Teoria de Juegos Fin

5/8/2018 Teoria de Juegos Fin - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/teoria-de-juegos-fin 1/43

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN



En la vida cotidiana se presentan muy a menudo fenómenos o situaciones que involucran a

dos o más partes con intereses diferentes y con la posibilidad de llevar a cabo diversas

acciones para lograr su objetivo. Este tipo de situaciones se llaman situaciones conflictivas o,

para abreviar más, conflictos. Un conflicto típico se caracteriza por tres componentes básicos

que son: las partes interesadas, las decisiones posibles y los intereses de las partes

Las situaciones conflictivas extraídas de la vida cotidiana suelen ser bastante difíciles de

analizar por su complejidad. Por eso, para analizar estos conflictos es necesario olvidarse de

los factores secundarios, de manera que si las condiciones son óptimas se pueda construir

un modelo normal y simplificado. Dicho modelo se suele denominar juego.

El estudio de los juegos ha inspirado a científicos a lo largo del tiempo para el desarrollo de

teorías y modelos matemáticos. La estadística surgió precisamente de los cálculos para

diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad,

media ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acuñados por la

estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en

situaciones sociales y económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos

ante componentes aleatorios.

El objetivo de la Teoría de Juegos no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios

sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. Lo que es mas importante, la

teoría de juegos ayuda a comprender las reglas de decisión que deben emplearse en

situaciones conflictivas. En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las

políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los

juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o

jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en

cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y

ajenas.

La Teoría de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostradouna gran versatilidad en la resolución de problemas. Muchos campos de la Economía

(Equilibrio General, Distribución de Costos, etc.), se han visto beneficiados por las

aportaciones de este método de análisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera

formulación el número de científicos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no

son sólo economistas y matemáticos sino sociólogos, biólogos o psicólogos. Existen también

2



aplicaciones jurídicas: asignación de responsabilidades, adopción de decisiones de pleitear o

conciliación, etc.

En este trabajo desarrollaremos la Teoría de Juegos exponiendo diferentes conceptos

relacionados con el tema así como también aplicaciones para así tener una mejor comprensión del mismo.

TEORÍA DE JUEGOS

3



I. HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS1

La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita por James

Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una solución minimax de

estrategia mixta a una versión para dos personas del juego de cartas le Her. Sin embargo nose publicó un análisis teórico de teoría de juegos en general hasta la publicación de

Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, de Antoine

Augustin Cournot en 1838. En este trabajo, Cournot considera un duopolio y presenta una

solución que es una versión restringida del equilibrio de Nash. A éstos también se sumaron

otras posteriores ideas de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos

(1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles.

La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann

(1903-1957) y por Oskar Morgenstern (1902-1976) en 1944 gracias a la publicación de su

libro “The Theory of Games Behavior”. Este trabajo contiene un método para encontrar

soluciones óptimas para juegos de suma cero de dos personas. Durante este período, el

trabajo sobre teoría de juegos se centró, sobre todo, en teoría de juegos cooperativos. Este

tipo de teoría de juegos analiza las estrategias óptimas para grupos de individuos,

asumiendo que pueden establecer acuerdos entre sí acerca de las estrategias más

apropiadas. No fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se

comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas.

Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de

Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este

1 Charles A. Gallagher y Hugh J. Watson "Métodos Cuantitativos Para La Toma De Decisiones En Administración", 1ra Edición,Español, Editorial McGRAW-HILL/INTERAMERICANADE MEXICO, S.A. DE C.V., 1982.

4

http://es.wikipedia.org/wiki/1713

http://es.wikipedia.org/wiki/Minimax

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estrategia_mixta&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Antoine_Augustin_Cournot




http://es.wikipedia.org/wiki/Duopolio

http://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_de_Nash

http://es.wikipedia.org/wiki/Minimax

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Estrategia_mixta&action=edit&redlink=1









planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden

hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima.

En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento

coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos conmuchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran

mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.

En los años 50 hubo un desarrollo importante de estas ideas en Princeton, con Luce and

Raiffa (1957), difundiendo los resultados en su libro introductoria, Kuhn (1953) que permitió

establecer una forma de atacar los juegos cooperativos, y por fin John Nash (1950)

desarrolló una definición de una estrategia óptima para juegos de múltiples jugadores donde

el óptimo no se había definido previamente, conocido como equilibrio de Nash. Este

equilibrio es suficientemente general, permitiendo el análisis de juegos no cooperativos

además de los juegos cooperativos. Durante esa época, el Departamento de Defensa de los

EE.UU. fue el que financió las investigaciones en el tema, debido a que la mayor parte de las

aplicaciones de los juegos de tipo suma-cero se concentraban en temas de estrategia militar.

Es esta época también aparecieron las primeras discusiones del dilema del prisionero, y se

emprendió un experimento acerca de este juego en la corporación RAND. Alrededor de la

misma, John Nash desarrolló una

La teoría de juegos experimentó una notable actividad en la década de 1950, momento en el

cual los conceptos bases, el juego de forma extensiva, el juego ficticio, los juegos repetitivos,

y el valor de Shapley fueron desarrollados. Además, en ese tiempo, aparecieron las primeras

aplicaciones de la teoría de juegos en la filosofía y las ciencias políticas.

John Forbes Nash (1928- ) es el nombre más destacado relacionado con la teoría de juegos.

A los 21 años escribió una tesina de menos de treinta páginas en la que expuso por primera

vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamó "el

equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas.

El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la

tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en

sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar pero

sólo para los juegos de suma cero. Para la solución formal del problema, Nash utilizó

5


http://es.wikipedia.org/wiki/Dilema_del_prisionero

http://es.wikipedia.org/wiki/RAND

http://es.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash




http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Valor_de_Shapley&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa



http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_pol%C3%ADticas



http://es.wikipedia.org/wiki/Dilema_del_prisionero

http://es.wikipedia.org/wiki/RAND








funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y

Kakutani.

En los años siguientes publicó nuevos escritos con originales soluciones para algunos

problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de

Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha dado en llamar

"el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un marco no

cooperativo. A los veintinueve años se le diagnosticó una esquizofrenia paranoica que lo

dejó prácticamente marginado de la sociedad e inútil para el trabajo científico durante dos

décadas. Pasado ese lapsus, en los años setenta, recuperó su saludmental y pudo volver a

la docencia y la investigación con nuevas geniales aportaciones, consiguiendo en 1994 el

Premio Nóbel de Economía compartido con John C. Harsanyi y Reinhart Selten por sus

pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos nocooperativos.

En los 60 y 70 Harsany (1967) extendió la teoría de juegos de información incompleta, es

decir, aquellos en que los jugadores no conocen todas las características del juego: por

ejemplo, no saben lo que obtienen los otros jugadores como recompensa. Ante la

multiplicidad de equilibrios de Nash, muchos de los cuales no eran soluciones razonables a

juegos, Selten (1975) definió el concepto de equilibrio perfecto en el subjuego para juegos deinformación completa y una generalización para el caso de juegos de información imperfecta.

En 2005, los teóricos de juegos Thomas Schelling y Robert Aumann ganaron el premio

Nobel de Economía. Schelling trabajó en modelos dinámicos, los primeros ejemplos de la

teoría de juegos evolutiva. Por su parte, Aumann contribuyó más a la escuela del equilibrio.

6


http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Schelling

http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Aumann

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Escuela_del_equilibrio&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Schelling

http://es.wikipedia.org/wiki/Robert_Aumann

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Escuela_del_equilibrio&action=edit&redlink=1



En The Strategy of Conflict , Schelling, aplica la teoría del juego a las ciencias sociales. Sus

estudios explican de qué forma un partido puede sacar provecho del empeoramiento de sus

propias opciones de decisión y cómo la capacidad de represalia puede ser más útil que la

habilidad para resistir un ataque Aumann fue pionero en realizar un amplio análisis formal de

los juegos con sucesos repetidos. La teoría de los juegos repetidos es útil para entender losrequisitos para una cooperación eficiente y explica por qué es más difícil la cooperación

cuando hay muchos participantes y cuándo hay más probabilidad de que se rompa la

interacción. La profundización en estos asuntos ayuda a explicar algunos conflictos, como la

guerra de precios y las guerras comerciales.

