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  • Sistemas de ecuaciones lineales

    Silvio Reggiani

    Álgebra y Geometŕıa Anaĺıtica II (LCC) FCEIA - UNR

    30 de noviembre de 2016

  • Estudiaremos sistema de m ecuaciones (lineales) con n incógnitas x1, x2, . . . , xn

    A11x1 + A12x2 + · · ·+ A1nxn = y1 A21x1 + A22x2 + · · ·+ A2nxn = y2

    ... (S)

    Am1x1 + Am2x2 + · · ·+ Amnxn = ym

    El sistema (S) se puede representar matricialmente

    (S) ⇐⇒ AX = Y

  • A =

     A11 A12 · · · A1n A21 A22 · · · A2n ...

    ... . . .

    ... Am1 Am2 · · · Amn

     matriz de coeficientes

    X =

     x1 x2 ...

    xn

     vector incógnita

    Y =

     y1 y2 ...

    ym

     términos independientes

  • 1 Una solución del sistema (S) es una n-upla (x1, x2, . . . , xn) tal que AX = Y .

    2 El sistema (S) se dice homogéneo si y1 = y2 = · · · = ym = 0 3 Un sistema homogéneo siempre admite la solución

    x1 = x2 = · · · = xn = 0, llamada la solución trivial 4 ... aunque podŕıa tener soluciones no triviales

  • Definición

    Dos sistemas

    AX = Y (S1)

    A′X = Y ′ (S2)

    con A,A′ ∈ Fm×n, Y ,Y ′ ∈ Fm×1 se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. O sea, toda solución de (S1) es solución de (S2) y viceversa.

    Ejercicio

    Esto efectivamente define una relación de equivalencia en el conjunto de todos los sistemas de m ecuaciones con n incógnitas.

    Idea de trabajo: para resolver un sistema AX = Y pasamos a un sistema equivalente que sea más fácil de resolver.

  • Ejemplo

    Encontrar las soluciones de

    2x1 − x2 + x3 = 0 x1 + 3x2 + 4x3 = 0

    (S1)

    Sumamos −2 veces la 2da ecuación a la primera

    −7x2 − 7x3 = 0 x1 + 3x2 + 4x3 = 0

    (S2)

    Multiplicamos la 1ra ecuación por −1/7

    x2 + x3 = 0

    x1 + 3x2 + 4x3 = 0 (S3)

  • Ejemplo (cont.)

    Sumamos −3 veces la 1ra ecuación a la 2da

    x2 + x3 = 0

    x1 + x3 = 0 (S4)

    Los sistemas (S1), (S2), (S3), (S4) son equivalentes

    Solución: x1 = x2 = −x3, o más precisamente, el conjunto de soluciones del sistema (S1) es

    {(−x3,−x3, x3) : x3 ∈ F}

    ¿Cómo podemos formalizar este procedimiento para aplicarlo a otros sistemas lineales?

  • Operaciones de eliminación

    Pasamos de un sistema (S) a un sistema (S’) sumando a la i-ésima ecuación α veces la k-ésima ecuación (con k 6= i)

    Si la i-ésima y la k-ésima ecuación de (S) son

    Ai1x1 + Ai2x2 + · · ·+ Ainxn = yi Ak1x1 + Ak2x2 + · · ·+ Aknxn = yk ,

    entonces la i-ésima ecuación de (S’) es

    (Ai1+αAk1)x1+(Ai2+αAk2)x2+· · ·+(Ain+αAkn)xn = yi+αyk

    Luego, los sistemas (S) y (S’) son equivalentes

    Se llaman operaciones de eliminación porque eligiendo α apropiado se pueden ir eliminando incógnitas.

  • Operaciones de escalamiento

    Se pasa de un sistema (S) a un sistema (S’) multiplicando la i-ésima ecuación por un escalar α 6= 0

    Si la i-ésima ecuación de (S) es

    Ai1x1 + Ai2x2 + · · ·+ Ainxn = yi ,

    la i-ésima ecuación de (S’) es

    αAi1x1 + αAi2x2 + · · ·+ αAinxn = αyi ,

    Luego (S) y (S’) son equivalentes

  • Operaciones de intercambio

    Pasamos de un sistema (S) a un sistema (S’) intercambiando dos ecuaciones

    Estos dos sistemas son trivialmente equivalentes

    Esta operación tiene importancia cuando trabajamos con la representación matricial

    Pregunta

    Si el sistema (S) se representa matricialmente por AX = Y , ¿cuál es la representación matricial del sistema (S’)? (En donde (S’) se obtuvo aplicando alguna de las operaciones anteriores.)

  • Operaciones elementales por filas (OEF)

    Sea A una matriz con m filas. Definimos tres tipos de OEF sobre A

    Tipo I Se multiplica la fila r por un escalar α 6= 0 Tipo II Se suma a la fila r , α veces la fila s, con r 6= s

    Tipo III Se intercambia la fila r con la fila s

    Más precisamente, una OEF e sobre A devuelve la matriz e(A) dada por

    Tipo I e(A)ij =

    { Aij , i 6= r αArj , i = r

    Tipo II e(A)ij =

    { Aij , i 6= r Arj + αAsj , i = r

    Tipo III e(A)ij =

     Aij , i 6= r , s Asj , i = r

    Arj , i = s

  • Observación

    Las OEF también se pueden aplicar a vectores columna de tamaño m (o sea, con m filas)

    Teorema

    Sean A ∈ Fm×n, Y ∈ Fm×1. Si e es una OEF entonces los sistemas

    AX = Y , e(A)X = e(Y )

    son equivalentes.

