SEMANA 7 ECUACIONES LINEALES Y

SITEMAS LINELALES

DEFINICIÓN La ecuación es una igualdad condicional que se verifica para los valores particulares asignados a sus incógnitas. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES I. ATENDIENDO A SU POSIBILIDAD DE SOLUCIÓN

Las ecuaciones podrán ser:

Ecuación compatible. Es aquella que admite solución, ésta a su vez podrá ser: a) Determinada: Si presenta un número limitado de

soluciones. b) Indeterminada: Si presenta un número ilimitado de

soluciones. Ecuación Incompatible: Es aquella que no admite solución, frecuentemente se le da el nombre de Ecuación Absurda.

II. ATENDIENDO A LA NATURALEZA DE LAS EXPRESIONES QUE INTERVIENEN EN LA IGUALDAD

Las ecuaciones serán: Ecuación Algebraica: Es aquella en cuyos miembros de igualdad solamente intervienen expresiones algebraicas. Una ecuación algebraica puede ser: Ecuación Algebraica Racional: Es aquella en donde la incógnita sólo podrá tener como exponentes a números enteros, estas ecuaciones a su vez podrán ser enteras o fraccionarias.

Citamos por ejemplo a:

I. 2

2x 1 x 4 , es una ecuación algebraica racional entera llamada también ecuación polinomial

II. 1

x 3 2x

, es una ecuación algebraica racional

fraccionaria. Ecuación Algebraica Irracional: Es aquella en donde la incógnita se encuentra afectada por algún signo radical. Podemos citar por ejemplo a:

I. 3x 2 x 1 2 3 x 2

II. 23

2x 1 2x 3 x Ecuación Trascendente. Es aquella donde al menos uno de los miembros de la igualdad es una expresión trascendente. Podemos citar como por ejemplo a:

I. x 2

2 x x 2 II. sen3x 1 0

III. 2 3

1 x x x 2

IV. x 1

2 6

V. Log5x 2 x

III. ATENDIENDO A SUS INCÓGNITAS

Las ecuaciones podrán ser de una, dos, tres o más incógnitas. Podemos citar por ejemplo a:

1. 2x 4 x 1 , ecuación con una sola incógnita x

2. x 2y 1 , ecuación con dos incógnitas x y

IV. ATENDIENDO A SU GRADO Las ecuaciones podrán ser de primer grado (o lineales), de segundo grado (o cuadráticas), de tercer grado (o cúbicas), … etc.CUACIÓN DE PRIMER GRADO Es aquella cuya forma general es:

ax b 0

Donde a las letras “a” y “b” so números reales con a diferente de cero. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Despejando “x” de la relación “ ”, obtenemos la solución de primer grado:

bx

a

SISTEMA DE ECUACIONES

Son dos o más ecuaciones con dos o mas incógnitas que han

de ser resueltos simultáneamente.

Ejemplo: de un sistema:

x y ra Ecuación

x y da Ecuación

2 3 18 1 .

6 2 10 2

Este sistema tiene dos incógnitas que son x e y; consta también

de dos ecuaciones en las cuales las incógnitas tiene el mismo

valor.

Conjunto Solución: El conjunto solución de un sistema de dos

ecuaciones de primer Grado con dos variables, tiene como

elemento a las soluciones comunes de dichas ecuaciones.

El conjunto solución puede tener un sólo elemento (un sólo

para ordenado). En este caso, se dice que el sistema es

Consistente.

ANALISIS DE LAS RAISES DE UN SISTEMA DE

ECUACIONES

1 1 1

2 2 2

.........(1):

...........(2)

a x b y cSea el sistema

a x b y c

Se cumple:

si:

a b c

a b c1 1 1

2 2 2

Infinitas soluciones

Si:1 1 1

2 2 2

a b c

a b c No hay solución

1 1

2 2

a b

a b

Única solución

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

A) 2 B) – 2 C) 3

D) – 3 E) 1

Problema 5

La suma de tres números pares consecutivos es 66.

Halle el menor de los números.

A) 15 B) 20 C) 30

D) 35 E) 10

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Problema 11

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

SEMANA 8 ECUACIONES

CUADRÁTICAS Definición: Son ecuaciones que tienen la forma:

0a0cbxax2

Donde: :ax2 Termino cuadrático

bx : Termino lineal c : Termino independiente o constante

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.

1) Por formula: reemplazando los coeficientes de la ecuación en la formula (Baskara)

a2

ac4bbx

2

2) Por factorización: La ecuación se factoriza, y

cada uno de los factores obtenidos se iguala a cero.