En el 2007, Roger Myerson, junto con Leonid Hurwicz y Eric Maskin, recibieron el premio

Nobel de Economía por "sentar las bases de la teoría de diseño de mecanismos.

II. APLICACIONES DE LA TEORÍA DE JUEGOS

La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el

principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las

disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos:

2.1ECONOMÍA Y NEGOCIOS2

Los economistas han usado la teoría de juegos para analizar un amplio abanico deproblemas económicos, incluyendo subastas, duopolios, oligopolios, la formación de redes

sociales, y sistemas de votaciones. Estas investigaciones normalmente están enfocadas a

conjuntos particulares de estrategias conocidos como conceptos de solución. Estos

conceptos de solución están basados normalmente en lo requerido por las normas de

racionalidad perfecta. El más famoso es el equilibrio de Nash. Un conjunto de estrategias es

un equilibrio de Nash si cada una representa la mejor respuesta a otras estrategias. De esta

forma, si todos los jugadores están aplicando las estrategias en un equilibrio de Nash, no

tienen ningún incentivo para cambiar de conducta, pues su estrategia es la mejor que

pueden aplicar dadas las estrategias de los demás.

Las recompensas de los juegos normalmente representan la utilidad de los jugadores

individuales. A menudo las recompensas representan dinero, que se presume corresponden

a la utilidad de un individuo. Esta presunción, sin embargo, puede no ser correcta.

2 www.es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos

7

http://es.wikipedia.org/wiki/Roger_Myerson



http://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Hurwicz

http://es.wikipedia.org/wiki/Eric_Maskin

http://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o_de_mecanismos

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos#Aplicaciones%23Aplicaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Subasta



http://es.wikipedia.org/wiki/Oligopolio

http://es.wikipedia.org/wiki/Red_social



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_utilidad&action=edit&redlink=1


http://es.wikipedia.org/wiki/Leonid_Hurwicz

http://es.wikipedia.org/wiki/Eric_Maskin

http://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o_de_mecanismos

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos#Aplicaciones%23Aplicaciones



http://es.wikipedia.org/wiki/Oligopolio



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_de_utilidad&action=edit&redlink=1



Un documento de teoría de juegos en economía empieza presentando un juego que es una

abstracción de una situación económica particular. Se eligen una o más soluciones, y el

autor demuestra qué conjunto de estrategias corresponden al equilibrio en el juego

presentado. Los economistas y profesores de escuelas de negocios sugieren dos usos

principales.

No debería sorprender que la Teoría de Juegos haya encontrado aplicaciones directas en

economía. Esta triste ciencia se supone que se ocupa de la distribución de recursos

escasos. Si los recursos son escasos es porque hay más gente que los quiere de la que

puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos los ingredientes necesarios para

un juego. Además, los economistas neoclásicos adoptaron el supuesto de que la gente

actuará racionalmente en este juego. En un sentido, por tanto, la economía neoclásica no es

sino una rama de la Teoría de Juegos. Los economistas que no se dan cuenta de ello soncomo el monsieur Jourdain de Le Bourgeois Gentilhomme, de Moliere, que se sorprendió de

saber que había estado hablando en prosa durante toda la vida sin saberlo. Sin embargo,

aunque los economistas pueden haber sido desde siempre especialistas camuflados en

Teoría de Juegos, no podían progresar por el hecho de no tener acceso a los instrumentos

proporcionados por Von Neumann y Morgenstern. En consecuencia sólo podían analizar

juegos particularmente simples. Esto explica por qué el monopolio y la competencia perfecta

se entienden bien, mientras a todas las demás variedades de competencia imperfecta que se

dan entre estos dos extremos sólo ahora se les está empezando a dar el tratamientodetallado que merecen.

La razón por la que el monopolio es simple desde el punto de vista de la Teoría de Juegos

es que puede ser tratado como un juego con un único jugador. La razón por que la

competencia perfecta es simple es que el número de jugadores es de hecho infinito, de

manera que cada agente individual no puede tener un efecto sobre agregados de mercado si

el o ella actúa individualmente.

2.2 DESCRIPTIVA3

Un juego del ciempiés de tres fases

3 página citada: www.es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos

8



El uso principal es informar acerca del comportamiento de las poblaciones humanas

actuales. Algunos investigadores creen que encontrar el equilibrio de los juegos puede

predecir cómo se comportarían las poblaciones humanas si se enfrentasen a situaciones

análogas al juego estudiado. Esta visión particular de la teoría de juegos se ha criticado en la

actualidad. En primer lugar, se la critica porque los supuestos de los teóricos se violan

frecuentemente. Los teóricos de juegos pueden suponer jugadores que se comportan

siempre racionalmente y actúan para maximizar sus beneficios (el modelo homo o

economicus), pero los humanos reales a menudo actúan irracionalmente o racionalmente

pero buscando el beneficio de un grupo mayor (altruismo).

Los teóricos de juegos responden comparando sus supuestos con los que se emplean en

física. Así, aunque sus supuestos no se mantienen siempre, pueden tratar la teoría de juegos

como una idealización razonable, de la misma forma que los modelos usados por los físicos.

Sin embargo, este uso de la teoría de juegos se ha seguido criticando porque algunos

experimentos han demostrado que los individuos no se comportan según estrategias de

equilibrio. Por ejemplo, en el juego del ciempiés, el juego de adivinar 2/3 de la media y el juego del dictador, las personas a menudo no se comportan según el equilibrio de Nash.

Esta controversia se está resolviendo actualmente.3

Por otra parte, algunos autores aducen que los equilibrios de Nash no proporcionan

predicciones para las poblaciones humanas, sino que proporcionan una explicación de por

qué las poblaciones que se comportan según el equilibrio de Nash permanecen en esa

conducta. Sin embargo, la cuestión acerca de cuánta gente se comporta así permanece

abierta.

Algunos teóricos de juegos han puesto esperanzas en la teoría evolutiva de juegos para

resolver esas preocupaciones. Tales modelos presuponen o no racionalidad o una

racionalidad acotada en los jugadores. A pesar del nombre, la teoría evolutiva de juegos no

presupone necesariamente selección natural en sentido biológico. La teoría evolutiva de

juegos incluye las evoluciones biológica y cultural y también modela el aprendizaje individual.

9

http://es.wikipedia.org/wiki/Homo_oeconomicus



http://es.wikipedia.org/wiki/Altruismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Idealizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_evolutiva_de_juegos


http://es.wikipedia.org/wiki/Selecci%C3%B3n_natural




http://es.wikipedia.org/wiki/Altruismo

http://es.wikipedia.org/wiki/Idealizaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsico





2.3NORMATIVA4

Por otra parte, algunos matemáticos no ven la teoría de juegos como una herramienta que

predice la conducta de los seres humanos, sino como una sugerencia sobre cómo deberían

comportarse. Dado que el equilibrio de Nash constituye la mejor respuesta a las acciones deotros jugadores, seguir una estrategia que es parte del equilibrio de Nash parece lo más

apropiado. Sin embargo, este uso de la teoría de juegos también ha recibido críticas. En

primer lugar, en algunos casos es apropiado jugar según una estrategia ajena al equilibrio si

uno espera que los demás también jugarán de acuerdo al equilibrio. Por ejemplo, en el juego

adivina 2/3 de la media.

El dilema del prisionero presenta otro contraejemplo potencial. En este juego, si cada jugador

persigue su propio beneficio ambos jugadores obtienen un resultado peor que de no haberlo

hecho. Algunos matemáticos creen que esto demuestra el fallo de la teoría de juegos como

una recomendación de la conducta a seguir.

2.4EN LA CIENCIA POLÍTICA5

La Teoría de Juegos no ha tenido el mismo impacto en la ciencia política que en economía.

Tal vez esto se deba a que la gente conduce menos racionalmente cuando lo que está en

juego son ideas que cuando lo que está en juego es su dinero. Sin embargo, se ha

convertido en un instrumento importante para clarificar la lógica subyacente de un cierto

número de problemas más paradigmáticos.

