde el autoestima es muy
importante y la apariencia física les resulta fundamental. Para ellos es muy importante
la familia y sentirse protegidos aunque existan muchos conflictos entre ellos y se apoyen
en los amigos, a los que ven como iguales. En esta época es cuando surge la verdadera
amistad y comienzan a tener relaciones de pareja.
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Nosotros como docentes tendremos que tener presentes todas estas
características en todo momento para poder abordar las posibles dificultades cuando se
nos presenten.
Además, existen otros factores que pueden modificar la conducta en el aula
como son las capacidades de los alumnos, los conocimientos que éstos presenten o la
motivación. Hoy en día, en las aulas se pueden encontrar alumnos muy distintos y
nosotros como docentes deberemos saber atender la diversidad que se nos presente.
Para que se produzca un aprendizaje más significativo, es muy importante que
los alumnos estén motivados y nuestro objetivo será alcanzarlo. Algunos estudiantes
vienen motivados a clase de forma natural y otros, por el contrario necesitan estímulos
que les ayuden. La motivación puede ser:
- Intrínseca: el alumno fija su interés por el estudio o trabajo, demostrando
siempre superación y responsabilidad en la consecución de sus metas.
Realiza una actividad por el placer y satisfacción que le produce aprender.
- Extrínseca: el alumno sólo trata de aprender no tanto porque le gusta la
asignatura sino por las ventajas que ésta le ofrece. La conducta es regulada a
través de medios externos como premios y castigos.
Se pueden seguir una serie de líneas generales a la hora de dar una clase como, por
ejemplo, despertar la curiosidad del alumno, mostrar la relevancia específica del
contenido o actividad, procurar que su interés se mantenga, interactuar con ellos, etc.
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2.3. CONCLUSIONES
Hasta ahora hemos analizado las cuestiones que a mi modo de ver son más
importantes a la hora de enfrentarnos en una clase. Lo ideal sería seguir el enfoque de
la teoría constructivista ya que el aprendizaje que los alumnos obtienen es el más
significativo, pero es muy difícil llevarla por completo a la práctica hoy en día por el
insuficiente tiempo. Por tanto habrá que desarrollar una combinación del enfoque
conductista con el constructivista. También se necesita una alta participación del
alumno y no siempre se va a presentar esta circunstancia, por ello mi principal objetivo
será fomentar la motivación del alumnado como uno de los pilares fundamentales del
aprendizaje.
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3. MEMORIA DE PRÁCTICAS
3.1. INTRODUCCIÓN
El desarrollo de las prácticas es fundamental para la formación del futuro
profesor, ya que se podrán poner en práctica los conocimientos adquiridos y aprender
nuevos.
Realicé las prácticas en el Instituto de Educación Secundaria Francisco Tomás y
Valiente, un centro de la red pública, del 24 de febrero al 16 de abril de 2014. Mi tutora
en dicho centro fue Margarita Bañuelos Palacios y en la universidad Clara Jiménez
Gestal.
Durante este periodo he podido conocer la realidad de un Centro Educativo y
comprobar cómo es el trabajo diario de un docente y el trato con los alumnos. Mi tutora
impartía clases en 1º ESO, 1º Taller de Matemáticas, 3º ESO y 1º Bachillerato de Ciencias
Naturales.
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3.2. ANÁLISIS DEL CENTRO
El I.E.S Francisco Tomás y Valiente está ubicado en Fuenmayor, y el alumnado
que cursa estudios en el instituto proviene de los colegios de Navarrete, Cenicero,
Medrano y Fuenmayor. Comenzó su andadura en el curso 1997/1998, por lo que es un
centro relativamente nuevo con instalaciones en buen estado, y está bien equipado con
ordenadores y proyector en todas las aulas, pizarra digital en algunas de ellas y cuenta
con una biblioteca, polideportivo, aulas de informática y laboratorios. Cuentan con el
proyecto RACIMA, un proyecto informático diseñado para la gestión académica de los
centros educativos de La Rioja.
La oferta educativa del instituto se compone de la Educación Secundaria
Obligatoria, el Bachillerato y un Programa de Cualificación Profesional Inicial (PCPI) de
“Operario de viveros, jardines y parques”. Además consta de otros proyectos como el
Proyecto de Calidad (EFQM), el Proyecto de Innovación Lingüística (PILC), la
colaboración con la Escuela Oficial de Idiomas (EOI) y el Programa de Refuerzo,
Orientación y Apoyo (PROA).
Es un centro muy familiar, compuesto por 42 profesores y 412 alumnos, en el
que se imparten diariamente seis clases de 50 minutos y hay dos recreos de 20 minutos.
La situación socio-cultural de los alumnos es muy compleja y muy heterogénea.
En el centro hay un 11% de alumnos inmigrantes. En el conjunto de la zona la tasa de
paro es aproximadamente del 20% de la población activa, siendo mayor entre el
colectivo de las mujeres. Se está produciendo un crecimiento industrial en la zona, y los
rendimientos agrícolas son elevados, sobre todo los vitivinícolas.
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3.3. ESTUDIO DE LOS GRUPOS-CLASE
Durante el desarrollo de las prácticas, trabajé con la tutora en los grupos de 1ºA,
1ºB, Taller de Matemáticas en 1ºB, 3ºB y 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales.
Analizando los grupos de primero de E.S.O. en los que he realizado prácticas,
cabe destacar la gran diferencia existente entre ellos. Los dos grupos son muy amplios,
de 28 y 26 alumnos, respectivamente. El grupo de 1º A, a pesar de estar formado por
más alumnos, es un grupo con muy buenos resultados en general. Sin embargo, el grupo
de 1º B obtiene muy malos resultados, le falta mucha motivación. En este caso hay dos
alumnos A.C.N.E.E. que en la asignatura de matemáticas acuden con un profesor
especial.
3º de la E.S.O. es un grupo de alumnos equilibrado, con un buen comportamiento
y una predisposición generalmente buena al trabajo. La clase está formada por 24
alumnos.
Los alumnos presentan unas capacidades físicas y psíquicas convencionales, sin
tener ningún alumno que requiera educación especial.
En este grupo encontramos bastante diversidad, existen alumnos muy
trabajadores y atentos en las clases, y otros más pasivos. El ambiente de aula suele ser
agradable y distendido, preguntando dudas en las clases de ejercicios y problemas, y
estando generalmente atentos en las explicaciones, aunque son muy habladores.
