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Resumen A travs de modelos matemticos se pueden realizar simulaciones a sistemas complejos y de largos periodos

de tiempo y con estas se pueden analizar la respuesta ante

diferentes condiciones y tener una aproximacin del

comportamiento real. En este trabajo se presenta la metodologa

usada para encontrar el modelo matemtico a travs del proceso

de identificacin de un pndulo invertido accionado por

actuadores hidrulicos, obteniendo con este el comportamiento

angular con respecto a un caudal hidrulico que ingresa al

cilindro que lo acciona. En el artculo se describen los pasos que

se tuvieron en cuenta comenzando por la adquisicin de datos,

hasta el hallazgo de una ecuacin que modela al sistema. Con

dicho modelo se realizaran diferentes pruebas para implementar

controladores de posicin en un futuro.

Palabras claves Pndulo invertido, actuadores hidrulicos, modelo matemtico, posicin, velocidad, metodologa

I. INTRODUCCIN

L sistema de pndulo invertido a diferencia de un pndulo

normal se caracteriza por tener una masa sujetada por una

barra o eje principal en la parte superior de su punto de apoyo.

El pndulo invertido puede presentar una posicin en la cual

puede estar en equilibrio o en desequilibrio, en la posicin de

equilibrio la masa del pndulo permanece vertical a su punto

de apoyo ocasionando que la fuerza debido a la gravedad

actu solamente en el eje vertical, pero en el instante en que el

pndulo sale de la posicin totalmente vertical, se generan

esfuerzos en las componentes X y Y que intentaran hacer caer

el pndulo al suelo. Por esta razn el pndulo invertido debe

estar ayudado por un sistema mecnico que permita sujetar la

carga cuando esta no se encuentra en la posicin de equilibrio.

Este sistema mecnico diseado se basa en la utilizacin de

actuadores hidrulicos ms especficamente cilindros

Carlos Adolfo Forero Gonzlez. Ingeniero Mecatrnico de la Universidad

Autnoma de Bucaramanga (2004), Especialista en Automatizacin Industrial

de la Universidad Autnoma de Bucaramanga en convenio con

Coruniversitaria de Ibagu y con el apoyo de las universidades de Gante y

Lovaina de Blgica (2006). E-mail: cforero3@unab.edu.co

Hernn Gonzlez Acua. Ingeniero Mecatrnico de la Universidad

Autnoma de Bucaramanga (2005), Especialista en Automatizacin Industrial

de la Universidad Autnoma de Bucaramanga en convenio con

Coruniversitaria de Ibagu y con el apoyo de las universidades de Gante y

Lovaina de Blgica (2006). Mster en Mecnica de la universidad Federal de

Rio de Janeiro (2009). E-mail: hgonzalez3@unab.edu.co

Eduardo Caldern Porras. Ingeniero de Sistemas de la Universidad

Autnoma de Bucaramanga (1998), Mster en sistemas Flexibles de

Manufactura del Instituto Tecnolgico de Monterrey (2001). E-mail:

edporras@unab.edu.co

hidrulicos, que son complementados con un circuito

hidrulico que permite su movimiento teniendo presente

cuales son los esfuerzo presentados cuando el pndulo no este

en su posicin de equilibrio.

El sistema de pndulo invertido es posicionado a travs de

un mecanismo manivela biela corredera con inversin cinemtica nmero dos, donde la corredera posee un

movimiento complejo (translacin y rotacin), es tambin

denominado mecanismo de retorno rpido Whitworth o

limadora de manivelas. En la Figura 1 se puede observar las

dimensiones del sistema con sus medidas en milmetros, el

sistema funciona mediante el accionamiento hidrulico del

cilindro BC que es controlado a travs de una vlvula

direccional 4/3 accionada por solenoides, esta vlvula varia en

sus tres posiciones lo que permite que el cilindro pueda salir,

detenerse y entrar.

Figura 1. Dibujo Pndulo Invertido.

II. MODELO DEL SISTEMA

Para encontrar el modelo del pndulo invertido accionado

por un actuador hidrulico, se realizo un proceso de cuatro

etapas: La primera etapa recoga toda la informacin

correspondiente a la posicin angular en el tiempo, y al caudal

que ingresaba la actuador hidrulico, con estos datos se

procede a la segunda etapa, la cual es a travs de herramientas

de computacin seleccionar caractersticas para encontrar un

modelo matemtico, la tercera etapa ser la validacin y

simulacin de dicho modelo con una herramienta de diseo

asistido por computador que en este caso ser Solid Works, y

por ltimo, la cuarta etapa ser la simulacin ante diferentes

seales de entrada.

