“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo de investigación se pretende realizar un enfoque de la teoría de juegos con el fin de conocer a fondo cuál es su ciencia, desde su origen y que es exactamente, por otro lado, a través de esta investigación deberemos conocer cuáles son las aplicaciones de la teoría de juegos y sus aplicaciones, es decir, en qué áreas es aplicable la teoría de juegos con ejemplos muy prácticos.

La Teoría de Juegos se desarrolló con el simple hecho de que un individuo se relacione con otro u otros. Hoy en día se enfrenta cotidianamente a esta teoría, en cualquier momento. Para el hombre la importancia que representa la Teoría de Juegos es evidente, pues a diario se enfrenta a múltiples situaciones que son juegos.

Actualmente la Teoría de Juegos se ocupa sobre todo de que ocurre cuando los hombres se relacionan de forma racional, es decir, cuando los individuos se interrelacionan utilizando el raciocinio. Sin embargo, la Teoría de Juegos tiene todas las respuestas a los todos problemas del mundo.

El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el desarrollo de teorías y modelos matemáticos. La estadística es una rama de las matemáticas que surgió precisamente de los cálculos para diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acunados por la estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios.Pero la Teoría de Juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas.

La Teoría de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostrado una gran versatilidad en la resolución de problemas. Muchos campos de laEconomía (Equilibrio General, Distribución de Costos, etc.), se han visto beneficiados por las aportaciones de este método de análisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera formulación el número de científicos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no son solo economistas y matemáticos sino sociólogos, biólogos o psicólogos.Existen también aplicaciones jurídicas: asignación de responsabilidades, adopción de decisiones de pleitear o conciliación, etc.

1

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

¿QUÉ ES LA TEORÍA DE JUEGOS?

La Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se les va muy bien al pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues generalmente la solución es la lógica a la inversa.En la Teoría de Juegos la intuición no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales.

ORIGEN DE LA TEORÍA DE JUEGOS

La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern, y descriptas en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya había puesto los fundamentos en el artículo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareció el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendió cuán potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas.Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo.Von Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llama estrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una pérdida correspondiente para el otro jugador. El ajedrez, el backgammon y por qué son juegos tratados habitualmente como juegos de suma cero.En el segundo de ellos desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores.Puesto que éste es un problema mucho más difícil, no es de sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann abandono todo intento de especificar estrategias óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propuso clasificar los modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas racionales.

2

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

LA MATRIZ DE PAGOS

La Teoría de Juegos estudia una gran parte de juegos bipersonales por medio del análisis matricial. El análisis matricial corresponde a la expresión, mediante matrices, de las situaciones que pueden ser generadas por las alternativas de decisión y acción de dos jugadores. El análisis matricial recurre a la forma llamada “Matriz de Pagos” (en inglés, Pay-Off Matrix) la cual presentará las diversas opciones de decisión y acción de cada jugador y las resultantes situaciones particulares. En efecto, la intersección o combinación de la alternativa elegida por un jugador y la alternativa elegida por otro crea un único punto, de coordenadas (decisión del jugador A, decisión del jugador B).La situación particular definida por ese punto tiene un valor, que es la combinación de premios obtenida por los dos jugadores. A cada jugador le corresponde un premio (cuando el premio tiene valor negativo, se convierte en un castigo). En los juegos suma cero, el premio de un jugador es exactamente igual al castigo del otro. Se trata de “decidir entre yo y mi rival”.