En la clase, existe una alumna cuya capacidad es menor a las del resto del grupo,
la alumna se esfuerza tanto en clase como en casa, realiza la tarea diariamente saliendo
como voluntaria para la corrección a la pizarra y se esfuerza por seguir las explicaciones.
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También existen otros alumnos que no prestan atención durante las
exposiciones y que en las horas de ejercicios toman una actitud pasiva. A todo este grupo
de alumnos a los que les cuesta más realizar los ejercicios y las tareas, ya sea por unos
motivos u otros, son a los que se les debe prestar mayor atención, para que se consiga
por medio de la motivación, un ritmo de aprendizaje lo más similar posible en todo el
grupo y un mayor número de alumnos con resultados satisfactorios.
En este grupo también existen alumnos más aventajados que el resto, a los que
hay que tener en cuenta sobre todo en las horas de clase dedicados a ejercicios y
problemas, ya que llevan un ritmo más acelerado que el resto del grupo y se deben
atender sus necesidades.
En el grupo de 3º de E.S.O. hay varios alumnos extranjeros, los cuales en su
mayoría están integrados con el resto de la clase.
La clase de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales es un grupo muy reducido ya
que está formado por 10 alumnos, de los cuales solamente uno es repetidor. Dado que
no es obligatorio cursar Bachillerato, nos encontraremos en estas aulas únicamente a
los alumnos que tienen interés por continuar su formación. En las clases existe un
ambiente excelente de trabajo y compañerismo, con mucha participación e interés por
conseguir buenas calificaciones.
El grupo de alumnos de 1º de Bachillerato está muy interesado en la materia y
trabajan cada día tanto en el aula, como en casa. Durante la explicación del profesor
todos están atentos y en las clases de ejercicios y problemas realizan los ejercicios
individualmente o por parejas preguntando dudas al profesor.
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Este grupo es bastante más homogéneo que el anterior, todos los alumnos llevan
un ritmo de aprendizaje bastante similar y la atención a la diversidad en este nivel no es
tan necesaria. Existe una alumna más aventajada que el resto aunque la diferencia que
se aprecia no es elevada.
En el grupo de Bachillerato no se ha apreciado ningún tipo de condicionamiento
sociocultural.
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3.4. UNIDAD DIDÁCTICA 1º BACHILLERATO CIENCIAS NATURALES: DERIVADAS. APLICACIÓN DE DERIVADAS
3.4.1. INTRODUCCIÓN
La confección de la unidad didáctica se ha desarrollado conforme al material
impartido en el Máster de Profesorado. Atendiendo a todos sus puntos y en función de
las directrices marcadas por los profesores. La temporalización llevada a cabo será la
siguiente:
Tiempo aproximado: 3 semanas.
3ª Evaluación
Unidad didáctica anterior: Funciones. Límite y Continuidad.
Unidad didáctica posterior: No hay.
El concepto de límite, estudiado en la unidad anterior, permite introducir el
concepto de derivada, que supone uno de los instrumentos más potentes de la
matemática, con aplicaciones en muy diversos campos.
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3.4.2. OBJETIVOS
Utilizar la variación media de una función para interpretar situaciones de la
vida cotidiana.
Saber interpretar geométricamente el concepto de derivada de una función
en un punto.
Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.
Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una
función dada, así como sus derivadas laterales.
Calcular derivadas usando las reglas de derivación.
Obtener derivadas de operaciones con funciones.
Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función
compuesta.
Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función
cualquiera.
Calcular derivadas sucesivas.
Saber determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una
función derivable, así como los intervalos de concavidad y convexidad.
Resolver problemas de optimización.
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3.4.3. COMPETENCIAS
Competencias Básicas Teóricas
La LOE define ocho competencias básicas que se consideran necesarias para
todas las personas en la sociedad del conocimiento y que se deben trabajar en todas las
materias del currículo:
Competencia en comunicación lingüística (C1). Se refiere a la utilización del
lenguaje como instrumento de comunicación oral y escrita.
Competencia matemática (C2). Consiste en la habilidad para utilizar y
relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de
razonamiento matemático.
Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3). Es
la habilidad para interactuar con el mundo físico, tanto en sus aspectos
naturales como en los generados por la acción humana. También se relaciona
con el uso del método científico.
Tratamiento de la información y competencia digital (C4). Comprende las
habilidades para buscar, obtener, procesar y comunicar información, y la
utilización de las nuevas tecnologías para esta labor.
Competencia social y ciudadana (C5). Hace posible comprender la realidad
social en que se vive, cooperar, convivir y ejercer la ciudadanía democrática
en una sociedad plural, así como participar en su mejora.
Competencia cultural y artística (C6). Supone comprender, apreciar y valorar
críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.
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Competencia para aprender a aprender (C7). Implica disponer de habilidades
para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de
manera cada vez más eficaz y autónoma, de acuerdo a los propios objetivos
y necesidades.
Autonomía e iniciativa personal (C8). Supone ser capaz de imaginar,
emprender desarrollar y evaluar acciones o proyectos individuales o
colectivos con creatividad, confianza, responsabilidad y sentido crítico.
Competencias Básicas Aplicadas a la Unidad Didáctica
A continuación se muestran las competencias básicas que se desarrollan y
trabajan a lo largo de la Unidad Didáctica programada, en función de los objetivos que
nos hemos marcado:
Utilizar la derivada de una función, asociada a cierto fenómeno social o
natural, en un punto para extraer y elaborar conclusiones sobre el
comportamiento de dicha función en las proximidades de ese punto. (C1, C2,
C3, C5, C8)
Conocer la evolución histórica del problema del cálculo de la tangente a una
curva en un punto. (C2, C6, C7)
Distinguir entre propiedades globales y puntuales, variaciones medias en un
intervalo y variación instantánea, y utilizarlo en el análisis crítico del
comportamiento de ciertos fenómenos. (C2, C4)
Utilizar las nuevas tecnologías para representar y analizar el comportamiento
local y global de las funciones. (C2, C4, C7, C8)
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3.4.4. CONTENIDOS
Variación media de una función en un intervalo.
Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Función
derivada.
Ecuación de la recta tangente a una función en un punto.
Derivadas laterales.
Derivadas de las funciones elementales.
Derivadas de operaciones con funciones. Regla de la cadena.
Derivadas sucesivas.
Monotonía y concavidad.
Optimización.
Cálculo de la variación media de una función en un intervalo.
Obtención de la derivada de una función en un punto.
Obtención de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto.
Utilización de la interpretación geométrica de la derivada para resolver
problemas.
Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.
Determinación de la función derivada asociada a esa función.