Un ejemplo de Teoría de Juegos en la Ciencia Política es el siguiente:

4 www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml

5 página citada: www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml

Cooperar Traicionar

Cooperar 2, 2 0, 3

Traicionar 3, 0 1, 1

El dilema del prisionero

10

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Adivina_2/3_de_la_media&action=edit&redlink=1





La elección de programa: Hay dos partidos, los Formalistas y los Idealistas. Ninguno de los

dos se preocupa en absoluto por cuestiones de principio. Sólo se preocupan por el poder y,

por tanto, eligen el programa con el programa con el único objetivo de maximizar el voto en

las próximas elecciones. Los votantes, por otra parte, sólo se preocupan por cuestiones de

principio y, por ende carecen por completo de fidelidad a los partidos. Para simplificar, lasopiniones que un votante puede tener se identifican con los números reales en el intervalo

(0. 1), en otras palabras, el conjunto de valores de x que satisfacen 0 menor igual a x menor

igual a 1. Podemos imaginarnos que este intervalo representa el espectro político de

izquierda a derecha. Así, alguien con la opinión x = 0, se cree que la sociedad debería estar

organizada como un hormiguero, mientras que alguien en la opinión x = 1 cree que debería

estar organizada como una piscina llena de tiburones.

Cada partido centra su programa en algún punto del espectro político y no puede cambiar suposición posteriormente. Los votantes votan por el partido que se encuentra más cerca de su

posición. Dado que se supone que los votantes se encuentran distribuidos uniformemente

sobre el espectro político, es decir, que una fracción l de la población sostiene opiniones que

se encuentran en cualquier intervalo de longitud l, es fácil ver cuántos votos conseguirá cada

partido una vez que han elegido programa. El secreto está en buscar el votante mediano

entre aquellos cuyas opiniones se encuentran entre los programas de ambos partidos. El

votante mediano se encuentra a medio partido entre las posiciones políticas de los dos

partidos. Luego los que se encuentran a la derecha del mediano votante votarán por unpartido, y los que se encuentran a la izquierda lo harán por el otro.

Supongamos que los partidos bajan al ruedo político uno a uno. Los Idealistas escogen en

primer lugar, y luego lo hacen los Formalistas. ¿Dónde debería colocarse cada uno?

Problemas como éste puede ser resueltos por inducción hacia atrás. Para cada programa

posible x, los Idealistas se preguntan qué ocurriría si se colocarán en x. Si x es menor a ½,

los Formalistas responderían colocándose inmediatamente a la derecha de x. Entonces los

Idealistas recogerían una fracción x de los votantes y los Formalistas recogerían 1-x. Por

tanto, los Idealistas ganarían menos de la mitad del voto. Lo mismo ocurre si los Idealistas se

sitúan en x menor a ½, excepto que ahora los Formalistas responderán colocándose

inmediatamente a su izquierda. Por tanto, lo mejor para los Idealistas es colocarse en el

centro del espectro político. Los Formalistas también se colocarán en x = ½, y el voto se

dividirá mitad y mitad.

11



Este modelo puede tener sentido en la escena política americana. Ciertamente es difícil para

muchos europeos encontrar diferencias significativas entre Demócratas y Republicanos. El

modelo, sin embargo, tiene poco parecido con la escena política europea. ¿Deberían los

americanos deducir, por tanto, que los partidos políticos europeos de verdad se toman en

serio los principios que hacen suyos? Una conclusión así seria prematura porque es dudosoque la situación europea pueda ser razonablemente analizada con un modelo de dos

partidos, y esto es cierto incluso para un país como Gran Bretaña en el que sólo dos de los

partidos consigue un número importante de votos en la mayoría de elecciones. Para explorar

esta cuestión veamos como cambiarían las cosas si tuviéramos que tomar en consideración

un tercer partido.

En este modelo el partido Institucionistas escoge programa después de los Idealistas y

Formalistas. Esto cambia mucho las cosas. Los Idealistas y los Formalistas ciertamente nose colocarán ahora en el centro del espectro político. Si lo hicieran los Institucionistas se

podrían colocar inmediatamente a su derecha o a su izquierda. Entonces recogerían la mitad

del voto dejando que los primeros partidos se dividan la otra mitad. Un razonamiento por

inducción hacia atrás, algunas sutilezas surgen debido al hecho que disponemos de un

número infinito de opiniones políticas, lo cual hace ver que los Idealistas y los Formalistas se

colocarán en x = ¼ y x = ¾, dejando que los Institucionalistas adopten la posición centrista x

= ½, como se muestra en la Figura anterior parte (b). Los primeros partidos recibirán

entonces 3/8 de los votos cada uno, y los Institucionalistas sólo recogerán ¼.

Pero ¿Por qué querrían los Institucionalistas entrar en la arena política está condenados al

papel de Cenicienta, con los primeros partidos en el papel de Hermanas Feas?.

Modifiquemos, por tanto, el modelo de manera que los instuticionistas consideren que vale la

pena formar un partido sólo si pueden prever que recibirán más del 26% de los votos. En

este caso los Idealistas se moverán un poco hacia el centro, aunque no lo bastante como

para que los Institucionalistas puedan entrar flanqueándolos por la izquierda. Por tanto, sólo

se moverán desde x = 0,25 a x = 0,26. Análogamente, los Formalistas se moverán desde x =

0.75 a x = 0.74. El resultado será una elección con dos partidos como lo muestra la parte (c)

de la Figura anterior. En esta elección los Idealistas y los Formalistas se dividen el voto a

partes iguales y los Institucionalistas se quedan fuera.

Un comentarista político ignorante de la amenaza supone la entrada de los Institucionalistas

podría fácilmente malinterpretar las razones por las que los Idealistas y los Formalistas han

12



elegido sus programas. El comentarista podría incluso llegar a pensar que cada partido ni

siquiera intenta hacerse con el centro por cuestiones de principio. Pero es sólo tras un

análisis estratégico que la conducta de los dos partidos puede ser evaluada correctamente.

Obsérvese, en particular, que su conducta ha sido determinada por algo que de hecho no

llegó a ocurrir. Como Sherlock Holmes explicaba, a menudo lo importante es que el perro noladró aquella noche.

2.5EN LA BIOLOGÍA6

Es imposible igualar el entusiasmo con que los biólogos evolucionistas que usan la teoría de

juegos explican de conducta animal. No sé si escogen historias poco delicadas

deliberadamente, para dar un poco de sabor a sus relatos con implicaciones sexuales, o si

éstos son realmente los mejores ejemplos para ilustrar de qué manera la teoría de juegos es

relevante. En cualquier caso, lo que los biólogos dicen sobre el pez sol es esto.

Hay dos clases de machos en esta especie. El primero es un individuo regularmente

hogareño que necesita siete años para alcanzar la madurez. Una vez alcanzada, construye

un nido que atrae a las hembras que ponen que ponen huevos. Cuando los huevos han sido

puestos, no sólo los fertiliza, sino que defiende la familia resultante lo mejor que puede

mientras, la hembra continua su vida independientemente. La otra clase de macho es un

golfo. Por lo que dicen los biólogos, es poco más que un órgano sexual autopropulsado. Este

posee ventaja sobre los machos normales, que consiste en alcanzar la madurez en sólo dos

años. Sin embargo, es incapaz de responsabilizarse por su familia. En lugar de ello, espera

escondido hasta que una hembra ha puesto sus huevos respondiendo a las señales de un

macho normal tenga la oportunidad de hacerlo. Si el golfo tiene éxito, el macho normal

defiende una familia que no está relacionada con él en absoluto y que lleva por el contrario

los genes del golfo.

La teoría de juegos sirve para explicar por que las dos clases de machos pueden coexistir en

proporciones fijas.

Para que una historia de teoría de juegos se aguante en este contexto, necesitamos una

explicación de cómo los genes se distribuyeron exactamente en la forma necesaria para

asegurar a cada pez optimizaría, dada la mezcla actual en la población de hogareños golfos.


