PROPORCIONES Y SEMEJANZA · TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a...

Proporciones y Semejanza 1

PROPORCIONES Y SEMEJANZA

LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se

escribe b

a y se lee: a es a b.

PROPORCION: Es la igualdad de dos razones. d

c

b

a, y se lee: a es a b como c es a d. a y c

se llaman antecedentes, b y d se llaman consecuentes. c y b se llaman medios; a y d se llaman extremos. Cualquier elemento se llama cuarta proporcional entre las otras tres. Cuando los medios o los extremos son iguales, se llama media proporcional.

x

z

y

x, x es la media proporcional entre y z;

3

6

6

12; 6 es la media proporcional entre 12 y 3

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En una proporción se cumple que el producto de los

extremos es igual al producto de los medios.

210545

2

10

4;dcba

d

c

b

a

2. En una proporción se pueden intercambiar los medios o los extremos y se obtiene otra proporción

5

15

7

21

21

15

7

5;

8

12

2

3

8

2

12

3;

a

c

b

d

d

c

b

a

d

b

c

a

d

c

b

a

3. En cada proporción se pueden invertir sus elementos y nos da otra proporción.

6

9

2

3

9

6

3

2;

c

d

a

b

d

c

b

a

4. 10

24

5

12

10

1014

5

57

10

14

5

7;

d

dc

b

ba

d

c

b

a

5. 10

4

5

2

10

1014

5

57

10

14

5

7;

d

dc

b

ba

d

c

b

a

6. kb

a

fdb

ecak

f

e

d

c

b

a


TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a un lado de un triangulo, determina segmentos proporcionales en los otros dos lados.

HIPOTESIS: DE AB

A – D – C y B – E – C

TESIS: CD CE

DA EB

1. Sobre CD se toman n segmentos

congruentes de longitud ay sobre DA se

toman msegmentos congruentes de

longitud a

1. Construcción

2. Se trazan paralelas por esos puntos a AB 2. Construcción

3. En CE se determinan n segmentos s de

longitud b y en EB se determinan m

segmentos congruentes de longitud b .

3. De 2. Teorema fundamental de las paralelas

4. ; ; ;CD n a DA m a CE n b EB m b 4. De 1 y 3. Adición de segmentos

5. m

n

am

an

DA

CD

5. De 4

6. m

n

bm

bn

EB

CE

6. De 4

7. EB

CE

DA

CD

7. De 5 y 6. Propiedad transitiva.

COROLARIO 1:

CE

CB

DA

CA

COROLARIO 2:

EB

CB

DA

CA

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si una recta corta a dos lados de un triangulo y determina segmentos proporcionales en los otros dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado. (Consultar su demostración) TEOREMA DE THALES Si tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos de una transversal son proporcionales a sus correspondientes en la otra.


HIPOTESIS: m n s

t1 y t2 son transversales

TESIS: AB BC

DE EF

1. Trazamos 1DK t

, tal que B – L – E y

C – K – F

1. Construcción

2. EL KF 2. De 1 y de hipótesis

3. KL

DL

EF

DE

3. De 2. Teorema fundamental de la

proporcionalidad en DKF

4. ABLD y BCKL son paralelogramos 4. De hipótesis y de 1. Definición de paralelogramo

5. AB = DL y BC = KL 5. De 4. Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes

6. BC

AB

EF

DE

6. Sustitución de 5 en 3

7. DE

AB

EF

BC

7. De 6. Propiedad de las proporciones.

TEOREMA En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interno divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

HIPOTESIS: CD es bisectriz del ángulo ACB A – D – B

TESIS: AD DB

AC BC

1. Por B se traza BE

, tal que BE DC ;

y BE AC

se cortan en E

1. Construcción

2. CE

DB

AC

AD

2. De 1. Teorema fundamental de las

proporciones en ABE


3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas

4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas

5. 5. De Hipótesis. CD es bisectriz

6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva

7. CE BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes

8. AD DB

AC BC


TEOREMA: La bisectriz de un ángulo exterior de un triangulo no isósceles, divide a la prolongación del lado opuesto al ángulo en segmentos proporcionales a sus lados adyacentes.