Determinación de la función derivada de las funciones elementales.
Cálculo de derivadas de operaciones con funciones, y aplicación de la regla
de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.
Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.
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Utilización de la relación entre la derivabilidad y el crecimiento de una
función para resolver problemas.
Determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento y concavidad
y convexidad de una función.
Resolución de problemas de optimización.
Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real.
Gusto por la reflexión al realizar cálculos con derivadas.
Gusto e interés por enfrentarse a problemas donde aparezca la derivada de
una función.
Hábito por contrastar el resultado final de un problema con lo propuesto en
este para determinar lo razonable o no del valor final obtenido.
Disposición favorable a la revisión y mejora de cualquier cálculo.
Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de recursos para la
representación gráfica de funciones no elementales.
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3.4.5. METODOLOGÍA
A continuación, se detalla la metodología empleada en el aula para que los
alumnos consigan alcanzar los objetivos propuestos en esta Unidad Didáctica. Para ello,
se contemplarán los principios metodológicos que guiarán la práctica docente,
fundamentados en la fuente psicopedagógica del currículo y en la medida de lo posible,
utilizando siempre un enfoque constructivista.
Es esencial que el aprendizaje sea significativo (no memorístico), es decir, que
los nuevos conocimientos de aprendizaje se relacionen de forma coherente
con lo que el alumno ya sabe. Por tanto, los nuevos aprendizajes deben tener
en cuenta los conocimientos previos que posee el alumno y, a partir de ellos,
reestructurar sus esquemas mentales.
Para que se pueda producir este tipo de aprendizaje es necesario que el
alumno participe de su propio aprendizaje, es decir, que el alumno sea activo
en el aula. Se trata de una actividad interna al sujeto.
El aprendizaje se favorece enormemente mediante la interacción social, por
lo que las interacciones profesor-alumno y alumno-alumnos serán un punto
clave en el proceso de aprendizaje. Por esta razón, el profesor explicará los
contenidos con la participación de los alumnos y la realización de actividades
que sirvan para desarrollar determinados aspectos del tema.
Es importante reforzar los aspectos prácticos de lo que se aprende. Por
tanto, se plantearán actividades basadas en situaciones reales de la vida
cotidiana.
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Las actividades propuestas deben ser motivantes y despertar la curiosidad
del alumno.
Es fundamental atender a la diversidad del aula, en cuanto a capacidades y
ritmos de aprendizaje se refiere. Se propondrán actividades de refuerzo para
aquellos en los que se detecte alguna laguna y se realizarán actividades de
consolidación del tema y actividades de ampliación.
Por tanto, como en el aula hay pocos alumnos, pueden salir todos a la pizarra a
hacer ejercicios y así poder participar todos aprendiendo de los errores de los demás y
atender el profesor a cada uno más individualizadamente.
Además de estas cuestiones, se debe tener en cuenta la utilización de diferentes
estrategias didácticas entre las que destacan:
Resumir y sistematizar el trabajo hecho relacionándolo con actividades
anteriores. Al final de la unidad se realizará un esquema a modo recordatorio
grupalmente (Anexo I).
Orientar y reconducir el trabajo de los alumnos/as, ya sea individual o en
grupo.
Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicación
durante la clase, sin agobios de tiempo.
Hacer entender a los alumnos/as que los errores son una poderosa fuente de
aprendizaje.
Estructurar la secuencia de tareas que han de realizar los alumnos/as.
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Individualizar, dentro de lo posible, el seguimiento del aprendizaje de cada
alumno/a.
Coordinar los distintos ritmos de trabajo y de adquisición de conocimientos.
Explicitar el proceso y los instrumentos de evaluación.
3.4.6. TEMPORALIZACIÓN
Esta unidad se llevará a cabo en 3 semanas, que corresponde con 12 sesiones:
Sesión 1:
Comenzamos introduciendo el tema y buscando la relación con los
conocimientos previos. Además de dar una pequeña introducción histórica:
Este tema surgió al intentar resolver el problema de encontrar la ecuación de
la recta tangente. Está relacionado con la óptica (el ángulo con el que un rayo
de luz incide en una superficie de una lente), la física (la dirección de un
cuerpo en movimiento en un punto de su recorrido) o la geometría (el ángulo
entre dos curvas que intersecan).
Como el tema estudiado anteriormente es funciones, límite y continuidad,
podemos ayudarnos de esto para introducir el concepto de derivada.
Para que vayan adentrándose en el tema, se dedicará el resto de la clase a
hacer ejemplos con GeoGebra para que entiendan el concepto y además se
familiaricen con el programa, ya que más adelante trabajarán con él.
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Finalmente se les explica que en este tema va a haber unas actividades que
tendrán un peso del 30% de la nota final, que deberán entregar el día del
examen en un dossier y que tendrán que realizar por parejas.
Sesión 2:
Comenzamos la clase explicando las definiciones de variación media de una
función en un intervalo, variación instantánea y derivada de una función en
un punto.
En clase se hará la siguiente actividad:
La siguiente tabla da el precio en euros de un producto en 8 años sucesivos.
Precio 10 18 24 28 30 30 28 24
Año 0 1 2 3 4 5 6 7
¿Cuál es la TVM del precio en el primer año?
¿Y entre el primero y tercer año? ¿Y entre el tercero y el séptimo?
A continuación se muestra la interpretación geométrica y física de la
derivada.
Se manda como deberes las siguientes actividades:
1) En la gráfica siguiente, la línea roja representa el movimiento de un
autobús que arranca de la parada y va, poco a poco, ganando velocidad.
① y ② corresponden a pasajeros que llegan tarde y corren para tomar
el autobús en marcha.
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a) Al viajero ② lo acercan en bicicleta. Describe su movimiento y halla la
velocidad a la que corre.
b) ¿Cuál es la velocidad aproximada del autobús en el momento que lo
alcanza el pasajero ②? ¿Entra este pasajero suavemente en el autobús?
2) La siguiente gráfica refleja el comportamiento de dos atletas, del mismo
equipo, durante una carrera de relevos:
1.er relevista
2.º relevista
a) ¿Por qué en las carreras de relevos 4 x 100 m cada relevista empieza
a correr antes de que llegue su compañero?
b) ¿Qué pasaría si esperara quieto la llegada del otro?
c) ¿Es razonable que las gráficas de sus movimientos sean tangentes?
¿Cómo son sus velocidades en el momento de la entrega del “testigo”?
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Sesión 3:
Comenzamos la clase corrigiendo las actividades del día anterior.