13



No basta con decir que la Naturaleza, "con las garras y las fauces llenas de sangre", actuará

de forma que sólo quienes se adaptan sobreviven. Esta respuesta rehuye el problema de

cómo y por qué resulta que a veces adaptarse implica actuar racionalmente. Esta parece ser

una de esas grandes cuestiones que no tienen respuestas fáciles.

2.6EN LA FILOSOFÍA7

Los especialistas en Teoría de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por qué

incluso el individuo más egoísta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con sus

vecinos en una relación a largo plazo redundará en su propio interés ilustrado. Con este fin

estudian los equilibrios de juegos con repetición –juegos que los mismos jugadores juegan

una y otra vez-. Pocas cosas han descubierto en esta área hasta el presente que hubieran

sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos años articuló los mecanismos

esenciales. Estas ideas, sin embargo, están ahora firmemente basadas en modelos

formales. Para avanzar más, habrá que esperar progresos en el problema de la selección de

equilibrios en juegos con múltiples equilibrios. Cuando estos progresos se den, sospecho

que la filosofía social sin teoría de juegos será algo inconcebible – y que David Hume será

universalmente considerado como su verdadero fundador.

2.7 INFORMÁTICA Y LÓGICA

La teoría de juegos ha empezado a desempeñar un papel importante en la lógica y lainformática. Muchas teorías lógicas se asientan en la semántica de juegos. Además, los

investigadores de informática han usado juegos para modelar programas que interactúan

entre sí.

III. DEFINICION SOBRE TEORÍA DE LOS JUEGOS

“La teoría de los juegos (también denominada “Teoría de la toma de decisiones

interpersonal”) es un conjunto de herramientas que permite analizar el proceso de toma de

decisiones cuando:

Existe más de un agente tomando decisiones;


14



El pago (payoff) de cada agente puede depender de las acciones llevadas a cabo

por los demás agentes.” 8

“La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar

interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a caboprocesos de decisión”.9

IV. LA MATRIZ DE PAGOS PARA UN JUEGO

La herramienta básica para analizar los juegos es la matriz de pagos. Para los problemas de

decisión bajo riesgo. No obstante, en los juegos, la probabilidad de ocurrencia en los eventos

esta controlada por el oponente. El tamaño de la matriz esta determinado por el número de

jugadores y el número de estrategias disponibles. Un juego de 2 * 4, por ejemplo, tendrá dos

jugadores y cuatro estrategias. Tal como sucede, los juegos con mas de dos estrategias se

llama juegos de 2 x M, ya que no hay diferencia analítica en relación con el numero de

estrategias.

La matriz de pagos para un juego de 2 x 2 se ilustra en la siguiente figura. Esta podría

describir la situación a la que se enfrenta 2 gasolineras colocadas en contra esquina en la

misma intersección. Los compradores están bastante pendientes del precio y cada

gasolinera debe decidir si cobrar un precio alto o bajo por su gasolina.

La matriz de la izquierda muestra los pagos con respecto a la gasolinera 1. Si ambas

gasolineras poner precios altos (o amabas bajos), cada una obtendrá un porcentaje igual del

negocio. Pero si la gasolinera 1 pone precios altos la 2 pone un precio bajo, entonces la

gasolinera 2 atraerá algunos clientes de la 1, con lo cual le causa cierta perdida. De igual

manera, la gasolinera 1 ganará un parte adicional del negocio si tiene precios más bajos que

la 2.

La matriz de pagos

Para la gasolinera 1

8 Gardner, R. (1996): Juegos para empresarios y economistas. Antoni Bosh editores9 Página citada http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos

15

A l t o B a j o

a

a j a

l i n e r a

1

G a s o l i n e r

0 - 0 . 2

+ 0 . 2 0



Para la gasolinera 2

En el lado derecho de la figura anterior se muestra la misma situación desde el punto de

vista de la gasolinera 2. Como puede observarse, la única diferencia es el signo de los

pagos. Esto se cumplirá siempre de manera que solo se necesita una matriz para describir

un juego. Por convención, los pagos se muestran para el jugador en la izquierda de la matriz,en el ejemplo, la gasolinera 1.

Podría el lector preguntarse si el ejemplo es real. Si cada gasolinera puede ver el precio que

pone la otra, cada una podria cambiar el precio para perjudicar la competencia.

Esto llega a suceder, en especial durante las “guerras de precios” en el que cada jugador

muestra 1 ó 2 dedos, asiéndolo todos en forma simultanea.

La matriz crece si hay más de dos estrategias. Aun mas, los jugadores pue4den tener

diferentes numero de estrategias.

Así, si el primer jugador tuviera cuatro estrategias y el segundo solo tres, la matriz tendría 4

reglones y tres columnas.

¿Qué pasa cuando hay más de dos jugadores?

16

A l t o B a j o

a

a j a

r a 1

0 + 0 . 2

- 0 . 2 0

G a s o l i n e



Se necesitan una dimensión para cada jugador. 3 jugadores requerirían una matriz de 3

dimensiones: 4 jugadores, 4 dimensiones. Aunque esto es imposible gráficamente, si puede

escribirse en forma algebraica. Es necesario analizar otro aspecto de la matriz de pagos: los

números que se usan para los pagos en si. Nos se han hablado de lo que + 0.2 significa en

realidad. La teoría de juegos requiere que los pagos expresen la utilidad o preferencia delevento para ambos jugadores. El 0.2 puede representar 2000 galones de gasolina o $ 2000

de ingreso, 0.2 unidades en una escala de utilidad. La escala real que se use carece de

importancia, ya que multiplicar por una constante no tiene ni un efecto. Para los propósitos

que aquí se persigue seguirá y son unidades. Es importante notar que ambos jugadores

deben tener las mismas funciones de utilidad.

¿Cómo se gana un juego? Pueden emplearse dos métodos para ganar: una estrategia pura

y una estrategia mixta. El juego en si se emplearse cual debe usarse

V. TEORÍA DE JUEGOS Y EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO

El teorema del punto fijo fue establecido en 1910 por el matemático Jan Brower, y establece

que toda función continua y acotada que solo toma valores finitos, admite al menos un punto

fijo.

Teorema 1: Sea F una función continua en [a,b] tal que F ([a , b]) [a , b] entonces la

ecuación x = F(x) tiene al menos una solución en el intervalo [a,b]. A esta solución se ledenomina punto fijo.

Von Newmann fue el primero que estableció un nexo entre la noción de equilibrio y la de

punto fijo de una función, tal como se emplea en matemáticas; realmente de la misma

manera que un punto fijo x de una función f permanece constante mientras se le aplica la

función (el punto fijo es tal que (f(x)=x)); un equilibrio “no se mueve”, es fijo, cuando está

sometido a distintas “fuerzas” de las cuales él es la resultante. De tal manera en una

situación de “juego” dónde los individuos toman decisiones, anticipándose a las de otros

agentes, hay equilibrio si sus anticipaciones son confirmadas en el momento en el cual las

decisiones de cada uno las conocen todos; ahora este equilibrio puede ser considerado

como un punto fijo de la función que hace corresponder las selecciones antes que las

decisiones “de los otros” sean conocidas a las selecciones -eventuales- después de que

estas han sido anunciadas.

17



Mediante el empleo de esta especie de analogía John Nash prueba en 1950, que todo juego

no cooperativo, es decir, aquél en el cual cada uno sólo se preocupa por sus propias

ganancias, admite al menos un equilibrio. Además, su demostración se apoya de manera

decisiva en el teorema del punto fijo

El procedimiento de Nash fue retomado y adaptado por los microeconomistas que se

preguntaban sobre los equilibrios de sus modelos; en la medida en que el teorema del punto

fijo permite generalmente responder a una cuestión como aquella, se puede decir que la

microeconomía actual se construye de tal manera que se cumplan las hipótesis de aquel

teorema y se asegure en consecuencia la existencia de equilibrios. Esta explicación vale

particularmente para el modelo de Arrow-Debreu, que es el modelo básico para la

microeconomía.

VI. TIPOS DE JUEGOS

Los juegos se clasifican en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se

pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho también cómo se define “resolución” en una

categoría particular). En general, se pueden considerar cuatro clases de juegos:

Juegos en forma extensiva (árbol)

Juegos en forma estratégica (normal)

Juegos en forma gráfica

Juegos en forma coalicional

Las tres primeras clases de juegos se analizan en la teoría de juegos no cooperativos y la

cuarta corresponde a los juegos cooperativos.

