FS-0515. Mecanica teorica. Tareas nos. 4 y 54 de abril del 2014

En vista de los feriados del 11, 15, 18 y 25 de abril, esta asignatura consiste dedos tareas, con puntajes separados, a ser entregadas al inicio de la leccion del 2 demayo. Todos los problemas valen veinte puntos, excepto el problema 4 de la tarea 4,que incluye una ultima parte optativa con valor de 3 puntos.

Tarea 4

1. Plano movil IUn bloque de masa m es mantenido en reposo sobre un plano de masa M con

angulo de inclinacion α, como se muestra en la figura. El plano descansa sobre unamesa horizontal. No hay friccion entre ninguna de las superficies. En el instante t = 0se suelta el bloque, de manera que tanto el bloque como el plano inclinado comienzana moverse. Llamaremos a = (ax, ay) a la aceleracion del bloque y A = (Ax, Ay) a laaceleracion del plano, expresadas en componentes horizontales y verticales.

x

y

m

Mα

(a) (2 puntos) Para t > 0, dibuje diagramas de cuerpo libre tanto para el bloquecomo para el plano, en terminos de la magnitud de la fuerza normal N entre elplano y el bloque.

(b) (2 puntos) Aplicando las leyes de Newton, escriba las ecuaciones de movimientoen terminos de N y los componentes de las aceleraciones.

(c) (2 puntos) Encuentre la relacion entre ax, ay y Ax.

(d) (2 puntos) Use los resultados de (b) y (c) para resolver por el valor de N .

(e) (2 puntos) Encuentre el valor de Ax.

1

Ahora resolveremos el mismo problema usando mecanica lagrangiana. Llame x1a la posicion horizontal del plano y x2 a la posicion horizontal del bloque.

(f) (2 puntos) Exprese la posicion vertical del bloque en terminos de x1 y x2.

(g) (3 puntos) Usando el resultado de (a), exprese el langrangiano L en terminosde x1,2 y x1,2.

(h) (2 puntos) Usando la ecuacion de Euler-Lagrange, encuentre las ecuacionesde movimiento para x1,2.

(i) (3 puntos) Resuelva las ecuaciones para obtener x1. La respuesta debiera con-cordar con el Ax del problema 1.

2. Plano movil IIConsideremos ahora un sistema similar al del problema 1, pero en el que lugar del

bloque hay una esfera homogenea de masa m y radio r, que rueda sin resbalar sobrela superficie del plano inclinado.

x

ym

Mα

θr

(a) (8 puntos) Encuentre el lagrangiano correspondiente en terminos de x, θ y suscorrespondientes velocidades, donde x es el desplazamiento horizontal del planoinclinado y θ el angulo que la esfera ha girado en torno a su centro.Consejo: Recuerde que el momento de inercia de una esfera homogenea esI = 2mr2/5.

(b) (6 puntos) Encuentre las ecuaciones de movimiento para x y θ.

(c) (6 puntos) Eliminando x en el resultado de (b), obtenga una ecuacion solo paraθ. Resuelvala por integracion en el caso en que los objetos estan inicialmenteen reposo y el centro de la esfera comienza a una altura vertical h.

2

3. Resorte pendularUna masa m esta sujeta a un resorte cuya longitud de equilibrio (sin ninguna

tension) es `0 y cuya constante elastica es k. El otro extremo del resorte esta sujetoal techo. Las condiciones iniciales son tales que la masa que se mantiene en el planode la pagina.

m

θ

rg

(a) (4 puntos) Escriba el lagrangiano correspondiente en terminos de los gradosde libertad r y θ que se muestran en la figura.

(b) (6 puntos) Encuentre las ecuaciones de movimiento y expreselas en terminosde las variables θ y λ ≡ (r − r0)/r0, en que r0 es la longitud del resorte enequilibrio cuando de el cuelga verticalmente la masa m. Utilice tambien losparametros ωs ≡

√k/m, ωp ≡

√g/r0.

(c) (4 puntos) Escriba una aproximacion lineal a las ecuaciones de movimiento,valida para valores pequenos de θ, λ y sus respectivas velocidades.

(d) (6 puntos) Si en el momento t = 0 tenemos condiciones iniciales θ = 0,θ = ωpA, λ = B, λ = 0, encuentre la solucion a las ecuaciones lineales dela parte (c), en terminos de las constantes A,B.

4. Balın en orbitaUn balın de masa m se mueve sin friccion sobre una superficie de revolucion en

torno al eje z, que puede ser expresada en coordinadas cilındricas (r, φ, z) como

z(r) = −1

r. (1)

La unica fuerza externa es la gravedad, que apunta en la direccion z negativa.

3

z

r

m φ

(a) (2 puntos) Exprese la energıa potencial V como funcion de r.

(b) (4 puntos) Exprese la energıa cinetica T en terminos de las coordenadas cilındricas.Ignore la rotacion del balın en torno a su centro de masa.Consejo: Puede consultar la seccion 4 del cap. 1 de Landau y Lifshitz.

(c) (4 puntos) Escriba el langrangiano como funcion de los dos grados de libertad:la distancia radial r y el angulo φ.

(d) (4 puntos) Exprese la solucion a la ecuacion de movimiento para φ como con-servacion de una cantidad ` (el momentum angular del balın).

(e) (6 puntos) Usando el resultado de (d), exprese la ecuacion de movimiento enterminos del grado de libertad r unicamente.

(f) (3 puntos) Optativo: Investigue en que circunstancias el movimiento en r delbalın se asemeja a la orbita de un planeta alrededor del sol.