Posteriormente se explica el concepto de función derivada y ecuación de la
recta tangente a una función en un punto.
Actividades:
1) Hallar en 𝑥𝑥 = 1 la recta tangente a la curva 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 + 1 .
2) Hallar la derivada de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 3 en el punto 𝑥𝑥 = 2 .
3) ¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación
e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en
metros y el tiempo en segundos.
Se manda como deberes las siguientes actividades:
1) Si la ecuación del movimiento de un móvil es 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡 + 5𝑡𝑡2. Calcula la
velocidad en el instante 𝑡𝑡 = 7 segundos.
2) Calcula la velocidad en el instante 𝑡𝑡 = 4 segundos de un móvil cuya
ecuación de movimiento es 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 3 − 4𝑡𝑡 + 𝑡𝑡2
2.
3) Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 2, averigua la TVM en los siguientes
intervalos:
a) [0,2]
b) [2,4]
c) [4,6]
4) Dadas las funciones 𝑓𝑓(𝑥𝑥), calcular el valor de la derivada, utilizando la
definición de derivada de una función en un punto:
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥, 𝑓𝑓′(1)
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b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥, 𝑓𝑓′(2)
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥
,𝑓𝑓′(𝑎𝑎) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≠ 0
Sesión 4:
Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad del
periódico desarrollada en el proyecto de innovación.
Sesión 5:
Comenzaremos corrigiendo las actividades pendientes.
A continuación se explican los conceptos de derivadas laterales y derivadas
de las funciones elementales.
Las actividades a realizar serán:
1) Calcula las derivadas de las funciones:
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥 + 2
d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2𝑥𝑥2 − 5
e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥4+𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 4
f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3+23
g) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥5
+ 3𝑥𝑥2
h) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥√𝑥𝑥
i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 2)4
j) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 10√𝑥𝑥
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k) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (2𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥)
A continuación se explica el concepto de derivabilidad y continuidad y se
realiza la siguiente actividad:
1) Dadas las siguientes funciones, determina en que puntos no son
derivables:
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0−𝑥𝑥 + 2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 0
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥2 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 2
2𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 2
Se manda como deberes las siguientes actividades:
1) Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �2𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 41√𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 4 , determina su dominio de
derivabilidad. Si es derivable en 𝑥𝑥 = 4, halla 𝑓𝑓′(4).
2) Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 1 calcula el punto en el que su
tangente es perpendicular a la recta 𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 + 3 = 0.
Sesión 6:
Comenzamos corrigiendo los ejercicios del día anterior.
A continuación se explican los conceptos de derivadas de operaciones con
funciones y la regla de la cadena.
Las actividades a realizar serán:
1) Calcula la función derivada de las siguientes funciones:
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥4
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥√5𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥√2𝑥𝑥
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2) Calcula la ecuación de la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥 en el punto 𝑥𝑥 = 3.
Se manda como deberes las siguientes actividades:
1) Calcula la función derivada de las siguientes funciones:
a)𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 1𝑥𝑥
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2√𝑥𝑥 + 3√𝑥𝑥3
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2)2
d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥)3
e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥− 1
2𝑥𝑥2
2) Calcula la ecuación de la recta tangente a 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)2en el punto
𝑥𝑥 = 0.
Sesión 7:
Se comienza la clase explicando los conceptos de monotonía y concavidad.
Se realizan las siguientes actividades:
1) Mediante el estudio del signo de la primera derivada, hallar los intervalos
de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de las
siguientes funciones:
a) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 7
b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4
4+ 𝑥𝑥3
3− 12𝑥𝑥 + 7
2) Mediante el estudio del signo de la segunda derivada, hallar los intervalos
de concavidad y convexidad, así como los puntos de inflexión de las
siguientes funciones:
a) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥5 − 10𝑥𝑥3 − 75𝑥𝑥
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b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑥𝑥
Sesión 8:
Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad de las
fotografías desarrollada en el proyecto de innovación.
Sesión 9:
Esta sesión está indicada para trabajar en grupo sobre la actividad de la caja
desarrollada en el proyecto de innovación.
Sesión 10:
Esta sesión está dedicada a dudas y a resolver ejercicios. Como podemos
llevar un control de cada alumno debido al número reducido que hay,
utilizaremos las actividades de refuerzo y ampliación en los casos en los que
lo consideremos necesario.
Sesión 11:
En esta sesión se realizará un repaso general de toda la unidad y se resolverán
las últimas dudas que tengan.
Sesión 12:
Realización de la prueba escrita incluida en el Anexo V.
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3.4.7. ACTIVIDADES
Actividades de Iniciación y Motivación
Estas actividades iniciales nos van a servir como evaluación inicial, dado que nos
ayudan a observar los conocimientos de los alumnos y las capacidades que tienen para
afrontar el tema que se trata.
Actividades de Desarrollo y Aprendizaje
En este apartado se muestra el grueso de actividades de la Unidad Didáctica, las
cuales van a contribuir a encauzar la acción del alumno para promover la actividad
mental (observar, comparar, clasificar, buscar información, etc.). Estas son las
actividades que tienen un fuerte componente constructivo. Entre ellas se encuentran
las actividades indicadas en la temporalización, así como en la hoja de ejercicios que el
profesor colgará en la plataforma Moodle por si fueran necesarios más ejercicios (Ver
Anexo II).
Actividades de Síntesis y Resumen
En este apartado se presentan una serie de actividades, que permiten poner en
práctica los conocimientos adquiridos, reforzando así los nuevos esquemas, dando
significado a los nuevos aprendizajes, y ofreciendo al profesor información sobre el
grado de aprendizaje obtenido por los alumnos.
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Actividades de Refuerzo y Ampliación
Este bloque de actividades pretende atender a los distintos estilos y ritmos de
aprendizaje, ya que el aprendizaje no es uniforme para todos los alumnos. Se trata de
actividades como medida de atención a la diversidad.
Las actividades de refuerzo están destinadas a aquellos alumnos que tienen un
ritmo de aprendizaje más bajo y necesitan afianzar lo que aprenden mediante ejercicios
de menor dificultad (Ver Anexo III). Por el contrario, las actividades de ampliación se
desarrollarán con los alumnos cuyo ritmo de aprendizaje es superior a la media y son
capaces de realizar actividades de mayor complejidad (Ver Anexo IV).
3.4.8. EVALUACIÓN
Criterios de evaluación:
Hallar la variación media de una función en un intervalo.
Determinar la derivada de una función en un punto, y obtener la función
derivada asociada a esa función.
Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.
Calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.