6.1 JUEGOS EN FORMA DE ÁRBOL

18



En la figura 1, tenemos dos jugadores 1 y 2, que participan en el siguiente juego. En primer

lugar, el jugador 1 decide ir a la izquierda (I) o a la derecha (D). Entonces, el jugador 2

decide ir a la derecha o a la izquierda. Los pagos que corresponden al primer (segundo) jugador son la primera (segunda) componente del vector que tiene asignada cada situación.

Analicemos como deben jugar 1 y 2. El jugador 2, teniendo en cuenta los pagos que recibiría

al terminar el juego, debe elegir la siguiente estrategia: si el jugador 1 elige I, ir a la derecha

eligiendo d1; y si 1 elige D; elegir i2: Esta estrategia se denotará d1i2: El jugador 1 conoce el

árbol y los pagos, luego puede anticipar la conducta del jugador 2 y debe elegir D: El par de

estrategias (D; d1i2) da lugar a un escenario en el que el jugador 1 recibe 4 y el jugador 2

recibe 8.

¿Puede alguno de los jugadores mejorar sus pagos?

6.2 JUEGOS EN FORMA ESTRATÉGICA

19



En el ejemplo que estamos analizando, el jugador 1 tiene dos estrategias I y D; mientras que

el jugador 2 tiene cuatro estrategias dadas por

i1i2, i1d2, d1i2, d1d2

Podemos representar los pagos en la siguiente matriz, cuyas entradas son los vectores de

pagos,

Notemos que las matrices de pagos para los jugadores 1 y 2 son, respectivamente,

El par de estrategias (D; d1i2) es un equilibrio de Nash porque ninguna desviación unilateralde los jugadores les permite mejorar sus pagos, dados por (4; 8).

Definición: Sea N = {1,2,…., n} un conjunto de jugadores. Un juego estratégico de n

personas se representa por , donde Xi es el espacio de las estrategias

del jugador i, y es la función de pagos del jugador i.

Cada combinación estratégica se denomina un escenario o resultado del juego.

Dados un escenario x = (x1; : : : ; xn) y una estrategia del jugador i; denotamos

20



mediante (x-i; y) el escenario que obtenemos de x; reemplazando su i-ésima componente x i

por y: Usando esta notación, vamos a definir el concepto más importante de la teoría de

juegos no cooperativos.

6.2.1. EL EQUILIBRIO DE NASH

A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias,

que es una por jugador, se le asocia una salida del juego, caracterizada por las

ganancias expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas

puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin

embargo, como regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son

comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un

aumento de ganancias para unos y una baja para otros.

Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los

participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista mas limitado, que se

puede calificar de “local” en el sentido de estudiar separadamente cada una de las

salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le

acuerda un estatuto privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los

individuos, tomados uno a uno no tienen interés en desechar. El matemático John Nashestableció un importante resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este

tipo, se habla entonces de la existencia de equilibrios de Nash.

Así, por definición, se dice de una combinación de estrategias (una por jugador) que está

en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus ganancias por un cambio

unilateral de estrategia. Con frecuencia se identifica, por abuso del lenguaje y sin que ello

tenga consecuencias, un equilibrio de Nash con la salida que le corresponde.

En la definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, en

tanto ello traduce el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (el “cada cual

para sí mismo”). Así es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se

puede mejorar para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de

varios jugadores.

21



El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna

manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de

estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar

sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar

difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador interesadoen cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros.

Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite

un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la

“solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por

una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash.

Definición: Un escenario es un equilibrio de Nash del juego

si para todo jugador ; y para toda estrategia ; se

verifica .

6.2.2. ESTRATEGIA MAXIMIN.

En el concepto de equilibrio de Nash es fundamental es supuesto de racionalidad de los

agentes. Si un agente sospechara que su adversario no se comporta racionalmente,

podría tener sentido que adoptara una estrategia maximin, esto es, aquella en la que semaximiza la ganancia mínima que puede obtenerse.

Vamos a considerar un juego de suma cero. Cada jugador dispone de tres estrategias

posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con

dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez

monedas que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se

muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos, en la que para cualquier

combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez

22



Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo

recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos.

Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que indica mis

pagos. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador.Una forma de analizar el juego para tomar mi decisión consiste en mirar cuál es el

mínimo resultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se

ha añadido una columna indicando mis resultados mínimos.

En efecto,

· Si yo elijo la tarjeta A, puedo obtener 9, 1 o 2, luego como mínimo obtendré un

resultado de 1.

· Si elijo la tarjeta B, puedo obtener 6, 5 o 4, luego como mínimo obtendré 4. · Si elijo la tarjeta C, puedo obtener 7, 8 o 3, luego como mínimo obtendré 3.

De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el máximo de

los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia

me garantiza que, como mínimo, obtendré 4.

23



6.3 JUEGOS EN FORMA GRÁFICA

Fang, Hipel y Kilgour proponen el siguiente modelo gráfico para un juego no cooperativo.

Este consiste en un conjunto N = {1; 2;:::; n} de jugadores, un conjunto U = {1;

2;:::;u} de escenarios, una familia de grafos dirigidos Di = (U;Ai) para cada

jugador , y una familia de funciones de pago .

El modelo se completa definiendo el conjunto de movimientos que un jugador

puede realizar para cambiar (unilateralmente) de escenario y así obtener los

grafos dirigidos Di.

Dado que en el juego el objetivo es aumentar los pagos que recibe el jugador,

tenemos las siguientes definiciones:

Dado un escenario g y un jugador i, el conjunto de los escenarios que el jugador

puede alcanzar unilateralmente desde g se denota por Si(g). Si además, i recibe

un pago estrictamente mayor, los escenarios de mejora unilateral para i son:

Introducimos los siguientes conceptos de estabilidad y equilibrio.

Definición: Un escenario es estable Nash para el jugador i si . Un

Escenario es secuencialmente estable para el jugador i si para cualquier

existe al menos un escenario con con .

Definición: Un equilibrio de Nash es un escenario que es estable Nash para todos los

jugadores. Un equilibrio secuencial es un escenario que es secuencialmente estable para

todos los jugadores.

6.4. JUEGOS EN FORMA COALICIONAL.

24



Un juego coalicional o cooperativo se caracteriza por un contrato que puede hacerse cumplir.

La teoría de los juegos cooperativos da justificaciones de contratos plausibles. La

plausibilidad de un contrato está muy relacionada con la estabilidad.

Si los jugadores pueden comunicarse entre sí y negociar un acuerdo antes de los pagos, laproblemática que surge es completamente diferente. Se trata ahora de analizar la posibilidad

de formar una coalición de parte de los jugadores, de que esa coalición sea estable y de

cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno

de ellos esté interesado en romper la coalición.

Juego 1.- Empecemos con el ejemplo más sencillo. Supongamos que tres jugadores, Ana,

Benito y Carmen, tienen que repartirse entre sí cien euros. El sistema de reparto tiene que

ser adoptado democráticamente, por mayoría simple, una persona un voto. Hay cuatro

posibles coaliciones vencedoras: ABC, AB, BC y AC, pero hay infinitas formas de repartir los

pagos entre los tres jugadores.

Supongamos que Ana propone un reparto de la forma A=34, B=33 y C=33. Benito puede

proponer un reparto alternativo de la forma A=0, B=50 y C=50

Carmen estará más interesada en la propuesta de Benito que en la de Ana. Pero puede

proponer una alternativa aún mejor para ella: A=34, B=0 y C=66. A Benito es posible que se

le ocurra alguna propuesta mejor para atraer a Ana.

El juego puede continuar indefinidamente. No tiene solución. No hay ninguna coalición

estable. Sea cual sea la propuesta que se haga siempre habrá una propuesta alternativa que

mejore los pagos recibidos por cada jugador de una nueva mayoría.

Definición: En los juegos con transferencia de utilidad se llama solución a una propuesta de

coalición y de reparto de los pagos que garantice estabilidad, es decir, en la que ninguno de

los participantes de una coalición vencedora pueda estar interesado en romper el acuerdo.