5. Accion mınimaUsted lanza una bola de masa m directamente hacia arriba. La bola regresa a sus

manos en un tiempo T . Supongamos que se le hubiera olvidado lo que aprendio enFısica 1 sobre movimiento de proyectiles. Lo unico que alcanza es a adivinar que laaltura y de la bola es alguna funcion cuadratica del tiempo:

y(t) = a0 + a1t+ a2t2. (2)

(a) (2 puntos) Sabiendo que y(0) = y(T ) = 0, determine dos de los tres parametrosai en la ec. (2).

(b) (6 puntos) Exprese la accion S[y(t)] de la bola en terminos del parametroindeterminado que le quedo en la parte (a).

4

(c) (6 puntos) Encuentre el valor de ese parametro que minimiza el valor de S.Muestre que esto concuerda con lo que aprendio en Fısica 1 (que repentinamentele ha vuelto a la memoria).

(d) (6 puntos) Demuestre que la trayectoria clasica de la bola es un mınimo ab-soluto de la accion.

Tarea 5

1. Curva braquistocronaEn este problema se le pedira que complete algunos de los pasos que obviamos al

discutir el problema de la curva braquistocrona en clase.

(a) (8 puntos) Demuestre que la ecuacion de Euler-Lagrange para el “langrangiano”

L(y, y′) =

√1 + y′2

y(3)

esy′′√y

= −1 + y′2

2y3/2. (4)

(b) (6 puntos) Re-exprese el resultado de (a) como

y′y′′

1 + y′2= −

y′√y

2y3/2. (5)

Integre ambos lados de la ec. (5) para obtener

1 + y′2 =B

y(6)

donde B es una constante de integracion.

(c) (6 puntos) Demuestre que la curva parametrizada por

x = a(θ − sin θ), y = a(1− cos θ) (7)

es una solucion a la ec. (6). Exprese el valor de B en terminos de a.

5

2. Separacion crıticaVimos en clase como obtener una ecuacion diferencial para la funcion y(x) cuya

superficie de revolucion en torno al eje x minimiza el area superficial. Vimos que estaes la forma que adopta una pelıcula de jabon sujeta a dos aros co-axiales y de formacircular.

Dijimos que hay una separacion crıtica de los aros, tal que para separacionesmayores que ese valor la pelıcula de jabon se rompe, dejando dos pelıculas planasseparadas, una en cada aro.

Por sencillez, consideremos el caso particular en que los dos aros tienen el mismoradio r. Su separacion es 2`. Colocamos el primer aro en la posicion x1 = −` y elsegundo aro en la posicion x2 = `. Como vimos, esto significa que debemos resolverlas ecuaciones:

r =1

bcosh [b(±`+ d)] (8)

(a) (4 puntos) Muestre que la ecuacion ec. (8) solo puede tener solucion si d = 0.Consejo: Piense en cuando hay dos valores a1,2 tales que cosh a1 = cosh a2

(b) (4 puntos) Definamos las cantidades adimensionales η ≡ `/r y z ≡ br. Usandoel resultado de (a), exprese la ec. (8) en terminos de η y z.

(c) (6 puntos) Utilizando algun software para graficar curvas, encuentre (por tan-teo) un valor numerico aproximado para el maximo η tal que la ecuacion queobtuvo en la parte (b) tiene solucion.

(d) (6 puntos) Traduzca el resultado de la parte (c) a un valor crıtico de la sepa-racion entre los dos aros, como funcion del radio r.

3. CatenariaUna cadena flexible de longitud fija L y densidad lineal uniforme λ cuelga de sus

extremos, sujetos en las posiciones (x = ±`, y = h), como se muestra en la figura.Cuando 2` < L, la cadena cuelga flojamente y adquiere una forma descrita por unafuncion y(x).

(a) (4 puntos) Exprese la energıa gravitacional total de la cadena, V , como unaintegral en terminos de y y su derivada. Explique claramente por que la config-uracion de equilibrio debe minimizar V .

(b) (4 puntos) Usando un multiplicador de Lagrange, obtenga la ecuacion difer-encial para y y resuevala.

(c) (4 puntos) Si la cadena cuelga con una altura mınima c (ver la figura), obtengauna ecuacion transcendental que relacione h/c con h/`.

6

2l

hc

(d) (4 puntos) Encuentre la solucion para y(x) cuando h/` � 1. Interprete suresultado fısicamente.

(e) (4 puntos) Encuentre la tension de la cuerda en los puntos en que la cuerdaesta sujetada.

4. Restriccion sobre un planoUn bloque de masa m se desliza sin friccion sobre un plano inclinado a un angulo

α con respecto a la vertical, como en el problema 1 de la tarea 4.

(a) (6 puntos) Exprese la condicion de que el bloque permanezca sobre la su-perficie del plano, en terminos de la coordenada vertical y del bloque y lascoordenadas horizontales x1,2 del plano y del bloque respectivamente.

(b) (7 puntos) Utilizando el metodo de multiplicadores de Lagrange, encuentre lasecuaciones de movimiento para el bloque y el plano y corrobore que concuerdancon el resultado de la tarea 4.

(c) (7 puntos) A partir del multiplicador de Lagrange, encuentre la fuerza normalque el plano ejerce sobre el bloque.

5. Restriccion sobre una curvaUna cuenta de masa m se desliza sin friccion y con rapidez v a lo largo de un cable

rıgido cuya forma describe una curva y = f(x). Todo el cable yace en el plano x-y.Ignorando la gravedad, encuentre la fuerza que el cable ejerce sobre la cuenta.

7