HIPOTESIS: CP es bisectriz del ángulo exterior BCE

TESIS: AP BP

AC BC

1. Se traza BD PC , que corta a AC en D 1. Construcción

2. DC

AC

BP

AP

2. De 1. Teorema fundamental de la

proporcionalidad en ACP

3. 3. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas.

4. 4. De 1. Por ser correspondientes entre paralelas

5. 5. De hipótesis. PC es bisectriz

6. 6. De 3, 4 y 5. Propiedad transitiva

7. DC BC 7. De 6. En un triangulo a ángulos s se oponen lados congruentes

8. BC

AC

BP

AP


9. BC

BP

AC

AP



EJERCICIOS 1)

DE AC (De hipótesis por formar ángulos correspondientes congruentes)

64969624

4 2 ABxxx

xBC

BE

BA

BD

2) Con las siguientes longitudes: BC = 21; EC = 9; AB = 14; BD = 5, será ¿ ED AC ?

Si fueran paralelas se debería cumplir que

14 21

5 12

BA BC

BD BE, lo cual es falso porque no se cumple

que producto de medios es igual a producto de medios y

por lo tanto ED no es paralelo a AC

3)

TESIS: bc

baEC

cb

baDC ;


bc

baEC

babcEC

b

bc

EC

a

AC

ACAB

EC

ECBE

AC

AB

EC

BE

AC

EC

AB

BE

cb

baDC

bacbDC

b

bc

DC

a

AC

ACAB

DC

DCBD

AC

AB

DC

BD

.11

)(.10

.9

.8

.7

.6

.5

)(.4

.3

.2

.1

SEMEJANZA DE POLIGONOS. Dos polígonos son semejantes si entre sus vértices existe una correspondencia tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.

'; '; '; '; 'A A B B C C D D E E

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

AB BC CD DE EAk

A B B C C D D E E A

Donde k, se llama constante de proporcionalidad

Se escribe ABCDE A’B’C’D’E’; se lee: “semejante a “ SEMEJANZA DE TRIANGULOS. Dos triángulos son semejantes si tienen igual forma. En los triángulos semejantes se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes y lados correspondientes son proporcionales.


; ;A D B E C F

AB AC BC

DE DF EF

La semejanza es una relación de equivalencia, o sea que cumple:

1. Propiedad reflexiva: ABC ABC

2. Propiedad simétrica: ABC DEF DEF ABC

3. Propiedad transitiva: y DEF PQR, entonces ABC PQRABC DEF

Las seis condiciones dadas en la definición de triángulos semejantes se pueden reducir a tres TEOREMA DE SEMEJANZA A – A – A Si dos triángulos tienen sus ángulos respectivamente congruentes entonces son semejantes.

HIPOTESIS:

; ;A R B S C T

TESIS: ABC RST

1. Sean D y E, puntos sobre CA y CB ,

tales que y CD TR CE TS

1. Construcción

2. C T 2. De hipótesis

3. CDE TRS 3. De 1 y 2. L – A – L

4. CDE R 4. De 3. Son ángulos correspondientes en

triángulos s 5. R A 5. De hipótesis

6. CDE A 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva

7. DE AB 7. De 6. Por formar con una transversal ángulos correspondientes congruentes.

8. CB

CE

CA

CD

8. De 7. Teorema fundamental de la proporcionalidad

9. CB

TS

CA

TR

9. Sustitución de 1 en 8.

10. De igual modo, tomando F y G en AB y

BC , tal que y BF SR BG ST ,

puede demostrarse que

10.


AB CB RS TS

RS TS AB CB(hágalo)

11. AB

RS

CB

TS

CA

TR

11. De 9 y 10

12. ; ;A R B S C T 12. De hipótesis

13. ABC RST 13. De 11 y 12. Definición de triángulos semejantes.

COROLARIO 1. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entonces son semejantes (A – A) COROLARIO 2. Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo congruente entonces son semejantes. COROLARIO 3. Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes tienen la misma razón que la de dos lados correspondientes.

ST

BC

RS

AB

RT

AC

TH

CE

COROLARIO 4. Si se traza una recta paralela a un lado de un triangulo se determina otro triangulo semejante al primero.