MATRIZ DE SUMA CERO

Considérese el siguiente juego suma cero:

“Dos empresas llamadas A y B compiten por entrar en un nuevo mercado de refrescos.Tanto A como B deben decidir entre dos acciones, las que son (1) no entrar en el mercado de refrescos, y (2) entrar en el mercado de refrescos. Si A y B deciden entrar simultáneamente, las ventajas competitivas de la empresa A le darán todo el mercado e incluso se beneficiará de las inversiones publicitarias de B. A gana 9 millones de dólares, mientras que B pierde esa misma cantidad. Si A decide entrar, pero B no, entonces A se queda con el mercado, pero no pudiendo aprovechar todas las inversiones de B, sólo gana 3 millones de dólares. B pierde un moto parcial de su inversión, correspondiente también a 3 millones de dólares. Si B decide entrar, pero A no, B se queda con todo el mercado, que la da una ganancia de cuatro millones de dólares. A pierde una inversión parcial por ese mismo monto. Pero si ni A ni B deciden entrar en el mercado, ninguno de los dos gana o pierde.”Así expuesto el caso, el análisis de él puede volverse un poco engorroso. Veamos cuál sería la expresión matricial del caso:

B decide 1 B decide 2

A decide 1

0 3

A decide -4 9

3

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

2

Todo lo expresado en el párrafo se ha reducido a una forma matricial sencilla. Las formas matriciales deben ser analizadas por medio de diversas técnicas, como la dominancia de opciones, la historia de las características de rival o la minimización del riesgo.

ESTRATEGIAS MAXIMIN Y MINIMAX

El enfoque conservador a la lección de la mejor estrategia es suponer lo peor y actuar de conformidad con ello. Así según este enfoque y con referencia en la matriz de pagos. Si A decide sobre la estrategia a1, supondría que B escogerá la estrategia b2, reduciendo con ello el pago a1 para A aun valor mínimo o de seguridad de –11. Análogamente, los valores de seguridad para a2 y a3 son –8 y –3, respectivamente.

Obsérvese que los valores de seguridad para los distintos movimientos que puede hacer A son los mínimos de filas. Dados estos valores mínimos, hará bien en emplear aquella estrategia que da el máximo de estos valores de seguridad mínimos. En el ejemplo A debe adoptar a2 y aspira a un pago de –8 a B. Esta regla de decisión, que conduce a la elección del mayor de los valores mínimos en que puede resultar cada estrategia, se llama estrategia maximin.La compañía B, según esta actitud conservadora, supondría que por cada una de sus acciones, la respuesta de A será tal que la ganancia de A en parte del mercado es la máxima posible. Por ejemplo, si B emplea la estrategia b1, supondría que A adoptara la estrategia a3, la cual dará la peor perdida posible para B. Análogamente, los peores pagos para b2 y b3 son –8 y –1, los máximos valores en las columnas 2 y 3, respectivamente. Así, vemos que el máximo en cada columna es el peor pago por un movimiento correspondiente hecho por B. El mejor de estos peores pagos es claramente el valor mínimo de estas cifras más altas. Esta cifra –8 en la columna 2, correspondiente a la estrategia b2 y el movimiento contrario a2. Por tanto, la emisión optima, llamada estrategia minimax de B, es b2.Se puede observar según la regla maximin de A y la regla minimax de B el pago es –8. Esta cantidad se llama valor del juego es positivo, se dice que el juego es a favor de A: si negativo, favorece a B; y si cero, se dice que el juego es equitativo. La solución de nuestro problema da un pago de –8, que indica que el juego favorece a B porque B gana 8 por 100 del mercado a expensas de A.

4

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS

Siempre que un juego no tenga punto silla, la teoría de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidad sobre su conjunto de estrategias.Para expresar esto matemáticamente, sea

Xi = probabilidad de que el jugador I use la estrategia iYj = probabilidad de que el jugador II use la estrategia j

Donde (i = 1,2,..., m) y donde (j = 1,2,..., n)