Nota: A las soluciones de una ecuación se les conoce con el nombre de raíces de la ecuación.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO La naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado depende de la discriminante de la raíz, que esta dada por:

ac4b2

> 0 Las raíces son reales y diferentes

Discrimina

nteee

< 0 Las raíces son complejas y conjugadas

= 0 Las raíces son iguales y reales

= 2k

La ecuación se resuelve factorizando

b = 0 Las raíces son simétricas

baxbax 21

c = 1 Las raíces son reciprocas

a/1xax 21

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Sea la ecuación: 0cbxax2

Y sus raíces son: 21 xyx entonces:

a

bxx

21

a

cx.x 21

c

b

xx

21

11

FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

1. Si las raíces son 21 xyx la ecuación se formará

2. haciendo: 0xxxx 21

3. formará de la siguiente manera:

0xxxxxx 21212

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Problema 11

Problema 12 Hallar el mayor valor entero positivo de “K” para que las raíces de la ecuación:

x2 – 8x + k =0 Sean reales y diferentes a)12 b)14 c)15 d)16 e)17

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

SEMANA 9 DESIGUALDADES E

INECUACIONES

Inecuaciones: Son desigualdades que se verifican para ciertos valores de sus variables. Notación:

> Mayor ; Mayor o igual

< Menor ; Menor o igual INTERVALOS:

A. Intervalo Abierto: Es aquel campo de

valores en el que no se incluyen los

extremos.

a < x < b ó x ] a; b[

B. Intervalo Cerrado: Es aquel campo de

valores en el que se le incluyen los

extremos.

a x b ó x [a; b]

C. Intervalos Semicerrados o Semiabiertos:

a x < b

a < x b PROPIEDADES:

1. Si a < b y c < b a + c < b +d

2. Si a < b y c > b a – c < b – d

3. Si c > 0 y a < b ac < bc

4. Si c < 0 y a < b ac > bc

5. Si am > an y a > 1 m > n

6. Si am > an y 0 < a < 1 m < n INECUACIONES DE PRIMER GRADO Son aquellas que presentan una de las siguientes formas generales:

ax + b > 0 ; ax + b < 0 ; ax + b 0 ; ax + b 0 Resolviendo:

ax + b < 0 ax < -b x < a

b

NOTA: Para resolver inecuaciones de primer grado se despeja la variable teniendo en cuenta las propiedades. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS: El método consiste en pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro. Se factoriza la expresión, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos críticos. Estos puntos críticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos (+) y (-) en forma alternada empezando de derecha a izquierda.

1er CASO: Si la inecuación resultante es > 0 ó 0 la solución es la región positivo o la unión de estas.

2do CASO: Si la inecuación resultante es < 0 ó 0 , la solución es la región negativa o la unión de estas.

Propiedades:

I. Trinomio siempre positivo

Si: 2 ;ax bx c x > 0 ,

Entonces: 2 4a b ac > O < 0

I. Trinomio siempre negativo

Si: 2 ;ax bx c x < 0

Entonces 2 4a b ac < O < 0

Inecuaciones fraccionarias

( )

0 ( ). ( ) 0 / ( ) 0( )

p x

p x q x q xq x

> >

< <

Inecuaciones irracionales

Forma: +2n A > B ;n

Se resuelve:

2

1

2

( 0 0 )

( 0 0)

nS A B A B

S A B <

1 2CS S S

Forma: < +2n A B ;n

- + a b

- + a b

-

+ a b

- +

a b

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Resolver: 2x + 4 3x + 6 5x – 10

A) [–2, [ C) [8, [ E) [2, [

B) [–8, [ D) Problema 5

Problema 6

Problema 7 Al resolver la inecuación: X2 – 9x + 18 < 0 Se obtiene que x<a,b>. Hallar: a + b A) -3 B) 0 C) 2 D) 8 E) 9

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Problema 11

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

SEMANA 10 FUNCIONES I

Funciones Toda relación entre dos conjuntos no vacíos A y B, que verifique: Todo elemento de A está relacionado con

alguno del conjunto de B.

Cada elemento de A está relacionado con un

único elemento de B.

