Teoria de juegos.
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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología Universidad de Los Andes Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Métodos Cuantitativos II Mérida Estado Bolivariano de Mérida TEORíA DE JUEGOS Mérida, Marzo 2016 Docente a Cargo: Lic. Car – Emyr S Cohelo
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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
Universidad de Los Andes
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Métodos Cuantitativos II
Mérida Estado Bolivariano de Mérida
TEORíA DE JUEGOS
Mérida, Marzo 2016
Docente a Cargo:
Lic. Car – Emyr S Cohelo
Sarmiento Lissette
Albornoz T. Emilia
Peñaloza Gabriela Sánchez Katherin
Torres Álvaro
TEORIA DE JUEGOS
La teoría de los juegos es una rama de la
matemática con aplicaciones a la
economía, sociología, biología y psicología
Es un esquema de análisis de situaciones
estratégicas
La teoría de juegos es una herramienta
que ayuda a analizar problemas de
optimización interactiva (máxima la
utilidad del beneficio)
HISTORIA DE LA TEORIA DE JUEGOS
Origen de la teoría de juegos
Fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su
libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado
en 1944. investigaron dos planteamientos distintos de
la Teoría de Juegos
El primero de ellos el planteamiento estratégico o
no cooperativo.
La segunda parte desarrollaron el
planteamiento coalicional o cooperativo.
• Juego
Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.
• Estrategia
Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios
Definiciones
CONCEPTOS BASICOS
Resultados de los juegos
El resultado de un juego es una cierta asignación de
utilidades finales.
Forma normal versus forma extensiva de los
juegos
En juegos de forma normal, los jugadores mueven
simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es
discreto y finito. Un juego en forma extensiva
especifica el orden completo de movimientos a través
de la dirección del juego, generalmente en un árbol de
juego.
Juegos NxM
Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un
jugador tiene N acciones posibles y el otro tiene M
acciones posibles.
Estrategia dominante
Una estrategia dominante es aquella elección que
realiza el jugador independientemente de lo que
haga el otro.
Árbol de juegos
El árbol de juegos es una representación de un
juego que describe la estructura temporal de un
juego en forma extensiva.
Juego repetido
En un juego repetido un grupo fijo de jugadores
juega un juego dado repetidamente, observando el
resultado de todas las jugadas pasadas antes que
comience la siguiente jugada.
IMPORTANCIA DE LA TEORIA
DE JUEGOS
Estudiar teoría de juegos se ha convertido en un elemento
fundamental dentro de la formación del economista moderno; esta
forma de análisis económico se basa en la observación, estudio y
formalización de las opciones que el agente económico individual
tiene a su disposición cuando se enfrenta a una toma de decisiones
con una multiplicidad de respuestas posibles, a través de la
modelación de estrategias óptimas que le permitan maximizar su
utilidad.
• Es aquella en la que el
jugador asigna una
probabilidad
estrictamente positiva
a cada estrategia pura
EXTRATEGIA MIXTA
ESTRATEGIA MEZCLADA
• Es una matriz que
resume la
información dada
por las funciones de
pago en un juego
rectangular o en un
juego extensivo en
su forma normal.
EXTRATEGIA MIXTA DEFINICIÓN DE MATRIZ DE PAGO
• Supongamos que el jugador 1 juega siempre en estrategias puras, por ejemplo piedra. Entonces el jugador 2 podría sacar ventaja de ello jugando siempre papel. Una mejor respuesta del jugador 1 sería entonces jugar con estrategias mixtas, es decir, asignarle cierta probabilidad a cada estrategia y en cada jugada elegir aleatoriamente de acuerdo a la distribución elegida.
EXTRATEGIA MIXTA EJEMPLO: PIEDRA, PAPEL O TIJERA
• La matriz de pagos del juego está dada como sigue:
• Si el monopolio jugara en estrategias puras dedicaría todo
el capital disponible para una de las estrategias. Podemos
pensar en cambio que el monopolio tiene la opción de no
hacerse publicidad en un solo medio, sino repartir el dinero
disponible en dos o más de las estrategias.
EXTRATEGIA MIXTA
EJEMPLO: COMPETENCIA DE EMPRESAS
• Los juegos estudiados por la teoría de juegos están
bien definidos por objetos matemáticos. Un juego
consiste en un conjunto de jugadores, un conjunto de
movimientos (o estrategias) disponible para esos
jugadores y una especificación de recompensas para
cada combinación de estrategias.