Donde m y n son el número de estrategia disponible. Así, el jugador I, especificara su plan de juego asignando valores a X1, X2,..., Xm. Como estos valores son probabilidades, tendrán que ser no negativos y sumar 1. De igual manera, el plan para el jugador II se describe mediante los valores que asigne a sus variables de decisión Y1, Y2,..., Yn. Por lo general se hace referencia a estos planes (X1, X2,..., Xm) y (Y1, Y2,... Yn) con el nombre de estrategias mixtas, y entonces las estrategias originales se llaman estrategias puras.En el momento de jugar, es necesario que cada participante use una de sus estrategias puras, pero esta estrategia pura se elegirá mediante algún dispositivo aleatorio para obtener una observación aleatoria que siga la distribución de probabilidad especificada por la estrategia mixta; esta observación indicara la estrategia pura que se debe usar.A manera de ilustración, supóngase que los jugadores I y II en la variación 3 del problema de la campaña política eligen las estrategias mixtas (X1, X2, X3) = (½, ½, 0) y (Y1, Y2, Y3) = (0, ½, ½), respectivamente. Esta selección indica que el jugador I está dando igual oportunidad (probabilidad ½) de elegir las estrategias puras 1 o 2, pero que está descartando por completo la estrategia 3. De manera análoga, el jugador II está eligiendo al azar entre sus dos últimas estrategias puras. Para llevar a cabo la jugada, cada jugador podría tirar una moneda al aire para determinar cuál de sus dos estrategias aceptables usara.Aunque no se cuenta con una medida de desempeño satisfactoria para evaluar las estrategias mixtas, la matriz de pago es una herramienta útil. Al aplicar la definición de valor esperado de la teoría de probabilidad, esta cantidad es

Pago Esperado = __ PijXiYj

Investigación Operativa Conferencia 2002 Teoría de Juegos Contreras Fernando, Noli Aldo, Peralta Gabriel, Sandmann Fernando, Simunic Mariano

5

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

En donde pij es el pago si el jugador I usa la estrategia pura i y el jugador II usa la estrategia pura j. En el ejemplo de estrategias mixtas que se acaba de dar existen cuatro pagos posibles (-2, 2, 4, 3), en donde cada uno ocurre con una probabilidad de 1/4 , el pago esperado es ¼ (-2 + 2 + 4 + 3) = ¼. Así esta medida de desempeño no revela nada sobre los riesgos inherentes al juego, pero indica a qué cantidad tiende el pago promedio si el juego se efectuara muchas veces.Al usar esta medida, la teoría de juegos puede extender el concepto del criterio minimax a juegos que no tienen punto silla y que, por tanto, necesitan estrategias mixtas. En este contexto, el criterio minimax dice que un jugador debe elegir la estrategia mixta que minimice la máxima perdida esperada para sí mismo. Si se analizan los pagos (jugador 1) en lugar de las perdidas (jugador 2), este criterio es maximin, es decir, maximizar el pago esperado minimo para el jugador. Así, la estrategia mixta para el jugador 1 que, de acuerdo con este criterio, es óptima y es la que proporciona la garantía que es la mejor. (el valor de esta mejor garantía es el valor maximin)Recuérdese que cuando solo se utilizan estrategias puras, resulta que los juegos que no tienen punto silla son inestables. La razón esencial es que el valor maximin es menor que el valor minimax, por lo que los jugadores quieren cambiar sus estrategias para mejorar su posición. De manera parecida, en los juegos con estrategias mixtas es necesario que el valor maximin sea igual al valor minimax para que la solución óptima sea estable.Según el teorema minimax de la teoría de juegos esta condición siempre se cumple para estos juegos.

EL DILEMA DEL PRISIONERO

Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo del banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas. Solo tiene pruebas y puede culparles de un delito menor, tenencia ilicita de armas, cuyo castigo es de dos años de cárcel. Promete a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si proporciona las pruebas para culpar al otro del robo del banco, pero ellos han prometido no delatarse. Las alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de pagos. La estrategia "lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar pruebas para acusar al compañero. Llamaremos "traicion" a la estrategia alternativa.Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los anos de carcel a los que es condenado el preso X o Y respectivamente segun las estrategias que hayan elegido cada uno de ellos.

