MATEMÁTICAS I UNIDAD 11. DERIVADAS. APLICACIONES

IES VIRGEN DE LA VICTORIA Curso 2013-2014 Página 1 de 4

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

1. Calcula la tasa de variación media de la función dada por la siguiente gráfica en los intervalos: [ ]0,2− , [ ]2,0 y [ ]5,2 .

Sol: 1; 2/3− ; 3/1

2. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervalo que se indica.

Sol: 19/1 ; 182,0 ; 4/1 ; hx2 + ; 2ln ; 1−

3. Si una función tiene una tasa de variación media negativa en un determinado intervalo, ¿puede afirmarse que la función es decreciente en dicho intervalo? Razona la respuesta. 4. Sea la función ( )xf dada por su gráfica:

a) Halla la derivada de ( )xf en los puntos de abscisa 3x −= , 0x = y 4x = . b) ¿Para qué valores de x la derivada de ( )xf es positiva? ¿Y negativa? ¿Y cero? 5. A partir de la definición de derivada, halla la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican.

6. A partir de la definición de derivada, halla la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican.

7. Estudia la derivabilidad de la siguiente función en 0x = .

8. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones.

9. Aplicando la definición, calcula la derivada de las siguientes funciones.

10. Calcula la derivada de las siguientes funciones.

MATEMÁTICAS I UNIDAD 11. DERIVADAS. APLICACIONES

IES VIRGEN DE LA VICTORIA Curso 2013-2014 Página 2 de 4

11. Calcula la derivada de las siguientes funciones.

12. Calcula la derivada de las siguientes funciones.

13. Halla los puntos en los que la derivada de cada una de las siguientes funciones es igual a 2.

Sol: ( )0,2 ; ( )1,1−− , ( )3,3− ; ( )4,2− ; ( )2ln,4/3

14. Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva de la función ( )1x3

x3xf

−= en el punto de abscisa 1x = .

Sol: 4/3m −=

15. Dada la función ( ) 1axx3xxf 23 ++−= , calcula el valor de a para que la pendiente de la recta tangente en 1x = sea 2/5− . Sol: 2/1a =

16. La tangente a la curva de una función ( )xf en el punto ( )3,2 pasa también por el punto ( )0,1− . ¿Cuánto vale ( )2f′ ? Sol: ( ) 12f =′

17. Calcula la expresión analítica de una función polinómica de segundo grado del tipo cbxxy 2 ++= sabiendo que pasa por el punto ( )3,1 y que en el punto de abscisa 2x = su tangente tiene pendiente igual a 1.

Sol: 5x3xy 2 +−= 18. Calcula la expresión analítica de una función polinómica de segundo grado sabiendo que es tangente a la recta 1xy +−= en el punto ( )0,1− y que corta al eje de ordenadas en 3y = .

Sol: 3x5x2y 2 +−=

19. Determina los puntos en los que la recta tangente a la curva de la función ( ) xx3xf 2 −= en 2x −= corta a los ejes de coordenadas. Sol: ( )12,0 − , ( )0,13/12−

20. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de la función ( ) 2x3xxf 2 −+−= en el punto de abscisa 3x = . Sol: 7x3y +−=

21. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de la función ( ) x2xf += en el punto de abscisa 4/3x = .

Sol: ( ) ( )4/32x3/3y ++=

MATEMÁTICAS I UNIDAD 11. DERIVADAS. APLICACIONES

IES VIRGEN DE LA VICTORIA Curso 2013-2014 Página 3 de 4

22. Sea la función ( ) 2x2x3xxf 23 ++−= . a) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de la función ( )xf en el punto de abscisa 3x = . b) ¿Existe alguna otra recta tangente a la curva de ( )xf que sea paralela a la hallada? En caso afirmativo, calcula su ecuación. Sol: 25x11y −= ; 7x11y += 23. La ecuación de la recta tangente a la curva de una función ( )xf en 2x = es 01y3x4 =+− . ¿Cuál es el valor de ( )2f′ ? ¿Y el de ( )2f ? Sol: 3/4 ; 3 24. Dada la función:

( )

≥+

<++=

1xsi1bx

1xsiax2x2xf

2

3

a) Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función sea continua y derivable en 1x = . b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de ( )xf en 1x = . Sol: 1a = , 4b = ; 03yx8 =−−

