TEORA DE JUEGOS

TEORIA DE DECISIONES Ing. Csar Canelo Sotelo

Teora de Juegos

TEORA DE JUEGOSLa Teora de juegos es una teora matemtica que estudia las caractersticas generales de las situaciones competitivas. Trata de situaciones de decisin en la que dos oponentes inteligentes tienen objetivos en conflicto. Ejemplo: juegos de mesa, combates militares, campaas polticas, competencias deportivas, campaas de publicidad, etc.

Qu es un Juego?Es una situacin en la que compiten dos o ms jugadores (Ferguson y Gould, 1975).

Un juego es cualquier situacin en la que los individuos deben tomar decisiones estratgicas y en la que el resultado final depende de lo que cada uno decida hacer (Nicholson, 1997).

Teora de JuegosUna de las ms Grandes Batallas de todos los tiempos es, sin duda, la que tienen, desde hace dcadas, la COCA COLA con PEPSI . Las 2 principales empresas de telecomunicaciones tienen una batalla, por participacin en el mercado, a nivel Latinoamericano.

Teora de Juegos

JUGADORES ESTRATEGIASRESULTADOS Son jugadores cada uno de las entidades que toman decisiones. Pueden elegir entre un conjunto de alternativas posibles Una estrategia corresponde a cada curso de accin que puede elegir un jugador. Las ganancias corresponden a los rendimientos que obtiene cada jugador cuando termina el juego. Elementos de un Juego6SUPUESTOS BSICOSAntes de iniciar el juego, cada jugador conoce las estrategias de que dispone, las que tiene su oponente y la matriz de pagos.Una jugada real en el juego consiste en que los dos jugadores elijan al mismo tiempo una estrategia sin saber cul es la eleccin de su oponente.Racionalidad. Todos los individuos buscan maximizar su utilidad o beneficios.7JUEGO SUMA CERO DE DOS PERSONAS Es un juego con dos jugadores, donde la ganancia de un jugador es igual a la prdida de otro.En este tipo de juego, cuando un jugador intenta maximizar su pago, a la vez est intentando minimizar el pago de su oponente.8JUEGOS SUMA CERO ENTRE DOS PERSONASAs, el jugador A tiene las estrategias: A1, A2, A3, . . . , Am El jugador B tiene las estrategias: B1, B2, B3, . . . , Bn

< Donde: m = n >

MATRIZ DE PAGOS JUEGO SUMA CERO DE DOS PERSONAS 10B1B2.Bj..BnA1r11r12.r1j..r1nA2r21r22.r2j..r2n...........Airi1ri2.rij..rin...........Amrm1am2.rmj..rmnDonde rij es la cantidad ganada por el jugador A (que es la misma cantidad que pierde B), cuando A elige la estrategia Ai, y el jugador B elige la estrategia Bj.EjemploDos jugadores A y B participan en un juego de lanzamiento al aire de una moneda. Cada jugador, desconocido por el otro, elige cara (C) o sello (S). Ambos jugadores revelaran sus elecciones en forma simultnea. Si concuerdan (CC o SS), el jugador A recibe $1 de B, en caso contrario (CS o SC), A paga $1 a B.Estrategias de A: Ac = A saca cara As = A saca sello Estrategias de B:Bc = B saca caraBs = B saca sello

Matriz de pagos para el jugador A Jugador B Bc Bs Jugador A Ac 1 1 As 1 1

Criterios para hallar la solucin ptimaCriterio Maximin-Minimax.

Criterio de eliminacin de estrategias dominadas.Criterios para hallar la solucin ptimaCriterio Maximin-Minimax.

Criterio de eliminacin de estrategias dominadas.CRITERIO MAXIMIN-MINIMAXEs un criterio muy conservador que consiste en que cada jugador elige la estrategia que proporciona el mejor de los peores resultados posibles.

CRITERIO MAXIMIN-MINIMAXEn trminos de la matriz de pagos, implica que el jugador A debe elegir aquella estrategia cuyo pago mnimo sea el mayor (maximin), mientras que el jugador B debe elegir aquella cuyo pago mximo al jugador A sea el menor (minimax).CRITERIO MAXIMIN-MINIMAXEjemplo: B1 B2 B3 B4 Maximin A1 8 -2 9 -3 -3 A2 6 5 6 8 5 Maximin A3 -2 4 -9 5 -9 Minimax 8 5 9 8 MinimaxCRITERIO MAXIMIN-MINIMAXEl valor del juego debe ser 5, porque A gana 5 mientras B pierde 5 cada vez que se juega.El Valor del juego corresponde a las ganancias promedio por juego durante un gran nmero de jugadas.CRITERIO MAXIMIN-MINIMAXCuando ambos jugadores emplean una misma estrategia todo el tiempo, sta se llama estrategia pura. El punto en que cada jugador aplica su estrategia pura se llama punto de silla de montar y es el valor del juego cuando cada competidor tiene una estrategia pura.

CRITERIO MAXIMIN-MINIMAXSi el valor del juego es cero, entonces se dice que es un juego justo.Si existe un punto de silla de montar entonces este juego tiene una solucin estable. Cuando no existe este punto el juego tiene una solucin inestable. En este ltimo caso la solucin ms satisfactoria son las estrategias mixtas.CRITERIO DE ELIMINACIN DE ESTRATEGIA DOMINADALa aplicacin de este criterio consiste en eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que quede solo una para elegir.Una estrategia se puede eliminar cuando est dominada por otra, es decir, si existe otra estrategia que siempre es al menos tan buena como esta, sin importar lo que hace el oponente.