Determinar las derivadas laterales de una función en un punto.
Obtener la función derivada de una función elemental.
Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la
cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.
Calcular derivadas sucesivas de una función.
Utilizar la relación entre derivabilidad y crecimiento para resolver problemas.
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Resolver distintos problemas donde aparezca el concepto de derivada de una
función.
Para evaluar al alumno se utilizarán los siguientes instrumentos:
Salidas a la pizarra a corregir los ejercicios de casa
Control de la tarea diaria
Posibles preguntas en clase sobre lo explicado
Comportamiento tanto en el aula como en cualquier actividad relacionada
con la asignatura
Actitud ante la asignatura , los compañeros y el profesor
Dossier de actividades (Ver Proyecto Innovación)
Prueba escrita (Ver Anexo V)
Criterios de calificación:
El profesor valorará si el alumno ha comprendido el concepto de derivada de una
función en un punto, así como su significado geométrico. Si sabe relacionar este
concepto con alguna situación de la vida real. También se tendrá en cuenta la actitud
general del alumno en el desarrollo de la actividad.
Así mismo la nota se formará del siguiente modo:
Comportamiento del alumno en la clase (5%).
Ejercicios en casa a lo largo de la unidad (5%).
Trabajo por proyectos (30%).
Prueba escrita (60%).
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3.4.9. MATERIALES Y RECURSOS DE APOYO A LA DOCENCIA
El material didáctico que se emplea en el curso es:
Pizarra.
Libro de texto: MATEMÁTICAS 1, Mª José Ruiz Jiménez y otros. Editorial:
EDITEX. ISBN: 978-84-9771-345-0.
Proyector.
Calculadora científica.
Hojas de ejercicios y actividades.
Equipos informáticos con conexión a internet.
GeoGebra.
Plataforma virtual.
Por último, y solo de cara al profesorado estarán disponibles impresoras y
fotocopiadoras en el centro.
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3.5. OTRAS ACTIVIDADES
En el desarrollo de las funciones como alumna en prácticas, he realizado todos
los trabajos descritos en el presente informe de prácticas. Además de asistir a las clases,
de participar en ellas y de desarrollar las Unidades Didácticas de acuerdo con las
indicaciones de mi tutora.
También he asistido junto con las otras alumnas en prácticas que estaban en el
centro a una reunión con la orientadora para explicarnos cómo funciona el
departamento.
He acudido, aparte de las clases de 3º de E.S.O. y 1º de Bachillerato donde he
impartido las unidades didácticas correspondientes, a las clases de 1º de E.S.O. y de Taller
de Matemáticas en 1º de E.S.O.
Con los alumnos de todos los cursos se ha realizado el concurso de Primavera y para
la 3ª evaluación, los alumnos de 1º de E.S.O. tienen un concurso de cuentos matemáticos.
He asistido a las Reuniones de Departamento que se realizaban entre los profesores
de Matemáticas una vez por semana.
También estuve presente en una charla sobre el bullying impartida por un Guardia
Civil, al curso de 1º de E.S.O.
He aprendido el manejo de la plataforma virtual Moodle y además, como la tutora
trabaja con el programa LaTeX, me ha ayudado a manejarlo.
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3.6. REFLEXIÓN Y CONCLUSIONES
Tras la realización de las prácticas he llegado a la conclusión de que ha sido una
experiencia formativa muy positiva. Estas prácticas me han parecido un complemento
necesario e idóneo para completar la importante formación que estamos recibiendo en
este máster.
El periodo de prácticas es muy importante para la formación del profesorado, ya
que permite relacionar los conceptos teóricos vistos durante las horas de clase, con la
realidad del contexto educativo.
Esta experiencia me ha ayudado a hacerme una idea muy aproximada de como
es este trabajo, de si me gusta y de si realmente quiero trabajar ayudando a los nuevos
alumnos a superar sus dificultades y a imprimirles una mentalidad de esfuerzo y de
trabajo que les sea de gran utilidad en su futuro.
Personalmente me ha resultado muy satisfactoria esta experiencia, con la que
me he dado cuenta de que estoy preparada e ilusionada para empezar a dar mis
primeros pasos como docente.
En un principio, en el periodo de observación, comprobé la gran diferencia de la
percepción del contexto de una clase desde el punto de vista del alumno y del profesor.
Su tarea y espero que sea también la mía, es realmente complicada y se deben dedicar
muchas horas para que la mayoría de los alumnos estén motivados e interesados en la
asignatura y puedan alcanzar los objetivos propuestos.
Durante todas las prácticas la tutora me ha dado libertad para ejercer como
profesora ayudante, resolviendo dudas a los alumnos y ayudando a corregir los
ejercicios de todos los cursos.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
Otro aspecto que cabe resaltar es la atención a la diversidad. Me parece muy
importante atender las necesidades educativas de cada alumno. Es difícil hacerlo en
todo momento porque en el aula hay muchos alumnos y cada uno tiene unas
necesidades e intereses, pero durante las horas de problemas se les puede dedicar más
tiempo a aquellos alumnos que más lo necesiten, incluso se pueden realizar horas con
actividades de refuerzo.
Por último, agradecer al I.E.S. Francisco Tomás y Valiente, a sus integrantes y en
especial a mi tutora por haberme hecho partícipe de la vida diaria del centro y haberme
hecho sentir como uno más, estando pendientes de mí en todo momento y dándome
consejos muy útiles para la profesión.
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4. PROYECTO DE INNOVACIÓN
4.1. INTRODUCCIÓN
Mantener a los estudiantes comprometidos y motivados constituye un reto muy
grande incluso para los docentes más experimentados.
El primer problema que se pretende abordar mediante este proyecto es
combatir la desmotivación de los estudiantes de secundaria y bachillerato. La mayoría
de los estudiantes perciben las matemáticas como una de las asignaturas más difíciles y
tienen miedo a enfrentarse a ellas (Hidalgo, Maroto y Palacios, 2004). Mediante la
introducción de nuevas técnicas de motivación pretendemos erradicar del aula ese
miedo y provocar que los alumnos sientan las matemáticas como algo cercano e
interesante. Tanto padres como alumnos alegan que las matemáticas es una de las
asignaturas más importantes para su futuro, ya que están presentes en la vida cotidiana,
aunque a la hora de estudiarlas no las ven como un objeto presente en sus vidas, sino
como una serie de reglas y algoritmos que deben aplicar a ejercicios. Mediante este
proyecto de innovación, acercaremos las matemáticas a los alumnos utilizando en los
ejercicios datos y situaciones de la vida real.