A. Identificacin del Pndulo Invertido.

Un mtodo para definir la funcin de transferencia de una

planta es la identificacin por caja negra (Black box), mtodo

que toma los datos de entrada y de salida del sistema y con

ellos a travs de la toolbox IDENT de matlab, y con algunos

Modelamiento por identificacin de un pndulo

invertido controlado por actuadores hidrulicos

Carlos Adolfo Forero, Hernan Gonzlez Acua, Eduardo Caldern Porras.

E

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parmetros del usuario, determina la funcin de transferencia.

En la Figura 2 se puede observar un diagrama de flujo del

proceso de identificacin.

Figura 2. Diagrama flujo proceso de identificacin.

1) Diseo del experimento.

Para realizar la identificacin del sistema de pndulo invertido

se defini que la entrada del sistema seria el caudal que

ingresa al cilindro hidrulico, este caudal se ajusto de tal

forma que fuera igual a la salida del cilindro as como a la

entrada de este, se realizaron 12 tomas de datos a tres

diferentes caudales los cuales fueron:

TABLA 1. Valores de Caudal y Velocidad.

Muestra Caudal (cm3) Velocidad(cm / s)

Datos 1 25.602 1.039

Datos 2 21.059 0.85

Datos 3 19.144 0.77

Fuente: Autor.

La salida del sistema se defini como el ngulo al cual se

encontraba el pndulo invertido, y esta seal se tomaba a

travs del potencimetro lineal. En la TABLA 2 se observa el

tiempo promedio de entrada y salida del cilindro de doble

efecto, para cada una de las aperturas de las vlvulas

reguladoras de caudal, como se puede observar la diferencia

entre la entrada y la salida es menor del 1%, por lo que se

asumir que son iguales.

TABLA 2. Tiempos de entrada y salida del pistn.

TIEMPOS DEL CILINDRO

HIDRULICO

APERTURA SALIDA

(segundos)

ENTRADA

(segundos)

1 38 38

2 59.1 59.26

3 65.4 64.8

Fuente: Autor.

En el sistema no se encuentra ninguna perturbacin, ya que las

vlvulas contrabalance y los diferentes elementos del sistema

hidrulico evitan que las fuerzas externas acten en el

movimiento del pndulo invertido.

Para realizar las mediciones del sistema a la salida se opto por

trabajar con la tarjeta DAQ NI USB-6008, de National

Instruments, la cual tiene varias entradas analgicas con la

cual podemos medir el voltaje que se encuentra en el pin

medio del potencimetro lineal. En la Figura 3 se observa la

conexin del potencimetro lineal, el cual est conectado a 5V

y tierra, provenientes de la tarjeta de adquisicin de datos y en

su pin medio se conecta con la entrada anloga de esta.

Figura 3. Conexin del Potencimetro Lineal

Fuente: Autor.

El tiempo de muestreo seleccionado fue de 100 ms, y las

seales de excitacin del sistema fueron seleccionadas al azar.

2) Identificacin.

Luego de haber tomado todas las muestras se abre cada uno de

los archivos de Excel y se procede a organizar y normalizar

los datos, quedando en la primera columna el dato del tiempo

(Columna A), en la siguiente columna esta la seal de voltaje

del potencimetro lineal (Columna B), y por ultimo en la

siguiente columna (Columna C) un valor positivo de 1 si el

cilindro estaba saliendo o un valor negativo de 1 si el cilindro

estaba entrando (Columna B), y por ultimo en la tercera

columna. En la Tabla 3 se observa un ejemplo de cmo se

normalizaron estos datos.

TABLA 3. Normalizacin de los datos Capturados.