REPRESENTACION DE JUEGOS
Juego
• Forma normal
• Forma Extensiva
FORMA NORMAL DE UN JUEGO
REPRESENTACION DE JUEGOS
• Es una forma de describir un juego.
A diferencia de la forma extensiva,
las representaciones en forma
normal no son grafos,
sino matrices. Esto puede ser de
gran utilidad a la hora de
identificar estrategias estrictamente
dominantes y equilibrios de Nash.
FORMULACION GENERAL DE FORMA NORMAL DE
UN JUEGO
REPRESENTACION DE JUEGOS
• Un juego en forma extensiva es una especificación de un juego en la teoría de juegos, que permite (como su nombre sugiere) la representación explícita de una serie de aspectos importantes, como la secuencia de movimientos posibles de los jugadores, sus elecciones en cada punto de decisión, lo imperfecto de la información que cada jugador tiene en algunos movimientos del otro jugador cuando él toma una decisión, y sus ganancias para todos los resultados posibles del juego.
FORMA EXTENSIVA DE UN JUEGO
REPRESENTACION DE JUEGOS
Un juego de N-jugadores en forma extensiva consiste en lo siguiente:
• Un conjunto finito de n jugadores (racionales)
• Un árbol con raíz, llamado el árbol de juego
• Cada terminal (hoja) nodo del árbol de juego tiene una n-tupla de pagos, es
decir, hay una ganancia para cada jugador al final de cada juego posible
• Una partición de los nodos no terminales del árbol de juego en n +1
subconjuntos, uno para cada jugador (racional), y con un subconjunto especial
para un jugador ficticio llamado Chance (o la naturaleza). Cada jugador
subconjunto de nodos que se conoce como los "nodos" del jugador. (Un juego de
información completa por lo tanto tiene un conjunto vacío de nodos de azar.)
• Cada nodo aleatorio de un jugador tiene una distribución de probabilidad sobre
los resultados salientes.
REPRESENTACION DE JUEGOS
JUEGOS FINITOS EN FORMA EXTENSIVA
Una completa representación en forma extensiva
especifica:
1. Los jugadores de un juego
2. Para todos los jugadores de todas las
oportunidades que tienen que moverse
3. Lo que cada jugador puede hacer en cada uno
de sus movimientos
4. Lo que cada jugador sabe con cada movimiento
5. Los pagos recibidos por cada jugador para cada
combinación posible de movimientos
REPRESENTACION DE JUEGOS INFORMACIÓN PERFECTA Y COMPLETA
En forma extensiva, un conjunto de información se indica mediante una línea de puntos que conecta todos los nodos que en conjunto o, a veces por un bucle dibujado alrededor de todos los nodos en ese conjunto.
• Si un juego tiene un conjunto de información con más de un miembro de ese partido se dice que tiene información imperfecta. Un juego con información perfecta es tal que en cualquier momento de la partida, cada jugador sabe exactamente lo que ha ocurrido antes en el juego. Cualquier juego sin información perfecta tiene información imperfecta.
REPRESENTACION DE JUEGOS INFORMACIÓN IMPERFECTA
Un equilibrio de Nash es una situación en la cual todos los jugadores
han puesto en práctica, y saben que lo han hecho, una estrategia que
maximiza sus ganancias dadas las estrategias de los otros.
Consecuentemente, ningún jugador tiene ningún incentivo para
modificar individualmente su estrategia.
En términos económicos, es un tipo de equilibrio de competencia
imperfecta que describe la situación de varias empresas compitiendo
por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cuánto
producir para intentar maximizar su ganancia.
Teoría de Nash o Equilibrio de
Nash
Historia
1. El concepto de equilibrio de Nash comienza su desarrollo con Antoine
Augustin Cournot y su trabajo sobre oligopolios (1838).
2. El concepto de equilibrio para este tipo de estrategias fue introducido por John
von Neumann y Oskar Morgenstern en su libro Theory of Games and
Economic Behavior (1944), aunque sólo trataron los equilibrios para el caso
especial de juegos de suma cero.
3. Fue John Forbes Nash quien en su tesis de doctorado (1951) define los
equilibrios que hoy llevan su nombre.
4. Nash ganaría posteriormente un premio Nobel por la amplia gama de
aplicaciones que tuvo este concepto en diversas ramas de las ciencias.
