UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN FRANCISCO TEMA: DERIVADAS PARCIALESAO DE LA PROMOCIN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMTICOUNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN FRANCISCOCARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA

ASIGNATURA:

TEMA: DERIVADAS PARCIALESAUTOR: CLEVER APAZA APAZASEMESTRE: III

CICLO ACADEMICO: 2014-II

AREQUIPA-PER2014

DEDICATORIA

Sublimidad, vida; no existe ms palabras de condecoro para nuestros padres, y por supuesto a los motores y bienes cados del cielo nuestros amigos, y a su digna persona como forjador de los siguientes grandes hombres de derecho

INDICE

DEDICATORIA2INDICE4RESUMEN:5DERIVADAS PARCIALES7DEFINICION (DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES).7INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES8DERIVADA PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.8TEOREMA 13(IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS)9DEFINICIN FORMAL DE DERIVADA PARCIAL10REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES10REGLA DE LA CADENA PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE10REGLA DE LA CADENA PARA DOS VARIABLES INDEPENDIENTES11REGLA DE LA CADENA PARA VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES12TEOREMA DE SCHWARTZ13TEOREMA DE CLAIRAUT14BIBLIOGRAFA16

RESUMEN:

Las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.Ejemplo: si existe F (y), entonces la derivada parcial sera la derivada parcial respecto de x y tambin la derivada parcial respecto de y. Si existieran ms variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el nmero de variables que existan en la funcin.Si, las primerasderivadas parcialesderespecto de x e y son las funcionesdefinidas como

Siempre que el lmite existe.

DemostracinRecordemos que la derivada de una funcin de una variable se define como:

Ahora como tenemos la funcinlo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una constante, de esta manera analizamos el cambio en la funcin con respecto solo al cambio de una de sus variables.Entonces hacemosaqu lo que hicimos fue fijar el valor de, y al hacer esto tenemos una funcinque depende slo de.Derivamos la funcin

Comoentoncesy cambiamos la expresin anterior,

Entonces tenemos que la derivada de la funcincuando fijamosy cambiamoses, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la funcin con respecto al eje x)

DERIVADAS PARCIALESEnmatemtica, unaderivada parcialde unafuncinde diversas variables, es suderivadarespecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son tiles enclculo vectorialygeometra diferencial.La derivada parcial de una funcinfrespecto a la variablexse representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Dondees la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.Cuando una magnitudes funcin de diversasvariables(,,,), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresin que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha funcinen un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incgnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.Analticamente elgradientede una funcin es la mxima pendiente de dicha funcin en la direccin que se elija. Mientras visto desde el lgebra lineal, la direccin del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variacin en la funcin.

DEFINICION (DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES).Comment by INTEL:

Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto aLas variables x e y son las funciones definidas como:

Siempre y cuando el lmite exista.Observacin. La definicin indica que para calcular se considera y constante derivando con respecto a x y para calcular se considera x constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglasUsuales de derivacin.Ejemplo 1.1. 1. Calcular las derivadas parciales de f(x, y) = yx2 +3x3y4.2. Dada f(x, y) = xex2y hallar fx, fy y evaluarlas en (1, ln(2)).INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Si y = y0 entonces z = f(x, y0) representa la curva interseccin de laSuperficie z = f(x, y) con el plano y = y0. Por tanto

Fx (x0, y0) = pendiente de la curva interseccin en (x0, y0, f(x0, y0)).Anlogamente, f(x0, y) es la curva interseccin de

Y entoncesfy(x0, y0) = pendiente de la curva interseccin en (x0, y0, f(x0, y0))Diremos que los valores (x0, y0), (x0, y0) denotan las pendientes de la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente.

DERIVADA PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

Una funcin de dos variables z=(x,) da lugar a dos derivadas parciales o derivadas primeras. Estas a su vez funciones de dos variables que puede ser derivadas nuevamente para dar lugar a las cuatro derivadas segundas:1. Derivada segunda respecto de x dos veces

2. Derivada segundo primero respecto de X y despus respecto a Y

3. Derivada segundo primero respecto de Y y despus respecto a X

4. Derivada segunda respecto de Y dos veces

Las derivadas fyx y fxy se llama derivadas cruzadas .frecuentemente, estas derivadas son iguales como indica el teorema.TEOREMA 13(IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS)

Si f(x, y) una funcin real de dos variables tal que f, fx, fy, fyx, fxy son continuas en un abierto R. entonces.

Las cuatro derivadas segundas dan lugar a ocho derivadas terceras, estas a diecisis derivadas cuartas y as sucesivamente.TEOREMA 1.1 (IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS).

SiF(x, y) es tal que fxy y fyx existen y son continuas en un disco abierto DEntonces:

DIFERENCIACIN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLESPara una funcin de una variable f(x) se define la derivada como

Esto quiere decir que para h pequeo

Y por tanto la recta tangente es una buena aproximacin de la funcin fCerca del punto a.