Se llama función de A en B, es decir:

f AxB es una función de A en B, si y sólo si:

x A, ! y B / (x; y) f

Notación: f : A B ó A B Se lee: f es una función de A en B. CONDICIÓN DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Sea la función: f : A B

i. Para cada x A, y B / (x; y) f

ii. Si (x; y) f (x; z) f y = z

Ejemplo: Cumple la condición de existencia y unicidad.

f = {(a; m), (b; n), (c; n)} es función. No cumple la unicidad.

g = {(1;6), (2;4), (2;5), (3;6)} es una relación pero no es una función

f

.

m .n

.p

a

b

c

A B

f

.4

.5

.6

1

2

3

A B

g

Dominio de una Función Está dado por el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la función y se denota por Dom f, así:

Dom f = {x A / ! y B / (x; y) f } Rango de la Función Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que pertenecen a la función y se denota por Rang f, así:

Rang f = {y B / x A (x; y) f }

Regla de Correspondencia Es la ecuación dada por: Que nos permite calcular la imagen de un elemento del dominio. Con ella podemos relacionar los elementos del dominio y del rango. Así:

f : A B

x y = f(x) Donde podemos decir que: x es la variable independiente y es la variable dependiente GRÁFICA DE FUNCIONES Función real en variable real

Sea f: A B, si A R B R; diremos que f es una función real de variable real. Gráfica De Una Función Si g es una función real de variable real, la gráfica de g es la representación geométrica de todos los pares ordenados que pertenecen a g.

Graf g = {(x;y) R2 / y = g(x), x Df}

Teorema Sea f: R R, Si toda recta paralela al eje “y” corta a la gráfica de f en a lo más un punto, dicha gráfica será la representación de una función.

Ejemplo:

SEMANA 11 FUNCIONES II

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Nota:

1. Toda función es una relación,

lo recíproco no siempre es

cierto.

2. En una función, 2 pares

ordenados distintos no deben

tener la misma primera

componente.

y = f(x)

y

x

f

Es una

función

Nota:Generalmente una función

estará bien definida cuando se

especifique su dominio y regla de

correspondencia.

y

x

rect

a

No es una

función

f

Problema 4

Problema 5

Problema 6 Determine el número de elementos enteros del dominio de la función, definida por

3 22 50126)( xxxxxf

A) 5 B) 4 C) 7 D) 6 E) 3

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

Problema 11

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

SEMANA 11 A) FUNCIONES

ESPECIALES

1) Función Constante:

Regla de correspondencia: f(x) = c

2) Función Identidad

Regla de correspondencia:

y

x

Df = R c

f c >

0

Rf = {c}

Y = f(x) = x

y

x

f

45°

b

a

3) Función Valor Absoluto

Regla de correspondencia:

0x,x

0x,xx)x(f

0RRf,RDf

4) Función Raíz Cuadrada

Regla de correspondencia 0x/x)x(f

o

o

RRf

RDf

B) FUNCIONES POLINOMIALES

1) Función Lineal

Sea: f(x) = ax + b / a 0

RDf

RRf

2) Función Cuadrática

Sea : f(x) = ax2 + bx + c / a 0 Completando cuadrados, transformarlo en:

f(x) = a(x - h)2 + k Donde:

V = (h, k) vértice. = b2 – 4ac, discriminante.

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1 Graficar : F(x) = 3x – 2

Problema 2

Problema 3

Problema 4 Si la función g queda definida por la siguiente regla de

correspondencia: 3(x 1)g 2

, calcule el valor de

3( 2 1) ( 2 1)g g

A) 1 B) 4 C)62 2

D) 32 2 E) 6 2

Rf = R, Rf

= R

y

x

f

45° 45°

y

x

f

x

y a>0

x

a<0

> 0

V

y

x

a>0

a<0

= 0

V

y

a>0

a<0

< 0

V

y

x

f

a > 0

b > 0

b

Problema 5 Luego de graficar : F(x)= - x2 + 6x -14 , se obtiene una parábola cuyo vértice está dado por el par ordenado (a; b). Calcular : a + b. a) 8 b) 2 c) -2 d) -8 e) 5 Problema 6 Graficar : F(x) = |x - 3|+ 2. Problema 7

Problema 8 Hallar el área de la región formada por las gráficas de las funciones F y G, tales que: F(x) = |x - 5| y G(x) = 3. a) 6 u2 b) 8 c) 9 d) 12 e) 16 Problema 9

Problema 10

Problema 11

Sea la función constante

f(x)=(a – 2)x2+(b – 1)x+(c – 5)

además, f(1)=f(2)=f(3)=8.

Halle f(4)+a+b+c.

A) 16 B) 21 C) 27

D) 12 E) 24 Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

Problema 16

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

SEMANA 12 INTRODUCCIÓN A LA

PROGRAMACIÓN LINEAL Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Determina el área de la región que forma el siguiente

sistema: x y 4x 0y 0

a) 4u2 b) 2u2 c) 16u2 d) 8u2 e) 6u2

Problema 5

Maximiza P(x; y) 3x 2y , sujeto a las siguientes

restricciones: x y 1x 0y 0

a) -2 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4

Problema 6

Maximiza la yxyxf 2),(

00

1

4

yx

yx

yx

a) 2 b)1 0 c)1 2 d) 3 e) No se puede.