Si DE AB , entonces ABC DEC

TEOREMA DE SEMEJANZA L – A – L Si en dos triángulos dos lados correspondientes son proporcionales y los ángulos

comprendidos entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

HIPOTESIS: CA CB

NE NL

C N

TESIS: ABC ELN


1. En CA y en CB , existen los puntos D y

E tales que y CD NE CE NL

1. Construcción

2. C N 2. De hipótesis

3. CDE ELN 3. De 1 y 2. L – A – L

4. NL

CB

NE

CA

4. De hipótesis

5. CE

CB

CD

CA


6. DE AB 6. De 5. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad

7. CDE ABC 7. De 6. Una recta paralela a un lado de un triangulo, determina un triangulo semejante al primero.

8. ABC ELN 8. Sustitución de 3 en 7.

COROLARIO Si en dos triángulos rectángulos los catetos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

EJERCICIO

HIPOTESIS: , ,AF BD CE son alturas.

TESIS: ABC FCD FEB ADE

1. C C 1. Propiedad reflexiva

2. CFA y CDB son rectángulos 2. De hipótesis. Definición de altura

3. CFA CDB 3. De 1 y 2. Por tener un ángulo agudo congruente

4. AC

BC

CF

CD

4. De 3. Si son semejantes los lados correspondientes son proporcionales

5. FCD ABC 5. De 1 y 4. Por teorema de semejanza L – A – L

6. A A 6. Propiedad reflexiva

7. CAE y DAB son rectángulos 7. De hipótesis. Definición de altura.

8. CAE DAB 8. De 7 y 6. Por tener un ángulo agudo congruente

9. AE

AD

AC

AB

9. De 8. Por ser lados correspondientes de triángulos semejantes

10. ABC ADE 10. De 6 y 9. Teorema de semejanza L – A – L


11. B B 11. Propiedad reflexiva

12. AFB y CBE son rectángulos 12. De hipótesis. Definición de altura y de triangulo rectángulo.

13. AFB CBE 13. De 11 y 12. Por tener un ángulo agudo congruente.

14. FB

EB

AB

CB

14. De 13. Por ser lados correspondientes en triángulos semejantes.

15. ABC FEB 15. De 11 y 14. Teorema de semejanza L – A –L

16. ABC FCD FEB ADE 16. De 5, 10 y 15. Propiedad transitiva

NOTA: El triangulo DEF se conoce con el nombre del triangulo del pedal. TEOREMA DE SEMEJANZA L – L – L Si en dos triángulos sus lados correspondientes son proporcionales, entonces los triángulos

son semejantes.

HIPOTESIS: EF

BC

DE

AB

FD

CA

TESIS: ABC DEF

1. En CA existe un punto G, tal que

CG FD y en CB existe H, tal que

CH FE

1. Construcción

2. Se traza GH 2. Construcción

3. EF

BC

FD

CA

3. De hipótesis

4. GH AB 4. De 3. Reciproco del teorema fundamental de la proporcionalidad

5. CGH CAB 5. De 4. Una recta paralela a un lado de un triangulo determina un triangulo semejante al primero.

6. GH

AB

CG

CA

6. De 5. Los lados correspondientes son proporcionales

7. GH

AB

FD

CA


8. DE

AB

FD

CA

8. De hipótesis.

9. DE

AB

GH

AB



10. DE

GH

AB

AB


11. 1GH

GH DEDE

11. De 10.

12. CGH DEF 12. De 11 y 1. L – L – L

13. ABC DEF 13. Sustitución de 12 en 5.

COROLARIO 1. Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa y un cateto respectivamente proporcionales, entonces son semejantes. COROLARIO 2. Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruentes, entonces son semejantes.

EJERCICIOS RESUELTOS

DATOS: ABC es rectángulo en C

DEA es rectángulo en E

HALLAR el valor de x.

ABC DEA por ser rectángulos con un ángulo agudo congruente (A A)

81602020

10

16xx

x

2)

HIPÓTESIS: A CBD

TESIS: ADDCBD2

1. A CBD 2. 1. De hipótesis

3. D D 3. Propiedad reflexiva

4. ADB BDC 4. De 1 y 2. A – A

5. BD

DC

AD

BD

5. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos

semejantes

6. ADDCBD2 6. De 4. Propiedad de las proporciones.


3)

HIPOTESIS: y son medianas

ABC HFE

AD HL

TESIS: AD BC

HL FE

1. B F 1. De hipótesis. ABC HFE

2.

