Razones trigonometricas
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TEOREMA DE PITÁGORAS
A
BC
CATETO
CATETO
HIPOTENUSA
2 2
(CATETO) (CATETO) 2
(HIPOTENUSA)
3
45 512
13
20
21 29
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS
AGUDOS
qq=CatetoOpuestoa
senHipotenusa
CatetoAdyacentea
cosHipotenusa
Hipotenusasec
CatetoAdyacentea
Hipotenusacsc
CatetoOpuestoa
CatetoAdyacenteacot
CatetoOpuestoa
CatetoOpuestoatan
CatetoAdyacentea
CATETO
OPUESTO
A
CATETO ADYACENTE A
HIPOTENUSA
SENO COSENO
TANGENTE COTANGENTE
SECANTE COSECANTE
12
35
H
2 2 2
H 12 35
TEOREMA DE PITÁGORAS
H 1369 37
sen
cos
tan 12
37
35
37
12
35
cot
sec
csc 35
12
37
35
37
12
EJEMPLO :
EJEMPLO :
Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....
23
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
1
sen
csc
1
cos
sec
1
tan
cot
EJEMPLOS
o
1
A)
sen36
o
csc36o
1
B)
cos17
o
sec17
sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1
D)sen2 csc2 1o o
C)tan49 cot49 1
o
E)cos63 sec 1 o
63
F)tan2 cot 1 2
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE
SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
PROPIEDAD :
“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO
SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”
sen cos
cos
tan
sen
cot
a
bc
cot
sec
csc
tan
csc
sec
EJEMPLOS
o
A)sen25
o
B)tan43
o
C)sec60
o
cos65
o
cot47
o
csc30
...............
...............
...............
o o O
25 65 90 o o O
43 47 90 o o O
60 30 90 o
D)sen cos20 o O
20 90 o
70
E)tan5 cot o
5 90 o
15
F)sen
5
cos
5 2
2 5
3
rad
10
TRIÁNGULOS NOTABLES
12
3
o
30 (
O
60
1
1
2
o
45
o
45
(
3
4
5
o
37
o
53
(
o
sen30 1
2
o
tan60 3
o
sec 45 2o
cot37 4
3
o
tan30 1
3
3
x
3
3
3
o
sen45 1
2
2
x
2
2
2
o
30
o
37o
45
4 3
4
3 3
3 3
CALCULAR : cot
83 3
cot
4
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
HHsen
Hcos
LsecLtan
L
5
o
62
o
5sen62
o
5cos62
8
8tan8sec
CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO
CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO
L
Lcot
Lcsck
o
24
o
k csc24
o
kcot24
EJEMPLO
)
m
Calcular L en términos
de m y;
L
CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO
SOLUCIÓN
m
mtanL
L mtan
m
cot L mtan mcot
L mcot mtan L m (cot tan )
NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
Fy
F
xF
X
Y
xF Fcos
yF Fsen
ÁREA DEL TRIÁNGULO
A B
C
ab
c
ab
S senC
2
bc
S senA
2
ac
S senB
2
EJEMPLO
5m
8m
O
60
o(5)(8)
S sen60
2
(5)(8) 3
S ( )
2 2
2
10 3m
ÁNGULOS VERTICALES
Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en
un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias
llamadas horizontal y visual
ÁNGULO DE ELEVACIÓN
ÁNGULO DE DEPRESIÓN
HORIZONTAL))
Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis
volando a una misma altura con ángulos de elevación de
530
y 370
si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué
altura están los ovnis?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN
o
37O
53
70
12k 12k
O
53
9k
o
37
16k
+
9k +70 = 16k k = 10 H = 120
=H
ÁNGULOS HORIZONTALES
Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en
un plano horizontal, se determinan tomando como
referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y
oeste(O).
DIRECCIÓN
La dirección de B respecto de A
es E30No
N60Eo
La dirección de C respecto de A
eso
S56 O S34Oo
o
o
RUMBO
El rumbo de Q respecto de P
o
47
El rumbo de M respecto de P
o
27 al este del sur
al oeste del norte
N
S
EO
O
30
O
56
A
B
C
EO
S
N
P
Q
o
47
o
27
M
ROSA NÁUTICA
Gráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección
forma entre ellas un ángulo cuya medida es'o
1511
En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables,
cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o
3022
N
S
EO
NNE
ENE
NNO
ONO
OSO
SSO
ESE
SSE
NENO
SO SE
Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de
los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.
E
NE
N
NNE
ENE
NE41E
E41NE
NE41N
N41NE
NNO
NO41N
N41NO
NOO41NO
ONO
NO41O
O
¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones
NE1/ 4N y NO1/ 4O?
Rpta.o
90
Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección
N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente
recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el
insecto de F ?
EJEMPLO :
SOLUCIÓN N
S
EO
o
53
o
45
o
45
40
40 2
60
x
o
37
24
3216
40 20 12
16
OBSERVA QUE EL
TRIÁNGULO DE COLOR
ROJO ES NOTABLE
X = 20
F
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN
ÁNGULO AGUDO (método gráfico)
2
2
a
bc
c
) 2
tan
2
b
c a
c a
b
+
EJEMPLO :
Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula tan2
SOLUCIÓN
8
24
7
25
425
24
tan4
25 7
24
tan4
32
3
tan4
4
4 2
3
4
5
5
3
tan2
9
1
tan2
3