Juego 2.- Modifiquemos ahora el ejemplo. En vez de "un hombre un voto" consideremos que

hay voto ponderado. Ana tiene derecho a seis votos, Benito a tres y Carmen a uno. Las

posibles mayorías son las siguientes: ABC, AB, AC, A.

25



En esta situación Ana propondrá un reparto de la siguiente forma: A=100, B=0 y C=0. Ese

reparto se corresponde con una coalición estable en la que los seis votos de Ana estarán a

favor. Es una solución única. Ana no aceptará ningún reparto en el que ella obtenga menos

de 100 euros y sin la participación de Ana no hay ninguna coalición vencedora.

Definición: Se llama "valor del juego" al pago que un jugador tiene garantizado que puede

recibir de un juego si toma una decisión racional, independientemente de las decisiones de

los demás jugadores. Ningún jugador aceptará formar parte de una coalición si no recibe

como pago al menos el valor del juego.

En el juego 1, el valor del juego es cero para los tres jugadores. En el juego 2 el valor del

juego para Ana es cien y para Benito y Carmen es cero.

Juego 3.- Pongamos un ejemplo algo más realista y, por tanto, un poco más complejo.

Supongamos un municipio en el que cinco partidos políticos se han presentado a las

elecciones: el Partido Austero (PA), el Partido Benefactor (PB), el Partido Comunal (PC), el

Partido Democrático (PD) y el Partido de la Esperanza (PE). En las elecciones, han obtenido

el siguiente número de concejales:

PA =11PB = 8

PC = 5PD = 2PE = 1

Como ningún partido ha conseguido la mayoría absoluta, es necesario que se forme una

coalición para gobernar el municipio. El presupuesto anual del municipio es de 520 millones

de euros. La coalición gobernante debe asignar los cargos y las responsabilidades del

ayuntamiento a los diferentes partidos. En las negociaciones se debe acordar el reparto del

presupuesto, cargos y responsabilidades entre los partidos. Suponemos que no hay

simpatías ni antipatías ideológicas y que los cargos y responsabilidades son valorados

exclusivamente según el presupuesto económico que controlan. Supondremos, para

simplificar, que hay disciplina de voto y que no son posibles las traiciones internas.

Análisis del juego 3. Como el número total de concejales es 27, la coalición vencedora

debe disponer al menos de 14 votos. A diferencia del juego 2, no hay ningún jugador

26



imprescindible para ganar. Si utilizamos la definición que dimos arriba, el valor del juego para

todos los jugadores es cero ya que ninguno tiene garantizada su pertenencia a la coalición

vencedora.

Definición: Se llama "valor de Shapley" a la asignación que recibe cada jugador en una propuesta de reparto según un criterio de arbitraje diseñado por Lloyd S. Shapley. El criterio

consiste en asignar un pago a cada jugador en proporción al número de coaliciones

potencialmente vencedoras en las que el jugador participa de forma no redundante.

Un jugador es redundante en una coalición si no es imprescindible para que esa coalición

resulte vencedora.

VII. JUEGOS BIPERSONALES DE SUMA NULA

En los juegos de suma nula o cero el beneficio total para todos los jugadores, en cada

combinación de estrategias, siempre suma cero, es decir, un jugador se beneficia solamente

a expensas de otros. El póker o el ajedrez son ejemplos de juegos de suma cero, porque un

jugador gana exactamente la cantidad que pierde su oponente. Por tanto, un juego en forma

estratégica es un juego de suma cero si Un juego de dos

personas se denota con (X, Y, K, L) ; donde las estrategias son X={1;2;:::m} e Y = {1; 2; : : :n}

: Entonces este juego bipersonal se puede representar mediante una matriz m×n cuyasentradas son vectores de ℜ2 ,

Las filas (columnas) corresponden a las m (n) estrategias del jugador 1 (2). En el caso deque el juego bipersonal sea de suma nula, tenemos que L = -K; y se representa con la matriz

27



Veamos un ejemplo de juego bipersonal de suma nula para introducir los principales

conceptos.

El jugador I elige una carta de un mazo de tres cartas numeradas 1, 2, 3. El jugador II intenta

adivinar la carta que ha elegido I. Después de cada conjetura el jugador I informa al II

diciéndole alto, bajo o correcto, dependiendo de la conjetura de I. El juego termina cuando el

jugador II acierta la carta y paga al jugador I una cantidad igual al número de tentativas que

ha hecho. En el siguiente juego, I y II intercambian sus papeles.

Las estrategias del jugador I son X ={α , β , γ } , donde α es elegir la carta 1, β la carta 2 y γ la

carta 3. Las estrategias del jugador II (excluyendo algunas tontas) son Y = {a; b; c; d; e};

dadas por:

a : Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo

dice bajo, decir 3.

b : Decir 1, si el oponente dice bajo, decir 3 en la siguiente ronda. Si dice alto,

decir 2.

c : Decir 2, si el oponente dice bajo, decir 3; si dice alto, decir 1.

d : Decir 3, si el oponente dice alto, decir 1 en la siguiente ronda. Si después

dice bajo, decir 2.

e : Decir 3, si el oponente dice alto, decir 2 en la siguiente ronda. Si de nuevo

dice alto, decir 1.

28



La matriz de pagos de este juego es:

Definición 5: Un par de estrategias (i*; j*) para una matriz de pagos K = (K(i; j)) es un punto

de silla si .

Si existe, un punto de silla K (i*; j*) es el pago seguro que tiene el jugador I contra la elección

racional del jugador II (que busca minimizar el pago a I). En general, una matriz no tienepuntos de silla y si existe alguno, no necesariamente es único. Si K(i*; j*) es un punto de silla,

entonces se verifica:

El juego de adivinar la carta numerada no tiene punto de silla porque

Cuando un juego no tenga puntos de silla, es posible elegir estrategias mixtas, obteniendo

un nuevo juego, denominado extensión mixta. Las estrategias mixtas consisten en una

combinación de varias estrategias escogidas al azar, una cada vez, según determinadas

probabilidades.

29



Para un juego m×n matricial A = (aij); el conjunto de estrategias mixtas para el jugador I es:

Cada estrategia mixta consiste en jugar la estrategia de la fila i con

probabilidad xi: De manera análoga, las estrategias mixtas para el jugador II son:

Definición: Sea A un juego matricial n×m . Entonces, la extensión mixta de A es el juego

infinito ( Δm , Δn , K , L); definido mediante:

Teorema (von Neumann): Sea A un juego matricial n×m . Entonces, existen un par de

estrategias mixtas tales que

30



La existencia de estrategias mixtas óptimas no nos da un método para calcularlas. Elteorema minimax también puede probarse usando programación lineal, lo que permite

obtener un algoritmo eficiente mediante el método del simplex.

UN EJEMPLO POLITICO

Con la estrategia maximin podemos calcular equilibrios de Nash, para ello vamos a ver un

ejemplo:

En un año electoral, dos partidos políticos A; B deben pronunciarse sobre una disputa entre

dos comunidades X; Y relativa a ciertos derechos de aguas, y cada partido debe decidir si

favorece a una de las dos o soslaya la cuestión.

En la siguiente tabla se representan por filas las estrategias del programa de A, y por

columnas las estrategias del programa de B. Los pagos al partido A, en porcentaje de votos,

se dan en las entradas de la tabla, y la suma de porcentajes de A y B es 100.

El método para encontrar los equilibrios de Nash es el siguiente. Supongamos que B conoce

la decisión de A: Entonces, B elige la columna donde se hace mínimo el pago de A, con lo

que A elegiría la fila que la proporcione el máximo de dichos mínimos. Este valor,

denominado maximin es la cantidad que con seguridad puede obtener A y en este juego es

31



Si cambiamos los papeles de A y B; siendo A el que conoce la estrategia de B; tenemos que

A elige la fila que maximiza su pago, con lo que B se decidiría por la columna que minimice

dichos máximos. El valor minimax de este juego es

En este juego, hemos obtenido un par de estrategias (Y;X) con pago a21 = 45; que

constituye el único equilibrio de Nash de este juego.