FLFEFE

FL

BDBCBC

BD

22

22

2. De hipótesis. D y L son puntos medios

3. FE

BC

HF

AB

3. De hipótesis. Los lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales

4. FL

BD

HF

AB

2

2


5. FL

BD

HF

AB

5. De 4. Simplificación

6. ABD HFL 6. De 1 y 5. Semejanza L – A – L

7. HF

AB

HL

AD

7. De 6. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales

8. FE

BC

HF

AB

8. De hipótesis. Lados correspondientes en triángulos semejantes

9. FE

BC

HL

AD

9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

4) Si dos triángulos isósceles tienen un ángulo cualquiera respectivamente congruente, entonces son semejantes.

HIPÓTESIS: A D

ABC es isósceles con CA CB

DEF es isósceles con FD FE

TESIS: ABC DEF

1. CA CB 1. De hipótesis

2. A B 2. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

3. FD FE 3. De hipótesis

4. D E 4. De 3. En un triangulo a lados congruentes se oponen


ángulos congruentes.

5. A D 5. De hipótesis

6. A B D E 6. De 2, 4 y 5. Propiedad transitiva

7. ABC DEF 7. De 6. A – A

II CASO:

HIPÓTESIS: C F

ABC es isósceles con CA CB

DEF es isósceles con FD FE

TESIS: ABC DEF

1. CA CB 1. De hipótesis

2. m (A) = m (B) 2. De1. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes

3. m (A) + m (B) + m (C) = 180º 3. En un triangulo la suma de los ángulos interiores es 180º

4. 2m(A) + m(C) = 180º 4. Sustitución de 2 en 3

5. FD FE 5. De hipótesis.

6. m (D) = m (E) 6. De 5. Ver la razón 2.

7. m (D) + m (E) + m (F) = 180º 7. En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180º

8. 2m (D) + m(F) = 180º 8. Sustitución de 6 en 7

9. 2m(A) + m(C) = 2m (D) + m(F) 9. De 4 y 8. Propiedad transitiva

10. m (C) = m (F) 10. De hipótesis

11. 2m (A) + m (C) = 2m (D) + m (C) 11. Sustitución de 10 en 9

12. 2m (A) = 2m (D) 12. De 11. Propiedad cancelativa.

13. m (A) = m (D) 13. De 12

14. ABC DEF 14. De 13 y 10. A – A

RELACIONES METRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA.

TEOREMA Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, el producto de las medidas de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas que se cortan en E TESIS: AE EB DE EC


1. Se trazan y AD CB 1. Construcción

2. C A 2. Por estar inscritos en el mismo arco BD

3. B D 3. Por estar inscritos en el mismo arco AC

4. CEB AED 4. De 2 y 3. A – A

5. DE

EB

AE

CE

5. De 4. Lados correspondientes en triángulos semejantes

6. DECEEBAE 6. De 5. Propiedad de las proporciones.

DEFINICION: SEGMENTO DE UNA SECANTE

BC : Segmento externo de la secante

AB : Segmento interno de la secante

TEOREMA: Si se trazan una tangente y una secante desde un mismo punto exterior a una circunferencia la medida del segmento tangente es media proporcional entre las medidas de la secante y su segmento externo.

HIPÓTESIS: PA

Tangente.

PC

secante a la circunferencia y la corta en

B y C.

TESIS: PA

PB

PC

PA

1. Se trazan AC y AB 1. Construcción

2. 2

m arcoAB

m C 2. Por ser un ángulo inscrito.

3.

2

m arcoABm BAP

3. Por ser un ángulo semiinscrito.

4. m(C) = m(BAP) 4. De 2 y 3. Propiedad transitiva.

5. m(P) = m(P) 5. Propiedad reflexiva

6. CAP ABP 6. De 4 y 5. A – A

7.PA

PB

PC

PA

7. De 6. En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales


TEOREMA: Si se trazan secantes desde un mismo punto exterior a una circunferencia, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

HIPÓTESIS: PA y PC son secantes

PA corta a la circunferencia en B y A

PC corta a la circunferencia en D y C TESIS: PA PB PC PD

La demostración se deja como tarea.

