1. Esfuerzos in situ (campo lejano) en el nivel de transporte, considerando que se ubica a una profundidad de 2000 [m] (aprox.), con un K= 0,8, la densidad de la roca es de 2,65 [ton/m3]

Método 1Para encontrar los esfuerzos in situ podemos estimar el esfuerzo vertical como litoestático, para esto requerimos la profundidad de la excavación, constante de gravedad y la densidad del material sobrepuesto, las cuales conocemos:

ρ=2,65[ tonm3

]

h=2000[m ]

g=9,8[ ms2

]

σ v=ρ ∙g ∙hσ v=51.940 [Pa ]=51,94[MPa]

Para encontrar el esfuerzo horizontal sabemos que k=0,8 y además:

σ h=k ∙σv

σ h=41,55 [MPa ]

Método 2

Ecuaciones de Kirsch:

σ rr=p2[(1+K )(1−a2

r2 )−(1−K )(1−4a2

r 2 +3a4

r4 )cos(2θ)] (1)

σ θθ=p2

[(1+K )(1+ a2

r 2 )+(1−K )(1+3a4

r4 )cos (2θ)] (2)

σ rθ=p2

[(1−K)(1+2a2

r2 −3a4

r 4 )sen(2θ)] (3)

p=presión litoestática [ MPa ]=σv (calculadaanteriormente)

k=Coeficiente lateral deempuje geostatico

r=radio deanálisis [m ]

a=radio deexcavación [m]

Condiciones de esfuerzos in situ (campo lejano):

θ=0 °

r→∞

Las ecuaciones anteriores con las condiciones in situ quedan:

σ rr=k ∙ P

σ θθ=P

σ rθ=0

Entonces:

σ rr=41,55 [ MPa ]

σ θθ=51,94[MPa]

2. Esfuerzos inducidos en el contorno de la galería de transporte, considerando que es de sección circular de radio 3 [m] y evaluando el estado de esfuerzos para ϴ =0°, 45°, 90°.

Ecuaciones de Kirsch:

σ rr=p2[(1+K )(1−a2

r2 )−(1−K )(1−4a2

r 2 +3a4

r4 )cos(2θ)] (1)

σ θθ=p2

[(1+K )(1+ a2

r 2 )+(1−K )(1+3a4

r4 )cos (2θ)] (2)

σ rθ=p2

[(1−K)(1+2a2

r2 −3a4

r 4 )sen(2θ)] (3)

Con las nuevas condiciones de esfuerzos inducidos:

r=aLas ecuaciones de Kirsch quedan:

σ rr=0 [MPa]

σ θθ=p [(1+K )+2(1−K )cos(2θ)][MPa]

σ rθ=0[MPa]

Para los siguientes casos θ=0 ° , 45° ,90 °:

Para θ=0 º :

σ rr=0 [MPa]

σ θθ=p [(3−K)] [MPa ]

σ rθ=0[MPa]

Para θ=45 º :

σ rr=0 [MPa]

σ θθ=p [(1+K )][MPa]

σ rθ=0[MPa]

Para θ=90 º :

σ rr=0 [MPa]

σ θθ=p [(3 K−1)][MPa]

σ rθ=0[MPa]

Considerando los valores iniciales entregados anteriormente (k,p) se obtienen los esfuerzos que describen la zona estudiada dentro del marco de esfuerzos inducidos, estos corresponden a:

Para θ=0 º

σ rr=0 [MPa]

σ θθ=114,39[MPa]

σ rθ=0[MPa]

Para θ=45 º

σ rr=0 [MPa]

σ θθ=93,59[MPa]

σ rθ=0[MPa]

Para θ=90 º

σ rr=0 [MPa]

σ θθ=72,79[MPa ]

σ rθ=0[MPa]

3. Considerando el criterio de falla de Hoek & Brown, donde usted sabe que el UCS de la roca es de 150Mpa, que a≈0,5, m≈0 y s≈0,11, correspondientes a valores asociados a roca dura. Usted considera necesario evaluar la condición de estabilidad de la galería.

Para evaluar la condición de estabilidad de la galería haremos uso de la siguiente ecuación para el criterio de falla Hoek & Brown:

σ ' 1=σ '3+σci[mb

σ ' 3

σ ci

+s]a

Con m=0 (sin fricción) la recta de Hoek & Brown queda expresada:

σ ' 1(σ '3)=σ ' 3+σci(s)a

Reemplazando las constantes que definen nuestro macizo rocoso y considerando el valor de UCS de la roca, nuestra ecuación de la recta (envolvente de rotura) queda descrita de la siguiente forma:

σ ' 1(σ '3)=σ ' 3+49,749(MPa)

Con σ ' 1 esfuerzo efectivo máximo y σ ' 3 esfuerzo efectivo mínimo.

La recta obtenida se puede representar en la siguiente gráfica de σ ' 1 v /s σ ' 3:

Grafico 1: envolvente de rotura criterio Hoek & Brown para la recta σ ' 1=σ '3+49,749

Es sabido que en este criterio cualquier punto por encima de la recta representa inestabilidad del macizo a estudiar y por debajo, estabilidad por lo que se procede a evaluar los esfuerzos in situ e inducidos como puntos de estudio en el grafico 1. Además es necesario saber que σ θθy σ rr, pueden asociarse a esfuerzos de tipo vertical u horizontal, para establecer esto tenemos las siguientes relaciones matemáticas:

σ V=σVertical=ρ ∙g ∙h

Donde ρ corresponde a la densidad, h es la profundidad y g constante de gravedad. También debemos considerar que:

σ H=σHorizontal=K∗σ V

Para el análisis de la galería se considera:

K=0,8

Con las ecuaciones y parámetros se puede concluir que:

σ V>σ H

Esto nos dice que los esfuerzos verticales (σ θθ) son considerados en el eje “y” como esfuerzos efectivos máximos y en el eje “x” los esfuerzos horizontales (σ rr) como esfuerzos efectivos mínimos.