Conducir por la
izquierda:
Conducir por la
derecha:
Conducir por la
izquierda: 100,100 0,0
Conducir por la
derecha: 0,0 100,100
Juego de coordinación
Juego de la Gallina
Este juego es un juego de coordinación al conducir. Las opciones son: o
conducir por la derecha o conducir por la izquierda: 100 significa que no se
produce un choque y 0 significa que sí. El primer número en cada celda
indica la ganancia del primer jugador (cuyas opciones se muestran a la
izquierda) y el segundo la ganancia del segundo jugador (cuyas opciones se
muestran encima).
En este caso hay dos equilibrios de Nash con estrategias puras, cuando
ambos conducen por la derecha o ambos conducen por la izquierda. Esto
ayuda a explicar por qué en casi todo el mundo se conduce por el mismo
lado (a la derecha) y como en Inglaterra, al ser una isla y no empeorar su
pago por no coordinarse con los demás países, se mantuvo la estrategia de
conducir por la izquierda.
1. Juegos simétricos y asimétricos
2. Criterio maximin y minimax
3. Juego suma cero y suma distinta de cero
4. Juegos cooperativos
5. Juegos simultáneos y secuenciales
6. Juegos de información perfecta
Un juego simétrico es un juego en el que
las recompensas por jugar una estrategia
en particular dependen sólo de las
estrategias que empleen los otros
jugadores y no de quién las juegue.
Juego de la gallina
Batalla de los sexos
Dilema del prisionero
Batalla de los sexos
Hay dos jugadores: "ÉL" y "ELLA". Cada uno de ellos puede elegir entre
dos posibles estrategias a las que llamaremos "Fútbol" y "Discoteca".
Orden de preferencias de ÉL es el siguiente:
1º ÉL y ELLA eligen Fútbol.
2º ÉL y ELLA eligen Discoteca.
3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4º Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol.
Orden de preferencias de ELLA es el siguiente:
1º ÉL y ELLA eligen Discoteca.
2º ÉL y ELLA eligen Fútbol.
3º ÉL elige Fútbol y ELLA elige Discoteca.
4º Él elige Discoteca y ELLA elige Fútbol
ELLA
EL
FUTBOL DISCOTECA
FUTBOL 1, 2 3, 3
DISCOTECA 4, 4 2, 1
Dilema del prisionero
Dos delincuentes son detenidos y encerrados en celdas de aislamiento de forma
que no pueden comunicarse entre ellos. El alguacil sospecha que han
participado en el robo del banco, delito cuya pena es diez años de cárcel, pero no
tiene pruebas. Sólo tiene pruebas y puede culparles de un delito menor, tenencia
ilícita de armas, cuyo castigo es de dos años de cárcel.
a) NADIE DELATA: si ninguno de los dos delatase al otro a la policía, entonces
cada uno recibiría una condena de 2 años: (2,2).
b) UNO DELATA AL OTRO: si uno de los prisioneros delatase al otro, pero este
otro no delatase al uno, entonces el prisionero que delata reduciría su condena
hasta solo 1 año, mientras que el prisionero delatado vería incrementada su
condena hasta 10 años: posibilidades (10,1) y (1,10).
c) AMBOS SE DELATAN MUTUAMENTE: si ambos deciden delatar al otro,
entonces recibirán una condena de 6 años de cárcel para cada uno (6, 6).
Prisionero 1
Prisionero
2 No
Delatar
Delatar
No
delatar
(2,2) (10, 1)
Delatar (1, 10) (6, 6)
Son los juegos donde no hay
conjuntos de estrategias idénticas
para ambos jugadores.
Juego del Ultimátum
Juego del Dictador
Tienen diferentes
estrategias para
cada jugador
Juego del Ultimatum
Se encuentran dos personas dialogando,
cuando de repente aparece un tercero el
cual pone 100 monedas de oro sobre la
mesa diciendo a uno de los sujetos que
debe repartir este botín entre él y su
compañero. Las reglas son las
siguientes:
1) Uno de ellos debe hacer una oferta
sobre la posible repartición del dinero.
2) El otro sujeto escucha la oferta y
decide si la acepta o rechaza.
3) Si la oferta del primer sujeto es
aceptada cada uno se quedará con la
parte acordada.
4) Si el segundo rechaza la oferta, la
persona que trajo las monedas se las
llevará nuevamente.
Juego del dictador
Sea cual sea la división que lleve a cabo el jugador
1, el jugador 2 NO TIENE DERECHO A
RECLAMAR y el reparto será aquel que el jugador 1
decida (incluso siendo cero la cantidad destinada al
receptor).