EJEMPLO

Se traza el radio OF. OA = OF = 0B = X OD = x – 4

40)42(4584)4( xxx

DCADDBFD

Y resolviendo la ecuación se llega a x = 7 PROYECCIONES: La proyección de un punto a una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.

La proyección de un segmento sobre una recta, es otro segmento sobre la recta, obtenido de las proyecciones de los extremos del segmento.


CD es la proyección de AB sobre recta m EL es la proyección de EN sobre la recta n

La proyección de AC sobre AB es AH (sobre la

prolongación de AB )

RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO TEOREMA DE PITAGORAS: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C ; ;AB c BC a AC b

TESIS: c2 = a2 + b2

1. Se traza la altura CH sobre la

hipotenusa.

1. Construcción

2. El complemento de es A 2. De 1. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA

3. El complemento de B es A 3. De Hipótesis. Por ser ángulos agudos del triangulo rectángulo CHA

4. ACH B 4. Por tener el mismo complemento, el A

5. CHA CHB 5. De 4. Por ser rectángulos con un ángulo agudo congruentes.

6. A A 6. Propiedad Reflexiva.

7. CHA ABC 7. De 1 y de hipótesis y de 6. Por tener un ángulo agudo congruente

8. CHA ABC CHB 8. De 5 y 7. Propiedad transitiva.


9. b

c

m

b

9. De 8. Por ser lados correspondientes en los triángulos ABC y CHA

10. b2 = cm 10. De 9. Propiedad de las proporciones

11. a

c

n

a

11. De 8. CHA ABC CHB

12. a2 = nc 12. De 11. Propiedad de las proporciones 13. a2 + b2 = cm + nc 13. Adición de 10 y 12 14. a2 + b2 = c(m + n) 14. De 13. Factor común 15. a2 + b2 = c2 15. De 14. Adición de segmentos.

COROLARIOS: 1. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos

triángulos semejantes entre si y semejantes al original. 2. La altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que

determina sobre ella. 3. Todo cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. 4. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus proyecciones sobre la

hipotenusa 5. La altura sobre la hipotenusa es cuarta proporcional entre los lados del triangulo.

AB

CB

AC

AH

6. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto.

TEOREMA En cualquier triangulo, el producto de un lado por su altura correspondiente, es igual al

producto de otro lado por su altura correspondiente.

HIPOTESIS: CE altura sobre AB , AD altura sobre

CB , CE = h1, AD = h2, AB = c, CB = a

TESIS: 21 hahc

1. y CEBADB son rectángulos. 1. De hipótesis. Definición de altura

2. B B 2. Propiedad reflexiva

3. CEBADB 3. De 1 y 2. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente


4. 2

1

h

h

c

a

4. De 3. Lados correspondientes en triángulos semejantes son proporcionales

5. 21 hahc 5. De 4. Propiedad de las proporciones

TEOREMA En un triangulo acutángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

HIPOTESIS: ABC es acutángulo.

AD = m, proyección de AC sobre AB

DB = n, proyección de BC sobre AB

TESIS: 2 2 2 2a b c cm

1. a2 = h2 + n2 1. Pitágoras en CDB 2. a2 = h2 + (c – m)2 2. De 1 y de hipótesis. Resta de segmentos. 3. a2 = h2 + c2 – 2cm + m2 3. De 2. Algebra 4. b2 = h2 + m2 4. Teorema de Pitágoras en CDA 5. a2 = b2 + c2 – 2cm 5. Sustitución de 4 en 3.

TEOREMA: En un triangulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados mas dos veces uno de ellos por la proyección del otro sobre el.

TESIS: BDccab 2222 La demostración se deja como tarea.

EJERCICIOS 1)

TESIS: 2222 mnba


DEMOSTRACION: 1. a2 = h2 + n2 1. Teorema de Pitágoras en CDB 2. b2 = h2 + m2 2. Teorema de Pitágoras en CDA 3. a2 - b2 = h2 + n2 – (h2 + m2) 3. Igualdad 1 menos igualdad 2. 4. a2 - b2 = n2 – m2 4. De 3. Álgebra. 2)

HIPÓTESIS: ABC cualquiera

CE h es altura

CD d es mediana

n es la proyección de CD sobre AB

CDA es obtuso

A – D - E – B

TESIS: ncab 222

DEMOSTRACION:

1. AD = DB = 2

c.