Recordamos los datos obtenidos en la sección 1 y 2 para ubicarlos en el grafico 1:

Esfuerzos in situ:σ rr=41,55 [ MPa ]

σ θθ=51,94[MPa]

Esfuerzos inducidos:σ θθ=114,39 [ MPa ] ; conθ=0 °

σ θθ=93,59 [MPa ] ;conθ=45 °

σ θθ=72,79 [MPa ] ;conθ=90 °

Grafico 2: ubicación de esfuerzos in situ e inducidos en el gráfico de Hoek & Brown.

Después de observar los puntos en el grafico 2, se puede concluir que los esfuerzos in situ no representan peligro de inestabilidad pero ocurre lo contrario con los esfuerzos inducidos que se encuentran por encima de la envolvente de Hoek & Brown, representando zona de inestabilidad presente en el contorno de la galería o excavación.

4. El esfuerzo normal y cortante sobre la discontinuidad más cercana a los eventos sísmicos destacada en Fig2, sabiendo que la distancia entre la discontinuidad y la galería es de 20m y 50 m, para el punto asociado a evento 1 y evento 2 respectivamente. Considere la estructura abierta, sin relleno con manteo de 40° Considere paralelismo de la discontinuidad con la galería para ambos puntos de análisis (solo cambia la distancia entre el punto y la caja de la galería).

Por trigonometría, suma de componentes de fuerzas y área unitaria a la cual está asociada la discontinuidad, los esfuerzos normales y tangenciales se definen como:

σ n=σθθ ∙cos2(θ)

ζ rθ=σθθ ∙ sen(θ) ∙cos (θ)

Además considerado la circunstancia de campo lejano se asume esfuerzo hidrostático por ende, con k=1 se tiene:

σ θθ=p2

[(1+K )(1+ a2

r 2 )+(1−K )(1+3a4

r4 )cos (2θ)]

σ θθ=p [(1+ a2

r 2 )]

Evento 1:

a=3[m ]

r=20 [m ]

h=2090[m ](cota evento 1)

θ=40 º

Con los parámetros utilizados anteriormente se obtienen los valores asociados a esfuerzos normales y cortantes, estos valores corresponden a:

σ n1=29,89

τ rθ1=25,08

Evento 2:

a=3[m ]

r=50[m ]

h=2031[m ](cota evento 2)

θ=40 º

Con los parámetros utilizados anteriormente se obtienen los valores asociados a esfuerzos normales y cortantes, estos valores corresponde a:

σ n2=28,53

τ rθ2=23,94

5. Considerando que la resistencia de la discontinuidad está dada por τ=σ ∙ tan (∅+i) con un ángulo de fricción de 30°, ¿cuál es la condición de estabilidad para ambos puntos analizados de la discontinuidad?

Teniendo en cuenta la expresión entregada:

τ=σ ∙ tan (∅+i )(1)

Donde el ángulo ∅ es al ángulo de fricción (30º), y el ángulo i corresponde al ángulo de inclinación, y recordando que no hay relleno en la discontinuidad.

Y además:

σ n=σθθ ∙cos2 (θ )(2)

τ rθ=σθθ ∙ sen (θ ) ∙cos (θ )(3)

Con (1), (2) y (3) se tiene:

σ θθ ∙ sen (θ ) ∙cos (θ )=σθθ ∙cos2 (θ ) ∙ tan (∅+i )(4 )

Se puede decir que ocurre deslizamiento si:

σ θθ ∙ sen (θ ) ∙cos (θ ) ≥σθθ ∙cos2 (θ ) ∙ tan (∅+i )(5)

Por ende ocurre si y solo si:

tan (θ )≥ tan (∅+i )(6)

Se observa claramente que la condición de estabilidad depende solamente del ángulo que describe la trayectoria desde el punto central de la excavación hasta el punto del contorno de esta y el ángulo de inclinación.

Evento 1:

τ rθ1=σn1 tan(∅+i)

Evento 2:

τ rθ2=σn2 tan(∅+i)

Donde:

θ=40 º∅=30 º

Obteniendo de la ecuación (6)

i≤10 º

Esto indica que para un ángulo de 30º, el macizo analizado fallara si es que la inclinación del plano de discontinuidad es menor a 10º.

6.-Mencione 2 posibles factores que favorecieron la generación del estallido de roca.

Un factor que influye son las PROPIEDADES DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DEL MEDIO GEOLÓGICO en este caso estudiado el UCS de la roca es de 150Mpa. Se sabe que las rocas más propensas al estallido son las que poseen una resistencias compresiva entre 100 y 400 [Mpa], esto es debido a que a mayor resistencia a la compresión, el medio es más “duro’ y por ende más frágil y al tratar de soportar esfuerzos, la roca no podrá almacenar deformación y solo “estallará” cuando llegue al límite de esfuerzo.

El segundo factor son los esfuerzos inducidos a causa de la excavación. Como se hizo el análisis en la sección 3 según Hoek & Brown, se pudo observar que esos esfuerzos producirían inestabilidad en la galería. En las zonas de altas concentraciones de esfuerzos inducidos, sucede que el almacenamiento de la energía de deformación en esos sectores produce una fuente de energía sísmica que puede generar el estallido de rocas.