VIII. JUEGOS BIPERSONALES DE SUMA NO NULA

En los juegos de suma no cero la ganancia de un jugador no necesariamente se

corresponde con la perdida del otro. La mayoría de ejemplos reales en negocios y política

corresponden a este tipo. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra un desenlace de

suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor a laque tendría si no se

hubiera dado el negocio.

El dilema del prisionero es un claro ejemplo de juego de suma no cero El teorema de Von

Neumann se generaliza a los juegos bipersonales de suma no nula, que denominamos

juegos bimatriciales, considerando la extensión mixta de un juego bimatricial (A;B) ; que

denotamos ; dada por K(x; y) := xTAy; L(x; y) := xT By; donde :

El resultado fundamental que garantiza la existencia de equilibrios de Nash es:

Teorema (Nash): La extensión mixta de un juego bimatricial tiene al menos un equilibrio de

Nash.

EJEMPLO DE LA DECISÓN DE INVERTIR

Dos empresas compiten por la venta de un programa para codificar ficheros. Las dos utilizan

el mismo procedimiento de codificación, por lo que los ficheros codificados por el programa

de una de ellas pueden ser leídos por el de la otra, lo que constituye una ventaja para los

consumidores. Además la empresa 1 tiene una cuota de mercado mucho mayor que la

32



empresa 2. Ambas empresas están planeando invertir en un nuevo procedimiento de

codificación.

La estrategia dominante de la empresa 2 es invertir. Si la empresa 2 no invierte la empresa 1

contraería pérdidas considerables, por tanto si las dos empresas actúan racionalmente

decidirán invertir, y entonces se producirá un equilibrio de Nash. Si la empresa 2 no actúa de

esta manera la estrategia maximin de la empresa 1 es no invertir. Si 1 sabe que 2 está

utilizando una estrategia maximin, entonces 1 decidirá invertir.

IX. MODELOS IMPORTANTES DE JUEGOS

9.1. EL DILEMA DEL PRISIONERO

Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma que no

pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han participado en el robo del

banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no tiene pruebas. Sólo tiene pruebas y

puede culparles de un delito menor, tenencia ilícita de armas, cuyo castigo es de dos años

de cárcel. Promete a cada uno de ellos que reducirá su condena a la mitad si proporciona las

pruebas para culpar al otro del robo del banco, pero ellos han prometido no delatarse. Las

alternativas para cada prisionero pueden representarse en forma de matriz de pagos. La

estrategia "lealtad" consiste en permanecer en silencio y no proporcionar pruebas para

acusar al compañero. Llamaremos "traición" a la estrategia alternativa.

Los pagos a la izquierda o a la derecha de la barra indican los años de cárcel a los que es

condenado el preso X o Y respectivamente según las estrategias que hayan elegido cada

uno de ellos.

33



Para que una matriz de pagos represente un “dilema del prisionero” deben concurrir las

siguientes circunstancias:

a) Confesar uno sólo debe ser mejor para él que no confesar mutuamente.

b) No confesar mutuamente debe ser e su vez mejor que confesar ambos.

c) Cuando cada uno elige una estrategia diferente, confesar y no confesar, la ganancia

media entre estas dos estrategias no puede ser mejor que las estrategias de confesar

ambos.

Consideremos al prisionero X. Supongamos que cree que el prisionero Y respeta sus

promesas anteriores y no confiesa. Si el prisionero X confiesa, se reduciría su pena a un

año, lo que es preferible a la opción de no confesar, que acarrea un de condena (dado que el

otro prisionero no confiesa). Si por el contrario, cree que el prisionero Y va a confesar, noimportando sus promesas anteriores, confesar le da 5 años de cárcel, lo que es mejor que

cargar con todas las culpas y 10 años de cárcel al no confesar.

Por lo tanto, no importando lo que haga el prisionero Y, el prisionero X está mejor

confesando: es su estrategia dominante. Lo mismo ocurre con el prisionero Y, por lo que el

único equilibrio en estrategias dominantes es aquel en que ambos prisioneros confiesan. Es

notable que a pesar que cooperando les habría ido mejor, ambos confiesan y terminan peor.

El dilema del prisionero es un juego de enorme importancia. Proporciona una explicación

para las dificultades para establecer la cooperación entre agentes económicos. Tiene

aplicaciones en pesquería, donde la falta de respeto a los compromisos de restringir la pesca

puede llevar a sobreexplotación del recurso, como ocurre actualmente en las pesquerías en

Chile. El dilema del prisionero también es relevante en la formación de carteles (acuerdos

entre firmas) para subir los precios, ya que las firmas se ven tentadas a vender más de lo

34



acordado a los altos precios que resultan de los carteles, lo que reduce los precios. El dilema

del prisionero muestra las dificultades para establecer la colaboración en cualquier situación

en la que hacer trampa beneficia a las partes.

9.2. MODELO HALCÓN PALOMA

En el lenguaje ordinario entendemos por "halcón" a los políticos partidarios de estrategias

más agresivas mientras que identificamos como "paloma" a los más pacifistas.

El modelo Halcón-Paloma sirve para analizar situaciones de conflicto entre estrategias

agresivas y conciliadoras. Este modelo es conocido en la literatura anglosajona como el

"hawk-dove" o el "chicken" y en español es conocido también como "gallina".

Dos vehículos se dirigen uno contra otro en la misma línea recta y a gran velocidad. El quefrene o se desvíe ha perdido. Pero si ninguno de los dos frena o se desvía...Este sería un

modelo halcón paloma

También se ha utilizado este modelo abundantemente para representar una guerra fría entre

dos superpotencias. La estrategia Halcón consiste en este caso en proceder a una escalada

armamentística y bélica. Si un jugador mantiene la estrategia Halcón y el otro elige la

estrategia Paloma, el Halcón gana y la Paloma pierde. Pero la situación peor para ambos es

cuando los dos jugadores se aferran a la estrategia Halcón. El resultado puede modelizarse

con la siguiente matriz de pagos.

Podemos observar las sutiles pero importantes diferencias de este modelo con el Dilema del

Prisionero. En principio la matriz es muy parecida, simplemente se han trocado las

posiciones de los pagos 3º y 4º, pero la solución y el análisis son ahora muy diferentes.

35



Aquí hay dos resultados que son equilibrios de Nash: cuando las estrategias elegidas por

cada jugador son diferentes; es decir, cuando uno elige halcón y el otro paloma. Por el

contrario, en el Dilema del Prisionero el equilibrio de Nash está en el punto en que ambos

jugadores traicionan.

Otra notable diferencia de este juego con otros es la importancia que aquí adquiere el orden

en que los jugadores eligen sus estrategias. Como tantas veces en la vida real, el primero

que juega, gana. El primero elegirá y manifestará la estrategia Halcón con lo que el segundo

en elegir se verá obligado a elegir la estrategia Paloma, la menos mala.

9.3. LA GUERRA DE LOS SEXOS

El modelo de "La guerra de los sexos" es un ejemplo muy sencillo de utilización de la teoría

de juegos para analizar un problema frecuente en la vida cotidiana. Hay dos jugadores: "ÉL"

y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre dos posibles estrategias a las que

llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".

Supongamos que el orden de preferencias de ÉL es el siguiente:

1. (Lo más preferido) EL y ELLA eligen Fútbol.

2. EL y ELLA eligen Discoteca.

3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.

4. (Lo menos preferido) El elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

.

Supongamos que el orden de preferencias de ELLA es el siguiente:

1. (Lo más preferido) ÉL y ELLA eligen Discoteca.

2. EL y ELLA eligen Fútbol.

3. EL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.4. (Lo menos preferido) Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.

La matriz de pagos es la siguiente, donde los pagos representan el orden de preferencias:

36



Este juego, tal como lo hemos descrito, es un juego sin repetición y sin transferencia de

utilidad. Sin repetición significa que sólo se juega una vez por lo que no es posible tomar

decisiones en función de la elección que haya hecho el otro jugador en juegos anteriores.

Sin transferencia de utilidad significa que no hay comunicación previa por lo que no es

posible ponerse de acuerdo, negociar ni acordar pagos secundarios ("Si vienes al fútbol te

pago la entrada").