Otro problema que nos encontramos en las aulas es el tipo de aprendizaje que
los estudiantes reciben. En el segundo apartado de este documento vimos los distintos
tipos de aprendizaje que existen; comprobamos que el modelo de aprendizaje más
utilizado en las aulas es el aprendizaje cognitivo en el que el alumno es un ser pasivo
que memoriza los contenidos que el profesor le cuenta. La mayor desventaja de dicho
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
aprendizaje es que los alumnos no llegan a comprender el porqué de las cosas, y que
además memorizan los conceptos, reglas y algoritmos únicamente para reproducirlos el
día del examen. Por lo tanto el conocimiento que obtienen es a corto plazo, y en algunos
casos el plazo es escaso olvidándose de todo lo aprendido rápidamente. Frente a la
teoría conductista, en la que el papel central es el profesor, nos encontramos con la
teoría constructivista en la que el proceso de enseñanza aprendizaje se centra en el
alumno. El profesor debe guiar al alumno para que éste sea quien construya su propio
aprendizaje, pasa de ser un mero transmisor de conocimientos a convertirse en un guía
que propicie que los alumnos extraigan sus propias conclusiones. El profesor, en su
papel de guía, debe relacionar los conceptos con las experiencias y conocimientos
previos del alumno para provocar que los conocimientos adquiridos perduren
indefinidamente.
Hemos desarrollado este proyecto de innovación basado en el aprendizaje por
proyectos para resolver lo que, bajo mi punto de vista, son los problemas más
importantes a los que se enfrenta un profesor de matemáticas en secundaria y
bachillerato que son la falta de motivación de los alumnos y la utilización del método
de enseñanza basado en la teoría conductista. Mediante la realización de proyectos, los
alumnos descubrirán por sí mismos conceptos de la unidad didáctica, aumentará su
motivación y relacionarán dichos conceptos con problemas de la vida real.
Este proyecto está aplicado a la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación de
derivadas” de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales, pero se podría adaptar a
cualquier unidad didáctica y a cualquier curso de secundaria y bachillerato.
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4.2. OBJETIVOS
Los principales objetivos que persigue mi proyecto de innovación son:
Aumentar la motivación de los alumnos
Manejo de conceptos teóricos de la unidad
Fomentar la colaboración entre los alumnos realizando tareas en grupos
Aumentar las habilidades sociales y de comunicación
Acrecentar las habilidades para la solución de problemas
Aumentar la autoestima haciendo que los alumnos se enorgullezcan de
lograr algo que tenga valor fuera del aula
Preparar a los estudiantes para los puestos de trabajo colaborando unos
con otros, planificando el tiempo y tomando decisiones
Utilización de nuevas tecnologías, como puede ser el software
matemático GeoGebra
Romper con la monotonía de ejercicios mecánicos
Con este proyecto de innovación se desarrollarán las siguientes competencias
básicas:
Competencia en comunicación lingüística (C1): redactando las
actividades y debate en clase durante la realización de las mismas.
Competencia matemática (C2)
Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3):
las actividades están relacionadas con objetos y problemas de la vida real.
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Tratamiento de la información y competencia digital (C4): la información
que necesiten la podrán buscar en internet y algunas actividades se
realizarán con el programa GeoGebra.
Competencia cultural y artística (C6): analizando las características de
edificios o elementos arquitectónicos que puedan haber en las
fotografías.
Autonomía e iniciativa personal (C8): en la resolución de actividades se
desarrollan tareas en las que hay que planificarse y tomar decisiones.
4.3. MARCO TEÓRICO
El término constructivismo proviene del latín struere ‘arreglar’ ‘dar
estructura’. Se emplea de manera reiterada como paradigma educativo. La idea
principal es que el aprendizaje humano se construye. La mente de las personas elabora
nuevos significados a partir de la base de enseñanzas anteriores. En otras palabras, “el
aprendizaje se forma construyendo nuestros propios conocimientos desde nuestras
propias experiencias” (Ormrod, 2003)
“Es en primer lugar una epistemología, es decir una teoría que intenta explicar
cuál es la naturaleza del conocimiento humano” (Méndez, 2002).
En pedagogía se entiende por constructivismo una corriente que afirma que el
conocimiento de todas las cosas es un proceso mental del individuo, que se desarrolla
de manera interna pero sobre la base de lo que el individua obtiene información e
interactúa con su entorno.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
La nueva información es asimilada y depositada en una red de conocimientos y
experiencias que existen previamente en el sujeto, como resultado podemos decir que
el aprendizaje no es ni pasivo ni objetivo, por el contrario es un proceso subjetivo que
cada persona va modificando constantemente a la luz de sus experiencias. (Abbott,
1999).
Se pueden destacar tres modelos: la teoría evolutiva de Piaget, el enfoque
socio-cultural de Vygostsky, y el aprendizaje significativo de Ausubel.
Vygotsky afirma que el aprendizaje está condicionado por la sociedad en la que
nacemos y nos desarrollamos.
La cultura juega un papel importante en el desarrollo de la inteligencia.
De ahí que en cada cultura las maneras de aprender sean diferentes. En
la comunicación con el entorno (familiar, profesores y amigos) moldea
su conocimiento y comportamiento.
El aprendizaje guiado. La posibilidad de aprender con la ayuda de
personas más hábiles (nivel de desarrollo potencial).
Sujeto
Conocimiento antiguo
Conocimiento nuevo
Aprendizaje
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
Piaget plantea que el aprendizaje es evolutivo.
El aprendizaje es una reestructuración de estructuras cognitivas. Las
personas asimilan lo que están aprendiendo interpretándolo bajo el
prisma de los conocimientos previos que tienen en sus estructuras
cognitivas. El docente sabe que la persona está aprendiendo si es capaz
de explicar el nuevo conocimiento adquirido.
La motivación del alumno es inherente a este tipo de aprendizaje, por
tanto no manipulable por el profesor.
Ausubel afirma que el punto de partida de todo aprendizaje son los
conocimientos y experiencias previas. En palabras del propio Ausubel “el factor más
importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe”.
Teoría del aprendizaje significativo. Conviene aclara que el término
significativo se utiliza como contrario a memorístico.
El aprendizaje adquiere significado si se relaciona con el conocimiento
previo.
El alumno construye sus propios esquemas de conocimiento.
Relaciona los nuevos conocimientos con los conocimientos previos.