1. De hipótesis D es punto medio por definición de mediana

2. b2 = (AD)2 + d2 + 2(AD).n 2. Relaciones métricas en el triangulo obtusángulo ADC

3. ncdc

bnc

dc

b 22

22

2

2

422

2


4. a2 = (DB)2 + d2 – 2(DB).n 4. Relaciones métricas en el triangulo acutángulo DCB

5. ncdc

anc

dc

a 22

22

2

2

422

2


6. ncab 222 6. Igualdad 3 menos la igualdad 5.

3)

HIPÓTESIS: CAB rectángulo en A

; ;

; ; ;

AD CB DF AB DE CA

CE p FB q AC b AB c

TESIS: q

p

c

b3

3

1.

En :CDA AEpDEDE

p

AE

DE 2 1. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre


los segmentos que determina sobre ella.

2. En :ADB AFQDFDF

q

AF

DF 2 2. En un triangulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina sobre ella.

3. AFq

AEp

DF

DE2

2

3. División de 1 y 2.

4. DE FA 4. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AC.

5. CA DF 5. De hipótesis por ser perpendiculares a la misma recta AB

6. EDFA es un paralelogramo. 6. De 4 y 5. Definición de paralelogramo. 7. AE = DF; AF = DE 7. De 6. En un paralelogramo los lados

opuestos son congruentes

8. q

p

DF

DE

q

p

DF

DE

DEq

DFp

DF

DE3

3

3

2

2

8. Sustitución de 7 en 3 y álgebra.

9. El complemento de 3 es 1 9. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios

10. El complemento de 2 es 1 10. En un triangulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios

11. 3 2 11. De 9 y 10. Por tener el mismo complemento.

12. ADB ADC 12. De 11. Triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente.

13. c

b

DF

DE

13. En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.

14. q

p

c

b

q

p

c

b3

33


4)

HIPÓTESIS: BAC es rectángulo en A

FLDE es un cuadrado de lado x, inscrito en el triangulo.

; ; ;AH h BC a AB c AC b

AH es altura; B – F – H – L – C

TESIS: xha

ha

Nota: En la demostración no se olvide de utilizar el teorema: En dos triángulos semejantes la razón entre dos alturas correspondientes es igual a la razón de dos lados correspondientes.

5) Si en un triangulo rectángulo, x y son las medidas de los catetos y z es la medida de la

altura correspondiente a la hipotenusa, demostrar que: 222

111

zyx


EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y RELACIONES METRICAS EN LA

CIRCUNFERENCIA Y EN EL TRIANGULO.

1.

HIPOTESIS: CD es bisectriz de ACB

;AP CD BQ CD

C – P – D – Q

TESIS: AD DB

AC BC

NOTA: Esta es otra forma de demostrar el teorema de la bisectriz interior de un ángulo de un triangulo.

2.

DE AC

a. Si EB = AD; AB = 6; CE = 8; Hallar DB b. Si DB = 7; EB = 2AD; CE = 14; Hallar CB c. Si CB = 24; EB = AB; DB = 4; Hallar AB

3.

HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AB CD . Las diagonales

se cortan en O.

TESIS: OC OA

OD OB

4.

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB

;EF CB ED AC

TESIS: AD EF ED BF

5.

HIPOTESIS: A – D – B; CD es bisectriz de ACB

2 m ACB m A

; ;AC b AB c BC a

TESIS: 2c a ab


6.

HIPÓTESIS: A CBD

TESIS: AB AD

CB DB

7.

HIPÓTESIS: ABC HEF

AD y HL son medianas

TESIS: AD BC

HL FE

8.

Si QR MN completar:

) b) c)

) e) f)

PM PQ QMa

PQ PM PM

PR PQ PNd

RN PR PM

9. Demostrar que el triangulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un

triángulo dado es semejante al triangulo dado. 10. Las longitudes de los lados de un triangulo son 15, 20, y 28. ¿Cuáles son las longitudes

de los segmentos en que la bisectriz del ángulo mayor divide al lado opuesto?. Contestar la misma pregunta para el caso del ángulo menor.

11. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos correspondientes cualesquiera de

triángulos semejantes están en la misma razón que los lados correspondientes.

12. Se da un paralelogramo ABCD. Una recta que pasa por B corta a AC en E, a DC en G y

a la prolongación de AD en F. Demostrar: 1) AEF CEB 2) EB es media proporcional

entre EG y EF . 13. Se da un triangulo rectángulo ABC con CD como altura a la hipotenusa AB. Demostrar

que: AC2 – BC2 = AD2 – BD2


14. Para cuales conjuntos de longitudes será ED AC

15.

HIPÓTESIS: ABC es rectángulo en C

EFHD es un cuadrado TESIS: EDA CHD FBH

16.

HIPÓTESIS: y AE BD son alturas

TESIS: 1) AEC BDC

2) ACB ECD

3) AC DC BC CE

17.

HIPÓTESIS: ; ; ;DF AB CB AB CE DF AC CD

TESIS: 1) DEC ABC

2) AB DC

DEAC

18.

HIPÓTESIS: AB es bisectriz de CAF

DE CF ; C – B – F

TESIS: CB DE

AC AE


19.

HIPÓTESIS:

rectangulo en A

bisectriz de CAB

;

ABC

AD

EB AD

AC b AB c

TESIS:

2

2

BE c

b cAD

b c

20.

HIPÓTESIS: ABC rectángulo en A

AF es bisectriz

KB AF

TESIS: 2b c

AFb c

21.

HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

;MF AD ME AB ; A – M – C

TESIS: ME AD

MF AB

AYUDA: Trazar y ML AB HM AD

22.

HIPOTESIS: ADEF es un cuadrado TESIS: 29x a

CAB es rectángulo 4 ; 3 ;AB a AC a CE x

F es punto medio de AB

23.

HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con AD = DC = a;

m( A) = 60° ; ; 3

:

DN NC AM MB AB a

NM y CB x

TESIS: 3;x a y a


24.

HIPOTESIS:

; ;

y son medianas perpendiculares.

BC a AC b BA c

BE AD

TESIS:

2 22

5

a bc

25.

26.

a) Si m = 5; h = 15; hallar el valor de a, b, c, n

b) Si 4 3, 4b m ; hallar el valor de a, c, h, n.

c) Si 6 2, 4c m ; hallar el valor de a, b, h, n.

d) Si 3 10, 13b n ; hallar el valor de a, c, h, m.

e) Si b = n = 8; hallar el valor de a, c, h, m.

27.

DATO: CAD CBA

HALLAR el valor de x.

28.


29.

AC es bisectriz de DAB .

24; 25; 20; 16; ?AD AB AE BE DC x

30. Se da un triangulo ABC, se traza la mediana CD . CDB es agudo. Si AC = 7, AB = 8,

CD = 5.15, HALLAR el valor de BC. 31.

32.

33. En cada una de las figuras, hallar los triángulos semejantes:

CDB BDA es un diametro

es tangente en A

AD

BA


34.

HIPÓTESIS: AB es un diámetro A – O – B – D

DE DA TESIS: ADE ACB

35.

36. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan una tangente PT y una secante

que corta a la circunferencia en los puntos R y S. Demostrar que 2

PT PS PR

37. Sea ABC un triangulo isósceles con BA BC y D un punto de AC tal que 3AC AD . Se

traza por D la perpendicular a AC que corta a al lado AB en E y a la prolongación de CB

en F. Demostrar que DE EF 38. ABC es un triangulo inscrito en una circunferencia, la bisectriz del ángulo C corta al lado

AB en D y su prolongación corta a la circunferencia en P. Demostrar que 2CA CB AD DB CD

39.

ABCD es un rectángulo. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos del rectángulo. 1) Demostrar que EFGH es un cuadrado

2) Si 7 2AB cm y 3 2BC cm . Hallar el perímetro del cuadrado EFGH


SOLUCION DEL 38: Colocar las razones.