DEFINICIN FORMAL DE DERIVADA PARCIALLa definicin formal de derivada parcial sigue siendo el clculo de un lmite, como la derivada de una funcin de una variable.SeaUun subconjunto abierto deRny una funcinf:UR. Definimos la derivada parcial defen el puntopU,p=p1,..., pn, respecto la variablexicomo

REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

La regla de la cadena para funciones de una variable establece que si y=f(x) y x= (t) entonces

REGLA DE LA CADENA PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Sea z=f(x, y) una funcin diferenciable, que depende de dos variables x e y que a su vez dependen de otra variable t, a travs de las ecuaciones:X=f (t)Y=f (t)Llamadas intermedias o auxiliares. De esta forma la derivada de z con respecto a t, tendr expresin:

Esta expresin tambin se puede escribir con la otra notacin, quedando

Para facilitar la compresin de la expresin anterior, estableceremos un diagrama de dependencia, que puede variar en funcin del enunciado del problema en este caso ser:

La explicacin ala diagrama es la siguiente:Se parte de la funcin z, cuya dependencia de las variables auxiliares x e y, se establecen mediante dos vectores. A Continuacin de cada variable x e y se vuelve a establecer la correspondiente dependencia de la variable final t, a travs de otros dos vectores de forma que cada vector representa de un tipo de derivada, con el siguiente criterio1. Si de una variable o funcin , en este caso la z, parten dos vectores , las derivadas correspondientes son parciales , en este caso las derivadas son zx y zy2. Si de una variable o funcin en este caso la x o la y , parte de un solo vector , las derivadas correspondientes son en este caso:

REGLA DE LA CADENA PARA DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

Sea z=f(x, y) una funcin diferenciable, que depende de dos variables x e y que a su vez dependen de otros dos variables u y v, a travs de las ecuaciones

Al igual que en casos contrarios, las llamaremos intermedias o auxiliares En este caso la diferencia, es que las variables auxiliares en vez de depender de una sola variables t, lo hacen de dos variables, la u y v, de forma que una vez establecido el siguiente diagrama de dependencia de las variables

Las frmulas de las derivadas que se piden esto son, zu y zv

Con la otra notacin se escribe

REGLA DE LA CADENA PARA VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES

Llegados a este punto, cualquier combinacin de las relaciones entre variables, puede ser reflejado en el diagrama de dependencia de las derivadas sin ninguna dificultad, solo habr que fijarse en el enunciado para establecer el diagrama de dependencia de las variables del que, a su vez se estableceran las correspondientes formulas.Ejemplo:Hallar las derivadas parciales de zx y zy de la funcin de dos variables, resuelta de un problema anterior, utilizamos la derivacin logartmica

En primer lugar, prepararemos la funcin

A continuacin aplicaremos logaritmos neperianos

Despus derivamos respecto a x:

Despejando zx y sustituyendo z, se tendr

Derivando respecto a y, quedara

Despejando zy y sustituyendo z, , se tendr:

TEOREMA DE SCHWARTZ

Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de nVariables. As, por ejemplo, una funcin f(x1, x2, . . . , xn) tiene derivadas parciales en cada punto (x1, x2,. . . , xn) Rn, que denotamos por:

Y tiene n2 derivadas parciales de segundo orden, quede notamos por:

El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertas condiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden:

TEOREMA DE CLAIRAUT

Sies una funcin definida en el dominio D y si&son continuas, entoncesEJEMPLO:

Demostrar queSiendoSon iguales.

CONCLUSIN

Cuando trabajamos con funciones de varias variables, o sea, que dependen de ms de una variable, y queremos encontrar la razn de cambio de esta magnitud (funcin) con respecto a una de sus variables acudimos a la DERIVACIN PARCIAL.Cuando estamos con funciones de una variable f(x) definimos la derivada como un lmite de las secantes, o sea, como el lmite del cociente incremental: [f(x+h)-f(x)]/h cuando h->0...En varias variables, definimos la derivada parcial de una manera parecida, si f=f(x1, x2,...xn) definimos la derivada parcial con respecto a la variable i-sima xi como el limite cuando h->0 del cociente incremental [f(x1, x2,...xi + h,...xn)-f(x1, x2,..Xi,..Xn)]/h.Como regla de clculo, se trata de derivar con respecto a la variable xi que te digan considerando las dems xj como CONSTANTES.

BIBLIOGRAFA

F.Treves, Basic linear Partial Differential Equations, Academic Press, 1975. [25] Tijonov, A. Samarsky, A., Ecuaciones de la Fsica Matemtica, Ed. Mir, 1983. [26] Widder, D.V., the Heat Equation, Academic Press, 1975. www.wikipedia.com Introduccin al anlisis matemtico II Escrito por Jos Manuel Casteleiro www.monografias.com Matemticas con Derive, By Luis Manuel Snchez Ruiz, La Derivada Parcial Es Fcil Manual Autodidactico

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