El problema que se plantea es simplemente un problema de coordinación. Se trata de

coincidir en la elección. Al no haber comunicación previa, es posible que el resultado no sea

óptimo. Si cada uno de los jugadores elige su estrategia maximín el pago que recibirán (3\3)

es subóptimo. Esa solución, no es un punto de equilibrio de Nash ya que los jugadores están

tentados de cambiar su elección: cuando ELLA llegue a la discoteca y observe que ÉL se ha

ido al fútbol, sentirá el deseo de cambiar de estrategia para obtener un pago mayor.

El modelo que hemos visto es un juego simétrico ya que jugadores o estrategias son

intercambiables sin que los resultados varíen. Podemos introducir una interesante

modificación en el juego convirtiéndolo en asimétrico a la vez que nos aproximamos más al

mundo real. Supongamos que las posiciones 2ª y 3ª en el orden de preferencias de ÉL se

invierten. EL prefiere ir solo al Fútbol más que ir con ELLA a la Discoteca. La matriz de

pagos queda como sigue:

37



Si ELLA conoce la matriz de pagos, es decir, las preferencias de ÉL, el problema de

coordinación desaparece. Está muy claro que ÉL elegirá siembre la estrategia Fútbol, sea

cual sea la elección de ELLA. Sabiendo esto ELLA elegirá siempre la estrategia Fútbol

también, ya que prefiere estar con ÉL aunque sea en el Fútbol que estar sola aunque sea en

la Discoteca. La estrategia maximín de ambos jugadores coincide. El resultado, marcado con

un asterisco, es un óptimo, un punto de silla, una solución estable, un punto de equilibrio de

Nash. Obsérvese que esta solución conduce a una situación estable de dominación social

del jugador que podríamos calificar como el más egoísta.

X. EXPERIENCIAS DEL MUNDO REAL

Para el administrador actual, la teoría de juegos proporciona algunas ideas útiles para la

toma de decisiones en conflicto, pero muy pocas aplicaciones reales. Para entender por qué

ha habido pocas aplicaciones en la administración, se examinara la teoría en sí y después elmarco de referencia de los negocios.

La teoría de juegos de dos personas suma cero esta bastante completa. Los juegos de

estrategia pura pueden resolverse aplicando el criterio maximin para determinar las

estrategias óptimas para los dos jugadores. Esto es fácil independientemente del número de

estrategia disponible para cada jugador. Los juegos de estrategia mixta también pueden

resolverse con el método analítico que se ha descrito o con programación lineal, si hay más

de dos estrategias. Así, pueden encontrarse estrategias óptimas para cualquier juego de dospersonas suma cero.

Cuando el número de jugadores es mayor que dos o cuando los pagos son de suma distinta

de cero, la teoría se debilita. Debido a la posibilidad de coaliciones, de soborno o de

amenaza, los juegos son únicos y se frustran los esfuerzos por realizar teorías generales. No

se trata de asegurar que no es posible la teoría, sino que todavía no se ha desarrollado una.

38



Ahora considérese el marco de referencia típico al que se enfre4nta una empresa para la

Vtoma de decisiones. Muy pocas veces existe un solo competidor; casi siempre existen

muchos, ya sea en forma directa o vía productos sustitutos. Por otro lado, los

administradores deben representar a varios comités o grupos, no solo a si mismos.

Accionistas, empleados, clientes, proveedores, la comunidad, el gobierno y el publico engeneral, presionan sobre las decisiones de los administradores.

Por ultimo, la mayoría de los juegos son de suma distinta de cero. Dos competidores hacen

una fuerte publicidad y bajan los precios. Es típico que esto atraiga nuevos clientes y

aumente las ventas de cada uno. O considérense los tratos entre la administración y el

sindicato. Además de los salarios y las prestaciones, estos con frecuencia incluyen

contratación, publicidad, disciplina, procedimientos de indemnización, seguridad y escalafón.

Cuando por las medidas de seguridad se reducen los accidentes, por ejemplo, ambas partesganan. Aun los aumentos de salario los financia en general el cliente mas que el accionista.

Aunque se han realizado algunas aplicaciones, como por ejemplo a la postura competitiva y

a estrategias de publicidad, el número de estas aplicaciones es pequeño.

¿Por qué se incluye el tema en este texto si se han encontrado tan pocas aplicaciones?

Como se analizó en el capitulo 1, con frecuencia los métodos cuantitativos sirven de guía al

pensamiento, aun cuando no se generen numeros específicos. La noción de que el criterio

maximin conduce a estrategias óptimas es una idea útil en situaciones competitivas.

También la idea de que las estrategias mixtas se deben seleccionar al azar no es del todo

obvia. Por último, el método para clasificar los juegos por lo menos proporciona un punto de

partida para un análisis mas profundo. Se piensa que estas ideas servirán bien al lector en

el futuro.

CONCLUSIONES

39



La

Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser

evitados al considerar cuestiones estratégicas. La intuición no educada no es muy fiable

en situaciones estratégicas, razón por la que se debe entrenar.

La

Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en 1944. Otros habían

anticipado algunas ideas. Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente

innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron

hechas por los matemáticos Borel y Zermelo.

A

principio de los años cincuenta, en una serie de artículos muy famosa el matemático

John Nash rompió dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se habían auto-

impuesto.

La

Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, entre las disciplinas tenemos:

la Economía, la Ciencia Política, la Biología y la Filosofía.

Según

el Filósofo Hobbes un hombre se caracteriza por su fortaleza física, sus pasiones, su

experiencia y su razón.

Hay dos

tipos de respuesta, la del tipo educativo, los jugadores suponen que tienen al equilibrio

40



como el resultado de razonar cuidadosamente y un segundo tipo de respuestas, las

evolutivas, según éstas, el equilibrio se consigue, no porque los jugadores piensan todo

de antemano, sino como consecuencia de que los jugadores miopes ajustan su conducta

por tanteo cuando juegan y se repiten durante largos períodos de tiempo.

Raciona

bilidad: es la forma que se comporta alguien bayesiano-racional cuando ha de tomar una

decisión en situaciones donde el resultado de la decisión a tomar depende de sucesos

inciertos para quien ha de tomarla.

Los

jugadores son bayesianos-racionales, sus estados mentales se pueden resumir en dos

cosas: lo que saben y lo que creen.

Las

estrategias maximin y minimax conducen a los dos jugadores del juego a situaciones en

las que ningún jugador tiene razón o incentivo alguno para cambiar su posición.

Se dice

que un jugador posee una estrategia dominante si una estrategia particular es preferida a

cualquier otra estrategia a disposición de él.

Estrategia mixta es una combinación de dos estrategias escogidas a azar, una cada vez, según

determinadas probabilidades, en contraste con una estrategia pura que no contiene tales

elementos de azar.

41



42



BIBLIOGRAFÍA

Charles A. Gallagher y Hugh J. Watson "Métodos Cuantitativos Para La Toma De

Decisiones En Administración", 1ra Edición, Español, Editorial McGRAW-

HILL/INTERAMERICANADE MEXICO, S.A. DE C.V., 1982.

Gardner, R. (1996): Juegos para empresarios y economistas. Antoni Bosh editores,

Binmore, K (1994) “Teoría de Juegos” McGraw-Hill, Madrid.

William Poundstone: El Dilema del Prisionero, Alianza Editorial, 2005.

www.monografias.com/trabajos5/teorideju/teorideju.shtml

www.cema.edu.ar/~jschneider02/Economia_I/Teoria_de_Juegos.doc

www.eumed.net/cursecon/juegos/maximin.html

www.eumed.net/cursecon/juegos/presos.html

www.zonaeconomica.com/nobel/2005

www.eumed.net/cursecon/libreria/bg-micro/1p.html

www.gestiopolis.com/recursos4/docs/rrhh/teorijuegos.html

www.eumed.net/cursecon/libreria/bg-micro/5b.html

www.es.wikipedia.org/wiki/Teor%c3%Ada_de_juegos

43

Teoria de Juegos Fin

Documents

Transcript of Teoria de Juegos Fin