TOMA DE DATOS NORMALIZADOS

TIEMPO P S1 S2 TIEMPO P Q

8.326 4.659 -0.002 4.98 8.326 4.659 -5

8.426 4.636 -0.002 4.993

8.426 4.636 -5

8.426 4.636 -0.002 4.993 8.426 4.636 -5

8.526 4.652 4.989 -0.008 8.526 4.652 5

8.625 4.654 4.979 -0.011 8.625 4.654 5

8.726 4.644 4.992 -0.006 8.726 4.644 5

DC V

NO DATA

R110k 50%

+

-

Vs15V

3

Ya que cada toma de datos fue hecha con un caudal

especifico, en matlab se procede a capturar los datos que se

obtuvieron de la normalizacin hecha en los archivos de

Excel, con estos, y con la tabla del potencimetro lineal, se

obtienen los datos reales de cada uno de los muestreos, y ya

con estos ltimos se realizan diferentes pruebas con diferentes

parmetros a travs del toolbox IDENT de Matlab, y as poder seleccionar el modelo que ms se aproxime al real.

En la Figura 4 se observa el comportamiento de algunos

modelos obtenidos por identificacin ante entradas

predeterminadas.

Figura 4. Validacin de modelos en la herramienta ident

Fuente: Autor.

De dichos modelos a travs de tablas comparativas se escogen

los cinco mejores modelos del sistema, las ecuaciones que

definen estos modelos se observan en la TABLA 4

TABLA 4. Funciones de Transferencia.

P1DIZ_2D

Ec.1

P1DIZ_5C

Ec. 2

P1DIZ_5A

Ec. 3

P1DIZ_6D

Ec. 4

P1DIZ_8D

Ec. 5

Fuente: Autor.

III. SIMULACIN Y VALIDACIN DEL SISTEMA

Luego de identificar el sistema, y tener su modelo matemtico

se procede a realizar la simulacin del comportamiento de

cada uno de estos en simulink. En la Error! No se encuentra

el origen de la referencia. se puede observar la interaccin de

los componentes del sistema en lazo abierto.

Figura 5. Simulacin de los modelos en Simulink

Fuente: Autor.

Para realizar la validacin de los modelos identificados que se

obtuvieron, se toma la seal de entrada, la cual ser el caudal

que ingresa al cilindro hidrulico Figura 6.

Figura 6. Caudal de entrada al cilindro en el tiempo Fuente: Autor.

En la Error! No se encuentra el origen de la referencia.

se observa el comportamiento de los modelos ante la seal de

entrada del cilindro

Figura 7. Respuesta en el tiempo de los modelos

Fuente: Autor.

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IV. CONCLUSION

Se realizo la identificacin por medio de una herramienta

computacional para hallar varios modelos matemticos del

pndulo invertido.

Se realizo un diagrama de bloques en el toolbox de Simulink

de Matlab, para determinar el comportamiento del pndulo

invertido ante una entrada de caudal variable en el tiempo y

obtener el desplazamiento angular del pndulo invertido.

Se valido el modelo matemtico a travs de la misma

herramienta de ident, obteniendo una aproximacin mayor al

70%.

Se recomienda realizar una toma de datos al pndulo

construido para realizar la validacin del modelo con el

sistema real.

AGRADECIMIENTOS

El presente artculo fue elaborado gracias al apoyo

financiero de la direccin de investigaciones de la Universidad

Autnoma de Bucaramanga. Tambin gracias al apoyo

ofrecido por la facultad de ingenieras fsico mecnicas con su

programa de ingeniera Mecatrnica, quien aporto con el los

equipos y la instrumentacin para realizar la toma y

adquisicin de datos, dentro del laboratorio de oleo neumtica

que posee.

REFERENCIAS

[1] C. Smith. Control Automtico de Procesos Teora y Prctica. Ed. Limusa S.A. Mxico D.F. 1991, pp. 91 170.

[2] Rexroth Bosch Group. Fundamentos y componentes de la oleohidrulica. Training Hidrulico, Compendio 1. Ed. Bosch Rexroth

AG.

[3] C.H. Edwards. Ecuaciones Diferenciales Elementales. Ed. Prentice Hall. Mxico D.F. 1994.

[4] C.H. Edwards. Ecuaciones Diferenciales Elementales. Ed. Prentice Hall. Mxico D.F. 1994.

[5] Umez - Eronini. Dinmica de Sistemas y Control. Ed. Thomson Learning. Mxico D.F. 2001

[6] R. Norton. Diseo de Maquinaria. Ed. Mc Graw Hill. Mxico D.F. 2005

[7] MILLS D. S., The physical pendulum: A computer-augmented laboratory exercise. Am. J. Phys. 48 (4) April 1980, pp. 314-316.

[8] National Instruments. Labview for Windows, User manual. 1993. 419 p.

[9] http://www.walter-fendt.de/ph11s/pendulum_s.htm