El aprendizaje no se produce si no hay interés por parte del alumno.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
Por lo expresado, podemos establecer los principios del constructivismo como
sigue:
El sujeto construye el conocimiento de manera activa, interactuando con
el objeto de estudio.
El nuevo conocimiento adquiere significado cuando se relaciona con el
conocimiento previo.
El contexto social y cultural de la persona influye en la construcción del
significado.
Aprender implica participar de forma activa y reflexiva.
La motivación es una atracción hacia un objetivo que supone una acción por
parte del sujeto y permite aceptar el esfuerzo requerido para conseguir ese objetivo. La
motivación está compuesta de necesidades, deseos, tensiones, incomodidades y
expectativas. La ausencia de motivación hace complicada la tarea del profesor.
No existe una colección de reglas fijas que garanticen que el ambiente de clase
sea lo más motivador posible, pero sí que podemos enumerar una serie de pautas
generales que pueden servir:
Explicar a los alumnos los objetivos educativos que tenemos previstos
para la sesión determinada.
Justificar la utilización de los conocimientos que les intentamos transmitir
con las actividades que les vamos a plantear.
Plantearles las actividades de forma lógica y ordenada.
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
Proponerles actividades que les hagan utilizar distintas capacidades de su
resolución.
Fomentar la comunicación entre los alumnos realizando tareas en grupo.
Plantear el razonamiento y la comprensión como la mejor herramienta
para la resolución de actividades.
Aplicar los contenidos y conocimientos adquiridos a situaciones próximas
y cercanas para los alumnos.
4.4. DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO
Este proyecto está destinado a la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación de
derivadas” de 1º de Bachillerato de Ciencias Naturales. Se pretende que los alumnos
comprendan mejor los conceptos del tema haciendo uso de actividades relacionadas
con la vida real e interpretando los resultados que obtengan.
Consiste en introducir a los alumnos ciertos contenidos de la unidad, y que por
grupos realicen actividades, con ayuda del programa informático GeoGebra en algunos
casos, para lograr una comprensión más profunda y además descubrir nuevos
conceptos.
Se presentarán a los alumnos una serie de actividades que deberán resolver por
grupos. Mediante la realización de dichas actividades los alumnos podrán extraer
conclusiones que les ayuden a comprender y descubrir los conceptos de la unidad
didáctica. Una vez finalizada la actividad, los grupos deberán entregar un dossier con las
actividades desarrolladas y conclusiones.
47
TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
Se formarán cinco grupos de dos personas cada uno. Ya que los alumnos de esta
clase componen un grupo bastante homogéneo, todos los alumnos llevan un ritmo de
aprendizaje similar y provienen de diversas localidades, se les deja total libertad en la
composición de los grupos. Es importante que los grupos sean pequeños para que todos
los alumnos trabajen. En este caso al ser una clase tan reducida los grupos están
formados por dos personas, pero en un aula con mayor número de estudiantes se podría
adaptar a grupos de 3 ó 4 personas.
El proyecto consiste en la realización de tres actividades:
La primera actividad consiste en que cada grupo realice fotografías en las
que puedan verse reflejadas funciones, las lleven a clase y allí se haga un
análisis completo de ellas.
La segunda actividad consiste en que cada grupo lleve a clase recortes de
periódicos o papeles impresos de periódicos digitales en los que
aparezcan datos sobre el paro en el último año. Con esta actividad se
pretende que los alumnos lleguen a darse cuenta de que con las
preguntas que se están haciendo, están viendo la Tasa de Variación
Media y la Tasa de Variación Instantánea.
La tercera actividad consiste en realizar unas cajas recortando cuadrados
en las esquinas de unas láminas de plástico duro tamaño DIN-A4 que el
profesor entregará. Mediante pruebas los alumnos deberán hacer una
estimación de los centímetros de los cuadrados que se deben cortar para
que la capacidad de la caja obtenida sea la mayor posible. También
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
deberán dar una solución algebraica y otra mediante GeoGebra. Las
soluciones obtenidas se deberán comparar entre sí.
Los alumnos dispondrán de horas de clase para trabajar sobre ello. También
deberán trabajar en casa buscando información y terminando lo que no les dé tiempo a
realizar en clase.
La entrega del dossier con las actividades se deberá realizar el día del examen.
4.5. TEMPORALIZACIÓN
Este proyecto se encuadrará dentro de la unidad didáctica “Derivadas. Aplicación
de derivadas” que constará de 12 sesiones en total tal y como hemos visto el apartados
anteriores. A continuación se detalla la incidencia del trabajo de innovación en la unidad:
Sesión 1:
En la primera sesión se les explicará a los alumnos que se van a realizar
una serie de actividades a lo largo de la unidad por parejas, por tanto
deberán formarlas a su gusto.
Se pide a los grupos que deben realizar fotos sobre paisajes, atracciones
de parques temáticos, elementos de la naturaleza, objetos de su hogar,
etc, en las que puedan verse reflejadas funciones.
También deberán hacer una búsqueda por periódicos (tanto nacionales
como regionales) sobre los datos del paro en el último año. Deberán traer
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TRABAJO FIN DE MÁSTER Master en profesorado Universidad de La Rioja Luisa Quesada Barrioseta
los recortes del periódico en papel o un papel impreso en el caso de que
la búsqueda haya sido en el periódico digital.
Sesión 2:
En una segunda sesión se realizará la actividad de las fotografías. Dicha
actividad consistirá en que cada grupo elija dos de sus fotografías
explicando el porqué de su elección y analizando las características que
observen. Como es muy probable que alguna de las fotografías refleje
edificios o elementos arquitectónicos, se les preguntará a los alumnos
acerca de las características de los mismos (estilo, época,…).
Más adelante deberán encontrar una función que se asemeje a dichas
características y la representen mediante el GeoGebra.
Sesión 3:
En una tercera sesión se realizará la actividad del periódico. Cada grupo
expondrá su recorte con los datos del paro que haya buscado.
Los alumnos deberán hacerse preguntas acerca de qué les sugieren los
datos que observan. Se realizará un debate entre cada grupos analizando
los datos. Las preguntas sobre las que más pueden discutir son:
• ¿Cuál ha sido la variación del paro en total?
• ¿Cuándo fue mayor la disminución del paro? ¿Por qué crees que
ha ocurrido? ¿Con que acontecimiento coincide? Con esta
pregunta pueden sacar conclusiones diferentes dependiendo de
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la región escogida como pueden ser época de vacaciones,
vendimias, ferias, etc.
• ¿Cuál es la variación media total?
• ¿Cuál fue el peor mes para el desempleo? ¿Por qué crees que ha
ocurrido?