Por ello, el jugador 1 toma el nombre de «dictador»
Beneficio
Alternativas Lluvia Nublado Soleado
Aire libre 5000 12000 15000
Cubierto 8000 10000 6000
Ejemplo
Se presenta a continuación una matriz con alternativas y
beneficios que puede tener una empresa si realiza un
evento al aire libre o en un sitio cubierto y los beneficios en
bolívares de acuerdo a lo que pueda ocurrir el día del
evento (llueva, este nublado o soleado)
Criterio Maximin y Minimax
Criterio pesimista o maximin
Este criterio no desea arriesgar y siempre piensa que una vez escogida
una estrategia se le presentará el estado de la naturaleza más
desfavorable, por ello escogerá el valor máximo entre los mínimos.
Beneficio
Alternativas Lluvia Nublado Soleado
Aire libre 5000 12000 15000
Cubierto 8000 10000 6000
Escogerá realizar el evento cubierto, ya que como mínimo
tendría beneficios de 6000 bs.
Criterio optimista o maximax El criterio optimista siempre piensa que se le presentará la mejor
alternativa, es decir, escogerá el máximo entre los máximos. Arriesga
mucho.
Beneficio
Alternativas Lluvia Nublado Soleado
Aire libre 5000 12000 15000
Cubierto 8000 10000 6000
Según este criterio, la estrategia escogida será la
realizarlo al aire libre, ya que le puede producir unos
beneficios de 15000 bs.
Son aquellos modelos de la teoría de
juegos en los que la ganancia de un
jugador implica necesariamente una
pérdida de otro exactamente del mismo
valor.
La mayoría de los ejemplos reales en
negocios y política, son juegos de suma
distinta de cero, porque algunos
desenlaces tienen resultados netos
mayores o menores que cero
Ejemplo
Makro e Hipermercados Garzón son dos cadenas de
supermercados que se proponen construir cada una, una
sucursal hacia el páramo de Mérida en donde se encuentran 3
pueblos cerca, Mucuchies, San Rafael y Apartaderos.
45% vive cerca del Mucuchíes.
35% cerca de San Rafael.
20% vive cerca de Apartaderos.
Debido a que Makro es más grande que Hipermercados
Garzón, controlará la mayoría de los negocios siempre que
sus ubicaciones sean comparativas.
Ambas cadenas conocen los intereses de las otras y han
realizado estudios de mercado que les han arrojado resultados
idénticos.
Si ambos supermercados se sitúan en el mismo pueblo, Makro
controlará el 65% de los negocios en ese pueblo.
Si Makro está mas cercano a un pueblo que Garzón, controlará el 90%
de los negocios en este pueblo.
Si Makro está mas alejado de un pueblo que Garzon, atraerá el 40% de
los negocios.
El resto de las operaciones sin importar la circunstancia irán a Garzón.
Asimismo ambas empresas saben que la política de Makro es no
ubicarse en pueblos tan pequeños y Apartaderos entra en esta
categoría.
Solución
El jugador 1 (Makro) tiene dos estrategias.
El jugador 2 (Garzón) tiene tres estrategias.
• Si Makro se ubica en Mucuchíes y Garzón en San Rafael,
entonces Makro tendrá:
(0.90)(0.45)+(0.40)(0.35)+(0.40)(0.20)= 0,625
0,625*100= 62,5%
• Si Makro se ubica en San Rafael y Garzón en Apartaderos,
entonces Makro tendrá:
(0.90)(0.45)+(0.90)(0.35)+(0.40)(0.20)= 0.80
0.80*100= 80%
• Si Makro se ubica en San Rafael y Garzón en Mucuchíes
entonces Makro tendrá:
(0.40)(0.45)+(0.90)(0.35)+(0.90)(0.20)=0.575
0.575*100=57.5%
Mucuchíes
San
Rafael
Apartaderos
Mucuchíes
65
62.5
80
San
Rafael
57.5
65
80
Makro
Garzón
Cooperativos se caracterizan por el hecho de que los jugadores
pueden cooperar entre ellos para buscar un beneficio común.
Hay dos tipos de juegos no cooperativos:
• Los juegos en forma estratégica o normal, donde los jugadores
eligen simultáneamente su estrategia o jugada.
• Los juegos en forma extensiva, donde los jugadores eligen su
jugada en forma alternativa.
Son juegos en los que los jugadores mueven
simultáneamente o en los que éstos desconocen los
movimientos anteriores de otros jugadores.