Problema 7

Dada las siguientes condiciones: 2x 5y 20x 5y 0

Determina el punto óptimo tal que “x” e “y” minimicen la función objetivo: f(x; y) 8x 4y

a) (5;8) b)(5;2) c)(4;8) d) (8;4) e) (5;0)

Problema 8

Encuentra el máximo de la función: g(x; y) 3x 2y

si se encuentra sujeta a las siguientes condiciones:

x y 4x y 6x 4y 0

a) -12 b)8 c)17 d) 12 e)20

Problema 9

Encuentra el valor máximo de la función f(x;y) 3x 2y si se encuentra sujeta a las

siguientes restricciones:

2x 3y 124x 2y 16x 0y 0

a) 33 b) 12 c)8 d) 10 e) 13

Problema 10

Maximiza f(x,y)=x+y la cual está sujeta a las siguientes restricciones:

x y 150x

y2

x 20y 40

a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160

Problema 11

Una empresa elabora dos clases de pizza M y N, el triple del número de pizzas del tipo N más el número de pizzas del tipo M no es más de 24. Si la ganancia por cada pizza del tipo M es de 3 soles y 4 soles por una pizza de tipo N y el número total de

pizzas no debe exceder a 10. ¿Cuántas pizzas del tipo M y N en ese orden deben producir y vender para maximizar la ganancia?

A) 4 y 5 B) 5 y 5 C) 2 y 7 D) 3 y 7 E) 7 y 3

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

Un pequeño negocio se especializa en vender dos tipos de artículos A y B. Si “x” representa la cantidad de artículos producidos del tipo A, “y” representa la cantidad de artículos producidos del tipo B, además están sujetos a:

2x y 82x 3y 12

Determina la utilidad máxima P, si está dada por: P(x; y) (3x y)1000 dólares.

a) $ 4 000 b)$ 8 000 c)$ 10 000 d) $ 11 000 e)$ 12 000

PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 1 En una urbanización del distrito de El Tambo, se van a construir casas de dos tipos: económicas y súper económicas. La empresa dispone de $ 1 800 000, siendo el costo de cada tipo $ 30 000 y $ 20 000 respectivamente. La municipalidad exige que el número total de casas no debe ser superior a 80. Sabiendo que el beneficio por la venta de una casa económica es de $ 4 000 y por la súper económica $ 3 000, ¿Cuántas casas súper económicas deben construirse para obtener el máximo beneficio?

a) 20 b) 40 c)50 d) 60 e) 70

Problema 2

Un sastre tiene 80 m2 de tela A y 120m2 de tela B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un vestido de señora 2m2 metros de cada tela. Si la

venta de un traje deja al sastre el mismo beneficio que de un vestido, halle cuantos trajes y vestidos debe fabricar para obtener la máxima ganancia. A)10 y 20 B)40 y 30 C)20 y 30 D) 80 y 50 E)70 y 50 Problema 3

16. Al resolver el sistema

3

3

12

x

yx

yx

Halle el valor de

;22 yx Zyx ;

A) 4 B)2 C)5 D)8 E)1 Problema 4

Resuelva en Z ; el sistema lineal:

yzx

xy

yx

2

6

E

indique el mayor valor de “xyz” A) 20 B) 16 C) 12 D)8 E) 18 Problema 5

Siendo x ; y los valores enteros que satisfacen el

siguiente sistema de inecuaciones :

0

32

53

x

xy

yx

;

indique el mayor valor de “2x+y”

A) -2 B) -1 C)0 D) -3 E)-4 Problema 6

Si es la solución del sistema de

inecuaciones:

632

72

43

yx

yx

yx

;

Calcule el valor de

A) 6 B) -6 C)8 D) -3 E)5 Problema 7

La editorial Lumbreras produce dos libros de Matemática: Álgebra y geometría. La utilidad por unidades es de S/. 7 para el libro de Álgebra y de S/.10 para el libro de geometría. El libro de Álgebra requiere de 4 horas para su impresión y 6 horas para su encuadernación. El libro de

Geometría requiere de 5 horas para imprimirse y de 3 horas para ser encuadernado. Si se dispone de 200 horas para imprimir y de 240 horas para encuadernar, calcule la máxima utilidad que se puede obtener.

A)100 B)400 C)600 D) 800 E)500

Z;