Finalmente cada grupo expondrá sus conclusiones acerca de los
resultados obtenidos y se abrirá un debate que permitirá llegar a nuevas
hipótesis y enriquecerá la actividad.
Sesión 4:
En una cuarta sesión se realizará la actividad de la caja.
Dispondrán de láminas de plástico duro de tamaño DIN-A4 que el
profesor entregará a cada grupo. Con las mismas se pretende construir
cajas realizando cortes cuadrados en las esquinas y doblando las solapas
que se generan. Se pide que la capacidad de la caja sea la mayor posible,
¿Cuántos cm deberán cortar en cada esquina para conseguirlo?
a) Una vez tenga cada grupo las cajas formadas, sin realizar ningún
cálculo previo y solamente usando la intuición deberán:
• Estimar cuál debe ser el tamaño de los cortes
• Comprobar con agua qué cantidad le cabe a cada una de las cajas
• Dar una solución aproximada
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b) A continuación deberán resolver el problema algebraicamente.
c) Con ayuda del GeoGebra deberán representar gráficamente el
problema anterior y extraer las conclusiones que se desprendan del
dibujo generado.
d) Por último se compararán los resultados obtenidos en cada apartado.
Como esta actividad no dará tiempo a realizarla completamente, se
deberá terminar en casa.
Sesión 5:
El día del examen cada grupo entregará un dossier que contenga el
desarrollo de cada actividad.
4.6. EVALUACIÓN
Criterios de evaluación:
La evaluación del proyecto tendrá en cuenta lo siguiente:
La creatividad de las soluciones aportadas
La calidad de los resultados obtenidos
La presentación del trabajo
La actitud diaria durante el desarrollo del trabajo
La participación en clase
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Criterios de calificación:
El peso que tiene el proyecto de innovación sobre la nota final de la unidad
didáctica correspondiente es del 30%.
El proyecto se calificará del siguiente modo:
Un 70% de la nota corresponderá a las soluciones de las actividades
aportadas por los grupos. Se tendrán en cuenta diversos aspectos como
son la presentación del dossier y que las soluciones presentadas sean
correctas, originales e imaginativas).
Se valorará con un 20% la participación en clase y las habilidades
comunicativas de los alumnos.
El 10% restante corresponderá a la valoración que haga el profesor acerca
de la actitud individual de cada alumno frente al proyecto y la correcta
colaboración interna de cada grupo.
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4.7. MATERIALES
Los materiales necesarios para la realización del proyecto son:
Cámara de fotos ó teléfono móvil que realice fotografías.
Equipos informáticos con conexión a internet.
GeoGebra.
Láminas de plástico duro tamaño DIN-A4.
Botellas de agua.
Periódicos.
Impresora.
4.8. CONCLUSIONES
Llevando a cabo este proyecto de innovación, se cumplen los objetivos descritos
anteriormente. Logramos que los alumnos profundicen y amplíen sus conocimientos
acerca de la unidad didáctica utilizando métodos novedosos e innovadores.
Mediante la realización de este proyecto conseguimos centrar el foco del
aprendizaje en la figura del alumno. Son ellos los que deben extraer conclusiones de las
actividades propuestas y en algunos casos relacionar conceptos matemáticos con las
conclusiones obtenidas a partir de la realización de las actividades. De esta forma
conseguimos aumentar la autoestima del alumno y afianzar más profundamente las
nociones extraídas.
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Al introducir cambios en la rutina de las clases, tales como trabajar con ejemplos
sacados de la vida real o utilizar herramientas informáticas, conseguimos captar la
atención de los alumnos y que aumente su motivación en la asignatura de matemáticas.
Otra medida que hemos tomado para aumentar la motivación de los alumnos
consiste en que realicen las actividades formando equipos de trabajo. El trabajo en
grupo es fundamental ya que fomenta la mejora de las habilidades comunicativas y
sociales de los alumnos.
Hemos de destacar que la implementación del aprendizaje por proyectos en una
unidad didáctica requiere mucho trabajo y tiempo por parte del profesor. Se ve limitado
por la densidad del currículo académico.
Uno de los problemas que se debe controlar es la posibilidad de que dentro de
los grupos puede haber alumnos que se aprovechen del trabajo de sus compañeros, el
profesor debe ser consciente de este hecho y controlar la evolución del trabajo y la
aportación que cada miembro hace al grupo.
Dentro del currículo de las matemáticas, encontramos unidades didácticas a las
que se podría adaptar un proyecto con estas características y considero que puede
resultar muy beneficioso para los alumnos.
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5. REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA
Ley Orgánica 2/2006 de 3 de Mayo, de Educación (LOE).
Decreto 5/2011, de 28 de enero, por el que se aprueba el Reglamento
Orgánico de los Institutos de Educación Secundaria en la Comunidad
Autónoma de La Rioja.
Apuntes de las asignaturas cursadas en el máster.
Hidalgo.S; Maroto.A; Palacios.A. “¿Por qué se rechazan las
matemáticas? Análisis evolutivo y multivariante de actitudes relevantes
hacia las matemáticas”. Revista Educación, nº334 (2004).
Ormrod, J. E., Educational Psychology: Developing Learners, Fourth
Edition. 2003, p. 227.
Proyecto Educativo del Centro (PEC) del centro IES Francisco Tomás Y
Valiente.
Reglamento de Organización y Funcionamiento (ROF) del centro IES
Francisco Tomás y Valiente.
Programación General Anual (PGA) del centro IES Francisco Tomás Y
Valiente.
Programación General Anual de la especialidad de Matemáticas del
centro IES Francisco Tomás Y Valiente.
Proyecto Algaida. MATEMÁTICAS 3º E.S.O. Editorial: Bruño.
Mª José Ruiz y otros. MATEMÁTICAS 1. Editorial: EDITEX.
Proyecto Algaida. MATEMÁTICAS 1º E.S.O. Editorial: Bruño.
www.iestomasyvaliente.edurioja.org
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www.brunodigital.es
www.cidead.es
www.recursostic.educacion.es/descartes/web
www.santillana.es/recursos.html
www.educarioja.org/educarioja
www.vitutor.com
www.e-ducativa.catedu.es
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6. ANEXOS
Anexo I: Resumen Derivadas
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Anexo II: Hojas de actividades de desarrollo y aprendizaje de derivadas
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Anexo III: Actividades de refuerzo de derivadas
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Anexo IV: Actividades de ampliación de derivadas
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Anexo V: Examen de derivadas
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