CRITERIO DE ELIMINACIN DE ESTRATEGIA DOMINADAEjemplo: B1 B2 B3 B4 Maximin A1 8 -2 9 -3 -3 A2 6 5 6 8 5 A3 -2 4 -9 5 -9 Minimax 8 5 9 8Juegos suma cero con Estrategias MixtasCuando no hay un punto de silla claramente establecido, si se utiliza una estrategia pura, existe la tentacin de cambiar constantemente de estrategia. En lugar de ello los jugadores usan una mezcla de las diferentes estrategias que pueden utilizar. El valor optimo del juego estar entre los valores del maximin y minimax.Juegos suma cero con Estrategias Mixtas Esta mezcla de estrategias consiste en asignar una distribucin de probabilidad sobre su conjunto de estrategias. Xi = probabilidad de que el jugador A use la estrategia i (i = 1, 2, ......, m), Yj = probabilidad de que el jugador B use la estrategia j (j = 1, 2, ......, n), donde m y n son el nmero de estrategias disponibles.Juegos suma cero con Estrategias Mixtas Plan de estrategias: A (x1, x2, x3, . , xn) B (y1, y2, y3, . , ym) Estos valores son probabilidades, tendrn que ser no negativos y sumar 1.Juegos suma cero con Estrategias MixtasEn el momento de jugar, cada participante usar una de sus estrategias puras mediante algn dispositivo aleatorio, para obtener la distribucin de probabilidad especificada por la estrategia mixta.Juegos suma cero con Estrategias MixtasAl aplicar la definicin de valor esperado de la teora de probabilidad, esta cantidad es:

Pago esperado = en donde pij es el pago si el jugador A usa la estrategia pura i y el jugador B usa la estrategia pura j.

JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS 2Xn O nX2Mtodo grficoSon juegos en los que uno de los jugadores limitan sus estrategias a dos.JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS 2Xn O nX2Mtodo grfico Un da antes de las elecciones, dos candidatos a presidente consideran a las mismas tres ciudades como importantes y merecedoras de una ltima visita. JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS 2Xn o nX2Mtodo grfico Los grupos comisionados por ambos lados muestran idnticas proyecciones. La siguiente tabla da la ganancia estimada (en millones de votos) para cada combinacin de visitas del candidato A en este ltimo da. Qu ciudad deber elegir cada candidato para la visita?Candidato BA ciudad 1A ciudad 2A ciudad 3MnimoA ciudad 10-23-2MaximinCandidato A A ciudad 234-3-3A ciudad 323-4-4Candidato BA ciudad 1A ciudad 2A ciudad 3MnimoA ciudad 10-23-2MaximinCandidato A A ciudad 234-3-3A ciudad 323-4-4Mximo:343-2 < V < 3MinimaxCandidato BA ciudad 1A ciudad 2A ciudad 3MnimoA ciudad 10-23-2MaximinCandidato A A ciudad 234-3-3A ciudad 323-4-4Mximo:343MinimaxEJEMPLO PARA ESTRATEGIAS MIXTAS 2 x nB1B2B3y1y2y3MaximinA1x10-23-2A2x234-3-30x1 + 3x2-2x1 + 4x23x1- 3x2JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS 2Xn O nX2Mtodo grficoEl juego no tiene estrategias puras a seguir y por consiguiente deben mezclar estrategias.Las probabilidades ptimas x1, x2,, xm, del jugador A nos muestran la proporcin de veces que debemos utilizar la estrategia combinada.Estas probabilidades se pueden hallar mediante programacin lineal.SOLUCION GRFICA PARA ESTRATEGIAS MIXTAS 2xn o nx2B1B2B3y1y2y3MaximinA1x10-23-2A2 x234-3-30x1 + 3x2-2x1 + 4x23x1- 3x2x2 = 1 x13 3x1 4 6x1- 3 + 6x1 38B2B1B3B1B2B33 3x14 6x1-3 + 6x1x13-243-3010 V Vx1* V*El jugador A aplica criterio MaximinB1B2B3y1=0y2y3A1x10-23A2 x234-3x2 = 1 x13 3x1 4 6x1- 3 + 6x1 B2B3y2y3A1x1-23A2 x24-34 6x1- 3 + 6x1 V = 4 6x1 = -3 + 6x14 6x1 = -3 + 6x1 12 x1 = 7 x1 = 7/12 x2 = 5/12ReemplazandoV = 0.5041B2B1B3B1B2B33 3x14 6x1-3 + 6x1x13-243-3010 V Vx1* = 7/12 V* = 0.5El jugador A aplica criterio MaximinSOLUCION GRFICA PARA ESTRATEGIAS MIXTAS 2xnB2B3y2y3y3 = 1 y2A1x1-23-2 y2 + 3 y3A2 x24-34 y2 - 3 y3SOLUCION GRFICA PARA ESTRATEGIAS MIXTAS 2xnB2B3y2y3y3 = 1 y2A1x1-23-5 y2 + 3 A2 x24-37 y2 - 344A1A2A1A2-5y2 + 37y2 - 3y2-243-310 V Vy2* = 1/2 V* = 0.5El jugador B aplica criterio Minimax G R A C I A S