  • Definición

    Sean A,B ∈ Fm×n. Se dice que B es equivalente por filas a A si se puede pasar de A a B por una sucesión finita de OEF.

    Ejercicio

    Equivalencia por filas es una relación de equivalencia en Fm×n.

    Corolario

    Si B es equivalente por filas a A, entonces los sistemas

    AX = 0, BX = 0

    son equivalentes.

  • Dem.

    Existen OEF e1, e2, . . . , ek tales que B = ek(· · · e2(e1(A))) Toda solución de AX = 0 es solución de BX = 0. En efecto,

    AX = 0 =⇒ e1(A)X = 0 e1(A)X = 0 =⇒ e2(e1(A))X = 0 . . .

    . . . =⇒ · · · =⇒ ek(· · · e2(e1(A)))X = BX = 0 Toda solución de BX = 0 es solución de AX = 0. En efecto,

    B equivalente por filas a A =⇒ A equivalente por filas a B. Luego el argumento anterior también sirve para demostrar esto.

  • Ejemplo

    Resolver el sistema (homogéneo)

    2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 0 x1 + 4x2 − x4 = 0

    2x1 + 6x2 − x3 + 5x4 = 0 (S)

    El sistema (S) se representa matricialmente como AX = 0 en donde

    A =

    2 −1 3 21 4 0 −1 2 6 −1 5

     Aplicamos OEF sobre A para pasar a un sistema equivalente más fácil de resolver

  • Ejemplo (cont.)

    A =

    2 −1 3 21 4 0 −1 2 6 −1 5

     f1→f1−2f2−−−−−−−→ Tipo II

    0 −9 3 41 4 0 −1 2 6 −1 5

     f3→f3−2f2−−−−−−−→

    Tipo II

    0 −9 3 41 4 0 −1 0 −2 −1 7

     f3→− 12f3−−−−−−→ Tipo I

    0 −9 3 41 4 0 −1 0 1 12 −

    7 2

     f2→f2−4f3−−−−−−−→

    Tipo II

    0 −9 3 41 0 −2 13 0 1 12 −

    7 2

     f1→f1+9f3−−−−−−−→ Tipo II

    0 0 152 −5521 0 −2 13 0 1 12 −

    7 2

     f1→ 215f1−−−−−→

    Tipo I

    0 0 1 −1131 0 −2 13 0 1 12 −

    7 2

     f2→f2+2f1−−−−−−−→ Tipo II

    0 0 1 −1131 0 0 173 0 1 12 −

    5 3

     f3→f3− 12f1−−−−−−−→

    Tipo II

    0 0 1 −1131 0 0 173 0 1 0 −53

     =: R

  • Ejemplo (cont.)

    El sistema AX = 0 es equivalente a RX = 0

    O sea, es equivalente a

    x3 − 11

    3 x4 = 0

    x1 + 17

    3 x4 = 0

    x2 − 5

    3 x4 = 0

    Puedo poner todo en función de x4

    x1 = − 17

    3 x4 x2 =

    5

    3 x4 x3 =

    11

    3 x4

    Sol = {

    (−173 c, 5 3 c ,

    11 3 c , c) : c ∈ F

    } = {(−17c , 5c , 11c , 3c) : c ∈ F}

  • Matrices elementales

    Sea e una OEF que aplica sobre matrices con m filas. La matriz elemental asociada a e es E = e(I ) en donde I es la matriz identidad m ×m.

    Ejemplo (m = 4)

    e = ”f2 ↔ f4” E =

    1 0 0 00 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0

     e = ”f3 → αf3” E =

    1 0 0 00 1 0 00 0 α 0 0 0 0 1

     e = ”f1 → f1 + αf4” E =

    1 0 0 α0 1 0 00 0 1 0 0 0 0 1

    

  • Teorema

    Sea e una OEF y sea E = e(Im) su correspondiente matriz elemental. Entonces para toda A ∈ Fm×n vale

    e(A) = EA

    Dem.

    Hay tres casos según el tipo de OEF. Haremos la prueba para operaciones Tipo I y II, dejando como ejercicio las del Tipo III.

  • Dem. (cont.)

    Tipo I

    e = ”fr → αfr”, α 6= 0,

    E = e(I ) =

    { δij , i 6= r αδrj , i = r

    (EA)ij = m∑

    k=1

    EikAkj =

    

    m∑ k=1

    δikAkj = Aij , i 6= r

    m∑ k=1

    αδrkAkj = αArj , i = r

    Luego EA = e(A)

  • Dem. (cont.)

    Tipo II

    e = ”fr → fr + αfs”, r 6= s

    E = e(I ) =

    { δij , i 6= r δrj + αδsj , i = r

    Calculamos (EA)ij para i 6= r

    (EA)ij = m∑

    k=1

    EikAkj = m∑

    k=1

    δikAkj = Aij

    Calculamos (EA)rj

    (EA)rj = m∑

    k=1

    ErkAkj = m∑

    k=1

    (δrk + αδsk)Akj

    = m∑

    k=1

    δrkAkj + α m∑

    k=1

    δskAkj = Arj + αAsj

  • Dem. (cont.)

    (EA)ij =

    { Aij , i 6= r Arj + αAsj , i = r

    Luego (EA) = e(A)

    Observación importante

    Las matrices elementales son invertibles.

    Dem 1 El determinante de una matriz elemental es siempre no nulo (¿por qué?), y por lo tanto la matriz resulta invertible.

    Dem 2 Las OEF son “inve