1. ACD PCB 2. A P

3. ADP PBC

4. 2

CA CDCA CB CD CP

CP CB

CA CB CD CD DP CA CB CD CD DP

5. CD DP AD DB

6. 2CA CB CD AD DB

40. Las bases mayor y menor de un trapecio miden 20 y 12 cm. respectivamente. Por un

punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El

segmento divide a los lados en la razón 2

3. Calcular la longitud del segmento.

Se traza AC que corta a EF en R. 2

3

DE CF

EA FBde hipótesis

12 12 12 2

3

AD ER AD EA ER DEER DC ADC AER

ER EA ER EA ER EA

Resolviendo12 2

3

ER

ER, se tiene que

36

5ER

20 20 20 2

3

BC RF BC FB RF CFRF AB ABC RFC

RF FB RF FB RF FB

Resolviendo20 2

3

RF

RF, se tiene que 12RF

De donde se tiene que 36 96

125 5

EF

41. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulo de modo que CPD = 90° y CP = DP. Hallar la longitud de PA.

42. Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 cm y BC = 1 cm. Sea M el punto medio de CD . Hallar la distancia de M a la recta AC

43. Se da un triangulo ABC inscrito en una circunferencia. Se traza la bisectriz CD

que corta

a AB en D y a la circunferencia en E. Demostrar que el producto de los lados que forman


el ángulo C es igual al cuadrado de la bisectriz mas el producto de los segmentos

determinados por ella sobre el lado AB . AYUDA. Demuestre primero que: ADC EBC

y después que CDA BDE . Tener en cuenta que CE = CD + DE.

DETERMINAR SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS 1. Toda Proporción tiene 4 términos diferentes. ( ) 2. Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos

correspondientes opuestos son congruentes. ( ) 3. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces sus lados

correspondientes son congruentes. ( ) 4. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos

correspondientes son congruentes. ( ) 5. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen un ángulo respectivamente congruente. 6. La altura correspondiente a la hipotenusa de un triangulo es media proporcional entre los

segmentos que determina sobre la hipotenusa. ( ) 7. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. ( ) 8. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, es paralela al

tercer lado. ( ) 9. Dos polígonos que tienen sus ángulos respectivamente congruentes son semejantes. 10. Dos triángulos rectángulos isósceles son semejantes. ( ) 11. Si una recta divide proporcionalmente a dos de los lados de un triangulo, mide la mitad

del tercer lado. ( ) 12. Las alturas correspondientes en dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados

correspondientes. ( ) 13. Triángulos congruentes son semejantes. ( ) 14. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo congruente, son semejantes. 15. La semejanza es una relación de equivalencia. ( ) COMPLETAR:

1. Si d

aentoncesdcba ,,

2. La media proporcional entre 9 y 16 es: 3. Una cuarta proporcionalidad entre 5, 3, 2 es:

4. xentocesx

x,,

3

4

4

3

5. ,1

53

2

83

x

x

x

xentonces el valor de x es:

6. Dado el triangulo rectángulo MNP con N recto y NT la altura sobre NP , entonces NP

es la media proporcional entre _____________ y MP. 7. La igualdad de dos razones se llama ____________________ 8. El perímetro de un rombo que tiene las diagonales de 15 cm. y 20 cm. es

________________ cm. 9. El cuadrado de uno de los catetos de un triangulo rectángulo es igual al cuadrado de la

hipotenusa __________ el cuadrado del otro cateto. 10. Una recta paralela a no de los lados de un triangulo lo divide en dos triángulos

_______________ 11. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de sus

______________________ sobre la hipotenusa.


12. En un triangulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa, divide al triangulo en dos triángulos semejantes entre si y semejante al ___________________________________________

13. La altura trazada sobre la hipotenusa es _______________ proporcional entre los __________________ que determina sobre ella.

14. Cada cateto es _____________________ proporcional entre la _____________________ y su ____________________________ sobre ella.

15. En cualquier triangulo, el producto de un lado por su _____________________ correspondiente, es igual al producto de otro lado por_____________________ correspondiente.

16. Los triángulos que siempre son semejantes son los ________________________.

Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise

Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

PROPORCIONES Y SEMEJANZA · TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD. Si se traza una paralela a...

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