6

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

a) Confesar uno solo debe ser mejor para el que no confesar mutuamente.b) No confesar mutuamente debe ser a su vez mejor que confesar ambos.c) Cuando cada uno elige una estrategia diferente, confesar y no confesar,

la ganancia media entre estas dos estrategias no puede ser mejor que las estrategias de confesar ambos.

Consideremos al prisionero X. Supongamos que cree que el prisionero Y respeta sus promesas anteriores y no confiesa. Si el prisionero X confiesa, se reduciría su pena a un año, lo que es preferible a la opción de no confesar, que acarrea un de condena (dado que el otro prisionero no confiesa). Si por el contrario, cree que el prisionero Y va a confesar, no importando sus promesas anteriores, confesar le da 5 anos de cárcel, lo que es mejor que cargar con todas las culpas y 10 años de cárcel al no confesar.

Por lo tanto, no importando lo que haga el prisionero Y, el prisionero X esta mejor confesando: es su estrategia dominante. Lo mismo ocurre con el prisionero Y, por lo que el único equilibrio en estrategias dominantes es aquel en que ambos prisioneros confiesan. Es notable que a pesar que cooperando les hubiera ido mejor, ambos confiesan y terminan peor.El dilema del prisionero es un juego de enorme importancia. Proporciona una explicación para las dificultades para establecer la cooperación entre agentes económicos. Tiene aplicaciones en pesquería, donde la falta de respeto a los compromisos de restringir la pesca puede llevar a sobreexplotación del recurso, como ocurre actualmente en las pesquerías en Chile. El dilema del prisionero también es relevante en la formación de carteles (acuerdos entre firmas) para subir los precios, ya que las firmas se ven tentadas a vender más de lo acordado a los altos precios que resultan de los carteles, lo que reduce los precios. El dilema del prisionero muestra las dificultades para establecer la colaboración en cualquier situación en la que hacer trampa beneficia a las partes.

7

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

MODELO HALCÓN PALOMA

En el lenguaje ordinario entendemos por "halcón" a los políticos partidarios de estrategias más agresivas mientras que identificamos como "paloma" a los más pacifistas.El modelo Halcón-Paloma sirve para analizar situaciones de conflicto entre estrategias agresivas y conciliadoras. Este modelo es conocido en la literatura anglosajona como el "hawk-dove" o el "chicken" y en español es conocido también como "gallina".Dos vehículos se dirigen uno contra otro en la misma línea recta y a gran velocidad. El que frene o se desvié ha perdido. Pero si ninguno de los dos frena o se desvía...Este sería un modelo halcón paloma.También se ha utilizado este modelo abundantemente para representar una guerra fría entre dos superpotencias. La estrategia Halcón consiste en este caso en proceder a una escalada armamentística y bélica. Si un jugador mantiene la estrategia halcón y el otro elige la estrategia Paloma, el halcón gana y la Paloma pierde. Pero la situación peor para ambos es cuando los dos jugadores se aferran a la estrategia halcón. El resultado puede modernizarse con la siguiente matriz de pagos.

Podemos observar las sutiles pero importantes diferencias de este modelo con el Dilema del Prisionero. En principio la matriz es muy parecida, simplemente se han trocado las posiciones de los pagos 3o y 4o, pero la solución y el análisis son ahora muy diferentes.

Aquí hay dos resultados que son equilibrios de Nash: cuando las estrategias elegidas por cada jugador son diferentes; es decir, cuando uno elige halcón y el otro la paloma. Por el contrario, en el Dilema del Prisionero el equilibrio de Nash está en el punto en que ambos jugadores traicionan.Otra notable diferencia de este juego con otros es la importancia que aquí adquiere el orden en que los jugadores eligen sus estrategias. Como tantas

8

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

veces en la vida real, el primero que juega, gana. El primero elegirá y manifestara la estrategia halcón con lo que el segundo en elegir se verá obligado a elegir la estrategia Paloma, la menos mala.

LA GUERRA DE LOS SEXOS

El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la teoría de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana. Hay dos jugadores: "EL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que llamaremos "Futbol" y "Discoteca".