Reglas de acción en juegos simultáneos
1. Elegir la estrategia dominante
2. Eliminar todas las estrategias dominadas bajo
consideración
3. Cuando se hayan explorado los caminos de buscar
estrategias dominantes y eliminar estrategias dominadas
Un jugador tiene información perfecta si conoce exactamente lo
que ocurre cada vez que toma una decisión.
TEORÍA DE JUEGOS
La empresa el cóndor, decide consultar una estrategia para
competir con la empresa Gremio. Ha desarrollado un modelo de
pronóstico de ventas de cada uno de sus productos de su empresa,
en función de sus decisiones y las de empresa Gremio. Estos datos
los han recogido de la matriz de pago que se muestra. ¿Cuál es el
informe que debe presentar a la empresa? Describir su estrategia,
la de empresa Gremio y valor del juego.
Empresa Gremio
Café Leche Azúcar Avena
Empresa El
Cóndor
Café 50 20 120 -50
Leche 60 20 70 60
Harina -20 0 -40 60
En este caso veremos como una empresa busca obtener ganancias con la
venta de sus productos y la otra lo que busca es minimizar sus perdidas.
Solución:
Podemos ver que la empresa el Cóndor cuenta con 3 productos y
Gremio cuenta con 4 productos, resolveremos este problema por medio
de estrategias dominados.
Comenzaremos con la empresa el Cóndor, la pregunta seria ¿necesita
competir con los 3 productos o le conviene eliminar alguno? Si fuere el
caso ¿Cuál producto eliminaríamos? Sería el producto que más se
vende.
Empezaremos a jugar con la empresa El Cóndor:
Vemos que la leche se vende más que la harina:
60 >-20 mientras vende 60 bultos de leche vende -20 bultos de harina.
20>0 mientras vende 20 bultos de leche se vende 0 bultos de harina.
70>-40 mientras vende 70 bultos de leche se vende -40 bultos de harina.
60≥60 mientras vende 60 bultos de leche se vende 60 bultos de harina.
Como sabemos la empresa el cóndor busca obtener mejores beneficios
con sus productos es por ello que eliminamos la harina que le
proporciona una perdida y el juego quedaría así:
Empresa Gremio
Café Leche Azúcar Avena
Empresa
El Cóndor
Café 50 20 120 -50
Leche 60 20 70 60
Jugador empresa Gremio: vemos que esta empresa busca
minimizar sus perdidas en cuanto a cada producto se refiere en
este caso veamos como vendiendo avena perdería menos que
vendiendo azúcar por lo tanto la empresa el gremio para perder
menos eliminaría la azúcar de su juego.
50>-120 vendiendo azúcar perdería 120 bultos y vendiendo avena
perdería 50 bultos.
60>70 vendiendo azúcar perdería 70 bultos y vendiendo avena
perdería 60 bultos.
Eliminamos el azúcar y el juego quedaría así:
Empresa Gremio
Café Leche Avena
Empresa
El Cóndor
Café 50 20 -50
Leche 60 20 60
Volvemos a jugar con la empresa El Cóndor vemos que la leche
domina al café por lo que diríamos que:
60≥50 mientras vende 60 bultos de leche vende 50 bultos de café.
20≥20 mientras vende 20 bultos de leche vende 20 bultos de café.
60>50 mientras vende 60 bultos de leche vende 50 bultos de
café.
Por lo tanto eliminamos el café y el juego quedaría así:
Empresa Gremio
Café Leche Avena
Empresa
El
Cóndor
Leche 60 20 60
Jugaría la empresa gremio como vemos la empresa siempre pierde
mientras la empresa el cóndor venda leche por lo tanto ella busca
minimizar su perdidas por ello eliminaría a la avena y el café:
20>-60 vendiendo café perdería bultos 60 y vendiendo leche
perdería 20 bultos.
20>-60 vendiendo avena perdería bultos 60 y vendiendo leche
perdería 20 bultos.
Por lo tanto eliminaríamos el café y la avena y el juego quedaría así:
Empresa Gremio
Leche
Empresa El
Cóndor Leche 20
Ganaría el juego la empresa el cóndor ya que buscaba maximizar
costos y con la trayectoria del ejercicio obtendría un beneficio de 20
bultos de leche si decide vender este producto por otro lado la
empresa el gremio que buscaba minimizar sus perdidas si decide
vender leche perdería solo 20 bultos con respecto a los demás
productos y sus perdidas serian menores.