25. Determina el punto de la gráfica de la función ( ) 5x6xxf 2 +−= en el que la tangente es paralela a la recta 02yx3 =+− . Sol: ( )4/7,2/9 −

26. Determina los puntos de tangente horizontal de la función ( ) 234 x3x2x3xf −+= . Sol: ( )0,0 , ( )2,1−− , ( )16/5,2/1 −

27. Determina los puntos en los que la recta tangente a la curva de la función ( ) xx

4xf

2+= cumple que:

a) Es horizontal. b) Es paralela a la recta de ecuación 3x2y += . Sol: ( )3,2 ; ( )1,2 −− 28. Determina las abscisas de los puntos en los que la recta tangente a la curva de la función ( ) xlnxxf ⋅= cumple que: a) Es horizontal. b) Forma un ángulo de 45º con el eje X en sentido positivo. Sol: e/1x = ; 1x =

29. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de la función ( ) x26xxf 3 +−= que sean paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante. Sol: 54xy +−= ; 54xy −−=

30. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de la función ( )1x

x2xf

−= que sean paralelas a la recta 5x2y +−= .

Sol: x2y −= ; 8x2y +−=

31. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de la función ( ) x2xxf −= que sean paralelas a la recta 02y2x3 =++ . Sol: 01y2x3 =−+

32. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de la función ( ) 2x3xxxf 23 +−+= en los puntos de intersección con la recta 3x2y +−= . Sol: 1x2y −= ; 7x2y +−=

33. Averigua en qué otro punto corta a la curva de ( ) 1xxxf 3 +−= la tangente a ( )xf en 1x = . Sol: ( )5,2 −−

34. ¿Es tangente la recta 5xy += a la curva de la función ( ) 2x3xxf 4 +−= ? Razona la respuesta.

35. Halla el valor de c para que la tangente a la gráfica de la función cx5xy 2 +−= en 1x = pase por el origen de coordenadas. Sol: 1c = 36. Sean las siguientes funciones. Para cada una de ellas:

a) Calcula los puntos singulares. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Indica si los puntos singulares hallados en el apartado a) son máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión. 37. Calcula la expresión analítica de una función polinómica de segundo grado del tipo cbxxy 2 ++= sabiendo que tiene un extremo relativo en el punto ( )4,1−− .

Sol: 3x2xy 2 −+=

MATEMÁTICAS I UNIDAD 11. DERIVADAS. APLICACIONES

IES VIRGEN DE LA VICTORIA Curso 2013-2014 Página 4 de 4

38. La gráfica de la función ( ) cbxaxxf 3 ++= pasa por el punto ( )0,0 y tiene un mínimo relativo en el punto ( )1,1− . Calcula los coeficientes a, b y c. Sol: 2/1a = , 2/3b −= , 0c = 39. Sean las siguientes funciones. Para cada una de ellas:

a) Calcula los puntos singulares. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Indica si los puntos singulares hallados en el apartado a) son máximos relativos, mínimos relativos o puntos de inflexión. 40. Razona cuáles de las siguientes gráficas se corresponden con la derivada de una función que tiene un máximo relativo en el punto de abscisa ax = .

41. Razona cuáles de las siguientes gráficas se corresponden con la derivada de una función creciente en el intervalo [ ]b,a .

42. Razona cuál de las siguientes gráficas se corresponde con una función y su derivada.

43. Sea una función ( )xf cuya derivada ( )xf′ tiene la gráfica de la figura.

a) ¿Tiene ( )xf algún punto de tangente horizontal? Razona la respuesta. b) Indica de manera razonada los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ( )xf . 44. Dada una función ( )xf , sabemos que ( ) 01f =−′ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Razona la respuesta. a) La función ( )xf tiene un máximo o mínimo relativo en 1x −= . b) La recta tangente a la curva de ( )xf en 1x −= es horizontal. c) La función ( )xf pasa por el punto ( )0,1− . 45. Representa de manera aproximada una función ( )xf y su derivada ( )xf′ , sabiendo que cumplen que: ( ) 02f =−′ , ( ) 01f =′ , ( ) 32f =− , ( ) 11f −= , ( ) 0xf >′ en 2x −< y 1x > , y ( ) 0xf <′ en 1x2 <<− .

46. Haz un estudio completo de las siguientes funciones polinómicas y represéntalas gráficamente.

47. Haz un estudio completo de las siguientes funciones racionales y represéntalas gráficamente.