Supongamos que el orden de preferencias de EL es el siguiente:1. (Lo más preferido) EL y ELLA eligen Futbol.2. EL y ELLA eligen Discoteca.3. EL elige Futbol y ELLA elige Discoteca.4. (Lo menos preferido) El elige Discoteca y ELLA elige Futbol.

Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:1. (Lo más preferido) EL y ELLA eligen Discoteca.2. EL y ELLA eligen Futbol.3. EL elige Futbol y ELLA elige Discoteca.4. (Lo menos preferido) El elige Discoteca y ELLA elige Futbol.

La matriz de pagos es la siguiente, donde los pagos representan el orden de preferencias:

Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de utilidad. Sin repetición significa que solo se juega una vez por lo que no es posible tomar decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores.

9

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al futbol te pago la entrada").El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinación. Se trata de coincidir en la elección. Al no haber comunicación previa, es posible que el resultado no sea óptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximin el pago que recibirán (3\3) es subóptimo. Esa solución, no es un punto de equilibrio de Nash ya que los jugadores estan tentados de cambiar su elección: cuando ELLA llegue a la discoteca y observe que EL se ha ido al futbol, sentira el deseo de cambiar de estrategia para obtener un pago mayor.El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya que jugadores o estrategias son intercambiables sin que los resultados varíen. Podemos introducir una interesante modificación en el juego convirtiéndolo en asimétrico a la vez que nos aproximamos más al mundo real. Supongamos que las posiciones 2a y 3a en el orden de preferencias de EL se invierten. EL prefiere ir solo al Futbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz de pagos queda como sigue:

Si ELLA conoce la matriz de pagos, es decir, las preferencias de EL, el problema de coordinación desaparecen. Está muy claro que EL elegirá siembre la estrategia Futbol, sea cual sea la elección de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia Futbol también, ya que prefiere estar con EL aunque sea en el Futbol que estar sola aunque sea en la Discoteca. La estrategia maximin de ambos jugadores coincide. El resultado, marcado con un asterisco, es un óptimo, un punto de silla, una solución estable, un punto de equilibrio de Nash. Obsérvese que esta solución conduce a una situación estable de dominación social del jugador que podríamos calificar como el más egoísta.

10

“TEORÍA DE JUEGOS” INVESTIGACIÓN OPERATIVA

CONCLUSIONES

La Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser evitados al considerar cuestiones estratégicas. La intuición no educada no es muy fiable en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar.

La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo.

A principio de los años cincuenta, en una serie de artículos muy famosa el matemático John Nash rompió dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se habían auto-impuesto.

La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, entre las disciplinas tenemos: la Economía, la Ciencia Política, la Biología y la Filosofía.

Según el Filósofo Hobbes un hombre se caracteriza por su fortaleza física, sus pasiones, su experiencia y su razón.

Hay dos tipos de respuesta, la del tipo educativo, los jugadores suponen que tienen al equilibrio como el resultado de razonar cuidadosamente y un segundo tipo de respuestas, las evolutivas, según éstas, el equilibrio se consigue, no porque los jugadores piensan todo de antemano, sino como consecuencia de que los jugadores miopes ajustan su conducta por tanteo cuando juegan y se repiten durante largos períodos de tiempo.

Racionabilidad: es la forma que se comporta alguien bayesiano-racional cuando ha de tomar una decisión en situaciones donde el resultado de la decisión a tomar depende de sucesos inciertos para quien ha de tomarla.

Los jugadores son bayesianos-racionales, sus estados mentales se pueden resumir en dos cosas: lo que saben y lo que creen.

Las estrategias maximin y minimax conducen a los dos jugadores del juego a situaciones en las que ningún jugador tiene razón o incentivo alguno para cambiar su posición.

Se dice que un jugador posee una estrategia dominante si una estrategia particular es preferida a cualquier otra estrategia a disposición de él.

Estrategia mixta es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez, según determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales elementos de azar.

11